Bài giảng Phương pháp bề mặt Cad-Cam - Chương 2: Mô hình toán học mô tả đường cong đa thức dùng trong kỹ thuật - Đặng Thái Việt

PHƯƠNG PHÁP BỀ MẶT CAD-CAM TS. Đặng Thái Việt ĐHBK Hà nội 1 CHƯƠNG 2 2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC MÔ TẢ ĐƯỜNG CONG ĐA THỨC DÙNG TRONG KỸ THUẬT 3 MÔ TẢ ĐƯỜNG CONG 2D  Vật thể 3D trong kỹ thuật được biểu diễn từ đường cong 2D  Đoạn cong được biểu diễn  Tường minh: 23y x  Dễ chuyển sang hàm ẩn  Dễ khảo sát vị trí điểm so với đường cong  Dễ nối đường cong thành đường cong lớn  Khó biểu diễn góc nghiêng 4 Ẩn: 2 2 2 0x y r    Làm trơn chỗ nối khó khăn  Tham số:    ;x f t y g t   Độ nghiêng được biểu diễn như là tiếp tuyến véc tơ tham số d/dt  Dễ làm trơn chỗ nối giữa các đoạn BIỂU DIỄN ĐOẠN CONG BẰNG HÀM ĐA THỨC  Dễ biểu diễn và tính toán 5 Dạng đường cong đa thức chuẩn:  Hàm cho dưới dạng ẩn:  , 0g x y   Ví dụ: Hàm đa thức biểu diễn đường thẳng 0ax b   Phương trình tiếp tuyến của đường cong ở P1      1 1 1 1 1 1, , 0y xg x y x x g x y y y     Phương trình pháp tuyến của đường cong ở P1      1 1 1 1 1 1, , 0x yg x y x x g x y y y    6 Ví dụ: Xác định tiếp tuyến của đường tròn đơn vị , tại điểm P1(1,0)  Giải: 2xx gg x    Tại điểm P1(1,0) 2xg   Đạo hàm 2yy gg x    Tại điểm P1(1,0) 2yg   Phương trình tiếp tuyến     12 0 2 1 0 1 x x x x        2 2 1x y  7 Trong kỹ thuật thường dùng hàm bậc 2 là giao các mặt  Elíp: giao của mặt phẳng và nón 2 2 2 2 1 x y a b    Parabol: giao của mặt phẳng (mặt phẳng  mặt bên) và nón 2 4 0y ax  8 Hypecbol: giao của mặt phẳng (mặt phẳng đi qua đường cao mặt nón) và nón  Hàm cho dưới dạng tường minh:  y f x MÔ TẢ ĐOẠN CONG BẰNG ĐA THỨC THAM SỐ  Đa thức chuẩn:  Dạng đa thức chuẩn bậc 3         , ,r u x u y u z u 2 3u u ua b c d    0 1u  9 Ma trận   2 31 a b r u u u u c d           Hoặc  r u UA  Ma trận véc tơ cơ sở 321U u u u     Ma trận véc tơ hệ số  TA a b c d  Mô hình đường cong Ferguson (đường spline tự nhiên)  Xây dựng đường cong qua 2 điểm mút    0 10 ; 1P r P r  10  Tiếp tuyến tại 2 điểm        0 0 ; 1 1t r t r    Xây dựng trên cơ sở đa thức chuẩn bậc 3   2 3r u a bu cu du            0 1 0 1 0 1 0 1 2 3d P r a P r a b c d t r b t r b c                11  Xác định hệ số hàm bậc 3 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 ; ; 3 3 2 ; 2 2 . a P b t c P P t t d P P t t            PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG CONG FERGUSON      2 30 0 0 1 1 0 1 0 13 3 2 2 2or u P t u P P t t u P P t t u           12  Dạng ma trận   ;0 1r u UA UCS u    0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ; ; 3 3 2 1 3 3 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 P Pa P Pb A C S t tc t td                                                            Sắp xếp lại phương trình Ferguson          2 3 2 3 2 3 2 30 1 0 11 3 2 3 2 2r u u u P u u P u u u t u u t           13         2 3 0,3 2 3 1,3 2 3 2,3 2 3 3,3 1 3 2 1 2 3 2 F u u u F u u u F u u u F u u u             Tập hàm  Viết lại phương trình   0,3 0 1,3 1 2,3 0 3,3 1r u F P F P F t F t     Tập hàm biểu diễn ảnh hưởng của hệ số hình học dọc theo đường cong 14  Dạng toán học là biểu thức đại số Hermit  Biểu thức đại số là trực giao  Mỗi một giá cho ta giá trị mới nội suy 15  Tập hợp đường cong hàm cơ sở Hermit  Đặc điểm             0 3 0 1 1 2 0 1 1 1 1 0 0 1 0 ; 0 1 F F F F F F j or j          Xây dựng đường cong Ferguson với điều kiện 0 1 1 0t t P P   16 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG CONG BEZIER  Xây dựng khi biết nút điều khiển V1,V2,V3,V4  V0 như điểm đầu P0 trong Ferguson  V1 nằm trên tiếp tuyến ở điểm đầu và = 00 3 tV   V2 nằm trên tiếp tuyến ở điểm cuối và = 13 3 tV   V3 như điểm cuối P1 trong Ferguson  Xây dựng Bezier từ Ferguson tìm quan hệ V và P    0 0 1 3 0 1 0 1 2 3; ; 3 ; 3P V P V t V V t V V      17  Ma trận đường cong Bezier bậc 3  r u UCS UCLR  00 11 2 20 3 31 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ; 3 3 0 0 0 0 3 3 TVp Vp u S u Vt u Vt u                                         0 1 2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ; ; 3 3 0 0 3 3 2 1 0 0 3 3 2 2 1 1 V V L R C V V                                18  Đặt 1 0 0 0 3 3 0 1 3 6 3 0 1 3 3 1 M CL            Viết dạng khác của ma trận đường cong Bezier               0,3 0 1,3 1 2,3 2 3,3 3 3 ,3 0 i i i r u UM R B u V B u V B u V B u V B u V        19  Với               3 0,3 2 1,3 2 2,3 3 3,3 1 3 1 3 1 B u u B u u u B u u u B u u         Hệ số của đường cong Bezier  ,3iB u  Dạng chung xác định hệ số của đường cong Bezier được gọi là hàm cơ sở Bezier      , ! 1 ! ! n ii i n nB u u u n i i   20  Đồ thị biểu diễn ảnh hưởng của hệ số tới đường cong Bezier dọc theo u  Ví dụ:Xây dựng đường cong Bezier bậc 2 từ đa thức bậc 2:   2r u a bu cu   21  Tại với các đánh giá tại các điểm này là và tiếp tuyến tại các điểm đầu cuối  0,1u     0 0 1 20 ; 1r V r V     0 1 00 2r V V     1 2 10 2r V V   Giải: Hàm cơ sở bậc 2 chuẩn   2r u a bu cu               0 2 1 0 2 1 0 1 0 2 1 2 2 r a V r a b c V r b V V r b c V V                22  Kết quả   0 1 0 0 1 2 2 2 a V b V V c V V V       Thay vào hàm cơ sở bậc 2             2 0 1 0 0 1 2 2 2 0 1 2 2 ,2 0 2 2 1 2 1 i i i r u V V V u V V V u u V u u V u V B u V              23 Viết dưới dạng ma trận   02 1 2 1 0 0 1 2 2 0 1 2 1 V r u u u V V                     GiẢI THUẬT CASTELJAU Tập điểm điều khiển 3D xác định đường cong Bezier  : 0,1,...,iV i n 24 Viết phương trình đường cong dưới dạng đệ quy        1 111r r ri i ib u u b u ub u    Với 1,..., ; 0,..., .r n i n r   Cho  0i ib u V Biểu diễn đường cong Bezier theo tham số u       , 1 n n n i i n i i b u B u V r u    25 Xây dựng đường cong Cho trùng với0V 00b Cho trùng với1V 01b Xác định trên10b 0 1V V Điểm trùng với2V 02b Xác định trên11b 1 2VV Điểm trùng với3V 03b Từ và xác định1 ob 2 0b 1 1b Từ và xác định2 ob 3 2b 2 1b 26 Nếu n điểm điều khiển ta cho 0n nV b Tìm được điểm trên các đoạn nối giữa các điểm điều khiển và từ các điểm mới ta tìm các điểm tiếp theo 1 n nb  Ví dụ: Dùng giải thuật Casteljau để dựng đường cong bậc 3 đi qua điểm 1 3 u  Giải: Tính qua công thức01b        1 111r r ri i ib u u b u ub u    27 Nếu u=1/3 ta có 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 2 11 3 3 3 3o b b b b b         và00 0V b 01 1V b Có thể viết 1 0 0 0 1 0 1 2 1 2 1 3 3 3 3o b b b V V    Tương tự tính cho các điểm khác 28 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 2 1 2 1 0 0 2 2 3 2 3 2 1 1 0 0 1 2 1 1 1 1 2 3 2 2 0 0 1 2 1 2 1 3 3 3 3 2 1 2 1 3 3 3 3 2 1 2 1 3 3 3 3 2 1 3 3 2 1 3 3 2 1 1 3 3 3 ob b b V V b b b V V b b b V V b b b b b b b b b r                        29 Phương trình tiếp tuyến đường cong Bezier tại u=1/3    2 21 01/ 3 3r b b  Phương trình tiếp tuyến tổng quát đường cong Bezier bậc n      1 11 0n nd r u n b u b udu      Đường cong Bezier ra(u) trong khoảng [0,1/3) có các điểm điều khiển  0 1 2 30 0 0 0, , ,b b b b 30 Đường cong rb(u) xác định trong khoảng [1/3,1], có điểm điều khiển  3 2 1 00 1 2 3, , , ,b b b b Đường cong Bezier chia làm 2 đoạn ĐẠO HÀM PHƯƠNG TRÌNH BEZIER Để đạo hàm phương trình Bezier cần tính được đạo hàm đa thức Bernstein Đạo hàm bậc 1 của đa thức Bernstein 31                      , 11 1, 1 , 1 ! 1 ! ! !! 1 1 ! ! ! ! n ii i n n i n ii i i n i n d d nB u u u du du n i i n i nin u u u u i n i i n i n B u B u                    Đạo hàm bậc n của phương trình đường cong Bezier              , 0 1, 1 , 1 1, 1 , 1 0 0 0 n n i n i i n n n i n i n i i i n i i n i i i d d r u B u V du du n B u B u V n VB u n VB u                        32 Đặt j=i-1           1 1 1 , 1 , 1 0 0 1 1 , 1 0 n n n j j n i i n j i n i i i n j d r u n V B u n V B u du n V V B u                   TĂNG BẬC ĐƯỜNG CONG BEZIER Đường cong Bezier rn(u) được xác định bởi n+1 đỉnh điều khi     1 0 1 n nn i i i n r u V u u i        33 Đường cong Bezier bậc n được biểu diễn bởi đường cong bậc n+1    1 1 11 0 1 1 n nn i i i n r u V u u i           Với đỉnh điều khiển đường cong Bezier bậc cao hơn  : 0,1,..., 1iV n  Chứng minh bằng cách nhân với nr u   1 1u u   Xác định đỉnh có bậc cao hơn 1 1 11 1i i i iV V V n n          34 Ví dụ nâng đường cong Bezier từ n=3 lên n=4 Giải Cho 0 0 4 4;V V V V   Tính đỉnh của n+4 1 11 1i i i i iV V V n n          Tính 1V  1 1 1 0 1 1 1 1 31 3 1 3 1 4 4 V V V V          35 Tính 2V  2 2 1 2 1 2 2 2 1 11 3 1 3 1 2 2 V V V V V           Tính 3V  3 3 1 3 2 3 3 3 3 11 3 1 3 1 4 4 V V V V V           GIẢM BẬC ĐƯỜNG CONG BEZIER Cần tăng bậc của đường cong Bezier lên bậc  1nr u  nr u 36 Dùng phương pháp tăng bậc Tính toán điểm điều khiển 11 11i i iV V V n n           đỉnh điều khiển của: 0,..., 1iV i n    1nr u Xác định theoiV  iV 1 1 1 1 11 1 11 ; 0,..., 1 1 i i i i i i i i i V V V n n V V V i n n n n iV V V n n i                           37 Xác định theo1iV  iV 1 ; 0,..., 1i i i n n iV V V i n i i        Điều kiện giảm bậc   0 1 0 n n i i n V i       Nếu không thỏa mãn điều kiện trên thì thực hiện giảm bậc bằng công thức 1; 0,..., / 2i i i n iV V V i n n i n i       38 Kết quả ta có đường cong Bezier sai số nhỏ Phần còn lại tính đỉnh điều khiển theo 1 ; 0,..., 1i i i n n iV V V i n i i        ĐẶC TRƯNG ĐƯỜNG CONG BEZIER  Tính chất bất biến với Afin Định nghĩa ánh xạ Afin Qr rA t  A là ma trận 3×3, t là véc tơ 3D 39 Chú ý: Chuyển đổi 1 điểm trong 3D có tính ánh xạ Afin Đường cong Bezier có tính Afin cho phép Chuyển đổi điểm của r(u) Chuyển đổi đỉnh điều khiển Vi  Tính bao lồi Bezier là tổ hợp lồi của các đỉnh điều khiển {Vi}       , , 0 1; 0, 0,1 n i n j n i B u B u u     40  Tính bất biến dưới sự chuyển đổi Afin Đường cong Bezier xác định tương đương với trong đó  r u  0,1u  r t   ;t a b a u a b     Tính giảm biến thiên Đường cong Bezier có ít giao điểm với mặt phẳng so với đa giác điều khiển nó  r u 41 MÔ HÌNH ĐƯỜNG CONG B-SPLINE ĐỒNG NHẤT Giả thiết cần xây dựng đường cong bậc 3: r(u) với các đỉnh điều khiển V0, V1, V2, V3. Định nghĩa 0 2 0 2 V VM  Điểm giữa V0, V2 1 3 1 2 V VM  Điểm giữa V1, V3 1 0 0 2 3 V MP  Nằm 1/3 của điểm V1, M0 42 2 1 1 2 3 V MP  Nằm 1/3 của điểm V2, M1 Mong có đường cong r(u) Điểm đầu đường cong P0 Điểm đầu đường cong P1 Chiều dài véc tơ tiếp tuyến t0 ở P1 = M0 -V0 Chiều dài véc tơ tiếp tuyến t1 ở P1 = M1 –V1 Xác định P0 với u = 0:    1 0 20 40 6 V V V P r    43 Xác định P1 với u = 1:    2 1 31 41 6 V V V P r    Xác định t0 :   2 00 0 2 V V t r   Xác định t1 :   3 11 1 2 V V t r   Nhận được hệ phương trình tuyến tính         0 0 1 2 1 1 2 3 0 0 2 1 1 3 1 14 ; 4 6 6 1 13 3 ; 3 3 6 6 P V V V P V V V t V V t V V             44 Viết dưới dạng ma trận: 00 11 20 31 1 4 1 0 0 1 4 11 R 3 0 3 06 0 3 0 3 VP VP S K Vt Vt                               Phương trình biểu diễn B-spline bậc 3:   ( ) ; 0 1r u UCS UCKR U CK R u     45  2 3 0 1 2 31 ; ; 1 4 1 0 1 0 0 0 0 1 4 1 0 0 1 01 ; 3 0 3 0 3 3 2 16 0 3 0 3 2 2 1 1 U u u u R V V V V K C                             Trong đó N=C.K, C là ma trận Ferguson. N là ma trận hệ số đường cong B-spline. 46 Đường cong B-spline bậc 3 viết dưới dạng biểu thức đại số.   2 3 2 3 2 3 30 1 2 31 3 3 4 6 3 1 3 3 36 6 6 6 u u u u u u u u u r u V V V V           Viết tổng quát    3 , 0 i n i i r u S u V   Biểu thức đại số hàm cơ sở của đường cong B-spline bậc 3   ,3iS u 47 Hàm B-spline bậc n:     , 0 n i n i i r u S u V   Ví dụ: Đường cong B-spline bậc 2   2 ; 0 1r u UN R u    2 0 1 2 2 1 1 0 1 ; ; 2 2 0 1 2 1 TU u u R V V V N             MÔ HÌNH ĐƯỜNG CONG B-SPLINE KHÔNG ĐỒNG NHẤT 48 Hàm B-spline không đồng nhất được định nghĩa trên cơ sở hàm đệ quy vô hướng Hàm đệ quy    1 11 1 n n ni i n i i i i n i i n i t t t tL L t L t t t t t           Hàm đệ quy bậc 1    1 1 11; , ; 0; er i i i i i t t t t t L t oth      49 Đồ thị hàm đệ quy bậc 1  t<ti hàm bằng 0  t<ti+1 hàm bằng 1  t>ti hàm bằng 0 Hàm đệ quy bậc 2    2 1 12 1 2 1 i i i i i i i i n i t t t tL L t L t t t t t           khi , khoảng này hàm tăng2 2 i i i i t tL t t   1i it t t   50 khoảng 1 2;i it t t   2 2 2 1 i i i i t tL t t      Khoảng này hàm giảm Đồ thị hàm đệ quy bậc 2 51 Hàm đệ quy bậc 3    3 2 23 12 2 1 i i i i i i i t t t tL L t L t        Với   1 1... i i i k i i i k i k i t t t t                Khoảng 1.i it t t     2 13 2i i i t t L     Khoảng 1 2;i it t t         2 33 1 13 2 2 1 1 i i i i i i i i t t t t L t            52  Khoảng 2 3;i it t t       2 33 2 1 2 i i i i t t L t        Hàm đệ quy n=3 53  Tập hàm                 2 1 12 2 23 1 1 3 1 22 2 1 1 2 3 2 32 1 2 ; , ; , ; , 0; other i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t tL t t t t t t                                Là tập hàm B-spline với n=2 54  Định nghĩa hàm chuyển đổi tuyến tính giữa t và u 1 i i i i i t t t t u t t      Chuyển đổi từ t sang u  Chuyển đổi đoạn  1,i it t t          2 13 2 3 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 0,2 2 ; 0 1 i i i i i i i i i i t t L t u u i N u                      55           2 23 1 13 2 3 2 2 1 1 1 3 21 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1,2 2 ; 0 1 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t t t t L t u u i N u                                        Chuyển đổi đoạn  1 2,i it t t   Chuyển đổi đoạn  2 3,it t t         2 2 3 1 2 2 ; 0 1 i i i i i i i t t u L t i         56  Hàm B-spline bậc 2 khác không trong khoảng ti ,ti+1 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107