Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Bài 1: Đại cương về chuỗi - Nguyễn Xuân Thảo

PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY ẾT CHU ỖI BÀI 1. CH ƯƠ NG I. LÝ THUY ẾT CHU ỖI § 1. Đại c ươ ng v ề chu ỗi s ố • nh ngh a • Các tính ch t c b n • iu ki n c n chu i h i t 111 1 Đặt v ấn đề : 1+++++
+
= 2 2 4 8 2n • Có ph i là c c ng mãi các s h ng c a v trái thì thành v ph i? • 1 + (– 1)+1 + (– 1) + .... = ? 1. Chu ỗi s ố: Định ngh ĩa: V i m i s t nhiên n, cho t ư ng ng v i m t s th c an, ta có dãy s kí hi u là {an}. Định ngh ĩa: ∞ Cho dãy s {an}, ta g i t ng vô h n a1+ a 2 + a 3 +
là chu i s , ký hi u là ∑an , n=1 an là s h ng t ng quát. Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an là t ng riêng th n. N u lim Sn = S thì ta b o chu i h i t , n→∞ ∞ có t ng S và vi t: ∑an = S . n=1 ∞ Khi dãy {Sn} phân k thì ta b o chu i ∑an phân k . n=1 ∞ Ví d ụ 1. Xét s h i t và tính ∑ qn n=0 1− qn+1 Sqq=++++=12
qn , q < 1 n 1− q 1 limSn = , q < 1 n→∞ 1− q Phân k khi q ≥ 1 ∞ 1 ∑ qn =, q < 1. 1 q n=0 − ∞ 1 Ví d ụ 2. Xét s h i t và tính ∑ n n + 1 n=1 () 1 1 1 1111   11  1 S = + ++
=−+−++− 
  =−1 n 1.2 2.3n() n + 1 1223  n n+ 1  n + 1 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1  limSn = lim 1 −  = 1 n→∞ n →∞ n + 1  ∞ 1 ∑ = 1 n n 1 n=1 ()+ ∞ 1 1 1 1 Ví d ụ 3. Xét s h i t , phân k ∑ (Chu i iu hoà) Sn =+1 + +
+ n 2 3 n n=1 Ly n > 2m+1 có 11 1 11111  1 1  Sn >++++1
=++++++++ 1

++
 232m+1  2345 8 2m+ 1 2 m + 1  111 1 1 >++++2.4.
2.m =+()m 1 2482m+1 2 Do ó Sn có th l n bao nhiêu tu ý, nên có lim Sn = ∞ n→∞ Chu i ã cho phân k ∞ 1 Ví d ụ 4. Chu i ngh ch o bình ph ư ng: ∑ 2 n=1 n 11 1 11 1 11 1 Sn =++++1
=+ 1 + ++
<+ 1 + ++
22 3 2n 2 2.23.3nn . 1.22.3() nn− 1 111111    11  1 =+−+−+−++1   
 −=−<  2 2 122334   n− 1 n  n Sn tng và d ư ng ∃lim Sn = S n→∞ ∞ 1 = S ∑ 2 n=1 n Nh ận xét: ∞ • ∑an h i t thì liman = 0 (iu ki n c n chu i h i t ) n→∞ n=1 ứ Ch ng minh: Có an = Sn − S n−1 ; liman = lim (Sn − S n −1) = 0 n→∞n →∞ ∞ • Nu liman ≠ 0 ho c không t n t i thì chu i ∑an phân k . n→∞ n=1 • Thay i m t s h u h n s h ng u không làm thay i tính h i t hay phân k c a chu i. ∞ n Ví d ụ 5. ∑ n + 1 n=1 n lim= 1 ≠ 0 n→∞ n + 1 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ n ∑ phân k n 1 n=1 + ∞ n Ví d ụ 6. ∑()()()−1 =+− 1 11 ++− 1 +
n=1 n 1 n ch½n Có lim()− 1 =  n→∞ −1 n lÎ. n Không t n t i lim()− 1 n→∞ ∞ n ∑()−1 phân k . n=1 35 21n + Ví d ụ 7. Tìm t ng (n u có) c a chu i s sau +++
+
(S: 1) 2 4 36 n2 () n + 1 n ∞ n −1  Ví d ụ 8. ∑  (PK)  n 1 n=1 + Tính ch ất. Gi s limaan= , lim bb n = n→∞ n →∞ • lim (αan+ β b n ) = αβ ab + n→∞ • lim(abn n ) = ab . n→∞ a a • limn = ,b ≠ 0. n→∞ bn b §2. Chu ỗi s ố d ươ ng • nh ngh a • Các tiêu chu n h i t • Các nh lí so sánh ∞ 1. Định ngh ĩa: ∑an, a n > 0 n=1 ∞ Nh ận xét. ∑an h i t khi và ch khi Sn b ch n. n=1 Trong bài này ta gi
thi t ch  xét các chu i s  d  ng 2. Các định lí so sánh. Định lí 1. Cho hai chu i s d ư ng, an≤ b n , n tu ý ho c t m t lúc nào ó tr i ∞ ∞ ∑bn h i t ⇒ ∑an h i t n=1 n=1 ∞ ∞ ∑an phân k ⇒ ∑bn phân k n=1 n=1 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ch ng minh. aa+ ++
abb <+ ++
b 12n 12 n 0 <Sn ≤ T n Rút ra các khng nh. ∞ ∞ 1 1 Ví d ụ 1. Ví d ụ 2. ∑ ∑ n ln n n=13+ 1 n=2 Chu i d ư ng Chu i d ư ng ln n< n 3n+ 1 > 3 n 1 1 1 1 0 < < < nln n 3n+ 1 3 n ∞ 1 ∞ 1 1 ∑ phân k ∑ = h i t n 3n 1 n=2 n=1 1− ∞ 3 1 ∑ phân k ⇒ Chu i ã cho h i t ln n n=2 ∞ 3n2 + 2 n + 1 ∞ ()n+ 1 sin() 2 n β Ví d ụ 3. a) ∑ , (HT) b) ∑ , β ∈ » ; (HTT ) n () 7 3 n=1 2 3n + 2 n=1 n+2 n + 3 ∞ ∞ an Định lí 2. Cho hai chu i s d ư ng, lim=k ≠ 0 ⇒ ∑an và ∑bn cùng h i t n→∞ b n n=1 n=1 ho c cùng phân kì. ∞ ∞ Nh ận xét. i v i các chu i s d ư ng ∑an và ∑bn : n=1 n=1 ∞ ∞ an 1°/ N u lim= 0 và ∑bn h i t ⇒ ∑an h i t n→∞ b n n=1 n=1 ∞ ∞ an 2/ ° N u lim = ∞ và ∑bn phân kì ⇒ ∑an phân kì n→∞ b n n=1 n=1 ∞ n + 2 Ví d ụ 4. ∑ 3 n=1 2n − 3 Chu i d ư ng 2 2 1+ 1 + n+ 2 n 1 =.n = . n 3 33 2 3 232n− n1− 2 n 1 − 2n3 2 n 3 n + 2 1  lim :  = 1 n→∞ 2n3 2 n 2  PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ 1 h i t ∑ 2 n=1 2n ∞ n + 2 h i t ∑ 3 n=1 2n − 3 ∞ 1 Ví d ụ 5. ,p > 0 ∑ p n=1 n 1 1 ∞ 1 ∞ 1 Khi 0<p ≤ 1 có 0 <np ≤ n ⇒ ≥ , do ∑ phân k nên ∑ phân k . p n n p n n=1 n=1 n Khi p > 1, n tu ý, ch n m sao cho n < 2m , có 1111     1 1  S≤ S =+++++++1

++
n 2m − 1 pppp     p p  23   4 7  m−1 m  ()2() 2− 1  242m−1 11 1 ≤++++1
=+ 1 + ++
pp pp−1 2 m − 1 2 4()2m−1 2 () 2 p − 1() 2 p − 1 1− am 1 1 = <, 0 <=a < 1 1−a 1 − a 2p−1 ∞ 1 Dãy S b ch n trên ⇒ h i t . n ∑ p n=1 n KL: Chu i h i t v i p > 1 và phân kì v i 0 < p ≤ 1. ∞ 1 Ví d ụ 6. ∑ 3 n=1 n + 3 Chu i d ư ng 1 1 1 an = = ; bn = 3 3 n3 / 2 n + 3 n3 / 2 1+ n3 a limn = 1 n→∞ bn ∞ ∑bn h i t n=1 ∞ 1 h i t ∑ 3 n=1 n + 3 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví d ụ 7 ∞ ∞ a1) ∑ ln1()+n +− 2 n − 1 (PK) a2) ∑ sin()n+ 1 − n − 1 (PK) n=2 n=2 1 ∞ π ∞ 1 b1) ∑n sin 2 (PK); b2) (2n − 1 ) (HT) ∑ n n=1 2 n n=1 ∞ n+ cos n ∞ n+ sin n c1) (HT) c2) (PK) ∑ 5 ∑ 3 n=1 n + 1 n=1 n + 1 ∞ ∞ 1 d1) ∑ ()n+2 − n − 1 (PK) d3) ∑ n( e n −1) (PK) n=2 n=2 ∞ n + 1 d3) sin (HT) ∑ 3 7 3 n=1 n+2 n + 3 e) Xét s h i t ∞ ln n 1 1) (HT) 2) (PK) ∑ 4 5 ∑ 1 n=1 n arcsin+ ln n n ∞ π  3) n ln 1+ arctan 2 (HT) ∑ 3  n=1 2 n  3) Các tiêu chu ẩn hội t ụ a) Tiêu chu ẩn D’Alembert a lim n+1 = l n→∞ an ∞ Khi l < 1 ⇒ ∑an h i t n=1 ∞ Khi l > 1 ⇒ ∑an phân k . n=1 Ch ứng minh an+1 an+1 • l 0 bé l + ε < 1 ⇒ < l + ε, ∀ n ≥ n0. n→∞ an an a a an +1 • M t khác có a= n. n −1
0 . a ≤ ()l+ ε n− n 0 a → 0, n → ∞ na a a n 0 n0 n−1 n − 2 n 0 Do ó lim an = l n→∞ PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn an+1 an+1 • l > 1: T lim = l , ch n ε bé l − ε > 1 ⇒ >l −ε > 1 ⇒ an + 1 > an n→∞ an an ⇒ phân kì Nh ận xét. Khi l = 1 không có k t lu n gì ∞ 1 Ví d ụ 1. ∑ n! n=1 1 a = > 0 n n! a 11n ! 1 limn+1 = lim : = lim = lim =< 0 1 nn→∞an →∞() nn+1!! n →∞() n + 1! n →∞ n + 1 ∞ 1 ∑ h i t n! n=1 ∞ 3n Ví d ụ 2. ∑ n! n=1 3n a = > 0 n n! a 3n+1 3 n 3 n+1 =: = an () n+1! nn ! + 1 a limn+1 = 0 < 1 n→∞ an Chu i ã cho h i t 1 1.3 1.3.5 1.3.5
( 2n − 1 ) Ví d ụ 3. Xét s h i t , phân k c a chu i + + ++
2 2.5 2.5.8 2.5.8
() 3n − 1 1.3.5
( 2n − 1 ) a = > 0 n 2.5.8
() 3n − 1 a 1.3.5
( 2n− 12)( n + 1) 1.3.5
( 2 n − 1 ) 2n + 1 n+1 = : = a2.5.8
()() 3 nn−+ 13 2 2.5.8
() 3 nn −+ 1 3 2 n a 2 limn+1 = < 1 n→∞ an 3 Chu i ã cho h i t Ví d ụ 4 ∞ n!3 n ∞ n!2 n a1) (PK) a2) (HT) ∑ n ∑ n n=1 n n=1 n PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 2 ∞ 7n ()n ! a3) (HT) ∑ 2n n=1 n ∞ 32n+ 1 ∞ 22n+ 1 b1) (PK) b2) (HT) ∑ n () ∑ n () n=1 4lnn + 1 n=1 5 lnn + 1 ∞ ()2n + 1!! ∞ ()2n !! b3) (HT) b4) (HT) ∑ n ∑ n n=1 n n=1 n ∞ 3n2 + 2 n + 1 c1) (HT) ∑ n () n=1 2 3n + 2 ∞ n!3 n ∞ n!π n d1) (PK) d2) (PK) ∑ n ∑ n n=1 n n=1 n b) Tiêu chu ẩn Cauchy n Gi s lim an = l n→∞ ∞ Nu l < 1 ⇒ ∑an h i t n=1 ∞ Nu l > 1 ∑an phân k n=1 Nh ận xét. Nu l = 1, không có k t lu n gì n ∞ 2n − 1  Ví d ụ 5. ∑  3n + 2  n=1 2n − 1  a =  > 0 n 3n + 2  2n − 1 n a = n 3n + 2 n 2 liman = < 1 n→∞ 3 Chu i ã cho h i t 2 ∞ n + 1  n Ví d ụ 6. Xét s h i t , phân kì   (PK) ∑n  n=1 Ví d ụ 7. 2n− ln n 3n− ln n ∞ 3n2 + n + 1  ∞ 2n2 + n + 1  a1) ∑  (HT) a2) ∑  (HT) 2  2 n=1 4n+ cos n n=13n+ sin n  PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 2 ∞ nn5 n a3) ∑ 2 (HT) n n n=1 2()n + 1 n( n 4) n( n 4) ∞ n + 2  + ∞ n + 3  + b1)   (HT) b2)   (PK) ∑n + 3  ∑ n + 2  n=1 n=1 2 ∞ nn5 n c) ∑ 2 (HT) n n n=1 3()n + 1 c) Tiêu chu ẩn tích phân Có m i liên h hay không gi a: ∞ b fxdx()= lim fxdx () ∫b→+∞ ∫ a a ∞ k và ∑an= lim ∑ a n k →∞ n=1 n = 1 n n Hình 14.4 fxdxa()≤+1 a 2 ++
an ≤+ a 1 fxdx () , limf ( x )= 0 ∫ ∫ x→+∞ 1 1 Nu f(x) là hàm d ư ng gi m v i m i x ≥ 1, f(n) = an, khi ó ∞ ∞ ∑an và ∫ f( x ) dx cùng h i t ho c cùng phân k . n=1 1 ∞ 1 Ví d ụ 8. ∑ nln n n=2 1 f( x ) = d ư ng, gi m v i x ≥ 2 và có limf ( x )= 0 xln x x→+∞ ∞ b d()ln x b fxdx()= lim = limlnln() x = limlnln()()() b −=∞ lnln2 ∫b→∞ ∫ ln x b →∞2 n →∞ 2 2 +∞ ∫ f( x ) dx phân k 1 ∞ 1 ∑ phân k nln n n=2 ∞ 1 Tng quát có th xét h i t ch khi p > 1. ∑ p n=2 n()ln n PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1 1 1 Ví d ụ 9. Ch ng minh r ng: 1− + − +
= ln2 2 3 4 111 11 1 1  11 1  S =−+−++1
− =+++ 1
 −+++
 2n 234 212nn− 3 2124 n −  2 n  11 1  11 1  11 1  11 1  =++++1
 − 2 +++
 =++++ 1
 −++++ 1
 23 2n  24 2 n  23 2 n  23 n  1 1  =[][]ln2nono ++−++γ (1) ln γ (1) , víi γ = lim 1 +++−
ln n  n→∞ 2 n  = ln2+o (1) → ln2 khi n →∞ Mt khác ta có 1 S= S + 2n+ 1 2 n 2n + 1 limS2n+ 1= lim S 2 n = ln2 n→∞ n+1 ∞ ()−1 = ln2 ∑ n n=1 11111 3 Ví d ụ 10. T ư ng t nh n ưc 1+−++−+
= ln2. 32574 2 Ví d ụ 11. Xét s h i t phân kì c a chu i s sau 1 ∞ ln ∞ ln() 1 + n ∞ ln n a) n (HT); b) (HT) c) (HT) ∑ 2 ∑ 2 ∑ 2 n=1 ()n + 2 n=1 ()n + 3 n=2 3n Happy new year 2011 !