Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Bài 3: Phương trình vi phân cấp hai (Tiếp theo) - Nguyễn Xuân Thảo

PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY ẾT CHU ỖI BÀI 11 §3. Ph ươ ng trình vi phân cấp hai (TT) 4. Ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính c ấp hai có h ệ s ố không đổ i c) Ph ươ ng trình Euler xy2 ′′+ axy ′ += by0, ab , ∈ » Cách gi ải. • Đặt x= e t ⇒ t= ln x dy dy dt1 dy dy • y′ = =. = ⇒ xy ′ = dx dt dx xdt dt d d1 dy  1dy 1 d dy  dt • y′′= y ′ = .  = − + .  . dx dx x dt  x2 dt x dt dt  dx 1dy 1 dy2 1 d2 y dy  d2 y dy = − + = −  ⇒ x2 y ′′ = − x2 dt x 2 dt 2 x2 dt 2 dt  dt2 dt dy2 dy dy dy2 dy • Thay vào có − +a + by = 0 ⇔ +−(a 1) + by = 0 là ph ươ ng trình dt2 dt dt dt2 dt vi phân tuy ến tính c ấp hai có h ệ s ố không đổ i Ví d ụ 1. Gi ải ph ươ ng trình vi phân a) x2 y′′+2 xy ′ − 6 y = 0 (1) b) x2 y′′−9 xy ′ + 21 y = 0 c) xy2 ′′+ xy ′ + y = x y′ y 2 d) xy2′′−2 xy ′ ++− 2 yx 20 x 3 = e) y′′ − + = x x2 x Gi ải a) • x= e t ⇒ t= ln x 1 dy 1 d2 y dy  dy d2 y dy • y′ = . , y′′ = −  ⇒ xy ′ = , x2 y ′′ = − x dt x2 dt 2 dt  dt dt2 dt dy2 dy dy d2 y dy • Thay vào ta có − +2 − 6y = 0 ⇔ + −6y = 0 (2) dt2 dt dt dt2 dt • Ph ươ ng trình đặc tr ưng r2 + r −6 = 0 ⇔ r=2, r = − 3 2t− 3 t • (2) có nghi ệm t ổng quát y= ce1 + ce 2 2 lnx− 3 ln x 2 c2 • (1) có nghi ệm t ổng quát y= ce1 + ce 2 =c1 x + x3 Ví d ụ 2. Gi ải ph ươ ng trình vi phân xy2′′−2 xy ′ += 2 y 3, xx 2 > 0 b ằng cách đặ t x= e t 23 2 2 ( yCCxx=(1 + 2 ln ) + x ln x ) 2 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn §4. Hệ phươ ng trình vi phân ••• Đặt v ấn đề − Các quy lu ật c ủa t ự nhiên không di ễn ra đơn l ẻ mà g ồm nhi ều quá trình đan xen nhau − H ệ ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính gi ải quy ết nhi ều bài toán nêu trên, ch ẳng h ạn nh ư : 1°°°/ Ví d ụ 1. Xét h ệ hai kh ối l ượng và hai lò xo nh ư trong Hình 1, với m ột l ực tác độ ng t ừ bên ngoài f( t ) bên ph ải kh ối l ượng m2 . Ta kí hi ệu x( t ) là hàm v ị trí (sang ph ải) c ủa kh ối l ượng m1 t ừ tr ạng thái cân b ằng (khi h ệ b ất độ ng và cân b ằng v ới f( t )= 0 ) và y( t ) là v ị trí c ủa kh ối l ượng m2 t ừ tr ạng thái t ĩnh c ủa nó. mx"=− kx + ky ( − x ) Hình 1. Hệ kh ối l ượng và − Có mô hình toán là  1 1 2 lò xo trong Ví d ụ 1 my2"=− kyx 2 ( − )() + ft 2°°°/ Ví d ụ 2. Xét hai thùng n ước mu ối được n ối v ới nhau nh ư trong Hình 2. Thùng 1 ch ứa x(t) pounds mu ối trong 100 gallon của n ước bi ển và thùng 2 ch ứa y( t ) pounds mu ối trong 200 gallon n ước bi ển. N ước bi ển trong m ỗi thùng được gi ữ nguyên b ởi các vòi b ơm và n ước bi ển thùng này sang thùng khác v ới t ốc độ ch ỉ ra trên Hình 2. Thêm n ữa n ước nguyên ch ất ch ảy vào thùng 1 v ới t ốc độ 20gal/phút và n ước muối trong thùng 2 ch ảy ra v ới t ốc độ 20gal/phút Hình 2. Hai thùng n ước  3 1 bi ển trong Ví d ụ 2 x′ = − x + y  10 20 − Có mô hình toán là  3 3 y′ = x − y  10 20 3°°°/ Ví d ụ 3. Xét m ạch điện nh ư trong Hình 3, ở đó I1(t) kí hi ệu c ủa dòng điện ch ạy qua c ảm bi ến L và I2 (t) kí hi ệu c ủa dòng điện ch ạy qua điện tr ở R2 . Dòng điện ch ạy qua điện tr ở R1 là I= I1 − I 2 theo hướng đã ch ỉ. dI 1  +25I1 − 25 I 2 = 50 Hình 3. M ạng điện  dt − Có mô hình toán là  trong Ví d ụ 3 dI dI 21− 3 2 − 50I =  dt dt 2 1. Đại c ươ ng −−− Định ngh ĩa. Hệ ph ươ ng trình vi phân chu ẩn t ắc c ấp m ột có d ạng y1′ = fxyy 1(, 12 , , , y n )  y2′ = fxyy 2(, 12 , , , y n )  (1)   yn′ = fxyy n(,1 , 2 , , y n ) PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∂fi −−− Định lí 1. Gi ả s ử các hàm fxyyi(,1 , 2 , , y n ) và các đạo hàm riêng (,xyy1 , 2 , , y n ) ∂y j liên t ục trên D ⊂ »n+1. 0 0 0 Cho (,xyy0 1 , 2 ,, yn ) ∈ D , khi đó ∃Uε ( x 0 ) để (1) có nghi ệm duy nh ất tho ả mãn các 0 điều ki ện yxi (0 )= yii , = 1, n Định ngh ĩa. Ta b ảo (,y1 , y n ) , ở đó yi= ϕ i(,, xcc1 2 , , c n ) là nghi ệm t ổng quát c ủa hệ (1) ⇔ • tho ả mãn h ệ (1) ∀ c1, c 2 , , c n 0 0 0 ⇒ 0 • ∀ (,xyy0 1 , 2 , , y n ) tho ả mãn định lí 1 ∃ci = c i sao cho các hàm s ố y= ϕ (, xcc0 , 0 , , c 0 ) tho ả mãn điều ki ện y= yi0, = 1, n i i 1 2 n i x= x 0 i Nghi ệm riêng c ủa (1) nh ận được t ừ nghi ệm t ổng quát khi cho ci , i= 1, n các giá tr ị xác đị nh 2. Cách gi ải • Ph ươ ng trình vi phân c ấp n : y(n) = fxyy(,,,,′ y ( n −1) ) luôn đư a v ề h ệ ph ươ ng trình vi phân chu ẩn t ắc c ấp 1: Đặt y= y 1, có y1′ = y 2  y2′ = y 3    yn′ −1 = y n yn′ = fxyy(,1 , 2 , , y n ) Ng ược l ại, h ệ PTVP chu ẩn t ắc luôn đưa v ề ph ươ ng trình c ấp cao b ằng cách kh ử nh ững hàm s ố ch ưa bi ết t ừ các ph ươ ng trình c ủa h ệ, được g ọi là ph ươ ng pháp kh ử  y 2 y′ = y′ =5 y + 4 z y′ = y + z  y′ = z Ví d ụ 1. a)  b)  c)  z d)  z′ =4 y + 5 z z′ = y + z + x y z′ = y z′ =  2 y′ = z yC=1cos xC + 2 sin x e)  ( ) z′ = − y zC=2cos xC − 1 sin x yeC=−x ( cos xC + sin) x y′ = y + 5 z  1 2 f)  ( ) 1 −x z′ = −() y + 3 z z= eCC[](21 − 2 )cos xCC −+ ( 12 2 )sin x  5 −2x y′ = −3 y − z y=( C1 − C 2 − Cxe 1 ) g)  ( ) −2x z′ = y − z z=( Cx1 + Ce 2 ) Gi ải a) • T ừ ph ươ ng trình th ứ nh ất ⇒ y′′=5 y ′ + 4 z ′ • Thay z′ =4 y + 5 z vào phương trình 1 có y′′=5 y ′ + 16 y + 20 z PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1 • T ừ ph ươ ng trình 1 ⇒ z=( y′ − 5 y ) , thay vào ta có y′′−10 y ′ + 9 = 0 4 x9 x • Nghi ệm t ổng quát y= ce1 + ce 2 x9 x x9 x • y′ = ce1 + 9 ce 2 , thay vào ph ươ ng trình đầu có z= − ce1 + ce 2 1 2C c) +) zz′′= 2 z ′ 2 +) z = − +) y = 1 2 C1 x+ C 2 (C1 x+ C 2 ) 3. H ệ ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính thu ần nh ất v ới h ệ s ố h ằng s ố  dy 1  =ay111 + ay 122 ++ ay 1 n n  dx dy 2  =ay211 + ay 222 ++ ay 2 n n a) Định ngh ĩa  dx (1)   dy n =ayn11 + ay n 22 ++ ay nnn  dx ở đó aij ∈ » dy 1  =ay111 + ay 12 2  dx b) Cách gi ải. Để đơn gi ản ta xét h ệ  (2) dy 2 =ay211 + ay 22 2  dx a− λ a • Gi ải ph ươ ng trình đặc tr ưng 11 12 = 0 (3) a21 a 22 − λ • N ếu (3) có 2 nghi ệm th ực phân bi ệt λ1, λ 2 ⇒ (2) có nghi ệm t ổng quát là (y1 , y 2 ) ở đó y1= cy 111 + cy 212 ; y2= cy 121 + cy 222 λ x λ x λ x λ x ở đó y11= p 11 e 1 , y21= p 21 e 1 , y12= p 12 e 2 , y22= p 22 e 2 , (p1k , p 2 k ) là vect ơ riêng ứng v ới giá tr ị riêng λk ,k = 1, 2 y′ = y + 2 z y′ = y − 5 z y′ = y − z Ví d ụ 1. Gi ải các h ệ sau a)  b)  c)  z′ =4 y + 3 z z′ =2 y − z z′ = y + 3 z Gi ải a) Cách 1. Ph ươ ng pháp kh ử: y′′−4 y ′ − 5 y = 0 −x5 x 1  y= Ce1 + Ce 2 • y′′= y ′ + 2 z ′ v ới z′ =4 y + 3 z và z=( y′ − y ) ⇔ ⇔ 1 −x5 x 2 z=( y′ − y ) z= − Ce1 + 2 Ce 2  2 Cách 2. Ph ươ ng pháp toán t ử Lx1+ Ly 2 = ft 1 ( ) Hệ  , ở đó Li là các toán t ử tuy ến tính Lx3+ Ly 4 = ft 2 ( ) LL ftL( ) LL Lft( ) 12x = 1 2 ; 12y = 11 LL34 ftL 2( ) 4 LL34 Lft 32 ( ) PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn (D− 1) y − 2 z = 0 d •  , D ≡ 4y+ (3 − D ) z = 0 dx D −1 − 2 • Ta có =(D − 1)(3 − D ) +=−+ 8 DD2 4 + 5 4 3 − D −+y′′4 y ′ + 5 y = 0 • H ệ ⇔  −+z′′4 z ′ + 5 z = 0 2 • Ph ươ ng trình đặc tr ưng −k +4 k + 5 = 0 ⇔ k1= −1, k 2 = 5 −x5 x −x5 x • Ta có y= ce1 + ce 2 ; z= ce3 + ce 4 • Thay y, z vào ph ươ ng trình 1 ta có −x5 xxx − 5 − xx 5 0=−y′ + y + 2 z =−ce12 ce.5 +++ ce 12 ce 2( ce 34 + ce ) −x − 5 x =+(2cce13 2) +−+ (4 c 24 2) ce , ∀ x 2c1+ 2 c 3 = 0 c3= − c 1 ⇒  ⇔  −4c2 + 2 c 4 = 0 c4= 2 c 2 −x5 x −x5 x • Nghi ệm t ổng quát (y , z ) , ở đó y= ce1 + ce 2 ; z= − ce1 + 2 ce 2 1− λ 2 2 Cách 3. • = 0 ⇔ λ−4 λ − 5 = 0 ⇔ λ1=5, λ 2 = − 1 4 3 − λ (1− 5)p11 + 2 p 21 = 0 • λ1 = 5 :  ⇔ 4p11− 2 p 21 = 0 4p11+ (35) − p 21 = 0 Ch ọn p11=1, p 21 = 2 (11−−()) p12 + 2 p 22 = 0 • λ2 = − 1:  ⇔ 2p12+ 2 p 22 = 0 4p12−−−() 31() p 22 = 0 Ch ọn p12=1, p 22 = − 1 5x 5x −x −x • H ệ nghi ệm c ơ b ản là y1 = e ; z1 = 2 e ; y2 = e ; z2 = − e 5x− x 5x− x • Nghi ệm t ổng quát: ( y; z ), ở đó y= ce1 + ce 2 ; z=2 ce1 − ce 2 Ví d ụ 2  dx   =2x + y t5 t t1 5 t  dt x= Ce1 + Ce 2 x= − Ce1 + Ce 2 a)  (  ho ặc  3 ) t5 t dy y= − Ce1 + 3 Ce 2  t5 t =3x + 4 y y= Ce1 + Ce 2  dt dx  =x − 3 y t t  dt xeC=(1 cos3 tC + 2 sin3) t yeC=(1 cos3 tC + 2 sin3) t b)  ( ho ặc  ) dy yeC=t ( sin3 tC − cos3) t xeC=t ( sin3 tC − cos3) t  =3x + y  1 2  1 2  dt Chú ý. Ph ươ ng pháp toán t ử gi ải được h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính không thu ần nh ất với h ệ s ố h ằng s ố HHHAHAAAVVVVEEEE AAA GGGOGOOOOODDDD UUUNUNNNDDDDEEEERRRRSSSSTTTTAAAANNNNDDDDIIIINNNNGGGG!!!!