Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Chương 3, Bài 2: Phép biến đổi của bài toán với giá trị ban đầu - Nguyễn Xuân Thảo

PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PH NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY T CHU I BÀI 13 §2. Phép bi n i c a bài toán v i giá tr ban u • Phép bi ến đổ i c ủa đạ o hàm • Nghi ệm c ủa bài toán giá tr ị ban đầ u • H ệ ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính • Nh ững k ĩ thu ật bi ến đổ i b ổ sung 1. t v n • V ận d ụng phép bi ến đổ i Laplace để gi ải ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính v ới h ệ s ố h ằng axt′′()+ bxt ′ () + cxt () = ft () ( ) ( ) với điều ki ện x0= xx0 ,′ 0 = x 0′ • So sánh v ới các ph ươ ng pháp gi ải đã h ọc • Gi ải h ệ ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính 2. Phép bi n i c a o hàm nh lý 1. Cho f( t ) liên t ục và tr ơn t ừng khúc v ới t ≥ 0 và là b ậc m ũ khi t → + ∞ (tức tồn t ại h ằng s ố không âm c, M và T tho ả mãn: f( t )≤ Mect , t ≥ T (2.1) Khi đó t ồn t ại L {f′( t )} v ới s> c và có L{ft′( )} = s L { ft( )} − f (0) =sF( s) − f (0) ∞ ∞ − − Ch
ng minh. +) L {}fs′() =∫ est ftdt ′ ()() = ∫ e st dft 0 0 ∞ ∞ −st() − st () +) =e ft0 + se∫ ftdt 0 Do f() t≤ Mect , t ≥ T ⇒ e−st f() t →t→∞ 0 khi s> c ∞ +) T ừ Đị nh lí 2 (bài 1) ⇒ ∫ e−st f() tdt h ội t ụ v ới s> c 0 +) T ừ đó ta có L{fs′}( ) = s L { fs}( ) − f (0) nh ngh a. Hàm f được g ọi là tr ơn t ừng khúc trên [a; b ] ⇔ nó kh ả vi trên [a; b ] tr ừ ra h ữu h ạn điểm và f′( t ) liên t ục t ừng khúc trên [a; b ] 3. Nghi m c a bài toán giá tr ban u H qu . Phép bi n i c a o hàm b c cao ( ) Gi ả s ử r ằng các hàm s ố f, f′ ,
, f n−1 liên t ục và tr ơn t ừng khúc v ới t ≥ 0 và là b ậc m ũ () khi t → +∞ . Khi đó t ồn t ại L {fn () t } v ới s> c và có () − −() − L{ftsftsfnn()} = L {}() − nn1()()0 − sf 2′ 0 −−
f n 1 () 0 ( ) =sFssfnn()()() −−10 − sf n − 2′ 0 −−
f n − 1 () 0 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví d . S ử d ụng Đị nh lí 1, ch ứng minh r ằng n! {}n at = = a) L t e+ , n 1,2,3, ()s− a n 1 Ch ứng minh b ằng qui n ạp 1 11 1 +) n = 1: {}teat={} e at =. = L L 2 sa− sasa − − ()s− a k ! +) n = k: {}tk e at = L k +1 ()s− a k + 1 k+ 1 k ! (k + 1) ! +) {}tekat+1 = {} te kat = . = L L k +2 s− a s− a ()s− a k +1 ()s− a 2sk b) L {}tsinh kt = s2− k 2 +) f(t) = t.sinh kt ⇒ f(0) = 0 và có +) f' (t) = sinh kt + kt cosh kt , f' (0) = 0 f'' (t) = 2 kcosh kt + k 2t sinh kt +) L{2k cosh ktkt+2 sin kt} = s 2 L { ft()} −− sf()() 0 f ′ 0 s +) 2k+ kFssFs2()() = 2 , ở đó F( s) = { tsinh kt } 2 L ()s2− k 2 2ks +) F() s = 2 ()s2− k 2 Hình 4. 2. 4. S ử d ụng bi ến đổ i Laplace để gi ải m ột ph ươ ng trình vi phân th ỏa mãn điều ki ện ban đầ u. Ví d 1. Gi ải ph ươ ng trình a) x′′− x ′ −6 x = 0 v ới điều ki ện x(0) = 2, x ′( 0) = − 1 • Ta có: L {x′( t)} = sX( s ) − 2 • L {xt′′()} = sXx2 () − sx()()0 − x ′ 0 =sXs2 () −2 s + 1 • Thay vào ph ươ ng trình đã cho có PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn (sXs2 () −+−21 s) ( sXs() −− 26) Xs() = 0 ⇔(s2 −− s6) Xs() −+= 230 s 23s− 23 s − 3171 • X() s = = =+ .. . s2 − s − 6 (ss−+ 3)( 2) 5 s − 35 s + 2 − 1 3 7 − • Do L 1 = eat nên có xt( ) = e3t + e 2 t {s− a } 5 5 là nghi ệm c ủa bài toán giá tr ị ban đầ u. Ví d 2. Gi ải bài toán giá tr ị ban đầ u a) xx′′+=4 sin3, tx( 0) == x ′ ( 0) 0 Bài toán này g ắn li ền v ới quá trình chuy ển độ ng c ủa m ột h ệ v ật – lò xo v ới tác độ ng c ủa lực bên ngoài) Hình 4. 2. 2 . H ệ v ật – lò xo th ỏa mãn bài toán điều ki ện đầ u trong Ví d ụ 2. Điều ki ện đầ u c ủa v ật là v ị trí cân b ằng c ủa nó. • Từ điều ki ện ban đầ u có: L {xt′′()} = sXs2()()()() − sx0 − x ′ 0 = sXs 2 3 • T ừ b ảng 4.1.2 có L {}sin3 t = . s2+ 3 2 3 • Thay vào ta có sXs2 ()()+4 Xs = s2 + 9 3 As+ B Cs + D ⇔X() s = = + (s2+ 9)( s 2 + 4) (s2+ 4) ( s 2 + 9) 3 3 • Đồng nh ất ta có AC==0, B = , D =− , do đó 5 5 3 2 13 X() s =. − . 10s2+4 5 s 2 + 9 2 3 3 1 • Do L{}sin2t= , L {} sin3 t = nên ta có xt()= sin2 t − sin3 t . s2+4 s 2 + 3 2 10 5 4 b) xxx′′+=9 0,( 0) = 3, x ′ ( 0) = 4 ( xt() =3cos3 t + sin3 t ) 3 1 c) xx′′++=8 ′ 15 xx 0,( 0) = 2, x ′ ( 0) =− 3 ( xt() =()7 e−3t − 3 e − 5 t ) 2 1 d) xx′′+=4 cos, tx( 0) = 0, x ′ ( 0) = 0 ( xt() =()cos t − cos2 t ) 3 1 e) xx′′+=9 1, x( 0) = 0, x ′ ( 0) = 0 ( x() t=()1 − cos3 t ) 9 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Nh n xét. Nh ư v ậy ph ươ ng pháp bi ến đổi Laplace cho l ời gi ải tr ực ti ếp tìm nghi ệm c ủa bài toán giá tr ị ban đầ u mà không c ần phân bi ệt đó là ph ươ ng trình vi phân thu ần nh ất hay là không thu ần nh ất. 4. H ph ơ ng trình vi phân tuy n tính • Phép bi ến đổ i Laplace có kh ả n ăng bi ến đổ i h ệ ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính thành một h ệ ph ươ ng trình đại s ố tuy ến tính 2x′′ = − 6 x + 2, y Ví d 3. a) Gi ải h ệ ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính  yxy′′ =2 − 2 + 40sin3 t với điều ki ện ban đầ u x(0) = x′( 0) = y( 0) = y ′ ( 00) = • Đây là bài toán giá tr ị ban đầ u xác định hàm d ịch chuy ển x( t ) và y( t ) c ủa h ệ hai v ật th ể được ch ỉ ra trong Hình 4.2.5, gi ả s ử r ằng l ực f( t) = 40sin3 t là tác động b ất ng ờ t ới vật th ể th ứ hai t ại th ời điểm t = 0 khi c ả hai v ật th ể đang ở tr ạng thái t ĩnh t ại v ị trí cân bằng c ủa chúng. Hình 4. 2. 5. H ệ v ật th ể th ỏa mãn điều ki ện đầ u trong Ví d ụ 3. Cả hai v ật th ể đang ở v ị trí cân b ằng. • T ừ điều ki ện ban đầ u có L {xt′′()} = sXs2()()()() − sx0 −= x ′ 0 sXs 2 • T ươ ng t ự L {y′′ () t} = sYs2 () 3 • Do L {}sin3 t = , thay vào h ệ ph ươ ng trình có h ệ ph ươ ng trình sau: s2 + 9 2sXs2 ()= − 6()2() Xs + Ys (s2 + 3)() Xs − Ys () = 0   ⇔  2 120  2 120 sYs()= 2 Xs () − 2() Ys + −2()Xs ++ ( s 2)() Ys =  s2 + 9  s2 + 9 (s2 + 3) − 1 • ∆ = =(s2 + 1)( s 2 + 4) −2 (s2 + 2) 0− 1 s2 + 3 0 120 120(s2 + 3 ) ∆ = 120 = ; ∆ = = 1 s2 + 2 2 2 120 2 2 s + 9 −2 s + 9 s + 9 s2 + 9 120 5 8 3 • Do đó X() s = = − + (s2+ 4)( s 2 + 9)( s 2 + 1) s2+1 s 2 + 4 s 2 + 9 • Do đó xt( ) =5sin t − 4sin2 t + sin3 t 120(s2 + 3) 10 8 18 • T ươ ng t ự có Y() s = = + − (s2+ 4)( s 2 + 9)( s 2 + 1) (s2+ 1) s 2 + 4 s 2 + 9 • nên có yt( ) =10sin t + 4sin2 t − 6sin3 t PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Hình 4. 2. 6. Các hàm định v ị x( t ) và y( t ) trong Ví d ụ 3 a). x′+2 yx ′ += 0, x ( 0) = 0 b)  xyy′−+= ′ 0, y () 0 = 1 Tác động toán t ử Laplace, s ử d ụng điều ki ện ban đầ u có sXs()()+2[ sYs −+ 1] Xs() = 0 (s+1) Xs( ) + 2 sYs( ) = 2  ⇔   sXs()()−[] sYs −+1 Ys() = 0 sX()()() s+−1 s Y s =− 1 Gi ải h ệ 2 ph ươ ng trình tuy ến tính c ấp 1 ta có 2 2 1/3 2 t  +) X() s = − = . = − sinh 2 2 L   3s − 1 − 3 s2 − ()1/ 3 3 3  3s+ 1 s + 1/3 s 1 1/3 Y() s = = = + . 2 2 2 2 3s− 1 s − 1/3 s2 − ()1/ 3 3 s2 − ()1/ 3 t 1  t  =Lcosh  + L  sinh  3  3  3  2 t t1 t +) x() t = − sinh , y() t =cosh + sinh 3 3 3 3 3 x′ = x + 2 y 2 1 () =()2ttt −−−−() =() 2 ttt −+ −− c)  − ( xt e e3 te , yt e e 6 te ) yxex′ =+t ,()() 00 == y 0 9 9 x′′ ++=2 xy 4 0,0 x( ) = y ( 00) = 1 1 d)  ( xt() =−()()2 t 3sin2, tyt =−+() 2 t 3sin2 t yxy′′++=2 0, x ′()() 0 = y ′ 0 =− 1 4 8 5. Nh ng k thu t bi n i b sung 1 Ví d 4. Ch ứng minh r ằng L {}te at = . (s− a ) 2 • Đặt f() t= te at thì có f()()0= 0, ft′ = eat + ate at . Do đó có L{eat+= ate at } L{ ft′()} = s LL{ ft()} = s{ te at } • Do phép bi ến đổ i tuy ến tính nên có: L{eat} + a L{ te at} = s L { te at } L {eat } 1 1 • Do đó L {}te at = = (Do L {}eat = ) s− a ()s− a 2 s− a Ví d 5. Tìm L {tsin kt } Đặt f( t) = tsin kt thì có f(0) ==+ 0, ft′( ) sin ktkt cos, ktf ′ ( 0) = 0 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn • f′′ () t=2 k cos kt − k2 t sin kt s • M ặt khác L{ft′′ ()} = s2 L { ft()}, L {}cos kt = nên có s2+ k 2 2ks −k2L{}{} tsin kt = s 2 L t sin kt s2+ k 2 2ks • Do đó L {}tsin kt = (s2+ k 2 ) 2 nh lí 2. Phép bi n i c a tích phân Nếu f( t ) liên t ục t ừng khúc v ới t ≥ 0 và là b ậc m ũ khi t → +∞ thì t    1 F() s Lfd(τ ) τ  = L {} ft() = v ới s> c ∫ s s 0  t t − F( s ) − hay là: L 1 = f()τ d τ = L 1{}F()τ d τ { s } ∫ ∫ 0 0 t Ch
ng minh. +) f liên t ục t ừng khúc ⇒ gt()()= ∫ fτ d τ liên t ục, tr ơn t ừng khúc v ới 0 t t M M t ≥ 0 và có gt() ≤ f()τ d τ ≤ Medcτ τ =()ect −1 < e ct ∫ ∫ C C 0 0 ⇒ g( t ) là hàm b ậc m ũ khi t → ∞ +) S ử d ụng đị nh lí 1 ta có L{ft( )} = L{ gt′( )} = sgt L { ( )} − g (0) t    1 +) Do g (0) = 0 nên ta có Lfd()()τ τ  = L{} gt = L {} ft() ∫ s 0  1 Ví d 6. Tìm ngh ịch đả o c ủa phép bi ến đổ i Laplace c ủa G( s ) = s2( s− a ) 1    t t −11  − 1 −  −1 1 aτ 1 at • Ta có L  = L s a = L dτ =e dτ =() e − 1 ssa(− )   s  ∫ {s− a } ∫ a 0 0 1    t −11  − 1 s() s− a  −1 1  • T ừ đó và ti ếp t ục có L  = L   = L   dτ s2( s− a ) s  ∫ s() s− a    0 t t 1 aτ 1 1aτ   1 at =()e − 1 d τ =e −=τ   ( eat −− 1) . ∫ a a a   a2 0 0 HHHAHAAAVVVVEEEE AAA GGGOGOOOOODDDD UUUNUNNNDDDDEEEERRRRSSSSTTTTAAAANNNNDDDDIIIINNNNGGGG!!!!