Bài tập giải tích 12 - Nguyên hàm tích phân

nh). Chẳng hạn: 1 ( )( ) A B x a x b x a x b = + - - - - 2 2 2 1 , 4 0 ( )( ) A Bx C với b ac x mx m ax bx c ax bx c + = + = - < -- + + + + D 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) A B C D x a x bx a x b x a x b = + + + - -- - - - 2. f(x) là hàm vô tỉ + f(x) = , m ax bR x cx d ỉ ư+ ç ÷ +è ø ® đặt m ax bt cx d + = + + f(x) = 1 ( )( ) R x a x b ỉ ư ç ÷ç ÷+ +è ø ® đặt t x a x b= + + + Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân Trang 83 · f(x) là hàm lượng giác Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn: + [ ]sin ( ) ( )1 1 . sin( ).sin( ) sin( ) sin( ).sin( ) x a x b x a x b a b x a x b + - + = + + - + + , sin( )1 sin( ) a bsử dụng a b ỉ ư- =ç ÷-è ø + [ ]sin ( ) ( )1 1 . cos( ).cos( ) sin( ) cos( ).cos( ) x a x b x a x b a b x a x b + - + = + + - + + , sin( )1 sin( ) a bsử dụng a b ỉ ư- =ç ÷-è ø + [ ]cos ( ) ( )1 1 . sin( ).cos( ) cos( ) sin( ).cos( ) x a x b x a x b a b x a x b + - + = + + - + + , cos( )1 cos( ) a bsử dụng a b ỉ ư- =ç ÷-è ø + Nếu ( sin ,cos ) (sin ,cos )R x x R x x- = - thì đặt t = cosx + Nếu (sin , cos ) (sin ,cos )R x x R x x- = - thì đặt t = sinx + Nếu ( sin , cos ) (sin ,cos )R x x R x x- - = - thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) Bài 1. Tính các nguyên hàm sau: a) ( 1) dx x x +ị b) ( 1)(2 3) dx x x+ -ị c) 2 2 1 1 x dx x + - ị d) 2 7 10 dx x x- + ị e) 2 6 9 dx x x- + ị f) 2 4 dx x - ị g) ( 1)(2 1) x dx x x+ +ị h) 22 3 2 x dx x x- - ị i) 3 2 3 2 x dx x x- + ị k) 2( 1) dx x x + ị l) 31 dx x+ ị m) 3 1 x dx x - ị Bài 2. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 1 1 dx x+ + ị b) 1 2 x dx x x + - ị c) 3 1 1 1 dx x+ + ị d) 4 1 dx x x+ ị e) 3 x dx x x- ị f) ( 1) x dx x x +ị g) 3 42 dx x x x+ + ị h) 1 1 x dx x x - +ị i) 3 1 1 x dx x x - +ị k) 23 (2 1) 2 1 dx x x+ - + ị l) 2 5 6 dx x x- + ị m) 2 6 8 dx x x+ + ị Bài 3. Tính các nguyên hàm sau: a) sin 2 sin 5x xdxị b) cos sin3x xdxị c) 2 4(tan tan )x x dx+ị d) cos2 1 sin cos x dx x x+ị e) 2sin 1 dx x +ị f) cos dx xị g) 1 sin cos xdx x - ị h) 3sin cos xdx xị i) cos cos 4 dx x x ỉ ư +ç ÷ è ø ị p k) cos cos2 cos3x x xdxị l) 3cos xdxị m) 4sin xdxị Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 84 1. Khái niệm tích phân · Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Ỵ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ( ) b a f x dxị . ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a= -ị · Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) b b b a a a f x dx f t dt f u du F b F a= = = = -ị ị ị · Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: ( ) b a S f x dx= ị 2. Tính chất của tích phân · 0 0 ( ) 0f x dx =ị · ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= -ị ị · ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx=ị ị (k: const) · [ ]( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx± = ±ị ị ị · ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx= +ị ị ị · Nếu f(x) ³ 0 trên [a; b] thì ( ) 0 b a f x dx ³ị · Nếu f(x) ³ g(x) trên [a; b] thì ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx³ị ị 3. Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số [ ] ( ) ( ) ( ) . '( ) ( ) u bb a u a f u x u x dx f u du=ị ị trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b Ỵ K. b) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b Ỵ K thì: b bb a a a udv uv vdu= -ị ị CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II. TÍCH PHÂN Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân Trang 85 Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. – Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho b a vduị dễ tính hơn b a udvị . VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a= -ị Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm. – Nắm vững phép tính vi phân. Bài 1. Tính các tích phân sau: a) ị ++ 2 1 3 )12( dxxx b) ị +++ 2 1 132 )3( dxe x x x c) ị -2 1 2 1 dx x x d) 2 2 1 2 x dx x- + ị e) ( ) ị - - +1 2 2 24 4 dx x x f) 2 2 1 1 1( ) e x x dx x x + + +ị g) 2 1 ( 1)( 1)x x x dx+ - +ị h) 2 2 3 1 ( )x x x x dx+ +ị i) ( )ị -+ 4 1 43 42 dxxxx k) 2 2 3 1 2x x dx x - ị l) 2 1 2 5 7e x xdx x + - ị m) 8 3 21 14 3 x dx x ỉ ư ç ÷- ç ÷ è ø ị Bài 2. Tính các tích phân sau: a) 2 1 1x dx+ị b) 5 2 dx x 2 2x+ + - ị c) 2 2 3 1 ( )x x x x dx+ +ị d) 2 0 21 xdx dx x- ị e) 22 0 3 3 3 1 x dx x+ ị f) 4 2 0 9x x dx+ị Bài 3. Tính các tích phân sau: a) ị + p p 0 ) 6 2sin( dxx b) 2 3 (2sin 3 )x cosx x dx+ +ị p p c) ( ) 6 0 sin3 cos2x x dx p +ị d) 4 2 0 tan . cos x dx x ị p e) 3 2 4 3tan x dxị p p f) 4 2 6 (2 cot 5)x dx+ị p p Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 86 g) 2 0 1 sin dx x+ị p h) 2 0 1 cos 1 cos x dx x - +ị p i) 2 2 2 0 sin .cosx xdxị p k) 3 2 6 (tan cot )x x dx - -ị p p l) 2 2 sin( ) 4 sin( ) 4 x dx x- - + ị p p p p m) 4 4 0 cos x dxị p Bài 4. Tính các tích phân sau: a) 1 0 dx x x x x e e e e - - - + ị b) 2 2 1 ( 1). ln x dx x x x + + ị c) 21 0 4 2 x x e dx e - + ị d) ln2 0 1 x x e dx e + ị e) 2 1 (1 ) x x ee dx x - -ị f) 1 0 2 x x e dxị g) cos2 0 sinxe xdxị p h) 4 1 xe dx x ị i) 1 1 lne x dx x + ị k) 1 lne x dx xị l) 21 0 xxe dxị m) 1 0 1 1 x dx e+ ị VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số Dạng 1: Giả sử ta cần tính ( ) b a g x dxị . Nếu viết được g(x) dưới dạng: [ ]( ) ( ) . '( )g x f u x u x= thì ( ) ( ) ( ) ( ) u bb a u a g x dx f u du=ị ị Dạng 2: Giả sử ta cần tính ( )f x dxị b a . Đặt x = x(t) (t Ỵ K) và a, b Ỵ K thoả mãn a = x(a), b = x(b) thì [ ]( ) ( ) '( ) ( ) b b a a f x dx f x t x t dt g t dt= =ị ị ị b a [ ]( )( ) ( ) . '( )g t f x t x t= Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến 2 2a x- sin , 2 2 x a t t= - £ £p p hoặc cos , 0x a t t= £ £ p 2 2a x+ tan , 2 2 x a t t= - < <p p hoặc cot , 0x a t t= < < p 2 2x a- { }, ; \ 0 sin 2 2 ax t t é ù = Ỵ -ê úë û p p hoặc [ ], 0; \ cos 2 ax t t ì ü = Ỵ í ý ỵ þ p p Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân Trang 87 Bài 1. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1): a) ị - 1 0 19)1( dxxx b) ị + 1 0 32 3 )1( x x c) ị + 1 0 2 5 1 dx x x d) ị + 1 0 12x xdx e) 1 2 0 1x x dx-ị f) 1 3 2 0 1x x dx-ị g) ị + 32 5 2 4xx dx h) ị + +3 0 2 35 1 2 dx x xx i) ln2 0 1 x x e dx e+ ị k) ( ) ln3 30 1 x x e dx e + ị l) ị +e x dxx 1 2 ln2 m) ị +e dx x xx 1 lnln31 n) ị + 2 0 22 sin4cos 2sin p dx xx x o) ị + 2 0 2 3 sin1 sin.cos p dx x xx p) ị + 6 0 22 cossin2 2sin p dx xx x Bài 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2): a) ị - 2 1 0 21 x dx b) ị - 1 0 2 2 4 x dxx c) ị - 2 1 22 4 dxxx d) ị + 3 0 2 3x dx e) ị ++ 1 0 22 )2)(1( xx dx f) ị ++ 1 0 24 1xx xdx g) 0 21 2 2 dx x x- + + ị h) ị -2 1 3 2 1 dx x x i) ( )ị + 1 0 521 x dx k) 2 3 22 1 dx x x - ị l) 2 22 20 1 x dx x- ị m) 2 2 0 2x x x dx-ị VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: Bài 1. Tính các tích phân sau: a) ị 4 0 2sin p xdxx b) ị + 2 0 2 cos)sin( p xdxxx c) ị p2 0 2 cos xdxx d) 2 4 0 cosx x dx p ị e) 3 2 4 tanx xdxị p p f) ị - 1 0 2)2( dxex x ( ). b x a P x e dxị ( ).cos b a P x xdxị ( ).sin b a P x xdxị ( ). n b a P x l xdxị u P(x) P(x) P(x) lnx dv xe dx cos xdx sin xdx P(x) Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 88 g) dxxe xị 2ln 0 h) dxxx e ị 1 ln i) ị - 3 2 2 )ln( dxxx k) ị 2 0 3 5sin p xdxe x l) ị 2 0 cos 2sin p xdxe x m) ị e xdx 1 3ln o) dxxx e ị 1 23 ln p) ị e e dx x x 1 2 ln q) dxxex x )1( 0 1 32ị - ++ VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ. Bài 1. Tính các tích phân sau: a) ị - 2 0 2 dxx b) ị - 2 0 2 dxxx c) dxxxị -+ 2 0 2 32 d) 3 2 3 1x dx - -ị e) 5 2 ( 2 2 )x x dx - + - -ị f) 3 0 2 4x dx-ị g) 4 2 1 6 9x x dx- +ị h) ị +- 3 0 23 44 dxxxx i) 1 1 4 x dx - -ị Bài 2. Tính các tích phân sau: a) ị - p2 0 2cos1 dxx b) 0 1 sin 2 .x dx p -ị c) 2 2 sin x dx - ị p p d) 1 sin xdx - -ị p p e) 2 0 1 cos xdx+ị p f) 0 1 cos2xdx+ị p g) 3 2 2 6 tan cot 2x x dx+ -ị p p h) 3 3 2 cos cos cosx x xdx - -ị p p i) 2 0 1 sin xdx+ị p VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ. Bài 1. Tính các tích phân sau: a) ị + 3 1 3xx dx b) ị +- 1 0 2 65xx dx c) ị ++ 3 0 2 3 12xx dxx d) ( )ị + 1 0 321 dx x x e) ( )ị - 3 2 9 2 1 x dxx f) ị + 4 1 2 )1( xx dx g) ị - 4 2 )1(xx dx h) ( )ị ++ +1 0 2 65 114 xx dxx i) 1 3 0 1 1 x x dx x + + +ị Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân Trang 89 k) 0 3 2 2 1 2 6 9 9 3 2 x x x dx x x- - + + - + ị l) 3 2 3 2 3 3 3 3 2 x x dx x x + + - + ị m) 1 2 3 0 (3 1) x dx x + ị Bài 2. Tính các tích phân sau: a) ị +- 2 0 2 22xx dx b) ( )ị + +3 0 2 2 1 23 dx x x c) ị + +++2 0 2 23 4 942 dx x xxx d) 1 2 2 0 1 ( 2) ( 3) dx x x+ + ị e) 1 3 2 0 1 1 x x dx x + + + ị f) 1 4 0 1 x dx x+ ị g) 2 4 1 1 (1 ) dx x x+ ị h) 2 2008 2008 1 1 (1 ) x dx x x - + ị i) 3 4 2 2 2 ( 1) x dx x - ị k) 2 2 0 1 4 dx x+ ị l) 2 2 4 1 1 1 x dx x - + ị m) 1 4 2 0 2 1 x dx x - + ị VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ. Bài 1. Tính các tích phân sau: a) ị + 22 0 2 1dxxx b) ị ++ 1 0 2 3 1 dx xx x c) ị ++ 1 0 1 xx dx d) ị -+ 2 1 11 dx x x e) 6 2 2 1 4 1 dx x x+ + + ị f) ị + 2 0 5 4 1 dx x x g) 10 5 2 1 dx x x- - ị h) ị + 1 0 23 1dxxx i) ị ++ -1 0 132 34 dx x x k) ị + +3 7 0 3 13 1 dx x x l) 2 3 2 5 4 dx x x + ị m) 3 5 3 20 1 x x dx x + + ị n) 2 2 0 1 1 x dx x + -ị o) 2 3 2 2 1 dx x x - ị p) 2 31 1 dx x x + ị Bài 2. Tính các tích phân sau: a) 1 2 2 0 1x x dx+ị b) 3 2 2 21 1 1 x dx x x + + ị c) 1 2 30 (1 ) dx x+ ị d) 2 2 1 2008x dx+ị e) 3 3 2 0 10x x dx-ị f) 1 2 0 1 x dx+ị g) 1 211 1 dx x x- + + + ị h) 2 21 2008 dx x + ị i) 1 3 20 1 x dx x x+ + ị k) 2 2 2 30 (1 ) dx x- ị l) 2 22 20 1 x dx x- ị m) 5 4 2 1 12 4 8x x dx- -ị Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 90 Bài 3. Tính các tích phân sau: a) 2 0 cos 7 cos2 xdx x+ ị p b) 2 2 0 sin cos cosx x xdx-ị p c) 2 20 cos 2 cos xdx x+ ị p d) 2 6 3 5 0 1 cos sin cosx x xdx-ị p e) 2 0 sin 2 sin 1 3cos x x dx x + + ị p f) 3 0 cos 2 cos2 xdx x+ ị p g) 2 20 cos 1 cos xdx x+ ị p h) 3 2 4 cos 1 cos tgx dx x x p p + ị i) 2 0 sin 2 sin 1 3cos x x dx x p + + ị Bài 4. Tính các tích phân sau: a) ln3 0 1x dx e + ị b) ln2 2 0 1 x x e dx e + ị c) 1 1 3ln lne x x dx x + ị d) ln3 2 ln2 ln ln 1 x dx x x + ị e) 0 2 3 1 ( 1)xx e x dx - + +ị f) ln2 30 ( 1) x x e dx e + ị g) ln3 0 ( 1) 1 x x x e dx e e+ - ị h) 1 0 x x x e dx e e-+ ị i) ln2 0 1xe dx-ị VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác. Bài 1. Tính các tích phân sau: a) ị 4 0 cos.2sin p xdxx b) ị 4 0 tan p xdx c) ị + 2 0 cos31 sin p dx x x d) ị 2 0 3sin p xdx e) dxxị p 0 2sin f) ị p 0 2 3cos x g) 2 2 4 0 sin cosx xdxị p h) ị 2 0 32 cossin p xdxx i) 2 4 5 0 sin cosx xdxị p k) 2 3 3 0 (sin cos )x x dx+ị p l) 32 0 cos cos 1 x dx x p +ị m) ị + 2 0 cos1 cos2sin p dx x xx n) 4 3 0 tan xdxị p o) 3 4 4 tan xdxị p p p) 3 3 4 sin .cos dx x x p p ị q) 32 2 0 sin 1 cos x dx x+ ị p r) 32 0 cos 1 cos x dx x+ị p s) /3 4 /6 sin .cos dx x x ị p p Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân Trang 91 Bài 2. Tính các tích phân sau: a) ị - 2 0 53 cossincos1 p xdxxx b) ị + ++2 6 cossin 2cos2sin1 p p dx xx xx c) dx xx x ị + 3 4 2cos1cos tan p p d) 2 4 4 0 cos2 (sin cos )x x x dx+ị p e) ị +40 sin )cos(tan p dxxex x f) ( ) dxxxị + 2 0 32 2sinsin1 p g) 3 0 sin .ln(cos )x x dx p ị h) 34 2 2 5 0 sin (tan 1) .cos x dx x x p + ị i) 3 2 2 3 1 sin 9 cos dx x x p p - + ị Bài 3. Tính các tích phân sau: a) 2 3 1 sin dx xị p p b) 2 0 2 cos dx x-ị p c) 2 0 1 2 sin dx x+ị p d) 2 0 cos 1 cos x dx x+ị p e) 2 0 cos 2 cos x dx x-ị p f) 2 0 sin 2 sin x dx x+ị p g) 2 0 1 sin cos 1 dx x x+ +ị p h) 2 2 sin cos 1 sin 2 cos 3 x x dx x x - - + + +ị p p i) 4 0 cos cos( ) 4 dx x x + ị p p k) 2 2 0 (1 sin )cos (1 sin )(2 cos ) x x dx x x - + - ị p l) 3 4 sin cos( ) 4 dx x x + ị p p p m) 3 6 sin sin( ) 6 dx x x + ị p p p Bài 4. Tính các tích phân sau: a) ị - 2 0 cos)12( p xdxx b) ị + 4 0 2cos1 p x xdx c) ị 3 0 2cos p dx x x d) 2 3 0 sin xdxị p e) 2 2 0 cosx xdxị p f) 2 2 1 0 sin 2 . xx e dx+ị p g) 2 1 cos(ln )x dxị h) 3 2 6 ln(sin ) cos x dx x ị p p i) 2 2 0 (2 1)cosx xdx-ị p k) 2 2 0 sinxe xdxị p l) 4 2 0 tanx xdxị p m) 2 0 sin cosx x xdxị p n) 22 sin 3 0 sin cosxe x xdxị p o) 4 0 ln(1 tan )x dx+ị p p) ị 4 0 4cos p x dx Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 92 VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. Bài 1. Tính các tích phân sau: a) ị + 1 0 1 x x e dxe b) ị + 2ln 0 5 xe dx c) 1 0 1 4x dx e + ị d) ị + 8ln 3ln 1 dx e e x x e) ị + 8ln 3ln 2.1 dxee xx f) ị + -2ln 0 1 1 dx e e x x g) 2 1 1 1 x dx e-- ị h) 2 2 0 1 x x e dx e + ị i) 1 0 1 x x e dx e - - + ị k) 2 1 ln (ln 1) e x dx x x + ị l) 1 2 0 1 x x e dx e - - + ị m) ln3 0 1 1x dx e + ị Bài 2. Tính các tích phân sau: a) ị 2 0 sin p xdxe x b) ị 2 0 2 dxxe x c) ị - 1 0 dxxe x d) ị + 2 0 cos)cos( p xdxxe x e) ( )ị + 1 0 1ln dxxx f) 2 1 1 lne x dx x + ị g) 2 ln ln(ln )e e x x dx x + ị h) ị ÷÷ ø ư çç è ỉ + + e dxx xx x 1 2ln 1ln ln i) 3 2 ln(ln )e e x dx xị k) 2 2 1 ln xdx x ị l) 3 2 6 ln(sin ) cos x dx x ị p p m) 1 0 ln( 1) 1 x dx x + + ị VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ · Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì ( ) 0 a a f x dx - =ị · Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì 0 ( ) 2 ( ) a a a f x dx f x dx - =ị ị Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau: Bước 1: Phân tích 0 0 ( ) ( ) ( ) a a a a I f x dx f x dx f x dx - - = = +ị ị ị 0 0 ( ) ; ( ) a a J f x dx K f x dx - ỉ ư ç ÷= =ç ÷ è ø ị ị Bước 2: Tính tích phân 0 ( ) a J f x dx - = ị bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x. – Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K Þ I = J + K = 0 Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân Trang 93 – Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K Þ I = J + K = 2K Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì: 0 ( ) ( ) 1x f x dx f x dx a- = + ị ị a a a (với a Ỵ R+ và a > 0) Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên. 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 1x x x f x f x f xI dx dx dx a a a- - = = + + + + ị ị ị a a a a 0 0 ( ) ( ); 1 1x x f x f xJ dx K dx a a- ỉ ư ç ÷= =ç ÷+ +è ø ị ị a a Để tính J ta cũng đặt: t = –x. Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên 0; 2 é ù ê úë û p thì 2 2 0 0 (sin ) (cos )f x dx f x dx=ị ị p p Để chứng minh tính chất này ta đặt: 2 t x= -p Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và ( ) ( )f a b x f x+ - = hoặc ( ) ( )f a b x f x+ - = - thì đặt: t = a + b – x Đặc biệt, nếu a + b = p thì đặt t = p – x nếu a + b = 2p thì đặt t = 2p – x Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Ta thực hiện các bước như sau: Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là: 1 2 ( ) ( ) ( ) (*) ( ) ( ) ( ) F x G x A x C F x G x B x C ì + = + í - = +ỵ Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra [ ]1( ) ( ) ( ) 2 F x A x B x C= + + là nguyên hàm của f(x). Bài 1. Tính các tích phân sau (dạng 1): a) 7 5 34 4 4 1 cos x x x x dx x - - + - + ị p p b) 2 2 2 cos ln( 1 )x x x dx - + +ị p p c) 1 2 1 2 1cos . ln 1 xx dx x - ỉ ư- ç ÷ +è øị d) ( ) 1 2 1 ln 1x x dx - + +ị e) 1 4 2 1 1 x dx x x- - + ị f) 1 4 2 1 sin 1 x xdx x- + + ị g) 52 2 sin 1 cos x dx x - + ị p p h) 2 2 2 4 sin xdx x p p - - ị i) 2 2 2 cos 4 sin x x dx x p p - + - ị Bài 2. Tính các tích phân sau (dạng 2): a) 1 4 1 2 1 x x dx - + ị b) 1 2 1 1 1 2x x dx - - + ị c) 1 2 1 ( 1)( 1) x dx e x- + + ị Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 94 d) 2sin 3 1x xdx - + ị p p e) ị - + +3 3 2 21 1 dxx x f) 1 2 1 (4 1)( 1) x dx x- + + ị g) 2 2 sin sin 3 cos5 1 x x x x dx e - + ị p p h) 6 64 4 sin cos 6 1x x xdx - + + ị p p i) 2 22 2 sin 1 2x x xdx - + ị p p Bài 3. Tính các tích phân sau (dạng 3): a) 2 0 cos cos sin n n n x dx x x+ ị p (n Ỵ N*) b) 72 7 7 0 sin sin cos x dx x x+ ị p c) 2 0 sin sin cos x dx x x+ ị p d) 20092 2009 2009 0 sin sin cos x dx x x+ ị p e) 42 4 4 0 cos cos sin x dx x x p + ị f) 42 4 4 0 sin cos sin x dx x x p + ị Bài 4. Tính các tích phân sau (dạng 4): a) 2 0 .sin 4 cos x x dx x- ị p b) 2 0 cos 4 sin x x dx x + - ị p c) 2 0 1 sinln 1 cos x dx x ỉ ư+ ç ÷ +è øị p d) 4 0 ln(1 tan )x dx+ị p e) 2 3 0 .cosx xdxị p f) 3 0 .sinx xdxị p g) 0 1 sin x dx x+ị p h) 0 sin 2 cos x x dx x+ị p i) 2 0 sin 1 cos x x dx x+ ị p k) 4 0 sin 4 ln(1 tan )x x dx+ị p l) 2 0 sin 9 4 cos x x dx x+ ị p m) 4 0 sin cosx x xdxị p Bài 5. Tính các tích phân sau (dạng 5): a) 2 0 sin sin cos x dx x x-ị p b) 2 0 cos sin cos x dx x x-ị p c) 2 0 sin sin cos x dx x x+ị p d) 2 0 cos sin cos x dx x x+ị p e) 42 4 4 0 sin sin cos x dx x x+ ị p f) 42 4 4 0 cos sin cos x dx x x+ ị p g) 62 6 6 0 sin sin cos x dx x x+ ị p h) 62 6 6 0 cos sin cos x dx x x+ ị p i) 2 2 0 2sin .sin 2x xdxị p k) 2 2 0 2 cos .sin 2x xdxị p l) 1 1 x x x e dx e e-- - ị m) 1 1 x x x e dx e e - - - - ị n) 1 1 x x x e dx e e-- + ị o) 1 1 x x x e dx e e - - - + ị Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân Trang 95 VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi Giả sử cần tính tích phân ( , ) b n a I f x n dx= ị (n Ỵ N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta thường gặp một số yêu cầu sau: · Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn In theo các In-k (1 £ k £ n). · Chứng minh một công thức truy hồi cho trước. · Tính một giá trị 0n I cụ thể nào đó. Bài 1. Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau: a) 2 0 sinnnI xdx= ị p · Đặt 1sin sin . nu x dv x dx -ì =í =ỵ b) 2 0 cosnnI xdx= ị p · Đặt 1cos cos . nu x dv x dx -ì =í =ỵ c) 4 0 tannnI xdx= ị p · Phân tích: ( )2 2 2tan tan tan 1 tann n nx x x x- -= + - d) 2 0 cos .nnI x x dx= ị p · Đặt cos . nu x dv x dx ì =í =ỵ 2 0 sin .nnJ x x dx= ị p · Đặt sin . nu x dv x dx ì =í =ỵ e) 1 0 n x nI x e dxị · Đặt . n x u x dv e dx ìï = í =ïỵ f) 1 ln . e n nI x dx= ị · Đặt ln nu x dv dx ì =í =ỵ g) 1 2 0 (1 )nnI x dx= -ị · Đặt cosx t= ® Đặt 2sin sin . nu t dv t dt ì =í =ỵ h) 1 2 0 (1 ) n n dxI x = + ị · Phân tích 2 2 2 2 2 1 1 (1 ) (1 ) (1 )n n n x x x x x + = - + + + Tính 1 2 2 0 (1 ) n n xJ dx x = + ị . Đặt 2(1 )n u x xdv dx x ì = ï í =ï +ỵ i) 1 0 1 .nnI x x dx= -ị · Đặt 1 . nu x dv x dx ìï = í = -ïỵ k) 4 0 cos n n dxI dx x = ị p · Phân tích 1 1 cos cos cosn n x x x+ = ® Đặt 1 1 cosn t x+ = Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 96 1. Diện tích hình phẳng · Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Trục hoành. – Hai đường thẳng x = a, x = b. là: ( ) b a S f x dx= ị (1) · Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Hai đường thẳng x = a, x = b. là: ( ) ( ) b a S f x g x dx= -ị (2) Chú ý: · Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx=ị ị · Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d). Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: ( ) ( ) ( ) ( ) b c d b a a c d f x dx f x dx f x dx f x dx= + +ị ị ị ị = ( ) ( ) ( ) c d b a c d f x dx f x dx f x dx+ +ị ị ị (vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) · Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d. ( ) ( ) d c S g y h y dy= -ị 2. Thể tích vật thể · Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b. S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a £ x £ b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Thể tích của B là: ( ) b a V S x dx= ị · Thể tích của khối tròn xoay: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân Trang 97 (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh trục Ox: 2 ( ) b a V f x dx= ị