Đề tài Kỹ thuật Wavelet trong ADSL

N-1* 1 kí tự của N mẫu số thực trị N/2 kí tự con (1 kí tự con cho mỗi sóng mang) c0 Hình 4.5 N-điểm IFFT Sơ đồ trên cho thấy một phương pháp hữu hiệu để thực hiện phép biến điệu MCM bằng cách dùng IFFT để chuyển mảng { } của kênh con đầu vào thành một mảng miền thời gian thực của IFFT ở đầu ra, nghĩa là trong dạng ma trận )(ncm [ ] [ knW ]=kx . [ ]nc , (4.4) ở đây ma trận biến đổi IDFT [ ] = [nkw , nkNje )/2( π ]. Tại bộ nhận, toán tử ngược được sử dụng để thi hành phép giải biến điệu để thu hồi {cn}. Lợi ích thực tế của sự dùng DFT/IDFT là các tính chất tuyến tính, phép dời vòng, đối xứng, và nhân chập vòng, tức là: { } { }[ ])(.)()(*)( nhDFTkxDFTIDFTnhkx ↔ . Cái hấp dẫn của việc dùng IFFT là, vì mối liên hệ họa âm (trực giao) giữa các sóng mang của các kênh con, sẽ không có nhiễu xuyên sóng mang (ICI). Băng tần của mỗi kênh con là băng tần hình chữ nhật của DFT, và đáp ứng kênh con có dạng sinc(k f∆ π ), vì thế không có nhiễu xuyên kí tự (ISI). Chú ý rằng tính chất này chỉ đúng 16 Kỹ thuật wavelet trong ADSL khi chiều dài hàm sinc là vô hạn. Không may là, sau khi truyền qua kênh bị phân tán thời gian (time-dispersive) và độ dài hữu hạn của biến đổi DFT/IDFT, tính trực giao giữa các kênh con bị phá huỷ và ISI và ICI lại xuất hiện. 4.3 Việc dùng tiền tố vòng (cyclic prefix) cho chuỗi kí tự Rất hữu ích nếu hiểu được ảnh hưởng của trí nhớ của kênh trên dữ liệu ra, bằng cách nghiên cứu tính chất của nhân chập thẳng so với nhân chập vòng. Cho một kênh với độ trễ D mẫu, nghĩa là h(0) tới h(D-1) là những mẫu đi trước (precursor), h(D) là đỉnh của kênh đáp ứng xung (CIR), và h(D+1) tới h(L-1) là những mẫu đuôi (tail), chúng ta chỉ số hóa đáp ứng xung bắt đầu từ h(0), và đó là mẫu đầu tiên của kênh mà dữ liệu phải gặp. Kí tự c(0) c(1) … c(D) … c(L-1) xN-1 xN-2 ……………….. x0 Kênh Tín hiệu ra từ kênh là: ∑ = −= k i iki hxky 0 )( , (4.5) hoặc dưới dạng ma trận [ )(ky ] = [ ),( kih ] [. )(( ix ], (4.6) ở đây ma trận đáp ứng kênh có kích thước là (N+L-1) x (N). Ví dụ D=3 như trong hình dưới đây. 17 Kỹ thuật wavelet trong ADSL Rõ ràng là (i) nhân chập thẳng không cho một ma trận vòng h, và (ii) D mẫu đầu tiên trong đầu ra y(k) là đáp ứng chuyển tiếp của kênh do cái phần đầu của đáp ứng xung của nó, và cuối cùng là (iii) (L-D-1) mẫu sau cùng của đáp ứng xung của kênh (CIR). Phải biết rằng chiều dài của những đáp ứng chuyển tiếp tại hai đầu cuối không phụ thuộc vào chiều dài N. Trong khoảng thời gian giữa chuyển tiếp đầu và chuyển tiếp đuôi, tín hiệu ra đang ở trong trạng thái ổn định và có thể được làm cho tuần hoàn nếu chuỗi vào x(k) là tuần hoàn. Chính những mẫu đuôi này tràn qua can thiệp với ký tự tiếp theo và gây nên ISI. Thực tế này đã gợi ý cho ta gắn phía trước một CP (cyclic prefix) có chiều dài ν mẫu để (i) ít nhất phủ hoặc bảo vệ chống lại ảnh hưởng ISI của những mẫu đuôi của đáp ứng của kí tự trước, và (ii) làm x(k) xuất hiện tuần hoàn để đầu ra của nó trong trạng thái ổn định cũng tuần hoàn, vậy cho phép ta dùng DFT và do đó tránh được ICI. Để phân tích đơn giản, sau đây chúng ta thừa nhận độ trễ kênh D=0, nghĩa là c(0) là mẫu chính của CIR. Để làm mối quan hệ nhân chập thẳng trên trở thành một ma trận vòng, thì hiển nhiên là chiều dài CP phải phủ ít nhất chiều dài đáp ứng phần đuôi, nghĩa là (L-1). Vì thế )1( −≥ Lv . ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − Ο − − − − − = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+ − )0()1()2()1(. . 000)0()1(..)1(0 0000)0()1(.)1( 00. )3(.)1(000)0()1()2( )2()3(.)1(00)0()1( )1()2()3(.)1(000)0( )2( . . )1( . . )1( )0( hhhLh hhLh hhLh hLhhhh hhLhhh hhhLhh LNy Ly y y K . ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − )1( . )( . . )1( )0( Nx vNx x x Ma trận và các véctơ trong phương trình trên đều có tính chất vòng. Vì thế có một mối quan hệ nhân chập vòng giữa hai chuỗi hữu hạn {x(k)} và {h(k)}, và mối quan hệ DFT dưới đây có giá trị. { } { } { })(.)()()(*)()( kxDFTkhDFTkyDFTkxkhky =↔= . (4.7) Chúng ta ghi nhớ rằng: DFT{y(k)}=c’(n), tín hiệu phức mà kênh con nhận được (đầu ra từ giải điều chế QAM). 18 Kỹ thuật wavelet trong ADSL DFT{x(k)}=c(n), trạng thái phức phát từ kênh con (đầu vào bộ điều chế QAM), và DFT{h(k)}=H(n) = h(0) + h(1) +h(2) +…+ h(L-1) nNje )/2( π− nNje 2)/2( π− vnNje )/2( π− Bởi vì DFT cho ra các thành phần tần số trực giao, chúng ta có c’(n) = H(n) c(n), (4.8) nghĩa là trong miền tần số, tính hiệu ra bằng tín hiệu vào nhân với một lượng vô hướng tạp H(n). Kết quả này chỉ thực sự có giá trị khi kênh thay đổi chậm theo thời gian. Chúng ta cần xây dựng một kí tự tuần hoàn s(k) từ x(k) để nhân chập thẳng của tín hiệu s(k) với đáp ứng xung của kênh c(k), trong trạng thái ổn định, được xem như nhân chập vòng. Sau đó chúng ta có thể sử dụng DFT/IDFT để có một đầu ra trực giao, vì vậy tránh được ISI và ICI. Cách thường lệ là ta chép ν mẫu cuối của một khối kí tự và biến nó thành CP như hình vẽ dưới đây. Thường thì chiều dài của phần nới dài của kí tự (N-ν) (N+L-1) hay ν L-1. ≥ ≥ Hình 4.6 Chèn tiền tố vòng Cho x(k) = {x(0),x(1),…,x(N-1)} thì S(k) = {x(N-v),x(N-v+1),…,x(N-1),x(0),x(1),…………..,x(N-1)} Lưu lượng kênh bị giảm theo tỉ số N/(N+v) vì sử dụng CP. Trong chuẩn ADSL, ν= 32 gây nên 5,9% mất mát lưu lượng kênh. Ta lấy một ví dụ về truyền hai kí tự p(k) và q(k), chiều dài của kí tự là N=4 mẫu và chiều dài của kênh truyền là L=3, vậy CP ngắn nhất phải là ν= 2 mẫu. s(k)=đầu vào {p(2),p(3),p(0),p(1),p(2),p(3),q(2),q(3),q(0),q(1),q(2),q(3)}, h(k) = {h(0),h(1),h(2)}. Như vậy nhìn từ một FIR kênh (tương đối ngắn) thì tín hiệu vào s(k) xem như là một dạng tuần hoàn của tính hiệu khởi đầu s(k) và do đó không có ISI. Vậy đầu ra của nhân châp thẳng là (chú ý rằng c0 là mẫu đáp ứng chính) CP Symbol i CP Symbol (i+1) copy copyKênh x(k)CP 19 Kỹ thuật wavelet trong ADSL y(k) = s(k)*c(k) = đầu ra | h(0)p(2), h(0)p(3)+h(1)p(2), | h(0)p(0)+h(2)p(2), h(0)p(1)+h(1)p(0)+h(2)p(3), h(0)p(2)+h(1)p(1)+h(2)p(0), h(0)p(3)+h(1)p(2)+h(2)p(1), | h(0)q(2)+h(1)p(3)+h(2)p(2), h(0)q(3)+h(1)q(2)+h(2)p(3), | h(0)q(0)+h(1)q(3)+h(2)q(2), h(0)q(1)+h(1)q(0)+h(2)q(3), h(0)q(2)+h(1)q(1)+h(2)q(0), h(0)q(3)+h(1)q(2)+h(2)q(0), | h(1)q(3)+h(2)q(2)+h(2)q(3) last out Ta thấy rằng hai mẫu ra đầu tiên là do CP của kí tự p, nghĩa là p(2) và p(3), bốn mẫu tiếp theo là đúng của kí tự p mà không bị nhiễu, sau đó là 4 mẫu không nhiễu của kí tự q, và cuối cùng là đáp ứng bởi CP của kí tự q, tức là q(2) và q(3). Tại bộ nhận, sau khi bỏ những mẫu do CP và những mẫu đuôi tận cùng, chúng ta thu được trong trạng thái ổn định, 8 mẫu đầu ra tuần hoàn theo phép nhân chập vòng. ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ )7( )6( )5( )4( )3( )2( )1( )0( )0()1()2(00000 0)0()1()2(0000 )2(0)0()1(0000 )1()2(0)0(0000 0000)0()1()2(0 00000)0()1()2( 0000)2(0)0()1( 0000)1()2(0)0( )7( )6( )5( )4( )3( )2( )1( )0( p p p p p p p p hhh hhh hhh hhh hhh hhh hhh hhh y y y y y y y y Rõ ràng là mỗi kí tự ra liên quan với kí tự vào qua ma trận kênh [Hcir]. 20 Kỹ thuật wavelet trong ADSL 4.4 Kênh ADSL và những vòng CSA Dưới đây là 9 loại vòng CSA đã được ITU-T G.902.2 ấn định để trắc nghiệm modem ADSL. ANT ALT 0 km null loopvòng # 0 Vòng # 1 Vòng # 2 1. 0.5 Vòng# 3 Vòng # 4 0.63 mm PE 0.5 km 0.5 km 0.9 mm PEVòng# 5 0.5 km 0.9 mm PEVòng# 6 0.5 mm 1.5 km Vòng # 7 • 0m 0.5 0.5 Vòng # 8 PE Hình 4.7 Tập hợp những vòng k ‘X’ km 0.4 mm PE 0.5 mm PE ‘X’ km 5 km mm PE • ‘X’ km 0.4 mm PE • 0.2 km 0.32 mm PE ‘X’ km 0.4 mm PE 1.5 km 0.5 mm PE • • 0.75 km 0.5 mm PE0.63 mm PE 0.5 km • 0.2 km 0.4 mm PE • • ‘X’ km 0.4 mm PE 1.5 km 0.5 mm PE •• •• 0.5 mm PE 1.5 km 1.5 km 0.5 mm PE PE 0.4 mm PE 0.4 mm PE 1.5 km •1.1 km 0.4 mm PE 0.5 km BT mm PE km BT : Polyethylene BT: Bridged Tap iểm thử lớp 2M1, 2M2 và 2M3 với nhiễu mẫu A và B 21 Kỹ thuật wavelet trong ADSL 4.5 Sự cân bằng để cực tiểu hoá ISI/ICS a) Cân bằng miền tần số từng kênh (per tone) Nhớ lại kết quả quan trọng (4.8) trong trường hợp ν (L-1) ≥ c’(n) = H(n) c(n), nghĩa là trong miền tần số, đầu ra c’(n) bằng đầu vào c(n) nhân với đáp ứng xung vô hướng H(n). Do đó tín hiệu nhận được từ kênh con n có thể được cân bằng một cách đơn giản bởi một chống (tap) có hệ số phức = [1/H(n)], thường được gọi là cân bằng miền tần số (FEQ) từng kênh. Bộ cân bằng có ma trận đường chéo [E] = diag[1/H(0) 1/H(1) 1/H(2)…. 1/H(L-1)]. Đây là lợi ích chính của hệ thống DMT. Mặc dù điều lợi này, DMT không được dùng cho HDSL bởi vì sự giảm dải thông N/(N+v) bởi việc chèn CP. b) Bộ cân bằng miền thời gian để rút ngắn đáp ứng xung của kênh Để bảo trì hiệu năng cao cho băng tần ta cần phải giữ CP càng ngắn càng tốt. Bởi vậy ISI được cực tiểu hoá bằng g một bộ cân bằng miền thời gian loại đáp ứng xung hữu hạn (FIR) trong b ước khi lấy DFT, để rút ngắn chiều dài của CIR. Hình 4.8 Đáp ứng đơn Kênh cân bằng là tầng của kênh và TE mẫu và một bộ lọc FIR có đáp ứng đơn xung Điều này được chỉ ra trong hình dưới đây tron tính chất toán học và không mang ý nghĩa vật l mẫu cho hầu hết vòng dịch vụ sóng mang thực 22của kênh, cách dùn ộ nhận, tr Đáp ứng đơn xung kênh Đáp ứng đơn xung đã nén ngắn xung nén ngắn Q, tương đương với tầng của độ trễ ∆ mục tiêu (TIR) chiều dài (v+1) mẫu. g đó nhánh dưới chỉ là đương lượng có ý. Ở tần số lấy mẫu chuẩn, =1 tới 50 tế. ∆ Kỹ thuật wavelet trong ADSL Channel c(k) TEQ w(k) Delay TIR b(k) e(k) x(k) + Desired Symbol Received Symbol - + Hình 4.9 Kênh được cân bằng Lỗi e(k) là sự sai khác giữa đáp ứng đơn xung tín hiệu nhận được và kí tự mong muốn. Có 3 phương pháp chính để thiết kế TEQ trong tự nhiên. Thứ nhất là cực tiểu hoá lỗi bình phương tối thiểu (MSE). Thứ hai là ước lượng đáp ứng đơn xung kênh sau đó thiết kế một TEQ để cực tiểu hoá năng lượng của đáp ứng đơn xung ngoài cửa sổ mục tiêu, vì thế cực đại hoá tỉ số tín hiệu trên nhiễu. Phương pháp thư ba là cực đại hoá tốc độ bít. Cho đáp ứng đơn xung của TEQ là w = [w0, w1, …,ww]T và của TIR là b = [b0, b1,…, bv]T. Khi lỗi bị triệt tiêu tới 0, đáp ứng đơn xung tín hiệu bằng với đáp ứng đơn xung mục tiêu mong muốn bị trễ bởi∆ mẫu. Do chiều dài của TIR trên danh nghĩa là chiều dài của CP, chúng ta có 3 tham số để xác định sự tối ưu hoá: b, và w. ∆ 4.6 Dung năng của một kênh MCM Mỗi kênh con có thể được xem như một kênh nhiễu cộng Gausian trắng (AWGN) và dung năng Shannon DMT như sau bps (4.9) ∑− = +∆= 12/ 0 2 )1(log N n nSNRfC ở đó SNRn là SNR cho mỗi bít trong kênh con n bởi vì sự truyền dẫn luôn luôn ở mức bít. Nếu chúng ta không chú ý sự phủ CP, sau đó có N mẫu cho mỗi kí tự và fs mẫu cho từng giây, thì tốc độ mẫu là fs/N, hay f∆ . Do đó Bits/Symbol (4.10) ∑− = += 12/ 0 2 )1(log N n nSNRC 23 Kỹ thuật wavelet trong ADSL Như vậy ∑− = Γ+= 12/ 0 2 )1(log N n n DMT SNRC Bits/Symbol = ∑ trong DMT (4.11) − = 12/ 0 2 )(log N n nM Ở đây Mn là số biến điệu M-QAM, sử dụng trong kênh con n. Do 1)( >>≈Γ n n M SNR , được thừa nhận là giống nhau cho tất cả các kênh con. 2 1 2 2/1 ) 2 () 3 ( 2)1(1 ) 1 3()11(2 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡≈Γ ≈−−= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−= − e m c MMM m c M PQ PPP SNR M Q M p γ γ γ γ Hiển nhiên, phụ thuộc vào nhiều hệ số, nghĩa là kế hoạch biến điệu và mã hoá, ồn lề, tỉ lệ lỗi mục tiêu. Cho tỉ lệ lỗi kí tự mục tiêu của PAM với Γ M trạng thái là: ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−= 2/1) 1-M 3()11(2 SNRQ M P m c M γ γ (4.12) Trong đó cγ và mγ tương ứng là độ lợi mã và ồn lề. Tỉ lệ lỗi kí tự của hệ thống M-QAM tương ứng là MMM PPP 2)1(1 2 ≈−−= (4.13) Với M lớn, chúng ta xấp xỉ 2 1 ) 2 () 3 ( ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡≈Γ − e m c PQγ γ (4.14) Chất lượng hệ thống cho kiểm thử (phụ chương D của G.992.2) Tham số hệ thống Ber Nhiễu lề Nhiễu nền Trễ truyền một đường Bắc Mỹ 10-7 4 dB -140 dBm/Hz 1+(S+D)/4 ms Châu Âu 10-7 6 dB -140 dBm/Hz 1+(S+D)/4 ms 24 Kỹ thuật wavelet trong ADSL 4.7 Khung trong ADSL Khung dữ liệu (DF): Một khung dữ liệu là một nhóm bít nhị phân tạo nên một kí tự. Tốc độ khung xấp xỉ bằng tốc độ kí tự DMT bằng 4 kHz hay độ rộng khung bằng 250 sµ . Một siêu khung (SF) = 68 DFs = 17 ms. Bởi một kí tự đồng bộ được sử dụng để phân định một SF, nó có (68+1) kí tự nhưng vẫn phải vừa khe 17 ms. Một bộ chuyển đổi tốc độ được sử dụng để điều chỉnh độ rộng khung 250 ms thành 246 ms (272 mẫu) độ rộng kí tự. HF = 5 SF = 345 kí tự = 84 870 ms. Khoảng thời gian 85 000 – 84 870 = 130 sµ được sử dụng để phân định các HF. 25 Kỹ thuật wavelet trong ADSL Chương 5 Biến đổi wavelet 5.1 Giới thiệu về wavelet. 5.1.1 Wavelet là gì? Tín hiệu thực thường có hai đặc tính, chúng bị giới hạn cả trong miền thời gian lẫn miền tần số. Những tín hiệu bị giới hạn băng tần có thể được biểu diễn một cách hiệu quả bằng cách sử dụng một hệ thống hàm cơ bản Fourier, nhưng sin và cosin không bị giới hạn trong thời gian. Vì thế cần thiết có một sự thoả hiệp giữa những hàm cơ bản hoàn toàn giới hạn trong thời gian và hoàn toàn giới hạn trong tần số. Do đó wavelets (hay sóng con) đã được giới thiệu. Ý tưởng chính đằng sau sự phân tích wavelet là phân tích một tín hiệu f thành một tập hợp của những hàm iψ , nghĩa là ∑= i iiaf ψ . Để có một sự biểu diễn hữu hiệu của tín hiệu f ta chỉ dùng một vài hệ số ai. 5.1.2 Tại sao dùng wavelet? Lý do chính cho việc lựa chọn wavelets là chúng rất hữu hiệu để giải tương quan (decorrelate): - Wavelets được địa phương trong cả miền không gian (hay thời gian) và miền phân giải (scale) (hay tần số). Vì thế chúng ta có thể dễ dàng phát hiện những tính chất địa phương của một tín hiệu. - Wavelets được dựa trên một phép phân tích đa phân giải. Một phép phân tích wavelet cho phép phân tích một tín hiệu tại những mức phân giải khác nhau. - Wavelets rất nhẵn và có thể được đặc trưng bởi số moment triệt tiêu. Số moment triệt tiêu càng cao thì wavelets càng nhẵn. - Hơn nữa, ta có những thuật toán nhanh và ổn định để tính biến đổi wavelet rời rạc (DWT) và phép đảo ngược của nó (Inverse DWT). 26 Kỹ thuật wavelet trong ADSL 5.2 Phép phân tích đa phân giải Xét không gian , một không gian véctơ có nguyên hàm bình phương (square integrable) trong không gian thực: 2L ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ∞<= ∫ +∞ ∞− dxxffL )(: 22 Trong một phép phân tích đa phân giải, chúng ta phân tích trong những không gian con 2L jV lồng nhau LL ⊂⊂⊂⊂⊂⊂ −− 21012 VVVVV thế nào để không gian bao gồm sự liên hợp của chúng là 2L U ∞ −∞= = j j LV 2 và sự giao nhau của chúng chỉ là hàm rỗng, nghĩa là { }I+∞ −∞= = j j 0V Trong trường hợp phân đôi (dyadic), nghĩa là khi không gian con jV rộng gấp hai lần 1−jV , và hàm f(x) thuộc vào một trong những không gian con jV có những tính chất sau: sự giãn (dilation) ⇔∈ jVxf )( 1)2( −∈ jVxf , (5.1a) sự xê dịch (translation) ⇔∈ 0)( Vxf 0)1( Vxf ∈+ . (5.1b) Nếu chúng ta có thể tìm một hàm 0)( Vx ∈ϕ thế nào để tập hàm bao gồm )(xϕ và những hàm xê dịch nguyên của nó { } Zkkx ∈− )(ϕ tạo nên một hệ thống hàm cơ bản của không gian V0, chúng ta gọi ϕ(x) là hàm định cỡ (scaling function) hay còn gọi là hàm cha (father function). 27 Kỹ thuật wavelet trong ADSL 5.3 Những hàm wavelet Bởi vì những không gian con lồng nhau: 1+⊂ jj VV Chúng ta có thể phân tích 1+jV theo jV và jW (phần bù trực giao của jV trong ) : 1+jV 1+=⊕ jjj VWV jj VW ⊥ Tổng trực tiếp của những không gian con jW bằng với 2L : U ∞ −∞= ∞ −∞= == ⊕ j j j j LWV 2 Điều này nghĩa là là một sự biểu diễn có độ phân giải thô của , trong khi mang dữ liệu sai khác có độ phân giải cao giữa 1−jV jV jW 1+jV và jV . Nếu chúng ta có thể tìm được một hàm 0Wx ∈)(ψ tuân theo tính chất xê dịch (5.1b), nghĩa là ⇔∈ 0Wx)(ψ hàm xê dịch 0Wx ∈− )1(ψ , và tập hợp các hàm bao gồm )(xψ và những xê dịch nguyên của nó { } Zkkx ∈− )(ψ tạo nên một hệ thống hàm cơ bản của không gian , thì chúng ta gọi ψ(x) là hàm wavelet mẹ (mother wavelet). Cho những không gian con khác 0W jW (với 0≠j ) chúng ta định nghĩa các wavelets: )2(2)( 2/, kxx jjkj −≡ ψψ . (5.2) 5.4 Biến đổi wavelet nhanh (FWT) Vì cả và là những không gian con của : 0V 0W 1V 10 VV ⊂ và 1VW0 ⊂ , chúng ta có thể biểu diễn )(xϕ và )(xψ theo những hàm cơ bản của 1V 28 Kỹ thuật wavelet trong ADSL ∑ −= k k kxhx )2(2)( ϕϕ , (5.3a) ∑ −= k k kxgx )2(2)( ϕψ . (5.3b) Bởi vì sự phân tích đa phân giải, những mối tương quan trên cũng xẩy ra giữa , 1+jV jV và jW , với j bất kỳ. Chúng ta cần tìm những hệ số bộ lọc hkvà gk mà duy nhất định nghĩa hàm định cỡ )(xϕ và wavelet mẹ )(xψ . Vì jjj WVV ⊕=+1 , chúng ta có thể triển khai một hàm f(x) dùng những hàm cơ bản của 1+jV , rồi biểu diễn nó theo những hàm cơ bản của jV và jW , nghĩa là ∑ ++= k kjkj xxf )()( ,1,1 ϕλ = ∑ ∑+ l l ljljljlj xx )()( ,,,, ψγϕλ với hệ số biến đổi lj ,λ và lj ,γ cho như sau: ∑ −−= k kjlklj h ,12, 2 λλ , (5.4a) ∑ −−= k kjlklj g ,12, 2 γγ . (5.4b) Toán tử này được gọi là biến đổi wavelet nhanh (FWT). Nó được gọi là “nhanh” bởi vì độ phức tạp của nó là O(n), nghĩa là lượng tính toán tỉ lệ với chiều dài tín hiệu. Bộ lọc hk là một bộ lọc thông thấp, trong khi gk là bộ lọc thông cao. Biến đổi wavelet ngược có thể thực hiện một cách tương tự. Thuật toán này được gọi là thuật toán giàn lọc (filter bank), như thấy trong Hình 5.1 dưới đây. g g h h 2↓ 2↓ 2↑ 2↑ HP LP S + S Hình 5.1: Thuật toán giàn lọc cho hai wavelet trực giao: tín hiệu S được lọc và giảm lấy mẫu để có tín hiệu thông thấp LP và tín hiệu thông cao HP. Nó có thể khôi phục lại bằng cách tăng lấy mẫu và lọc với bộ lọc tương ứng. 5.5 Wavelet trực giao 29 Kỹ thuật wavelet trong ADSL Nếu )(, xkjϕ và )(, xkjψ trực giao nhau: , jj WV ⊥ '',, , llljlj −= δϕϕ , ''',, , lljjljlj −−= δδψψ . Chúng ta có thể tính hệ số của phép phân tích ∑ ∑+= l l ljljljlj xxxf )()()( ,,,, ψγϕλ , (5.5) bằng cách lấy tích vô hướng của f(x) với các hàm định cỡ và với wavelet tương ứng, ljlj f ,, ;ϕλ = , (5.6a) ljlj f ,, ;ψγ = . (5.6b) Sự phân tích dùng wavelet cơ bản được đảm bảo ổn định, nếu hàm f(x) có một thay đổi đột ngột, nó sẽ chỉ gây ra sự thay đổi nhanh trong những hệ số lj ,λ và lj ,γ . Biểu thức đồng nhất Parseval : ∑ ∑∑ +== − k k ljlj k kjf 2, 2 ,,1 22 γλλ . (5.7) Một ví dụ về wavelet trực giao là tập hợp những wavelet trực giao do Daubechies tìm ra với 4 moment triệt tiêu (gọi là ‘db4’). 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Hình 5.2: Hàm trực giao định cỡ và wavelet )(xϕ )(xψ với 4 mô men triệt tiêu, như được tìm ra bởi Daubechies. Chương 6 30 Kỹ thuật wavelet trong ADSL ADSL dựa trên wavelet và sự mô hình hoá 6.1 Giới thiệu Những công nghệ truyền thông số hiện đại đã nêu ra một phương hướng chung cho phương pháp biến điệu tuyến tính. Vài ứng dụng phổ biến của biến điệu tuyến tính là MCM (biến điệu đa sóng mang), CDMA (phân chia theo mã đa truy cập), OFDM (ghép kênh phân chia theo tần số trực giao), …. Nguyên lý chung của những phương pháp này là tín hiệu truyền có thể được biến điệu dưới một cách khai triển chuỗi dựa trên tập hợp xung. Tất cả những phương pháp biến điệu tuyến tính này là những phần của những hệ thống viễn thông số đã chuẩn hoá, ví dụ OFDM trong HIPERLAN 2 (hệ thống không dây) và DMT (truyền dẫn đa tần rời rạc) mà đã được chuẩn hoá cho những đường dây thuê bao số bất đối xứng (ADSL). Trong chương này chúng ta sẽ tập trung thiết kế cho những kế hoạch biến điệu tuyến tính, đặc biệt những loại khác nhau của truyền dẫn xung (nghĩa là những hàm cơ bản) cho MCM của ADSL. Trong lý thuyết truyền dẫn tín hiệu, bất cứ hàm nào giới hạn trong cả thời gian lẫn tần số có thể được sử dụng như một điểm xuất phát. Tuy nhiên trong thực tế, nhiều vấn đề thực hành phải được thoả mãn để đạt được sự thi hành hiện thực và để làm cho bộ nhận đối phó với những ảnh hưởng của kênh. Sau đây là vài đòi hỏi cơ bản cho những hàm này: i. Những hệ thống hàm phải trực giao nhau, hoặc ít nhất là độc lập tuyến tính, để có thể được giải biến điệu độc nhất. ii. Toàn bộ tập hợp những xung truyền dẫn phải có một cấu trúc cho phép thuật toán DSP nhanh để thi hành, nghĩa là FFT, FWT. iii. Những hệ thống hàm phải vững vàng để đối phó với sự méo gây ra bởi kênh. Vì những hệ thống wavelet đã được ứng dụng thành công cho việc mã nguồn trong lý thuyết thông tin và lý thuyết viễn thông, nhiều tác giả khác nhau đã đề xuất ứng dụng của những hệ thống wavelet cho biến điệu tín hiệu [11]. 31 Kỹ thuật wavelet trong ADSL Nhóm wavelet đã đáp ứng hai yêu cầu cơ bản đầu ở trên, tuy nhiên vì bản tính lấy mẫu chặt chẽ của chúng, chúng không tốt cho đòi hỏi thứ 3 về sự mất ổn định mỗi khi phải đương đầu với ảnh hưởng phân tán của kênh. Trong chương này, chúng ta sẽ nêu ra những vấn đề của MCM, đặc biệt là DMT, trong ADSL từ kết quả lý thuyết và một vài kết quả mô phỏng số. Sau đó chúng ta so sánh MCM trong ADSL dựa trên những hệ thống wavelet và vài hệ thống hiện hữu khác. 6.2 Biếu điệu đa sóng mang Hình 6.1 Biến điệu đa sóng mang Trong chương này chúng ta khảo sát hệ thống biến điệu đa sóng mang tuyến tính với tín hiệu vào được tổng hợp như một sự kết hợp tuyến tính của những hàm cơ bản (I là một tập chỉ số vô hạn có thể), mà thông tin được biến điệu bởi những hệ số phức hoặc thực trước khi truyền. Chúng ta chú ý đến sự biến điệu đa sóng mang (Hình 6.1). Về những hàm truyền dẫn cơ sở, chúng ta khảo sát hệ thống dịch biến Riesz cơ bản được định nghĩa như sau { } Iii tg ∈)( ),()(, kTtgtg lkl −= với l = 0,… N-1, Zk ∈ , ở đây T >0 là thời gian dịch, mỗi gl được hỗ trợ đều và gọn (uniform and compact support), và tập hợp là một trong những cấu trúc đặc biệt sau: • Hàm cơ sở Weyl-Heisenberg (hay Gabor) tương ứng với một miếng ngói (tile) chữ nhật trong mặt tọa độ thời gian-tần số (time-frequency plane), gl là phiên bản đã được biến điệu của một hàm nguyên mẫu g0 : chú ý rằng để thực hiện các hàm cơ sở Riesz, ta phải có )()/(2 0, )()( kTtlTi kl ekTtgtg −−= ρπ 1≥ρ . 32 Kỹ thuật wavelet trong ADSL • Hàm cơ sở Wilson với giá trị thực [18] có một cấu trúc tương đương như OFDM/Offset-QAM và có thể được cấu tạo dùng thành phần sin và cosin: )22cos(2)(01, tT ltggm π= )122cos(2) 2 (02, tT lTtggm −−= π )122sin(2)(03, tT ltggm −= π )22sin(2) 2 (04, tT lTtggm π−= ở đây m = 0,1,…,M và số xung trong một thời gian biểu tượng là N = 4M+1. Tương tự như với hệ thống WH, biến điệu và giải biến điệu có thể thực hiện dùng FFT. • Hàm cơ sở wavelet phân đôi (dyadic) [19,20] .2,....,0,,...,0)), 2 (2(2)( 10 2/)( −==−= mmmmnm nMmTntgtg Tổng số xung truyền trong mỗi thời gian biểu tượng T là N= 2M+1-1. Trong hệ thống này, phân giải trong miền tần số trở thành xấu hơn cho các xung với chỉ số cao. Trong ma trận kênh, ta đánh chỉ số cho các xung như sau: )()( )(12 tgtg n mnm =+− Như vậy, tín hiệu truyền đi được cho bởi ∑ ∑ ∑∞ −∞= ∞ −∞= − = −== k k N l lklk kTtgctxtx 1 0 , ).()()( ở đây là những hệ số có giá trị phức mang thông tin. Trong truyền thông số, những hệ số này là những thành phần của một tập hợp có giới hạn như là chùm sao QAM. Tuy nhiên trong chương này chúng ta xem xét một không gian Hilbert, nghĩa là klc , { } . 2, Lc kl ∈ Sau khi truyền qua một kênh vật lý h(t), tín hiệu nhận được sẽ được tách thành một dạng biến đổi tuyến tính của tín hiệu phát và phần nhiễu cộng tính có thống kê độc lập (statistical independent), vì thế chúng ta thu được )(),()( tnxhconvty += . Trong khoá luận này, chúng ta thừa nhận rằng méo kênh tương ứng với một hệ thống xê dịch bất biến và ảnh hưởng của nhiễu là không đáng kể, nghĩa là, 33 Kỹ thuật wavelet trong ADSL ∫ −=== τττ dxthtxhxhconvty )()())(*(),()( . (6.1) Trong thực tế thì kênh h(t) không hẳn thực sự xê dịch bất biến. Tuy nhiên, trong mô hình của chúng ta chiều dài của hàm nguyên mẫu g0 ngắn đủ để ảnh hưởng của kênh trên tín hiệu truyền, có thể được khảo sát như một toán tử nhân chập. Sau đây là 3 điều kiện đòi hỏi cho kênh h và chúng có vẻ thực tế: • Bộ thu không biết khi nào bắt đầu truyền, vì thế nó phải ấn định thời gian t=0 trong vài trường hợp. Bởi vì điều này tương đương với sự chọn lựa độ xê dịch cho h, chúng ta có thể cho trước 2h để triệt tiêu moment đầu tiên. • Mặc dù h không được hỗ trợ gọn gàng, chúng ta có thể cắt xén nó tại