Giáo trình Cơ sở kỹ thuật siêu cao tần

hằng số. Một đường truyền như vậy đôi khi được gọi là "phẳng". Tuy nhiên, khi tải không được phối hợp trở kháng thì sẽ có mặt sóng phản xạ và dẫn tới sóng đứng ở đó biên độ CÁC LOẠI SUY HAO, SÓNGĐỨNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRỞ KHÁNGĐƯỜNG TRUYỀN57 Hình 2.20: Minh họa sóng tới, sóng phản xạ và sóng tổng điện áp không còn là một hằng số nữa. Vì vậy, từ (2.168) ta có |V (z)| = |V +0 ||1 + Γej2βz| = |V +0 ||1 + Γe−j2β`| (2.172) = |V +0 ||1 + |Γ|eθ−2β`| ở đó ` = −z là khoảng cách dương được đo từ tải tại z=0, và θ là pha của hệ số phản xạ (Γ = |Γ|eθ). Kết quả này chỉ ra rằng biên độ điện áp dao động theo vị trí z dọc theo đường truyền. Giá trị cực đại xuất hiện khi số hạng pha eθ−2β` = 1, và được cho bởi Vmax = |V +0 |(1 + |Γ|) (2.173) Giá trị cực tiểu xuất hiện khi số hạng pha ej(θ−2β`) = −1, và được cho bởi Vmin = |V +0 |(1− |Γ|) (2.174) CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TRUYỀN Hình 2.21: Minh họa sóng đứng Tương tự ta rút ra Imax = |V +0 | Z0 (1 + |Γ|) (2.175) và Imin = |V +0 | Z0 (1− |Γ|) (2.176) Khi Γ tăng, tỷ số giữa Vmax và Vmin tăng vì vậy một số đo độ bất phối hợp trở kháng của một đường truyền gọi là hệ số sóng đứng (SWR) có thể được định nghĩa như sau S = SWR = Vmax Vmin = 1 + |Γ| 1− |Γ| (2.177) Đại lượng này còn được gọi là hệ số sóng đứng điện áp, và đôi khi được viết tắt là VSWR. Từ (2.177) ta thấy rằng SWR là một số thực nằm trong dải 1 ≤ SWR ≤ ∞, ở đây SWR=1 ngụ ý tải phối hợp với đường truyền. Nhận xét: • Từ (2.172) có thể thấy rằng khoảng cách giữa hai điểm điện áp cực đại (hay cực tiểu) liên tiếp là ` = 2pi/2β = piλ/2pi = λ/2 • Khoảng cách giữa một điểm cực đại và một điểm cực tiểu là ` = pi/2β = λ/4, trong đó λ là bước sóng trên đường dây. • Tại điểm bụng điện áp và điểm nút dòng điện có biên độ điện áp đạt cực đại Vmax có biên độ dòng điện cực tiểu Imin và tại điểm đó có Rmax = Vmax Imin = Z0 1 + |Γ| 1− |Γ| = Z0.S (2.178) CÁC LOẠI SUY HAO, SÓNGĐỨNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRỞ KHÁNGĐƯỜNG TRUYỀN59 Nếu lấy chuẩn hóa theo trở kháng đặc tính của đường truyền thì rmax = Rmax Z0 = S (2.179) • Tại điểm nút điện áp và bụng dòng điện có biên độ điện áp cực tiểu Vmin và biên độ dòng điện đạt cực đại Imax và tại điểm đó có Rmin = Vmin Imax = Z0 S (2.180) lấy chuẩn hóa theo trở kháng đặc tính của đường truyền thì rmin = Rmin Z0 = 1 S (2.181) Từ (2.181) ta thấy trở kháng đường dây chuẩn hóa tại điểm nút điện áp, bụng dòng điện sẽ mang giá trị thực dương và bằng nghịch đảo của hệ số sóng đứng S trên đường dây. Mặt khác từ (2.179) và (2.181) ta nhận thấy rằng trở kháng đường dây chuẩn hóa rmax tại điểm bụng điện áp, nút dòng điện bằng nghịch đảo của trở kháng đường dây chuẩn hóa rmin tại điểm nút điện áp, bụng dòng điện cách đó một khoảng kλ/4. Ta viết ở dạng tổng quát như sau rmax(z) = 1 rmin(z ± k λ4 ) (2.182) 2.4.3 Trở kháng vào của đường truyền Hệ số phản xạ trong (2.161) được định nghĩa là hệ số phản xạ điện áp tại tải (` = 0), nhưng đại lượng này có thể được tổng quát hóa cho bất kỳ điểm ` nào trên đường truyền như sau.Từ (2.157a), với z = −`, tỷ số giữa thành phần sóng phản xạ và thành phần sóng tới là Hình 2.22: Một đường truyền kết cuối bởi một ngắn mạch Γ(`) = V −0 e −jβ` V +0 e jβ` = Γ(0)e−2jβ` (2.183) ở đây Γ(0) là hệ số phản xạ tại điểm z=0. Biểu thức này rất hữu ích khi cần chuyển đổi tác động của sự bất phối hợp trở kháng tải dọc theo đường truyền. CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TRUYỀN Ta đã thấy rằng công suất thực chảy trên đường dây là một hằng số, nhưng biên độ điện áp (ít ra là đối với đường truyền không phối hợp) dao động theo vị trí trên đường dây. Vì vậy bạn đọc có thể kết luận là trở kháng nhìn vào đường truyền phải biến thiên theo vị trí và quả đúng là như vậy. Tại một khoảng cách ` = −z kể từ tải, trở kháng đầu vào nhìn về phía tải là Zin = V (−`) I(−`) = V +0 [e jβ` + Γe−jβ`] V +0 [e jβ` − Γe−jβ`]Z0 = 1 + Γe−j2β` 1− Γe−j2β`Z0 (2.184) Một dạng khác thuận tiện hơn có thể đạt đạt được bằng việc sử dụng (2.161) cho Γ trong Hình 2.23: (a) Điện áp (b) dòng điện và (c) trở kháng (Rin = 0 hoặc∞) biến đổi dọc đường truyền đầu cuối ngắn mạch (2.184): Zin = Z0 (ZL + Z0)e jβ` + (ZL − Z0)e−jβ` (ZL + Z0)ejβ` − (ZL − Z0)e−jβ` = Z0 ZL cos β`+ jZ0 sin β` Z0 cos β`+ jZL sin β` (2.185) = Z0 ZL + jZ0 tan β` Z0 + jZL tan β` CÁC LOẠI SUY HAO, SÓNGĐỨNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRỞ KHÁNGĐƯỜNG TRUYỀN61 Đây là một kết quả quan trọng đối với trở kháng vào của đường truyền có tải bất kỳ. Chúng ta sẽ nói tới kết quả này như là một phương trình trở kháng đường truyền: Sau đây chúng ta sẽ thảo luận một số trường hợp đặc biệt. Các trường hợp đặc biệt của đường dây không tổn hao có kết cuối Một số trường hợp đặc biệt của đường dây không tổn hao có kết cuối sẽ thường xuyên xuất hiện trong công việc của chúng ta vì vậy trong phần này chúng ta sẽ xem xét các đặc tính của những trường hợp như vậy. Hình 2.24: Một đường truyền kết cuối bởi một ngắn mạch Tải ngắn mạch: Xét mạch điện đường truyền trên Hình 2.22, ở đó một đường truyền được kết cuối bởi một ngắn mạch (ZL = 0). Trong phần trước chúng ta đã biết hệ số phản xạ trong trường hợp này là Γ = −1; và từ (2.177) ta thấy tỷ số sóng đứng là vô cùng. Từ (2.168) điện áp và dòng điện trên đường dây là V (z) = V +0 [e −jβz − ejβz] = −2jV +0 sin βz (2.186a) I(z) = V +0 Z0 [e−jβz + ejβz] = 2 V +0 Z0 cos βz (2.186b) điều này cho thấy V=0 tại tải (đúng như thế vì tải ngắn mạch), trong khi dòng điện lại đạt cực đại tại đó. Từ (2.185), hoặc từ tỷ số V(-`)/I(-`), trở kháng vào là Zin = jZ0 tan β` (2.186c) Giá trị này là thuần ảo cho bất kỳ độ dài ` nào và nhận mọi giá trị giữa +j∞ và −j∞. Ví dụ, khi ` = 0 ta có Zin = 0 nhưng khi ` = λ/4 ta có Zin = ∞ (hở mạch). Phương trình (2.187c) cũng cho thấy rằng trở kháng tuần hoàn theo ` và lặp lại với bội số của λ/2. Điện áp, dòng điện và điện kháng vào cho đường truyền ngắn mạch được vẽ trên Hình 2.23. Tải hở mạch: Đường truyền có tải hở mạch (Hình 2.24) có ZL = ∞. Trong phần trước chúng ta đã biết khi tải hở mạch thì hệ số phản xạ Γ = +1 và hệ số sóng đứng một lần nữa lại là vô cùng lớn. Từ (2.177) điện áp và dòng điện trên đường dây là V (z) = V +0 [e −jβz + ejβz] = 2V +0 cos βz (2.187a) CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TRUYỀN I(z) = V +0 Z0 [e−jβz − ejβz] = −2jV + 0 Z0 sin βz (2.187b) điều này cho thấy bây giờ I = 0 tại tải đúng như mong đợi đối với một tải hở mạch trong khi điện áp đạt cực đại. Từ (2.185), hoặc từ tỷ số V(-`)/I(-`), trở kháng vào là Zin = −jZ0 cot β` (2.187c) nó cũng là thuần ảo đối với bất kỳ chiều dài ` nào. Điện áp, dòng điện và điện kháng vào của đường truyền hở mạch được vẽ trên Hình 2.25. Hình 2.25: (a) Điện áp (b) dòng điện và (c) trở kháng (Rin = 0 hoặc∞) biến đổi dọc đường truyền có tải hở mạch Suy hao xen - Insertion loss Bây giờ chúng ta xét một đường truyền có trở kháng đặc tính Z0 cấp tín hiệu vào đường truyền có trở kháng đặc tính Z1 6= Z0 như trên Hình 2.26. Nếu đường dây tải là dài vô hạn hoặc nếu nó CÁC ĐƯỜNG TRUYỀN CỘNG HƯỞNG VÀ PHẢN CỘNG HƯỞNG 63 được kết cuối bởi trở kháng đặc tính của chính nó thì sẽ không có phản xạ từ đầu cuối của nó và khi đó trở kháng vào nhìn từ đường dây cấp tín hiệu là Z1, vì thế hệ số phản xạ Γ là Γ = Z1 − Z0 Z1 + Z0 (2.188) Hình 2.26: Phản xạ và truyền đi tại giao của hai đường truyền có trở kháng đặc tính khác nhau không phải là tất cả sóng tới bị phản xạ mà một phần được truyền qua đường dây thứ hai với biên độ điện áp cho bởi hệ số truyền T. Từ (2.168) điện áp khi z < 0 là V (z) = V +0 (e −jβz + Γejβz), vớiz < 0 (2.189) trong đó V +0 là biên độ của sóng điện áp tới trên đường dây thứ nhất. Sóng điện áp khi z > 0 khi không có mặt phản xạ chỉ có sóng đi và có thể được viết là V (z) = V +0 Te −jβz, vớiz > 0 (2.190) Cân bằng các điện áp này tại z = 0 ta xác định được hệ số truyền T như sau T = 1 + Γ = 1 + Z1 − Z0 Z1 + Z0 = 2Z1 Z1 + Z0 (2.191) Hệ số truyền giữa hai điểm trong một mạch thường được biểu diễn theo dB là suy hao xen (IL), IL = −20 log |T | dB (2.192) 2.5 Các đường truyền cộng hưởng và phản cộng hưởng Trong phần này chúng ta sẽ xét đến các đường dây truyền sóng có chiều dài là một bội số nguyên lần của một phần tư bước sóng (` = kλ/4). Như trên đã thảo luận, khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu của sóng đứng cách nhau một khoảng là λ/4 nên nếu tải là một ngắn mạch thì tại một điểm z cách tải kλ/4 sẽ là một hở mạch và ngược lại. Ngoài ra, nếu tải là bất kỳ thì ta có thể tìm được trở kháng vào của đường truyền tại một điểm z bất kỳ theo (2.185). Chúng ta cũng giả thiết đường dây là không tổn hao (α = 0, γ = jβ, Z1 ≡ R1) nhằm đơn giản hóa việc tính toán. CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TRUYỀN 2.5.1 Đường truyền một phần tư bước sóng Đường truyền một phần tư bước sóng có chiều dài ` = λ/4 như trên Hình 2.27. Khi đó Hình 2.27: Bộ chuyển đổi trở kháng một phần tư bước sóng β` = 2pi λ λ 4 = pi 2 Theo (2.185) ta có Zin = Z21 ZL = Z21 RL (2.193) Ta nhận thấy rằng trở kháng tải ZL tỷ lệ nghịch với trở kháng vào Zin. Nhận xét: • Nếu tải hở mạch (ZL → ∞) thì Zin = 0, tương đương với một ngắn mạch tại đầu vào đường truyền. Trở kháng này tương tự như trở kháng của một mạch LC nối tiếp tại tần số cộng hưởng ω0 = 1/ √ LC, có trở kháng triệt tiêu, còn tại các tần số khác (bước sóng khác) trở kháng sẽ khác không. Vì vậy, đường dây λ/4 tải hở mạch được gọi là đường dây cộng hưởng. • Nếu tải ngắn mạch (ZL = 0) thì Zin → ∞, tương đương một hở mạch tại đầu vào đường truyền. Trở kháng vào Zin lúc này tương đương như trở kháng của một mạch LC song song tại tần số cộng hưởng ω0 = 1/ √ LC, có trở kháng vô cùng lớn, còn tại các tần số khác (bước sóng khác), trở kháng Zin sẽ hữu hạn. Vì vậy, đường dây λ/4 tải ngắn mạch được gọi là đường dây phản cộng hưởng (anti-resonance). • Đặc biệt nếu ZL ≡ RL thì Zin = Rin. Lúc này nếu RL > R0 thì Rin < R0 ta có bụng điện áp tại tải và nút điện áp tại ngõ vào. Ngược lại ta có nút điện áp tại tải và bụng điện áp tại ngõ vào. Do các đặc tính trên mà một đường dây cộng hưởng hoặc phản cộng hưởng có thể được dùng trong các mạch ghép chọn lọc tần số, đường dây chêm phối hợp trở kháng hoặc đường dây trong mạch cấp nguồn cho các linh kiện tích cực, trong mạch lọc, mạch khuếch đại, mạch ghép định hướng, mạch chia công suất vv· · · mà chúng ta sẽ có dịp đề cập trong phần mạch siêu cao tần. Một ứng dụng quan trọng của đường dây λ/4 là dùng làm mạch biến đổi trở kháng. Một đường truyền có trở kháng đặc tính Z1 có chức năng biến đổi điện trở tải RL thành một trở kháng CÁC ĐƯỜNG TRUYỀN CỘNG HƯỞNG VÀ PHẢN CỘNG HƯỞNG 65 Zin tại đầu vào đường dây. Do đó chúng có thể được dùng để phối hợp một tải thực RL bất kỳ với một đường dây có trở kháng Z0 = Zin, với điều kiện trở kháng đặc tính của đường dây λ/4 là Z1 = √ ZL.Z0 (2.194) Khi đó sẽ không có sóng đứng trên đường dây cấp tín hiệu (tức SWR=1) mặc dù sẽ có sóng đứng trên đoạn dây phối hợp λ/4. Ngoài ra ta cần chú ý rằng do tính chất tuần hoàn chu kỳ λ/2 của trở kháng vào của các đường dây không tổn hao nên các đặc tính trên của đường dây λ/4 cũng đúng cho các đường dây có chiều dài là một bội số lẻ lần ((2k + 1)λ/4) của độ dài λ/4. Tuy nhiên phối hợp hoàn hảo chỉ đạt được ở một tần số và bất phối hợp sẽ xảy ra ở các tần số khác. Điểm cần lưu ý ở đây là phương pháp phối hợp này chỉ áp dụng cho trở kháng tải thực mặc dù trở kháng tải phức dễ dàng có thể biến thành thực tại một tần số nào đó bằng việc chuyển đổi thông qua một đường dây độ dài thích hợp. 2.5.2 Đường truyền nửa bước sóng Đường truyền nửa bước sóng có chiều dài ` = λ/2. Do đó β` = 2pi λ λ 2 = pi (2.195) Từ (2.185) ta suy ra Zin = ZL Điều này có nghĩa là trở kháng đầu vào đường dây nửa bước sóng luôn bằng trở kháng tải ở cuối đường dây. Nếu đầu cuối tải là một ngắn mạch (ZL = 0) thì trở kháng vào Zin cũng triệt tiêu (biểu hiện điểm nút điện áp), tương đương trở kháng vào của mạch cộng hưởng LC nối tiếp. Nếu đầu cuối là tải là một hở mạch (ZL → ∞), trở kháng vào Zin lớn vô cùng (điểm bụng điện áp), tương đương với trở kháng mạch phản cộng hưởng hay LC song song. Các tính chất trên của đường truyền λ/2 cũng đúng với các đường truyền có chiều dài kλ/2 2.5.3 Trở kháng đường truyền khi tần số thay đổi Các nhận xét về đường truyền cộng hưởng và phản cộng hưởng ở trên chỉ đúng với một tần số cơ bản (ứng với bước sóng λ) hoặc các hài tần của nó. Khi tần số thay đổi, trở kháng vào Zin cũng thay đổi rất nhanh, nhất là đối với đường truyền phản cộng hưởng. CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TRUYỀN Chương 3 Đồ thị Smith 3.1 Cơ sở của đồ thị Smith Trong kỹ thuật siêu cao tần, các bài toán phân tích và thiết kế các mạch điện hoạt động ở tần số siêu cao thuờng dẫn tới việc giải các hệ phương trình rất phức tạp. Điều này gây nhiều khó khăn cho người thiết kế, nhất là khi cần có ngay một lời giải cho các vấn đề kỹ thuật trong một khoảng thời gian sớm nhất. Để đơn giản hóa việc tính toán, phép giải bằng đồ thị tỏ ra khá hiệu quả và nhanh chóng. Mặc dù kết quả có thể chưa đạt độ chính xác cao nhưng phép giải bằng đồ thị không những đơn giản mà còn giúp người thiết kế thực hiện các phép tính bằng những động tác biến đổi rất tượng hình, dễ hiểu. Theo xu hướng đó, một số kiểu đồ thị trở kháng được hình thành nhằm giúp giải quyết việc phân tích mạch điện siêu cao tần từ kết cấu đơn giản như đường dây truyền sóng đến các mạch điện phức tạp hơn như mạch khuếch đại siêu cao tần, mạch phối hợp trở kháng, mạch dao động siêu cao tần vv... Tuy nhiên kiểu đồ thị được biết đến nhiều nhất và được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực vô tuyến và siêu cao tần là dạng đồ thị hệ số phản xạ - trở kháng đường truyền được xây dựng bởi Phillip H. Smith tại Bell Telephone Laboratories vào năm 1939 và được gọi là đồ thị Smith (Hình 3.1). Bạn đọc có thể nghĩ rằng ngày nay với sự ra đời của các máy tính có khả năng xử lý lớn, cách giải bằng đồ thị không còn chỗ đứng trong kỹ thuật hiện đại. Tuy nhiên đồ thị Smith còn có ý nghĩa hơn cả một kỹ thuật đồ họa. Bên cạnh việc là một phần không thể tách rời khỏi phần mềm thiết kế CAD và thiết bị đo hiện nay, đồ thị Smith tạo ra một công cụ hữu ích cho việc minh họa bằng hình ảnh các hiện tượng trên đường truyền, và cũng rất quan trọng trong đào tạo ngành kỹ thuật cao tần. Một kỹ sư siêu cao tần có thể phát triển trực giác của mình về đường truyền và các vấn đề phối hợp trở kháng bằng việc học cách tư duy và hiểu sâu sắc đồ thị Smith. Khi mới nhìn vào đồ thị Smith ở Hình 3.1 có thể thấy rất khó hiểu nhưng chìa khóa để dễ dàng hiểu được nó là ta nhận thức rằng đó là đồ thị tọa độ cực biểu diễn hệ số phản xạ điện áp Γ. Ta hãy biểu diễn hệ số phản xạ có độ lớn và pha theo dạng Γ = |Γ|ejθ. Khi đó độ lớn |Γ| được vẽ với bán kính (|Γ| ≤ 1) từ tâm của đồ thị và góc θ (−1800 ≤ θ ≤ 1800) được đo từ đầu mút phải của đường kính nằm ngang. Bất kỳ một hệ số phản xạ nào có độ lớn |Γ| ≤ 1 đều có thể được vẽ thành một điểm duy nhất trên đồ thị Smith. Sự tiện dụng thực sự của đồ thị Smith là ở chỗ nó có thể được sử dụng để chuyển đổi các 67 CHƯƠNG 3. ĐỒ THỊ SMITH Hình 3.1: Đồ thị Smith hệ số phản xạ sang trở kháng chuẩn hóa (hay dẫn nạp chuẩn hóa) và ngược lại nhờ sử dụng các đường tròn trở kháng (hay dẫn nạp) in trên đồ thị. Khi làm việc với trở kháng trên đồ thị Smith, các đại lượng chuẩn hóa được sử dụng và chúng ta sẽ ký hiệu bằng chữ thường. Hằng số chuẩn hóa thường là trở kháng đặc tính của đường truyền sóng. Một cách tổng quát đồ thị Smith được xây dựng dựa trên mối quan hệ giữa hệ số phản xạ Γ(z) và trở kháng Z(z) tại một điểm z bất kỳ nào đó trên đường dây truyền sóng đã được xây dựng trong Chương 2 và được nhắc lại ở đây như sau: Trở kháng đường dây tại điểm z Z(z) = Z0 1 + Γ(z) 1− Γ(z) (3.1) sau khi được chuẩn hóa theo trở kháng đặc tính của đường truyền sóng Z0, z(z) = Z(z)/Z0 trở CƠ SỞ CỦA ĐỒ THỊ SMITH 69 thành z(z) = 1 + Γ(z) 1− Γ(z) (3.2) và hệ số phản xạ tại z Γ(z) = Z(z)− Z0 Z(z) + Z0 = z(z)− 1 z(z) + 1 (3.3) Để đơn giản trong ký hiệu, từ nay ta bỏ đi ký hiệu z và coi Γ, Z đại diện cho hệ số phản xạ, trở kháng sóng tại điểm z trên đường dây và z đại điện cho trở kháng chuẩn hóa của đường dây tại z và ta viết lại mối quan hệ giữa hai đại lượng này như sau: Γ = z− 1 z+ 1 ⇔ z = 1 + Γ 1− Γ (3.4) Quan hệ này đại diện cho ánh xạ giữa mặt phẳng trở kháng phức z và mặt phẳng hệ số phản xạ phức Γ, như chỉ ra trên Hình 3.2. Hình 3.2: ánh xạ giữa mặt phẳng z và mặt phẳng Γ Một trở kháng phức z = r + jx với điện trở dương (r > 0) được ánh xạ vào một điểm Γ nằm trong vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng Γ, tức là thỏa mãn |Γ| < 1. Một đường dây thuần trở z = r (một đường thẳng đứng trong mặt phẳng z Hình 3.3) được ánh xạ vào một vòng tròn trên mặt phẳng Γ và nằm hoàn toàn trong vòng tròn đơn vị nếu r > 0. Tương tự, một đường dây thuần kháng z = jx (một đường nằm ngang trong mặt phẳng z - Hình 3.4) được ánh xạ vào một vòng tròn trên mặt phẳng Γ (một phần đường tròn này nằm trong vòng tròn đơn vị). Đồ thị Smith là một minh họa bằng đồ thị mặt phẳng Γ với một lưới gồm nhiều đường cong các vòng tròn điện trở và điện kháng có giá trị hằng nằm trong vòng tròn đơn vị. Bất kỳ một điểm hệ số phản xạ Γ nào rơi vào giao điểm của một vòng tròn điện trở và một vòng tròn điện kháng (r, x) thì giá trị trở kháng tương ứng có thể được đọc trực tiếp thành z = r + jx. Trái lại, khi cho z = r + jx và tìm giao điểm của các đường tròn (r, x) thì điểm phức Γ có thể được định vị và giá trị của nó được đọc từ các tọa độ cực hoặc tọa độ đề các. CHƯƠNG 3. ĐỒ THỊ SMITH Hình 3.3: Ánh xạ r giữa mặt phẳng z và mặt phẳng Γ 3.2 Các đồ thị vòng tròn Bây giờ chúng ta sẽ tìm cách xây dựng các đồ thị vòng tròn đã đề cập ở trên từ các biểu thức quan hệ giữa z và Γ. Trước tiên chúng ta hãy tìm biểu diễn toán học của các vòng tròn nói chung có tâm C, bán kính R trong mặt phẳng phức Γ như trong Hình 3.5. ở đây tọa độ của C, Γ là số phức còn bán kính R là số thực. Ta viết biểu thức véc tơ sau: −→ CΓ = −→ OΓ−−→OC (3.5) ta có thể viết dưới dạng module bình phương như sau |−→CΓ|2 = |−→OΓ−−→OC|2 (3.6) Trong đó |−→CΓ| chính là bán kính của đường tròn, còn −→OΓ và −→OC là các số phức Γ và C. Ta có thể viết lại (3.6) như sau: R2 = |Γ− C|2 = (Γ− C)(Γ∗ − C∗) (3.7) (3.7) còn có thể viết lại thành |Γ|2 − C∗Γ− CΓ∗ = R2 − |C|2 (3.8) Như vậy một vòng tròn tâm C bán kinh R trong mặt phẳng phức Γ có thể được biểu diễn về mặt toán học theo biểu thức (3.8). Bây giờ dựa trên biểu thức tổng quát (3.8) chúng ta đi tìm phương trình biểu diễn các vòng tròn điện trở và điện kháng trên đồ thị Smith. Để xác định tâm và bán kính của các đường tròn điện trở và điện kháng chúng ta sử dụng kết quả rằng một đường tròn tâm C bán kính R trên mặt phẳng Γ có hai cách biểu diễn tương ứng sau: |Γ|2 − C∗Γ− CΓ∗ = B ⇔ |Γ− C| = R, trong đó B = R2 − |C|2 (3.9) CÁC ĐỒ THỊ VÒNG TRÒN 71 Hình 3.4: Ánh xạ x giữa mặt phẳng z và mặt phẳng Γ Hình 3.5: Biểu diễn vòng tròn trong mặt phẳng phức Γ Đặt z = r + jx trong phương trình (3.3) và tách riêng các phần thực và phần ảo chúng ta có thể biểu diễn r và x theo Γ như sau: r = Re z = 1− |Γ|2 |1− Γ|2 , x = Im z = j(Γ∗ − Γ) |1− Γ|2 (3.10) (Lưu ý: kết quả trên là nhờ sử dụng phép biến đổi |Γ|2 = Γr2+Γi2 và |1−Γ|2 = (1− Γr)2+Γi2 và j(Γ∗ − Γ) = 2Γi với Γ = Γr + jΓi; ). Đặc biệt, biểu thức cho phần điện trở ngụ ý rằng điều kiện r > 0 tương ứng với |Γ| < 1. Các đường tròn r, x đạt được bằng cách biểu diễn phương trình (3.10) theo dạng (3.9). Chúng ta có r|Γ− 1|2 = 1− |Γ|2 ⇒ r(|Γ|2 − Γ− Γ∗ + 1) = 1− |Γ|2 CHƯƠNG 3. ĐỒ THỊ SMITH và sắp xếp lại các số hạng: |Γ|2− r r + 1 Γ− r 1 + r Γ∗ = 1− r 1 + r ⇒ ∣∣∣∣Γ− r1 + r ∣∣∣∣2 = 1− r1 + r + r2(1 + r)2 = ( 1 1 + r )2 (3.11) Tương tự, chúng ta có x|Γ− 1|2 = j(Γ∗ − Γ) ⇒ x(|Γ|2 − Γ− Γ∗ + 1) = j(Γ∗ − Γ) có thể được sắp xếp lại thành: |Γ|2 − ( 1− j x ) Γ− ( 1 + j x ) Γ∗ = −1 ⇒ ∣∣∣∣Γ− (1 + jx )∣∣∣∣2 = −1 + (1 + 1x2 ) = ( 1 x )2 (3.12) Để tổng kết lại các đường tròn đẳng điện trở và đẳng điện kháng là:∣∣∣∣Γ− r1 + r ∣∣∣∣ = 11 + r (các đường tròn điện trở) (3.13)∣∣∣∣Γ− (1 + jx )∣∣∣∣ = 1|x| (các đường tròn điện kháng) (3.14) hay ta có thể viết lại các phương trình (3.11) và (3.12) dưới dạng phương trình đường tròn quen thuộc trong chương trình toán phổ thông như sau:( Γr − r 1 + r )2 + Γi 2 = ( 1 1 + r )2 (3.15) và (Γr − 1)2 + ( Γi − 1 x )2 = ( 1 x )2 (3.16) Vậy mỗi vòng tròn đẳng r là một vòng tròn trong mặt phẳng phức Γ có • Tâm tại ( r 1 + r , 0 ) • Bán kính 1 1 + r (ở đây ta luôn giả thiết r ≥ 0) Hình 3.6 biểu diễn các đường tròn đẳng r với các giá trị r khác nhau. Thực tế r của đường dây luôn dương hoặc bằng 0 nên ở đây ta chỉ xét họ các vòng tròn đẳng r với 0 ≤ r <∞. Ta có những nhận xét sau: CÁC ĐỒ THỊ VÒNG TRÒN 73 • Khi r = 0 đường tròn r = 0 có tâm tại (0,0) bán kính đơn vị (1). Đây là đường tròn có tâm tại gốc tọa độ của mặt phẳng phức Γ và bán kính là 1. tất cả các giá trị của hệ số phản xạ trên đường tròn này đều tương ứng với trở kháng đường dây là thuần kháng (đoạn nối tắt, hở mạch, dung kháng hoặc cảm kháng) với thành phần điện trở bị triệt tiêu. Ta có thể kiểm chứng được rằng trong điều kiện trở kháng đường dây là thuần kháng hoặc bằng 0 (hay∞) thì |Γ| = 1. • Khi r = 1 (R = Z0), ta có đường tròn đẳng r = 1 đi qua gốc tọa độ của Γ có tâm (0.5,0) và bán kính 0.5. Đường tròn này có tâm nằm trên trục hoành Γr, hoành độ 0.5, bán kính 0.5. Ta nói rằng mọi điểm hệ số phản xạ Γ nằm trên vòng tròn đều tương ứng với trở kháng đường dây có phần thực R đúng bằng trở kháng chuẩn hóa Z0. • Khi r → ∞, đường tròn tươngứng có tâm tại (1,0) bán kính 0. Đường tròn đẳng r → ∞ biến thành một điểm trong mặt phẳng phức Γ nằm tại tọa độ (1,0) nghĩa là tại Γ=+1. Đây là điểm tương ứng với trở kháng là một hở mạch. Tâm của các đường tròn điện trở nằm trên một nửa dương của trục thực trên mặt phẳng Γ và nằm trong khoảng 0 ≤ Γ ≤ 1. Khi r = 0, đường tròn điện trở là cả vòng tròn tâm nằm tại Γ = 0. Khi r tăng, bán kính trở nên nhỏ dần và tâm đường tròn này di chuyển về phía Γ = 1. Tâm các đường tròn điện kháng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn đơn vị tại Γ = 1. Hình 3.6: Các vòng tròn đẳng r trong mặt phẳng phức Γ Bây giờ, cũng tương tự như các vòng tròn đẳng r, các vòng tròn đẳng x có phương trình (3.16) được vẽ trên Hình 3.7 với các giá trị |x| = 0.5; 1; 2. Lưu ý rằng trong khi giá trị của r CHƯƠNG 3. ĐỒ THỊ SMITH luôn dương (r ≥ 0) thì x là giá trị điện kháng và có thể âm hoặc dương. Giá trị dương tương ứng với thành phần cảm kháng còn âm tương ứng với thành phần dung kháng. Vì vậy trong phương trình trên giá trị bán kính lấy theo giá trị tuyệt đối của x. Phương trình (3.16) cho thấy khi x là một hằng số nó sẽ trở thành một phương trình đường tròn có • Tâm tại: ( 1, 1 x ) • Bán kính 1/|x| biểu diễn quan hệ giữa Γr và Γi. Ta nhận thấy rằng tâm của các các vòng tròn đẳng x luôn nằm trên một đường thẳng tiếp tuyến với vòng tròn đơn vị tại điểm Γ = +1 (Hình 3.7). Ngoài ra mọi đường tròn đẳng x luôn đi qua điểm (1,0) trong mặt phẳng phức Γ. Mặt khác do hệ số phản xạ trên đường truyền (tải thụ động) |Γ| ≤ 1 nên ta chỉ vẽ các phần của đường tròn đẳng x nằm trong vòng tròn đơn vị tức |Γ| = 1. Các vòng tròn đẳng x đáng chú ý gồm : • Khi x = 0 thì vòng tròn đẳng x có tâm tại (1,∞) và bán kính ∞. Lúc này đường tròn đẳng x = 0 biến thành một đường thẳng và nằm trên trục hoành Γr của mặt phẳng phức Γ. Thật vậy, với trở kháng đường dây là thuần trở thì hệ số phản xạ Γ trở thành số thực. • Khi x→∞ vòng tròn đẳng x này có tâm tại (1,0), bán kính 0. Đường tròn đẳng x→∞ biến thành một điểm nằm tại điểm (1,0) trong mặt phẳng phức Γ, nghĩa là tại điểm Γr = +1. Điểm này ứng với trở kháng tải là một hở mạch. • Với các giá trị điện kháng x trái dấu, các đường tròn đẳng |x| tương ứng sẽ đối xứng nhau qua trục hoành. 3.3 Đồ thị Smith Đồ thị Smith là công cụ được sử dụng rất nhiều trong phân tích và thiết kế các mạch siêu cao tần. Ta có thể thực hiện nhiều phép tính toán trực tiếp trên đồ thị Smith, đơn giản chỉ bằng cách vẽ hình và đọc trị số mà không cần dùng các công cụ toán học khác. Hiểu sâu sắc và vận dụng nhuần nhuyễn đồ thị Smith giúp người thiết kế nắm được bản chất của mạch siêu cao tần, đồng thời đoán trước được kết quả thiết kế và các khó khăn trong chế tạo mạch. Đồ thị Smith ban đầu được tạo ra như một công cụ hỗ trợ cho việc xác định trở kháng đầu vào của đường truyền, được xây dựng dựa trên phép biểu diễn trở kháng z trong mặt phẳng hệ số phản xạ Γ trong đó bao gồm các đường tròn đẳng r và đẳng x như đã thảo luận ở phần trên. Điều cần nhấn mạnh ở đây là về bản chất của đồ thị Smith - là một mặt phẳng phức Γ trên đó mỗi giá trị trở kháng chuẩn hóa z = r+ jx tại mỗi điểm chỉ là các giá trị gán ghép cho điểm (Γ) tương ứng đó mà thôi. Do đó, các phép toán về hệ số phản xạ Γ được thực hiện trực tiếp bằng các phép cộng (trừ) véctơ, trong khi đó các phép toán về trở kháng chuẩn hóa z trở thành