Giáo trình Hình học 11 - Đường thẳng và mặt phẳng - quan hệ song song

thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng này c) Ba điểm A,K,C là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (ABC) và (ADC) .Vậy chúng thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng này A A M N F D E E I HB J DO BF P OC M N C a) SO và BN nằm trong tam giác SBD nên cắt nhau tại I.Vậy I là giao điểm của SO với mp(BMN). b) Trong tam giác SAC, MI cắt SA tại P .Vậy PN là giao tuyến của hai mặt phẳng (BMN) và( SAD) c) Trong mp(BMN) giả sử MN và BP cắt nhau tại H thì MN ∩ (SAB) = { }H S A N A D N M DBO M B C C 2.6. N thuộc mp(ACD) nên AN nối dài cắt CD tại E .Hai mặt phẳng (AMN) và (BCD) có hai điểm chung M và E nên giao tuyến của chúng là ME Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song www.saosangsong.com.vn 13 Giả sử ME cắt BC tại F .Hai mặt phẳng (AMN) và (ABC) có hai điểm chung A và F nên giao tuyến của chúng là AF 2.8 a) Trong mp(SAC) , EM cắt SO tại I.Trong mp(SBD) , FI cắt SD tại N.Vậy N là giao điểm của SD với mp(EFM) b) I thuộc giao tuyến SO của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Giới hạn : Khi M đến S thì I đến S và khi M đến C thì I đến I’ là giao điểm của SO với CE.Xét phần đảo c) J thuộc giao tuyến SH của hai mặt phẳng (SBC) và(SAD).Giới hạn : khi M đến S thì J đến S và khi M đến C thì J đến J’ giao điểm của SH với MF.Xét phần đảo 2.9 ME cắt AC tại N và MF cắt AD tại P .Thiết diện của tứ diện với mp(MEF) là tam giác MNP. Trong tam giác ABE,AC và EM là hai trung tuyến giao nhau tại trọng tâm N Trong tam giác ABF,AD và FM là hai trung tuyến giao nhau tại trọng tâm P S A N H C D B F M I EJ M P A O N D FB C E Ta có AM = 2 a , AN = AP = NP = 2 3 a .Tam giác MNP cân tại M nên đường cao MH cũng là trung tuyến ,do đó NH = 3 a Tam giác vuông MNH cho MH2 = MN2 – NH2 = 2 2 5 4 9 36 a a a− = 2 5 6 a . Vậy SMNP = Do đó MH = S B C D A O E H F 21 1 2 5 5. 2 2 3 6 18 a a aNP MH× = × = 2.10 Giả sử đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại E.Đường thẳng EO cắt SA tại F và cắt SB tại H ( vì điểm O ở trong tam giác SAB).Hai mặt phẳng (CDO) và (SBC) có hai điểm chung C và H nên cắt nhau theo giao tuyến CH .Hai mặt (CDO) và (SDA) có hai điểm chung D và F nên cắt nhau theo giao tuyến DF Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt (CDO) là tứ giác CDFH Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song www.saosangsong.com.vn 14 §2. Hai đường thẳng song song A. Tóm tắt giáo khoa 1..Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian : a) Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b, ta nói hai đường thẳng a và b chéo nhau b) Có mặt phẳng chứa cả a và b ,ta nói chúng đồng phẳng • nếu a và b không có điểm chung thì ta nói chúng song song với nhau và kí hiệu a // b • nếu a và b có một điểm chung duy nhất thì ta nói chúng cắt nhau Nếu điểm chung của chúng là I , ta nói chúng cắt nhau tại I hoặc I là giao điểm của chúng và viết a∩ b = { }I Định nghĩa : Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung. 2. Hai đường thẳng song song Tính chất 1 : Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ,có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó Tính chất 2 : Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song nhau Định lí : Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc song song Hệ quả : Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó) B.Giải toán Ví dụ 1 : Cho tứ diện ABCD.Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, DA, AC, BD. a) Chứng minh ba đoạn thẳng MN,PQ và RS đồng qui tại trung điểm G của mỗi đoạn. b) Gọi Ga là trọng tâm tam giác BCD.Chứng minh ba điểm A,G,Ga thẳng hàng và tính a GA GG Giải a) MP là đường trung bình tam giác ABC và NQđường trung bình k A C D M N Q B P R S Ga G tam giác ACD nên ta có : MP//NQ//AC và 2 ACMP NQ= = Vậy tứ giác MPNQ là hình bình hành nên hai đường chéo MN và PQ giao nhau tại trung điểm G mỗi đường. Chứng minh tương tự tứ giác PRQS là hình bính hành nên hai đường chéo PQ và RS giao nhau tại trung điểm mỗi đường. Vậy ba đoạn thẳng MN,PQ và RS đồng qui tại trung điểm G b) Ga là trọng tâm của tam giác BCD nên Ga thuộc trung tuyến BN và trung tuyến DP ,do đó Ga thuộc hai mặt phẳng (ABN) và mặt phẳng (ADP). Ba điểm A, G, Ga là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (ABN) và (ADP) .Vậy chúng thẳng hàng trên giao tuyến AGa Gọi I là trung điểm của BN thì GI // BM (đường trung bình của tam giác BMN) Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song www.saosangsong.com.vn 15 A B C D S E F Ta có 1 1 2 4 GI BM AB= = Hai tam giác GaGI và GaAB đồng dạng nên 1 4 a a G G IG G A AB = = Vậy a GA GG = 3 Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) b) Lấy điểm E trên cạnh SC . Mặt phẳng (ABE) cắt SD tại F .Tứ giác ABEF là hình gì? Giải a) Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) có điểm S chung và lần lượt chứa hai đường thẳng AD và BC song song nên chúng cắt nhau theo giao tuyến d đi qua S và song song với AD và BC b) Hai mặt phẳng (ABE) và (SCD) có điểm E chung và lần lượt chứa hai đường thẳng AB và CD song song nên chúng cắt nhau theo giao tuyến EF song song với AB.Vậy tứ giác ABEF là hình thang C.Bài tập rèn luyện 2.11 Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b .Lấy trên a hai điểm A và B .Lấy trên b hai điểm C và D.Hai đường thẳng AB và CD có thể song song nhau không? 2.12 Cho tứ diện ABCD .Gọi E và F lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD .Chứng minh EF song song với CD 2.13 Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC.P là điểm di động trên đoạn CD.Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. a) Tứ giác MNPQ là hình gì? b) Tìm tập hợp giao điểm I của MQ và NP khi M di động trên đoạn CD 2.14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.Gọi E và F là trung điểm của SA và SB a) Lấy điểm M trên cạnh SC.Mặt phẳng (EFM) cắt hình chóp theo hình gì? b) Lấy điểm I trên BC.Mặt phẳng EFI cắt hình chóp theo hình gì? D. Hướng dẫn giải 2.11 Nếu AB // CD thì AB và CD đồng phẳng , khi ấy a và b nằm trong mặt phẳng (ABCD).Điều này trái giả thiết a và b chéo nhau. Vậy AB và CD không thể song song A B C D ME F 2.12 Gọi M là trung điểm của CD . E là trọng tâm tam giác BCD nên E thuộc trung tuyến BM F là trọng tâm tam giác ACD nên F thuộc trung tuyến AM . Trong mp(ABM) ta có : 1 3 ME MF MB MA = = (tính chất trọng tâm) Vậy EF//AB Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song www.saosangsong.com.vn 16 A B C D M N P Q I 2.13 a) Ta có MN // AB (đường trung bình của tam giác ABC) Hai mặt phẳng (MNP) và (ABD) có P chung và lần lượt chứa MN và AB song song nên chúng cắt nhau theo giao tuyến PQ // MN Vậy tứ giác MNPQ là hình thang b) I là điểm chung của hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) . Vậy I thuộc giao tuyến CD của hai mặt phẳng này . Gọi E là trung điểm của BD. Khi P di động trên đoạn DE thì PQ < MN nên I thuộc tia Dt nối dài của CD Khi P trùng với E thì PQ = MN ,khi đó tứ giác MNPQ là hình bình hành nên I chạy xa ra vô tận trên tia Dt Khi P di động trên đoạn EB thì PQ > MN nên I thuộc tia Ct’ nối dài của DC Vậy điểm I di động trên đường thẳng CD ngoại trừ đoạn CD S Xét phần đảo. 2.14 a) Ta có EF // AB // CD ( đường trung bình của tam giác E SAB) .Hai mặt phẳng (EFM) và( SCD) có M chung và lần lượt chứ EF và CDsong song nên giao tuyến của chúng là MN // EF N Vậy thiết diện là hình thang EFMN F A J D b) Tương tự mặt (EFI) cắt AD tại J và thiết diện EFIJ là hình thang M B I C §3. Đường thẳng song song với mặt phẳng A.Tóm tắt giáo khoa 1. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P).Ta có ba trường hợp : a) Đường thẳng a và mp(P) có hai điểm chung phân biệt thì đường thẳng a nằm trên mp(P),tức là a mp(P) ⊂ b) Đường thẳng a và mp(P) có một điểm chung duy nhất A thì ta nói a và (P) cắt nhau tại A và viết a (P) = {∩ }A c) Đường thẳng a và mp(P) không có điểm chung nào thì ta nói đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), hoặc mặt phẳng (P) song song với đường thẳng a ,hoặc a và (P) song song với nhau và viết a // mp(P) Định nghĩa : Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song www.saosangsong.com.vn 17 P D a P D A P D a a 2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng Định lí 1 : Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nào đó nằm trên (P) thì a song song với (P) 3. Tính chất a Định lí 2 : Nếu đường thẳng a song song với một mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì cắt (P) theo giao tuyến song song với a Hệ quả 1 : Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó của mặt phẳng Hệ quả 2 : Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó Định lí 3 : Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a , có một và chỉ một mặt phẳng song song với b b a b a b' P Q P B. Giải toán Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta có thể chứng minh đường thẳng đó song song với một đường thằng nằm trong mặt phẳng. Ví dụ 1 : Cho tứ diện ABCD.Gọi M là trung điểm của CD,E là trung điểm của AM và F là trung điểm của BM. a) Chứng minh rằng EF song song với các mặt phẳng (ABC) và ABD) b) Lấy diểm N trên cạnh AC .Xác định thiết diện của hình chóp với mp(NEF) Thiết diện là hình gì? Giải b b a P D Q P Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song www.saosangsong.com.vn 18 A B C D M E F N K L I a) EF // AB ( đường trung bình của tam giác ABM ) Vậy EF //mp(ABC) và EF // mp(ABD) b) Ta có EF // mp(ABC) nên mp(NEF) cắt mp(ABC) theo giao tuyến NK //AB//EF Giả sử KF cắt BD tại L.Hai mp(NEF) và (ABD) có L chung và EF // AB nên giao tuyến của chúng là LI // AB// NK Vậy thiết diện là hình thangNKLI Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình tâm O.Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của BC ,AD và SA. a) Chứng minh SC và SD song song với mp(MNP) b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (R ) qua O và song song với CD và SA Giải a) Ta có NP // SD (đường trung bình của tam giác SAD .Do đó SD // mp(MNP) .Hai mặt phẳng (MNP) và (SAB) có điểm P chung và lần lượt chứa MN và AB song song nên giao tuyến làPQ // AB . Do đó Q là trung điểm của SB . Khi đó ta có MQ // SC (đường trung O S P K bình của tam giác SBC .Vậy SC // mp(MNPQ) Qb) Ta có MN // CD nên mp(R) qua O và // CD thì mp( R) chứa MN.Hai mặt (R) và (SAD) có N chung và (R ) // SA ,do đó ( R) cắt (SAD) theo giao tuyến H A N D NK // SA . Vì mp(R ) // CD nên (R ) (SCD) = HK // CD // MN ∩ Vậy thiết diện là thình thang MNKH. B M C C. Bài tập rèn luyện 2.15 Cho tứ diện ABCD .Gọi E và F là trọng tâm các tam giác ACD và BCD. a) Chứng minh EF song song với các mp(ABC) và mp(ABD) b) Mặt phẳng (P) qua EF cắt tứ diện ABCD theo hình gì? 2.16 Cho tứ diện ABCD .Lấy điểm M trên cạnh BC. Mặt phẳng (P) qua M và song song với AB và CD cắt tứ diện ABCD theo hình gì? 2. 17 Cho hình thang ABCD (AB//CD) và điểm S ở ngoài mặt phẳng hình thang. Lấy điểm M trên cạnh CD .Mặt phẳng (P) qua M và song song với SA và BC a) Mặt phẳng (P) cắt hình chóp SABCD theo hình gì? b) Tìm giao tuyến của mp(P) với mp(SAD) 2.18 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có cạnh chung AB và không cùng nằm trên một mặt phẳng. a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF .Chứng minh OO’ song song với các mp(ADF) và (BCE) Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song www.saosangsong.com.vn 19 A B C D M E F H I J K b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và ABE.Chứng minh MN song song với mp(CEF) D. Hướng dẫn giải 2.15 a) Gọi M là trung điểm của CD thì E ∈AM và F ∈ BM Theo tính chất trọng tâm ta có : 1 3 ME MF MA MB = = Vậy EF // AB Suy ra EF song song với các mp(ABD) và mp(ABC) b) Mặt phẳng (P) qua EF // mp(ABC) nên (P) (ABC) = HJ // AB // EF . Tương tự (P) ∩ ∩ (ABD) = IK // AB// EF. Vậy thiết diện là hình thang HIKJ 2.16 Mặt phẳng (P) qua M và song song với AB nên ∩ (ABC) = MN//AB (P) S D C B A M N K H ∩ (ABD) = HK // AB (P) Mặt phẳng (P) // CD nên ∩ (BCD) = MK // CD (P) ∩ (ACD) = NH // CD (P) H Vậy MN // HK // AB và MK // NH //CD N BA K Suy ra thiết diện MNHK là hình bình hành D M C 2.17 a) mp(P) // BC nên mp(P) cắt hai mặt phẳng (ABCD) và (SBC) theo hai giao tuyến MN và HK song song với BC.Mặt phẳng (P) // SA nên (P) ∩ (SAB) = NH // SA Thiết diện là hình thang MNHK b) Đường thẳng MN cắt đường thẳng AD tại E .Hai mặt phẳng (P) và (SAD) có E chung và SA // mp(P) nên giao tuyến là đường thẳng d qua E và song song với SA A D C B F E O' O H M N 2.18 a) OO’ là đường trung bình của tam giác BDF nên OO’//DF Vậy OO’ // mp(ADF) CDFE là hình bình hành nên CE // DF do đó OO’ // CE Vậy OO’ // mp(BCE) b) Gọi H là trung điểm của AB M là trọng tâm tam giác ABD nên M ∈ DH và N là trong tâm tam giác ABE nên N ∈ EH và ta có : 1 3 HM FN D FE = = .Do đó MN // DE mà DE nằm trên mp(CEF) H Vậy MN // mp(CEF) §4 . Hai mặt phẳng song song A .Tóm tắt giáo khoa 1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt Cho hai mặt phẳng phân biệt ta có hai trường hợp : Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song www.saosangsong.com.vn 20 a) (P) và (Q) có điểm chung thì chúng cắt nhau theo một đường thẳng b) (P) và (Q) không có điểm chung thì ta nói chúng song song với nhau (hoặc song song) ,kí hiệu (P) // (Q) hay (Q) // (P) Định nghĩa : Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung P Q P Q 2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song Định lí 1 : Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q) bb aa PP b' a' QQ 3. Tính chất Tính chất 1 : Qua môt điểm nằm ngoài một mặt phẳng,có môt và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó Hệ quả 1 : Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) Hệ quả 2 : Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau Tính chất 2 : Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R ) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song P Q R a a" a' R A A' B B1 B' C C1 C' P Q R aP bQ Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song www.saosangsong.com.vn 21 4. Định lí Ta-lét (Thalès) trong không gian Định lí 2 (Định lí Ta-lét) Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Định lí 3 : (Định lí Ta-lét đảo) Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a và a’ lần lượt lấy các điểm A,B,C và A’,B’,C’ sao cho ' ' ' ' ' ' AB BC CA A B B C C A = = .Khi đó ba đường thẳng AA’,BB’,CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song,tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng. 5. Hình lăng trụ và hình hộp Định nghĩa hình lăng trụ : Cho hai mặt phẳng (P) và (P’) song song.Trên (P) cho đa giác AB . .D.. Qua các đỉnh A , B , . . . , D , ta vẽ các đường thẳng song song với nhau, lần lượt cắt mp(P’) tại A’, B’, . . ., D’. Ta được hình lăng trụ , kí hiệu AB . . .D. A’B’. . .D’. Nếu đáy của hình lăng trụ là tam giác ,tứ giác,ngũ giác v.v. . .thì lăng trụ tương ứng gọi là lăng trụ tam giác,lăng trụ tứ giác , lăng trụ ngũ giác v.v… nh hành • Trong lăng trụ , các cạnh bên AA’, BB’ . . .song song và bằng nhau A C B A’ C’ B’ • Các mặt bên ABB’A’, BCC’B’. . . là hình bì • Hai đáy AB . . .D và A’B’. . D’ bằng nhau và có các cạnh tương ứng bằng nhau. Lăng trụ tam giác Lăng trụ tứ giác Hình hộp : Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp. Hình hộp có: • 6 mặt đều là những hình bình hành, các mặt đối diện thì song song và bằng nhau. • 12 cạnh chia làm 4 nhóm, mỗi nhóm 4 cạnh song song và bằng nhau. • 4 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. A 6. Hình chóp cụt Định nghĩa : Cho mặt phẳng (P) không qua đỉnh hình chóp và song song với mặt phẳng đáy và cắt các cạnh bên hình chóp . Hình giới hạn bởi (P) và mặt phẳng đáy gọi là hình chóp cụt. Tính chất : • Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau O S D D'B C A' A' B' C' D' B' C' D A B C Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song www.saosangsong.com.vn 22 • Các mặt bên là những hình thang • Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng qui tại một điểm B.Giải toán Chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mặt phẳng kia x y z t A B C D A' B' C' D' O' O Ví dụ 1 : Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD .Qua A,B,C,D lần lượt vẽ các nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt song song với nhau và nằm về một phía đối với mặt phẳng (P).Mặt phẳng (Q) lần lượt cắt Ax, By, Cz, Dt tại A’, B’, C’, D’. a) Chứng minh mp(Ax,By) song song với mp(Cz,t) b) Chứng minh tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành c) Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’ Giải a) Ta có Ax // Cz (giả thiết) và AB // CD ( cạnh đối hình bình hành) Vậy mp(Ax,By) // mp(Cz,Dt) b) mp(Q) cắt hai mặt phẳng songsong (Ax,By) và (Cz,Dt) theo hai tuyến A’B’ // C’D’ Tương tự mp(By,Cz) // mp(Ax.Dt) .Do đó mp(Q) cắt hai mặt này theo hai giao tuyến B’C’ // A’D’ Vậy tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành c) Gọi O và O’ là tâm hai hình bình hànhABCD và A’B’C’D’ .Ta có : OO’ = A ' 2 'A CC+ (đường trung bình của hình thang ACC’A’) S CB A D E FO M N và OO’ = B ' ' 2 B DD+ (đường trung bình của hình thang BDD’B’). Vậy AA’ + CC’ = BB’ + DD’. Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O .Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SA và CD. a) Chứng minh mp(OEF) song song với mp(SBC) b) Gọi M là trung điểm của SD và N là trung điểm của OE . Chứng minh MN song song với mặt phẳng (SBC) Giải a) Ta có OF // BC ( đường trung bình của tam giác BCD) và OE // SC ( đường trung bình của tam giác SAC) Vậy mp(OEF) // mp(SBC) b) Ta có EM // AD (đường trung bình của tam giác SAD) do đó EM//OF .Suy ra MN nằm trên mặt phẳng (OEMF) Mà mp(OEMF) // mp(SBC) Vậy MN // mp(SBC) Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song www.saosangsong.com.vn 23 x y t z A B C D H M O N Ví dụ 3 : Cho hai nửa đường thẳng Ax và By chéo nhau .Hai điểm C và D lần lượt di động trên Ax và By sao cho AC = BD . a) Chứng minh rằng CD luôn luôn song song với mặt phẳng cố định b) Trung điểm M cũa CD chạy trên đường nào? Giải a) Kẻ Bt // Ax và lấy điểm H trên Bt sao cho BH = AC Ta có AC // BH và AC = BH nên tứ giác ABHC là hình bình hành Do đó CH // AB Mặt khác BH = BD nên tam giác BDH cân tại B, do đó DH song song với phân giác ngoài Bz .Vậy mp(CDH) // mp(ABz) Mà CD nằm trên mặt phẳng (CDH) nên CD // mp(ABz) cố định b) Gọi O là trung điểm của AB và N là là trung điểm của DH .Ta có MN // OB và MN = OB nên OMNB là hình bình hành, suy ra OM // BN. Vì tam giác BDH cân nên trung tuyến BNcũng là phân giác của góc yBt , do đó N di động trên tia phân giác trong Bz’của góc yBt cố định .Vậy M di động trên tia Ou // Bz’ O C' B' A' C B A N M O' Ví dụ 4 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Gọi M là trung điểm của B’C’ a) Chứng tỏ mp(AA’M) cắt BC tại N và AN//A’M b) Chứng minh rằng đường thẳng AC’ song song với mp(BA’M) c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC) Giải a) Hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) song song cắt bởi mặt phẳng (AA’M) theo hai giao tuyền AN // A’M , do đó N là trung điểm của BC. b) Ta có AN // A’M và NC’ // BM. Do đó mp(ANC’) // mp(BA’M) Vậy AC’ // mp(BA’M) c) Gọi O là tâm hình bình hành ABB’A’ và O’ là tâm hình bình hành ACC’A’ Hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC) có hai điểm chung O và O’ nên giao tuyến của chúng là OO’ Ví dụ 5 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. a) Chứng minh rằng bốn đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường b) Chứng minh rằng tổng bình phương các đường chéo của một hình hộp bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình hộp đo.ù Giải a) Ta có AA’ // CC’ và AA’ = CC’ nên tứ giác ACC’A’ là hình bình hành, do hai đường chéo AC’ và A’C cắt nhau tại trung điểm mỗi đường Tương tự các tứ giác ABC’D’ và ADC’B’ là hình bình hành. Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song www.saosangsong.com.vn 24 C'B' A' CB A D' D Vậy bốn đường chéo AC’, A’C, BD’ và B’D giao nhau tại trung điểm O của mỗi đường b) Ta chứng minh tính chất : Trong hình bình hành tổng bình phương hai đường chéo bằng tổng bìng phương các cạnh Xét hình bình hành ABCD, theo định lí hàm cos ta có : AC2 = AB2 + BC2 – 2AB.BC.cosB BD2 = AB2 + AD2 – 2AB.AD.cos A mà góc A và góc B bù nhau nên cosA = - cosB Vậy AC2 + BD2 = 2(AB2 + BC2 ) Aùp dụng tính chất này vào các hình hành: ACC’A’ ⇒ AC’2 + A’C2 = 2(AC2 + AA’2) BDD’B’ BD’⇒ 2 + B’D2 = 2(BD2 + BB’2) Vậy AC’2 + A’C2 + BD’2 + B’D2 = 4AA’2 + 2(AC2 + BD2 ) (vì AA’ = BB’) = 4AA2 + 4( AB2 + BC2) S Ví dụ 6 : Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A’B’C’.Gọi S là giao điểm các đường thẳng chứa các cạnh bên và G và G’ là trọng tâm các tam giác ABC và A’B’C’. Chứng tỏ AG // A’G’ C'A' A B C B' M' MG G' Giải Gọi M và M’ là trung điểm của BC và B’C’ thì trọng tâm G thuộc AM và trọng tâm G’ thuộc A’M’.Hai mặt phẳng song song (ABC) và (A’B’C’) cắt bởi mặt phẳng AGA’ theo hai giao tuyến AG // A’G’ C. Bài tập rèn luyện 2.19 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có cạnh chung AB và không nằm trong cùng mặt phẳng . a) Chứng minh mp(CBE) // mp(ADF) b) Lấy điểm M trên đừờng chéo AC với MC = 2AM và điểm N trên đường chéo BF với NF = 2BN .Các đường song song với AB kẻ từ M,N lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’.Chứng minh mp(DEF) // mp(MNN’M’) 2.20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.Gọi O là tâm của hình bình hành , M và N lần lượt là trung điểm của SC và SD . a) Chứng minh mp(OMN) song song với mp(SA