Giáo trình Ôn thi Cao học - Toán kinh tế

−2 1 − 3 1 −1 : −2     −2d1 +d2 0 7 − 5 6 5: −d2 +d3 0 7 − 5 6 5: →   →   −3d1 +d3 0 7 − 5 6 5:  −d2 +d4 0 0 0 0 0:  −d1 +d4     0 7 − 5 6 5:  0 0 0 0 0:  ~ Khi ó r(A) = r( A ) = 2 < n = 4. Do ó h có vô s nghi m x − 3x + x − x = −2 Khi ó h ã cho ⇔  1 2 3 4  7x 2 − 5x 3 + 6x 3 = 5 ThS Phùng Duy Quang 41 Tr ng Khoa C ơ b n – Tr ng i h c Ngo i Th ơ ng Hà n i Ch n 4 – 2 = 2 n t do là x 3, x 4 và x 1, x 2 khi ó là n c b n. H tr thành  1+ 8x 3 −11 x 4 x1 = x1 − 3x 2 = −x 3 + x 4 − 2  7  ⇔  x; 3 x, 4 ∈ R  7x = 5x − 6x − 5 5 + 5x − 6x 2 3 3 x = 3 4  2 7 1+ 8α −11 β 5 + 5α − 6β  Vy h có vô s nghi m X =  ; ;α;β(α;β ∈ R)  7 7  Ví d 6. Gi i và bi n lu n h ph ư ng trình sau mx + x + mx = 1  1 2 3  x1 + mx 2 + mx 3 = 1   x1 + x 2 + x 3 = 1 Gi i Nh n xét: ây là h có 3 ph ư ng trình, 3 n s có ma tr n b sung là m 1 1 1:  ~   A =  1 m m 1:   1 1 1 1:  m 1 m Ta có A = 1 m m = −(m − )1 2 1 1 1 * N u m ≠ 1 thì A ≠ 0 nên h là h Cramer nên có nghi m duy nh t. Mt khác ta l i có 1 1 m m 1 m m 1 1 2 2 2 ∆1 = 1 m m = −(m − )1 ; ∆ 2 = 1 1 m = −(m − )1 ;∆ 3 = 1 m 1 = (m − )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    ∆1 ∆ 2 ∆ 3  Do ó, nghi m c a h là  x1 = = ;1 x 2 = = ;1 x1 = = −1  A A A  * N u m = 1 khi ó ma tr n b sung có d ng 1 1 1 1:  1 1 1 1:  ~     A = 1 1 1 1:  → 0 0 0 0:  1 1 1 1:  0 0 0 0:  ~ Suy ra r(A) = (r A) = 1 < n = 3 nên h có vô s nghi m ThS Phùng Duy Quang 42 Tr ng Khoa C ơ b n – Tr ng i h c Ngo i Th ơ ng Hà n i H ⇔ x1 + x 2 + x 3 = 1 ⇔ x 3 = 1− x1 − x 2 x; 1 x, 2 ∈ R Vy h có nghi m X = (1− α − β;α;β); α,β ∈ R 4. H ph ư ng trình tuy n tính thu n nh t nh ngh a 6. H ph ư ng trình tuy n tính thu n nh t là h ph ư ng trình tuy n tính có các h s t do b ng không, t c là h có d ng a11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = 0  a x + a x + ... + a x = 0  211 222 2nn (IV) ........................................ ..........  am1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = 0 Nh n xét. + H (IV) luôn có nghi m là x 1 = x 2 = = x n = 0. Nghi m này ưc g i là nghi m t m th ưng c a h (IV). + H (IV) có nghi m duy nh t ( ó là nghi m t m th ưng) ⇔ r(A) = n. + H (IV) có nghi m không t m th ưng ⇔ r(A) < n. + H thu n nh t vuông (h có s ph ư ng trình b ng s n) có nghi m không t m th ưng khi và ch khi det(A) = 0. Ví d 1. Gi i và bi n lu n h ph ư ng trình sau 3x + y + 10z = 0  2x + ay + 5z = 0  x + 4y + 7z = 0 Gi ải ây là h thu n nh t vuông. Ta có 3 1 10 det(A) = 2 a 5 = 11(a + 1) 1 4 7 + V i a ≠ -1, det(A) ≠ 0 nên h ã cho ch có nghi m t m thu ng x = y = z = 0. + V i a = -1, h ã cho tr thành 3x + y + 10z = 0  2x - y + 5z = 0  x + 4y + 7z = 0 ThS Phùng Duy Quang 43 Tr ng Khoa C ơ b n – Tr ng i h c Ngo i Th ơ ng Hà n i 3 1 Vì = - 5 0 nên h ã cho t ư ng ư ng v i h 2 -1 3x + y + 10z = 0 3x + y = -10z  ⇔  2x - y + 5z = 0 2x - y = -5z ⇒ 5x = -15z ⇒ x = -3z ⇒ y = 2x + 5z = - z Vy, v i a = -1, h ã cho có vô s nghi m là x = -3t  y = -t ; t ∈ R  z = t Ví d 2. Tìm m h sau có nghi m không t m th ưng và tìm các nghi m ó  2( − m x) + x = 0  1 2  − x1 − mx 2 + x 3 = 0   x1 + 3x 2 + 1( − m x) 3 = 0 Gi i Cách 1. Dùng ph ư ng pháp Gauss Ta có, ma tr n h s là 2 − m 1 0   1 3 1− m 1 3 1− m        A =  −1 − m 1  →  −1 − m 1  → 0 − m + 3 2 − m   1 3 1− m 2 − m 1 0  0 3m − 5 − m 2 + 3m − 2 * N u – m + 3 = 0 ⇔ m = 3, ta có 1 3 1− m 1 3 1− m     A → 0 0 −1  → 0 4 − 2  ⇒ (r A) = 3 0 4 − 2  0 0 −1  nên h ch có nghi m t m th ưng * N u m ≠ 3 ta có       1 3 1− m 1 3 1− m   2 − m  2 − m A → 0 1  → 0 1   3 − m   3 − m  0 3m − 5 − m 2 + 3m − 2  m3 − 3m 2 − 4 0 0   3 − m  3 2 m = 2 h có nghi m t m th ưng thì m – 3m – 4 = 0 ⇔  ⇒ (r A) = 2 . m = −1 ThS Phùng Duy Quang 44 Tr ng Khoa C ơ b n – Tr ng i h c Ngo i Th ơ ng Hà n i Khi ó, h có nghi m t m th ưng 1 3 −1   +) N u m = 2 thì A → 0 1 0  0 0 0  x = x+ 3x − x = 0  1 1 2 3  * Khi ó h ⇔ ⇔=∈  x2 0;  x2 = 0  x3 = 1 3 −1  3  +) N u m = - 1 thì A → 0 1   4  0 0 0   x =  1 4 x1+ 3x 2 − x 3 = 0    −3  * Khi ó h ⇔3 ⇔=∈  x2 ; x2+ x 3 = 0  4  4 x3 =   Cách 2. Vì h có s ph ư ng trình b ng s n nên ta tính nh th c ma tr n h s A. 2 − m 1 0 A = −1 − m 1 = −(m − )2 2 (m + )1 1 3 1− m m ≠ 2 * N u A ≠ 0 ⇔  thì h có nghi m t m th ưng duy nh t m ≠ −1 m = 2 * N u A = 0 ⇔  . Khi ó h có nghi m không t m th ưng và s d ng ph ư ng m = −1 pháp Gauss ta tìm ưc nghi m c a h ó. Ví d 3. Tìm nghi m t ng quát c a h sau − x1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 0   2x + 3x − x + 2x = 0  1 2 3 4 − 3x1 − x 2 + 4x 3 − x 4 = 0   x1 − 2x 2 − 3x 3 − x 4 = 0 Gi i Ta có ma tr n h s các n ThS Phùng Duy Quang 45 Tr ng Khoa C ơ b n – Tr ng i h c Ngo i Th ơ ng Hà n i −1 2 3 1  −1 2 3 1  −1 2 3 1       2 3 −1 2 2d1 +d2 0 7 5 4 −d1 +d2 0 7 5 4 A =   →   →   − 3 −1 4 −1 −3d1 +d3  0 − 7 − 5 − 4  0 0 0 0   d1 +d4      1 − 2 − 3 −1  0 0 0 0   0 0 0 0 Suy ra r(A) = 2 < n = 4 nên h có vô s nghi m. Ch n x 3, x 4 làm n t do và x 1, x 2 là n c b n. Khi ó, h tr thành  11 3 x1 = 2x 2 + 3x 3 + x 4 = x 3 + x 4 − x1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 0  7 7  ⇔  (x 3, x 4 tu ý) 7x + 5x + 4x = 0 − 5 4  2 3 4 x = x − x  2 7 3 7 4 11 3 − 5 4  Vy nghi m t ng quát c a h  α + β; α − β;α;β ;α,β∈ R .  7 7 7 7  ThS Phùng Duy Quang 46 Tr ng Khoa C ơ b n – Tr ng i h c Ngo i Th ơ ng Hà n i TOÁN CAO C ẤP 2 Chuyên 3. GI I H N, LIÊN T C – VI PHÂN, TÍCH PHÂN HÀM 1 BI N §1. GI I H N HÀM S I. Các khái ni m c b n v hàm m t bi n s 1) nh ngh a: Ánh x f: X→ R x a y = f( x ) v i X⊂ R, X ≠ ∅ ưc g i là hàm s . * Ta g i X là t p xác nh c a hàm f( x ) , kí hi u D(f); f(X) là t p giá tr c a hàm f, kí hi u R(f); x ∈D(f) g i là bi n c l p. 2 Ví d 1: Hàm y = 4− x có Df = [-,],R22 f = [, 04 ] . * Hàm ch n : Gi s X⊂ R , X nh n g c O làm tâm i x ng. Hàm s f( x ) ưc g i là ch n n u f(− x ) = fx () ∀x ∈ X , là hàm l n u fx()− = − fx () ∀x ∈ X . * Chú ý: th hàm s ch n nh n tr c tung làm tr c i x ng. th hàm s l nh n g c ta O làm tâm i x ng. * Hàm l : Hàm s f( x ) ưc g i là hàm s tu n hoàn n u ∃ T > 0 sao cho f(x+ T) = f(x), ∀∈ x D f S T nh nh t sao cho có ng th c trên ưc g i là chu k c a hàm s f( x ) . Ví d 2: Các hàm s y = sinx, y = cosx là tu n hoàn v i chu kì 2 π ; các hàm s y = tgx, y = cotgx là tu n hoàn v i chu k π . Hàm n iu: Hàm y= f( x ) ưc g i là t ng (t ng ng t) trên kho ng I ⊆ D f n u ∀x1, x2 ∈ I, x 1 < x 2 thì f(x 1) ≤ f(x 2) (f(x 1) < f(x 2)); gi m (gi m ng t) trên I n u ∀x1, x 2 ∈ I thì (x 1) ≥ f(x 2) (f(x 1) > f(x 2)). Hàm s t ng ho c gi m trên I ưc g i là hàm n iu trên I. Hàm b ch n: Cho hàm s f(x) xác nh trên X. Hàm s f(x) ưc g i là b ch n trên nu ∃M :f(x) ≤ M ∀x ∈ X ; b ch n d ưi n u ∃M: f(x) ≥ M ∀x ∈ X ; b ch n nu ∃M: f(x) ≤ M , ∀x ∈ X . 2) Hàm s h p: nh ngh a. Cho X, Y, Z ⊆ R, cho hàm s f : X → Y, g: Y → Z. Khi ó, hàm s h: X → Z ưc nh ngh a b i h(x):= g(f(x)), x ∈ X ưc g i là hàm s h p c a hàm s f và g. Kí hi u là: g[f(x)] hay (go f)(x),x ∈ X. Ví d 3. Xét các hàm s f(x) =+ 2 x 1 ,g(x) =+ x2 4 . Khi ó: ThS Phùng Duy Quang 47 Tr ng Khoa C ơ b n – Tr ng i h c Ngo i Th ơ ng Hà n i g[f(x)] = f(x)2 += 4 (x 2 + 1 ) 2 + 4 f[g(x)] = 2 g(x) += 12 (x2 ++ 41 ) 3) Hàm s ng ưc: * nh ngh a. Cho hai t p X, Y ⊆ R; cho hàm s f: X → Y x a y = f(x) Nu t n t i hàm s g: Y → X tho mãn: o + (g f)(x) = 1X o + (f g)(y) = 1Y thì g(x) ưc g i là hàm s ng ưc c a hàm s f(x). Kí hi u: g = f -1 * Chú ý: 1. f: X → Y là song ánh ⇔ ∃g = f -1: Y → X. T c f có hàm s ng ưc khi và ch khi f là song ánh. 2. Nu hàm s y = f(x) n iu nghiêm ng t thì nó có hàm ng ưc 3. D = R , R = D . f −1 f f −1 f 4. th c a hàm ng ưc y = f -1(x) i x ng v i th hàm s y = f(x) qua ưng phân giác c a góc th nh t. Ví d 4. Tìm hàm ng ưc c a hàm y = 4 x 4 Gi i. Ta có D f = [0, + ∞ ), R f = [0, + ∞ ). Hàm y = x là hàm t ng nghiêm ng t trên D f nên nó có hàm ng ưc. Rút x theo y, ta có: x= y,y4 ≥ 0 , i vai trò c a x vµ y ta có: hàm y = 4 x có hàm ng ưc là y = x 4, x ≥ 0. 4) Các hàm s th ưng g p: . Các hàm s s c p c b n * Hàm s lu th a y = x α, α là m t s th c cho tr ưc Df= R; R f = R * Hàm s m : y = a x (a>0, a ≠ 1) * Df= R; R f = R + * Hàm s logarit: y = log ax ( a > 0 và a ≠ 1) * Df= R;R+ f = R * Các hàm s l ưng giác: +) Hàm f(x) = sinx Df= R; R f =[ − 1,1 ] +) Hàm y = cosx ThS Phùng Duy Quang 48 Tr ng Khoa C ơ b n – Tr ng i h c Ngo i Th ơ ng Hà n i Df= R; R f =[ − 1,1 ] +) Hàm y = tgx π  D=∈ xR/x ≠+π∈ k,k Z,R  = R f 2  f +) Hàm y = cotgx Df =∈{ x R/x ≠π∈ k,k Z,R} f = R * Các hàm s l ưng giác ng ưc: π π  +) Hàm y = arcsinx là hàm ng ưc c a hàm s y = sinx trên − , có 2 2  - Mi n xác nh D y = [-1, 1] π π  - Mi n giá tr R y = − , . 2 2  +) Hàm y = arccosx là hàm ng ưc c a hàm s y = cosx trên [0, π] có - Mi n xác nh D y = [-1, 1] - Mi n giá tr R y = [0, π]. π π  +) Hàm y = arctgx là hàm ng ưc c a hàm s y = tgx trong − ,  có 2 2  - Mi n xác nh D y = R π π  - Mi n giá tr R y =− ,  2 2  .+) Hàm y = arccotgx là hàm ng ưc c a hàm s y = cotgx trong (0, π) có - Mi n xác nh D y = R - Mi n giá tr R y = (0, π) . * Hàm s s c p: Ta g i các hàm s s c p là nh ng hàm s ưc t o thành b i m t s h u h n các phép toán s h c và phép toán h p trên các hàm s s c p c b n, và các h ng s . 5) M t s hàm s kinh t th ưng g p trong kinh t * Hàm cung và hàm c u: Các nhà kinh t s d ng khái ni m hàm cung và hàm c u bi u di n s ph thu c ca l ưng cung và l ưng c u c a m t lo i hàng hóa vào giá c a hàng hóa ó. Hàm cung và hàm c u có d ng: Hàm cung: Q S = S(p) Hàm c u: Q D = D(p) ThS Phùng Duy Quang 49 Tr ng Khoa C ơ b n – Tr ng i h c Ngo i Th ơ ng Hà n i Trong ó p là giá hàng hóa; Q S là l ưng cung: t c là l ưng hàng hóa ng ưi bán b ng lòng bán m i m c giá; Q D là l ưng c u: t c là l ưng hàng hóa ng ưi mua b ng lòng mua m i m c giá. Khi xem xét mô hình hàm cung, hàm c u nói trên ta gi thi t r ng các y u t khác không i. Hàm s n xu t ng n h n Các nhà kinh t h c s d ng khái ni m hàm s n xu t mô t s ph thu c c a sn l ưng hàng hóa (t ng s l ưng s n ph m hi n v t) c a m t nhà s n xu t vào các y u t u vào, g i là y u t s n xu t. Khi phân tích s n xu t, ta th ưng quan tâm n hai y u t s n xu t quan tr ng là vn và lao ng ưc ký hi u t ư ng ng là K và L. Ví d : Hàm s n xu t d ng Cobb – Douglas v i hai y u t v n (K) và lao ng (L): Q = aK α Lβ Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm l i nhu n Hàm doanh thu là hàm s bi u di n s ph thu c ca t ng doanh thu (TR) vào s n lưng (Q): TR = TR(Q). Hàm chi phí là hàm s bi u di n s ph thu c c a t ng chi phí s n xu t (TC) vào sn l ưng (Q): TC = TC(Q). Hàm l i nhu n là hàm s bi u di n s ph thu c c a t ng l i nhu n ( π ) vào s n lưng (Q): π = π(Q) . Hàm l i nhu n có th xác nh b i π = TR (Q) − TC (Q) . II. Gi i h n c a dãy s 1. nh ngh a. Ta nói r ng dãy s {x n} có gi i h n là a (h u h n ) n u v i m i s ε > 0 nh tu ý, t n ti m t s t nhiên n 0 sao cho xn − a < ε , v i m i n≥ n 0 Kí hi u: lim xn = a ho c xn → a khi n → +∞ n →∞ Nu dãy {x n} có gi i h n là a (h u h n) thì ta nói dãy này h i t v a . Ng ưc l i, n u dãy {x n} không có gi i h n, ta nói dãy này phân k . Ví d ụ 1: Xét dãy s xn = c, ∀ n . Ta có ∀>ε0,xcccn −=−=<∀ 0 ε n V y theo nh ngh a lim c= c . n →+∞ 1 Ví d ụ 2: lim=0() k > 0 và lim qn =0 khi q < 1 n →+∞ n k n →+∞ ThS Phùng Duy Quang 50 Tr ng Khoa C ơ b n – Tr ng i h c Ngo i Th ơ ng Hà n i Chú ý : +) limxn =+∞⇔∀>∃∈ A0 , nN0 sao cho xAnnn >∀≥ 0 n →∞ +) limxn =+∞⇔∀>∃∈ A0 , nN0 ,sao cho xAnnn <−∀≥ 0 . n →∞ +∞ khi A > 0 Ví d ụ 3: Cho k > 0 ta có lim A n k =  n →∞ −∞ khi A < 0 2. Tính ch t: Tính ch t 1. Nu dãy s {x n} có gi i h n thì gi i h n ó là duy nh t. Tính ch t 2. Mi dãy s h i t thì u b ch n. Tính ch t 3. Nu các dãy s xn và yn h i t và xn≤ y n ∀ n thì lim xn ≤ lim yn n→∞ n→∞ Tính ch t 4 (Nguyên lý k p). Nu x n ≤ z n ≤ y n, ∀ n ∈ N và limxn= lim y n = A thì n→∞ n →∞ lim zn = A . n →∞ Tính ch t 5. Nu lim xn = a thì lim xn = a n→∞ n→∞ Tính ch t 6. Nu lim xn = 0 thì lim xn = 0. n→∞ n→∞ Tính ch t 7. Gi s các dãy {x n }, {y n } h i t và lim xn = x , lim yn = y. Khi ó n→∞ n→∞ i) lim (x n + y n) = x + y n→∞ ii) lim (x n y n) = xy n→∞ xn x iii) lim = , n u y n ≠ 0, ∀n, y ≠ 0 n→∞ yn y Tính ch t 8. Nu dãy {x n} t ng và b ch n trên thì h i t . Tính ch t 9. Nu dãy {x n} gi m và b ch n d ưi thì h i t . 1  n 3. S e: e = lim 1 +  . n→∞ n  Ng ưi ta ch ng minh ưc r ng s e là m t s vô t và e = 2,71828.... 4. Tiêu chu n Cauchy . nh lý: iu ki n c n và dãy {x n} h i t là v i ∀ε > 0, ∃n0∈N* sao cho ∀n ≥ n0, ∀k ∈N* thì xn+ k− x n < . ThS Phùng Duy Quang 51 Tr ng Khoa C ơ b n – Tr ng i h c Ngo i Th ơ ng Hà n i § 2. GI I H N HÀM S 1. nh ngh a: nh ngh a 1. Cho hàm s f(x) xác nh trong kho ng (a, b). Ta nói r ng f(x) có g i h n là A (h u h n) khi x → x 0, n u v i m i dãy {x n} trong (a,b)\{x 0} mà xn→ x 0 khi n → ∞ thì dãy giá tr tư ng ng {f(x n)} h i t n A.Kí hi u: lim f(x) = A hay f(x) → A khi x → x 0. x→x0 nh ngh a 2. Cho hàm s f(x) xác nh trong kho ng (a, b). Ta nói r ng f(x) có g i h n là A (h u h n) khi x → x 0, n u v i b t kì ε > 0, t n t i s δ > 0 sao cho v i m i x ∈ (a, b) tho mãn 0 < |x – x 0| < δ thì |f(x) – A| < ε.. Chú ý: nh ngh a 1 t ư ng ư ng v i nh ngh a 2 2. Tính ch t Cho hàm s f(x) xác nh trên t p D Tính ch t 1. Gi i h n c a hàm s f(x) khi x → x 0 n u có là duy nh t. Tính ch t 2. Gi s t n t i lim f(x) = A, lim g(x) = B. Khi ó x→x0 x→x0 i) lim [fx ( )± gx ( )] = A ± B x→ a ii) lim[().()]fxgx = AB . x→ a f( x ) A iii) lim = , (B ≠ 0). x→ a g( x ) B Tính ch t 3 Nu hàm s s cp f(x) xác nh t i x0 thì limfx ()= fx (0 ) . x→ x 0 Tính ch t 4 (Nguyên lý k p): Nu g(x) ≤ f(x) ≤ h(x), ∀∈x( x0 −; x 0 + ) v i > 0 và lim g(x) = lim h(x) = A x→ x 0 x→x0 thì lim f(x) = A. x→ x 0 Tính ch t 5. Nu f(x) ≥ g(x), ∀∈ x( x0 −δ; x 0 +δ) , ví i δ > 0 nµo ®ã và limf(x)= A, limg(x) = B thì A≥ B xx→0 xx → 0 g(x) Tính ch t 6. N u limf(x)= A > 0 vµ limg(x) = B thì lim[ f(x)] = A B . xx→0 xx → 0 x→ x 0 3. Gi i h n m t phía Khái ni m x → x 0 c n ưc xét trong hai tr ưng h p: + Th1. x → x 0, x > x 0: t c là x d n n x 0 t bên ph i ( x → x 0 ). - Th2. x → x 0, x < x 0: t c là x d n n x 0 t bên trái (x → x 0 ). ThS Phùng Duy Quang 52 Tr ng Khoa C ơ b n – Tr ng i h c Ngo i Th ơ ng Hà n i + - Gi i h n c a hàm s f(x) khi x → x 0 và khi x → x 0 ưc g i tư ng ng là gi i hn bên ph i và gi i h n bên trái c a hàm s t i im x 0: Gi i h n bên ph i: lim f(x) = lim f(x); + x→ x 0 x→ x 0 x> x 0 Gi i h n bên trái: lim f(x) = lim f(x). − x→ x 0 x→ x 0 x< x 0 nh lí. iu ki n c n và lim f(x) = A là: lim f(x) = lim f(x) = A. + − x→ x 0 x→ x 0 x→ x 0 x Ví d 1. Cho hàm s f(x) = . Khi ó lim f(x) = -1, lim f(x) = 1, nên hàm s này x x→ 0 − x→ 0 + không có gi i h n khi x →0 4. M t s gi i h n c b n: sinx • lim = 1 x→0 x 1 1 1 • lim (1 + ) x = e ; lim (1 + ) x = e ; lim (1 + ) x = e x→∞ x x→+∞ x x→−∞ x 5. Vô cùng bé và vô cùng l n: a) nh ngh a. Hàm s f(x) ưc g i là i) vô cùng bé (VCB) khi x →x0 n u lim f(x) = 0. x→ x 0 ii) vô cùng l n (vi t t t là VCL) khi x → x 0 n u lim f(x) = ± ∞ . x→ x 0 Ví d 2. Theo các công th c gi i h n c a các hàm s c p c b n, ta có: Các hàm s x k (k > 0), sinx, tgx là các VCB khi x → 0 π Hàm s tgx là VCL khi x → 2 b) So sánh các VCB f (x) Cho f(x), g(x) là các VCB khi x → a. Gi s lim= k x→ a g(x) i) N u k = 0 thì f(x) ưc g i là VCB b c cao h n so v i g(x) khi x → a. Kí hi u f(x) = 0(g(x)), ii) N u k ≠≠≠ 0 và h u h n thì f(x) và g(x) ưc g i là nh ng VCB cùng b c khi x → a. Kí hi u f = 0 *(g) khi x → a. c bi t, khi k = 1, thì f(x) và g(x) ưc g i là nh ng VCB t ư ng ư ng khi x → a và vi t: f(x) ∼ g(x), x → a. Nh ận xét: N u p> q > 0 thì xp= 0( x q ) . N u fx()= 0[ hx () ], gx()= 0[ hx () ] và a là h ng s thì i) afx.()= 0[ hx () ] ThS Phùng Duy Quang 53 Tr ng Khoa C ơ b n – Tr ng i h c Ngo i Th ơ ng Hà n i ii) fx()± gx () = 0[ hx () ] iii) fxgx().()= 0[ hx () ] k+++1 k 2 k 3 kpk + Ví d 3 : Vi k>0, khi x → 0 ta có: ax1+ ax 2 + ax 3 ++... axp = 0 () x Ví d 4: Các hàm sinx và x là hai VCB t ư ng ư ng khi x → 0 vì sinx lim = 1. x→0 x Ví d 5: Các hàm tg2x và sinx là hai VCB cùng b c khi x → 0, vì tg2x tg2 x x lim =lim . .2 = 2 x→0 sinxx→0 2x s inx c) nh lí: nh lí 1. Hàm s f(x) có gi i h n là L khi x → a khi và ch khi fx() = L + () x , v i mi (x ) là hàm vô cùng bé khi x → a. nh lý 2. Gi s khi x → x 0, ta có các c p VCB t ư ng ư ng: α(x) ∼ α1(x), β(x) ∼ β1(x) α ( x ) α(x) α (x) Khi ó, n u lim 1 t n t i (h u h n ho c vô h n) thì lim1 = lim x→ x xx→ xx → 0 β1( x ) 0β1(x) 0 β (x) x + 2x 2 .Ví d 6. Tính lim x→0 sinx + tg3 x Gi i. Vì x + 2x 2 ∼ x, x → 0 và sin2x + tg 5 x ∼ sin2x, x → 0. Áp d ng nh lí trên, ta có x + 2x 2 2x lim = lim = 2. x→0 sin2x + tg5 x x→0 sin2x ThS Phùng Duy Quang 54 Tr ng Khoa C ơ b n – Tr ng i h c Ngo i Th ơ ng Hà n i § 3. HÀM S LIÊN T C 1. nh ngh a nh ngh a 1. Cho hàm s f(x) xác nh trên t p h p D f, Ta nói hàm s f(x) -Liên t c t i im x 0∈Df nu: lim f(x) = f(x 0). x→ x 0 + - Liên t c ph i t i x 0 n u f(x 0 )= lim f(x) = .f(x 0) + x→ x 0 - - Liên t c trái t i x 0 n u f(x 0 ) = lim f(x) = f(x 0) − x→ x 0 Hàm s không liên t c t i x 0 thì ta nói hàm s gián on t i x0 . 2x+ 1 khix < 0 VD 1: Xét tính liên t c c a hàm s f( x) =  2 x+ akhix ≥ 0 Hàm s liên t c t i m i im thu c kho ng (−∞;0) vµ ( 0 ; +∞ ) T i x = 0 : f(0 )= a limf(x)= lim(x2 + a) = a x→0 + x → 0 limf(x)= lim(2 x + 1 ) = 1 x→0 − x → 0 V y n u a = 1 thì hàm s liên t c t i m i im thu c R , N u a ≠ 1 thì hàm s liên t c t i m i im thu c R \ {0} . nh ngh a 3. Ta nói hàm s f( x) liên t c trong kho ng ( a;b) n u nó liên t c t i m i im thu c kho ng ( a;b) . nh ngh a 4. Ta nói hàm s f( x) liên t c trong kho ng [a;b] n u nó liên t c t i m i im thu c kho ng ( a;b) và liên t c trái t i a , liên t c ph i t i b . Chú ý: Các hàm s s c p liên t c t i m i im thu c mi n xác nh c a nó 2. Các phép toán s c p i v i hàm s liên t c a. Định lý 1: N u các hàm s f( x);g( x) liên t c t i x 0 thì: i) f(x)+ g(x);f(x) − g(x);f(x).g(x) c ng liên t c t i x 0 . f( x) ii) liên t c t i x n u g( x ) ≠ 0 . g( x ) 0 0 b. Định lý 2: N u hàm s g( x ) liên t c t i x 0 và hàm s f( u) liên t c t i u0= g( x 0 ) thì hàm s f( g( x)) liên t c t i x 0 . 3. Các tính ch t c b n c a hàm s liên t c a) nh lý (Vâyestrat) Nu hàm s f( x) liên t c trên on [a;b] thì có GTNN và GTLN trên on [a;b] . b) nh lý (Giá tr trung gian) Nu hàm s f( x) liên t c trên on [a;b] và f(a)≠ f(b) thì nó nh n m i giá tr trung gian gi a f(a) vµ f(b) . T c là v i m i s m n m gi a f(a) vµ f(b) luôn t n t i c∈ ( a;b ) f(c)= m. ThS Phùng Duy Quang 55 Tr ng Khoa C ơ b n – Tr ng i h c Ngo i Th ơ ng Hà n i f(a) O H qu : Nu N u hàm s f( x) liên t c trên on [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì t n t i c∈ ( a;b ) f( c)= o. T c là ph ư ng trình f(x)= o có ít nh t m t nghi m thu c (a;b ) . ThS Phùng Duy Quang 56 Tr ng Khoa C ơ b n – Tr ng i h c Ngo i Th ơ ng Hà n i § 4 O HÀM, VI PHÂN VÀ NG D NG I. o hàm và vi phân c p 1: 1. Khái ni m a. o hàm t i m t im nh ngh a 1: Cho hàm y = f(x) xác nh trên kho ng (a, b) và x 0 là im c nh thu c kho ng (a, )x(f − x(f ) b). Nu t n t i gi i h n h u h n Lim o thì gi i h n ó g i là o hàm c a hàm x→x0 x − x o s y=f(x) t i im x 0. Ký hi u: f(x′′′ 0 ) ho c y(x′′′ 0 ) nh ngh a 2 : Hàm s f(x) ưc g i là hàm kh vi t i im x 0 n u t n t i s th c k sao cho f(x)− f(x)0 =∆+∆ k.x0 ( x) . Khi ó bi u th c k.∆∆∆ x ưc g i là vi phân c a hàm s t i x 0 , Kí hi u là df(x0 ) , túc là: df(x0 )= k. ∆ x Chú ý : f(x)−−− f(x0 ) Nu t n t i gii h n lim thì nó ưc g i là o hàm ph i t i x 0 kí hi u x→ x + 0 x−−− x 0 là: f+++′′′ (x0 ) . f(x)−−− f(x0 ) Nu t n t i gi i h n lim thì nó ưc g i là o hàm trái t i x 0 kí hi u x→ x − 0 x−−− x 0 là: f−−−′′′ (x0 ) . c. o hàm trên m t mi n nh ngh a: Nu hàm s y=== f(x) có o hàm t i m i im thu c mi n X, thì quy t c cho t ư ng ng m i giá tr x∈∈∈ X , m t giá tr xác nh f′′′ (x) , cho ta m t hàm s y′=== f(x) ′ xác nh trên X. Ta g i hàm s này là o hàm c a hàm s y=== f(x) trên mi n X. Ví d 1: o hàm c a hàm s y=== x 2 là hàm s y=== 2 x. o hàm c a hàm s y=== sinx là hàm s y=== cosx. 2. Tính ch t nh lý 1. Nu hàm s y=== f(x) có o hàm t i x 0 thì nó liên t c t i im ó. nh lý2. o hàm f(x′′′ 0 ) là h s góc c a ti p tuy n c a ưng cong (C): y = f(x) t i im M(x0 ;y 0 ) . Và nh ư v y nó c ng là s o d c c a ưng cong (C) t i im M(x0 ;y 0 ) . ThS Phùng Duy Quang 57 Tr ng Khoa C ơ b n – Tr ng i h c Ngo i Th ơ ng Hà n i 3. o hàm và vi phân c a các hàm s c p c b n: Giáo trình 4. Các quy t c tính o hàm và vi phân a) nh lý 1. Nu u = u(x), v = v(x) có o hàm t i im x 0 thì t i im ó: (u ± v) ′ = u′ ± v ′ du( ± v) = du ± dv (ku) ′ = k u′ d(ku) = kdu (uv) ′ = u′v + u v′ d(uv) = vdu + udv ' u vdu - udv u  u′ v - uv ′ d( ) = (v ≠ 0)   = (v ≠ 0) 2 v  v2 v v Ví d 2: Tính o hàm các hàm s sau: y=2 x4 + 3 x 2 − 4 x + 5 y=== x3 ln x ln x y === x 4 xsinx+++ cosx y === xcosx−−− sinx b) o hàm c a hàm s h p nh lý: N u hàm s u=== g( x ) có o hàm t i x 0 , hàm s y=== f(u) có o hàm t i u0=== g( x 0 ) thì hàm s y=== f(g(x)) có o hàm t i x 0 và và ưc tính thêo công th c: y(x)′=== f(u ′0 ).u(x ′ 0 ) hay có th vi t ng n g n là: yx′=== f.u u ′ x′ Ví d 3: Tính o hàm c a y = cos 4x Hàm s y = cos 4x là hàm h p c a hai hàm c b n y = u 4 và u = cosx. Theo nh lý trên ta có y ’ = (u4 )′ ( cosx) ′ = 4u 3. (-sinx) = -4cos 3x.sinx ′ Ví d 4: ()esinx= e sinx .(sinx)′ = e sinx .cosx 5. Tính b t bi n c a bi u th c vi phân Vi phân c p 1 b t bi n qua phép i bi n II. o hàm và vi phân c p cao 1) nh ngh a +) N u hàm s y = f(x) có o hàm t i m i im thu c kho ng X thì o hàm y ′ = f′(x) là m t hàm c a i s x, xác