Hệ thống kiến thức Tích phân và ứng dụng của tích phân

Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x^2+ x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y = x;y= 2 - x;y= 0

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy

Bài 3:Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = (x-2)^2 và y = 4

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:

a) Trục Ox

b) Trục Oy

pdf8 trang | Chia sẻ: maiphuongdc | Ngày: 27/08/2013 | Lượt xem: 9374 | Lượt tải: 42download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Hệ thống kiến thức Tích phân và ứng dụng của tích phân, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chuyên đề 13: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản: Bảng 1 Bảng 2 Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C a ( hằng số) ax + C xα 1 1 x C α α + ++ ( )ax b α+ a 1 1( ) 1 ax b C α α ++ ++ 1 x ln x C+ 1 ax b+ 1 ln ax b C a + + xa ln xa C a + xe xe C+ ax be + 1 ax be C a + + sinx -cosx + C sin(ax+b) 1 cos( )ax b C a − + + cosx Sinx + C cos(ax+b) 1 sin( )ax b C a + + 2 1 cos x tgx + C 2 1 cos ( )ax b+ 1 ( )tg ax b C a + + 2 1 sin x -cotgx + C 2 1 sin ( )ax b+ 1 cot ( )g ax b C a − + + ' ( ) ( ) u x u x ln ( )u x C+ 2 2 1 x a− 1 ln 2 x a C a x a − ++ tgx ln cos x C− + 2 2 1 x a+ 2 2ln x x a C+ + + cotgx ln sin x C+ Phương pháp 1: • Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản • Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức ... và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản. Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1. 3 1( ) cos 1 f x x x x = + + − 2. 2 2x 5f(x) x 4x 3 −= − + 83 Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân Ví dụ: Tính các tích phân: 1. 5cos sinx xdx∫ 2. costgx dxx∫ 3. 1 ln x dxx+∫ I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ ];a b . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì: [ ]( ) ( ) ( ) ( )b ba a f x dx F x F b F a= = −∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz) 2. Các tính chất của tích phân: • Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : ( ) 0 b a f x dx =∫ • Tính chất 2: ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= −∫ ∫ • Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên [ ];a b thì: ( )b a cdx c b a= −∫ • Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên [ ];a b và ( ) 0f x ≥ thì ( ) 0b a f x dx ≥∫ • Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ];a b và [ ]( ) ( ) x a;bf x g x≥ ∀ ∈ thì ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx≥∫ ∫ • Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên [ ];a b và ( ) ( m,M là hai hằng số)m f x M≤ ≤ thì ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a− ≤ ≤∫ − • Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ];a b thì [ ]( ) ( ) ( ) ( )b b a a b a f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ • Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ];a b và k là một hằng số thì . ( ) . ( ) b b a a k f x dx k f x dx=∫ ∫ • Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ];a b và c là một hằng số thì ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ • Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên [ ];a b cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa là : ( ) ( ) ( ) ... b b b a a a f x dx f t dt f u du= =∫ ∫ ∫ = 84 Bài 1: Tính các tích phân sau: 85 1) 1 3 0 x dx (2x 1)+∫ 2) 1 0 x dx 2x 1+∫ 3) 1 0 x 1 xdx−∫ 4) 1 2 0 4x 11 dx x 5x 6 + + +∫ 5) 1 2 0 2x 5 dx x 4x 4 − − +∫ 6) 3 3 2 0 x dx x 2x 1+ +∫ 7) 6 6 6 0 (sin x cos x)dx π +∫ 8) 32 0 4sin x dx 1 cosx π +∫ 9) 4 2 0 1 sin 2xdx cos x π +∫ 10) 2 4 0 cos 2xdx π ∫ 11) 2 6 1 sin 2x cos2xdx sin x cosx π π + + +∫ 12) 1 x 0 1 dx e 1+∫ . 13) dxxx )sin(cos 4 0 44∫ − π 14) ∫ + 4 0 2sin21 2cos π dx x x 15) ∫ + 2 0 13cos2 3sin π dx x x 16) ∫ − 2 0 sin25 cos π dx x x 17) ∫ −+− 0 2 2 32 4 dx xx 18) ∫ ++− 1 1 2 52xx dx Bài 2: 1) 3 2 3 x 1dx − −∫ 2) 4 2 1 x 3x 2dx − − +∫ 3) 5 3 ( x 2 x 2 )dx − + − −∫ 4) 2 2 2 1 2 1x 2 x + −∫ dx 5) 3 x 0 2 4dx−∫ 6) 0 1 cos2xdx π +∫ 7) 2 0 1 sin xdx π +∫ 8) dxxx∫ −2 0 2 Bài 3: 1) Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) A sin x B= π + thỏa mãn đồng thời các điều kiện và 'f (1) 2= 2 0 f(x)dx 4=∫ 2) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức : 2 2 3 0 [a (4 4a)x 4x ]dx 12+ − + =∫ II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : 1) DẠNG 1:Tính I = bằng cách đặt t = u(x) b ' a f[u(x)].u (x)dx∫ Công thức đổi biến số dạng 1: [ ] ∫=∫ )( )( )()('.)( bu au b a dttfdxxuxuf Cách thực hiện: Bước 1: Đặt t dxxudtxu )()( '=⇒= Bước 2: Đổi cận : )( )( aut but ax bx = =⇒= = Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được [ ]∫= b fI (tiếp tục tính tích phân mới) ∫= )( )( )()('.)( bu aua dttfdxxuxu Tính các tích phân sau: 1) 2 3 2 0 cos xsin xdx π ∫ 2) 2 5 0 cos xdx π ∫ 3) 4 2 0 sin 4x dx 1 cos x π +∫ 4) 1 3 2 0 x 1 x dx−∫ 5) 2 2 3 0 sin 2x(1 sin x) dx π +∫ 6) 4 4 0 1 dx cos x π ∫ 7) e 1 1 ln xdx x +∫ 8) 4 0 1 dx cosx π ∫ 9) e 2 1 1 ln xdx x +∫ 10) 11) 1 5 3 6 0 x (1 x ) dx−∫ 6 2 0 cosx dx 6 5sin x sin x π − +∫ 12) 3 4 0 tg x dx cos2x∫ 13) 4 0 cos sin 3 sin 2 x x dx x π + +∫ 14) ∫ + 2 0 22 sin4cos 2sin π dx xx x 15) ∫ −+ − 5ln 3ln 32 xx ee dx 16) ∫ + 2 0 2)sin2( 2sin π dx x x 17) ∫3 4 2sin )ln( π π dx x tgx 18) ∫ −4 0 8 )1( π dxxtg 19) ∫ + −2 4 2sin1 cossin π π dx x xx 20) ∫ + +2 0 cos31 sin2sin π dx x xx 21) ∫ + 2 0 cos1 cos2sin π dx x xx 22) ∫ +2 0 sin cos)cos( π xdxxe x 23) ∫ −+ 2 1 11 dx x x 24) ∫ + e dx x xx 1 lnln31 25) ∫ + −4 0 2 2sin1 sin21 π dx x x 2) DẠNG 2: Tính I = bằng cách đặt x = b a f(x)dx∫ (t)ϕ Công thức đổi biến số dạng 2: [ ]∫=∫= β α ϕϕ dtttfdxxfI b a )(')()( Cách thực hiện: Bước 1: Đặt dttdxtx )()( 'ϕϕ =⇒= Bước 2: Đổi cận : α β = =⇒= = t t ax bx Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được (tiếp tục tính tích phân mới) [ ]∫=∫= β α ϕϕ dtttfdxxfI b a )(')()( Tính các tích phân sau: 1) 1 2 0 1 x dx−∫ 2) 1 2 0 1 dx 1 x+∫ 3) 1 2 0 1 dx 4 x−∫ 4) 1 2 0 1 dx x x 1− +∫ 5) 1 4 2 0 x dx x x 1+ +∫ 6) 2 0 1 1 cos sin dx x x π + +∫ 7) 2 22 2 0 x dx 1 x−∫ 8) 2 2 2 1 x 4 x dx−∫ 86 9) 2 3 2 2 1 dx x x 1−∫ 10) 3 2 2 1 9 3x dx x +∫ 11) 1 5 0 1 (1 ) x dx x − +∫ 12) 2 2 2 3 1 1 dx x x −∫ 13) 2 0 cos 7 cos2 x dx x π +∫ 14) 1 4 6 0 1 1 x dx x + +∫ 15) 20 cos 1 cos x dx x π +∫ 16) ∫ ++− 0 1 2 22xx dx 17) ∫ ++ 1 0 311 x dx 18) ∫ − −2 1 5 1 dx x xx II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: Tính các tích phân sau: 1) 8 2 3 1 1 dx x x +∫ 2) 7 3 3 2 0 1 x dx x+∫ 3) 3 5 2 0 1x x dx+∫ 4) ln2 x 0 1 dx e 2+∫ 5) 7 3 3 0 1 3 1 x dx x + +∫ 6) 2 2 3 0 1x x d+∫ x 7) ∫ + 32 5 2 4xx dx III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần: [ ]∫ ∫−=b a b a b a dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( Hay: [ ]∫ ∫−=b a b a b a vduvuudv . Cách thực hiện: Bước 1: Đặt )( )(' )(' )( xvv dxxudu dxxvdv xuu = =⇒= = Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : [ ]∫ ∫−=b a b a b a vduvuudv . Bước 3: Tính [ và ]bavu. ∫b a vdu Tính các tích phân sau: 1) 2 5 1 ln xdx x∫ 2) 2 2 0 x cos xdx π ∫ 3) 1 x 0 e sin xdx∫ 4) 2 0 sin xdx π∫ 5) 6) e 2 1 x ln xdx∫ 3 2 0 x sin xdx cos x π +∫ 87 7) 8) 2 0 xsin x cos xdx π∫ 4 2 0 x(2 cos x 1)dx π −∫ 9) 2 2 1 ln(1 x)dx x +∫ 10) 11) 12) 1 2 2x 0 (x 1) e dx+∫ e 2 1 (x ln x) dx∫ 2 0 cosx.ln(1 cosx)dx π +∫ 13) 2 1 ln ( 1) e e x dx x +∫ 14) 1 2 0 xtg xdx∫ 15) ∫ −1 0 2)2( dxex x 16) 17) ∫ + 1 0 2 )1ln( dxxx ∫ e dx x x 1 ln 18) ∫ +2 0 3 sin)cos( π xdxxx 19) 20) ∫ ++ 2 0 )1ln()72( dxxx ∫ − 3 2 2 )ln( dxxx MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : a a f(x)dx 0 − =∫ 2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : a a a 0 f(x)dx 2 f(x)dx − =∫ ∫ Bài 2: 1) CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì: a) 2 2 0 0 f(sin x)dx f(cos x)dx π π =∫ ∫ b) 0 0 xf(sin x)dx f(sin x)dx 2 π ππ=∫ ∫ ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau: 88 1) n2 + n n 0 cos x dx với n Z cos x sin x π ∈+∫ 2) 42 4 4 0 cos x dx cos x sin x π +∫ 3) 62 6 6 0 sin x dx sin x cos x π +∫ 4) 5) 5 0 xsin xdx π∫ 2 2 2 4 sin x cosx dx x π π− + −∫ 6) 1 4 2 1 sin 1 x x dx x− + +∫ 7) 2 0 xsin x dx 4 cos x π −∫ 8) 4 30 cos sinx x xd π∫ x Bài 3:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì + 0 ( ) ( ) với R và a > 0 1x f x dx f x dx a α α α α − = ∈+∫ ∫ ; a 1≠ ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau: 2) 1 2 1 1 1 2x x dx − − +∫ 3) 2sin 3 1x x dx π π− +∫ 1) 1 4 1 2 1 x x dx − +∫ IV .ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Công thức: 89 1C y 2C y 2C x 1C x ]dxxgxfS )()( [∫ −= b a [ ]∫ −= b a dyygyfS )()( Tính diện tích của các hình phẳng sau: 1) (H1): 2 2 xy 4 4 xy 4 2 ⎧ = −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩ 2) (H2) : 2y x 4x 3 y x 3 ⎧ = − +⎪⎨ = +⎪⎩ 3) (H3): 3x 1y x 1 y 0 x 0 − −⎧ =⎪ −⎪ =⎨⎪ =⎪⎩ 4) (H4): 5) (H 2 2 y x x y ⎧ =⎪⎨ = −⎪⎩ 5): 2 y x y 2 x ⎧ =⎪⎨ = −⎪⎩ 6) (H6): 2y x 5 0 x y 3 0 ⎧ + − =⎨ + − =⎩ 7) (H7): ln xy 2 x y 0 x e x 1 ⎧ =⎪⎪⎪ =⎨⎪ =⎪ =⎪⎩ 8) (H8) : 2 2 y x 2x y x 4 ⎧ = −⎪⎨ x= − +⎪⎩ 9) (H9): 2 3 3y x x 2 y x ⎧ 2 = + −⎪⎨⎪ =⎩ 10) (H10): 11) 2y 2y x 0 x y 0 ⎧ − + =⎨ + =⎩ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= = )( 2:)( :)( Ox xyd xyC 12) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =Δ = = 1:)( 2:)( :)( x yd eyC x V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY. Công thức: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =Δ =Δ = = bx ax xgyC xfyC H : : )(:)( )(:)( :)( 2 1 2 1 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =Δ =Δ = = by ay ygxC yfxC H : : )(:)( )(:)( :)( 2 1 2 1 x y )(H a b )(:)( 1 yfxC = )(:)( 2 ygxC = ay = by = O y x x )(H a b )(:)( 1 xfyC a= = )(:)( 2 xgyC bx = O = b a x y 0=x O )(:)( yfxC = by = ay = a b0=y )(:)( xfyC =ax = bx = x y O [ ] dxxfV b a 2 )(∫= π [ ] dyyfV b a 2 )(∫= π Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y x;y 2 x;y 0= = − = Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : và y = 4 2y (x 2)= − Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2 24 ;y x y x 2= − = + . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 2 2 1 ; 1 2 xy y x = =+ Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox ------------------------------Hết------------------------------- 90

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfTích phân và ứng dụng của tích phân.pdf
Tài liệu liên quan