Luận án Nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật bằng các mô hình vật lý thống kê

trong suốt quá trình mô phỏng, biểu đồ càng chính xác nếu số lần mô phỏng được thực hiện càng lớn. Với mô phỏng có thời gian hữu hạn, biểu đồ sẽ có các sai số thống kê, nhưng trong đó N là số lần mô phỏng vẫn chính xác đối với xác suất . Vì vậy, ta biến đổi phương trình (2.86) thành (2.87) trong đó, là một xấp xỉ của mật độ trạng thái W(E, M). Ta biết rằng, nếu biết được hàm phân bố tại một giá trị nào đó của K thì có thể xác định các đại lượng tại các giá trị khác của K, hàm phân bố xác suất có dạng (2.88) Do đó, nếu ta biết phân bố tại K0 từ biểu đồ H(E, M) thì từ (2.87) ta suy ra . (2.89) Từ các phương trình (2.88) và (2.89) và chuẩn hoá hàm phân bố, ta tìm được mối liên hệ giữa biểu đồ đo tại K = K0 và phân bố xác suất với bất kỳ LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 41 , (2.90) trong đó . Từ , giá trị trung bình của bất cứ hàm nào của E và M, có thể được tính như là một hàm liên tục của K , (2.91) Các phương trình (2.90) và (2.91) được gọi là các phương trình biểu đồ đơn. b) Phương pháp đa biểu đồ Khó khăn của phương pháp biểu đồ đơn là phân bố xác suất theo năng lượng là khá hẹp tại bất cứ nhiệt độ nào và phương pháp này không sử dụng hết tất cả các dữ liệu trong các phân bố thực của trạng thái đã thử [58]. Để khắc phục điều này, Ferrenberg và Swendson kết hợp các dữ liệu được lấy tại các nhiệt độ khác nhau để xác định hàm phân bố gọi là biểu đồ kép. Phương pháp này cho phép xác định các đại lượng vật lý chính xác hơn trong một khoảng nhiệt độ rộng. Ví dụ, ta xét một Hamiltonian tổng quát có dạng , (2.92) trong đó, K là đại lượng liên hợp với S() trong Hamiltonian, nó là nhiệt độ hoặc từ trường phụ thuộc việc định nghĩa S() là toán tử năng lượng E hoặc độ từ hoá M xác định trên cấu hình spin {i} của hệ. Hàm tổng thống kê có dạng , (2.93) ở đây W(S) là hàm mật độ trạng thái. Xét R lần mô phỏng bằng phương pháp Monte-Carlo. Chúng ta thực hiện lần thứ n tại nhiệt độ Kn rồi lưu lại dưới dạng biểu đồ {Nn(S)} với tổng số các giá trị {nn}. Hàm tổng thống kê được tính gần đúng có dạng , (2.94) hàm này liên hệ với hàm tổng thống kê thực qua biểu thức . (2.95) LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 42 Sử dụng biểu thức năng lượng tự do , hàm mật độ trạng thái liên hệ đến biểu đồ và cực tiểu sai số, chúng ta tìm được . (2.96) Trong đó ( )n nF F K là tham số bằng năng lượng tự do nF . Nếu chúng ta định nghĩa , (2.97) thì sẽ thu được phương trình biểu đồ kép 1 1 ( ) ( , ) m m R KS nn R K S F mn N S e P S K n e       , (2.98) trong đó . (2.99) Như vậy, giá trị trung bình của toán tử S bất kỳ có thể tính được như là một hàm liên tục theo K. Đó là , (2.100) trong đó . (2.101) Giá trị của trong công thức (2.99) được tính bằng phương pháp tự hợp với phương trình (2.98). c) Phương pháp Wang-Landau Các phương pháp biểu đồ chỉ có hiệu quả cao trong việc tính toán các hiệu ứng kích thước hữu hạn. Vì vậy, Wang và Landau đã đề xuất một thuật toán mới được gọi là thuật toán biểu đồ ―phẳng‖ áp dụng trong không gian năng lượng nhằm xác định hàm mật độ trạng thái, từ đó xác định các đại lượng vật lý như là hàm liên tục theo nhiệt độ gọi là phương pháp Wang- Landau [186]. Cụ thể như sau: LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 43 Giả sử thực hiện một bước đi ngẫu nhiên trong không gian năng lượng với xác suất chuyển trạng thái tỷ lệ với nghịch đảo mật độ trạng thái , lúc đó biểu đồ phẳng được tạo ra từ phân bố năng lượng. Ban đầu, ta có thể đặt cho tất cả các năng lượng E. Tiếp theo, ta thực hiện mô phỏng theo bước đi ngẫu nhiên trong không gian năng lượng bằng cách lật các spin một cách ngẫu nhiên. Nếu như năng lượng trước và sau khi lật spin tương ứng là E1 và E2, xác xuất chuyển trạng thái từ mức năng lượng E1 sang E2 có dạng: . (2.102) Làm mới mật độ trạng thái ứng với năng lượng E bằng cách nhân mật độ trạng thái với hệ số điều chỉnh f > 1, nghĩa là: . (2.103) Hệ số điều chỉnh ban đầu được chọn khá lớn f = f0 = e 1 = 2.71828. Tiếp tục thực hiện các bước ngẫu nhiên trong không gian năng lượng và điều chỉnh mật độ trạng thái cho đến khi biểu đồ chồng chất là phẳng H(E). Lúc này, mật độ trạng thái hội tụ đến giá trị thực tỷ lệ chính xác với lnf . Sau đó chúng ta giảm dần hệ số điều chỉnh theo cách , đồng thời điều chỉnh lại biểu đồ H(E) = 0. Quá trình điều chỉnh cứ tiếp tục bằng cách đặt hệ số hiệu chỉnh và sẽ kết thúc khi hệ số điều chỉnh bé hơn một giá trị cuối cùng cho trước nào đó (ví dụ: ffinal = exp(10 -8 ) ~ 1.00000001). Do đó, hệ số f đóng vai trò là tham số điều chỉnh độ chính xác của mật độ trạng thái trong suốt quá trình mô phỏng, đồng thời cũng quyết định thời gian mô phỏng. Trong vật lý thống kê thì tổng thống kê có thể viết dưới dạng (2.104) Khi tìm được mật độ trạng thái g(E), các đại lượng vật lý như năng lượng, độ từ hoá, ẩn nhiệt, độ cảm từ có thể tính được một cách dễ dàng như là một hàm liên tục theo nhiệt độ / ( ) ( ) ( ) BE k T E A E g E e A T Z    , (2.105) trong đó, Z là tổng thống kê. LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 44 2.4 Kết luận Chuyển pha gom cụm tồn tại trong hầu hết các loài sinh vật. Ở đó, các quy tắc sắp xếp đóng vai trò chủ đạo cùng với tham số trường ngoài (nhiễu) để cấu thành hành vi. Lý thuyết chuyển pha trong các hệ vật lý được áp dụng một cách tương tự cho hệ sinh học, mặc dù trong các hệ này chỉ từ vài chục đến vài triệu đơn vị. Vì vậy, hiểu rõ chuyển pha trong các hệ vật lý có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc nghiên cứu hành vi của các loài sinh vật. Hành vi tập thể của các loài sinh vật, đặc biệt là hành vi gom cụm được mô phỏng tốt bằng các mô hình spin trong hệ vật lý. Trong chương này chúng tôi có giới thiệu khái quát về các mô hình spin: Ising, XY, Heisenberg và q- Potts, đó là cơ sở lý luận quan trọng cho việc lựa chọn mô hình để nghiên cứu trong luận án. Ngoài ra, chúng tôi cũng đã trình bày về phương pháp mô phỏng MD và mô phỏng MC. Trong nghiên cứu về chuyển pha thì phương pháp MC với thuật toán Metropolis được sử dụng rất hiệu quả. Để nghiên cứu hiệu ứng kích thước hữu hạn, người ta sử dụng các phương pháp biểu đồ để tính chính xác các lũy thừa tới hạn. Thuật toán biểu đồ phẳng được đề xuất gần đây bởi Wang và Landau, đây là phương pháp hữu hiệu trong việc xác định chuyển pha loại I. Trên cơ sở lý thuyết này, tùy thuộc vào hành vi của sinh vật và mục đích nghiên cứu, chúng ta sẽ lựa chọn các mô hình và phương pháp hiệu quả nhất để áp dụng. Trong chương tiếp theo chúng tôi sẽ giới thiệu các kết quả nghiên cứu về chuyển pha gom cụm trong các hệ sinh vật bằng các phương pháp mô phỏng MD và MC. LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 45 Chƣơng 3. NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA TRONG CÁC HỆ TỰ TỔ CHỨC 3.1 Giới thiệu chung Để áp dụng các mô hình vật lý trong việc nghiên cứu các hành vi của các loài sinh vật, người ta đưa ra một số khái niệm và đại lượng tương đương giữa hai hệ này: - Những tác động từ bên ngoài gây ảnh hưởng đến hành vi của các cá thể trong nhóm sinh vật được gọi là ―nhiễu‖, nó đóng vai trò tương đương với một đại lượng vật lý cơ bản, đó là nhiệt độ. - Hành vi của các loài sinh vật và pha trong mô hình spin sắt từ:  Khi không có sự tác động của các yếu tố xung quanh, gây nguy hiểm đến tính mạng, các cá thể trong bầy (đàn) sinh vật sẽ có khuynh hướng di chuyển tản mát ra xung quanh để tìm kiếm thức ăn. Vị trí và hướng chuyển động của chúng trong không gian là khác nhau, vì vậy mà chúng được xem như là một hệ hỗn độn. Hành vi này được gọi là hành vi tự do và nó tương đương với pha mất trật tự trong mô hình spin.  Khi có tác động từ bên ngoài thì các cá thể sinh vật sẽ chuyển động lại gần nhau và tạo thành cụm (flocking), chúng cố gắng sắp xếp theo cùng một định hướng nhằm tạo nên một khối vững chắc để tự vệ. Hành vi này được gọi là gom cụm (flocking), và có thể xem như tương đương với pha trật tự của hệ spin ở nhiệt độ thấp, ở đó các spin sẽ định hướng song song với nhau.  Khi tác động từ bên ngoài trở nên rất mạnh và nó có thể gây nguy hiểm đến tính mạng của các cá thể sinh vật thì chúng sẽ bỏ chạy tán loạn ra mọi hướng với tốc độ di chuyển nhanh nhất mà chúng có thể. Hành vi này tương đương với pha mất trật tự ở nhiệt độ cao trong mô hình spin. LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 46 - Chuyển pha: quá trình chuyển từ hành vi này sang hành vi khác của các loài sinh vật được gọi là ―chuyển pha‖. Điển hình là quá trình thay đổi hành vi gom cụm sang hành vi chạy tán loạn của các loài sinh vật, chuyển pha loại này đã và đang được quan tâm nghiên cứu nhiều trong thời gian vừa qua bởi các cách tiếp cận khác nhau. Tóm lại, hầu hết các nhóm động vật có 3 hành vi: (1) Hành vi không gom cụm khi nhiễu thấp, ở đó các cá thể phân bố trong trong không gian với định hướng mất trật tự. (2) Hành vi flocking ở nhiễu trung bình, chúng sắp xếp có cùng định hướng và có mật độ cao. (3) Hành vi chạy tán loạn (runaway) ở nhiễu cao, tất cả các cá thể chạy tán loạn theo các chiều khác nhau. Chúng phân bố trong không gian với định hướng mất trật tự. Nói chung, các hệ vật lý là loại hệ cân bằng, ở đó các định luật bảo toàn được nghiệm đúng, trong khi đó, hệ các loài sinh vật là các hệ không cân bằng (bao gồm hệ tự tổ chức), các hạt tự điều chỉnh tốc độ và hướng sau khi tương tác [71], [83], [112], [115], [117], [159], [161], [164], [167]-[169], [185]-[188]. Tuy nhiên, để nghiên cứu về chuyển pha trong hệ các loài sinh vật, người ta đã đề xuất các đại lượng tương đương để áp dụng các mô hình vật lý vào nghiên cứu như thông số trật tự, mật độ.... Lấy ví dụ, thông số trật tự hay độ từ hóa trong các mô hình spin ở hệ vật lý có công thức tính như sau . (3.1) Thông số trật tự này có giá trị bằng 1 (khi hệ hoàn toàn trật tự) và bằng 0 (khi hệ hoàn toàn mất trật tự). Tương tự như vậy thì trong nghiên cứu chuyển pha trật tự trong hệ tự tổ chức, Vecsek đưa ra định nghĩa thông số trật tự là vận tốc chuẩn hóa được xác định bởi công thức [183] LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 47 , (3.2) ở đây, là số đơn vị và là vận tốc tuyệt đối trung bình của các đơn vị trong hệ. Thông số trật tự này bằng 1 khi tất cả các cá thể cùng hướng và bằng 0 khi các cá thể hoàn toàn hỗn loạn. Trên thực tế, giá trị tuyệt đối của vận tốc là không xác định, do các loại tương tác và các mô hình mạng khác nhau. Trường hợp thì các hạt không chuyển động và mô hình trở thành mô hình mạng với các spin XY sắt từ. Trong mô phỏng, người ta thường chọn mô dun của vận tốc đủ bé trong khoảng: . Đồ thị thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu thu được từ mô hình Vicsek được biểu diễn trong Hình 3-1, ở đó ta thấy hệ ở pha trật tự khi nhiễu thấp và mất trật tự khi nhiễu cao, và nhiễu tới hạn giảm theo sự gia tăng số lượng cá thể của hệ. Hình 3-1 Sự phụ thuộc của thông số trật tự vào nhiễu [183]. LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 48 Giá trị của bằng 0 nếu hệ hoàn toàn ngẫu nhiên (Hình 3.2a), bằng 1 tương ứng với trường hợp chiều chuyển động trật tự hoàn toàn (Hình 3.2d). Từ mô hình Vicsek, người ta có thể thu được những kết quả quan trọng sau: - Khi nhiễu cao, mật độ thấp: các hạt chuyển động ngẫu nhiên trong một mặt phẳng (Hình 3.2a). - Khi nhiễu thấp, mật độ thấp: Các hạt chuyển động dưới dạng các nhóm tự hợp theo chiều ngẫu nhiên (Hình 3.2b). - Khi nhiễu cao, mật độ cao: các hạt chuyển động ngẫu nhiên với một số tương quan (Hình 3.2c). - Khi nhiễu thấp, mật độ cao: tất cả các hạt chuyển động trong cùng chiều được chọn ngẫu nhiên (Hình 3.2d). Hình 3.2 Một số trạng thái động học của nhóm [183]. LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 49 Như vậy, trong các mô hình vật lý áp dụng cho hệ sinh vật (hệ không cân bằng) thì các đại lượng đặc trưng được mô hình theo các quy luật tương tự với các hệ cân bằng trong vật lý. 3.2 Hiệu ứng góc quan sát 3.2.1 Góc quan sát và góc mù Hình 3-3 Góc quan sát đối với con gần nhất từ cá thể V1 ngược lại V2 và cá thể V2 hướng tới cá thể V1 [28]. Phân bố trong nhóm các loài sinh vật tạo ra góc giữa chiều chuyển động của một cá thể và chiều đối với những con lân cận gần nhất của những sinh vật gọi là góc quan sát, trong phạm vi đó, một cá thể có thể nhìn thấy các con lân cận của nó, xem Hình 3-3. Những góc này được định nghĩa để chỉ hai chức năng trong một nhóm chuyển động [28], [78], [162]: (1) nhận thấy vật săn hoặc các con khác trong đàn. (2) hưởng lợi về mặt năng lượng khi theo sau các con khác. Ngược lại phần góc không quan sát được khi các con vật vận động gọi là góc mù. Tuy nhiên, khi nghiên cứu chuyển động của các loài sinh vật chúng ta thường quan tâm góc quan sát mà không quan tâm góc mù. LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 50 Nhờ khả năng quan sát của mắt mà nó đã giúp các con vật sắp xếp trật tự trong đàn, tiết kiệm năng lượng, điều chỉnh tốc độ để tránh va chạm. Ví dụ, chim bay theo đàn, nếu chúng sắp xếp trật tự và bay theo dạng chữ ―V‖ sẽ có lợi nhất về năng lượng, nếu không trật trự thì năng lượng sẽ bị tiêu hao nhiều hơn [163], [192]. Hay đối với đàn cá, các cá thể theo sau con khác để tận dụng lực tạo ra từ dòng nước xoáy từ các con khác tạo ra. Liên quan đến sắp xếp trong một đàn cá khi schooling, các nhà nghiên cứu đề xuất một cấu trúc lý tưởng là cấu trúc giả kim cương [190], tuy nhiên đến nay người ta vẫn chưa tìm được cấu trúc này trong thực tế. Hình 3-4 Phân bố theo chiều các con gần nhất [28]. Các nghiên cứu sinh học về khả năng quan sát của các loài sinh vật không đề xuất một góc quan sát nào là tối ưu do sự đa dạng của chúng (Hình 3-4). Các kết quả nghiên cứu cho thấy rằng, trong flocking của chim Sáo đá, góc quan sát lý tưởng được tìm thấy có giá trị là 90o và còn trong Mòng biển là 45 o . Trong các loài cá thì góc quan sát lý tưởng là 90o hoặc 45o. Chẳng hạn đối với cá Tuyết, cá Trích là 45o, nhưng trong loài Pollack có khi là 90o và có khi là 45 o [28]. LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 51 Gần đây, một có số nghiên cứu về hiệu ứng của góc quan sát trên hành vi flocking của các loài sinh vật. Cụ thể là Bajec và cộng sự đã đề xuất một mô hình toán học dựa trên cơ sở logic fuzzy, gọi là quy tắc cá thể trên cơ sở mô hình fuzzy [9]. Các quy tắc tương tác giữa các cá thể được đề xuất rằng, mỗi cá thể bị ảnh hưởng bởi 6 đến 7 con lân cận gần nhất. Họ sử dụng mô hình này để mô tả tương tác vật săn-con mồi, kết quả nghiên cứu chỉ ra rằng, vật săn bị hỗn loạn với hành vi swarming trong con mồi. Trong khi đó, Strandburg-Peshkin và các cộng sự nghiên cứu mạng lưới tương tác thị giác, kết quả là hành vi của mỗi cá thể phụ thuộc vào số con lân cận gần nhất [157]. Đáng lưu ý hơn trong việc nghiên cứu hiệu ứng góc quan sát là kết quả nghiên cứu của Gao và các cộng sự [64]. Họ đã đưa vào định nghĩa thông số trật tự ( ) 1 1 i n i t a i V e n     và khảo sát được sự phụ thuộc của thông số trật tự vào nhiễu. Tuy nhiên, kết quả công bố cho thấy rằng, nhiễu tới hạn tăng khi giảm góc giới hạn từ xuống . Mặt khác, thông số trật tự mà họ thu được không diễn tả đúng dáng điệu của thông số trật tự tương ứng với các góc quan sát và . Cụ thể là thông số trật tự giảm khi giảm nhiễu và nó không tiến đến giá trị cực đại ( 1aV  ) khi (xem Hình 3-5). Hình 3-5 Thông số trật tự phụ thuộc nhiễu tương ứng với các góc quan sát xác định [64]. LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 52 Để nghiên cứu về vấn đề này, chúng tôi sử dụng mô hình Vicsek chuẩn kết hợp với định nghĩa góc quan sát để khảo sát ảnh hưởng của góc quan sát vào hành vi flocking. Chúng tôi xét một số lượng các cá thể giống nhau với cùng tính chất sinh học: góc quan sát. Hầu hết các con vật đều phân biệt vật săn do sử dụng khả năng quan sát của chúng. Chúng tôi nghiên cứu chuyển pha từ trật tự sang không trật tự trong vận động của các cá thể với các góc quan sát khác nhau. 3.2.2 Phát triển mô hình Mô hình lý thuyết được đề xuất bởi Vicsek và các cộng sự [183], hệ bao gồm cá thể, ký hiệu bởi chỉ số trong khoảng từ 1 đến N, chuyển động trong mặt phẳng (x, y) có kích thước với PBCs. Cá thể thứ i được đặc trưng bởi vị trí và vận tốc có trị tuyệt đối . Trong mô phỏng ta sử dụng điều kiện đầu tại thời điểm 0,t  các hạt phân bố ngẫu nhiên trong không gian với cùng vận tốc tuyệt đối , chiều chuyển động của mỗi cá thể được xác định bởi góc có giá trị ngẫu nhiên trong khoảng từ 0 đến . Quy tắc cập nhật vị trí và chiều ở thời điểm của cá thể thứ i có dạng , (3.3) , (3.4) (3.5) ở đây là bước thời gian, và tương ứng là các thành phần vị trí và hướng của cá thể thứ i ở thời điểm t. Số hạng cuối trong công thức (3.5) là một số ngẫu nhiên được chọn trong khoảng , được gọi là nhiễu mà nó đóng vai trò như thông số nhiệt độ trong hệ vật lý. Ký hiệu là giá trị trung bình của các hướng chuyển động của các cá thể trong vòng tròn bán kính R quanh các thể i và chính nó, được xác định bởi biểu thức sau LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 53 . (3.6) Như chúng ta đã biết, các loài sinh vật tiếp xúc nhau và với môi trường bằng các giác quan. Trong đó, mắt là yếu tố quan trọng trong việc hình thành các hành vi của một nhóm các loài sinh vật. Về cơ bản, cấu trúc mắt của của các loài sinh vật có thể phân thành hai nhóm: (i) Các động vật có mắt hướng tới phía trước là trường hợp của hầu hết vật săn, động vật ăn tạp hoặc động vật ăn thịt (lấy ví dụ như các loài Chó, Mèo, Cáo, Chồn). (ii) Các động vật với mắt ở hai bên của đầu là trường hợp của hầu hết loài con mồi, cấu trúc mắt của các loài này giúp chúng quan sát bên ngoài, dễ dàng nhìn thấy vật săn. Dĩ nhiên, động vật có thể là vừa vật săn và con mồi, chúng phụ thuộc vào hoàn cảnh tác động, ví dụ, một con cá nhỏ có thể là con vật săn đối với động vật phù du nhưng lại là con mồi đối với con cá lớn hơn. Để nghiên cứu hiệu ứng về góc quan sát, chúng tôi giả thiết rằng khả năng quan sát của cá thể thứ i được xác định bởi hình rẻ quạt có bán kính R. Góc nhìn toàn phần được xác định bởi góc (xem trên Hình 3-6). Trong trường hợp , ta thu lại được mô hình Vicsek chuẩn. Để thuận tiện trong việc tính toán do tính đối xứng góc qua véc tơ định hướng , ta sử dụng ký hiệu . Như vậy, chỉ có các cá thể lân cận nằm trong tầm nhìn của của cá thể thứ i mới được xét đến trong quá trình tương tác, nghĩa là được đưa vào tính toán góc trung bình trên công thức (3.6). Thông số trật tự của hệ được lấy theo định nghĩa của Vicsek và được viết lại dưới dạng , (3.7) LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 54 trong đó N là tổng số cá thể. Dĩ nhiên, thông số trật tự là một hàm của nhiễu . Tương tự như trong lý thuyết nhiệt động lực học, chúng ta sử dụng biểu thức variance của thông số trật tự (hay còn gọi là cho độ cảm từ) . (3.8) Từ đó, chúng ta có thể xác định được giá trị tới hạn của nhiễu tại điểm chuyển pha thông qua việc xác định giá trị mà đạt giá trị cực đại. Hình 3-6 Góc quan sát của cá thể thứ i, ký hiệu là một nửa góc quan sát. 3.2.3 Kết quả mô phỏng Trong tất cả các mô phỏng, chúng tôi sử dụng các tham số mô hình cụ thể như sau: bán kính đường tròn 1R  và bước thời gian , vận tốc tuyệt đối và mật độ xác định , nghĩa là kích thước không gian . Tổng số cá thể của hệ được xét là 100, 196, 400, 900, 1600, 2500 và 3600, N được gọi là kích thước hệ. Góc quan sát thay đổi giữa 0 và , hay . Với mỗi giá trị của nhiễu , thực hiện quá trình mô phỏng để tính toán các đại lượng cơ bản như thông số trật tự và variance của nó thông qua các biểu LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 55 thức (3.7) và (3.8). Đầu tiên chúng tôi khảo sát trong trường hợp tới hạn khi góc quan sát của các cá thể là , chúng ta thu được thông số trật tự phụ thuộc nhiễu biểu diễn trên các Hình 3-7 với kích thước hệ N = 100 và Hình 3-12 với kích thước hệ thay đổi , các kết quả thu được hoàn toàn phù hợp với kết quả mô phỏng của Vicsek (Hình 3-1). Ta thấy trên Hình 3-7 thông số trật tự đạt giá trị cực đại ( ) ở vùng nhiễu thấp. Các cá thể trong nhóm chuyển động song song với nhau theo cùng một hướng nào đó, và hệ được xem như ở pha trật tự. Trạng thái này tương đương với hành vi gom cụm của các loài sinh vật. Khi tăng nhiễu lên thì các cá thể bắt đầu chuyển động với định hướng lệch so với hướng trung bình của các cá thể lân cận, bởi vậy giá trị trung bình hướng chuyển động của các cá thể giảm, dẫn đến thông số trật tự giảm. Ở vùng nhiễu cao, các cá thể trong nhóm sinh vật chuyển động một cách hỗn loạn, dẫn đến thông số trật tự của hệ giảm dần đến zero. Trạng thái này của hệ được gọi là hỗn độn hay pha mất trật tự ở vùng nhiễu cao. Nó tương đương với hành vi chạy tán loạn của các loài sinh vật khi gặp nguy hiểm. Như vậy, dưới tác động của nhiễu hay trường ngoài, trạng thái của hệ thay đổi từ pha trật tự sang pha mất trật tự và ngược lại, quá trình này được gọi là chuyển pha. Để có thể tính toán định lượng giá trị tới hạn của nhiễu mà ở đó hệ xảy ra chuyển pha, chúng ta tính toán đại lượng variance của thông số trật tự. Giá trị nhiễu tại điểm cực trị của variance được xác định là giá trị tới hạn . Cụ thể, xét trường hợp kích thước hệ và góc quan sát ta thu được kết quả được chỉ ra trên Hình 3-8, ta thấy variance có một cực đại tại điểm 0.467 c   . LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 56 Hình 3-7 Thông số trật tự biến thiên theo nhiễu (tính theo đơn vị ) với góc quan sát và tổng số cá thể . Hình 3-8 Variance của thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu (tính theo đơn vị ) với góc quan sát và . LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 57 Sau khi xác định mô hình đã được áp dụng là đúng với mô hình Vicsek chuẩn, chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của góc quan sát bằng cách khảo sát sự phụ thuộc của thông số trật tự và variance của nó phụ thuộc nhiễu theo các góc quan sát khác nhau. Kết quả sự phụ thuộc của thông số trật tự và variance của nó vào nhiễu được trình bày trên Hình 3-9 và Hình 3-10 tương ứng với các góc quan sát và . Giá trị nhiễu tới hạn tính toán được tương ứng với các góc quan sát là và 0.467 . Kết quả chỉ rõ rằng, trong tất cả các trường hợp góc quan sát thay đổi, giá trị thông số trật tự đều bằng 1 tại miền nhiễu thấp ( ) và dần về 0 khi nhiễu cao. Điều này là đúng với ý nghĩa của Landau về thông số trật tự, đồng thời đã khắc phục tồn tại trong kết quả nghiên cứu của Gao và các cộng sự (Hình 3-5). Mặt khác, từ kết quả thu được ta có thể thấy rõ giá trị tới hạn giảm khi giảm góc quan sát (vị trí cực đại của variance trên Hình 3-10), trong khi nghiên cứu của Gao thì ngược lại khi góc quan sát giãm trong khoảng từ  đến . Hiệu ứng này có thể được giải thích như sau: Khi góc quan sát giảm thì tổng số các cá thể lân cận của cá thể thứ i giảm, điều này tương tự như việc giảm số lượng tương tác trao đổi giữa các spin trong các hệ vật lý. Điển hình là hiệu ứng từ bề mặt trong các hệ màng mỏng mà ở đó độ từ hoá của lớp bề mặt bé hơn so với các lớp bên trong khối [48]-[50]. Tổng số tương tác giảm đồng nghĩa với năng lượng địa phương của mỗi spin giảm, bởi vậy mà hệ sẽ bị phá vỡ trật tự với lượng kích thích nhiệt bé hơn. Hay nói cách khác, đối với các loài sinh vật thì trạng thái gom cụm có trật tự sẽ tốt hơn, bền vững hơn khi khả năng quan sát của các cá thể rộng hơn. Từ những kết quả mô phỏng thu được này, chúng ta có thể khẳng định rằng, nghiên cứu của Gao và cộng sự [63] là không phù hợp và chưa giải thích đúng hiệu ứng góc quan sát đối với hành vi chuyển pha của các loài sinh vật. LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 58 Hình 3-9 Thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu với các góc quan sát và . Hình 3-10 Variance phụ thuộc vào nhiễu với các góc quan sát và . LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 59 Tiếp tục khảo sát chi tiết trên nhiều giá trị khác nhau của góc quan sát, chúng ta thiết lập giản đồ pha trong không gian với biến thiên trong khoảng từ 0 đến (nghĩa là ). Kết quả chỉ ra trong Hình 3-11 cho chúng ta thấy giá trị tới hạn giảm nhanh khi giảm góc quan sát từ đến , sau đó giảm chậm trong miền . Hình 3-11 Giản đồ pha trong không gian với N = 100, 400 và 900. Pha (I) và (II) ứng với góc quan sát của con mồi và vật săn. Chúng ta dễ dàng nhận thấy giản đồ được chia thành hai pha phân cách bởi góc quan sát . Pha thứ nhất (pha I) tương ứng với góc quan sát rộng của các loài con mồi có cấu trúc mắt nằm ở hai bên, với khả năng quan sát gần như toàn bộ không gian xung quanh ( ). Pha thứ hai tương ứng với các loài thú săn có cấu trúc mắt nằm ở phía trước với miền hội tụ chỉ vào khoảng 30 o . Một câu hỏi gợi mở từ điều này là phải chăng có sự tách pha xảy ra tại giá trị góc quan sát ?. Một điều đáng chú ý khác khi quan sát từ giản đồ pha là giá trị tới hạn của LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGUYỄN PHƯỚC THỂ 60 nhiễu trong pha II là rất bé so với pha I, thêm vào đó