Luận văn Các nhóm đồng phôi tôpô và không gian tích của nửa – hình hộp

pô mịn trên C(X;Y) ( ứng với d ) có một cơ sở gồm những tập có dạng : ( ){ }( ; ) ( ; ) : , ( ); ( ) ( )B f g C X Y x X d f x g x xε ε= ∈ ∀ ∈ < ở đây, ( ; )f C X Y∈ và ( )C Xε +∈ tập hợp các hàm số thực dương trên X và ( ) ( ; (0;1))x LSC Xε ∈ .( hàm bán liên tục dưới ) Nếu X là không gian chuẩn tắc paracompact đếm được thì tôpô mịn trên ( ; )C X Y trở nên độc lập với mêtric d trên Y, bởi vì trong trường hợp này, tôpô như thế là bằng tôpô đồ thị trên ( ; )C X Y có một cơ sở gồm những tập hợp có dạng { }: ( ; ) : ( )WW F f C X Y G f W+ = = ∈ ⊆ ở đây, W là tập con mở của X Y× (xem [21], [22] ). 27 2.2.1. Định lý 25 : Nếu X là một không gian chuẩn tắc paracompact đếm được và Y là không gian mêtric thì tôpô mịn trên ( ; )C X Y là bằng tôpô đồ thị trên ( ; )C X Y . Chứng minh : Gọi ( ; )f C X Y∈ và gọi ( )C Xε +∈ . Để thấy ( ; )B f ε là mở trong tôpô đồ thị, ta đặt { }{ }( ( ); ( )) :W x B f x x x Xε= ∪ × ∈ ở đây, ( ( ); ( ))B f x xε là quả cầu mở trong Y tâm tại ( )f x và có bán kính ( )xε . • Ta cần thấy rõ rằng W là mở trong X Y× , vì thế gọi ( ; )x y W∈ , Thế thì ( ; ( )) ( )d y f x xε< , vì thế chúng ta có thể đặt một số dương ( ) ( ; ( ))x d y f xδ ε= − . Do tính liên tục của và ,f xε có một lân cận U sao cho ( )( ) ( ); và (U)3f U B f x δ ε⊆ được chứa trong khoảng mở ( )( ) ; ( )3 3x xδ δε ε− + . Để thấy ( ); 3U B y Wδ× ⊆ , gọi ( )/ / và ; 3x U y B y δ∈ ∈ .Thế thì ( ) ( ) ( ) ( ) / / / / / ; ( ) ; ; ( ) ( ( ); ( )) < ; ( )3 3 = ( )3 3 = ( ) 3 < ( ). d y f x d y y d y f x d f x f x d y f x x x x δ δ δ δε δ δε ε ≤ + + + + + − + − Do đó, { } ( )/ / / / /( ; ) ( ), ( )x y x B f x x Wε∈ × ⊆ . Do đó, ( ); 3U B y δ× là một lân cận của ( ; )x y chứa trong W. Điều này cho thấy W là mở trong X Y× , do đó ( );B f ε là mở trong tôpô đồ thị trên C(X;Y). 28 • Bây giờ, giả sử rằng X là một không gian chuẩn tắc paracompact đếm được và gọi W là một tập con mở của X Y× . Để thấy W + là mở trong tôpô mịn, gọi f W +∈ . Ta cần tìm một số ( )( ) sao cho B ;C X f Wε ε ++∈ ⊆ . Với mỗi x X∈ , tồn tại một lân cận xU của x và một phần tử 1 sao cho ( );x x x n U B f x Wn  ∈ × ⊆     . Bởi vì tính liên tục của f , ta lấy xU để 1( ) ( ); 2x x f U B f x n  ⊆     . Với mỗi m∈ , gọi { }: và m x xU U x X n m= ∪ ∈ = . Vì X là paracompact đếm được , phủ mở đếm được { }:mU m∈ của X có một cái mịn hữu hạn địa phương u. Với mỗi U ∈ u, gọi Um ∈ sao cho UmU U⊆ .Ta định nghĩa : (0; )Xδ → ∞ xác định bởi 1( ) min{ : U x Umδ = ∈ u và ,x U∈ x X∀ ∈ }. Để thấy δ là bán liên tục dưới, gọi x X∈ . Lập tức x có một lân cận /U mà giao chỉ với một số hữu hạn phần tử của u, giả sử là 1,......., kU U . Ta giả sử rằng 1 ....... kx U U∈   , Bởi vì nếu ix U∉ , thì chúng ta có thể lấy / \ iU U là một lân cận của x . Thế thì chúng ta có / / /( ) ( ),x x x Uδ δ≥ ∀ ∈ . Điều này cho thấy δ là bán liên tục dưới. Vì X là chuẩn tắc paracompact và δ là dương, tồn tại ( ) sao cho <C Xε ε δ+∈ . Để thấy ( ); 2B f Wε +⊆ , gọi ( ); 2g B f ε∈ , x X∈ .Thế thì ( )( )( ) ( ); 2xg x B f x ε∈ , có một U ∈ u và x U∈ để 1( ) ( ) Ux x mε δ< ≤ . Bây giờ Um U U⊆ và 0U x m n= với 0x X∈ và với 0xx U∈ . Hơn nửa 0 0 0 1( );x x U B f x Wn  × ⊆    . Vì 0 0 0 1( ) ( ); 2x x f U B f x m  ⊆     , Chúng ta có ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0( ); ( ) ( ), ( ) ( ); ( ) ( ) 1 < 2 2 1 < x x d g x f x d g x f x d f x f x x n n ε ≤ + + 29 Do đó, 0 0 0 1( ; ( )) ( );x x x g x U B f x Wn  ∈ × ⊆    và ta có g W +∈ . Điều này cho thấy W + là mở trong tôpô mịn trên C(X;Y), vì thế tôpô mịn và tôpô đồ thị là bằng nhau.   Với một không gian mêtric Y, không gian ( )f YΗ các đồng phôi trên Y là một không gian con của C(Y;Y) theo tôpô mịn. Trong trường hợp này, định lý 25 này nói rằng tôpô trên ( )f YΗ cũng bằng với tôpô đồ thị. 2.2.2. Định lý 26 : Nếu Y là một không gian mêtric thì ( )f YΗ với tôpô mịn là một nhóm tôpô. Chứng minh : • Chứng minh tính liên tục của sự nghịch đảo trong ( )f YΗ ta sử dụng tôpô đồ thị. Gọi ( )ff Y∈Η và W là một tập con mở của Y Y× với 1f W− +∈ .Thế thì nếu { }1 ( ; ) : ( ; )W x y y x W− = ∈ rõ ràng 1W − là mở trong Y Y× và ( )1f W +−∈ . Nhưng nếu ( )1g W +−∈ thì 1g W− +∈ , điều này cho cho thấy phép nghịch đảo trong ( )f YΗ là phép toán liên tục. • Để chứng minh tính liên tục của phép kết hợp trong ( )f YΗ . Ta cần sử dụng cấu trúc mêtric trên Y, tức là ta sử dụng tôpô mịn trên ( )f YΗ . Gọi , ( )ff g Y∈Η và gọi ( )C Yε +∈ . Chú ý rằng 1 ( )f C Yε − +∈ . Bây giờ chúng ta định nghĩa : (0; )Yδ → ∞ xác định bởi ( ) sup{ (0; )y rδ = ∈ ∞ :với (0; )s∈ ∞ ; ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1( ; ) ( ); ( ) , à ( ; ) ;2 ( ) },g B y r B g y f y s v f B y r s f y s y Yε ε ε− − −⊆ − ⊆ − ∀ ∈ Để thấy δ là bán liên tục dưới, gọi y Y∈ và (0; )a∈ ∞ . Thế thì tồn tại , (0; )r s∈ ∞ sao cho ( ) ( )1( ) , ( ; ) ( ); ( )r y a g B y r B g y f y sδ ε −> − ⊆ − và ( ) ( )1 1( ; ) ;2 ( )f B y r s f y sε ε− −⊆ − . Gọi ( ( ) ) 2 r y at δ− += . Cuối cùng đặt 30 ( ) ( )1 1 1 1( ; ) ( ( ); ) ( ( ) ; ( )3 3 3s s sU B y t g B g y f f y f yε ε ε− − − −= − +  là một lân cận của y trong Y. Ta cần chứng tỏ rằng ( )( ) ( ) ;U x aδ δ⊆ − ∞ . Vì thế gọi /y U∈ , lấy /r r t= − , để mà /( )y a r rδ − < < .Quan sát thấy rằng / /( ; ) ( ; )B y r B y r⊆ bởi vì / ( ; )y B y t∈ và /r t r+ = . Vì thế ta có ( )/ / 1( ( ; )) ( ); ( )g B y r B g y f y sε −⊆ − Và ( ) ( )1 / / 1( , ) ;2 ( )f B y r s f y sε ε− −⊆ − Chúng ta cũng có ( )/( ) ( ); 3sg y B g y∈ và ( )1 / 1 1( ) ( ) ; ( )3 3s sf y f y f yε ε ε− − −∈ − + Bây giờ chúng ta cần chứng tỏ rằng ( ) ( )1 / 1 /( ); ( ) ( ); ( ) 3sB g y f y s B g y f yε ε− −− ⊆ − Vì thế gọi ( )1( ); ( )z B g y f y sε −∈ − . Thế thì ( ) ( ) ( ) ( ) / / 1 1 / 1 / ; ( ) ; ( ) ( ); ( ) < ( ) 3 < ( ) 3 3 = ( ) 3 d z g y d z g y d g y g y sf y s s sf y s sf y ε ε ε − − − ≤ + − + + − + − Do đó, ( ) ( )1 / 1 /( ); ( ) ( ); ( ) 3sB g y f y s B g y f yε ε− −− ⊆ − Điều này cho thấy ( ) ( )/ / / 1 /( ; ) ( ); ( ) 3sg B y r B g y f yε −⊆ − Với chứng minh như trên, ta cũng được ( ) ( )1 1 /; ( ) ; ( )3 3s ss f y s f yε ε− −− ⊆ − 31 Điều này cho thấy rằng ( ) ( )1 / / 1 /( ; ) ; ( )3 3s sf B y r f yε ε− −⊆ − ta kết luận rằng / /( )r yδ≤ và do đó / /( ) ( )y a r yδ δ− < ≤ . Điều này đúng với mọi /y U∈ , để ( )( ) ( ) ;U y aδ δ⊆ − ∞ , và do đó δ là bán liên tục dưới. • Vì 0 δ< , có một ( )C Yσ +∈ sao cho σ δ< . Chú ý rằng ( )f C Yσ +∈ . Xét lân cận ( ; )B f fσ và 1( ; )B g fε − của và f g trong ( )f YΗ . Chúng ta muốn thấy rằng nếu / ( ; )f B f fσ∈ và / 1( ; )g B g fε −∈ , thế thì / / ( ;3 )g f B gf ε∈ ( do sử dụng 3 ε trong định nghĩa của δ và do lấy /g từ 1 ( ; )3 fB g ε − ), Ta đạt được / / ( ; )g f B gf ε∈ . Vì thế để thấy / / ( ;3 )g f B gf ε∈ , gọi y Y∈ . Thế thì ( )/ ( ) ( ); ( )f y B f y f yσ∈ Lập tức ( ) ( ( ))f y f yσ δ< để mà. ( ) ( ) ( )1( ( ); ( )) ( ( )); ( ( )) ( ); ( )g B f y f y B g f y f f y B gf y yσ ε ε−⊆ = Do đó, ( )/ ( ) ( ); ( )gf y B gf y yε∈ . Hơn nữa, vì ( )/ 1;g B g fε −∈ , Chúng ta có ( )/ / / 1 /( ) ( ); ( ( ))g f y B gf y f f yε −∈ . Nhưng ( ) ( )1 ( ( ); ( )) 0;2 ( )f B f y f y yε σ ε− ⊆ vì thế ( )1 /( ( )) 0;2 ( )f f y yε ε− ∈ ; có nghĩa là 1 /( ( )) 2 ( )f f y yε ε− < , vì vậy ( )/ / /( ) ( );2 ( )g f y B gf y yε∈ và do đó ( )/ / ( ) ( );3 ( )g f y B gf y yε∈ như đã cần. Vậy phép kết hợp trong ( )f YΗ là liên tục.  Bây giờ chúng ta tìm hiểu một số kết quả về cấu trúc của không gian ( )f YΗ bằng việc xét các lớp tương đương của hai quan hệ tương đương xác định trên ( )YΗ . Ta xét với không gian tổng quát hơn C(X;Y). 32 Trước hết , gọi ≈ là quan hệ tương đương trên C(X;Y) được xác định bởi f g≈ với điều kiện tồn tại một tập con compact K của X sao cho ( ) ( ), \f x g x x X K= ∀ ∈ . Với mỗi ( ; )f C X Y∈ , gọi ( )E f là lớp tương đương ≈ chứa f . Chú ý rằng nếu X là compact, thế thì mỗi ( )E f bằng ( ; )C X Y . 2.2.3. Mệnh đề 27 : Nếu X là một không gian compactσ − compact địa phương và Y là một không gian mêtric thì ( )E f là không gian con đóng của ( ; )fC X Y , ( ; )f C X Y∀ ∈ . Chứng minh : Vì điều này hiển nhiên đúng với X compact, ta giả sử rằng X là không compact. Thế thì ta có thể viết { }:nX K n= ∪ ∈ , ở đây mỗi nK là compact và chứa trong phần trong 1nK + . Gọi ( ; )f C X Y∈ và ( ; ) \ ( )g C X Y E f∈ . Thế thì với mỗi n∈ , tồn tại một \n nx X K∈ sao cho ( ) ( );n ng x f x≠ gọi ( )( ); ( )n n nd g x f xε = . Lập tức { }:nx n∈ là tập con đóng rời rạc của X, để hàm số từ { }:nx n∈ sang (0; )∞ chuyển mỗi nx đến nε có một sự mở rộng đối với một ( )C Xε +∈ . Điều này hiển nhiên ( ; ) ( ; ) \ ( )fB g C X Y E fε ⊆ , và điều này cho thấy ( )E f là đóng trong ( ; )fC X Y  Hệ quả 28 : Nếu Y là một không gian mêtric khả li compact địa phương, thì ( )E h là không gian con đóng của ( )f YΗ với mọi ( )h Y∈Η . Ta thấy theo mệnh đề 27,gọi e là kí hiệu ánh xạ đồng nhất trong ( )YΗ .Thì ta có một nhóm con chuẩn tắc sau : 2.2.4. Mệnh đề 29 : Với mọi không gian Y, ( )E e là nhóm con chuẩn tắc của ( )YΗ . Chứng minh : Gọi , ( )f g E e∈ . Thế thì có các tập con compact 1K và 2K của Y sao cho 1( ) , \f y y y Y K= ∀ ∈ và 2( ) , \g y y y Y K= ∀ ∈ . Tập hợp 1 2( )f K− là compact trong Y, vì thế tập 11 2( )K K f K−= ∪ là compact . Nếu \y Y K∈ thì 2( ) \f y Y K∈ thế thì ( )f y y= và ( ( )) ( )g f y f y y= = .Do đó, ( )gf E e∈ 33 Hơn nữa, 1( )f K là compact, và nếu 1\ ( )y Y f K∈ thì 1 1( ) \f y Y K− ∈ , thế thì ( )1 1( ) ( )y f f y f y− −= = vậy là 1 ( )f E e− ∈ , vậy ( )E e là nhóm con của ( )YΗ . Để thấy ( )E e là nhóm con chuẩn tắc của ( )YΗ , gọi ( )f E e∈ và ( )g Y∈Η .Thế thì tồn tại tập con compact K của Y sao cho ( ) , \f y y y Y K= ∀ ∈ .Gọi / ( )K g K= là tập con compact của Y. Thế thì, nếu /\y Y K∈ , ta có 1( ) \g y Y K− ∈ , thế thì ( )1 1 1( ) ( ( )) ( ( ))gfg y g f g y g g y y− − −= = = . Do đó, 1 ( )gfg E e− ∈ . Điều này cho thấy ( )E e là nhóm con chuẩn tắc của ( )YΗ  Hệ quả 30 : Nếu Y là không gian mêtric khả li compact địa phương, thì nhóm thương ( ) / ( )f Y E eΗ là một nhóm tôpô với tôpô thương, điều này kéo theo ( )E h là đồng phôi với ( )E e với mọi ( )h Y∈Η Ví dụ 31 : Với Y =  , nhóm con ( )E e của ( )f YΗ là không mở trong ( )f YΗ Để thấy ( )E e là không mở, gọi 1( )D Y là tập hợp của ( )C Yδ ∈ có đạo hàm / ( ) 1,y y Yδ < ∀ ∈ .Gọi ( )C Yε +∈ . Thế thì ta tìm một số 1( ) ( )C Y D Yδ +=  sao cho δ ε< . Đặt f e δ= + , chúng ta có f tăng ngặt vì thế nó thuộc ( )YΗ . Hơn nữa, ( ; )f B e ε∈ . Nhưng ( ) ,f y y y Y≠ ∀ ∈ và do đó, ( )f E e∉ .Vì ε là tùy ý, ta thấy rằng ( )E e là không mở Điều này cho thấy ( ) \ ( )fH Y E e không là nhóm rời rạc . Với quan hệ tương đương thứ nhì trên C(X;Y), chúng ta lấy Y là không gian mêtric với mêtric d. Gọi  là quan hệ tương đương trên C(X:Y) được xác định bởi f g với điều kiện là với mọi 0ε > tồn tại tập con compact K của X sao cho ( )( ); ( ) , \d f x g x x X Kε< ∀ ∈ . Với mỗi ( ; )f C X Y∈ , gọi ( )F f là lớp tương đương  chứa f . Điều này rõ ràng ( ) ( ), ( ; )E f F f f C X Y⊆ ∀ ∈ . 2.2.5. Mệnh đề 32 : Nếu X là một không gian bất kì và Y là không gian mêtric, thì ( )F f là không gian con đóng của ( ; ), ( ; )fC X Y f C X Y∀ ∈ , Hơn nữa, 34 nếu X là một không gian compactσ − compact địa phương, thì ( )F f là một không gian con mở của ( ; ), ( ; )fC X Y f C X Y∀ ∈ , điều này kéo theo ( ; )fC X Y là bằng tôpô tổng của một số phần tử phân biệt của { }( ) : ( ; )F f f C X Y∈ Chứng minh : • Để thấy ( )F f là đóng trong ( ; )fC X Y , gọi ( ; ) \ ( )fg C X Y F f∈ . Thế thì tồn tại một số 0δ > sao cho với mọi tập con compact K của X, có một \x X K∈ với ( )( ); ( )d g x f x δ≥ . Gọi ( )C Xε +∈ là hàm hằng trên X có giá trị bằng 2 δ . Nếu ( ; )h B g ε∈ , thì với mỗi tập con compact K của X, tồn tại một \x X K∈ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) < ( ); ( )2 d g x f x d g x h x d h x f x d h x f x δ δ ≤ ≤ + + Và do đó, ( )( ); ( ) 2d h x f x δ> . Điều này cho thấy ( )h F f∉ , và do đó ( ); ( ; ) \ ( )fB g C X Y F fε ⊆ , vậy ( )F f là đóng. Nếu X là một không gian compactσ − compact địa phương, chúng ta có thể viết { }:nX K n= ∪ ∈ ở đây nK là compact chứa trong phần trong của 1nK + . • Để thấy ( )F f là mở trong ( ; )fC X Y , trước tiên chọn một số ( )C Xε +∈ sao cho với mọi n∈ và nx K∈ , 1( )x nε < . Bây giờ ( )g F f∈ và gọi ( ; )h B g ε∈ . Để thấy ( )h F f∈ , gọi 0δ > . Thế thì lấy một n∈ với 1n δ< và gọi \ nx X K∈ . Vì thế ta có ( ) 1( ); ( ) ( )d h y g y x nε δ< < < , cho thấy h g .Vì g f , ta có h f , và do đó ( )h F f∈ . Vì vậy, ( , ) ( )B g F fε ⊆ và vì g tùy ý, ( )F f là mở trong ( ; )fC X Y .  35 Hệ quả 33 : Nếu Y là không gian mêtric khả li compact địa phương, thì ( )F h là không gian con mở và đóng của ( ), ( )f Y h YΗ ∀ ∈Η , điều này kéo theo ( )f YΗ là bằng tôpô tổng của một số phần tử phân biệt của { }( ) : ( )F h h Y∈Η Như vậy, ta tìm được không gian con vừa đóng vừa mở và từ đó ta sẽ có một tôpô tổng. Ví dụ 34 : Nếu Y ω=  , thì ( )F e là nhóm con tầm thường { }e trong ( )YΗ , mà nó là không mở trong ( )YΗ . Điều này cho thấy giả thiết compact địa phương trong hệ quả 33 là không thể bỏ qua. Để thấy { }( )F e e= , gọi { }( ) \ff Y e∈Η , thế thì tồn tại 0y Y∈ sao cho 0 0( )f y y≠ . Đặt ( )0 0( );d f y yδ = thế thì 0y có một lân cận U trong Y sao cho ( )( ), ,2d f y y y Uδ≥ ∀ ∈ . Với mỗi tập con compact K của Y, tồn tại một \y U K∈ , và do đó ( )( ), 2d f y y δ≥ . Điều này cho thấy ( )f F e∈ , và do đó, { }( ) ( )E e F e e= = . 2.2.6. Mệnh đề 35: Với mọi không gian Y, ( )F e là nhóm con của ( )YΗ . Chứng minh : Điều này chứng minh tương tự như mệnh đề 29 , ngoại trừ việc cần dùng 2 ε và tính chất bất đẳng thức trong tam giác của d để thấy ( )F e là đóng với phép kết hợp.  Hệ quả 36 : Nếu Y là không gian mêtric khả li compact địa phương, thì ( )F e là một nhóm con mở và đóng của nhóm tôpô ( )f YΗ . Ví dụ sau đây cho thấy việc tìm quan hệ tương đương  là cần thiết, không thể bỏ qua quan hệ tương đương ≈ . Ví dụ 37 : Với Y =  nhóm con ( )F e của ( )f YΗ không là nhóm con chuẩn tắc của ( )YΗ . Để thấy ( )F e là không chuẩn tắc, gọi , ( )f g Y∈Η được xác định bởi 36 32 1( ) và ( ) 1 f x x g x x x = + = + Thế thì ta có thể thấy rõ ràng ( )f F e∈ và ( )g Y∈Η .Lập tức ( ) ( ) ( ) 1 11 3 3 2 3 2 1 3 3 2 2 32 23 3 3 1( ) 1 3 3 1 = 1 1 1 gfg x gf x g x x x xx x x x −  = = +  +  + + + + + + Vì 1lim 132 3 1 x x = →∞    +     Ta thấy 1 ( )gfg F e− ∉ . Phần còn lại ta nghiên cứu một số tính chất của ( )f +Η  . 2.3. Các tính chất của ( )f +Η  và ω Trong phần này ta nghiên cứu một vài tính chất tôpô của ( )f +Η  và chúng ta thấy chúng có những tính chất tương tự như tôpô tích hình hộp ω ( xem [20], [23],[24] ). 2.3.1. Mệnh đề 38 : Không gian ( )f+Η  và ω là các đồng đều Chứng minh : Không gian ( )f+Η  đồng đều vì nó là một nhóm tôpô theo định lý 26 . Để thấy ω là đồng đều, gọi ,x y ω∈ . Thế thì nếu :h ω ω→  được xác định bởi ( ) , và n n n nh z z x y z nω ω= − + ∀ ∈ ∈ , ta thấy rằng h là một đồng phôi chuyển x đến y .  Bây giờ, ta xét các tính chất về lượng bất biến của trọng số,tính trù mật và tính phân ô (xem [14]). • Trọng số của một không gian tôpô, w(X), là bản số nhỏ nhất của một cơ sở đối với X. • Tính trù mật của X, d(X), là bản số nhỏ nhất của một tập con trù mật của X. 37 • Tính phân ô (cellularity)của X, c(X), là bản số lớn nhất của một họ từng cặp rời nhau của tập con mở khác rỗng của X. • Với mọi không gian X, chúng ta có ( ) ( )c X d X≤ ≤ w(X) Những tính chất này của ω đã biết theo [11], nhưng chúng ta chứng minh vắn tắt các tính chất này minh họa tương ứng cho trong ( )f+Η  . Chúng ta xác định quan hệ tương đương ≈ và  trên ω tương tự như cách định nghĩa trên ( )f +Η  ( Vì thế cũng dùng cùng một kí hiệu ). Gọi ≈ được xác định trên ω bởi x y≈ với điều kiện tồn tại một m ω∈ với ,n nx y n m= ∀ > . Cũng như vậy, gọi  được xác định trên ω bởi x y với điều kiện với mọi 0ε > tồn tại một m ω∈ với ,n nx y n mε− . Với mỗi x ω∈ , gọi ( )E x và ( )F x là lớp các quan hệ tương đương tương ứng chứa x . Nó có thể thấy như trong mệnh đề 27 và mệnh đề 32 nghĩa là với mỗi x ω∈ , ( )E x và ( )F x là các không gian con đóng của ω sao cho ( )F x là mở còn ( )E x thì không. Trong việc này ω là bằng với tôpô tổng của một số phần tử phân biệt của { }( ) :F x x ω∈ . Gọi c là bản số continuum của  , ta thấy có ít nhất c phần tử phân biệt của { }( ) :F x x ω∈ bởi vì nếu ,x y ω∈ sao cho nx a= và ny b= n ω∀ ∈ ở đây a b≠ , thế thì ( ) ( )F x F y≠ . Điều này có nghĩa là ( )c cω ≥ . Nhưng w( ω ) c≤ vì ω có một cơ sở bản số là c gồm những tập hợp có dạng m mUω∈∏ ở đây mU là một khoảng mở với các đầu mút hữu tỉ. Do đó, ta có điều sau đây đối với ω . 2.3.2. Mệnh đề 39 : Tích hình hộp ω có : ( ) ( )c dω ω= =  w( ω ) = c ta chứng minh tương tự mệnh đề này đối với ( )f+Η  . Trước tiên thấy rằng ( )f +Η  là một không gian con của ( )fC  , vì thế 38 w( ( )f+Η  )≤w( ( )fC  ). Trong [13] cho thấy với mọi không gian X ( ( )) ( ( ))f fc C X d C X= = w( ( )fC X ) Do đó, w( ( )f+Η  )≤ d ( ( )fC  ). Bây giờ ta chứng minh điều này đối với ( )f+Η  như sau : 2.3.3. Mệnh đề 40 : Không gian ( )f+Η  có : ( ( )) ( ( ))f fc d+ +Η = Η =  w( ( )f+Η  ) = c Chứng minh : Vì w( ( )f+Η  )≤ d ( ( )fC  ), ta cần chứng tỏ d ( ( )fC  ) c≤ . Nhưng có một đơn ánh từ ( )C  sang ω bởi vì hai hàm số trong ( )C  là bằng nhau nếu và chỉ nếu chúng bằng nhau tại tất cả các số hữu tỉ , vì bản số của ω là c, ta biết rằng bản số của ( )C  là c, do đó cho nên , d ( ( )fC  ) c≤ Để thấy ( ( ))fc c +≤ Η  , Trước tiên nhắc lại từ hệ quả 33 là ( )f+Η  là bằng với tôpô tổng của số phần tử phân biệt của { }( ) : ( )fF h h H +∈  . Nếu , ( )ff g +∈Η  sao cho ( )f t at= và ( )g t bt= với 0a b≠ ≠ , thế thì ( ) ( )F f F g≠ . Điều này cho thấy có ít nhất c phần tử phân biệt của { }( ) : ( )fF h h H +∈  , và do đó, ( )( ) .fc c H +≤   Bây giờ chúng ta xét tính chất địa phương của đặc tính ( ; )x Xχ của một không gian X, khi x có giá trị trong X, bản số nhỏ nhất của một cơ sở địa phương tại x . Thì ( )Xχ là cận trên lớn nhất của các số ( , )x Xχ Vì ( )f+Η  và ω là các đồng đều theo mệnh đề 38 , ta chỉ cần xét cở sở địa phương tại e trong ( )f +Η  và tại 0 trong ω  . Một tập con D của ω  được gọi là có ưu thế (Dominating ) với điều kiện nếu với mỗi x ω∈ , tồn tại một số d∈D sao cho n nx d≤ , n ω∀ ∈ . Số ưu thế, d, là bản số nhỏ nhất của một tập con có ưu thế của ω  ( xem [17] ). Bản số d này nằm giữa hai số lượng 1N và 02N c= và bao gồm với ZFC mà nó bằng những số này hoặc không bằng tất cả ( xem 16 ). 39 Do xét cơ sở địa phương của ω  tại 0 và do lấy phần tử đối của các phần tử dương của tập hợp con có ưu thế của ω  , Chúng ta có mệnh đề sau : 2.3.4. Mệnh đề 41 : Tích hình hộp ω  thỏa mãn ( ) dωχ = Chúng ta chứng minh tính chất này tương tự với ( )f +Η  . 2.3.5. Mệnh đề 42 : không gian ( )f+Η  thỏa ( )( )f dχ +Η = Chứng minh : Từ [13] chúng ta biết rằng ( )( )fC dχ = . Vì ( )f+Η  là không gian con của ( )fC  , ta có ( )( )fH dχ + ≤ Chúng ta phát họa chứng minh ( )( )fH dχ + ≥ . Gọi 1( )D  được xác định như trong ví dụ 31. Thế thì ( )Cε +∀ ∈  , 1 1( ) ( )C Dδ∃ ∈    sao cho δ ε< . Điều này có nghĩa là họ các tập hợp 1( ; ), ( )B e Dδ δ∀ ∈  có dạng một cơ sở tại e trong ( )f +Η  . Hơn nữa, với mỗi 1( ), ( )fD eδ δ +∈ + ∈Η  Bây giờ gọi 1( )D∆ ⊆  sao cho { }( ; ) :B e δ δ ∈∆ là một cơ sở tại e trong ( )f +Η  với bản số của ∆ là bằng ( )( )fHχ +  . Đặt { }1 :D δδ= ∈∆ là một tập con của ( )C  . Để thấy D là một tập con có ưu thế của ( )C  , gọi ( )f C∈  . Thế thì có một ( )Cε +∈  sao cho f ε≤ . Vì ( )1;B e ε là một lân cận của e, tồn tại một số δ ∈∆ với 1( ; ) ( ; )B e B eδ ε⊆ . Để thấy rằng 1δ ε≤ , giả sử ngược lại. Thế thì tồn tại một x∈ với 1( ) ( )x xδ ε> . Gọi 1 ( ) ( )k x xδ ε= , nó thật sự nằm giữa 0 và 1. Lập tức 1( )k Dδ ∈  , thế thì ( )e k Hδ+ ∈  . Hơn nữa, ( ; )e k B eδ δ+ ∈ . Nhưng 1( ) ( )k x xδ ε= , vì thế ( )1;e k B eδ ε+ ∉ mâu thuẩn , ta có 1δ ε≤ và do đó 40 1ε δ≤ . Thế thì D là một tập con có ưu thế trong ( )C  , và do đó, ( )( ) fd D χ +≤ ≤ ∆ = Η   • Từ mệnh đề 41 và mệnh đề 42 , Ta thấy rằng ( )f+Η  và ω không thỏa tiên đề đếm được thứ nhất, và do đó không mêtric hóa được Bây giờ chúng ta xét tính chất liên thông của ( )f +Η  và ω  . Trước tiên thành phần liên thông của tích hình hộp ω đã cho trong [11] như sau: 2.3.6. Mệnh đề 43 : Với mỗi x ω∈ , thành phần liên thông ( thành phần liên thông đường ) của ω  chứa x là ( )E x . Ta chứng minh tương tự cho kết quả ( )f +Η  . 2.3.7. Mệnh đề 44 : Với mỗi ( )fh +∈Η  , thành phần liên thông ( thành phần liên thông đường) của ( )f +Η  chứa h là ( )E h . Chứng minh : Ta chứng minh điều này với h e= . Gọi ( ) \ ( )ff E e +∈Η  .Giả sử ngược lại rằng f ở trong thành phần liên thông của ( )fΗ  chứa e . Vì ( )f E e∉ , tồn tại một dãy tăng không bị chặn ( )ny trong  sao cho ( ) ,n nf y y n≠ ∀ ∈ . Với mỗi n, gọi ( )n n n f y y nδ −= và gọi ( )Cε +∈  sao cho ( ) ,n ny nε δ= ∀ ∈ . Thế thì phủ mở { }( ; ) : ( )fB g gε ∈Η  của ( )fΗ  có một dãy đơn giản nối từ e tới f , giả sử dãy này là 1( ; ),......., ( ; )kB g B gε ε ở đây 1 , kg e g f= = và ( ; ) ( ; )i jB g B gε ε ≠ ∅ nếu và chỉ nếu 1i j− ≤ . Gọi 2n k= , và với mỗi 1,...... 1i k= − , gọi 1 1 ( ( ); ( )) ( ( ); ( )) = ( ( ); ) ( ( ); ) i i n n i n n i n n i n n z B g y y B g y y B g y B g y ε ε δ δ + + ∈   Thế thì ta có 41 ( ) 1 1 1 2 2 2 2 3 1 1 1 2 , ( ) ( ( ); ) ( ; ( )) ( ( ), ) ( ; ( )) +.....+ ( ( ); ) ( ; ( )) <2( 1) , n n n n n n n k n k k k n n k d y f y d g y z d z g y d g y z d z g y d g y z d z g y k δ δ − − − = ≤ + + + + − Mà điều này mâu thuẩn. do đó cho thấy rằng f không trong thành phần liên thông của ( )fΗ  chứa e và do đó thành phần của h này được chứa trong ( )E e . • Phần còn lại chứng tỏ ( )E e là liên thông, ta cần chứng tỏ rằng với mỗi ( )f E e∈ , { };e f được chứa trong một tập con liên thông của ( )E e . Vì thế gọi ( )f E e∈ . Định nghĩa [ ] ( ): 0;1p C→  xác định bởi ( )( ) ( ) (1 ) , [0;1]p t y tf y t y t= + − ∀ ∈ và y∈ Rõ ràng (0)p e= và (1)p f= . Để chứng tỏ ( ) ( )fp t ∈Η  với mỗi [0;1]t∈ , ta chỉ cần chỉ ra ( )p t là đồng biến. Nhưng vì f là đồng biến, nên rõ ràng mỗi ( )p t là đồng biến. Vì thế p là hàm số được định nghĩa tốt từ khoảng [0;1] sang ( )fΗ  . Ta có khoảng [0;1] liên thông trong tôpô thông thường, vì thế chúng ta cần biết p là liên tục ( tức là, p là một cung ). Bởi vì ( )f E e∈ , tồn tại một tập con compact K của  sao cho ( ) , \ .f y y y K= ∀ ∈ Điều đó đủ để kết luận p là một ánh xạ từ [0;1] sang ( )f KΗ . Nhưng tôpô mịn trên ( )H K là bằng tôpô mở - compact trên ( )H K , và p là hàm liên tục từ [0;1] vào ( )kH K . • Chúng ta chỉ ra rằng mệnh đề 44 cũng đúng trong trường hợp tổng quát hơn ( )fC X bất kì X là một không gian compactσ − compact địa phương, cơ bản công việc chứng minh cũng giống trong trường hợp đã chứng minh . 42 Những tính chất được cho ở trên đối với ( )f +Η  và ω như thế cũng tương tự , ta xét xem những không gian này đồng phôi hay không. ( )f+Η  và ω khác nhau quan trọng, chúng ta thấy từ hai mệnh đề sau : 2.3.8. Mệnh đề 45 : không gian ( )f+Η  chứa một không gian con đóng đồng phôi với ω . Chứng minh : Gọi  { }( ) : ( ) , ( ; 1] [1; )h h t t t+= ∈Η = ∀ ∈ −∞ − ∪ ∞ . Ta dễ dàng kiểm tra  là đóng trong ( )p +Η  theo tôpô, và do đó đóng trong ( )f+Η  . Hơn nữa, hiển nhiên rằng  là không gian con của ( )f+Η  , nó đồng phôi với ( ) ( )f k + +Η Ι = Η Ι .Nhưng ( )k +Η Ι là đồng phôi với ω theo định lý 22. 2.3.9. Mệnh đề 46 : Tích hình hộp ω không chứa một không gian con đóng nào mà đồng phôi với ω . Chứng minh : Giả sử rằng có một phép nhúng đóng : ω ωφ →  . Vì ω là đồng đều theo mệnh đề 38, chúng ta có thể giả sử rằng 0 là trong ( )ωφ  .Từ mệnh đề 43 chúng ta biết rằng (0)E là thành phần liên thông của ω chứa 0, thế thì ( ) (0)Eωφ ⊆ . Nhưng (0)E là compactσ − và φ là phép nhúng đóng trái với ω không compactσ − .  Hệ quả 47 : Không gian ( )f+Η  không thể nhúng được như là một không gian con đóng của tích hình hộp ω .  Như vậy , qua việc xem xét các tính chất của ( )fH +  và ω từ mục 2.3 ta thấy chúng rất gần