Luận văn Dãy hội tụ về điểm bất động của ánh xạ không giãn và điểm bất động chung

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN . 0

LỜI NÓI ĐẦU . 1

CHƯƠNG I . 3

KIẾN THỨC CƠ SỞ . 3

1.1. Bổ đề 1.1. 3

1.2. Không gian mêtric. . 3

Định nghĩa 1.2 .3

Bổ đề 1.3.3

Định nghĩa 1.4 .4

Định lý 1.5.4

1.3 Không gian Banach lồi đều . 6

Định nghĩa 1.6 .6

Bổ đề 1.7.6

CHƯƠNG II. 7

ĐỊNH LÝ VỀ SỰ DUY NHẤT CỦA ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC

ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU. 7

2.1 Các định nghĩa . 7

Định nghĩa 2.1 .7

Định nghĩa 2.2 .7

Định nghĩa 2.3 .7

Định nghĩa 2.5 .8

Định nghĩa 2.6 .8

2.2 Định lý 2.7 . 8

2.3 Định lý 2.8 . 10

2.4 Định lý 2.9 . 12

2.5 Hệ quả 2.10. 14

2.6 Hệ quả 2.11. 14

2.7 Định lý 2.12 . 152.8 Định lý 2.13 . 16

2.9 Định lý 2.14 . 17

2.10 Hệ quả 2.15. 18

2.11 Định lý 2.16 . 19

CHƯƠNG III. 23

LẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG HỌ N ÁNH XẠ TỰA TIỆM CẬN

KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU. 23

3.1 Các định nghĩa . 23

Định nghĩa 3.1 .23

Định nghĩa 3.2 .23

Định nghĩa 3.3 .23

Định nghĩa 3.4 .23

Định nghĩa 3.5 .24

Định nghĩa 3.6 .24

3.2 Định lý 3.7 . 24

3.3 Định lý 3.8 . 24

3.4 Định lý 3.9 . 25

3.5 Ánh xạ loại (A) . 25

3.6 Ánh xạ loại (B) . 26

3.7 Lập dãy hội tụ về điểm bất động họ ánh xạ tựa tiệm cận không giãn. 26

3.8 Bổ đề 3.10. 27

3.9 Bổ đề 3.11. 29

3.10 Định lý 3.12 . 36

3.11 Định nghĩa 3.13 . 38

3.12 Định lý 3.14 . 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO. 40

pdf45 trang | Chia sẻ: lavie11 | Ngày: 16/12/2020 | Lượt xem: 41 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Dãy hội tụ về điểm bất động của ánh xạ không giãn và điểm bất động chung, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
( )( )2 2 2, ,0,0, , , , 0.d f u fu d f u fu d f u fuϕ < Kết hợp với điều kiện ( )2ϕ thì ( ) ( ) ( )( )ϕ ≥2 2 2, ,0,0, , , , 0d f u fu d f u fu d f u fu với ( )2 , 0d f u fu > . Do vậy ( )2 , 0d f u fu = . Suy ra 2f u fu= hay fu là điểm bất động của f . Tương tự ta có: 2gv g v= hay fu gv= là điểm bất động của g . Tiếp tục ta đi chứng minh fu là điểm bất động của F và G. Do 2,ffu fu gv ggv gfu fu f u fFu Ffu= = = = = ∈ ⊂ . Suy ra fu Ffu∈ hay fu là điểm bất động của F. Vì fu gfu Gfu= ∈ hay fu là điểm bất động của G . Ta chứng minh điểm bất động chung là duy nhất. Đặt fu ω= và 'ω là điểm bất động của , , ,f g F G . Khi đó theo (2.8.1) và ( )1ϕ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) , ' , , , ', ' , , ' , ', , ' ,0,0, , ' , , 0. d f g d f Ff d g G d f G d g Ff d f g d f G d f Ff ϕ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ϕ ω ω ω ω ω ω= < 10 Đồng thời theo ( )1ϕ ta có: ( ) ( ) ( )( )ϕ ω ω ω ω ω ω <, ' ,0,0, , ' , , ' 0d f g d f g d f g , kết hợp với ( )2ϕ thì ( ) ( ) ( )( )ϕ ω ω ω ω ω ω ≥, ' ,0,0, , ' , , ' 0d f g d f g d f g với ( ), ' 0d f gω ω > Suy ra ( ) ( ), ' 0 , ' 0 hay 'ω ω ω ω ω ω= ⇒ = =d f g d . 2.3 Định lý 2.8 Cho , :f g X X→ là các ánh xạ và ( ), : fbF G X X→℘ là các ánh xạ đa trị sao cho các cặp { },f F và { },g G là tương thích yếu ngẫu nhiên. ( )6:ϕ + →  là hàm thực thỏa các điều kiện sau: ( )1ϕ : ϕ không tăng với các biến t5 và t6 ( )2ϕ : ( )', ,0,0, , 0 , 0t t t t tϕ ≥ ∀ > . Nếu với mọi x , y X∈ sao cho ( ) ( ) ( ){ }max , , , , , 0d fx gy d fx Fx d gy Gy > , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ <, , , , , , , , , , , 0 (2.10.1)H Fx Gy d fx gy d fx Fx d gy Gy d fx Gy d gy Fx thì các ánh xạ f, g, F và G có chung duy nhất điểm bất động. Chứng minh. Chứng minh tồn tại điểm bất động. Thật vậy, vì các cặp { },f F và { },g G là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại ,u v X∈ sao cho , ,fu Fu gv Gv fFu Ffu∈ ∈ ⊆ và gGv Ggv⊆ . Trước tiên, ta chứng minh gv fu= . Theo điều kiện (2.10.1) và ( )1ϕ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) , , , , , , , , , , , , , , ,0,0, , , , 0 . H Fu Gv d fu gv d fu Fu d gv Gv d fu Gv d gv Fu H Fu Gv d fu gv d fu Gv d gv Fu ϕ ϕ= < Mặt khác theo điều kiện ( )1ϕ ta được: 11 ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ <, , , ,0,0, , , , 0H Fu Gv d fu gv d fu gv d fu gv , kết hợp với điều kiện ( )2ϕ thì ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ ≥, , , ,0,0, , , , 0H Fu Gv d fu gv d fu gv d fu gv khi ( ), 0d fu gv > . Do đó ta có được ( ), 0 hay= =d fu gv fu gv . Tiếp theo, ta chứng minh 2f u fu= . Cũng vì điều kiện (2.10.1) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 , , , , , , , , , , , , , , ,0,0, , , , 0. H Ffu Gv d f u gv d f u Ffu d gv Gv d f u Gv d gv Ffu H Ffu Gv d f u gv d f u Gv d gv Ffu ϕ ϕ= < Mặt khác theo điều kiện ( )1ϕ ta có kết quả: ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ <2 2 2, , , ,0,0, , , , 0H Fu Gv d f u fu d f u fu d f u fu , kết hợp với điều kiện của ( )2ϕ ta cũng có kết quả: ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ ≥2 2 2, , , ,0,0, , , , 0H Fu Gv d f u fu d f u fu d f u fu với ( )2 , 0d f u fu > . Do vậy mà ta suy ra ( )2 2, 0d f u fu f u fu= ⇒ = hay fu là điểm bất động của .f Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có được 2g v gv= hay gv là điểm bất động của g . Tiếp tục ta chứng minh fu là điểm bất động của F và G. Do 2,ffu fu gv ggv gfu fu f u fFu Ffu= = = = = ∈ ⊂ . Nên ta có fu Ffu∈ . Tương tự ta cũng có: fu gfu Gfu= ∈ . Theo định nghĩa (2.6) thì fu là điểm bất động của F và G. Chứng minh fu là điểm bất động duy nhất. Đặt fu ω= và 'ω là điểm bất động khác của f, g, F, G. Sử dụng điều kiện (2.10.1) ta có kết quả sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) , ' , , ' , , , ', ' , , ' , ', , ' , , ' ,0,0, , ' , ', 0 H F G d f g d f F d g G d f G d g F H F G d f g d f G d g F ϕ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ϕ ω ω ω ω ω ω ω ω= < 12 Mặt khác theo điều kiện ( )1ϕ ta được: ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ ω ω ω ω ω ω ω ω <, ' , , ' ,0,0, , ' , , ' 0H F G d f g d f g d f g . Kết hợp với điều kiện ( )2ϕ thì ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ ω ω ω ω ω ω ω ω ≥, ' , , ' ,0,0, , ' , , ' 0H F G d f g d f g d f g với ( ), ' 0d f gω ω > . Do vậy ( ) ( ), ' 0 , ' 0 hay 'ω ω ω ω ω ω= ⇒ = =d f g d . 2.4 Định lý 2.9 Cho , :f g X X→ là các ánh xạ và , : fbF G X →℘ là các ánh xạ đa trị sao cho { },f F và { },g G là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên. ( )6:ϕ + →  là hàm thực thỏa các điều kiện sau: ( )1ϕ : ϕ không giảm với biến 1t ,không tăng với các biến t5 và t6 ( )2ϕ : ( ), ,0,0, , 0 , 0t t t t tϕ ≥ ∀ > . Nếu với mọi x , y X∈ sao cho ( ) ( ) ( ){ }max , , , , , 0d fx gy d fx Fx d gy Gy > , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ δ <, , , , , , , , , , , 0 (2.11.1)Fx Gy d fx gy d fx Fx d gy Gy d fx Gy d gy Fx thì các ánh xạ f, g, F và G có chung duy nhất điểm bất động. Chứng minh. Vì các cặp { },f F và { },g G là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại ,u v X∈ sao cho , ,fu Fu gv Gv fFu Ffu∈ ∈ ⊆ và gGv Ggv⊆ . Chứng minh sự tồn tại của điểm bất động. Tương tự như các định lý trước, theo điều kiện (2.11.1) ta được kết quả như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) , , , , , , , , , , , , , , ,0,0, , , , 0. Fu Gv d fu gv d fu Fu d gv Gv d fu Gv d gv Fu Fu Gv d fu gv d fu Gv d gv Fu ϕ δ ϕ δ= < 13 Mặt khác theo điều kiện ( )1ϕ ta cũng có: ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ δ <, , , ,0,0, , , , 0fu gv d fu gv d fu gv d fu gv . Kết hợp với điều kiện ( )2ϕ thì ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ δ ≥, , , ,0,0, , , , 0fu gv d fu gv d fu fv d fu gv với ( ), 0d fu gv > . Từ đó ta suy ra ( ), 0 hay= =d fu gv fu gv . Chứng minh 2f u fu= . Theo điều kiện (2.11.1) ta cũng có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 , , , , , , , , , , , , , , ,0,0, , , , 0. Ffu Gv d f u gv d f u Ffu d gv Gv d f u Gv d gv Ffu Ffu Gv d f u gv d f u Gv d gv Ffu ϕ δ ϕ δ= < Mặt khác theo điều kiện ( )1ϕ ta cũng có: ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ δ <2 2 2 2, , , ,0,0, , , , 0f u fu d f u fu d f u fu d f u fu . Kết hợp với điều kiện ( )2ϕ thì ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ δ ≥2 2 2 2, , , ,0,0, , , , 0f u gv d f u gv d f u fv d f u gv Với ( )2 , 0d f u fu > . Theo đó ta suy ra ( )2 2, 0d f u fu f u fu= ⇒ = hay fu là điểm bất động của f . Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có 2g v gv fu= = hay fu là điểm bất động của g . Tiếp theo ta chứng minh fu là điểm bất động của F và g. Ta có: 2,ffu fu gv ggv gfu fu f u fFu Ffu= = = = = ∈ ⊂ . Từ đây ta có: fu Ffu∈ và fu gfu Gfu= ∈ . Bây giờ chúng ta chứng minh điểm bất động fu là duy nhất. Đặt fu ω= và 'ω là điểm bất động khác của f, g, F, G. Sử dụng điều kiện (2.11.1) ta có kết quả sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) , ' , , ' , , , ', ' , , ' , ', , ' , , ' ,0,0, , ' , ', 0. F G d f g d f F d g G d f G d g F F G d f g d f G d g F ϕ δ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ϕ δ ω ω ω ω ω ω ω ω= < 14 Mặt khác theo điều kiện ( )1ϕ ta được: ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ δ ω ω ω ω ω ω ω ω <, ' , , ' ,0,0, , ' , , ' 0F G d f g d f g d f g . Kết hợp với điều kiện ( )2ϕ thì ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ δ ω ω ω ω ω ω ω ω ≥, ' , , ' ,0,0, , ' , , ' 0F G d f g d f g d f g . Với ( ), ' 0d f gω ω > . Do vậy ( ) ( ), ' 0 , ' 0ω ω ω ω= ⇒ =d f g d hay 'ω ω= . 2.5 Hệ quả 2.10 Cho :f X X→ là ánh xạ, : fbF X →℘ là ánh xạ có ảnh là tập hợp sao cho cặp { },f F tương thích yếu ngẫu nhiên. ( )6:ϕ + →  là hàm thực thỏa các điều kiện: ( )1ϕ : ϕ không giảm với biến t1 và không tăng với các biến t5 và t6 ( )2ϕ : ( ), ,0,0, , 0 , 0t t t t tϕ ≥ ∀ > ( )3ϕ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , , , , , , , 0Fx Fy d fx fy d fx Fx d fy Fy d fx Fy d fy Fxϕ δ < , với mọi ,x y X∈ và ( ) ( ) ( ){ }ax , , , , , 0m d fx fy d fx Fx d fy Fy > . Khi đó f và F có điểm bất động chung duy nhất. Chứng minh. Hệ quả được suy ra từ định lý 2.9 khi chúng ta chọn f g= và F G= 2.6 Hệ quả 2.11 Cho :f X X→ là ánh xạ, , : fbF G X →℘ là ánh xạ có ảnh là các tập hợp sao cho cặp { },f F và { },f G tương thích yếu ngẫu nhiên. ( ) 6 :ϕ + →  là hàm thực thỏa các điều kiện: ( )1ϕ : ϕ không giảm với biến t1, không tăng với các biến t5 và t6 15 ( )2ϕ : ( ), ,0,0, , 0 , 0t t t t tϕ ≥ ∀ > ( )3ϕ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , , , , , , , 0Fx Gy d fx fy d fx Fx d fy Gy d fx Gy d fy Fxϕ δ < , với mọi ,x y X∈ và ( ) ( ) ( ){ }ax , , , , , 0m d fx fy d fx Fx d fy Gy > . Khi đó f , F và G có điểm bất động chung duy nhất. Chứng minh. Hệ quả được suy ra từ định lý 2.9 khi chúng ta chọn .=f g 2.7 Định lý 2.12 Cho :f X X→ là ánh xạ, , : fbF G X →℘ là ánh xạ đa trị sao cho cặp { },f F và { },f G tương thích yếu ngẫu nhiên. :ψ + +→  là hàm không tăng sao cho, với mỗi ( )0 ,t t tψ> < và thỏa điều kiện: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )δ ψ  ≤ + −     2 2, , 1 , , 2.15.1 p p p pFx Gy ad fx gy a d gy Fx d fx Gy với mọi ,x y X∈ , < ≤ ≥0 1 , 1a p . Khi đó f, g, F và G có điểm bất động chung duy nhất. Chứng minh. Vì các cặp { },f F và { },g G là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại ,u v X∈ sao cho , ,fu Fu gv Gv fFu Ffu∈ ∈ ⊆ và gGv Ggv⊆ . Chứng minh tồn tại điểm bất động. Theo giả thiết của định lý ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , 1 , , . p p p pFx Gy ad fx gy a d gy Fx d fx Gyδ ψ   ≤ + −     Theo tính chất của δ và ψ ta được: ( ) ( ) ( )( ), , ,p p pd fu gv Fu Gv d fu gvδ ψ≤ ≤ . Nếu ( ), 0d fu gv > và theo điều kiện ( )t tψ thì ta có kết quả sau: 16 ( ) ( ) ( )( ) ( ), , , ,p p p pd fu gv Fu Gv d fu gv d fu gvδ ψ≤ ≤ < . Ta thấy có điều mâu thuẫn vì vậy mà ( ), 0 suy ra .= =d fu gv fu gv Ta đi chứng minh 2 .=f u fu Giả sử ( )2 , 0d f u fu > thì ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2, , , ,p p p pd f u fu Ffu Gv d f u fu d f u fuδ ψ≤ ≤ < . Đây cũng là điều mâu thuẫn nên ( )2 2, 0d f u fu f u fu= ⇒ = hay fu là điểm bất động của f . Chứng minh hoàn toàn tương tự cho ánh xạ g ta cũng có 2g u gu fu= = hay fu là điểm bất động của .g Chứng minh fu là điểm bất động của F, G. Ta có: 2,ffu fu gv ggv gfu fu f u fFu Ffu= = = = = ∈ ⊂ . Từ đây ta có: fu Ffu∈ và fu gfu Gfu= ∈ hay fu là điểm bất động của F, G. Chứng minh điểm bất động fu là duy nhất. Đặt fu ω= và 'ω là điểm bất động khác của f, g, F, G. Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ), ' , ' , 'd d f g F Gω ω ω ω δ ω ω= ≤ . Theo điều kiện (2.15.1) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, ' , ' 1 ', , ' . p p p pF G ad f g a d g F d f Gδ ω ω ψ ω ω ω ω ω ω   ≤ + −     Vì ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), ' , ' , ' , ' , 'p p p p pd d f g F G d dω ω ω ω δ ω ω ψ ω ω ω ω= ≤ ≤ < . Từ đây ta cũng có được kết quả ( ), ' 0 hay 'ω ω ω ω= =d . 2.8 Định lý 2.13 Cho :f X X→ là ánh xạ, , : fbF G X →℘ là ánh xạ có ảnh là các tập hợp sao cho cặp { },f F và { },f G tương thích yếu ngẫu nhiên. :ψ + +→  là hàm không tăng sao cho, với mỗi ( )0 ,t t tψ> < và thỏa điều kiện: 17 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) } ) 2 2 2 2 , , 1 ax , , , , , , , , , , 1 , , 2 p p p p p p p p Fx Gy ad fx gy a m d fx Fx d gy Gy d fx Fx d gy Fx d gy Fx d fx Gy dp fx Fx dp gy Gy δ ψ α β≤ + − + với mọi ,x y X∈ , α β< ≤ < ≤ ≥0 1 , 0 , 1, 1a p . Khi đó f, g, F và G có điểm bất động chung duy nhất. Chứng minh. Vì các cặp { },f F và { },g G là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại ,u v X∈ sao cho , ,fu Fu gv Gv fFu Ffu∈ ∈ ⊆ và gGv Ggv⊆ . Vì ψ là hàm là hàm không giảm và theo tính chất của các số thực ,c d ta luôn có { }ax , 2 c d m c d+ ≤ . Khi đó với mọi ,x y X∈ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ){ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]2 2 2 2 , , 1 ax , , , , , , , , , } δ ψ ≤ + − p p p p p p Fx Gy adp fx gy a m d fx Fx dp gy Gy d fx Fx d gy Fx d gy Fx d fx Gy Và với hai điểm ,u v ta cũng có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , 1 , , p p p pFu Gv ad fu gv a d gv Fu d fu Gyδ ψ   ≤ + −    . Áp dụng định lý 2.7 ta suy ra điều phải chứng minh. 2.9 Định lý 2.14 Cho :f X X→ là ánh xạ, , : fbF G X →℘ là ánh xạ đa trị sao cho cặp { },f F và { },f G tương thích yếu ngẫu nhiên. Từ ,u v X∈ sao cho , , ,fu Fu gv Gv fFu Ffu gGv Ggv∈ ∈ ⊆ ⊆ . :ψ + +→  là hàm không tăng sao cho, với mỗi ( )0 ,t t tψ> < và thỏa điều kiện: 18 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ψ  ≤ + −     2 2, , 1 , , (2.17.1) p p p pH Fx Gy ad fx gy a d gy Fx d fx Gy với mọi ,x y X∈ , 0 1 , 1a p≤ ≤ ≥ . Nếu fu gv= là điểm bất động của f và g thì fu là điểm bất động chung của f, g, F và g. Đồng thời Fu = Gv. Chứng minh. Vì ,gv Gv fu Fu∈ ∈ và 2f u fFu Ffu∈ ⊆ nên ta có các kết quả sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,d gv Fu H Fu Gv d fu Gv H Fu Gv d gv Ffu H Ffu gv≤ ≤ ≤ và ( ) ( )2 , ,d f u Gv H Ffu Gv≤ . Do ψ là hàm không giảm nên ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 , , 1 , , 2 , 1 , , , 1 , . ψ ψ ψ   ≤ + −     ≤ + −   ≤ + −  p p p p p p pH Ffu Gv ad f u gv a d gv Ffu d f u Gv ad f u gv a Hp Ffu Gv H Fu Gv ad fu gv a H Fu Gv Và ( ) ( ) ( ) ( )2, , 1 ,p p pH Fu Ggv ad fu g v a H Fu Ggvψ  ≤ + −  . Nếu Fu Gv≠ và với mỗi ( )0,t t tψ> ≤ , ( ) ( ) ( ) ( ), , 1 ,p p pH Fu Gv ad fu gv a H Fu Gvψ  ≤ + −  . Khi đó ta có ( ) ( ), ,H Fu Gv d fu gv≤ và fu gv≠ . Nếu fu gv= thì Fu Gv= . Chứng minh một cách tương tự nếu 2f u gv= thì Gv Ffu= và nếu 2fu g v= thì Fu Ggv= . 2.10 Hệ quả 2.15 Cho các ánh xạ , :f g X X→ , , : fbF G X →℘ là các ánh xạ đa trị. :ψ + +→  là hàm không tăng sao cho với mỗi ( )0 , .t t tψ> < Các cặp { },f F và { },f G tương thích yếu ngẫu nhiên thỏa điều kiện: 19 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , 1 , , p p p pFx Gy ad fx fy a d fy Fx d fx Gyδ ψ   ≤ + −    với mọi ,x y X∈ , 0 1a< ≤ và 1p ≥ . Khi đó f, g và G có điểm bất động chung duy nhất. Chứng minh. Chọn f g= và F G= , áp dụng định lý 2.14 ta được điều cần chứng minh. 2.11 Định lý 2.16 Cho :f X X→ là ánh xạ, , : fbF G X →℘ là ánh xạ đa trị và. : 0 ; 0 ;   Φ ∞ → ∞    là hàm không giảm thỏa các điều kiện sau: ( )1Φ : ( ) 0 0t tΦ = ⇔ = ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 : , , , , , , , , , (2.18.1) Fx Gy d fx gy d fx gy d fx gy d fx Gy d gy Gy d fx gy d fx Fx d gy Fx δ α β γ Φ Φ ≤ Φ  + Φ +Φ   + Φ +Φ  Với mọi ,x y X∈ và , , : 0 , 0, 1α β γ    ∞ →    là các hàm thỏa điều kiện: ( ) ( ) ( ) 1 (2.18.2).t t tα β γ+ + < Nếu các cặp { },f F và { },g G là tương thích yếu ngẫu nhiên thì các ánh xạ f, g, F và G có chung duy nhất điểm bất động trong X. Chứng minh. Vì các cặp { },f F và { },g G là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại ,u v X∈ sao cho , ,fu Fu gv Gv fFu Ffu∈ ∈ ⊆ và gGv Ggv⊆ . Chứng minh =fu gv . Do điều kiện (2.18.1) ta có kết quả: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) , , , , , , Fu Gv d fu gv d fu gv d fu gv d fu Gv d gv Gv δ α β Φ ≤ Φ  + Φ +Φ  20 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) , , , , , , , d fu gv d fu Fu d gv Fu d fu gv d fu gv d fu gv d fu Gv γ α β  + Φ +Φ  = Φ + Φ ( )( ) ( )( ), , .d fu gv d gv Fuγ+ Φ Nếu ( ), 0>d fu gv , từ điều kiện của Φ là hàm không giảm và ( ) 0 0Φ = ⇔ =t t kết hợp với các điều kiện (2.18.1), (2.18.2) cho ta kết quả: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) , , , , , , , , , , , , , . δ α β γ α β γ Φ ≤ Φ ≤ Φ + Φ + Φ  ≤ + + Φ  < Φ d fu gv Fu Gv d fu gv d fu gv d fu gv d fu Gv d fu gv d gv Fu d fu gv d fu gv d fu gv d fu gv d fu gv Vì vậy ta có ( ), 0=d fu gv hay =fu gv . Tiếp theo ta chứng minh 2f u fu= . Giả sử 2f u fu≠ , Φ là hàm không giảm và ( ) 0 0t tΦ = ⇔ = . Khi đó sử dụng hai điều kiện của Φ ta có: 21 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . d f u fu Ffu Gv d f u gv d f u gv d f u gv d f u Gv d gv Gv d f u gv d f u Ffu d gv Ffu d f u gv d f u gv d f u gv d f u Gv d f u gv d gv Ffu d f u gv d f u gv d f u gv d f u fu d f u fu δ α β γ α β γ α β γ Φ ≤ Φ ≤ Φ  + Φ +Φ    + Φ +Φ   = Φ + Φ + Φ ≤ + + Φ < Φ Vì Φ là hàm không giảm nên ( )( )2 , 0d f u fuΦ = hay ( )2 , 0d f u fu = . Suy ra 2f u fu= hay fu là điểm bất động của f . Chứng minh tương tự ta có: 2g v gv fu= = hay fu là điểm bất động của .g Tiếp theo ta chứng minh fu là điểm bất động của F, G. Ta có: 2,ffu fu gv ggv gfu fu f u fFu Ffu= = = = = ∈ ⊂ . Từ đây ta có: fu Ffu∈ và fu gfu Gfu= ∈ hay fu là điểm bất động của F, G. Chứng minh điểm bất động fu là duy nhất. Đặt fu ω= và giả sử 'ω là điểm bất động thứ hai của các ánh xạ , , ,f g F G sao cho 'ω ω≠ . Khi đó chúng ta có: ( ) ( ) ( ), ' , ' , 'd d f f F Gω ω ω ω δ ω ω= ≤ . Vì ( ), ' 0d ω ω > sử dụng điều kiện (2.18.1) và giả thiết về Φ ta được kết quả: 22 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) , ' , ' , ' , ' , ' , ' , , ' , ' ', d F G d f g d f g d f g d f G d gv Gv d f g d f F d g F ω ω δ ω ω α ω ω ω ω β ω ω ω ω γ ω ω ω ω ω ω Φ ≤ Φ ≤ Φ  + Φ +Φ   + Φ +Φ  ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) , ' , ' , ' , ' , ' ', d d d d G d d F α ω ω ω ω β ω ω ω ω γ ω ω ω ω = Φ + Φ + Φ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) , ' , ' , ' , ' , ' . d d d d d α ω ω β ω ω γ ω ω ω ω ω ω ≤ + + Φ < Φ Vì Φ là hàm không giảm nên ( )( ), ' 0d ω ωΦ = . Từ đây ta cũng có 'ω ω= . 23 CHƯƠNG III LẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG HỌ N ÁNH XẠ TỰA TIỆM CẬN KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU 3.1 Các định nghĩa Định nghĩa 3.1 Cho E là không gian Banach thực, K là tập con khác ∅ của E. Tập hợp ( ) { }:F T x Tx x= = là tập các điểm bất động của ánh xạ :T K K→ . Định nghĩa 3.2 Một ánh xạ :T K K→ là tiệm cận không giãn nếu lim 1nn k→∞ = thì n n nT x T y k x y− ≤ − với mọi x, y ∈K và n ∈ . Định nghĩa 3.3 Một ánh xạ được gọi là tựa tiệm cận không giãn nếu ( ) ≠ ∅F T và tồn tại dãy { } ) 1 0 ,n nr ∞ = ⊂ ∞ và lim 0nn r→∞ = sao cho ( )1 n nT x p r x p− ≤ + − với mọi ( ), , 1.x K p F T n∈ ∈ ≥ Định nghĩa 3.4 Ánh xạ T được gọi là L-lipsit đều nếu tồn tại số dương L sao cho n nT x T y L x y− ≤ − với mọi , , 1x y K n∈ ≥ . 24 Định nghĩa 3.5 Ánh xạ T được gọi là liên tục Holder đều nếu tồn tại các số dương L và α sao cho α − ≤ −n nT x T y L x y với mọi , , 1x y K n∈ ≥ . Định nghĩa 3.6 Ánh xạ T được gọi là ϕ -liên tục đều nếu tồn tại hàm thực ) ): 0, 0,ϕ  ∞ → ∞  với ( ) 0 lim 0 t tϕ +→ = sao cho ( )n nT x T y x yϕ− ≤ − với mọi , , 1x y K n∈ ≥ . 3.2 Định lý 3.7 Nếu T là ánh xạ tiệm cận không giãn thì T là ánh xạ L-lipsit đều. Chứng minh. Vì T là ánh xạ tiệm cận không giãn nên tồn tại { } )1 ,nk ⊂ ∞ và lim 1nn k→∞ = thì n n nT x T y k x y− ≤ − với mọi x, y ∈K và n ∈  . Theo tính chất của dãy số hội tụ, do lim 1nn k→∞ = nên tồn tại số dương L sao cho nk L≤ với mọi n∈ . Theo điều kiện của T ta có được: − ≤ −n nT x T y L x y với mọi x, y ∈K. Dựa vào định nghĩa 3.4, T là ánh xạ L-lipsit đều. 3.3 Định lý 3.8 Nếu T là L-lipsit đều thì T là ánh xạ liên tục Holder đều. Chứng minh. Để chứng minh T là ánh xạ liên tục Holder đều ta cần chỉ ra sự tồn tại các số dương L và α sao cho α − ≤ −n nT x T y L x y với mọi , , 1x y K n∈ ≥ . Thật vậy, vì T là L-lipsit đều nếu tồn tại số dương L sao cho 25 n nT x T y L x y− ≤ − với mọi , , 1x y K n∈ ≥ . Khi đó ta chọn số dương 1α = thì ta thấy được sự tồn tại của hai số dương như yêu câu đã đặt ra. 3.4 Định lý 3.9 Nếu T là liên tục Holder đều thì T là ϕ -liên tục đều. Chứng minh. Để chứng minh mệnh đề ta chỉ ra nếu T thoả các điều kiện liên tục Holder đều, nghĩa là tồn tại các số dương L và α sao cho: α − ≤ −n nT x T y L x y với mọi , , 1x y K n∈ ≥ thì T thoả điều kiện ϕ -liên tục đều: tồn tại hàm thực ) ): 0, 0,ϕ  ∞ → ∞  với ( )0lim 0t tϕ+→ = sao cho ( ) n nT x T y x yϕ− ≤ − với mọi , , 1x y K n∈ ≥ . Thật vậy, chọn hàm thực ϕ được xác định như sau: ) ): 0, 0,ϕ  ∞ → ∞  , ( ) [ ), 0 ;t Lt tαϕ = ∀ ∈ ∞ . Với L và α là các số dương trong điều kiện liên tục Holder của T. Khi đó ϕ thoả các điều kiện trên. Thật vậy, ( ) ( )αϕ + +→ → = = 0 0 lim lim 0 t t t Lt và ( )x y L x y αϕ − = − . Dựa vào điều kiện liên tục Holder đều của T ta được: ( )α ϕ− ≤ − = −n nT x T y L x y x y , với mọi , , 1x y K n∈ ≥ . 3.5 Ánh xạ loại (A) Ánh xạ :T K K→ , với K là tập con của E được gọi là thỏa điều kiện (A) nếu tồn tại hàm không giảm [ ) [ ): 0, 0,∞ → ∞f thỏa điều kiện: f(0) = 0, f(r) > 0 với mọi [ )0,r∈ ∞ và ( ( , ( )),− ≥ ∀ ∈x Tx f d x F T x K , với { }( , ( )) inf : ( )d x F T x p p F T= − ∈ . 26 3.6 Ánh xạ loại (B) Họ các ánh xạ { }1 2, ,..., NT T T từ K vào K, K là tập con của E được gọi là thỏa điều kiện B nếu tồn tại hàm không giảm [ ) [ ): 0, 0,f ∞ → ∞ thỏa điều kiện: f(0) = 0, f(r) > 0, [ )0,r∀ ∈ ∞ và 1 1 2 2 ... ( ( , )), .− + − + + − ≥ ∀ ∈N Na x T x a x T x a x T x f d x F x K Trong đó 1 ( , ) inf : N i i d x F x p p F T =   = − ∈ =     và a1, a2, , aN là các số thực không âm sao cho a1 + a2 + ... + aN = 1. Nhận xét Nếu ta chọn T1 = T2 = ... TN = T thì ta có được kết quả: 1 2 ... ( ( , )),Na x Tx a x Tx a x Tx f d x F x K− + − + + − ≥ ∀ ∈ ( )1 2 ... ( ( , )), ( ( , )), Na a a x Tx f d x F x K x Tx f d x F x K ⇔ + + + − ≥ ∀ ∈ ⇔ − ≥ ∀ ∈ Tức là T là ánh xạ thoả điều kiện loại (A). 3.7 Lập dãy hội tụ về điểm bất động họ ánh xạ tựa tiệm cận không giãn Với :T K K→ là ánh xạ tựa tiệm cận không giãn ; ( ){ } ( ){ }1 ,..., Nn nu u là các dãy bị chặn trong K ; ( ){ } ( ){ } ( ){ } [ ], , 0 ;1α β γ ⊂i i in n n thoả điều kiện ( ) ( ) ( ) { }1, 1,2,...,i i in n n i Nα β γ+ + = ∈ , và K là tập con khác rỗng, đóng và lồi của không gian định chuẩn X. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 n n n n n n n nx T x x uα β γ= + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 2 2 2 n n n n n n n nx T x x uα β γ= + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 3 3 3 3 n n n n n n n nx T x x uα β γ= + + 27 ... ...= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 1 1 N N N N N Nn n n N n n n n nx T x x uα β γ − − − − − − −= + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )α β γ− −+ = = + + 1 1 1 (1.6) N N N N N Nn n n n N n n n n nx x T x x u Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh dãy lập như (1.6) là tồn tại. Thật vậy, trước tiên ta cần kiểm tra ( )in nT x tồn tại với mọi 1,2,...,i N= . Vì 1∈x K nên ( ) 1 nx được xác định và ( )1nx K∈ vì ( ) 1 nx là tổ hợp lồi của các phần tử thuộc K . Do đó ( ) 2 nx tồn tại và ( )Nnx tồn tại và từ đó ta cũng có 1nx + được xác định. 3.8 Bổ đề 3.10 Cho X là không gian định chuẩn và K là tập con đóng và lồi của X; 1 2, , ..., :NT T T K K→ là N ánh xạ tựa tiệm cận không giãn với dãy { }( )inr sao cho 1 n n r ∞ = <∞∑ trong đó { }( )ax : 1,2,...,in nr m r i N= = . Dãy { }nx được định nghĩa trong (1.6) với giới hạn ( )γ ∞ = <∞ ≤ ≤∑ 1 ,1 .in n i N Nếu 1 ( ) N i i F F T φ = = ≠  thì lim nn x p→∞ − tồn tại với mọi p F∈ . Chứng minh Từ { } { } { }(1) (2), ,..., Nn n nu u u là những dãy bị chặn trong K nên tồn tại: ( ) 1 ax sup : 1,2,...,in n M m u p i N ≥  = − =    . Từ dãy lặp (1.6) ta có: (1) (1) (1) (1) 1 n n n n n n nx p T x x pα β γ− = + + − α β γ≤ − + − + −(1) (1) (1) (1)1 n n n n n n nT x p x p u p (1) (1) (1) (1)(1 )n n n n n n nr x p x p u pα β γ≤ + − + − + − 28 (1) (1) (1) (1)( )(1 )n n n n n nr x p u pα β γ≤ + + − + − (1) (1) (1)(1 )(1 )n n n n nr x p u pγ γ= − + − + − (1)(1 )n n nr x p Mγ≤ + − + (1)(1 )n n nr x p t≤ + − + (2.1), với (1) (1) n nt Mγ= . Từ (1) 1 n n γ ∞ = <∞∑ ta suy ra (1) 1 .n n t ∞ = <∞∑ Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng (2.1) và (1.6), ta có: (2) (2) (2) (2) 2 n n n n n n nx p T x x pα β γ− = + + − (2) ( ) (1) (2) (2) (2)2 n n n n n n nT x p x p u pα β γ≤ − + − + − (2) (1) (2) (2) (2) (1 ) (1 )n n n n n n n n n r r x p t x p u p α β γ  ≤ + + − + + −  + − (2) (2) 2 (2) (1) (2) (2) ( )(1 ) (1 )n n n n n n n n n r x p r t u p α β α γ ≤ + + − + + + − (2) 2 (2) (1) (2)(1 )(1 ) (1 )n n n n n n nr x p r t Mγ γ γ= − + − + + + 2 (1) (2)(1 ) (1 )n n n n nr x p r t Mγ≤ + − + + + 2 (2)(1 )n n nr x p t≤ + − + (2.2), với (2) (1) (2)(1 )n n n nt r t Mγ= + + . Từ (2) 1 n n γ ∞ = <∞∑ và (1) 1 n n t ∞ = <∞∑ ta có: (2) 1 n n t ∞ = <∞∑ . Lặp lại quá trình trên và sử dụng dãy (1.6) và kết quả (2.2) ta có: 29 ( ) (3) (3) (3) (2) (3) (3) (3) (3) (2) (3) (3) (3) (3) 2 (2) (3) (3) (3) (3) (3) 3 (3) (2) (3) (3) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x p T x p x p u p r x p x p u p k r x p t x p u p r x p r t u p α β γ α β γ α β γ α β α γ − ≤ − + − + − ≤ + − + − + −  ≤ + − + + −  + − ≤ + + − + + + − (3) 3 (3) (2) (3) 3 (2) (3) 3 (3) (1 )(1 ) (1 ) (1 )

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdftvefile_2013_08_28_2883285780_6038_1872313.pdf
Tài liệu liên quan