Luận văn Độ đo phi compact và ánh xạ cô đặc

ch E và :f C C→ liên tục sao cho ( )f C là tập compact tương đối. Khi đó f có điểm bất động trong .C Chứng minh. Đặt ( )K co f C= thì K lồi, compact chứa trong .C Với mỗi m∈ tồn tại tập hữu hạn { }1 2, , , na a a K⋅ ⋅ ⋅ ⊂ và một ánh xạ liên tục { }1 2: , , ,m np K co a a a→ ⋅⋅ ⋅ sao cho ( ) 1 , .mp x x x Km− < ∀ ∈ Đặt { }1 2| , , , nm m co a a ag p f ⋅⋅⋅=  (ánh xạ thu hẹp trên { }1 2, , , nco a a a⋅ ⋅ ⋅ ). Ta có { } { }1 2 1 2: , , , , , ,m n ng co a a a co a a a⋅ ⋅ ⋅ → ⋅ ⋅ ⋅ liên tục. Áp dụng định lý Brouwer tồn tại { }1 2, , ,m nx co a a a K∈ ⋅⋅ ⋅ ⊂ sao cho ( ) .m m mg x x= Ta có ( ) ( ) ( ) 1 , .m m m m mx f x p f x f x mm− = − < ∀ ∈  Do dãy ( )m mx trong tập compact K nên tồn tại dãy con hội tụ ( )im ix hội tụ về , lim . imi x K x x∈ = Do f liên tục nên ( )lim imi x f x= và do ( ) 1 , ,m mx f x mm− < ∀ ∈ nên ( ).x f x= Vậy f có điểm bất động trong .C 17 CHƯƠNG 2: ĐỘ ĐO PHI COMPACT Trong chương này, tôi giới thiệu định nghĩa độ đo phi compact Kuratowski và Hausdorff và khảo sát một số tính chất của chúng. Sau đó mô tả một số công thức cho phép chúng ta tính một cách chính xác độ đo phi compact Hausdorff trong một vài không gian cụ thể. Ta kí hiệu ( , ) ( )rB x r B x= là quả cầu đóng tâm x bán kính r . Các kết quả của mục 2.1 được tham khảo trong [5, chương 3, trang 55-60] và mục 2.2 được tham khảo trong [3, trang 5-8]. 2.1. Định nghĩa, các tính chất Định nghĩa 2.1.1. (1) Cho ( , )X d là không gain mêtric và A là một tập con chứa trong X . Khi đó , ( ) sup ( , ) x y A diam A d x y ∈ = được gọi là đường kính của A . Nếu ( )diam A < +∞ thì A bị chặn. (2) Cho ,A B là hai tập hợp bị chặn, mêtric Hausdorff H được xác định bởi ( , ) max{sup ( , ),sup ( , )} x A y B H A B d x B d y A ∈ ∈ = Giả sử ( )B X là họ tất cả các tập con của X . Ta có một số mệnh đề sau. Mệnh đề 2.1.2. Nếu A B⊂ thì ( ) ( )diam A diam B≤ và ( ) ( )diam A diam A= . Mệnh đề 2.1.3. Giả sử X là không gian Banach và ,A B X⊂ . Khi đó (1) ( ) | | ( )diam B diam Bλ λ= (2) ( ) ( )diam x B diam B+ = (3) ( ) ( ) ( )diam A B diam A diam B+ ≤ + (4) ( ( )) ( )diam conv A daim A= Chứng minh. (1)-(3) hiển nhiên. Ta chứng minh (4). Lấy , ( )x y conv A∈ . Khi đó tồn tại (0,1), , 1, , (0,1), , 1,i i i ix x X i k t y A i m∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ thỏa mãn 1 1 , k m i i i i i i x s x y s y = = = =∑ ∑ Ta có 18 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = ( ) k m i i i i i i k m k m i j i i j i i j i j k m i j i i i j k m i j i j x y s x s x s t x s t y s t x y s t diam A = = = = = = = = = = − = − − − = ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ Do đó ( ( )) ( )diam conv A daim A≤ Do ( )A conv A⊂ nên ( ) ( ( )).diam A diam conv A⊂ Vậy ( ( )) ( ).diam conv A diam A= Mệnh đề 2.1.4. Giả sử ( , )X d là không gian mêtric. Khi đó ( ( ), )B X H là không gian mêtric. Chứng minh. Hiển nhiên ( , ) 0H A B ≥ với bất kỳ , ( ), ( , ) 0A B B X H A B∈ = nếu và chỉ nếu A B= và ( , ) ( , ).H A B H B A= Với , , ( )A B C B X∈ , ta có ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , ), ,d x B d x z d z B d y A d y z d z A z C x A≤ + ≤ + ∀ ∈ ∈ và y B∈ Do đó ( , ) inf ( , ) sup ( , ), ( , ) inf ( , ) sup ( , ) z C z C z C z C d x B d x z d z B d y A d y Z d z A ∈ ∈ ∈ ∈ ≤ + ≤ + Do vậy, ta có ( , ) max{sup ( , ) sup ( , ),sup ( , ) sup ( , )} max{sup ( , ),sup ( , ) max{sup ( , ),sup ( , )} ( , ) ( , ) x A z C y B z C x A z C z C y B H A B d x C d z B d y C d z A d x C d z A d z B d y C H A C H C B ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ≤ + + ≤ + = + Do đó ( ( ), )B X H là không gian mêtric. Định nghĩa 2.1.5. Giả sử ( , )X d là không gian mêtric, B là họ tất cả các tập con bị chặn của X và ,A B∈ B. Hàm số : [1, ]α β → +∞ được xác định bởi 19 ( ) inf{ 0 :A Aα δ= ≥ được phủ bởi một số hữu hạn các tập hợp có đường kính }δ≤ được gọi là độ đo phi compact Kuratowski. Nếu thay ( )Aα bởi ( ) inf{ 0 :A Aβ δ= ≥ được phủ bởi một số hữu hạn các quả cầu bán kính }δ thì ( )Aβ được gọi là độ đo phi compact Hausdorff. Hay ( ) inf{ 0 :A Aβ ε= > có một ε − lưới hữu hạn trong }X được gọi là độ đo phi compact Hausdorff của tập .A Chú ý 2.1.6. (1) Tập S X⊂ được gọi là một ε − lưới của A nếu (0,1) { , , (0,1)}.A S B s b s S b Bε ε⊂ + = + ∈ ∈ (2) Tập S X⊂ được gọi là một ε − lưới hữu hạn của A nếu S là một ε − lưới của A và S là hữu hạn. Mệnh đề 2.1.7. ( ) ( ) 2 ( )A A Aβ α β≤ ≤ , với mọi A∈ B. Chứng minh. Với bất kì ( )Aδ α> , tồn tại một số hữu hạn các tập 1 2, ,..., kA A A thỏa mãn 1 k i i A A = ⊂  và ( )diam A δ< với 1,2,..., .i k= Chọn .i ix A∈ Khi đó ( ) ,i iB x Aδ ⊃ vậy ta có 1 ( ) k i i A B xδ = ⊂  và do đó ( ) .Aβ δ≤ Cho ( )Aδ α→ , ta có bất đẳng thức đầu tiên. Trong bất đẳng thức thứ hai, nếu ( )Aδ β> , thì tồn tại một số hữu hạn quả cầu 1 2( ), ( ),..., ( )mB y B y B yδ δ δ thỏa mãn 1 ( ). m i i A B yδ = ⊂  Hiển nhiên ( ( )) 2 ,idiam B yδ δ= do vậy ta có ( ) 2 .Aα δ≤ Cho ( )Aδ β→ , ta có bất đẳng thức thứ hai. Mệnh đề 2.1.8. Giả sử X là không gian mêtric và B là họ tất cả các tập con bị chặn của X . Giả sử φ là độ đo phi compact Kuratowski hoặc độ đo phi compact Hausdorff và ,A B∈ B. Khi đó các tính chất sau được thỏa mãn: (1) ( ) 0Aφ = nếu và chỉ nếu A là compact tương đối. (2) ( ) ( ).A Aφ φ= (3) Nếu ,A B⊂ thì ( ) ( ).A Bφ φ≤ (4) ( ) max{ ( ), ( )}.A B A Bφ φ φ∪ = 20 (5) ( ) min{ ( ), ( )}.A B A Bφ φ φ∩ ≤ (6) ( ) ( ) 2 ( , ).A B H A Bφ φ− ≤ (7) Nếu X là không gian Banach, thì ( ) ( ), , ( ) ( ) ( ), ( ( )) ( ).A A R A B A B conv A Aφ λ λ φ λ φ φ φ φ φ= ∈ + ≤ + = Chứng minh. Chứng minh (1): Đầu tiên ta chứng minh A là compact tương đối. Do ( ) 0,Aφ = nên tồn tại dãy { }n nδ ∈ hội tụ về 0 và các tập 1 2, ,..., n n n n kA A A thỏa mãn 1 k i i A A = ⊂  và ( ) , 1,i n ndiam A i kδ≤ ∈ Ta có A là hoàn toàn bị chặn. Thật vậy, với 0ε > cho trước, tồn tại 0n ∈ sao cho . 3n εδ < Khi đó 0 1 nk i i A A = ⊂  Do đó, ( ) 0 1 , nk i i A B x ε = ⊂  với 0 , 1, .i i nx A i k∈ ∈ Vậy A là compact tương đối. Ngược lại, ta chứng minh ( ) 0.Aφ = Do A compact tương đối nên với mọi *n∈ ta có 1, . x A A B x n∈  ⊂      Do đó, tồn tại 1 2, ,..., kx x x A∈ thỏa mãn 1, . 2 k i x A A B x n∈  ⊂      Suy ra *1( ) , .A n n φ ≤ ∀ ∈ Vậy ( ) 0.Aφ = Chứng minh (6): Giả sử .φ α= Chứng minh cũng giống cho .φ β= Với 0ε > bất kì, tồn tại phủ hữu hạn 1 2{ , ,..., }kA A A của A với ( ) ( ) , 1,2,..., .idiam A A i kα ε≤ + = Tập hợp ( , ) , { :iH A B B y Bη ε= + = ∈ tồn tại , ( , ) }ix A d x y η∈ < với 1,2,..., .i k= 21 Bởi vì ( , )H A B η< nên 1 . k i i B B = ⊂  Hiển nhiên, ( ) 2 ( ) 2 ( , ) ( ) 3i idiam B diam A H A B Aη α ε≤ + < + + với 1,2,..., ,i k= và do đó ( ) 2 ( , ) ( ).B H A B Aα α≤ + Tương tự, ta có ( ) 2 ( , ) ( ).A H A B Bα α≤ + Do đó, ( ) ( ) 2 ( , ).A B H A Bφ φ− ≤ Chứng minh (7): Hiển nhiên ( ) ( ( )).A conv Aα α≤ Với 0ε > bất kì, tồn tại phủ hữu hạn 1 2{ , ,..., }kA A A của A với ( ) ( ) , 1,2,..., .idiam A A i kα ε< + = Ta có thể giả sử rằng iB là lồi vì ( ( )) ( )i idiam conv B diam B= với 1,2,..., .i k= Đặt 1 2 1 {( , ,..., ) : 0, 1,2,..., , 1} k k i i i i kλ λ λ λ λ = Λ = ≥ = =∑ và 1 ( ) k i i i B Bλ λ = = ∑ với mỗi 1 2( , ,..., ) .kλ λ λ λ= ∈Λ Ta có ( ( )) ( )B Aα λ α ε≤ + với mọi .λ ∈Λ Ta chứng tỏ ( )B λ λ ∈Λ  lồi. Với 1 2 1 2( , ,..., ), ( , ,..., )k kλ λ λ λ µ µ µ µ= = ∈Λ và 1 1 ( ), ( ), k k i i i i i i x x B y y Bλ λ µ µ = = = ∈ = ∈∑ ∑ trong đó ,i i ix y B∈ với 1,2,..., ,i k= ta có ( ) 1 (1 )(1 ) (1 ) . (1 ) (1 ) k i i i i i i i i i i i t ttx t y t t x y t t t t λ µ λ µ λ µ λ µ=  − + − = + − + + − + −  ∑ Do đó ( )B λ λ ∈Λ  lồi. Do vậy, ta có ( ) 1 ( ) . k i i conv A conv B B λ λ = ∈Λ   ⊂ ⊂      Bởi vì Λ là compact, tồn tại hữu hạn 1 2, ,..., nλ λ λ ∈Λ thỏa mãn ( ) ( ) ( )1 1 0 . n i i B B B λ λ λ ε ∈Λ = ⊂ +   Do đó, ta có ( ) ( )1 1 ( ) 0 , n i i conv A B Bλ ε = ⊂ +  22 Suy ra ( )( ) ( ) 3 .conv A Aα α ε≤ + Cho 0 ,ε +→ ta được ( )( ) ( ).conv A Aα α≤ Do đó ( )( ) ( ).conv A Aα α= Mệnh đề 2.1.9. Giả sử X là không gian Banach hữu hạn chiều và ( )0,1B là quả cầu đơn vị. Khi đó ( )( )0,1 2.Bα = Chứng minh. Hiển nhiên ( )( )0,1 2diam B = , vậy suy ra ( )( )0,1 2.Bα ≤ Nếu ( )( )0,1 2Bα < , thì tồn tại 1 2, ,..., kA A A thỏa mãn ( ) 2idiam A < với 1,2,...,i k= và ( ) 1 0,1 . k i i B A = ⊂  Lấy không gian con k − chiều kX của X và tập ( ) ( )0,1 0,1k kB B X=  với 1,2,..., .i k= Khi đó, ta có ( ) ( ) 1 0,1 , 2, 1,2,..., k k i i i B B diam B i k = ⊂ < =  Điều này mâu thuẫn với định lí 1.2.15. Do đó ( )( )0,1 2.Bα = Mệnh đề 2.1.10. Giả sử X là không gian Banach tách được và β là độ đo phi compact Hausdorff. Khi đó tồn tại một dãy tăng của không gian con hữu hạn chiều ( )nX với 1 n n X X ∞ = =  thỏa mãn, với bất kì tập con bị chặn, đếm được { :1 },nx n≤ < ∞ ( ) ( )limlimsup , .n m nn m x d x Xβ →∞ →∞ = Chứng minh. Vì X tách được, tồn tại tập con đếm được 1 2{ , ,...}y y của X sao cho 1 2{ , ,...}y y X= . Đặt 1 2{ , ,..., }n nX span y y y= với 1,2,...n = Khi đó 1 2 ...X X⊂ ⊂ và 1 .n n X X ∞ = =  Với 0ε > bất kì và *n∈ , đặt ( )limsup , .n m n m r d x X →∞ = Dễ thấy 1 2 ...r r≥ ≥ bởi vì nX tăng. Chọn 0L > sao cho ( ),m n nd x X r ε< + với mọi .m L≥ Tiếp theo, định nghĩa { :nY y X= ∈ tồn tại ( ), , }m n mm L d x X x y≥ = − Khi đó, { }1 2, ,..., LY x x x là compact. Do đó tồn tại một số tập hữu hạn { }1 2, ,..., kz z z sao cho 23 { } ( )1 2 1 , ,..., , . k L i i Y x x x B z ε = ⊂  Do vậy, ta có { } { } ( ) ( )1 2 1 2 1 , ,... , ,..., , , 2 . k L n i n i x x x x x B Y r B z rε ε = ⊂ + ⊂ +  Do đó { }( ) 2 ,n nx rβ ε≤ + nghĩa là ( ) { } ( )inf , 1 limlimsup , .n n m nn m x r n d x Xβ →∞ →∞ ≤ ≥ = Mặt khác, với 0ε > , đặt { }( ): 1ir x iβ= ≥ và tồn tại iw hữu hạn, 1 ,i s≤ ≤ sao cho { } ( )1 2 1 , ,... , . s i i x x B w r ε = ⊂ +  Bởi sự xây dựng của ,nX tồn tại 0K > sao cho ( ),i nd w X ε< với 1,2,...,i s= và .n K> Do đó, ta có ( ) { } ( ){ } , inf :1 sup , :1 2 m n m i i n d x X x w i s d w X i s r ε ≤ − ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ + với 1m ≥ và .n K> Từ điều này, ta có ( )limlimsup , .m nn m d x X r →∞ →∞ ≤ Do đó, ta có ( ) { }( )limlimsup , : 1 .m n in m d x X x iβ→∞ →∞ = ≥ 2.2. Một số độ đo phi compact Trong mục này, chúng ta chứng minh một số công thức giúp ta có thể tính độ đo phi compact trong các không gian 0, , , .p pl c C L 2.2.1. Độ đo phi compact Hausdorff trong không gian pl và 0c Cho không gian pl gồm các dãy khả tổng bậc thứ p và 0c là không gian gồm các dãy hội tụ về không. Khi đó, độ đo phi compact β được tính bởi công thức sau ( ) ( )( )limsup ,nn x A A I P xβ →∞ ∈ = − trong đó nP là phép chiếu vào bao tuyến tính của n vectơ hữu hạn đầu tiên trong cơ sở chuẩn. 24 Chứng minh. Nếu Q là ( )Aβ ε+ −   lưới của A thì ( ) ( )0,1 .A Q A Bβ ε⊂ + +   Do đó, nếu x A∈ thì ( ) ,x q A bβ ε= + +   trong đó q Q∈ và ( )0,1 .b B∈ Do đó ( )( ) ( )( ) ( )sup sup .n n x A q Q I P x I P q Aβ ε ∈ ∈ − ≤ − + +   Bởi vì Q là hữu hạn, nên số hạng đầu tiên trong vế trái và vế phải tiến tới không khi n →∞ và vì vậy ( )( ) ( )limsup nn x A I P x Aβ ε →∞ ∈ − ≤ + Do ε là tùy ý nên ta có ( )( ) ( )limsup .nn x A I P x Aβ →∞ ∈ − ≤ Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, ta chú ý rằng ( ) .n nA P A I P A⊂ + − Sử dụng các tính chất của β và sự bị chặn toàn phần của ,nP A ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sup .n n n n x A A P A I P A I P A I P xβ β β β ∈ ≤ + − = − ≤ −       Bởi vì n tùy ý nên ta có ( ) ( )( )limsup .nn x A A I P xβ →∞ ∈ ≤ − 2.2.2. Độ đo phi compact Hausdorff trong không gian [ ],C a b Trong không gian [ ],C a b các hàm thực liên tục trên đoạn [ ],a b , giá trị của hàm β trên một tập hợp bị chặn A được tính bởi công thức sau ( ) 0 0 1 limsupmax , 2 rrx A A x x δ δ β → ≤ ≤∈ = − Trong đó rx là tịnh tiến của hàm :x ( ) ( )( ) , , .r x t r khi a t b r x t x b khi b r t b + ≤ ≤ − =  − ≤ ≤ Chứng minh. Chọn 0ε > tùy ý và ( )Aβ ε+ −   lưới hữu hạn Q của tập A . Lấy .x A∈ Giả sử y Q∈ sao cho ( ) .x y Aβ ε− ≤ + Cuối cùng, giả sử 0δ > và [ ]0, .r δ∈ Khi đó 25 ( ) 0 2 2 2 max max . r r r r r ry Q r x x x y y y y x x y y y A y y δ β ε ∈ ≤ ≤ − ≤ − + − + − ≤ − + − ≤ + + − Do đó, ( ) 0 0 supmax 2 2 max max .r rr y Q rx A x x A y y δ δ β ε ≤ ≤ ∈ ≤ ≤∈ − ≤ + + − Cho 0δ → và do họ hữu hạn Q là liên tục đồng bậc nên ( ) 0 0 limsupmax 2 2rrx A x x A δ δ β ε → ≤ ≤∈ − ≤ + Do ε là tùy ý nên ta có ( ) 0 0 1 limsupmax . 2 rrx A x x A δ δ β → ≤ ≤∈ − ≤ Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, ta giả sử hàm x A∈ được mở rộng từ đoạn [ ],a b đến đường thẳng thực bởi công thức: ( ) ( )x t x a= với t a≤ , ( ) ( )x t x b= với .t b≥ Ta định nghĩa toán tử hR và ( )0hP h > như sau ( )( ) ( ) [ ]{ } ( ) [ ]{ }( )1 max : , min : ,2hR x t x s s t h t h x s s t h t h= ∈ − + + ∈ − + và ( )( ) ( )1 . 2 t h h t h P x t x s ds h + − = ∫ Ta có ( )h hP R A là compact trên [ ], .a b Từ đây ta có một 22 hq  −    lưới của A , trong đó 2 0 supmax .h rrx A q x x δ≤ ≤∈ = − Thật vậy, do ( )( ) ( )1 1max 2 2 t h t h h h ha t b t h t h P R x x R x s ds x t dt + + ≤ ≤ − − − = −∫ ∫ nên ( )( ) ( )1 max . 2 t h h h ha t b t h P R x x R x s x t ds h + ≤ ≤ − − ≤ −∫ (2.1) Nếu t s h− ≤ thì hiển nhiên ( ) [ ]{ } ( ) ( ) [ ]{ }min : , max : , .x r r s h s h x t x r r s h s h∈ − + ≤ ≤ ∈ − + Do đó 26 ( )( ) ( ) 0 2 1 max , 2h rr h R x s x t x x h ≤ ≤ − ≤ − (2.2) trong đó ( )( ) ( ) 2 . 2 h h qR x s x t− ≤ Từ (2.1) và (2.2) suy ra ( ) 2 . 2 hqAβ ≤ Cho 0h → ta được ( ) 0 0 1 limsupmax . 2 rrx A A x x δ δ β → ≤ ≤∈ ≤ − 2.2.3. Độ đo phi compact Hausdorff trong không gian [ ],pL a b Trong không gian [ ],pL a b gồm các lớp tương đương x của các hàm độ đo [ ]: ,a bζ →  khả tích bậc thứ p với chuẩn ( ) 1 2 , b p a x x t dt   =     ∫ độ đo phi compact được tính bởi công thức ( ) 0 0 1 limsupmax , 2 rrx A A x x δ δ β → ≤ ≤∈ = − trong đó rx là tịnh tiến của hàm x hoặc ( ) ( )1 . 2 t r r t r x t x s ds r + − = ∫ 27 CHƯƠNG 3: ÁNH XẠ CÔ ĐẶC Ở chương này, chúng tôi định nghĩa ánh xạ cô đặc và một vài tính chất của chúng. Ánh xạ cô đặc đếm được cũng được định nghĩa ở đây. Đặc biệt, định lí điểm bất động cho ánh xạ cô đặc đếm được sẽ có mặt trong hệ quả 3.1.13. Ngoài ra, trong chương này chúng tôi sẽ giới thiệu các định lí bậc của ánh xạ cô đặc đếm được và sử dụng các định lí bậc đó để khảo sát một vài phương trình vi phân thường trong không gian Banach. Các kết quả của chương được tham khảo trong [5, chương 3, trang 60-71]. 3.1. Định nghĩa, tính chất Định nghĩa 3.1.1. Giả sử X là không gian định chuẩn thực, :T D X X⊂ → là ánh xạ liên tục và α là độ đo phi compact. (1) T được gọi là k − co nếu ( ) ( )TB k Bα α≤ với mọi B bị chặn chứa trong D và 0k > là hằng số. (2) T được gọi là ánh xạ cô đặc nếu ( ) ( )TB Bα α< với mọi B bị chặn chứa trong D và ( ) 0Bα > . Nhận xét 3.1.2. (1) T được gọi là ánh xạ cô đặc nếu và chỉ nếu ( ) ( )TB Bα α≥ suy ra ( ) 0,Bα = với mọi B bị chặn chứa trong .D (2) T được gọi là k − cô đặc nếu ( ) ( )TB k Bα α≤ với mọi B bị chặn chứa trong D và 0 0k< < là hằng số. Ví dụ 3.1.3. Giả sử X là không gian định chuẩn thực và :T X X→ là toán tử tuyến tính bị chặn. Khi đó T là T − co. Ví dụ 3.1.4. Giả sử X là không gian định chuẩn thực và :T D X X∈ → là ánh xạ Lipschitz với hằng số Lipschitz l . Khi đó T là l − co. Mệnh đề 3.1.5. Giả sử X là không gian định chuẩn thực, ( )0,1B là quả cầu đơn vị của X và ( ): 0,1T X B→ được xác định bởi ( ) , 1 , 0,1 x x xTx x x B  ≥=   ∈ Khi đó T là 1− co. 28 Chứng minh. Giả sử A bị chặn, .A X⊂ Hiển nhiên ( ) { }( )0 .T A conv A⊂  Vì vậy ta có ( ) { }( )( ) { }( ) ( )0 0 .TA conv A A Aα α α α≤ = =  Mệnh đề 3.1.6. Cho X là không gian Banach và ánh xạ ( ) ( )1 1: 0 0T B B X→ ⊂ liên tục với dim .X = ∞ Khi đó T là ánh xạ cô đặc nhưng không là k − co chặt. Chứng minh. Giả sử [ ] [ ]: 0,1 0,1ϕ → liên tục, tăng nghiêm nghặt, ( )0 1ϕ = và ( ) ( ) ( )1, 0 .T x x x x Bϕ= ∀ ∈ Bởi vì { }( )0TB conv B⊂  nên ( ) ( )TB Bα α≤ với mọi ( )1 0 .B B⊂ Mặt khác, ( ) ( ) ( )0 0rr rB T Bϕ∂ ⊂ với [ ]0,1r∈ và do đó ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 2 0 .r rr rT B B r r B rϕα α ϕ α ϕ≥ ∂ = = Bởi vì ( ) 1rϕ → khi 0r → nên T không là k − co chặt. Giả sử ( ) ( ) ( )1 20,0 , 0 , \ 0 .2 r r dB d r B B B B B Bα = > < < = = Khi đó, ( ) ( )1 2TB r Bα α≤ < và ( ) ( ){ }( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) ( ) 2 2: 0 và 0 . TB x r x B conv r B r B B α α λ λ ϕ α ϕ ϕ α α ≤ ≤ ≤ ∈ ≤    ≤ ≤  Do đó, ( ) ( ) ( ){ } ( )1 2max , .TB TB TB Bα α α α= < Vậy T là ánh xạ cô đặc. Định nghĩa 3.1.7. Giả sử X là không gian Banach thực, :T D X→ là một ánh xạ liên tục và α là độ đo phi compact. (1) T được gọi là k − co đếm được nếu ( ) ( )TB k Bα α≤ với mọi B bị chặn, đếm được chứa trong ,D trong đó k là hằng số dương. (2) T được gọi là ánh xạ cô đặc đếm được nếu ( ) ( )TB Bα α< với mọi B bị chặn, đếm được chứa trong ,D và ( ) 0.Bα > (3) ( ) [ ], : 0,1H t x D X× → được gọi là đồng luân của ánh xạ cô đặc đếm được nếu [ ]( )( ) ( )0,1H B Bα α× < với mọi B bị chặn, đếm được chứa trong ,D và ( ) 0.Bα > Dễ thấy ánh xạ cô đặc là ánh xạ cô đặc đếm được. 29 Định lí 3.1.8. Giả sử E là không gian Banach và [ ]( ), ,B C a b E⊂ là liên tục đồng bậc, bị chặn. Khi đó ( )( )B tα liên tục trên [ ], ,a b trong đó ( ) ( ) ( ){ }: ,B t x t x B= ⋅ ∈ và ( ) ( ) ( )( ): . b b a a x t dt x B B t dtα α    ⋅ ∈ ≤      ∫ ∫ Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng minh ( ) ( ){ }( ):x t x Bα ⋅ ∈ liên tục trên [ ], .a b Với 0ε > bất kì, do B liên tục đồng bậc nên tồn tại 0γ > sao cho ( ) ( )'x t x t ε− < với mọi [ ], ' ,t t a b∈ thỏa mãn ' .t t γ− < Do đó, ta có ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }( ): , ' :H x t x B x t x B ε⋅ ∈ ⋅ ∈ ≤ với [ ], ' ,t t a b∈ thỏa mãn ' .t t γ− < Do (6) của mệnh đề 2.1.8, ta có ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }( ): ' : 2x t x B x t x Bα α ε⋅ ∈ − ⋅ ∈ ≤ với [ ], ' ,t t a b∈ thỏa mãn ' .t t γ− < Do đó ( ) ( ){ }( ):x t x Bα ⋅ ∈ liên tục trên [ ], .a b Với phép chia bất kì trên đoạn [ ] 0 1, : ,na b a t t t b= < < ⋅ ⋅ ⋅ < = trong đó , 0,1, , .i b at a i i n n − = + = ⋅ ⋅ ⋅ Với 0ε > bất kì, do B là liên tục đồng bậc, tồn tại 0N > thỏa mãn, nếu n N> thì ( ) ( ) ,ix t x t ε− < với mọi ( ) [ ]1, ,i ix B t t t−⋅ ∈ ∈ với 1,2, , .i n= ⋅ ⋅ ⋅ Do đó, ta có ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 i i tbn n i i i ia t b ax t x t dt x t x t dt b a n ε − = = − − = − < −∑ ∑∫ ∫ với mọi .n N> Vì vậy, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 : : 2 , bn i i a b ax t x B x t dt x B b a n α α ε =    −  ⋅ ∈ − ⋅ ∈ ≤ −             ∑ ∫ nghĩa là ( ) ( ) ( ) ( ) 1 lim : : . bn in i a b ax t x B x t dt x B n α α →∞ =    −  ⋅ ∈ = ⋅ ∈             ∑ ∫ Mặt khác, bởi (6) của mệnh đề 2.1.8, ta có 30 ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) 1 1 : : . n n i i i i b a b ax t x B x t x B n n α α = =  − −  ⋅ ∈ ≤ ⋅ ∈      ∑ ∑ Do đó, suy ra rằng ( ) ( ) ( )( ): . b b a a x t dt x B B t dtα α    ⋅ ∈ ≤      ∫ ∫ Định lí 3.1.9 Giả sử E là không gian Banach và [ ]( ), ,B C a b E⊂ bị chặn, liên tục đồng bậc, trong đó , .a b∈ Khi đó ( ) [ ] ( ) ( ){ }( ) , max : t a b B x t x Bα α ∈ = ⋅ ∈ Chứng minh. Đầu tiên, bởi định lí 3.1.8, ta có ( ) ( ){ }( ):x t x Bα ⋅ ∈ là hàm liên tục trên đoạn [ ], .a b Tiếp theo, với ( ) ,Bα δ< tồn tại [ ]( )1 2, , , , ,mB B B C a b E⋅ ⋅ ⋅ ⊂ sao cho ( )idiam B δ≤ và 1 . m i i B B = ⊂  Do đó, với mỗi [ ], ,t a b∈ ta có ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } 1 : : . m i i x t x B x t x B = ⋅ ∈ ⊂ ⋅ ∈  Cũng vì vậy, ta có ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , : sup . i i i x y B diam x t x B x t y t diam B δ ⋅ ⋅ ∈ ⋅ ∈ = − ≤ ≤ Do vậy, ( ) ( ){ }( ):x t x Bα δ⋅ ∈ ≤ , với mọi [ ],t a b∈ và do đó ( ) ( ){ }( ) ( )max : .x t x B Bα α⋅ ∈ ≤ Mặt khác, bởi vì B là đồng liên tục nên tồn tại hữu hạn [ ]1 2, , , ,nt t t a b⋅ ⋅ ⋅ ∈ sao cho ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) 1 : : 0 , n i i x t x B x t x B Bε = ⋅ ∈ ⊂ ⋅ ∈ +  với mọi [ ], .t a b∈ Nếu [ ] ( ) ( ){ }( ) , max : , t a b x t x Bδ α ∈ > ⋅ ∈ ta có thể tìm hữu hạn các tập con 1 2, , , sA A A E⋅ ⋅ ⋅ ∈ sao cho ( ) ( ) ( ){ } 1 1 , : . n s i i i i i diam A x t x B Aδ = = ≤ ⋅ ∈ ⊂   31 Hiển nhiên B là hợp của hữu hạn các tập ( ) ( ){ }: , 1,2, ,ii jx B x t A i n⋅ ∈ ∈ = ⋅ ⋅ ⋅ và mỗi tập đó có đường kính bé hơn 2 .δ ε+ Do đó, ta có ( ) 2 .Bα δ ε≤ + Mệnh đề 3.1.10. Giả sử E là không gian Banach, EΩ⊂ là tập con bị chặn và :T EΩ→ là ánh xạ cô đặc đếm được. Đặt { }: .F x Tx x= ∈Ω = Khi đó, tồn tại tập con lồi, compact C thỏa mãn (1) ;F C⊆ (2) Nếu { }( )0 0x conv C Tx∈  thì 0 ;x C∈ (3) ( )( ).C conv T C= Ω Chứng minh. Đặt  { :K F K E= ⊂ ⊂ là tập lồi đóng, ( )T K K∩Ω ⊆ và (2) thỏa mãn với }.K Khi đó  ≠ ∅ vì ( )conv TΩ ∈ . Ta đặt K F C K ∈ =  . Hiển nhiên, C thỏa mãn (1), (2), (3) và C là tập lồi đóng. Ta chứng tỏ C là compact. Giả sử C không compact. Khi đó, tồn tại { }1 1 2, ,C x x C= ⋅ ⋅ ⋅ ⊂ không là dãy Cauchy. Do ( )( )C conv T C= ∩Ω nên tồn tại một tập con đếm được 1A C∈ ∩Ω sao cho ( )1 1 .C conv TA⊆ Dễ dàng chứng tỏ được ( )( )1H conv T C= ∩Ω là tách được và 1H ∩Ω là tách được, vậy tồn tại các tập con đếm được 1 1B H⊂ và 1 1D H⊂ ∩Ω thỏa mãn 1 1 1 1, .B H D H= = ∩Ω Đặt 2 1 1 1 1.C C A B D= ∪ ∪ ∪ Ta có thể kiểm tra ( )( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 2 , , . C C conv T C C conv T C C ⊂ ∩Ω ⊂ ∩Ω ∩Ω ⊂ ∩Ω Nói chung qui nạp dãy nC của các tập con đếm được nC của C thỏa mãn ( )( ) ( )( ) 1 1 1 , , . n n n n n n C C conv T C C conv T C C + + + ⊂ ∩Ω ⊂ ∩Ω ∩Ω ⊂ ∩Ω 32 Cuối cùng, đặt 1 .n n L C ∞ = =  Khi đó ( )( ).L conv T L⊆ ∩Ω Do đó, ta có ( ) ( )( )( ) ( ),L conv T L Lα α α≤ ∩Ω < ∩Ω điều này mâu thuẫn. Do đó, C là compact. Bổ đề 3.1.11. Cho E là không gian Banach, P E⊂ là nón. Giả sử B đóng, bị chặn, chứa trong P và :T B P→ là ánh xạ cô đặc đếm được. Đặt ( ) ( )1 1, n nC conv TB C conv C B+= = ∩ với 1n ≥ và 1 .n n C C ∞ = =  Nếu M E⊂ và \ nM C là hữu hạn với 1,2,n = ⋅ ⋅ ⋅ thì M là compact tương đối. Đặc biệt, C là compact. Chứng minh. Giả sử F là họ tất cả các tập con của M thỏa mãn \ nM C là hữu hạn với 1,2,n = ⋅ ⋅ ⋅ và BF là họ tất cả các tập con đếm được M F∈ với .M B⊂ Chứng minh chia thành 4 bước. Bước 1: Ta chứng minh tồn tại * BB F∈ thỏa mãn ( ) ( )*K Bα α≤ với mọi .BK F∈ Thật vậy, vì ( ) ( ), ,BK B K Fα α≤ ∀ ∈ ta có ( )sup BK F s Kα ∈ = < +∞ , và giả sử n BK F∈ thỏa mãn ( )nK sα → khi .n →∞ Đặt * 1 n n B K ∞ = =  thì *B đếm được và ( ) ( )* , .BB s K K Fα α= ≥ ∀ ∈ Bước 2: Nếu M F∈ và nx M∈ với 1,2,n = ⋅ ⋅ ⋅ và không có nx xuất hiện vô hạn lần, khi đó tồn tại BA F∈ và ( )ny conv TA∈ thỏa mãn 0n nx y− → khi .n →∞ Để thấy điều này, chú ý rằng 1\M C là hữu hạn và nó chứa hầu hết hữu hạn nx và vì vậy chúng ta giả sử rằng 1, 1.nx C n∈ ∀ ≥ Với bất kì số nguyên xác định ,n giả sử nk là số nguyên lớn nhất thỏa mãn . nn k x C∈ Nếu không tồn tại số nguyên như vậy, đặt .nk n= Với bất kì số nguyên , \ kk M C là hữu hạn, do đó { }: n kn x C∉ là hữu hạn. Dễ thấy rằng { } { }1: 1,2, ,k n kI n k k I k+= ≤ ⊂ ⋅ ⋅ ⋅ vì 1 2C C⊃ ⊃ ⋅⋅ ⋅ và do đó kI là hữu hạn .k∀ Ta có ( )( )1n nn k kx C conv T C B−∈ = ∩ với n bất kì. 33 Do đó, tồn tại ( )( )1nn ky conv T C B−∈ ∩ thỏa mãn 1 .n nx y n− < Đặc biệt, ta có thể tìm được hữu hạn 1nn kA C B−⊂ ∩ thỏa mãn ( ).n ny conv TA∈ Nếu ta đặt 1 n n A A ∞ = =  thì A là tập con cần tìm. Để thấy điều này, ta phải kiểm tra .BA F∈ Bởi vì 1 2 ,C C⊃ ⊃ ⋅⋅ ⋅ ta có n iA C⊂ với 1,ni k≤ − và do đó ta có ( ) ( ) 1 , 1 \ \ \ , i n n i n i n i n i n k i I A C A C A C A ∞ = > − ∈ = = ⊂    Mà n i i I A ∈  là hữu hạn, nên .BA F∈ Bước 3: Ta chứng minh rằng với bất kì BK F∈ là hữu hạn. Với bất kì ,BK F∈ nếu K hữu hạn, thì ta có điều cần chứng minh. Vậy ta giả sử K vô hạn. Thay K bởi *,K B∩ ta có ( ) .K sα = Bởi tính đếm được của K suy ra { }: 1 .nK x n= ≥ Bởi bước 2, tồn tại BA F∈ và ( )ny conv TA∈ thỏa mãn 0n nx y− → khi .n →∞ Hiển nhiên BK A F∪ ∈ và do đó ( ) ( ) .A K K sα α∪ = = Đặt { } { }1 2 1 2 0 1 2, , , , , , , , .n n n nK x x x y y K y y+ += ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ Ta có ( ) ( )0 .