Luận văn Mô hình hóa trong dạy học hàm số ở lớp 12

tỉ lệ trung bình 1, 47%. Từ đây, chúng tôi khẳng định rằng so với sách giáo khoa hàm số ở lớp 9 và lớp 10 sách giáo khoa hàm số lớp 12 vẫn chưa có một bước tiến triển rõ rệt nào trong vấn đề MHH toán học. Trong khi đó, chương trình thì vẫn đặt ra mục tiêu quan trong là dạy học MHH, cho học sinh biết được những ứng dụng của hàm số trong thực tiễn.Thế nhưng, SGK vẫn tập trung vào các dạng bài tập mà trong đó hàm số hoàn toàn được cho bằng biểu thức giải tích. 2.2. Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách giáo khoa Mỹ Như đã nói ở phần mở đầu, quyển sách chúng tôi chọn phân tích một quyển sách dạy học ở Mỹ là: James Stewart (2008), Calculus: Early Transcendentals, 6th edition, Brooks/Cole. (Để cho đơn giản chúng tôi kí hiệu M). Sách M gồm 12 chương. Nhưng để thực hiện mục đích nghiên cứu trong chương này, chúng tôi xin tập trung vào Chương 1 trong đó phần lý thuyết được tập trung vào bài 1.2 “MHH Toán học: danh mục các hàm số chủ yếu” 2.2.1. Vấn đề mô hình hóa Toán học trong sách giáo khoa Mỹ 2.2.1.1. Dạy học mô hình hóa Trong sách giáo khoa Toán ở Mỹ cụ thể là quyển Calculus mà chúng tôi lựa chọn nghiên cứu, việc MHH Toán học được đề cập từ ban đầu ngay khi hàm số cũng như các hệ thống biểu đạt hàm số được định nghĩa. Theo M: “Mô hình hóa toán học là sự mô tả (thông thường bằng quan hệ hàm hay một phương trình) của các hiện tượng thực tế như kích cỡ dân số, nhu cầu của một sản phẩm, tốc độ rơi của một vật.Mục 34 đích của việc mô hình hóa là hiểu các hiện tượng và có thể phán đoán về động thái của chúng trong tương lai” (M, tr.24) Các bước của quá trình MHH toán học được M trình bày như sau: (M, tr.24) Mô hình trên có thể được diễn giải như sau: Bước 1: Đưa vào mô hình trung gian sau đó là mô hình toán học bằng cách nhận diện và gọi tên các biến độc lập và biến phụ thuộc sao cho đơn giản được hiện tượng và đủ để xử lý bằng công cụ toán học. Bước 2: Sau khi có mô hình toán học thì dùng các công cụ toán học để giải quyết vấn đề và đưa ra được kết luận trong toán học. Bước 3: Từ kết luận trong toán học đưa ra kết luận về vấn đề thực tiễn ban đầu. Bước 4: Kiểm tra lại dự đoán bằng cách đối chiếu lại với các dữ kiện được cho trong bài toán thực tế. Đồng thời M cũng khẳng định câu trả lời cho bài toán thực tế mang tính chất gần đúng. Bên cạnh đó các hàm số mà tương quan hàm của nó tuân theo các hiện tượng của thực tế cũng được M đưa vào. 2.2.1.2. Một số hàm số được sách giáo khoa Mỹ lựa chọn trong việc dạy học mô hình hóa a. Hàm tuyến tính: ( 0)y mx b m= + ≠ Gọi y là hàm tuyến tính của x thì đồ thị của hàm số là một đường thẳng. Khi đó, hàm số có dạng ( 0)y mx b m= + ≠ (trong đó m là hệ số góc hay độ dốc của đường thẳng và b tung độ chắn). Tính chất: hàm tuyến tính tăng (hoặc giảm) theo tốc độ là một hằng số. Ví dụ 1: 35 “Hình vẽ 2 là đồ thị của hàm tuyến tính ( ) 3 2f x x= − và bảng giá trị của một số điểm tiêu biểu. Ta thấy rằng, khi x tăng 0,1 thì giá trị của f(x) tăng 0.3. Vì thế giá trị của f(x) tăng gấp 3 lần giá trị tăng của x. Chính vì vậy, độ dốc của đồ thị ( ) 3 2f x x= − ,ở đây là 3, có thể được hiểu như là tỉ số thay đổi của biến y trong mối tương quan với biến x” (M, tr.25) Sau khi đưa ra biểu thức và đặc trưng của hàm tuyến tính, M đưa ra ví dụ về một bài tập MHH cần sử dụng kiến thức về hàm tuyến tính để giải quyết. Ví dụ 2: “Bảng dưới đây nêu ra hàm lượng trung bình của Cacbon dioxit trong không khí tại thành phố Mauna Loa Observatory từ năm 1980 đến 2002 (đơn vị:ppm hay 1/1000000). Dùng dữ liệu của bảng 1 để tìm một mô hình cho biểu thị hàm lượng Cacbon dioxit Sau đó, dùng kết quả trên để ước lượng hàm lượng CO2 của thành phố vào năm 1987 và dự đoán hàm lượng CO2 của thành phố vào năm 2010. Hãy cho biết, vào thời điểm nào thì hàm lượng CO2 của thành phố vượt quá 400 (ppm) ” (M, tr.26) Bài toán được giải quyết như sau: − Biểu diễn các điểm đã cho lên mặt phẳng tọa độ. “Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ, khi đó trục t đại diện cho thời gian (được tính bằng năm), và trục C đại diện cho hàm lượng của khí CO2 (được tính bằng 1/1000000, ppm)” 36 − Nhìn hình vẽ dự đoán hình dạng mà các điểm tạo thành và tìm hàm số đi qua các điểm. “Ta thấy rằng các điểm đã cho gần như nằm trên một đường thẳng, vì thế một cách tự nhiên ta dùng mô hình hàm tuyến tính trong trường hợp này” (M, tr.27). “[]Từ đồ thị các điểm cho thấy rằng có một khả năng là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối. Độ dốc-hệ số góc của đường thẳng này là 372, 9 338, 7 34, 2 1, 5545 2002 1980 22 − = ≈ − Và phương trình của nó là: 338, 7 1.5545( 1980)C t− = − Hay 1, 5545 2739, 21(1)C t= − Phương trình (1) cho ta một hàm tuyến tính có khả năng biểu thị cho hàm lượng khí CO2. Đồ thị của nó được biểu diễn trên hình 5” (M, tr.27) − So sánh kết quả tìm được với các dữ kiện ban đầu của bài toán. 37 “Mặc dù mô hình hàm vừa tìm được khá phù hợp với các dữ liệu được cho ban đầu, tuy nhiên nó cung cấp các giá trị hầu như cao hơn hàm lượng CO2 thực tế trong không khí. Một mô hình hàm tốt hơn được tìm bằng một tiến trình khác2 và được gọi là đường thẳng hồi quy Hệ số góc và tung độ chắn của đường thẳng hồi quy là 1.55192 b=-2734.55m = Vì thế hàm tuyến tính mới có dạng: ( )21.55192 2734.55C t= − Đồ thị của hàm tuyến tính mới có dạng: Như vậy, từ hình 6 ta thấy đồ thị thẳng hồi quy minh họa tốt cho các điểm dữ liệu ban đầu. So sánh với hình 5, ta thấy mô hình này tốt hơn mô hình hàm tuyến tính trước đó” − Khẳng định tính phù hợp của mô hình mới và trả lời cho bài toán thực tế. “Từ (2) với t=1987, ta dự đoán được hàm lượng CO2 trung bình trong năm 1987 là ( )( )(1987) 1.55192 1987 2734.55 349.12C = − ≈ Với t=2010 ta được ( )( )(2010) 1.55192 2010 2734.55 384.81C = − ≈ Vì thế ta dự đoán được hàm lượng CO2 trung bình vào năm 2010 là 384.8 ppm. Từ (2), ta thấy rằng hàm lượng CO2 vượt quá 400ppm khi 1.55192 2734.55 0t − > Giải bất phương trình trên ta được: 3134.55 2019.79 1.55192 t > ≈ 2 M nêu lên hai cách tìm đường thẳng hồi quy - Sử dụng máy tính có chức năng vẽ đồ thị và cách dùng phần mềm Maple để tìm đường thẳng tuyến tính. M còn nói thêm phương pháp các máy này dùng là phương pháp hồi quy tuyến tính. - Phương pháp giải tích thì dùng phương pháp bình phương tối thiểu được trình bày trong chương 14. 38 Ta dự đoán được rằng hàm lượng CO2 vượt quá 400ppm vào năm 2019. Dự đoán này thì khá rủi ro vì nó liên quan đến khoảng thời điểm khá xa nguồn dữ liệu chúng ta quan sát”(M, tr.28) Nhận xét:  Qua bài toán trên, M đã thể hiện đầy đủ các bước của quá trình MHH. Bước 1: Biểu diễn các điểm lên hệ trục và nhận xét về tương quan hàm giữa hàm lượng CO2 và năm tương ứng. Bước 2: Xác định mô hình toán học là hàm tuyến tính và dùng các công cụ toán học để tìm công thức hàm. Bước 3: Sau khi tìm được mô hình hàm. Trả lời cho bài toán thực tế. Bước 4: Đối chiếu đồ thị hàm số vừa tìm được với các thông số được cho ban đầu và rút ra nhận xét “Mô hình hàm vừa tìm được khá phù hợp với các dữ liệu được cho ban đầu, tuy nhiên nó cung cấp các giá trị hầu như cao hơn hàm lượng CO2 thực tế trong không khí”.Từ đó, việc tìm một công thức hàm tuyến tính mới phù hợp hơn với các dữ kiện của bài toán được đặt ra.  Cũng từ đây, trong hệ thống bài tập của mình M chú trọng đưa ra các dạng bài tập gắn với quá trình MHH. b. Hàm đa thức 1 21 2 1 0( ) ... n n n nP x a x a x a x a x a − −= + + + + + (trong đó: n là số tự nhiên, 0 1 2; ; ;...; na a a a là hằng số và được gọi là hệ số của đa thức) Tập xác định: ( );R = −∞ +∞ Bậc của hàm đa thức: n n=1: ( )P x mx b= + là một hàm tuyến tính. n=2: 2( )P x ax bx c= + + hàm bậc hai (trường hợp đặc biệt 2y ax= được gọi là Parabol). n=3: 3 2( )P x ax bx cx d= + + + hàm bậc ba . Tiếp theo, M đưa ra một ví dụ về việc xấp xỉ một hiện tượng vật lý bởi hàm đa thức bậc hai. 39 “Ví dụ 4. Một quả bóng rơi từ sân thượng của tòa tháp CN Tower, cách mặt đất 450m. Độ cao của quả bóng thu được trong khoảng thời gian cách đều nhau 1 giây được ghi nhận trong bảng 2. Dựa vào đó, hãy dự đoán thời điểm mà quả bóng chạm đất” (M, tr.29) Thời điểm (giây) Độ cao (mét) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 450 445 431 408 375 332 279 216 143 61 Sách M đã đưa ra cách giải quyết ví dụ này như sau: “Cách giải. chúng ta biểu diễn các điểm trong bảng dữ liệu ban đầu trên hệ trục tọa độ như hình 9 và quan sát thấy rằng mô hình của hàm tuyến tính là không phù hợp. Nhưng khi quan sát các điểm chúng gần như nằm trên một parabol, vì thế chúng ta sẽ thử thay thế bằng mô hình hàm bậc hai. Ta thu được mô hình hàm bậc hai dưới đây: 24.90 0.96 449.36 (3)h t t= − + + Biễu diễn các điểm được cho trong bảng dữ liệu ban đầu và đồ thị hàm số vừa tìm được trên cùng một hệ trục tọa độ ta thu được hình 10 40 Nhận xét: mô hình hàm bậc hai thu được cho một kết quả phù hợp với dữ liệu ban đầu. Quả bóng chạm đất khi độ cao 0h = , giải phương trình bậc hai: 24.90 0.96 449.36 0t t− + + = Ta được: 9.67 9.47 t t ≈ ≈ −   Do thời gian là đại lương không âm nên ta chấp nhận 9.67t ≈ . Vì vậy, chúng ta dự đoán được rằng quả bóng sẽ chạm đất sau khoảng thời gian 9.7 giây.” (M, tr.29) c. Hàm số lũy thừa ( ) af x x= Hàm lũy thừa có dạng ( ) af x x= (a: hằng số) Sau khi đưa ra định nghĩa về hàm lũy thừa, sách M khẳng định hàm số mũ thường được MHH trong các hiện tượng vật lý và hóa học. Một ví dụ về việc sử dụng hàm số lũy thừa trong việc MHH cho các hiện vật lý được M đưa vào. Cụ thể như sau: “Ví dụ. bảng dưới đây cho biết khoảng cách trung bình d của một số hành tinh so với mặt trời (lấy đơn vị đo giữa khoảng cách giữa trái đất và mặt trời) và chu kỳ T (số vòng quay trong năm) Hành tinh d T Sao Thủy Sao Kim Trái Đất Sao Hỏa Sao Mộc Sao Thổ Sao Thiên Vương Sao Hải Vương 0.387 0.723 1.000 1.523 5.203 9.541 19.190 30.086 0.241 0.651 1.000 1.881 11.861 29.457 84.008 164.784 a. Tìm mô hình tương ứng với dữ liệu cho trong bảng. 41 b. Định luật 3 của Kepler về sự chuyển động của các hành tinh được phát biểu như sau: “Bình phương chu kỳ quỹ đạo tỷ lệ với lập phương giá trị trung bình giữa khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ hành tinh tới Mặt Trời. Em có thể làm sáng tỏ cho Định luật của Kepler không?” (M, tr.37) Đây là một ví dụ để học sinh tự giải.Nhưng qua ví dụ, chúng ta cũng nhận thấy được mô hình của hàm lũy thừa được ứng dụng vào các hiện tượng vật lý như thế nào. d. Hàm số mũ xy a= Sách M định nghĩa hàm số mũ như sau: Hàm số mũ là hàm số có dạng xy a= (trong đó, a gọi là cơ số và a là hằng số dương) Sau khi hàm số mũ được định nghĩa, M đưa ra ví dụ về việc sử dụng hàm này trong các bài toán thực tế.Cụ thể, đó là mô hình toán học của sự tăng trưởng dân số tự nhiên. “Ví dụ. Bằng thống kê, các nhà dân số có bảng dân số thế giới trong thế kỷ 20 như sau: Năm 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 Dân số (triệu người) 1650 1750 1860 2070 2300 2560 3040 3710 4450 5280 6080 Em hãy dự đoán dân số thế giới vào năm 2025. “Lời giải.Ta có thể mô tả bảng dữ liệu trên mặt phẳng toạ độ bởi những điểm rời rạc như sau: Dựa vào hình dạng của mà các điểm rời rạc mang lại, ta thấy rằng sự tăng dân số này có xu hương tiếp tục tăng. Và người ta nghiên cứu được nó thường tăng tự nhiên theo hàm số mũ. Do đó, bằng phương pháp xấp xỉ hàm (chủ yếu là phương pháp bình phương bé nhất), chúng ta tìm được công thức cụ thể của hàm số P(t). 42 (0.008079266).(1.013731)tP = (4) Dựa vào (4) ta có thể dự đoán được dân số thế giới vào năm 2025”  Nhận xét: Qua cách trình bày của sách M, chúng thôi nhận thấy: - Sách giáo khoa của Mỹ chú trọng đến việc dạy học MHH. - Việc dạy học MHH được gắn liền với một số vấn đề thực tế (hay các ngành khoa học khác) mang tính cấp thiết và tương ứng với từng hàm số cụ thể. - Các bước của quá trình MHH được thể hiện khá rõ ràng. 2.1.2. Các tổ chức toán học liên quan đến vấn đề mô hình hóa trong dạy học hàm số Các kiểu nhiệm vụ sau được chúng tôi tìm thấy trong sách M:  T1: “Tìm hàm số bậc nhất mô tả cho một hiện tượng và tính 𝒇(𝒙𝟎) tại 𝒙𝒐 bất kỳ”.  T2: “Tìm hàm số bậc hai mô tả cho một hiện tượng và tính 𝒇(𝒙𝟎) tại 𝒙𝒐 bất kỳ”.  T3: “Tìm hàm số bậc ba mô tả cho một hiện tượng và tính 𝒇(𝒙𝟎) tại 𝒙𝒐 bất kỳ”.  T4: “Tìm hàm số mũ 𝒚 = 𝒂𝒙 mô tả cho một hiện tượng và tính 𝒇(𝒙𝟎) tại 𝒙𝒐 bất kỳ”. Dưới đây chúng tôi sẽ phân tích từng kiểu nhiệm vụ cụ thể.  Kiểu nhiệm vụ T1: “Tìm hàm số bậc nhất mô tả cho một hiện tượng và dự 43 đoán𝒇(𝒙𝟎) tại 𝒙𝒐 bất kỳ”. Ví dụ (bài tập 21, M tr.36) Bảng dưới đây cho biết độ cao kỷ lục của môn đẩy sào tại thế vận hội Olympic trong thế kỷ 20 Năm Chiều cao (ft) Năm Chiều cao (ft) 1900 1904 1908 1912 1920 1924 1928 1932 1936 1948 1952 10.83 11.48 12.17 12.96 13.42 12.96 13.77 14.15 14.27 14.10 14.92 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 14.96 15.42 16.73 17.71 18.04 18.04 18.96 18.85 19.77 19.02 19.42 a)Hãy biểu diễn dữ liệu trên mặt phẳng tọa độ và quyết định mô hình hàm phù hợp? b)Vẽ đồ thị biễu diễn mối tương quan giữa thời gian và kỷ lục được thiết lập. c)Từ đó, hãy dự đoán độ cao của kỷ lục môn đẩy sào tại Olympics năm 2000 và so sánh với kỷ luật thực tế là 19.36 feet. d)Có hợp lý để dùng mô hình hàm trên dự đoán kỷ luật tại Olympics 2100? Nhận xét: Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là: + Tương quan hàm được cho dưới dạng bảng. + Có sử dụng phần mềm hình học động để hổ trợ việc dự đoán dạng của hàm số (cụ thể đây là hàm tuyến tính 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏). +Dùng phần mềm, máy tính có chức năng đồ thị hoặc công cụ giải tích để tìm hàm số xấp xỉ. Với kiểu nhiệm vụ này, ta có hai kĩ thuật giải tương ứng như sau: Kĩ thuật 𝝉𝟏𝟏: + Biễu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ để có cái nhìn trực quan về hình dáng của hàm số và dự đoán dạng của hàm số là hàm bậc nhất 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. + Dùng phần mềm, máy tính có chức năng đồ thị hoặc công cụ giải tích để tìm hàm số xấp xỉ bậc nhất. +Dựa vào dữ kiện thực tế để kiểm tra tính thích hợp của mô hình hàm vừa tìm được. +Sử dụng mô hình hàm vừa tìm được tính giá trị 𝑓(𝑥0) tại 𝑥0 bất kỳ. 44 Công nghệ𝜽𝑵𝟏:Các bước của quá trình MHH.  Kiểu nhiệm vụ T2: “Tìm hàm số bậc hai mô tả cho một hiện tượng và tính 𝒇(𝒙𝟎) tại 𝒙𝒐 bất kỳ”. Ví dụ (ví dụ 4, M, tr. 293) Kĩ thuật 𝝉𝑵: + Biễu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ để có cái nhìn trực quan về hình dáng của hàm số. + Dựa vào dạng của đồ thị (dưới dạng các điểm) dự đoán dạng của hàm số là hàm bậc hai 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0). + Dùng phần mềm, máy tính có chức năng đồ thị hoặc công cụ giải tích để tìm hàm số xấp xỉ bậc hai. +Vẽ lại đồ thị hàm số vừa tìm được lên mặt phẳng tọa độ với các dữ kiện ban đầu và nhận xét về tính phù hợp của mô hình hàm bậc hai thu được. + Sử dụng mô hình hàm vừa tìm được tính giá trị 𝑓(𝑥0) tại 𝑥0 bất kỳ. Công nghệ𝜽𝑵: Các bước của quá trình MHH.  Kiểu nhiệm vụ T3: “Tìm hàm số bậc ba mô tả cho một hiện tượng và tính 𝒇(𝒙𝟎) tại 𝒙𝒐 bất kỳ”. Ví dụ (bài tập 25, M tr. 37) Dùng bảng số liệu dưới đây để tìm một mô hình dân số thế giới của thế kỷ 20. Sau đó dùng mô hình này để dự đoán đoán dân số thế giới vào năm 1925. Năm Dân số (triệu người) Năm Dân số (triệu người) 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1650 1759 1860 2070 2300 2560 1960 1970 1980 1990 2000 3040 3710 4450 5280 6080 Kĩ thuật 𝝉𝑵: 3Ví dụ này chúng tôi đã đề cập trong phần 2.1.1.2 của luận văn. 45 + Biễu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ để có cái nhìn trực quan về hình dáng của hàm số + Dựa vào dạng của đồ thị (dưới dạng các điểm) dự đoán dạng của hàm số là hàm bậc ba 𝑦 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑(𝑎 ≠ 0). + Dùng phần mềm, máy tính có chức năng đồ thị hoặc công cụ giải tích để tìm hàm số xấp xỉ bậc ba. + Sử dụng mô hình hàm vừa tìm được tính giá trị 𝑓(𝑥0) tại 𝑥0 bất kỳ. Công nghệ𝜽𝑵: Các bước của quá trình MHH.  Kiểu nhiệm vụ T4: “Tìm hàm số mũ 𝒚 = 𝒂𝒙 mô tả cho một hiện tượng và tính 𝒇(𝒙𝟎) tại 𝒙𝒐 bất kỳ”. Ví dụ: (bài tập 28, M, tr.59) Bảng dưới đây cho biết dân số của nước Mỹ (đơn vị tính: triệu người) trong thời gian từ 1900- 2000. Dùng “Graphing calculator” với phương pháp hồi quy để tìm mô hình dân số từ năm 1900. Dùng mô hình hàm vừa tìm để ước lượng dân số của nước này vào năm 1925 và dự đoán dân số vào năm 2010 và 2020. Năm Dân số Năm Dân số 1900 1910 1920 1930 1940 1950 76 92 106 123 131 150 1960 1970 1980 1990 2000 179 203 227 250 281 Nhận xét: Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là: + Tương quan hàm được cho dưới dạng bảng. + Yêu cầu rõ dùng “Graphing calculator” tìm hàm số mũ để mô hình cho hiện tượng tăng dân số. +Dùng phần mềm, máy tính có chức năng đồ thị hoặc công cụ giải tích để tìm hàm số xấp xỉ. Với kiểu nhiệm vụ này, ta có kĩ thuật giải tương ứng như sau: Kĩ thuật 𝝉𝑵: 46 + Biễu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ để có cái nhìn trực quan về hình dáng của hàm số. + Dùng phần mềm, máy tính có chức năng đồ thị hoặc công cụ giải tích để tìm hàm số xấp xỉ 𝑦 = 𝑎𝑥. +Sử dụng mô hình hàm vừa tìm được tính giá trị 𝑓(𝑥0) tại 𝑥0 bất kỳ. Công nghệ𝜽𝑵: Các bước của quá trình MHH. 2.1.3. Kết luận Qua việc phân tích sách M, chúng tôi nhận thấy rằng: Sách giáo khoa Mỹ khá chú trọng đến việc dạy học MHH. Điều này thể hiện qua việc sách M đã trình bày rõ ràng các bước của quá trình MHH trước khi đề cập đến những nội dung quan trọng của hàm số. Và sau đó, quá trình MHH được lồng ghép vào các kiến thức của hàm số một cách tự nhiên. Kiểu nhiệm vụ T1 chiếm tỉ lệ khá cao. Các kiểu nhiệm vụ còn lại xuất hiện với tỉ lệ khá đều nhau. Điều này thể hiện qua bảng thống kê sau: Bảng 2.4. Các KNV liên quan đến MHH dạy học hàm số trong sách M Kiểu nhiệm vụ Số lượng Tổng số bài tập về hàm số trong chương 1 Tỉ lệ T1 9 27 33,33% T2 3 10% T3 2 7,4% T4 2 7,4% Theo chúng tôi, lý do kiểu nhiệm vụ T1 xuất hiện nhiều vì hàm tuyến tính mô tả cho khá nhiều các hiện tượng của thực tế. Và xét tỉ lệ tổng số bài tập có yếu tố MHH trong chương 1 này chiếm đến 59,3% trên tổng các bài tập. Con số này một lần nữa chứng tỏ mức độ quan tâm của sách giáo khoa Mỹ đến quá trình MHH toán học, cũng như các ứng dụng của hàm số trong thức tế. 2.2. MHH trong dạy học hàm số ở sách giáo khoa Toán Việt Nam 47 2.3. So sánh và kết luận 2.3.1 So sánh vấn đề dạy học mô hình hóa ở Việt Nam và Mỹ 2.3.1.1. Giống nhau Mục đích của dạy học MHH là cho học sinh thấy được những ứng dụng thực tế của kiến thức toán vào thực tiễn. 2.3.1.2. Khác nhau - SGK Mỹ chú trọng đến việc dạy học MHH hàm số. Các bước của quá trình MHH được đưa ra ngay từ đầu trước khi trình bày chi tiết các kiến thức liên quan đến hàm số. Ngoài ra sách M của Mỹ lại còn đề cập đến những dạng hàm số thường dùng để xấp xỉ cho các hiện tượng biến thiên của thực tế.Việc làm này giúp học sinh nắm được cách giải quyết một bài toán thực tế cũng như kỹ thuật giải quyết nó. Chúng tôi thấy rằng thể chế này chú trọng đến cách thức giải quyết một vấn đề chứ không quan trọng ở các phương pháp giải tích. Cụ thể, trong việc tìm hàm số xấp xỉ thể chế chỉ chú trong vào việc tìm mô hình toán học và biểu diễn các dữ kiện trên mặt phẳng tọa độ để nhận ra dạng của hàm số. Còn kỹ thuật tìm hàm số xấp xỉ trong quyển sách M của Mỹ lại ưu tiên dùng máy tính có chức năng đồ thị để tìm ra kết quả.Trong khi đó với sách giáo khoa ở lớp 12 Việt Nam thì hàm số luôn gắn liền với một biểu thức giải tích. Chúng tôi tìm thấy một số lượng ít các bài tập có nội dung thực tế. Trong đó, chúng được chia làm hai dạng: Dạng 1 gắn liền với kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức xác định hàm số” và các bước của quá trình MHH có xuất hiện; Dạng 2: thực chất là lồng ghép các hiện tượng của thực tế với một hàm số cụ thể và dùng công cụ toán học giải quyết vấn đề. - Về số lượng bài tập, với tỉ lệ trên 59,3% các bài tập có yếu tố MHH trên tổng số các bài tập được cho chứng tỏ sách M quan tâm nhiều đến việc MHH trong dạy học hàm số. Những hàm số này thường xuất phát từ những bài toán thực tế khá quen thuộc. Điều này đòi hỏi sự diễn giải bằng lời sự thay đổi của các đại lượng, từ đó hình thành nên đồ thị của hàm số tương ứng rồi mới đi tìm hàm số xấp xỉ với tương quan hàm ban đầu. Trong khi đó với phân tích cả hai SGK chương trình chuẩn và nâng cao chúng tôi chỉ tìm thấy 6,994% những bài toán thực tế xuất hiện.Chủ yếu SGK Việt Nam quan tâm đến những hàm số đã được 48 cho sẵn bởi một công thức và các kỹ thuật tính toán giải tích như tìm cực trị, GTLN, GTNN,. Từ đây có thể khẳng định rằng sách giáo khoa Việt Nam chưa có sự quan tâm đúng mức với vấn đề “MHH trong dạy học hàm số”. Cuối cùng, chúng tôi muốn khẳng định lại rằng: SGK Việt Nam quan tâm quá nhiều đến hàm số cho bằng công thức – Chính điều này làm mất đi cơ hội “MHH trong dạy học hàm số”. Kiểu nhiệm vụ buộc phải đi tìm biểu thức hàm số có xuất hiện nhưng với kỹ thuật tìm là dựa vào mô hình hình học sẵn có với các công thức tính diện tích, thể tích.... Các bước của quá trình MHH toán học cũng không được xuất hiện rõ ràng và đầy đủ. Vì vậy, việc tạo ra những tình huống cho HS hiểu rõ quá trình MHH toán học cũng như việc thực hiện kiểu nhiệm vụ tìm hàm số xấp xỉ để biểu thị mối tương quan hàm giữa hai đại lượng được chúng tôi cho là cần thiết. 2.3.2. Kết luận chương 2 Qua việc việc phân tích các sách giáo khoa và so sánh sự tương đồng cũng như khác biệt, chúng tôi đã tìm được các yếu tố để trả lời cho câu hỏi Q2:“Việc tìm một mô hình toán học và hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho trước có tồn tại trong SGK Việt Nam hay không? Nếu có thì những tổ chức toán học nào liên quan đến hai đối tượng này được nhấn mạnh? Vấn đề dạy học MHH có được thể chế quan tâm đến khi xây dựng kiểu nhiệm vụ trên? Có sự khác biệt nào so với sách giáo khoa của Mỹ?” Như vậy, kiểu nhiệm vụ tìm hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho trước không xuất hiện trong chương trình và sách giáo khoa Toán 12 Việt Nam. Việc tìm biểu thức hàm số có xuất hiện nhưng với kỹ thuật tìm là dựa vào mô hình hình học sẵn có với các công thức tính diện tích, thể tích. Chính điều này làm mất đi cơ hội tạo ra tình huống MHH. Vì vậy, trong chương 3 chúng tôi sẽ xây dựng những tình huống dạy học trong với mục đích chính là MHH trong dạy học hàm số gắn liền với kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức xác định hàm số”. (xin nói rõ hàm số tìm được là hàm xấp xỉ với tương quan hàm ban đầu). 49 Chương 3. THỰC NGHIỆM - XÂY DỰNG TÌNH HUỐNG MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ Từ việc tiến hành phân tích thể chế, chúng tôi rút ra một số kết luận quan trọng sau: + Vấn đề MHH trong dạy học hàm số chưa được thể chế quan tâm đến đúng mức, học sinh chỉ làm việc với một số bài toán có nội dung thực tế mà trong đó biểu thức hàm số đã hoàn toàn xác định (học sinh chỉ thực hiện bước 2 và bước 3 trong quá trình MHH). + Đối với học sinh kiểu nhiệm vụtìm hàm số biểu thị mối tương quan hàm giữa hai đại lượng có xuất hiện một cách “mờ nhạt” và hoàn toàn không được ứng dụng vào việc giải quyết vấn đề ngoài toán học. Do đó, chúng tôi sẽ tiến hành xây dựng tình huống dạy học nhằm cho học sinh nhận thức được: +Trong thực tế, chúng ta không thể đo được giá trị của một hàm số tại mọi điểm, mà chỉ đo được tại một số điểm. Vì thế bằng phép đo tại một số điểm, ta sẽ có một kỹ thuật để dựng lại một đa thức mô tả cho hàm số thực tế. Kỹ thuật đó chính là xấp xỉ một hiện tượng biến thiên của thực tế với một hàm đa thức “Nếu chỉ biết một số hữu hạn gồm (n + 1) giá trị của hàm số tại các điểm rời rạc 0 1 nx ,x ,...,x a,b ∈   . Ta có thể mô tả nó với một đa thức bậc n dạng: ( ) = + + + ≠nn 0 1 n nP x : a a x ... a x ,a 0” +Các bước của quá trình MHH toán học: từ việc giải quyết một số bài toán thực tế giúp học sinh thực hiện được kiểu nhiệm vụ tìm biểu thức xác định hàm số. Kỹ thuật chúng tôi nhắm đến ở đây là xấp xỉ tương quan hàm cho trước với một hàm đa thức trong một khoảng cho phép.Đồng thời, thông qua các dữ kiện của bài toán cũng như các bước của quá trình MHH toán học sẽ giúp học sinh tìm được hàm số xấp xỉ phù hợp nhất với bài toán thực tiễn. 50 3.1. Thực nghiệm dạy học mô hình hóa hàm số 3.1.1. Mục đích xây dựng tình huống dạy học mô hình hóa Như đã nói ở trên mục đích của thực nghiệm là xây dựng một tình huống dạy học MHH hàm số. Trong đó, học sinh được làm việc với kiểu nhiệm vụ tìm mô hình hàm số (bảng, đồ thị, hay biểu đồ) và phải tìm một hàm số xấp xỉ với hàm số ban đầu. Tình huống dạy học được thiết kế nhằm giải quyết những vấn đề sau: