Luận văn Một số kết quả nghiên cứu gần đây về các ánh xạ chỉnh hình tách biến

ạ duy nhất  ( ( , ; , ), )Î ÇXOa a af A U B U G Zsao cho  ( , ) ( , ) ( , ), a af z w f z w f z w( , ) ( , ; , )  Î Ç Ç ÇX a az w A A U B B U G (2.5) Cho 1 0 2  < , từ (2.4) và (2.5) ta có thể dán họ ánh xạ  , ( ) a G   a U a A A f Ç | được ánh xạ dán  ( , )  Î Of A G Z (2.6) Từ (2.5) và (2.6) ta xác định được ánh xạ mới f d trên ( , ; , )  A B B D GX Ç như sau:   , : , ( ).           f A G f f D B BÇ , trên trên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 sử dụng kết quả này và (2.5), (2.6) ta có  ( ( , ; , ), )S  Î ÇXf Of A B B D G Z , và   f f trên ( , ; , )  A A B B D GX Ç Ç . Vì A là một tập con mở của đa tạp phức D và G là song chỉnh hình tới tập mở bị chặn trong  n nên áp dụng bước 1 cho  f để có được ánh xạ  ( ( , ; , ), )   Î ÇXf Of A B B D G Z sao cho    f f trên ( , ; , )  A B B D GX Ç . Dán họ ánh xạ  1 0 2 ( )    f < lại với nhau để được f như sau:   0 : lim   f f trên W . Thực ra đẳng thức   1 0 2 ( , ; , )     XfW A B B D G < < Ç có được từ (2.4). Bước 4: Hoàn thành chứng minh định lý. Sơ lược chứng minh bước 4. Với mỗi Î Ça A A cho ( , ; , ): a aa A U B U Gf f X ǽ , từ  ,sÎ Of W Zo suy ra ( ( , ; , ), )s XOa a af A U B U G ZÎ Ç . Do aU là song chỉnh hình tới một tập mở bị chặn trong  m nên áp dụng bước 3 cho af thì có một ánh xạ  ( ( , ; , ), )Î ÇXOa a af A U B U G Zsao cho  ( , ) ( , ),af z w f z w( ) ( , ; , )   a az w A A U B B U GX Ç Ç Ç (2.7) Cho 1 0 2  < , từ (2.7) ta có thể dán họ ánh xạ  , ( ) aU G A A   a a f Ç | được ánh xạ  ( , )  Of A G Z¢ Î . Tương tự, với mỗi b B BÎ Ç có một ánh xạ  ( ( , ; , ), )Î ÇXOb b bf A B V D V Z sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23  ( , ) ( , ),bf z w f z w ( , ) ( , ; , ) Î Ç Ç ÇX b bz w A A B B V D V (2.8) Hơn nữa ta có thể dán họ ánh xạ  , ( ) b   b D V b B B f Ç ½ để có được ánh xạ  ( , )  Of D B Z¢¢ Î . Từ (2.4), (2.7) và (2.8) suy ra    f ¢ ¢¢ ¦ trên  A B . Sử dụng kết quả này ta có thể định nghĩa ánh xạ mới  ¦ : ( , ; , )    A B D G ZX như sau    , , : , .              A G D B ¢ ¢¢ ¦ ¦ ¦ sử dụng công thức trên ta có thể kiểm tra  ( ( , ; , ), )S    ¦ Î Xf O A B D G Z . Từ (2.4) ta có A (tương ứng B ) là một tập con mở của Df (tương ứng Gf ) nên áp dụng bước 2 cho  ¦ với mỗi 1 0 2  < ta được một ánh xạ  ( ( , ; , ), )    ¦ Î Xf O A B D G Z sao cho    ¦ ¦ trên ( , ; , )   A B D GX . Ta có thể định nghĩa ánh xạ thác triển f .   0 : lim  ¦ ¦ trên W . Thực ra đẳng thức   1 0 2 ( , ; , )      W A B D Gf X < < có được từ (2.4). 2.2. Bài toán 1 trong trƣờng hợp ,   A D B G . Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày hai trường hợp riêng của bài toán 1 với mục đích sử dụng hai hệ các miền xấp xỉ khác nhau được định trên trên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 nghĩa trong phần 1.1.2. Các kết quả này là công trình nghiên cứu chung của Nguyễn Việt Anh và Pflug (xem [27,28,29]). 2.2.1. Trường hợp ,X Y là các đa tạp một chiều. Định lý 2.2.1. Cho ,X Y là các diện Riemann và D X và G Y là các tập con mở, A (tương ứng B ) là tập con của D (tương ứng G ) sao cho D (tương ứng G ) là tốt trên A (tương ứng B ), cả A và B đều là các tập có chiều dài dương. Đặt       : ( , ; , ), : ( , ; , ), : ( , ) : , , ) ( , , ) 1 , : ( , ) : , , ) ( , , ) 1 . W W W W         X XA B D G A B D G z w D G z A D w B G z w D G z A D w B G ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ w w w Î ( < Î ( < Trong đó A ¢ (tương ứngB ¢ ) là tập hợp các điểm mà tại đó A (tương ứng B )là đa chính quy địa phương tương ứng với hệ các miền xấp xỉ góc giá trên A (tương ứng B ) và ( , , ) A Dw , ( , , ) A D¢w (tương ứng ( , , ) B Gw , ( , , ) B G¢w ) được tính với hệ chính tắc của các miền xấp xỉ. Khi đó với mỗi hàm : W ¦ thoả mãn các điều kiện sau: (i) Với mọi Îa A hàm ( , ) Gf a ½ là hàm chỉnh hình và có giới hạn góc ( , )f a b tại mọi điểm Îb B , và với mọi Îb B hàm ( , ) Df b ½ là hàm chỉnh hình và có giới hạn góc ( , )f a b tại mọi điểm Îa A . (ii) f là bị chặn địa phương. (iii) A Bf½ là liên tục. thì tồn tại một hàm duy nhất   ',Î Of W nhận giới hạn góc f tại mọi điểm của W W ¢Ç . Nếu , A B là các tập Borel hoặc nếu   X Y thì  W W ¢ . Chứng minh: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 Chứng minh của định lý này gồm hai bước. Trước hết P. Pflug và Nguyễn Việt Anh chứng minh định lý trong trường hợp D và G là các miền Jordan trong . Sau đó họ chứng minh định lý trong trường hợp tổng quát. Với mỗi 0 1< < tập hợp  : : ( , , ) 1  D z D z A DwÎ <(tương ứng  : : ( , , ) 1 )  G w G w B GÎ <wđược gọi là một tập mức của hàm độ đo điều hoà ( , , ) A Dw (tương ứng ( , , ) B Gw ). Trong bước thứ nhất P. Pflug và Nguyễn Việt Anh cải tiến phương pháp của Gonchar (xem [8, 9]) bằng việc vận dụng công thức của Carleman (xem [3]) và các tính chất hình học của các tập mức của các hàm độ đo điều hoà. Trong bước thứ hai họ áp dụng định lý kiểu chữ thập hỗn hợp để chứng minh định lý 2.2.1 với D (tương ứng G ) được thay thế bởi D (tương ứng G ). Khi đó họ đi đến kết luận với các tập mở gốc D (tương ứng G ) bằng kỹ thuật dán. Bƣớc 1: Giả sử D và G là các miền Jordan. Cho Î{ }j j Ja là dãy hữu hạn hoặc tập con đếm được của A với các tính chất sau: (i) Với bất kỳ Îj J có một lân cận mở jU của ja sao cho jD UÇ cũng là một miền Jordan hoặc là hợp rời nhau của hai miền Jordan. (ii)   j j J A U Với mỗi 1 0 2  < ta định nghĩa     , , : : ( , , ) , : , : : ( , , ) .             j j j j j j J U z D U z A U D U j J, A U G w G w B G Î È Ç Ç < Î Î < 1- w w Hơn nữa với mỗi Îj J đặt Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26    : ( ( ) , ; , ), : ( ( ) , ; , ), :      X X j j j j j j j j W W D U A B D U G W D U A B D U G f f | Ç Ç Ç Ç Ç Ç ¢ ¢ (2.9) Sử dụng giả thiết của f và chú ý rằng  , jf j JÎ thoả mãn điều kiện (i), (ii) của định lý, hơn nữa vì G là miền Jordan và jD UÇ , Îj J cũng là miền Jordan hoặc hợp rời nhau của hai miền Jordan ta có thể suy ra với Îj J có duy nhất một hàm  ( )O jjf WÎ ¢ , một tập con jA của ( ) D U AÇ Ç , một tập con jB của B sao cho j jA A ( ( ) ) jD U A AÇ Ç \ và jB B\ có độ dài không . (2.10)  jf nhận giới hạn góc f trên (( ( ) ) ) ( )  j j jD U A G D BÇ Ç È . Đặt    j j J A A và    j j J B B    0 0 ( , ; , ), ( , ; , ).        W A B D G W A B D G X X (2.11) Ta có thể dán họ ánh xạ  , ( ) J  jj U G jf ½ để được một hàm  ( )  Î Of A G. Tiếp theo xét hàm  :    f W xác định bởi     : ( )            f A G f f D B BÇ (2.12) Từ (2.9) và (2.12) suy ra A A\ và B B\ có độ dài không (2.13) Và trên trên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27      0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , ( ) 0 0 0 0 , ( ), lim ( , ) ( , ), 0 , , , 2 lim ( , ) ( , ), 0 , , . 2 A A             a a a a Î Î < < Î Î Ç < < Î Î z z w b w b z a z a w w f z w f z b z D b B B f z f a w a A w G (2.14) Từ (2.12) và (2.14) suy ra có một hàm  ( ) Of WÎ ¢ với mọi 10 2 < < . Từ (2.14) suy ra    f f trên  A G và      0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , ( ) 0 0 0 0 , ( ), lim ( , ) ( , ), 0 , , , 2 lim ( , ) ( , ), 0 , , . 2 A A               a a a a < < Î Î Ç < < Î Î z z w b w b z a z a w w f z w f z b z D b B B f z f a w a A w G (2.15) Dán các ánh xạ  1 0 2 ( )  f < < lại với nhau để có được ánh xạ như sau:   0 : lim   f f trên   ( , ; , )XW A B D G¢ ¢ (2.16) Có thể kiểm tra rằng giới hạn trong (2.16) là tồn tại và có tất cả các tính chất cần có. Điều đó được suy ra từ bổ đề sau. Bổ đề: Với mỗi ( , )z w WÎ ¢ đặt ( , ) 1 ( , , ) ( , , ) 2     z w z A D w B Gw w thì  ( , ) ( , )f z w f z w với mọi ( , )0   z w< Vậy  ( )Of WÎ ¢ . Chứng minh tính duy nhất của hàm f . Thực vậy cho  ( )Of WÎ ¢ có các tính chất sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 i) Có một tập con A (hoặc B ) của A AÇ (tương ứng B BÇ ) sao cho  mes( ) mes( )A \ A B \ B và f nhận giới hạn góc f tại mỗi điểm của     A G D BÈ ii) Cố định một điểm tuỳ ý  0 0( , )z w WÎ ¢, cho U là một thành phần liên thông chứa 0z của tập mở  0: ( , , ) 1 ( , , )w wÎ <z D z A D w B G . Vì f , f là các hàm chỉnh hình,  0( , ) Uf w và  0( , ) Uf w nhận giới hạn góc 0( , )f w tại mỗi điểm của  DA A UÇ Ç ta có   0 0( , ) ( , )  f w f w trên U , suy ra   0 0 0 0( , ) ( , )f z w f z w . Vì  0 0( , )z w WÎ ¢tuỳ ý nên f là duy nhất. Bƣớc 2: Trường hợp tổng quát. Áp dụng cách chứng minh giống như bước 1, để chỉ ra f nhận giới hạn góc f tại mọi điểm của W W ¢Ç P. Pflug và Nguyễn Việt Anh đã chứng minh f nhận giới hạn góc 0 0( , )f a w tại 0 0( , ) a w A GÎ ¢ và f nhận giới hạn góc 0 0( , )f z b tại 0 0( , ) z b D BÎ ¢ . Vậy định lý được chứng minh. 2.2.2. Dạng tổng quát của định lý Gonchar Trước hết ta có một vài định nghĩa sau. +) Với mỗi tập con mở 2 1  nU và mỗi hàm liên tục :  h U đồ thị  ' ' ' '( , ) ( , ) : ( , ) , = ( , ) nn   În n n n nz z z z x iy z x U y h z x được gọi là một siêu mặt tôpô trong n . +) Cho X là một đa tạp phức có số chiều n , một tập con A X được gọi là một siêu mặt tôpô nếu với mỗi điểm Îa A có một bản đồ địa phương ( , : )nU Uf quanh a sao cho ( )A Uf Ç là một siêu mặt tôpô trong n . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 +) Cho D X là một tập con mở và cho A D là một tập con mở (với phương diện tôpô phát sinh trên D ). Giả sử A là siêu mặt tôpô , một điểm Îa A được gọi là kiểu 1(tương ứng với D ) nếu với mỗi lân cận U của a có một lân cận mở V của a sao cho V U và V DÇ là một miền. Nếu a không thoả mãn điều kiện trên thì a được gọi là kiểu 2. Dễ dàng thấy rằng nếu a là kiểu 2 thì với mỗi lân cận U của a có một lân cận mở V của a và hai miền 1 2,V V sao cho 1 2,  V U V D V VÇ È và tất cả các điểm trong A VÇ là kiểu 1 tương ứng với 1V và 2V . P. Pflug và Nguyễn Việt Anh đã chứng minh đã chứng minh được mệnh đề sau: Cho X là một đa tạp phức và D là một tập con mở của X , A D là một tập con mở bị chặn và là siêu mặt tôpô. Với mọi 0 1 < đặt  : : ( , , ) 1 .  D z D z A DÎ <w Khi đó 1) A cũng là một tập mở của D và lim ( , , ) 0   z z A D z w với mọi AÎz . 2) Hơn nữa, ( , , ) ( , , ) , . 1    z A D z A D z DÎ w w 3) (Định lý duy nhất) Nếu ( )Of DÎ sao cho lim ( ) 0   z f z z với mọi AÎz , thì 0.f Từ mệnh đề trên Nguyễn Việt Anh đưa ra mệnh đề sau. Mệnh đề 2.2.2.1 Cho X là một đa tạp phức và D là một tập con mở của X , D được trang bị hệ chính tắc của các miền xấp xỉ. Giả sử A D là tập con mở bị chặn và là siêu mặt tôpô. Khi đó A là đa chính quy địa phương và  A A . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 Kết quả chính của phần này là Định lý 2.2.2.2 Cho ,X Y là hai đa tạp phức, ,  D X G Y là hai tập mở khác rỗng. D (tương ứng G ) được trang bị hệ chính tắc của các miền xấp xỉ. Cho A (tương ứng B ) là một tập con mở khác rỗng của D (tương ứng G ) và cũng là một siêu mặt tôpô. Định nghĩa    : ( , ; , ), : ( , ) : , , ) ( , , ) 1     XW A B D G W z w D G z A D w B Gw wÎ ( < Cho :  W¦ thoả mãn (i) 0( , ) ( , )s s ¦ Î ÇC OW W ; (ii) ¦ bị chặn địa phương trên W ; (iii) A B½¦ liên tục. Khi đó tồn tại một hàm duy nhất   ,¦ Î O W sao cho   ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ), ( , ) W      z w f z w f Wz z z . Chứng minh: Phương pháp chứng minh gồm 3 bước. Trong bước 1 ta giả sử G là một miền trong  m và A là một tập con mở của D . Bước thứ 2 bằng phương pháp lát cắt và sử dụng định lý 1.6.5 ta chứng minh định lý trong trường hợp cặp ( , )D A và ( , )G B đủ tốt đối với phương pháp lát cắt. Trong bước cuối cùng chúng ta chuyển tính chỉnh hình từ trường hợp địa phương tới trường hợp tổng quát bằng việc sử dụng lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý Rosay trên các đĩa chỉnh hình. Bƣớc 1: Giả sử G là một miền trong  m , và A là một tập con mở của D . Trước hết ta chứng minh bổ đề sau. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 Bổ đề 2.2.2.3: Giữ nguyên giả thiết như trong định lý, với 1,2Î { }j , cho ( , )f Î Oj E D là một đĩa chỉnh hình và Îjt E sao cho 1 1 2 2( ) ( )t tf f và 2 , 0 1 1 ( ( )) 1, =1,2. 2 e d     i D A D j jf <\ Khi đó 1)Với 1,2Î { }j , hàm ( , ) ( ( ), ) jt w f t wf thuộc vào 1 0 1( ( ( ) , ; , )) ( ( ( ) , ; , ))s s   j jA E B E G A E B E GC OX XÇ Ç Çf f và liên tục trên 1( ( ) ) j A E Bf Ç trong đó 1( ) : : ( ) j jA t E t A{ Î Î }f f . 2) Với 1,2Î { }j , cho  jf là hàm duy nhất trong  1 1( ( ( ) , ; , )) ( ( ( ) , ; , )) X XC Oj jA E B E G A E B E Gf fÇ Ç Ç o thoả mãn  1( , ) ( ( ), ), ( , ) ( ( ) , ; , ) f fÎ ÇXj j jƒ t w f t w t w A E B E G thì   1 21 2( , ) ( , ),ƒ t w ƒ t w với mọi Îw G sao cho  1 ( , ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇXj jt w A E B E G , 1,2Î { }j . Chứng minh bổ đề: Phần 1) được suy ra ngay từ giả thiết. Chứng minh phần 2). Cố định 0 Î Èw G B thoả mãn  1 0 ( , ) ( ( ) , ; , ) fÎ ÇXj jt w A E B E G với 1,2Î { }j . Ta cần chỉ ra rằng   1 21 0 2 0( , ) ( , ).ƒ t w ƒ t w Chú ý cả hai hàm  1 1( , )w f t wGÎ và  2 2( , )w f t wGÎ đều thuộc vào ( )O G , trong đó G là thành phần liên thông chứa 0w của tập mở 1 1,2 : ( , , ) 1 max ( ( ) , )   j j j w G w B G t A E Ew w ,f { } { Î < Ç } . Mặt khác với mỗi 1,2Î { }j và Îw B ,  1 ( , ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇXj jt w A E B E G , kết hợp với đẳng thức 1 1 2 2( ) ( )t tf f ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32   1 21 1 1 2 2 2( , ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( , ), .  f f ΃ t w f t w f t w ƒ t w w B Theo định lý duy nhất suy ra   1 21 2( , ) ( , ), . Î Gƒ t w ƒ t w w Vậy   1 21 0 2 0( , ) ( , ).ƒ t w ƒ t w Vậy bổ đề được chứng minh. Bây giờ ta quay trở lại chứng minh bước 1. Cho W là tập tất cả các cặp điểm ( , ) ( )Î Èz w D G B với các tính chất có một đĩa chỉnh hình ( , )f Î O E D và Ît E sao cho ( ) t zf và  1 ( , ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇX jt w A E B E G Cho f f là hàm duy nhất trong  1 1( ( ( ) , ; , )) ( ( ( ) , ; , )) X XC Oj jA E B E G A E B E Gf fÇ Ç Ç o sao cho  1( , ) ( ( ), ), ( , ) ( ( ) , ; , ).f f fÎ ÇXƒ t w f t w t w A E B E G (2.17) thì hàm thác triển f được cho bởi  ( , ) : ( , ).f z w ƒ t wf (2.18) Từ phần 2) của bổ đề trên suy ra f hoàn toàn xác định trên W . Tiếp theo ta sẽ chứng minh WW= = (2.19) Thật vậy +) Chứng minh WW= = . Cho ( , ) Î Wz w , từ cách định nghĩa W ta có thể tìm thấy một đĩa chỉnh hình ( , )f Î O E D , một điểm Ît E sao cho ( ) t zf và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33  1 ( , ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇXt w A E B E G Từ 1( ( ), , ) ( , ( ) , )t A D t A E Ew f w f Ç ta thấy 1( , , ) ( , , ) ( , ( ) , ) ( , , ) 1  z A D w B G t A E E w B Gw w w f wÇ < Vậy ( , ) Îz w W suy ra WW= = . +) Chứng minh  W= W . Cho ( , ) Îz w W và cố định mỗi 0 > thoả mãn 1 ( , , ) ( , , ).  < w wz A D w B G (2.20) Áp dụng định lý Rosay và bổ đề 1.7.3 có một đĩa chỉnh hình ( , )f Î O E D sao cho (0)  zf và 2 , 0 1 1 ( ( )) ( , , ) . 2 e d      <f w i D A D z A D\ (2.21) Chú ý rằng 2 1 , 0 1 (0, ( ) , ) ( , , ) 1 ( ( )) 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1. D D e d           w f w f w w w i AA E E w B G w B G z A D w B G Ç < < \ trong đó bất đẳng thức đầu tiên suy ra từ việc áp dụng bổ đề 1.7.2, bất đẳng thức thứ hai có được từ (2.21) và bất đẳng thức cuối cùng suy ra từ (2.20). Do đó  1 (0, ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇXw A E B E G suy ra ( , ) Î Wz w . Vậy WW= = . Từ ( 2.19) suy ra ƒ hoàn toàn xác định trên =W . Từ (2.17) và (2.19) và sử dụng cách chứng minh như trong bước 2, bước 3 của định lý 2.1 ta có  f f trên W và   ,¦ Î O W Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 Hoàn thành chứng minh bước 1. Bƣớc 2: Giả sử các cặp ( , )D A và ( , )G B đủ tốt. Không mất tính chất tổng quát giả sử ,   n mD G . Với mọi 1 0 2 < < định nghĩa 2 2 , 2 2 , : ( , ) : ( ) ,( ) ( ) ( 1,1) : ( , ) : ( ) ,( ) ( ) ( 1,1) : : ( , , ) , : : ( , , ) , : int G                     , , , , , , , , , , n n n n n n nz z z z , , m m m m m m mw w w w z E z z z z E z A E z E w w w w E w B E w D z D z A D w G w B G A E { Î , ( , ) < }, Î , { Î , ( , ) < }, Î , { Î < 1- } { Î < 1- } ( w w w w 2 2 2 2 , , ( 1,1) ( 1,1) , : int        , , , n , m w z w B E) ( ). (2.22) Trước hết chúng ta áp dụng phương pháp lát cắt Với mọi 2 2( 1,1)   nz¢ xét hàm ( , ) : ( , ), ( , ) (( ) , ;( ) , ). ' ' ' 'n n n nz z z zf z w f z w z w A E B E GXÎ Ç (2.23) Áp dụng định lý của Gonchar ta có được một hàm thác triển    0(( ) , ;( ) , ) (( ) , ;( ) , ) ' ' ' ' ' ' 'z n n n nz z z z z zf A E B E G A E B E GC OX XÎ ( Ç )Ç ( Ç ) sao cho  ( , ) ( , ), ( , ) (( ) , ;( ) , ). Î ÇX' ' ' ' 'z n n n n nz z z zf z w f z w z w A E B E G (2.24) Từ (2.22) và (2.24) ta xác định được một hàm mới  f trên ( , ; , ) A B D GX như sau:   ( , ), ( , ) ,( , ) : ( , ), ( , ) .         'z nf z w z w A Gf z w f z w z w D B Î Î (2.25) Áp dụng bước 1 ta có hàm thác triển    0( , ; , ) ( , ; , )    Î ÇX XC Of A B D G A B D G( ) ( ) thoả mãn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35  ( , ) ( , ), ( , ) ( , ; , )    Î Xf z w f z w z w A B D G (2.26) Mặt khác từ (2.22) ta thấy 0 lim ( , ) ( , )  w wz A ,D z A,D và 0 lim ( , , ) ( , , )  w B G w B Gw w (2.27) Bằng cách dán các ánh xạ  1 0 2  < < ( )f lại với nhau ta có ánh xạ f    0 lim ( ) :        f W D B f f A G o È (2.28) Từ (2.23) và (2.27) ta thấy giới hạn trong (2.28) tồn tại và có tất cả các tính chất cần có trong định lý. Bước 3: Trường hợp tổng quát Tiếp tục xét các hàm sau với mọi 2 2( 1,1)   nz¢ và 2 2( 1,1)   mw¢ ( , ) : ( , ), ( , ) (( ) , ;( ) , ). ( , ) : ( , ), ( , ) (( ,( ) ; ,( ) )     ' ' ' ' w' ' ' ' n n n nz z z z m m m mw w w f z w f z w z w A E B E G f z w f z z A B E D E X X Î Ç Î Ç (2.29) Áp dụng kết quả bước 2 ta có hai hàm thác triển tương ứng là       0 0 (( ) , ;( ) , ) (( ) , ;( ) , ) ( ,( ) ; ,( ) ( ,( ) ; ,( )     Î ( Ç )Ç ( Ç ), Î ( Ç )) Ç ( Ç )) X X X X C O C O ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' z n n n nz z z z z z w m m m mw w w w w w f A E B E G A E B E G f A B E D E A B E D E thoả mãn   ( , ) ( , ), ( , ) (( ) , ;( ) , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( ,( ) ; ,( ) ). B    Î Ç Î Ç X X ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' z n n n n nz z z z w m m m m mw w w w f z w f z w z w A E E G f z w f z w z w A B E D E (2.30) Từ (2.22) -(2.24) và (2.29)- (2.30) có thể kiểm tra được  ( , ) ( , ), ( , ) .  ¢ ¢ Îz n mwf z w f z w z w A B Vì thế ta có thể định nghĩa một hàm mới  f trên ( , ; , )   A B D GX như sau:    ( , ), ( , ) , ( , ) : ( , ), ( , ) .             'z n w n f z w z w A G f z w f z w z w D B¢ (2.31) trên trên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 Áp dụng định lý 2.1 suy ra hàm   0( , ; , )    Î XOf A B D G( )sao cho  ( , ) ( , ), ( , ) ( , ; , )      Î Xf z w f z w z w A B D G (2.32) Bằng cách dán các ánh xạ  1 0 2  < < ( )f lại với nhau để có ánh xạ sau    0 lim : .       f W f f W o (2.33) Sử dụng đồng nhất thức đầu tiên trong (2.27) và (2.29)- (2.32) suy ra giới hạn trong (2.33) là tồn tại. Hơn nữa  f f trên W và   ( ) ( )Î ÇC Of W W o. Vậy định lý đã được chứng minh. 2.3. Bài toán 1 trong trƣờng hợp tổng quát. Trong phần 2.1 và 2.2 chúng ta đã giải quyết được bài toán 1 trong một số trường hợp riêng biệt nhưng rất quan trọng. Những kết quả này cho chúng ta hy vọng rằng có thể giải quyết được bài toán 1 trong trường hợp tổng quát. Mục đích chính của phần này là chứng tỏ suy luận trên. Kết quả chính là định lý sau: Định lý 2.3.1 Cho , X Y là hai đa tạp phức, ,  D X G Y là hai tập mở, A (tương ứng B ) là tập con của D (tương ứngG ),D (tương ứngG ) được trang bị với một hệ các miền xấp xỉ , ( )  D I A( ) z a z a z (tương ứng , ( )  G I A( ) h b h b h . Giả sử ( , , ) 1 <w A D trên D và ( , , ) 1 <w B G trên G . Cho Z là không gian giải tích phức có tính chất thác triển Hartogs. Khi đó với mỗi ánh xạ : f W Z thoả mãn các điều kiện sau: • ( , ) ( , )s s oÎ ÇC Of W Z W Z ; • f bị chặn địa phương dọc theo ( , ; , ) Ç ÇA D B G D GX ; • A Bf½ liên tục tại tất cả các điểm của ( ) ( )  Ç ÇA D B G . trên trên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 thì tồn tại một ánh xạ duy nhất   ,Î Of W Z nhận A - giới hạn ( , )f z h tại mọi điểm ( , )z h Î ÇW W . Định ký 2.3.1 có một hệ quả quan trọng, trước khi nói đến hệ quả này ta cần giới thiệu một thuật ngữ. Một đa tạp phức M được gọi là một đa tạp Liouville nếu ( )P SH M không chứa bất kỳ một hàm bị chặn trên khác hằng nào. Ta thấy lớp các đa tạp Liouville chứa lớp các đa tạp compact liên thông. Hệ quả 2.3.2. Chúng ta giữ nguyên giả thiết và ký hiệu như trong định lý 2.3.1. Giả sử rằng G là một đa tạp Liouville. Khi đó với mỗi ánh xạ : f W Z thoả mãn các điều kiện sau: • ( , ) ( , )Î ÇC O oS Sf W Z W Z ; • f bị chặn địa phương dọc theo ( , ; , ) Ç ÇA D B G D GX ; • ½A Bf là hàm liên tục tại tất cả các điểm của ( ) ( )  Ç ÇA D B G , thì tồn tại một ánh xạ duy nhất   ,Î Of D G Z nhận A - giới hạn ( , )f z h tại mọi điểm ( , )z h Î ÇW W. Hệ quả 1 được suy ra từ định lý 2.3.1 khi ( , , ) 0 B Gw . Để chứng mịnh định lý 2.3.1 ta cần đưa ra định nghĩa và chứng minh các mệnh đề sau. Định nghĩa: Cho D là một tập mở bị chặn trong  n , 0,   ÎA D z D và 0 > .Cho A là một hệ các miền xấp xỉ của D . Giả sử A là đa chính quy địa phương (tương đối với A ) và ( , , ) 1 A D <w trên D . Khi đó tồn tại một ánh xạ bị chặn ( , )  nEOf và một tập con đếm được 0 EG với các tính chất sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 1) Mỗi điểm của 0G là một điểm trù mật của 0G , 0(0)  zf , ( )E Df ,  0 : ( ) , z f zG Î ÎE A và 0 0 1 1 .mes( ) ( , , ) . 2  z A DG < w 2) Cho ( , ) ( , ) C OD A D¦ Î È Ç sao cho ( )f D bị chặn, thì tồn tại một hàm bị chặn ( , )Î Og E sao cho  g f f trong một lân cận của 0 EÎ và ( ) ( )( ) g fz f z với mọi 0z Î G . Hơn nữa 0 0 ( , )G½Î GCg . Khi đó mỗi cặp 0( )Gf , được gọi là  - candidate của bộ ba 0( , , ).z A D Mệnh đề 2.3.3. Cho D là một tập mở bị chặn trong  n , 0,   ÎA D z D và 0 > .Cho A là một hệ các miền xấp xỉ của D . Giả sử A là đa chính quy địa phương (tương đối với A ) và ( , , ) 1 A D <w trên D . Khi đó tồn tại một ánh xạ bị chặn ( , )  nEOf và một tập con đếm được 0 EG với các tính ch