Luận văn Một số vấn đề về thác triển chỉnh hình của hàm nhiều biến phức

    Từ định lý 2.2.3 và 2.2.5 có kết quả sau: 18 Định lý 2.2.7 Giả sử Ω là R-miền liên thông chứa 0 và Ω là một R-miền lồi loga nhỏ nhất chứa nó. Khi đó mọi hàm thuộc ( )H Ω có thể được mở rộng thành hàm thuộc ( )H Ω . Chứng minh: Vì một hàm chỉnh hình trên một miền Reinhardt chứa 0 được biểu diễn qua một chuỗi lũy thừa nên hàm có thể mở rộng chỉnh hình trên tập hợp các điểm mà chuỗi lũy thừa hội tụ. Những điểm trước tiên được bổ sung vào miền Ω ban đầu là những điểm z sao cho j jz w j≤ ∀ với w∈Ω nào đó, sau đó là những điểm z mà có 1 2,w w ∈Ω sao cho 1 2log log (1 ) logj j jz w wλ λ= + − với mọi j n≤ , với mọi [0,1]λ∈ . 2.3. Định lý Hartogs về sự thác triển Bổ đề 2.3.1 Giả sử 1 ... mL L L= × × với : ( )L tµ µ µζ ζ= là đường cong đo được trong µζ - mặt phẳng 1,..., mµ = ; D là miền trong m . Nếu hàm ( , )g zζ liên tục trên L D× , chỉnh hình theo 1( ,..., )mz z z= trong D với 1( ,..., )m Lζ ζ ζ= ∈ tùy ý và có các đạo hàm riêng liên tục g zν ∂ ∂ trên L D× thì tích phân 1 1( ) ... ( , ) ( , ) m m L L L G z d g z d g z dζ ζ ζ ζ ζ= =∫ ∫ ∫ chỉnh hình theo z trong D và ( , ) ( =1,...,n) L G g z d z zν ν ζ ζ ν∂ ∂= ∂ ∂∫ Chứng minh: Đối với z D∈ tùy ý ta chọn r > 0 sao cho đa đĩa ( , )P z r D⊂ ; giả sử h rν < và (0,.., ,..0) nh hν= ∈ là vector mà mọi tọa độ, trừ tọa độ thứ ν , đều bằng 0. Ta có: [ ] 1 0 1 1 ( , )( ) ( ) [ ( , ) ( , )] L L g z hG z h G z g z h g z d d d h h zν ν ν ζ θζ ζ ζ ζ θ∂ ++ − = + − = ∂∫ ∫ ∫ 19 và do đó [ ] 1 1 0 0 1 ( , ) ( , ) ( , )( ) ( ) L g z g z h g zG z h G z d d d h z z zν ν ν ν ζ ζ θ ζζ ζ θ  ∂ ∂ + ∂ + − − = −  ∂ ∂ ∂  ∫ ∫ ∫ (2.3.1) Vì rằng ( , )g z h zν ζ θ∂ + ∂ , với z cố định, liên tục đều trên tập compact [ ]0;1L× nên đối với 0ε > tùy ý, có thể chọn 0δ > đủ nhỏ, sao cho với mọi [ ]( , ) 0,1Lζ θ ∈ × với h δ< ta có ( , ) ( , )g z h g z z zν ν ζ θ ζ ε∂ + ∂− < ∂ ∂ Vì thế, bằng cách đánh giá liên tiếp các tích phân trong vế phải của (2.3.1) ta có [ ] 1 1 0 1 ( , )( ) ( ) ... m g zG z h G z d L L h zν ν ζ ζ ε∂+ − − ≤ ∂∫ với h δ< . Như vậy, tại mọi điểm z D∈ , mọi đạo hàm riêng G zν ∂ ∂ tồn tại. Định lý 2.3.2 Cho các miền 1' nD −⊂  và nD ⊂  . Khi đó mọi hàm f chỉnh hình trong lân cận của tập { }(' ) ( ' )on nM D D z D= ×∂ ∪ × trong đó ' 'oz D∈ , đều có thác triển chỉnh hình vào miền D = ' nD D× Chứng minh: Không giảm tính tổng quát, có thể xem rằng nD bị giới hạn bởi hữu hạn đường cong trơn. Hàm  (' , )1( ) 2 n n n n nD f zf z d i z ζ ζ π ζ∂ = −∫ chỉnh hình trong miền D = ' nD D× . Thật vậy, khi n nDζ ∈∂ và ' 'z D∈ ; điểm (' , )nz Mζ ∈ và do đó (' , )nf z z chỉnh hình theo 1( ,..., )mz z z= trong D. Theo bổ đề 2.3.1 hàm f chỉnh hình theo 1( ,..., )mz z z= trong D đối với ' 'z D∈ , n nz D∉∂ tùy ý. Mặt khác, với ' 'z D∈ tùy ý, hàm f (xem như tích phân loại Cauchy) chỉnh hình đối với n nz D∈ . Nhưng với z 20 thuộc lân cận nào đó của tập { }' o nz D× , hàm f chỉnh hình theo giả thiết và với những z đó theo công thức tích phân Cauchy đối với hàm một biến nz là: (' , )1( ) 2 n n n n nD f zf z d i z ζ ζ π ζ∂ = −∫ Như vậy đối với những z thuộc lân cận này ( ) ( )f z f z= và theo định lý duy nhất đối với hàm nhiều biến f f≡ khắp nơi mà f chỉnh hình. Nhưng  ( )f H D∈ và do đó nó là thác triển chỉnh hình cần tìm của f. *Nhận xét : Từ chứng minh ta thấy điều kiện định lý Hartogs có thể giảm đi, chỉ đòi hỏi rằng a) f chỉnh hình trong lân cận tập { }' o nz D× b) f liên tục theo nz và chỉnh hình theo ' z trên tập ' nD D×∂ Định nghĩa 2.3.3 Cho D là miền trong n . Tập hợp M⊂D được gọi là tập mỏng nếu với mọi z D∈ tồn tại lân cận zU D⊂ và một hàm chỉnh hình ϕ , ϕ ≡ 0 và bằng 0 tại mọi điểm của zM U∩ Nhận xét rằng tập mỏng không thể có điểm trong, nó không đâu trù mật trong D. Phần bù của một tập mỏng trong D là tập liên thông. Định lý 2.3.4 Giả sử M là tập mỏng trong miền nD ⊂  và hàm f chỉnh hình trong D \ M. Nếu f bị chặn địa phương thì nó được thác triển được một cách duy nhất thành hàm f chỉnh hình trong D. 21 Chứng minh: Vì D \ M liên thông nên sự thác triển là duy nhất. Ta chỉ cần chứng minh tính thác triển chỉnh hình của hàm f qua điểm bất kỳ a M∈ mà không mất tính tổng quát, có thể xem a = 0. Do M là tập mỏng nên tồn tại lân cận 0U D⊂ và môt hàm chỉnh hình ϕ , ϕ ≡ 0 và bằng 0 tại mọi điểm của 0M U∩ . Nếu cần, thực hiện một phép biến đổi tuyến tính, ta có ϕ thỏa mãn điều kiện (' ,0) 0zϕ ≠ , trong đó 1 1' ( ,..., )nz z z −= . Với 0nρ > đủ nhỏ hàm ('0, ) 0nzϕ ≠ trên đường tròn { }n nz ρ= , vì thế các số νρ ( 1,..., 1nν = − ) có thể lấy đủ nhỏ, sao cho (' , ) 0nz zϕ ≠ với mọi { }' ' : 1,..., 1z V z nν νρ ν∈ = ≤ = − và mọi n nz D∈∂ , ở đây { }:n nD w w ρ= ∈ < . Từ đó suy ra rằng, các điểm (' , )nz z trong đó ' 'z V∈ , còn n nz D∈∂ , không thuộc tập M, tức là f chỉnh hình trong lân cận ' nV D×∂ . Mặt khác, với ' 'oz V∈ cố định tùy ý, hàm (' , )o nz zϕ có hữu hạn không điểm trong hình tròn { }n n nD z ρ= ≤ tức là (' , ) o nf z z có trong nD hữu hạn điểm kỳ dị. Vì theo giả thiết f bị chặn trong nD nên các điểm kỳ dị là các điểm kỳ dị bỏ được, nghĩa là (' , )o nf z z thác triển được thành hàm chỉnh hình trong nD . Hàm thác triển f chỉnh hình trong lân cận tập ( ) ('0 )n nV D D×∂ ∪ × và theo định lý 2.3.2 chỉnh hình trong đa đĩa ' nV V D= × . Định lý 2.3.5 Nếu hàm f liên tục trong miền nD ⊂  và chỉnh hình khắp nơi trong D, trừ ra một tập M nằm trên mặt trơn 2n -1 chiều S thì nó chỉnh hình trong miền D. Chứng minh: Giả sử trong lân cận U của điểm 0 M∈ , mặt S biểu diễn bởi phương trình (' , )n ny z xϕ= , trong đó ϕ là hàm thực trơn. Vì ('0,0) 0ϕ = nên theo tính liên tục, với 0β > nhỏ tùy ý, tìm được lân cận 'V của điểm ‘0 và số 0α > sao cho (' , )nz xϕ β< với mọi ' 'z V∈ và nx α< . Vì thế f chỉnh hình trong { }' ,n nV x yα γ× , γ đủ nhỏ. Mặt khác, với ' 'oz V∈ cố định, hàm 22 (' , )o nf z z chỉnh hình theo nz trong hình chữ nhật { },n n nD x yα γ= < < khắp nơi, trừ đường cong trơn (' , )on ny z xϕ= và liên tục trong nD . Từ đó suy ra tính chỉnh hình của (' , )o nf z z trong nD . Theo định lý 2.3.2 ta kết luận f chỉnh hình trong ' nV D× . 23 Chương 3 : MIỀN CHỈNH HÌNH Ở chương 2, qua các định lý 2.2.7 , 2.3.2 chúng ta đưa ra các ví dụ về các tập mở  ≠ Ω⊂Ω sao cho mọi ( )u H∈ Ω đều có thể thác triển đến một hàm thuộc ( )H Ω . Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu sâu hơn vấn đề này qua việc nghiên cứu các miền chỉnh hình. Mục 3.1 trình bày khái niệm miền chỉnh hình, sự liên hệ của miền chỉnh hình với các điểm biên của nó và một số ví dụ về miền chỉnh hình. Mục 3.2 dành cho việc mở rộng khái niệm bao lồi hình học đến khái niệm bao F- lồi với F là họ các hàm phức (hoặc thực) xác định trên một miền. Đặc biệt khi nghiên cứu trường hợp F là họ các hàm chỉnh hình, ta chứng minh được các miền lồi chỉnh hình chính là các miền chỉnh hình. Nội dung chính của mục này là nêu đặc trưng của miền chỉnh hình (định lý 3.2.15) và một số tính chất của nó (các hệ quả 3.2.16, 3.2.17, định lý 3.2.19). Mục 3.3 trình bày về tính giả lồi, một cách giải thích khác khái niệm lồi chỉnh hình. Mục này chỉ ra mọi miền chỉnh hình đều là miền giả lồi (định lý 3.3.2) và nêu đặc trưng của miền giả lồi (định lý 3.3.10). 3.1. Khái niệm miền chỉnh hình Định nghĩa 3.1.1 Miền nD ⊂  được gọi là miền chỉnh hình của hàm f nếu f chỉnh hình trong D và không thác triển chỉnh hình được tới một miền lớn hơn, nói cách khác, đối với điểm tùy ý oz D∈ , hàm f chỉnh hình trong đa đĩa lớn nhất ( , )oP z r D⊂ , r = (r,...,r) và không thác triển chỉnh hình được vào bất kỳ đa đĩa nào ( , ')oP z r , 'r r> , r’ = (r’,...,r’) . Một miền được gọi là miền chỉnh hình nếu nó là miền chỉnh hình của hàm nào đó. Miền G, chứa thực sự miền , 1nD n⊂ > , được gọi là mở rộng chỉnh hình của miền D, nếu mọi ( )f H D∈ thác triển được thành hàm chỉnh hình trong G. 24 Mệnh đề 3.1.2 Nếu G là mở rộng chỉnh hình của miền D thì thác triển của hàm ( )f H D∈ tùy ý có thể nhận trong G \ D chỉ các giá trị mà f nhận trong D. Chứng minh: Giả sử ngược lại, hàm f ∈H(D) nhận giá trị ow nào đó trong G \ D nhưng không nhận giá trị ow trong D. Khi đó hàm 1( ) ( ) o g z f z w = − chỉnh hình trong D, nhưng không thác triển chỉnh hình được vào G, bởi vì tại điểm nào đó của G\D, nó trở thành vô cùng, mâu thuẩn với định nghĩa 3.1.1. Hệ quả 3.1.3 Mở rộng chỉnh hình G của miền bị chặn nD ⊂  cũng là miền bị chặn. Chứng minh: Theo định lí 3.1.4, hàm ( )f z zν ν= ( zν là tọa độ của z ) nhận các giá trị trong G\D cùng các giá trị như trong D, ta có \ sup ( ) sup ( ) z G z G D f z f zν ν ∈ ∈ = ( 1,..., )nν = , tức là \ sup sup z G z G D z zν ν ∈ ∈ = ( 1,..., )nν = . Vì D bị chặn nên vế phải hữu hạn, do đó vế trái cũng hữu hạn, suy ra G bị chặn. Đặc trưng của miền chỉnh hình liên quan chặt chẽ với điểm biên của nó. Ta đưa ra khái niệm sau: Định nghĩa 3.1.4 Ta nói tại điểm biên ζ của miền D n⊂  tồn tại một chướng ngại (đối với việc mở rộng chỉnh hình), nếu với mọi tập tùy ý K D , tồn tại hàm ( )g H D∈ sao cho sup ( ) 1 K z K g g z ∈ = ≤ nhưng sup ( ) 1 z U D g z ∈ ∩ > đối với mọi lân cận U của ζ . *Nhận xét : i/ Nếu tồn tại hàm f ∈H(D) sao cho ( )( ) zf z ν ζν →→∞ , với dãy ( )zν nào đó trong D thì tại ζ có chướng ngại. 25 Thật vậy, đối với K compact tùy ý trong D lấy ( )( ) K f zg z f = thì rõ ràng g(z) thỏa các điều kiện của định nghĩa 3.1.6 ii/ Mọi điểm biên của miền D trong  đều có chướng ngại. Thật vậy, ta chỉ cần chọn 1( )f z z ζ = − đối với mọi Dζ ∈∂ Định lý 3.1.5 Cho D là miền trong n . Nếu trên tập đếm được trù mật của D∂ tồn tại chướng ngại. Khi đó D là miền chỉnh hình. Chứng minh: Gọi B là tập các điểm đếm được trù mật của D∂ mà tại điểm đó tồn tại chướng ngại. Ta xây dựng dãy ( )νζ D⊂ ∂ thành lập từ các điểm của B sao cho mọi điểm của nó được gặp trong dãy vô hạn lần (chẳng hạn nếu B là tập hợp các điểm 1 2, ,..., ,...pω ω ω thì ta có thể lập dãy ( )νζ như sau 1 1 2 2 3 1, , ,ζ ω ζ ω ζ ω= = = 4 2 ,ζ ω= 5 3 6 1 7 2 8 3 9 4, , , , ...ζ ω ζ ω ζ ω ζ ω ζ ω= = = = = ). Sau đây ta xây dựng theo quy nạp dãy ( )zν D⊂ sao cho 0zν νζ− → và ( )f zν →∞ khi ν →∞ a) Dựng một dãy vét cạn compact của miền D, tức là xây dựng các dãy tăng các tập đóng 1 2 ..R R⊂ ⊂ .sao cho 1 k k R ∞ =  = D, chẳng hạn có thể lấy: { } 1: ( , )nR z D z n z D nρ  = ∈ ∩ ≤ ∂ ≥    b) Xét dãy số tự nhiên pν ↑ ∞ đặt pK R νν = , 1ν∀ ≥ ta xây dựng dãy điểm ( )zν 1 \K Kν ν+⊂ : 1zν νζ ν− < , dãy hàm ( )f O Dν ∈ sao cho 1Kf νν < nhưng ( ) 1f zνν > , 1ν∀ ≥ Điều này có thể làm được bằng cách sau: với 1ν = lấy 1 1K R= , do 1ξ là điểm tại đó có chướng ngại nên tồn tại hàm 1 ( )f H D∈ và 1 1\z D K∈ sao cho 1 1 1z ζ− < , 26 1 1 1Kf < , 1 1( ) 1f z > . Sau đó chọn 22 pK R= sao cho 1 2z K∈ (do điều kiện vét cạn). Giả sử cách xây dựng trên đúng với 1ν − . Do νξ là điểm tại đó có chướng ngại tồn tại hàm ( )f H Dν ∈ và \z D K ν ν∈ sao cho 1zν νζ ν − < , tại đó 1 K f ν ν . ( Kν đã xây dựng ở bước 1ν − ). Lấy 1 1K Rν ν+ += sao cho 1z K ν ν +∈ Để ý rằng do ( ) 1f zνν > nên ta có thể chọn dãy số tự nhiên qν (bắt đầu từ 1 1q = ) sao cho có bất đẳng thức 1 2 2 1 1 1( ) ( ) ( 2) q q f z f zµ ν µ µ µ µ ν ν µ µ µ ν − = ≥ + ≥∑ . Xét chuỗi { }2 1 1( ) ( ) qf z f z νν ν ν ∞ = =∑ . Do 1Kf νν < , ν µ∀ ≥ chuỗi này hội tụ đều trên Kν . Vì { }Kν là dãy vét cạn các tập compact trong D nên tổng f của chuỗi này chỉnh hình trên D (Hệ quả 1.2.8). Mặt khác từ ( )f zµ ≥ 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( 2) q q f z f zµ ν µ µ µ µ ν ν ν µ ν µ µ µ µ ν ν ν − ∞ ∞ = = + = + − − ≥ − ≥∑ ∑ ∑ Từ đó suy ra ( )f zµ →∞ khi µ → +∞ . Nếu hàm f không bị chặn trên B thì hàm f sẽ không bị chặn trong D∂ . Vậy D là miền chỉnh hình. *Ví dụ : Hình cầu là một miền chỉnh hình. Thật vậy, tại mỗi điểm ζ của biên hình cầu B = { } nz R< ⊂  tồn tại chướng ngại, vì tồn tại hàm 2 1 1( ) n v f z R zν ν ζ = = −∑ không bị chặn tại ζ . Ví dụ trên được mở rộng thành định lý sau: Định lý 3.1.6 Nếu Ω là miền lồi (hình học) thì Ω là miền chỉnh hình. 27 Chứng minh: Giả sử P∈∂Ω . Lấy ( )1,.., nna a ∈ là pháp vector đơn vị ngoài của Ω tại P . Không gian tiếp xúc thực của ∂Ω tại P là 1 : Re ( ) 0 n j j j j z z P a =    − =       ∑ . Khi đó hàm ( ) 1 1( )P n j j j j f z z P a = = −∑ là hàm chỉnh hình trong Ω và không thể thác triển chỉnh hình qua P. Điều kiện lồi chỉ là điều kiện đủ không là điều kiện cần đối với miền chỉnh hình. Chẳng hạn ta xét định lý sau: Định lý 3.1.7 Nếu zD là miền chỉnh hình trong không gian ( )n z và wD là miền chỉnh hình trong không gian ( )m w thì tích z wD D× là miền chỉnh hình trong không gian ( , )n m z w+ . Chứng minh: Ta lấy hàm ( ) ( )zf z H D∈ không thể thác triển vào miền rộng hơn, tương tự lấy hàm ( ) ( )wg w H D∈ không thể thác triển vào miền rộng hơn. Khi đó lấy hàm ( ) ( ) ( )z wf z g w H D D∈ × và không thác triển được ra miền rộng hơn z wD D× . Vì trong  mọi miền là miền chỉnh hình mà miền đa tròn là tích các miền phẳng nên ta có Hệ quả 3.1.8 Miền đa tròn tùy ý trong n là miền chỉnh hình. Đặc biệt, tích D của hai miền phẳng 1D và 2D , trong đó có ít nhất một trong hai miền là không lồi, là miền chỉnh hình, mặc dù D là không lồi. Trong mục tiếp theo ta đưa vào khái niệm suy rộng về tính lồi, ít trực quan hơn so với tính lồi thông thường, nhưng lại cho điều kiện cần và đủ để một miền là miền chỉnh hình. 28 3.2. Tính lồi chỉnh hình Bao lồi thông thường (hình học) của tập nM ⊂  có thể được mô tả như tập  { }: ( ) sup ( ) o n o z M M z z zλ λ λ ∈ = ∈ ≤ ∀ với λ là hàm tuyến tính phức 2 1 ( ) ( ) n oz xν ν ν ν λ α α α = = + ∈∑  Ta mở rộng khái niệm này bằng cách mở rộng nó lên họ tùy ý các hàm (thực hoặc phức) xác định trên miền nD ⊂  . Định nghĩa 3.2.1 Cho D là miền trong n , M là tập con của D và F là họ các hàm phức (hoặc thực) xác định trên D. Bao F - lồi của tập M trong D là tập hợp  { }: ( ) sup ( ) o oF z M M z D f z f z f F ∈ = ∈ ≤ ∀ ∈ (3.2.1) Miền D được gọi là F – lồi, nếu đối với tập K tùy ý compact trong D, bao F – lồi của K cũng là tập compact trong D. *Nhận xét : Định nghĩa dạng (3.2.1) cho phép thiết lập tính F – lồi của một miền mà không ra ngoài giới hạn của miền đó. Điều này rất quan trọng khi F chỉ bao gồm các hàm chỉ xác định trong miền D. Khi F là họ hàm tuyến tính thì tính F – lồi trùng với tính lồi thông thường (hình học). Khi F là họ hàm chỉnh hình trên D thì tính F – lồi là tính lồi chỉnh hình. Khi F là họ hàm đa thức trên D thì tính F – lồi là tính lồi đa thức. Ký hiệu bao lồi đa thức, bao lồi chỉnh hình lần lượt là PM ,HM . Nhận xét rằng lớp F càng rộng thì bất đẳng thức (3.2.1) đòi hỏi đúng với số hàm càng lớn, vì thế bao F – lồi càng nhỏ và do đó lớp miền F – lồi càng rộng. Đặc biệt, ta luôn có:   H pM M M M⊂ ⊂ ⊂ và mọi miền lồi là lồi đa thức, mọi miền lồi đa thức là lồi chỉnh hình. 29 Ta minh họa bao hàm thức trên trong trường hợp phẳng ( n = 1). Miền D ⊂  là miền lồi chỉnh hình, miền lồi đa thức là các miền với phần bù là tập liên thông trong ∞ . ( ∞ =  { }∪ ∞ là mặt phẳng phức mở rộng ). Một cách hình ảnh, việc chuyển đến bao lồi đa thức của một miền phẳng dẫn đến việc dán kín các “lỗ thủng”, còn khi chuyển đến bao lồi hình học ta dán các “chỗ hõm” gần biên. Trong phần tiếp theo ta xét ( )F H⊂ Ω với Ω là tập mở trong n . Nếu K là tập con compact của Ω thì ta ký hiệu Ω -bao chỉnh hình ( hay ( )H Ω -bao) của K là:  ( ){ }: sup f ( ) K K z f z f HΩ = ∈Ω ≤ ∀ ∈ Ω Bổ đề 3.2.2 KΩ là tập bị chặn (ngay cả khi Ω không bị chặn) Chứng minh: Tập K bị chặn ⇔ các hàm chỉnh hình 1 1( ) ,..., ( )n nf z z f z z≡ ≡ bị chặn trên K⇔ 1,..., nf f bị chặn trên KΩ ⇔ KΩ bị chặn. Bổ đề 3.2.3  K KΩ ⊂ Chứng minh: Giả sử { }0 ,: Re , 0 ozK z z z H ςς⊂ − ≤ = với , j j j z zς ς=∑ . Trong các hàm chỉnh hình, ta xét các hàm nguyên 0 ,( ) z zf z e ς−= , khi đó theo định nghĩa Ω -bao chỉnh hình ta có  0 0, Re ,sup sup 1z z z z KK e eς ς Ω − − ≤ ≤ Suy ra  ,oz K H ςΩ ⊂ . Vì K là giao của các nửa không gian ,oz H ς nên  K KΩ ⊂ . 30 Định lý 3.2.4 Cho nΩ⊂  là một tập mở , ( )F H⊂ Ω là họ các hàm chỉnh hình xác định trên Ω . Khi đó nếu Ω là F- lồi thì tồn tại một hàm h F∈ không thể thác triển chỉnh hình qua mọi điểm thuộc ∂Ω . Chứng minh: Chọn một dãy trù mật { } 1j j w ∞ = ⊂ Ω sao cho mọi điểm của nó được gặp trong dãy vô hạn lần. Với mỗi j, lấy jD là đa đĩa lớn nhất ( , )jP w r nằm trong Ω . Dựng một dãy vét cạn compact của miền D, tức là xây dựng các dãy tăng các tập 1 2 3..K K K  .sao cho 1 j j K ∞ =  =Ω Với mỗi j, theo giả thiết ( )j F K Ω . Do đó tồn tại \j jz D∈ ( )j F K . Điều này có nghĩa là có thể chọn jh F∈ sao cho ( ) 1j jh z = nhưng 1jj Kh < . Bằng cách thay jh bới j M jh đủ lớn ta có thể giả sử ( ) 1j jh z = và 1 2jj jK h < . Ta có thể chọn jh không đồng nhất bằng 1 trên mọi thành phần liên thông của Ω . Viết 1 (1 ) jj j h h ∞ = = −∏ Do 2 jj j∑ hội tụ nên tích trên hội tụ đều trên mỗi jK và do đó hội tụ chuẩn tắc trên Ω , và hàm giới hạn ( )h H∈ Ω không đồng nhất bằng 0 trong mỗi thành phần liên thông của Ω . Do sự lựa chọn các điểm jw mỗi jD chứa vô hạn phần tử lz và do đó chứa các phần tử mà mọi đạo hàm của h với cấp tùy ý triệt tiêu tại jz . Một thác triển chỉnh hình của h đến một lân cận w∈∂Ω là một thác triển đến một lân cận của jD nào đó và do đó h có không điểm cấp vô hạn. Điều này dẫn đến 0h ≡ trên jD , mâu thuẩn. Vậy định lý được chứng minh. 31 Định nghĩa 3.2.5 Cho nΩ⊂  là một tập mở. Ta nói rằng điểm τ ∈∂Ω là điểm chính quy nếu tồn tại một hàm ( )h H∈ Ω mà không thể thác triển chỉnh hình qua τ , nghĩa là không thể xảy ra việc : tìm được 1 2,Ω Ω với 2Ω là lân cận liên thông của τ , 1Ω là tập mở khác rỗng thỏa 1 2Ω ⊂ Ω ∩Ω và hàm 2 2( )h H∈ Ω sao cho 2h h= trên 1Ω . Hệ quả 3.2.6 Nếu Ω là F- lồi thì mỗi điểm τ ∈∂Ω là điểm chính quy. Hệ quả 3.2.7 Nếu D là miền lồi chỉnh hình thì D là miền chỉnh hình. Để nhận được các điều kiện cần đối với các miền chỉnh hình, cần đặt cho F những điều kiện phụ. Định nghĩa 3.2.8 Ta nói rằng họ hàm F ổn định đối với hệ thức vi phân, ngắn gọn hơn F là d - ổn định, nếu F chứa hàm f tùy ý cùng với các đạo hàm k k f z ∂ ∂ tùy ý của nó . *Ví dụ : Lớp các hàm chỉnh hình là lớp d – ổn định. Định lý 3.2.9 Giả sử D là miền trong n và K là tập compact trong D. oz thuộc bao lồi của K đối với lớp d – ổn định F. Khi đó nếu hàm f F∈ thì f thác triển chỉnh hình được vào đa đĩa 0( , )P z r với ( , )r d K D= ∂ . Chứng minh: Vì oz D∈ nên trong lân cận oz , hàm f F∈ được biểu diễn bởi chuỗi Taylor: 0 ( ) ( )o kk k f z c z z ∞ = = −∑ trong đó 1 ! o k k k z fc k z ∂ = ∂ . Nhưng vì o Fz K∈ và F là d - ổn định nên: oz k k k k K f f z z ∂ ∂ ≤ ∂ ∂ 32 tức là để đánh giá đạo hàm tại oz ta cần đánh giá đạo hàm trên K. Chọn số 1r r< . Ký hiệu 1( )rK = 1( , ) z K P z r ∈  và gọi nó là 1r - mở rộng của K. Vì 1( )rK D⊂ nên f bị chặn trên 1( )rK , ta ký hiệu: ( )11 1( ) rKM r f= Nếu z∈K thì 1( )1( , ) r P z r K⊂ , sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 1 1 ( )1 ! k k k k K M rfc k z r ∂ = ≤ ∂ Bây giờ ta lấy số 2 1r r< tùy ý, đối với z tùy ý thuộc 0 2( , )P z r có 2 1 1 1 ( ) ( ) k o k k rc z z M r r   − ≤     Suy ra chuỗi 0 ( )o kk k c z z ∞ = −∑ hội tụ trong đa đĩa 2( , )oP z r . Vì các số 1 2,r r có thể chọn gần r tùy ý nên chuỗi hội tụ khắp nơi trong ( , )oP z r . Chuỗi này cho thác triển chỉnh hình cần tìm của f. Định lý 3.2.10 Nếu nD ⊂  là miền chỉnh hình của hàm f nào đó thuộc lớp d – ổn định F thì D là miền F- lồi. Chứng minh: Ta lấy tập K compact tùy ý trong D, ký hiệu ( , )r d K D= ∂ . Theo định lý 3.2.9 , hàm f thác triển được vào  ( )r FK , mà theo giả thiết f không thể thác triển được ra ngoài D nên  ( )r FK ⊂ D, nghĩa là FK compact trong D. Do họ hàm chỉnh hình trên D thuộc lớp d - ổn định nên miền chỉnh hình tùy ý là miền lồi chỉnh hình. Kết hợp nhận xét này với hệ quả 3.2.7, ta có: 33 Định lý 3.2.11 D n⊂  là miền lồi chỉnh hình khi và chỉ khi D là miền chỉnh hình. ♦Cho D là đa đĩa mở tâm tại 0, đặt { }{ }( ) sup :D z r z rDΩ∆ = + ⊂ Ω , ta có bổ đề sau: Bổ đề 3.2.12 Cho ( )f H∈ Ω , giả sử rằng ( )f z ≤ ( )D zΩ∆ z K∈ và Kς Ω∈ . Nếu ( )u H∈ Ω thì khai triển chuỗi lũy thừa của u tại ς ( ) ( ) ! u z α α α ς ς α ∂ −∑ (3.2.2) hội tụ khi z thuộc đa đĩa { } ( )f Dς ς+ Chứng minh: Giả sử { }: , 1,...,j jD z z r j n= < = . Nếu 0 1t< < thì tập hợp { : ( ) , 1,..., ,w j j jS z z w tr f w j n= − ≤ = với w nào đó thuộc }K là tập con compact của Ω , do đó tồn tại M > 0 để ( )u z M≤ trên wS . Từ bất đẳng thức Cauchy ta có: !( ) ( ) Mu w f w t r αα α α α ∂ ≤ w K∈ Vì ( ) ( )u w f w αα∂ cũng là hàm chỉnh hình trong Ω nên khi w KΩ∈ ta có đánh giá giống như trên. Khi w ς= thì chuỗi (3.2.2) hội tụ trong { } ( )f tDς ς+ . Vì 0 1t< < là tùy ý nên có điều phải chứng minh. Định nghĩa 3.2.13 Ta gọi hàm khoảng cách xác định trên n là hàm liên tục không âm : [0, )nδ → ∞ sao cho: i) ( ) 0zδ = khi và chỉ khi 0z = ii) ( ) ( )z zδ λ λ δ= với mọi nz∈ Đặt \ ( ) inf ( ) nw z z wδ δΩ ∈ Ω = −  ta có kết quả sau: 34 Định lý 3.2.14 Cho Ω là miền chỉnh hình. Nếu ( )f H∈ Ω và ( ) ( ), f z z z KδΩ≤ ∈ , với K là tập con compact của Ω thì ( ) ( ), f z z z Kδ ΩΩ≤ ∈ Đặc biệt, khi f là hàm hằng ta có , \ , \ inf ( ) inf ( ) n nz K w z K w z w z wδ δ Ω∈ ∈ Ω ∈ ∈ Ω − = −   Chứng minh: Nếu { }: ( ) 1z zδ < là đa đĩa D, từ bổ đề 3.2.12, khai triển lũy thừa của mọi ( )u H∈ Ω tại điểm Kς Ω∈ hội tụ trong một đa đĩa cố định. Do định nghĩa miền chỉnh hình, đĩa này không thể không chứa trong Ω . Do đó ta có kết quả của định lý. Bây giờ ta viết : ( ) sup{ ;z r z awδΩ = ∈ + ∈Ω nếu nw∈ , ( ) 1wδ ≤ và a∈ , }a r< = ,( ) 1inf ( )ww zδ δΩ≤ với , ( ) sup{ ;w z r z awδΩ = ∈ + ∈Ω nếu }a r< Ta chỉ cần chứng minh khẳng định của định lý đúng với , ( )w zδΩ thay vì ( )zδΩ . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử ( )1,0,...,0w = . Nếu 1 2 1 1: 1, ,...,k nD z z z zk k  = < < <    thì ( )kD zΩ∆  , ( )w zδΩ khi k →∞ , trong đó { }{ }( ) sup :KD Kz r z rDΩ∆ = + ⊂ Ω . Với 0ε > . Ta định nghĩa { }: ( ) (1 ) ( )kDkA z f z zε Ω= ≤ + ∆ khi đó { }kA là một dãy tăng các tập mở. Mặt khác k k K A⊂  , do đó có 0k đủ lớn chứa K. Nói cách khác 0( ) (1 ) ( )kDf z zε Ω≤ + ∆ , z K∈ Do đó theo lập luận như bắt đầu chứng minh 0 ,( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) kD wf ς ε ς ε δ ςΩ Ω≤ + ∆ ≤ + , Kς Ω∈ 35 Cho 0ε +→ ta có ,( ) ( )wf ς δ ςΩ≤ , Kς Ω∈ . Định lý 3.2.15 Cho Ω là một miền trong n , ( )F F= Ω là họ hàm chỉnh hình trong Ω . Các mệnh đề sau tương đương : 1) Ω là miền chỉnh hình 2) Ω lồi đối với họ F 3) Có một hàm h F∈ không thể thác triển chỉnh hình qua điểm bất kỳ P∈∂Ω 4) Mỗi điểm P∈∂Ω là điểm chính quy. 5) Với mọi f F∈ , mọi K Ω và mọi khoảng cách δ , bất đẳng thức ( ) ( ), f z z z KδΩ≤ ∈ , dẫn đến ( ) ( ), f z z z Kδ ΩΩ≤ ∈ 6) Với mọi f F∈ , mọi K Ω và mọi khoảng cách δ  ( ) ( ) sup sup ( ) ( )z K z K f z f z z zδ δΩ∈ ∈Ω Ω = 7) Nếu K Ω và mọi khoảng cách δ thì ( ) ( )FK Kδ δΩ Ω= 8) (7) đúng chỉ với một khoảng cách δ nào đó Chứng minh: 1 2 3 4 8 7 6 5 36 (1) (2)⇔ Áp dụng định lý 3.2.11 (2) (3)⇒ Áp dụng định lý 3.2.4 (3) (4)⇒ Rõ ràng (định nghĩa 3.2.5, hệ quả 3.2.6) (4) (5)⇒ , (5) (6)⇒ Áp dụng định lý 3.2.14 (6) (7)⇒ Áp dụng (6) với 1f ≡ (7) (8)⇒ Rõ ràng (8) (1)⇒ Áp dụng bổ đề 3.2.2 *Nhận xét : Các miền lồi chỉnh hình là các miền mà trong đó việc chuyển từ các tập compact sang bao lồi chỉnh hình của nó không làm giảm khoảng cách đến biên (phép chuyển như vậy có nghĩa là dán các “ lổ thủng” và “eo” các tập con). Hệ quả 3.2.16 Nếu αΩ là miền chỉnh hình với mọi α thuộc tập các chỉ số A thì phần trong Ω của A α α∈ Ω  cũng là miền chỉnh hình. Chứng minh: Vì  K K αΩ Ω⊂ nếu K Ω nên  ( ) ( )K K ααδ δΩ ΩΩ Ω≥ . Do αΩ là miền chỉnh hình cho nên ( ) ( )K Kαα αδ δΩΩ Ω= với mọi Aα ∈ (theo định lý 3.2.15). Suy ra ( ) ( ) ( )K K K α δ δ δΩΩ Ω Ω≥ ≥ Mặt khác do K KΩ⊂ nên ( ) ( )K Kδ δΩΩ Ω≤ , từ đây suy ra ( ) ( )K Kδ δΩΩ Ω= . Theo định lý 3.2.15 ta có Ω là miền chỉnh hình. Hệ quả 3.2.17 Cho Ω là miền Reinhardt liên thông chứa 0. Khi đó các điều kiện sau tương