Luận văn Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học tính diện tích hình phẳng ở lớp 12

iên cũng như cách khắc phục sai lầm của HS. Các câu trả lời có thể quan sát ở câu này là: - TL3a. Kiểm tra tính liên tục: 3.1. GV ưu tiên phương pháp “xét dấu” hoặc “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân”. 77 3.2. Cách khắc phục: Lập luận hàm số 2y x = không liên tục tại 0,x = trên đoạn [–1;1] hình phẳng không khép kín. Do đó 1 2 2 2 2 1 dS x x x x − − = − − +∫ . - TL3b. Đồ thị: 3.1. GV ưu tiên phương pháp “dùng đồ thị”. 3.2. Cách khắc phục: Vẽ đồ thị, dựa vào đồ thị suy ra 1 2 2 2 2 1 dS x x x x − −   = − − +    ∫ . © Câu 4. Đối với dạng bài tập Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của ba hàm số, Thầy/Cô có sử dụng các PHƯƠNG PHÁP dưới đây không? Nếu có, Thầy/Cô vui lòng cho biết SỐ LƯỢNG bài tập định dạy. PHƯƠNG PHÁP SỐ LƯỢNG PP4.1. Vẽ đồ thị rồi dựa vào đồ thị chia hình phẳng thành những hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số. PP4.2. Biến đổi ( )y f x= về dạng ( )x g y= rồi tính theo biến y. PP khác: © Câu 5. Thầy/Cô vui lòng cho biết PHƯƠNG PHÁP mà Thầy/Cô ưu tiên sử dụng để tính diện tích những HÌNH PHẲNG dưới đây. Trong THỰC HÀNH, Thầy/Cô có yêu cầu học sinh tính diện tích những hình phẳng đó không? HÌNH PHẲNG PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH a) { 2 , 2 , 0y x y x y= = − = } b) { , 6 , 0y x y x y= = − = } c) { 2 1 1 11 , , 2 2 y y y x = − = − = } d) { 2 2 , 2, 8 ( 1) y y y x = = = − } e) { 2 , 4 4, 4 4y x y x y x= = − = − − } f) { 2 2 8, , 8 xy x y y x = = = } Mục tiêu của câu 4 và câu 5 là khảo sát xem GV có sử dụng đồ thị để giải quyết kiểu nhiệm vụ T6 hay không. Các hình phẳng được cho ở câu 5 xuất hiện trong SGK 78 và thực tế dạy học của GV-NC mà chúng tôi đã phân tích ở chương II. Đối với câu 5, các câu trả lời có thể quan sát được là: - TL5a. Đồ thị: Chỉ sử dụng đồ thị để tính diện tích các hình phẳng đã cho. - TL5b. Xét tính hiệu quả của phương pháp: Có xem xét sử dụng phương pháp/kĩ thuật “tính theo biến y” trong các trường hợp b) hoặc c) hoặc d). © Câu 6. Đối với dạng bài tập Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, Thầy/Cô có sử dụng các PHƯƠNG PHÁP dưới đây không? Nếu có, Thầy/Cô vui lòng cho biết SỐ LƯỢNG bài tập định dạy. PHƯƠNG PHÁP SỐ LƯỢNG PP6.1. Biến đổi ( )x g y= về dạng ( )y f x= rồi tính theo biến x PP6.2. Tính theo biến y PP khác: © Câu 7. Xét bài toán: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 24 4x y= − và 41x y= − trong miền 0.x ≥ ” Sách giáo viên Giải tích 12 Nâng cao gợi ý giải bài toán trên như sau: Trong thực hành, Thầy/Cô có giải bài toán trên như gợi ý của sách giáo viên hay không? Nếu không, Thầy/Cô vui lòng cho biết lí do. Mục tiêu của câu 6 và câu 7 là khảo sát xem GV có sử dụng đồ thị để giải quyết kiểu nhiệm vụ T7 hay không. Hơn nữa, bài toán đặt ra ở câu 7 cũng chính là bài tập 51b SGK-NC/176 mà chúng tôi đã phân tích ở chương I. Chúng tôi muốn tìm hiểu xem GV có vẽ đồ thị và tính theo biến y như lời giải đề nghị của SGV-NC hay không. 79 © Câu 8. Có ý kiến cho rằng diện tích hình phẳng là một bài toán hình học nên cần phải vẽ đồ thị để biết “mặt mũi” của hình phẳng, nếu không việc tính diện tích hình phẳng chẳng khác nào luyện tập tính tích phân chứa giá trị tuyệt đối. Thầy/Cô vui lòng cho biết quan điểm của Thầy/Cô đối với ý kiến trên. Chúng tôi xây dựng câu 8 với mục tiêu khảo sát ý kiến của GV về tính cần thiết của đồ thị trong việc tính diện tích hình phẳng. Quan điểm đặt ra ở câu 8 thể hiện mong muốn tuyệt đối hóa vai trò của đồ thị trong việc giải quyết bài toán diện tích hình phẳng. Mong muốn này có phần phi thực tế. Do đó, chúng tôi hi vọng nhận được phản hồi của GV, nhằm đưa ra kết luận cuối cùng về các trường hợp nên sử dụng đồ thị để tính diện tích hình phẳng. 3.2. Phân tích hậu nghiệm © Câu 1. Các kiểu nhiệm vụ được dạy trong thực tế: Số phiếu trả lời: GV-C: 26; GV-NC: 20. DẠNG BÀI TẬP SỐ LƯỢNG 0 1-2 3-4 5≥ C NC C NC C NC C NC T1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số (kể cả trục hoành) 0 0% 0 0% 6 23% 2 10% 2 8% 7 35% 18 69% 11 55% T2. Tìm tỉ số diện tích của hai hình phẳng 17 65% 8 40% 8 31% 12 60% 1 4% 0 0% 0 0% 0 0% T3. Tính diện tích đa giác 17 65% 10 50% 5 19% 8 40% 3 12% 1 5% 1 4% 1 5% T4. So sánh diện tích của hai hình phẳng 19 73% 14 70% 6 23% 6 30% 0 0% 0 0% 1 4% 0 0% T5. Tính diện tích hình thang cong bằng giới hạn 21 81% 14 70% 5 19% 6 30% 0 0% 0 0% 0 0% 0 0% T6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của ba hàm số 2 8% 0 0% 14 54% 10 50% 5 19% 3 15% 5 19% 7 35% T7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 8 31% 0 0% 11 42% 16 80% 4 15% 2 10% 3 12% 2 10% T8. Tìm giá trị tham số để diện tích hình phẳng bằng 0S > cho trước 14 54% 5 25% 10 38% 13 65% 2 8% 1 5% 0 0% 1 5% 80 Kết quả thu được đã chỉ ra rằng: Trong thực tế, đa số GV ưu tiên giảng dạy các kiểu nhiệm vụ tính diện tích hình phẳng (T1, T6 và T7). Riêng GV-NC còn dạy thêm hai kiểu nhiệm vụ T8 và T2. Thống kê cho thấy cứ 10 GV-C chỉ có khoảng 4 GV dạy hai kiểu nhiệm vụ T2 và T3, 3 GV dạy kiểu nhiệm vụ T4 và 2 GV dạy kiểu nhiệm vụ T5. © Câu 2. Các kiểu hàm số thuộc kiểu nhiệm vụ T1 và các kĩ thuật được ưu tiên. Đối với GV-C: Số phiếu trả lời: 29. KIỂU HÀM SỐ KHÔNG DẠY KĨ THUẬT KHÁC 13 1ατ 1βτ 1γτ K1. Cả hai hàm số được cho đều liên tục trên một tập xác định liên thông 0 0% 8 28% 10 34% 2 7% 9 31% K2. Một trong hai hàm số được cho gián đoạn tại một điểm x0 với x0 nằm ngoài [a;b] 5 17% 8 28% 11 38% 1 3% 4 14% K3. Một trong hai hàm số được cho gián đoạn tại một điểm x0 với x0 nằm trong [a;b] 15 52% 3 10% 1 3% 9 31% 1 3% K4. Một trong hai hàm số được cho là hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối 2 7% 17 59% 4 14% 3 10% 3 10% K5. Một trong hai hàm số được cho là hàm từng khúc 18 62% 1 3% 1 3% 7 24% 2 7% Đối với GV-NC: Số phiếu trả lời: 22. KIỂU HÀM SỐ KHÔNG DẠY KĨ THUẬT KHÁC 1ατ 1βτ 1γτ K1. Cả hai hàm số được cho đều liên tục trên một tập xác định liên thông 0 0% 11 50% 4 18% 1 5% 6 27% K2. Một trong hai hàm số được cho gián đoạn tại một điểm x0 với x0 nằm ngoài [a;b] 4 18% 10 45% 3 14% 2 9% 3 14% K3. Một trong hai hàm số được cho gián đoạn tại một điểm x0 với x0 nằm trong [a;b] 11 50% 7 32% 0 0% 4 18% 0 K4. Một trong hai hàm số được cho là hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối 3 14% 10 45% 4 18% 4 18% 1 5% K5. Một trong hai hàm số được cho là hàm 11 2 0 9 0 13 GV ghi hai hoặc cả ba kĩ thuật. 81 từng khúc 50% 9% 0% 41% 0% Thống kê cho thấy: Đối với kiểu nhiệm vụ T1, GV-C ưu tiên giảng dạy các kiểu hàm số K1, K2 và K4. Đối với các kiểu hàm số này, GV-C ưu tiên các kĩ thuật đại số, (“đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân” với K1, K2; “xét dấu” với K4). Kĩ thuật “dùng đồ thị” được GV-C ưu tiên sử dụng để xử lí các kiểu hàm số K3 và K5. Tuy nhiên, cứ 10 GV-C chỉ có khoảng 4 GV dạy K3 và 3 GV dạy K5. Giống như GV-C, GV-NC cũng ưu tiên giảng dạy các kiểu hàm số K1, K2 và K4. Để giải quyết các kiểu hàm số này, GV-NC ưu tiên kĩ thuật “xét dấu”. Kĩ thuật “dùng đồ thị” được GV ưu tiên sử dụng để giải quyết các kiểu hàm số K5. Tuy nhiên, chỉ có 50% GV dạy kiểu hàm số K5. Kiểu hàm số K3, cũng chỉ có 50% GV dạy. Nhưng GV ưu tiên kĩ thuật “xét dấu.” © Câu 3. Kĩ thuật được GV ưu tiên và cách khắc phục sai lầm của HS đối với bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x = và 2 2 1.y x x= + − Số phiếu trả lời: GV-C: 29; GV-NC:19. Quan sát câu trả lời của GV, chúng tôi ghi nhận thêm hai câu trả lời mới so với hai câu trả lời dự kiến. Đó là: - TL3c. Đại số - Đồ thị 3.1. GV ưu tiên kĩ thuật “xét dấu” hoặc “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân”. 3.2. Cách khắc phục: Vẽ đồ thị, dựa vào đồ thị suy ra 1 2 2 2 2 1 dS x x x x − −   = − − +    ∫ . - TL3d. Đồ thị - Đại số 3.1. GV ưu tiên kĩ thuật “dùng đồ thị”. 82 3.2. Cách khắc phục: Lập luận hàm số 2y x = không liên tục tại 0,x = từ đó suy ra 1 2 2 2 2 1 dS x x x x − − = − − +∫ . Chúng tôi thống kê câu trả lời của GV theo các câu trả lời có thể có như sau: CÂU TRẢ LỜI GV-C GV-NC TL3a. Đồ thị 24 13 TL3b. Kiểm tra tính liên tục 0 0 TL3c. Đại số - Đồ thị 5 5 TL3d. Đồ thị - Đại số 1 1 Điều này chứng tỏ GV ưu tiên sử dụng đồ thị để giải quyết bài toán đã cho. Kết luận này khá mâu thuẫn với kết luận rút ra từ câu 2, vì hàm số được cho trong bài toán thuộc K3 nhưng GV-NC lại ưu tiên kĩ thuật “dùng đồ thị” thay vì kĩ thuật “xét dấu”. Mặt khác, nó cũng phần nào chứng tỏ “dùng đồ thị” mới là kĩ thuật tối ưu đối với bài toán này nói riêng, và đối với kiểu hàm số K3 nói chung. © Câu 4. Kĩ thuật được ưu tiên để giải quyết kiểu nhiệm vụ T6. Số phiếu trả lời: GV-C: 26; GV-NC: 22. Ở đây, chúng tôi tạm kí hiệu 6 6 , x y n nτ τ lần lượt là số lượng nhiệm vụ được giải quyết bằng kĩ thuật 6 6 .,x yτ τ THỰC TẾ DẠY HỌC GV-C GV-NC Chỉ dạy kĩ thuật 6xτ 11 (42%) 5 (23%) 6 6x y n nτ τ> 10 (39%) 11 (50%) 6 6x y n nτ τ= 4 (15%) 6 (27%) 6 6x y n nτ τ< 1 (4%) 0 (0%) © Câu 5. Kĩ thuật được ưu tiên để giải quyết một số nhiệm vụ cụ thể thuộc kiểu nhiệm vụ T6. 83 Số phiếu trả lời: GV-C: 25, GV-NC: 22, trong đó có 4 GV-C và 3 GV-NC nhầm lẫn giữa các kĩ thuật 6 6,x yτ τ với các kĩ thuật 1 1 1, , .α β γτ τ τ Như vậy, số phiếu trả lời hợp lệ của GV-C là 21 và của GV-NC là 19. Chúng tôi thống kê sơ lược câu trả lời của GV như sau: CÂU TRẢ LỜI GV-C GV-NC Đồ thị 11 (52%) 6 (32%) Xét tính hiệu quả của phương pháp 10 (48%) 13 (68%) Cụ thể hơn, chúng tôi thống kê theo sự ưu tiên các kĩ thuật của GV: Đối với GV-C: HÌNH PHẲNG LÍ THUYẾT THỰC HÀNH 6xτ 6yτ 6xτ 6yτ a) { 2 , 2 , 0y x y x y= = − = } 20 95% 1 5% 16 76% 0 0% b) { , 6 , 0y x y x y= = − = } 16 76% 4 19% 12 57% 1 5% c) { 2 1 1 11 , , 2 2 y y y x = − = − = } 15 71% 2 10% 3 14% 0 0% d) { 2 2 , 2, 8 ( 1) y y y x = = = − } 14 67% 2 10% 2 10% 0 0% e) { 2 , 4 4, 4 4y x y x y x= = − = − − } 17 81% 0 0% 10 48% 0 0% f) { 2 2 8, , 8 xy x y y x = = = } 16 76% 1 5% 9 48% 1 5% Đối với GV-NC: HÌNH PHẲNG LÍ THUYẾT THỰC HÀNH 6xτ 6yτ 6xτ 6yτ a) { 2 , 2 , 0y x y x y= = − = } 18 95% 1 5% 18 95% 1 5% b) { , 6 , 0y x y x y= = − = } 11 58% 7 37% 11 58% 7 37% c) { 2 1 1 11 , , 2 2 y y y x = − = − = } 11 58% 6 32% 2 11% 1 5% 84 d) { 2 2 , 2, 8 ( 1) y y y x = = = − } 9 47% 6 32% 0 0% 2 11% e) { 2 , 4 4, 4 4y x y x y x= = − = − − } 19 100% 0 0% 16 84% 0 0% f) { 2 2 8, , 8 xy x y y x = = = } 16 84% 0 0% 10 53% 0 0% Thống kê cho thấy đa số GV ưu tiên sử dụng đồ thị để giải quyết kiểu nhiệm vụ T6. Cần phải nói thêm rằng, ở chương trình chuẩn, kĩ thuật “tính theo biến y” không được trình bày trong SGK-C nhưng vẫn có 5/26 GV-C chọn dạy kĩ thuật này cho HS. Tuy nhiên, đối với các hình phẳng cụ thể, trong thực hành, chỉ có 1 GV-C sử dụng kĩ thuật “tính theo biến y”. Trong khi đó, GV-NC quan tâm đến tính hiệu quả của kĩ thuật. Chẳng hạn như với hình phẳng { 2 2 , 2, 8 ( 1) y y y x = = = − }, trong thực hành, có 2 GV-NC ưu tiên sử dụng kĩ thuật “tính theo biến y” để tính. © Câu 6. Kĩ thuật được ưu tiên để giải quyết kiểu nhiệm vụ T7. Số phiếu trả lời: GV-C: 26, GV-NC: 21, KIỂU NHIỆM VỤ T7 GV-C GV-NC Không dạy 7 (27%) 0 (0%) Chỉ dạy kĩ thuật 7xτ 0 (0%) 1 (5%) 7 7x y n nτ τ> 5 (19%) 4 (19%) 7 7x y n nτ τ= 8 (31%) 3 (14%) 7 7x y n nτ τ< 2 (8%) 3 (14%) Chỉ dạy kĩ thuật 7yτ 4 (15%) 10 (48%) © Câu 7. Liên quan đến việc GV có dạy theo gợi ý của SGV khi giải bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 44 4 , 1x y x y= − = − trong miền 0x ≥ hay không. 85 Số phiếu trả lời: GV-C: 22, GV-NC: 22. DẠY THEO GỢI Ý CỦA SGV GV-C GV-NC Có 11 (50%) 8 (36%) Không 11 (50%) 14 (64%) Kết quả cho thấy đa số GV, mà chủ yếu là GV-NC, ưu tiên kĩ thuật “tính theo biến y”. Thậm chí, có 10 GV-NC chỉ sử dụng kĩ thuật này để giải quyết kiểu nhiệm vụ T7. Trong khi đó, chỉ có 5 GV-C và 5 GV-NC ưu tiên sử dụng đồ thị để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong. Chúng ta có thể lí giải nguyên nhân nhờ vào kết quả thống kê của câu 7. Thống kê cho thấy: Đứng trước bài toán diện tích hình phẳng đã cho, đa số GV, mà chủ yếu là GV-NC, không dạy theo gợi ý của SGV. Ngoài ra, có 5 GV (trong đó có 2 GV-C và 3 GV-NC) trả lời có nhưng các GV này lại mở ngoặc: “Hướng dẫn HS cả PP6.2 [tính theo biến y]” (GV TVK3) hay “Có thể giải theo hai cách.” (GV LQĐ2). Điều này chứng tỏ 7xτ không phải là kĩ thuật tối ưu để giải quyết bài toán này. Lí do: “Hình phẳng phức tạp và không dễ vẽ đối với HS” (GV MĐC2). © Câu 8. Một số ý kiến GV đối với quan điểm “Diện tích hình phẳng là một bài toán hình học nên cần phải vẽ hình để xác định hình phẳng”. Số phiếu trả lời: GV-C: 30, GV-NC: 21. Sau đây, chúng tôi xin trích dẫn một số ý kiến tiêu biểu: - GV HV3: Chưa chắc! - GV NHH1: Trong vài trường hợp thì đúng. - GV NCT4: Đây là bài ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích. Nên không cần phải vẽ đồ thị vì đâu phải đồ thị nào HS cũng vẽ được. - GV TQK3: Không đúng, tùy từng bài mà lựa chọn phương pháp cho hợp lý. 86 - GV NHH3: Tùy lúc, chúng ta không thể vẽ hình cho mọi trường hợp, đôi lúc cũng cần phải tính tích phân trị tuyệt đối cho nhanh. Vẽ hình tốn thời gian mà hình vẽ thì không được tính điểm khi đi thi. - GV NCT2: Ý kiến trên là đúng, nhưng không nhất thiết bài nào cũng phải vẽ hình vì bên cạnh những yếu tố trực quan, HS cũng cần biết tư duy trừu tượng. - GV TVK2: Nếu chúng ta cho HS biết được bản chất của tích phân thì việc vẽ hình hay không vẽ sẽ không quan trọng. - GV TKN3: Không nhất thiết phải vẽ đồ thị của hàm số trong trường hợp bài toán diện tích hình phẳng đơn giản. - GV TKN1: Những bài đồ thị dễ vẽ thì nên vẽ ra. - GV TT3: Một số bài đầu nên vẽ hình để HS dễ hình dung, sau khi quen rồi thì không cần vẽ. - GV LQĐ4: Đồng ý với ý kiến trên. Nên sử dụng các phần mềm vẽ hình. - GV MĐC3: Tôi đồng ý với ý kiến trên, với điều kiện các đường cong đã cho để tính dthp phải là các đường cong có trong chương trình học. - GV LQĐ1: Ý kiến trên cũng không sai, đối với bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 hàm số thì giải bằng đồ thị HS dễ hiểu hơn (vì trực quan). - GV NH3: Tôi đồng ý với ý kiến trên. HS biết được “mặt mũi” của hình phẳng sẽ dễ làm bài hơn, tránh được sai lầm khi gặp dạng bài tập có điểm gián đoạn, cũng như dễ hình dung hơn khi chia dthp thành nhiều phần. Tóm lại, đa số GV cho rằng không cần thiết phải vẽ đồ thị trong mọi bài toán diện tích hình phẳng. Và nếu có vẽ đồ thị thì các đồ thị đó phải đơn giản hoặc phải có trong chương trình học. Cuối cùng, chỉ nên vẽ đồ thị trong hai trường hợp: hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số, trong đó có một hàm số có điểm gián đoạn ảnh hưởng đến đoạn [a;b] cần lấy tích phân; hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của ba hàm số. 4. Kết luận chương III Từ thực nghiệm trên, chúng tôi rút ra các kết luận sau: 87 - Trong thực tế dạy học, đa số GV ưu tiên dạy các kiểu nhiệm vụ tính diện tích hình phẳng (T1, T6 và T7). Đối với T1, đa số GV ưu tiên các kĩ thuật đại số (“xét dấu” hoặc “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân”). Đối với T7, đa số GV ưu tiên kĩ thuật “tính theo biến y”. - Đa số GV ưu tiên sử dụng đồ thị để tính diện tích của các dạng hình phẳng sau: + Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số, trong đó có một hàm số gián đoạn tại điểm 0x với 0 [ ; ].x a b∈ + Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của ba hàm số. - Một số GV có sử dụng đồ thị để tính diện tích của các dạng hình phẳng sau: + Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số, trong đó có một hàm số là hàm từng khúc. + Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số, trong đó có một hàm số là hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối. + Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong. 88 KẾT LUẬN Những phân tích về diện tích hình phẳng trong thể chế dạy học Toán lớp 12 ở Việt Nam ở chương I, nghiên cứu thực hành giảng dạy của giáo viên trong dạy học tính diện tích hình phẳng ở chương II và các kết quả thực nghiệm ở chương III cho phép chúng tôi đưa ra những câu trả lời thỏa đáng cho các câu hỏi xuất phát được đặt ra trong phần Mở đầu cũng như câu hỏi nghiên cứu được đặt ra trong quá trình phân tích. Cụ thể, chúng tôi đã đạt được các kết quả sau: - Về việc triển khai diện tích hình phẳng trong các sách giáo khoa hiện hành Bài toán diện tích hình phẳng là một trong những bài toán mở đầu của khái niệm tích phân. Ngược lại, từ khi ra đời, tích phân trở thành công cụ tổng quát để tính diện tích của một hình phẳng bất kì. Các sách giáo khoa hiện hành đều tuân theo tiến trình của lịch sử toán học khi sử dụng bài toán diện tích để xây dựng khái niệm tích phân, sau đó ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng. Các sách giáo khoa hiện hành không đưa ra định nghĩa hình phẳng hay bất kì qui tắc nào để xác định một hình phẳng mà chỉ tập trung xây dựng công thức tính diện tích của hai loại hình phẳng cụ thể: hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của một hàm số và trục hoành; hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số. - Về các tổ chức toán học gắn liền với đối tượng diện tích hình phẳng Các sách giáo khoa hiện hành ưu tiên các kiểu nhiệm vụ tính diện tích hình phẳng như T1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số, T6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của ba hàm số, T7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong. Với các kiểu nhiệm vụ này, các sách giáo khoa ưu tiên các kĩ thuật “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân”, “xét dấu” và “tính theo biến x”. - Về các tổ chức toán didactic được thiết lập và sự khác biệt giữa các tổ chức toán học được dạy so với các tổ chức toán học cần dạy: 89 Nghiên cứu thực hành giảng dạy của giáo viên cho thấy các giáo viên chỉ thiết lập các tổ chức didactic để tiến hành giảng dạy các tổ chức toán học liên quan đến các kiểu nhiệm vụ tính diện tích hình phẳng. Các kiểu nhiệm vụ tìm tỉ lệ diện tích, so sánh hai diện tích, tính diện tích đa giác, tìm giá trị tham số để diện tích hình phẳng bằng giá trị 0S > cho trước không xuất hiện trong thực tế giảng dạy. Đối với kiểu nhiệm vụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số, giáo viên dạy chương trình chuẩn ưu tiên kĩ thuật “xét dấu” thay vì kĩ thuật “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân”, trong khi kĩ thuật “dùng đồ thị” hoàn toàn vắng mặt trong thực tế dạy học chương trình nâng cao. Kĩ thuật “dùng đồ thị” chỉ được sử dụng như một phần kĩ thuật “tính theo biến x” để giải quyết kiểu nhiệm vụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của ba hàm số. Với kiểu nhiệm vụ T7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, giáo viên dạy chương trình nâng cao ưu tiên kĩ thuật “tính theo biến y” thay vì kĩ thuật “tính theo biến x” như chương trình và sách giáo khoa mong đợi. Từ những phân tích trên, chúng tôi đặt ra câu hỏi nghiên cứu: Trong thực tế dạy học, GV có sử dụng đồ thị để giải quyết các kiểu nhiệm vụ tính diện tích hình phẳng hay không? Để trả lời câu hỏi nghiên cứu, chúng tôi tiến hành một thực nghiệm trên 52 giáo viên dạy toán lớp 12 ở TP.HCM. Từ kết quả thực nghiệm, chúng tôi rút ra kết luận: - Đa số GV ưu tiên sử dụng đồ thị để tính diện tích của các dạng hình phẳng sau: + Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của 2 hàm số, trong đó có 1 hàm số gián đoạn tại điểm 0x với 0 [ ; ].x a b∈ + Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của ba hàm số. - Một số GV có sử dụng đồ thị để tính diện tích của các dạng hình phẳng sau: + Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số, trong đó có một hàm số hàm từng khúc. + Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số, trong đó có một hàm số là hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối. 90 + Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong. Trong quá trình nghiên cứu đề tài, chúng tôi nhận thấy việc biểu diễn hình phẳng bằng đồ thị giúp học sinh nhận ra ý nghĩa hình học của bài toán diện tích là một trong những mong đợi của thể chế. Những phân tích ở chương I cho thấy đồ thị xuất hiện rất nhiều trong lời giải của các sách giáo viên và sách bài tập. Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, giáo viên chỉ vẽ đồ thị trong một vài trường hợp kể trên. Từ đó, chúng tôi nghĩ đến một tiểu đồ án dạy học, trong đó giáo viên sử dụng đồ thị như một công cụ hiệu quả để tính diện tích hình phẳng. Tuy nhiên, do hạn chế về mặt thời gian nên chúng tôi đã không có cơ hội thực hiện tiểu đồ án này. 91 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt A. Chương trình và sách giáo khoa [1] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, NXB Giáo dục. [2] Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) (2008), Bài tập Giải tích 12 - Nâng cao, NXB Giáo dục. [3] Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên) (2008), Giải tích 12, NXB Giáo dục. [4] Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên) (2008), Giải tích 12 - Sách Giáo viên, NXB Giáo dục. [5] Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên) (2008), Giải tích 12 - Nâng cao, NXB Giáo dục. [6] Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên) (2008), Giải tích 12 - Nâng cao - Sách Giáo viên, NXB Giáo dục. [7] Nguyễn Thế Thạch (Chủ biên) (2008), Hướng dẫn thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 12 môn Toán (Tài liệu dùng trong các lớp bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình và sách giáo khoa lớp 12), NXB Giáo dục. [8] Vũ Tuấn (Chủ biên) (2008), Bài tập Giải tích 12, NXB Giáo dục. B. Các tài liệu khác [9] Trần Túy An (2007), Nghiên cứu thực hành giảng dạy khái niệm xác suất trong các lớp song ngữ và các lớp phổ thông ở Việt Nam, Luận văn Thạc sỹ LL&PPDH Toán, Trường Đại học Sư phạm TP.HCM. [10] Trần Thị Mỹ Dung (2008), Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học hệ phương trình tuyến tính ở lớp 10, Luận văn Thạc sỹ LL&PPDH Toán, Trường Đại học Sư phạm TP.HCM. [11] Trần Anh Dũng (2004), Nghiên cứu didactic về khái niệm liên tục, Luận văn Thạc sỹ LL&PPDH Toán, Trường Đại học Sư phạm TP.HCM. 92 [12] Trần Lương Công Khanh (2002), Nghiên cứu didactic về những khó khăn chính của học sinh khi tiếp thu khái niệm tích phân, Luận văn Thạc sỹ LL&PPDH Toán, Trường Đại học Sư phạm TP.HCM. [13] Phạm Lương Quý (2009), Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân trong giảng dạy Toán ở trung học phổ thông, Luận văn Thạc sỹ LL&PPDH toán, Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM. [14] Trần Đức Thuận (2008), Khái niệm diện tích trong dạy - học toán ở trung học cơ sở, Luận văn Thạc sỹ LL&PPDH toán, Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM. Song ngữ Pháp - Việt [15] Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố cơ bản của didactic toán, NXB Đại học Quốc Gia TP.HCM. Tiếng Pháp [16] Trần Lương Công Khanh (2006), La notion d’intégrale dans l’enseignement des mathématiques au lycée: une étude comparative entre la France et le Vietnam, thèse de doctorat, Université Joseph Fourier. 1 PHỤ LỤC 1. Một số biên bản quan sát lớp học 1.1. Các tiết dạy theo chương trình chuẩn Tiết 1 (7g55 - 8g35 ngày 20/2/2012) 1. GV: Hôm nay thì chúng ta theo quy định là học giải tích đúng không? 2. HS đồng thanh: Dạ đúng. 3. GV: Thầy dặn hôm nay học bài gì? 4. Cả lớp nhao nhao. Một vài HS trả lời: Ứng dụng của tích phân. 5. GV: Đúng rồi. Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng, đúng hông nè? Rồi có xem bài trước hông? 6. HS đồng thanh: Hông. 7. GV: Tốt. (Dưới lớp nhiều HS phì cười.) 8. GV: Rồi, chúng ta có bài số 3 nè mấy em! 9. GV vừa nói vừa ghi đề mục lên bảng: §3. Ứng dụng của tích phân 10. GV: Ứng dụng của tích phân thì các em có ứng dụng trong toán học và trong vật lý, được hông nè? Trong toán học thì ta ứng dụng vào hai bài toán lớn, mà đây cũng là hai chủ đề lớn của học kỳ II, mấy em lưu ý nha! Đó là gì em? Tính diện tích hình phẳng và tính thể tích của vật thể tròn xoay, được chưa? 11. Cho nên, phần thứ nhất, thầy nói tới diện tích hình phẳng. 12. GV vừa nói vừa ghi lên bảng: I. Tính diện tích hình phẳng 13. GV: Thế thì mấy em lưu ý đây là một bài toán tương đối là khó khăn đấy! Một cái ứng dụng của tích phân thì việc đầu tiên là các bạn phải tính tích phân một cách rành rẽ, được hông nè? 14. GV: Thế thì cái phần diện tích hình phẳng này thầy lại chia thành hai phần. Thứ nhất là người ta nói đến diện tích của một hình hình học giới hạn bởi một đường cong và trục hoành. Rất là quen thuộc đúng k