Luận văn Phương pháp bình phương tối thiểu

gian 18 con, đồng thời mọi dãy con bất kì trongN(A) nếu hội tụ thì đều hội tụ tới một điểm trong N(A), do đó N(A) là không gian con đóng củaX . Với mọi x ∈ X , ta có biểu diễn duy nhất là x = x1 + x2, trong đó x1 ∈ N(A) và x2 ∈ N(A)⊥. Khi đó, Ax1 = 0 và theo Định lý 2.1.1, ta có Qy = AA+y = Ax = A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 = Ax2. Suy ra Ax2 = Qy hay x2 chính là nghiệm bình phương tối thiểu của phương trình Ax = y. Do đó ‖A+y‖2 = ‖x‖2 = ‖x1‖2 + ‖x2‖2 ≥ ‖x1‖2 + ‖A+y‖2. Từ đó ‖x1‖2 = 0, tức là x1 = 0. Suy ra x = x2, nghĩa là x ∈ N(A)⊥. Vì vậy ta đã chứng minh được rằng R(A+) ⊂ N(A)⊥. Để chứng minh phần ngược lại N(A)⊥ ⊂ R(A+), ta lấy u ∈ N(A)⊥ và lấy y := Au. Khi đó y = Au = QAu = Qy. Suy ra u là một nghiệm bình phương tối thiểu của Ax = y. Lúc này, ta gọi v là một nghiệm bình phương tối thiểu khác của Ax = y. Khi đó Av = Qy = Au, suy ra A(v − u) = 0, nghĩa là v − u ∈ N(A). Do đó ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v − u‖2 ≥ ‖u‖2. Suy ra u chính là nghiệm bình phương tối thiểu có chuẩn nhỏ nhất của Ax = y, nghĩa là u = A+y hay u ∈ R(A+). Như vậy, N(A)⊥ ⊂ R(A+) và kết hợp hai chiều chứng minh lại ta kết thúc hệ quả thứ ba. (iv) Ta lấy bất kỳ y, y′ ∈ D(A+) = R(A)⊕R(A)⊥. Bây giờ ta cần chứng minh A+(y + y ′ ) = A+y + A+y ′ và A+(λy) = λA+y với mọi λ ∈ K. Thật vậy, ta có AA+y + AA+y ′ = Qy +Qy ′ = Q(y + y ′ ) = AA+(y + y ′ ). 19 Suy raA+y+A+y ′−A+(y+y′) ∈ N(A). Lại cóA+y, A+y′, A+(y+y′) đều thuộc R(A+) = N(A)⊥ là một không gian vectơ nên A+y +A+y ′ − A+(y + y ′ ) ∈ N(A)⊥. Như vậy A+y +A+y′ −A+(y + y′) ∈ N(A)⊥ ∩ N(A) = {0}. Suy ra A+(y + y′) = A+y + A+y′. Tương tự ta cũng chứng minh được rằng A+(λy) = λA+y với mọi λ ∈ K và khi đó ta kết thúc chứng minh hệ quả này. (v) Giả sử A+ bị chặn. Ta sẽ chứng minh R(A) đóng. Từ AA+y = Qy với mọi y ∈ D(A+) và D(A+) trù mật trong Y ( theo chứng minh phần trước), ta có thể thác triển ánh xạ A+ thành một toán tử tuyến tính bị chặn  ∈ B(Y,X) sao cho AÂy = Qy với mọi y ∈ Y. Do đó R(A) = R(Q) ⊂ R(A). Suy ra R(A) = R(A), nghĩa là R(A) đóng. Để chứng minh chiều ngược lại, ta sẽ xây dựng ánh xạ sau  : N(A)⊥ → R(A) u 7→ Âu := Au. Ta sẽ chỉ ra rằng ánh xạ này là song ánh. Thật vậy, lấy u1, u2 ∈ N(A)⊥ và giả sử Âu1 = Âu2. Khi đó u1 − u2 ∈ N(A). Lại có, u1, u2 ∈ N(A)⊥ mà N(A) và N(A)⊥ đều là các không gian vectơ nên u1 − u2 ∈ N(A)⊥ ∩ N(A) = {0}, nghĩa là u1 = u2. Do vậy  là đơn ánh. Hơn nữa, với cách xây dựng như trên thì dễ thấy rằng  là toàn ánh. Do vậy  là song ánh. Hơn nữa, ta cũng nhận thấy rằng  tuyến tính liên tục. Thật vậy, ta lấy một dãy (un) ⊂ N(A)⊥ sao cho lim n→∞un = u. Khi đó lim n→∞ Âun = limn→∞Aun = A( limn→∞un) = Au = Âu. Suy ra  liên tục. Hơn nữa, do Â(u1 + u2) = A(u1 + u2) = Au1 + Au2 = Âu1 + Âu2 20 nên ta suy ra được  tuyến tính. Tiếp theo, do R(A), N(A)⊥ lần lượt là các không gian con đóng của các không gian Hilbert Y vàX nên chúng cũng là không gian Hilbert và hiển nhiên cũng là các không gian Banach. Theo Định lý Banach về ánh xạ mở có đề cập rằng mọi toàn ánh tuyến tính liên tục giữa hai không gian Banach đều là ánh xạ mở. Vì thế từ  là song ánh tuyến tính liên tục giữa hai không gian Banach nên Â−1 tồn tại và cũng liên tục (theo hệ quả của Định lý Banach về ánh xạ mở). Mặt khác Â−1 cũng tuyến tính nên Â−1 sẽ bị chặn. Do đó tồn tạim > 0 sao cho ‖A+y‖ = ‖Â−1(ÂA+y)‖ ≤ m‖AA+y‖ với mọi y ∈ D(A+) = Y. Do đó với y ∈ Y , ta có ‖y‖ ≥ ‖Qy‖ = ‖AA+y‖ ≥ m−1‖A+y‖. Ở đây ta giải thích kỹ hơn chi tiết ‖y‖ ≥ ‖Qy‖. Thật vậy, do có biểu diễn Y = R(A) ⊕ R(A) ⊥ nên với bất kỳ y ∈ Y luôn tồn tại duy nhất u ∈ R(A) để ‖y‖2 = ‖u‖2 + ‖u⊥‖2. Suy ra ‖Qy‖ = ‖Qu‖ = ‖u‖ ≤ ‖y‖. Như vậy A+ ∈ B(Y,X) và ‖A+‖ ≤ m, tức là A+ bị chặn và ta chứng minh xong hệ quả này. (vi) Để chứng minh hệ quả này ta chỉ việc sử dụng trực tiếp định nghĩa. Ta đã biết, với y ∈ D(A+) = R(A)⊕R(A)⊥ thì x = A+y được gọi là nghiệm bình phương tối thiểu có chuẩn nhỏ nhất và dĩ nhiên là duy nhất của phương trình Ax = y. Dễ thấy x ∈ R(A+) nên theo kết quả trong hệ quả thứ ba thì x ∈ N(A)⊥ và ta có điều phải chứng minh. Phần tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu về phân tích giá trị kỳ dị, nhằm mục đích chứng minh tiêu chuẩn Picard, một ứng dụng quan trọng trong phương pháp bình phương tối thiểu cũng như bài toán về phân tích giá trị kỳ dị. 21 2.2 Phân tích giá trị kỳ dị Mục đích của phần này là để trình bày sự phân tích giá trị kỳ dị cho các toán tử compact trong không gian Hilbert. Sự phân tích này chỉ ra rằng các toán tử compact có một phổ đơn và đồng thời cũng minh họa một cách cụ thể về tính chất xấu của một phương trình do bị phụ thuộc vào sự tác động của các toán tử compact ( những phương trình này thường được gọi là phương trình loại I ). 2.2.1 Toán tử compact Cho X , Y là các không gian Hilbert và lấy T ∈ B(X, Y ). Toán tử T được gọi là compact nếu và chỉ nếu T biến mỗi tập bị chặn trong X thành một tập compact tương đối (hay tiền compact) trong Y . Ta ký hiệu là T ∈ B∞(X, Y ). Nhận thấy, với T ∈ B(X, Y ) cho trước, nếu dimR(T ) = dim ImT hữu hạn thì T ∈ B∞(X, Y ). Khi đó T được gọi là toán tử có hạng hữu hạn. Để chứng minh tính chất này, trước tiên ta lấy U ⊆ X bị chặn. Ta cần chứng tỏ rằng T (U) compact trong Y . Vì dim ImT < ∞ nên T (U) nằm trong không gian hữu hạn chiều. Ta đã biết tính chất là một tập trong không gian hữu hạn chiều sẽ compact nếu và chỉ nếu nó đóng và bị chặn. Vì thế ở đây ta chỉ cần chỉ ra T (U) bị chặn nữa là xong. Ta nhận thấy rằng T (U) ⊂ Y bị chặn, suy ra tồn tại k > 0 sao cho với mọi x ∈ T (U) thì ‖x‖ ≤ k. Do đó T (U) ⊆ B(0,k) = {y ∈ Y : ‖y‖ ≤ k}. Mà T (U) là tập đóng nhỏ nhất chứa T (U) nên T (U) ⊆ B(0,k), tức là T (U) bị chặn. Do đó T (U) compact trong Y và ta có được T ∈ B∞(X, Y ). Bây giờ, chúng ta sẽ xét một định lý nhằm đưa ra các điều kiện tương đương để việc chứng minh một toán tử là compact được thuận tiện hơn, thay vì việc ta chỉ chứng minh bằng việc sử dụng định nghĩa. 22 Định lý 2.2.1. [3] Cho X, Y là các không gian Hilbert. Lấy T ∈ B(X, Y ). Khi đó, các điều kiện sau là tương đương (i) T là toán tử compact. (ii) Tồn tại một dãy (Tm)m∈N trong B∞(X, Y ) sao cho lim m→∞ ‖T −Tm‖ = 0. (iii) Tồn tại một dãy (Tm)m∈N các toán tử có hạng hữu hạn thỏa mãn lim m→∞ ‖T − Tm‖ = 0. Chứng minh. (i)⇒(ii) : Ta chỉ cần chọn Tm := T với mọim ∈ N. (i)⇒(iii) : Lấy ε > 0 nhỏ tùy ý và U ⊆ X là một tập bị chặn. ĐặtM := T (U) thìM sẽ là compact trong Y do T là compact theo giả thiết (i). Theo Định lý Hausdorff, tồn tại y1, y2, . . . , ym sao choM được phủ bởi các hình cầu mở Bε(yi), nghĩa làM ⊂ m⋃ i=1 Bε(yi). Bây giờ ta xây dựng phép chiếu trực giao như sau Pε : Y → U := span{yi : i = 1,m}, ở đây ký hiệu span{yi : i = 1,m} dùng để chỉ không gian tuyến tính sinh bởi {yi : i = 1,m}. Ta đặt Tε := PεT . Khi đó Tε có hạng hữu hạn. Theo định lý về phép chiếu trực giao, với mọi x ∈ X thì ‖Tx− Tεx‖ = ‖Tx− PεTx‖ ≤ inf{‖Tx− yi‖ : i = 1,m} ≤ ε. Suy ra ‖T − Tε‖ ≤ ε. Vì điều này đúng với mọi ε > 0 đủ nhỏ nên rõ ràng ta đã chỉ ra được cách xây dựng dãy (Tm)m∈N các toán tử có hạng hữu hạn sao cho lim m→∞ ‖T − Tm‖ = 0. 23 (ii)⇒(i), (iii)⇒(i) : Để chứng minh hai phần này, ta cần chỉ ra rằngB∞(X, Y ) là không gian con đóng của B(X, Y ). Rõ ràng B∞(X, Y ) ⊆ B(X, Y ) và B∞(X, Y ) là một không gian con củaB(X, Y ). Để chứngminhB∞(X, Y ) đóng, ta lấy U ⊆ X là một tập bị chặn và một dãy (Tm)m∈N trong B∞(X, Y ) sao cho Tm → T khi m → ∞. Theo định nghĩa tập compact thì Tm(U) phải compact trong Y . Chom→∞ ta thu được lim m→∞Tm(U) = T (U) sẽ compact trong Y . Suy ra T ∈ B∞(X, Y ) và do đó B∞(X, Y ) đóng. Dựa vào tính chất đóng này ta sẽ suy ra được rằng nếu có điều kiện (ii) hoặc (iii) thì sẽ thu được điều kiện (i). Tới đây ta kết thúc toàn bộ chứng minh của định lý. 2.2.2 Phổ của toán tử compact tự liên hợp Cho X là không gian Hilbert trên trường vô hướng K = C. Gọi I là ánh xạ đồng nhất trênX . Ta giả sử trong suốt phần này làX 6= {0}. Định nghĩa 2.2.2. [3] Cho T ∈ B(X) (B(X) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X). Khi đó một số λ ∈ C được gọi là một giá trị riêng của T nếu tồn tại một vectơ x ∈ X, x 6= 0 sao cho Tx = λx. Vectơ x này được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ. Chiều củaN(T − λI) được gọi là bội của giá trị riêng λ. Bổ đề 2.2.3. [3] Cho T ∈ B∞(X). Cho λ ∈ C, λ 6= 0. Khi đó ta có (i) R(T − λI) đóng. (ii) R(T − λI) = X nếu λ không là giá trị riêng của T . Chứng minh. Đặt N := N(T − λI) và M := R(T − λI). Nhận thấy N là không gian con đóng của X . Ta lấy y ∈ M . Theo định nghĩa bao đóng của một tập hợp, ta luôn giả sử được rằng y = lim n→∞ (T − λI)xn, trong đó 24 (xn)n∈N là một dãy trongX . VìX = N ⊕ N⊥ nên ta có thể viết xn dưới dạng xn = un + wn, với un ∈ N và wn ∈ N⊥. Đặt yn := (T − λI)xn. Ta có yn = (T−λI)(un+wn) = (T−λI)un+(T−λI)wn = (T−λI)wn (n ∈ N). (i) Để chứng minh phần này, trước hết chúng ta cần đi chứng minh (wn)n∈N bị chặn. Ta chứngminh bằng phương pháp phản chứng, giả sử rằng lim n→∞ ‖wn‖ = ∞. Khi đó ta đặt vn := wn‖wn‖−1 (n ∈ N). Suy ra ‖vn‖ = 1 với mọi n ∈ N, tức là (vn)n∈N bị chặn. Do đó lim n→∞(T − λI)vn = limn→∞ ‖wn‖ −1(T − λI)wn. Ta lấy chuẩn ở hai vế trong đẳng thức trên, đồng thời sử dụng các điều kiện đã có ở phần lập luận phía trên, ta sẽ thu được lim n→∞ ‖(T − λI)vn‖ = 0. Do đó lim n→∞(T − λI)vn = 0. Suy ra limn→∞Tvn = limn→∞λvn. Từ Định lý 1.0.6 đã đề cập trong chương trước và do T là toán tử compact nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử luôn dãy (Tvn)n∈N hội tụ. Mặt khác ‖wn‖−1yn = ‖wn‖−1(T−λI)wn = (T−λI)(‖wn‖−1wn) = (T−λI)vn. Do đó theo chứng minh ở trên, ta suy ra được rằng lim n→∞ ‖wn‖ −1yn = 0. Như thế, dãy (λ−1(‖wn‖−1yn + Tvn))n∈N hội tụ. Đặt v := lim n→∞λ −1(‖wn‖−1yn + Tvn). Sử dụng lim n→∞Tvn = limn→∞λvn và lim n→∞ ‖wn‖ −1yn = 0 ở chứng minh trên, ta suy ra v = lim n→∞ vn. Từ vn ∈ N⊥ mà N⊥ là không gian con đóng của X nên ta có v ∈ N⊥ và ‖v‖ = lim n→∞ ‖vn‖ = 1 (n ∈ N). Lại có (T − λI)v = lim n→∞(T − λI)vn = 0. Suy ra v ∈ N(T − λI) = N . Do đó v ∈ N ∩ N⊥ = {0}. Điều này 25 mâu thuẫn với ‖v‖ = 1. Vì vậy (wn)n∈N bị chặn. Khi đó do T là toán tử compact nên tương tự như phần lập luận ở trên, ta có thể tiếp tục giả sử (Twn)n∈N hội tụ. Từ đó ta có y = lim n→∞ yn = limn→∞(T − λI)wn = limn→∞(Twn − λwn). Vì thế dãy (wn)n∈N phải hội tụ tới một giá trị w ∈ N⊥. Suy ra y = (T − λI)w ∈M := R(T − λI). Do đó ta đã chỉ ra được rằngM ⊆ M . Điều này chứng tỏ rằngM = M hayM := R(T − λI) đóng. (ii) Nếu λ không là giá trị riêng của T thì T − λI khả nghịch, tức là tồn tại (T − λI)−1. Đặt X0 := X và Xn := R((T − λI)n) với n ∈ N. Theo chứng minh phần (i) thì X1 đóng. Khi đó X1 là không gian con đóng của không gian Hilbert X nên X1 cũng là không gian Hilbert và dĩ nhiên nó cũng là một không gian Banach. Xét ánh xạ (T − λI)−1 : X1 → X u 7→ (T − λI)−1u. Vì X,X1 đều là các không gian Banach nên theo hệ quả của Định lý Banach về ánh xạ mở, (T − λI)−1 sẽ liên tục, hơn nữa (T − λI)−1 tuyến tính nên nó bị chặn. Quy nạp theo n, ta thu đượcXn = (T−λI)−1(Xn+1) vàXn+1 ⊂ Xn. DoX1 đóng nênXn đóng với mọi n ∈ N. Giả sửX 6= X1 := R(T −λI). Bằng phương pháp quy nạp ta cóXn+1 $ Xn với mọi n ∈ N. Khi đó với mỗi n, ta chọn xn ∈ Xn ∩ X⊥n+1 và ‖xn‖ = 1. Theo tính compact của T , lim n→∞Txn sẽ tồn tại và hữu hạn. Do đó theo Định lý Pythagore, với mọi n ∈ N, ta có ‖Txn‖2 = ‖(T − λI)xn + λxn‖2 26 = ‖(T − λI)xn‖2 + |λ|2‖xn‖2 ≥ |λ|2 > 0 mâu thuẫn với việc tồn tại lim n→∞Txn < ∞. Ta có điều phải chứng minh. Định nghĩa 2.2.4. [3] Cho T ∈ B(X). Khi đó ρ(T ) := {λ ∈ C| T − λI là đơn ánh, (T − λI)−1 ∈ B(X)} được gọi là tập giải của T và σ(T ) := C \ ρ(T ) được gọi là phổ của T . Định lý 2.2.5. [3] Giả sử T : X → X là toán tử compact. Khi đó ta có các tính chất sau (i) Nếu dimX =∞ thì σ(T ) = {0} ∪ {λ ∈ C| λ là giá trị riêng của T}. (ii) Nếu dimX <∞ thì σ(T ) = {λ ∈ C| λ là giá trị riêng của T}. (iii) Mỗi giá trị riêng khác không của T đều có bội hữu hạn. (iv) T có không quá đếm được số giá trị riêng và dãy các giá trị riêng này có điểm tụ bằng 0. Chứng minh. (i) Ta lấy (en)n∈N là một dãy trực chuẩn trong X ( nghĩa là 〈ei, ej〉 = 0 với mọi i 6= j và ‖en‖n∈N = 1 ). Đầu tiên ta sẽ chỉ ra rằng dãy (en)n∈N hội tụ yếu tới 0 khi n→∞. Thật vậy, lấy T ′ là phiếm hàm tuyến tính liên tục đi từ không gian HilbertX vào trường sốK (K = R hoặc C). Áp dụng Định lý Riesz đã đề cập ở chương trước, ta có biểu diễn T ′ en = 〈en, a〉, với a là một vectơ cho trước trongX thỏa mãn ‖T ′‖ = ‖a‖. Lại có, theo bất đẳng thức Bessel trong không gian Hilbert, ta có ‖a‖2 ≥ ∞∑ n=1 |〈a, en〉|2. 27 Suy ra chuỗi ∞∑ n=1 |〈a, en〉|2 hội tụ. Do đó số hạng tổng quát của chuỗi |〈a, en〉|2 sẽ hội tụ về 0 trên trường K, tức là 〈a, en〉 cũng hội tụ về 0 trên trườngK. Vì thế, dãy (T ′en)n∈N hội tụ về 0 trên trường sốK. Như vậy với mọi a ∈ X thì 〈a, en〉 → 〈a, 0〉 khi n→∞. Do đó theo định nghĩa về sự hội tụ yếu ta suy ra dãy (en)n∈N hội tụ yếu tới 0. Vì T compact và theo chứng minh trên (en)n∈N hội tụ yếu tới 0 nên lim n→∞Ten = 0. Theo định nghĩa của phổ thì rõ ràng 0 ∈ σ(T ). Tiếp theo, giả sử 0 6= λ ∈ C và λ không là giá trị riêng của T . Khi đó theo Bổ đề 2.2.3 ở trên, T − λI : X → X sẽ là một song ánh và bị chặn. Theo hệ quả của Định lý Banach về ánh xạ mở, ta suy ra (T − λI)−1 : X → X cũng bị chặn. Hơn nữa, ánh xạ này tuyến tính nên (T − λI)−1 ∈ B(X). Suy ra λ ∈ ρ(T ). Vì vậy ta có điều cần chứng minh. (ii) Do dimX < ∞ nên dim ImT = dimR(T ) < ∞, nghĩa là T là toán tử có hạng hữu hạn. Theo định nghĩa của tập giải thì ρ(T ) bao gồm các giá trị λ ∈ C sao cho T − λI là đơn ánh, điều này tương đương với N(T − λI) = {0}. Do đó phổ σ(T ) sẽ là tập hợp các giá trị λ thỏa mãn N(T − λI) 6= {0}. Vì vậy σ(T ) = {λ ∈ C : λ là giá trị riêng của T}. (iii) Lấy 0 6= λ ∈ C là một giá trị riêng của T . Giả sử dimN(T − λI) =∞. Khi đó ta lấy (en)n∈N là một hệ trực chuẩn của N(T − λI). Theo chứng minh phần (i) thì lim n→∞Ten = 0. Tuy nhiên từ cách chọn dãy (en)n∈N thì (T − λI)en = 0 hay Ten = λen. Do đó với mọi n ∈ N, ta có ‖Ten‖ = ‖λen‖ = |λ|‖en‖ = |λ| > 0, điều này mâu thuẫn với lập luận ở trên. Vậy dimN(T − λI) <∞. (iv) Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Giả sử rằng tồn tại một dãy (λn)n∈N gồm các giá trị riêng của T sao cho lim n→∞λn = λ 6= 0. Ta lấy (en)n∈N là một dãy trực chuẩn gồm các vectơ riêng tương ứng với dãy giá 28 trị riêng (λn)n∈N. Vì T compact và dãy (en)n∈N bị chặn nên dãy (Ten)n∈N hội tụ. Mặt khác ‖Ten − Tem‖2 = ‖λnen − λmem‖2 = |λn|2 + |λm|2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ‖Ten − Tem‖2 ≥ ∣∣∣∣λm + λn2 ∣∣∣∣2 , suy ra lim m,n→∞ ‖Ten−Tem‖ 2 ≥ |λ|2 > 0. Suy ra dãy (Ten)n∈N không hội tụ, điều này mâu thuẫn. Vì vậy ta có điều phải chứng minh. Bổ đề 2.2.6. [3] Giả sử T : X → X là một toán tử tự liên hợp ( T = T ∗). Khi đó (i) 〈Tx, x〉 ∈ R với mọi x ∈ X. (ii) Mọi giá trị riêng của T đều là số thực. Chứng minh. (i) Từ giả thiết T = T ∗, với mọi x ∈ X , ta có 〈Tx, x〉 = 〈x, T ∗x〉 = 〈x, Tx〉 = 〈Tx, x〉. Do đó 〈Tx, x〉 ∈ R với mọi x ∈ X . (ii) Ta gọi λ là một giá trị riêng của T và x ∈ X, x 6= 0 là vectơ riêng ứng với λ. Khi đó ta có 〈Tx, x〉 = 〈λx, x〉 = λ‖x‖2. Theo chứng minh phần (i), 〈Tx, x〉 ∈ R với mọi x ∈ X . Do đó λ‖x‖2 ∈ R với mọi x ∈ X . Theo cách chọn x 6= 0 nên ‖x‖2 > 0. Vì thế để với mọi x ∈ X xảy ra λ‖x‖2 ∈ R thì λ ∈ R. Ta chứng minh xong bổ đề. Định lý 2.2.7. [3] Giả sử T : X → X là một toán tử compact tự liên hợp. Khi đó ít nhất một trong các giá trị ‖T‖,−‖T‖ phải là một giá trị riêng của T . 29 Chứng minh. Gọi (xn)n∈N là dãy trongX thỏa mãn ‖xn‖ = 1 và lim n→∞ ‖Txn‖ = ‖T‖ (n ∈ N). Ta đã biết ‖T‖ = sup { ‖Tv‖ ‖v‖ : v ∈ X, v 6= 0 } . Từ đó suy ra dãy (xn)n∈N tồn tại. Sử dụng tính tự liên hợp của T , tức là T = T ∗, ta có ‖T 2xn − ‖Txn‖2xn‖2 =‖T 2xn‖2 − 2〈T 2xn, ‖Txn‖2xn〉+ ‖Txn‖4‖xn‖2 =‖T 2xn‖2 − 2‖Txn‖2〈T 2xn, xn〉+ ‖Txn‖4 =‖T 2xn‖2 − 2‖Txn‖2〈Txn, T ∗xn〉+ ‖Txn‖4 =‖T 2xn‖2 − 2‖Txn‖2〈Txn, Txn〉+ ‖Txn‖4 =‖T 2xn‖2 − 2‖Txn‖4 + ‖Txn‖4 =‖T 2xn‖2 − ‖Txn‖4 ≤‖T‖2‖Txn‖2 − ‖Txn‖4. Từ giả thiết lim n→∞ ‖Txn‖ = ‖T‖ ta suy ra lim n→∞ ‖T 2xn − ‖Txn‖2xn‖ = 0. (∗) Vì T compact nên hợp thành T 2 cũng compact. Do đó theo Định lý 1.0.6 của chương trước, với (xn)n∈N là một dãy bị chặn trong X ta luôn có thể trích ra được một dãy con (xnk) (k ∈ N) sao cho dãy (T 2xnk) (k ∈ N) hội tụ trong X . Giả sử T 2xnk → T 2z khi k →∞. Khi đó từ đẳng thức (∗) ở trên, ta có lim k→∞ xnk = z, T 2z = ‖T‖2z, ‖z‖ = 1. Suy ra T 2 có một giá trị riêng là ‖T‖2. Do đó (T − ‖T‖I)(T + ‖T‖I)z = (T 2 − ‖T‖2I)z = 0. Vì vậy T có một giá trị riêng là −‖T‖ nếu (T + ‖T‖I)z = 0 và có một giá trị riêng là ‖T‖ nếu (T + ‖T‖I)z 6= 0. Ta có điều phải chứng minh. 30 2.2.3 Phân tích giá trị kỳ dị ChoX, Y là các không gian Hilbert không tầm thường trên trường C. Bổ đề 2.2.8. [3] Giả sử T : X → Y là toán tử tuyến tính. Khi đó các mệnh đề sau tương đương (i) T là toán tử hạng hữu hạn. (ii) Tồn tạim ∈ N, một hệ trực chuẩn f1, . . . , fm trong Y và một hệ các vectơ độc lập tuyến tính e1, . . . , em trongX sao cho với mọi x ∈ X , ta có Tx = m∑ j=1 〈x, ej〉fj. Chứng minh. (i)⇒(ii) : Đặtm := dimR(T ), khi đóm <∞. Ta chọn các vectơ trực chuẩn f1, . . . , fm trong R(T ) và đặt ej := T ∗fj, j = 1,m. Khi đó với mỗi x ∈ X , ta có Tx = m∑ j=1 〈Tx, fj〉fj = m∑ j=1 〈x, T ∗fj〉fj = m∑ j=1 〈x, ej〉fj. Từ dimR(T ) = m <∞ suy ra e1, . . . , em độc lập tuyến tính. (ii)⇒ (i) : Từ giả thiết ta suy ra dimR(T ) = m <∞. Vậy T là toán tử hạng hữu hạn. Bây giờ chúng ta đi đến định lý phổ cho một toán tử compact tự liên hợp. Định lý này là một sự khái quát của việc chéo hóa một ma trận đối xứng và đồng thời cũng là trường hợp đặc biệt của định lý phổ cho các toán tử bị chặn. Định lý 2.2.9. [3] Cho T là một toán tử compact tự liên hợp, λn (n ∈ N với N = {1, . . . , n} hoặc N = N) là các giá trị riêng khác 0 đôi một phân biệt 31 của T . Khi đó với mỗi x ∈ X , tồn tại x0 ∈ N(T ) sao cho x = x0 + ∑ n∈N Pnx, Tx = ∑ n∈N λnPnx, trong đó Pn là phép chiếu trực giao củaX lên N(T − λnI) xác định bởi Pnx = mn∑ j=1 〈x, unj 〉unj , ở đâymn là chiều của N(T − λnI) và (unj )j=1,mn là một tập trực chuẩn trong N(T − λnI) (n ∈ N). Chứng minh. TừĐịnh lý 2.2.5, mỗi giá trị riêng khác 0 của một toán tử compact trên không gian Hilbert X luôn có bội hữu hạn nên mn < ∞ với mọi n ∈ N . Ta nhận thấy N(T − λnI) là một không gian con đóng của X nên theo định lý về phép chiếu trực giao trong không gian Hilbert, với mỗi n ∈ N sẽ tồn tại phép chiếu trực giao Pn : X → N(T − λnI) được xác định bởi Pnx = mn∑ j=1 〈x, unj 〉unj , ở đây (unj )j=1,mn là một hệ trực chuẩn trong N(T − λnI). Khi đó U := ⋃ n∈N {un1 , . . . , unmn} là một hệ trực chuẩn trong X . Lấy x ∈ X . Vì (unj ) là hệ trực chuẩn nên theo bất đẳng thức Bessel ta có ∑ n∈N mn∑ j=1 |〈x, unj 〉|2 ≤ ‖x‖2. Do đó theo Bổ đề 1.0.8 trong chương trước, ta suy ra chuỗi ∑ n∈N mn∑ j=1 〈x, unj 〉unj hội tụ, nghĩa là vectơ y := ∑ n∈N mn∑ j=1 〈x, unj 〉unj = ∑ n∈N Pnx được xác định. ĐặtM := N(T − λnI) thì 32 y ∈M . Từ đó x− y ∈M⊥. Vì Pnx ∈ N(T − λnI) nên Ty = T ( ∑ n∈N Pnx) = ∑ n∈N (TPnx) = ∑ n∈N λnPnx. Để kết thúc chứng minh, ta cần chỉ ra Tx = Ty là xong. Điều này tương đương với x − y ∈ N(T ) hay M⊥ ⊂ N(T ). Thật vậy, dễ thấy T (M) ⊂ M, T (M⊥) ⊂ M⊥. Gọi T1 : M⊥ → M⊥ là hạn chế của T xuống M⊥. Do T compact, tự liên hợp nên T1 cũng là một toán tử compact, tự liên hợp. Giả sử T1 6= 0. Theo Định lý 2.2.7, T1 sẽ có một giá trị riêng λ 6= 0. Rõ ràng λ cũng là một giá trị riêng của T , suy ra tồn tại x ∈ M⊥ \ {0} thỏa mãn x ∈ N(T − λI) ⊂ M . Vì thế x ∈ M ∩M⊥ = {0}, mâu thuẫn với cách chọn x. Như vậy T1 = 0, suy raM⊥ ⊂ N(T ). Ta có điều phải chứng minh. Trước khi đến với một định lý quan trọng tiếp theo của phần này, chúng tôi xin nhắc lại một số tính chất của T ∈ B(X, Y ) 1. N(T ∗) = R(T )⊥. 2. N(T ) = R(T ∗)⊥. 3. R(T ) ⊥ = R(T )⊥ = N(T ∗), suy raR(T ) = N(T ∗)⊥ vàR(T ∗) = N(T )⊥. Định lý 2.2.10. [3] Giả sử A : X → Y là toán tử compact. Khi đó tồn tại một tập chỉ số J (J = {1, . . . , n} hoặc J = N), các hệ trực chuẩn (ej)j∈J ,(fj)j∈J tương ứng củaX, Y và dãy (σj)j∈J các số thực dương thỏa mãn các điều kiện (i) (σj)j∈J là đơn điệu không tăng và lim j∈J σj = 0 nếu J = N. (ii) Aej = σjfj, A∗fj = σjej với mọi j ∈ J . (iii) Với mọi x ∈ X , tồn tại x0 ∈ N(A) thỏa mãn x = x0 + ∑ j∈J 〈x, ej〉ej, Ax = ∑ j∈J σj〈x, ej〉fj. 33 (iv) Với mọi y ∈ Y , ta có A∗y = ∑ j∈J σj〈y, fj〉ej. Chứng minh. (i) DoA là compact nên toán tử T := A∗A : X → X cũng compact. Hơn nữa (A∗A)∗ = A∗A nên T là toán tử tự liên hợp. Như vậy theo Định lý 2.2.9 sẽ tồn tại tập chỉ số N (N = {1, . . . , k} hoặc N = N) và một dãy (λn)n∈N là các giá trị riêng khác 0 đôi một phân biệt của T . Nhận thấy (λn)n∈N là dãy các giá trị riêng thực, theo Bổ đề 2.2.6. Ta lấy (λj)j∈J là một dãy các giá trị riêng không tăng trích từ dãy (λn)n∈N . Chọn (ej)j∈J là dãy trực chuẩn gồm các vectơ riêng tương ứng với dãy giá trị riêng (λj)j∈J của T . Nhận thấy với mọi x ∈ X thì 〈x, Tx〉 = 〈x,A∗Ax〉 = 〈Ax,Ax〉 ≥ 0. Do đó T là toán tử không âm. Như vậy nếu λj là một giá trị riêng ứng với một vectơ riêng x ∈ X, x 6= 0 thì từ 〈x, Tx〉 ≥ 0, ta suy ra 〈x, λjx〉 ≥ 0, suy ra λj ≥ 0. Mà theo cách xây dựng ở trên thì λj 6= 0 với mọi j ∈ J nên mọi giá trị riêng λj (j ∈ J) của T đều dương. Do đó ta có thể đặt σj := √ λj fj := σ −1 j Aej. Như vậy (σj)j∈J là dãy số dương không tăng. Theo Định lý 2.2.5, với A là toán tử compact thì A sẽ có không quá đếm được số giá trị riêng và dãy các giá trị riêng này có điểm tụ bằng 0. Do đó lim j∈J=N σj = 0. Vì (ej)j∈J là một hệ trực chuẩn gồm các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng (λj)j∈J nên ta dễ dàng chứng minh được rằng (fj)j∈J cũng là một hệ trực chuẩn. Thật vậy ‖fj‖ = ‖σ−1j Aej‖ = |σ−1j |‖Aej‖ = σ−1j √ 〈Aej, Aej〉 = σ−1j √ 〈ej, A∗Aej〉 34 = σ−1j √ 〈ej, λjej〉 = σ−1j √ λj‖ej‖ = σ−1j σj = 1. Lại có với i, j ∈ J, i 6= j thì 〈fi, fj〉 = 〈σ−1i Aei, σ−1j Aej〉 = σ−1i σ−1j 〈Aei, Aej〉 = σ−1i σ −1 j 〈ei, A∗Aej〉 = σ−1i σ−1j 〈ei, λjej〉 = σ−1i σ −1 j λj〈ei, ej〉 = 0 (Do (ej)j∈J là hệ trực chuẩn). Do đó (fj)j∈J là hệ trực chuẩn. (ii) Tính chất này dễ dàng được suy ra từ định nghĩa của σj, ej, fj . (iii) Với x ∈ N(A) thì Ax = 0. Điều này tương đương với A∗Ax = A∗0 = 0 hay x ∈ N(A∗A). Vậy N(T ) = N(A). Áp dụng Định lý 2.2.9 cho toán tử compact tự liên hợp T cùng các dữ kiện (λj)j∈J là dãy các giá trị riêng khác 0 đôi một phân biệt của T và (ej)j∈J là dãy trực chuẩn của X , ta suy ra rằng với mọi x ∈ X , tồn tại x0 ∈ N(T ) = N(A) thỏa mãn x = x0+ ∑ j∈J 〈x, ej〉ej. Ở đây chúng ta chú ý rằng chuỗi ∑ j∈J 〈x, ej〉ej được xác định. Thật vậy, theo bất đẳng thức Bessel ta có được ∑ j∈J |〈x, ej〉|2 ≤ ‖x‖2. Áp dụng Bổ đề 1.0.8 trong chương trước suy ra chuỗi ∑ j∈J 〈x, ej〉ej hội tụ hay được xác định. Ta có Ax = Ax0 + ∑ j∈J A(〈x, ej〉ej) = ∑ j∈J 〈x, ej〉Aej = ∑ j∈J σj〈x, ej〉fj. Như vậy ta chứng minh xong điều kiện (iii). (iv) Ta đang dừng lại ở Ax = ∑ j∈J σj〈x, ej〉fj. Nhận thấy Ax có dạng một 35 chuỗi và nó được xác định. Thật vậy, do (fj)j∈J là hệ trực chuẩn nên sử dụng bất đẳng thức Bessel ta có được ‖Ax‖ ≤ σ1‖x‖. Vì thế Ax được xác định. Nhận thấy A : X → Y là toán tử compact nên A∗ : Y → X cũng là toán tử compact. Khi đó ta xét toán tử T ′ := AA∗ : Y → Y, ở đây T ′ compact và tự liên hợp. Tiếp tục chứng minh như đã làm với toán tửA : X → Y , ta thu được kết quả là: Với mọi y ∈ Y , tồn tại y0 ∈ N(A∗) sao cho y = y0+ ∑ j∈J 〈y, fj〉fj. Ở đây do (fj)j∈J là hệ trực chuẩn nên theo bất đẳng thức Bessel ta có∑ j∈J |〈y, fj〉|2 ≤ ‖y‖2. Khi đó lại áp dụng Bổ đề 1.0.8 trong chương trước ta suy ra y được xác định. Tác động A∗ vào hai vế của phương trình biểu diễn y ở trên, ta có A∗y = A∗y0 + ∑ j∈J 〈y, fj〉A∗fj = ∑ j∈J σj〈y, fj〉ej. (Do A∗fj = σjej) Chú ý thêm ở đây là ‖A∗y‖ ≤ σ1‖y‖ nên A∗y được xác định. Ta có toàn bộ điều phải chứng minh. Định nghĩa 2.2.11. [3] Cho A : X → Y là toán tử compact với biểu diễn Ax = ∑ j∈J σj〈x, ej〉fj (∗) trong đó x = x0 + ∑ j∈J 〈x, ej〉ej với x0 ∈ N(A); (ej)j∈J và (fj)j∈J lần lượt là các hệ trực chuẩn của X và Y ; J là tập chỉ số (J = {1, . . . , n} hoặc J = N), 36 (σj)j∈J là dãy số thực dương không tăng hội tụ về 0 khi J = N. Khi đó các số σj(j ∈ J) được gọi là các giá trị kỳ dị của A. Họ {(σj, ej, fj)|j ∈ J} được gọi là một hệ kỳ dị của A và biểu diễn (∗) là một phân tích giá trị kỳ dị của A. 2.3 Tiêu chuẩn Picard Kết quả chính của phần này là một tiêu chuẩn để giải quyết các phương trình tuyến tính bị tác động bởi toán tử compact. Định lý 2.3.1. [3] Cho A : X → Y là toán tử compact giữa hai không gian Hilbert X và Y . Gọi {(σj, ej, fj)} là một hệ kỳ dị của A. Khi đó với một phần tử y ∈ Y cho trước, các điều kiện sau tương đương (i) y ∈ R(A). (ii) y ∈ R(A) và ∑ j∈J σ−2j |〈y, fj〉|2 <∞. Chứng minh. (i)⇒ (ii) : Giả sử y ∈ R(A), suy ra y ∈ R(A). Ta lấy x ∈ X thỏa mãn Ax = y. Khi đó theo Định lý 2.2.10 và sử dụng thêm bất đẳng thức