Luận văn Tập mờ loại hai và suy diễn với tập mờ loại hai

n một minimum hoặc một hàm nào đó. Ta có thể biểu diễn (2-28) theo hàm thuộc thứ cấp của của A~ và B~ , )(~ xÀ và )(~ xBà : (2-25) (2-26) (2-27) (2-28) 33 )(~~ xBÀ ∩ = )/()()( vwguJ J f xu w xux wx ∗∫ ∫∈ ∈ ≡ )(~ xÀ ∏ )(~ xBà , x ∈ X ở đây, v ≡ u ∧ w và ∏ thể hiện phép toán hội (meet). Sử dụng ký hiệu )(~ xÀ ∏ )(~ xBà để thể hiện phép hội giữa hai hàm thuộc thứ cấp )(~ xÀ và )(~ xBà , và đó là một cách viết ngắn gọn cho biểu thức ở giữa của (2-29). Biểu thức (2-29) chỉ ra rằng, để xác định một phép hội giữa hai hàm thuộc thứ cấp )(~ xÀ và )(~ xBà , tr−ớc tiên, ta phải xác định tất cả các giá trị v ≡ u ∧ w ,với mọi cặp u, w có thể (với u J ux∈ và w J wx∈ là các độ thuộc sơ cấp của A~ và B~ t−ơng ứng); t−ơng ứng với mỗi cặp u, w , ta xác định các độ thuộc thứ cấp của )(~~ xBÀ ∪ theo phép toán t-norm giữa hai độ thuộc thứ cấp của )(~ xÀ và )(~ xBà là )(uf x và )(wg x t−ơng ứng. Theo (2-25), để nhận đ−ợc ),(~~ vxBÀ ∩ ta phải xác định phép hội giữa )(~ xÀ và )(~ xBà với mọi giá trị x ∈ X. Trong tr−ờng hợp có nhiều hơn một cặp giá trị u và w cho cùng một giá trị u ∧ w, khi đó trong phép tuyển, chúng ta sẽ chọn giá trị độ thuộc lớn nhất. Ví dụ nếu hai cặp giá trị (u1, w1) và (u2, w2) có cùng giá trị u1∨ w1 = u2∨ w2 = θ , thì giá trị độ thuộc thứ cấp t−ơng ứng với θ đ−ợc chọn là maximum(fx(u1)∗gx(w1), fx(u2)∗gx(w2)). 2.4.3. Phần bù của một tập mờ loại hai Định nghĩa 2-14: Phần bù của một tập mờ loại hai A~ là một tập mờ loại hai khác, ký hiệu A~ đ−ợc xác định nh− sau: A~ ⇔ à A~ (x,v) = xxXx A /)(~∫ ∈ à Trong biểu thức này )(~ xÀ là một hàm thuộc thứ cấp; tại mỗi giá trị của x, )(~ xÀ là một hàm (không giống nh− trong tập mờ loại một, tại mỗi giá trị của x, )(x À là một giá trị). (2-29) (2-30) 34 )(~ xÀ = )1/()( uuJ fuxu x −∫ ∈ ≡ )(~ xÀơ , x∈ X ở đây ơ ký hiệu cho phép toán phủ định. Sử dụng ký hiệu )(~ xÀơ để thể hiện đó là phần bù của )(~ xÀ , thay cho cách viết của biểu thức ở giữa của (2-31). Biểu thức (2-31) chỉ ra rằng, để thực hiện phép phủ định của một hàm thuộc thứ cấp )(~ xÀ , ta phải tính toán các giá trị 1-u, với mọi u J ux∈ , và độ thuộc của )(~ xÀ tại 1-u chính là độ thuộc của )(~ xÀ , fx(u). Theo (2-30), để nhận đ−ợc à A~ (x,v), ta phải xác định phủ )(~ xÀơ cho ∀x ∈ X. Ví dụ 2-8: Để minh họa cho các phép toán hợp, giao, phần bù của hai tập mờ loại hai, chúng ta xem xét ví dụ sau đây. Cho hai tập mờ loại hai, A~ và B~ : A~ = x 1.0/7.00/5.0 + và B~ = x 8.0/9.04.0/3.0 + Nh− vậy, tập xác định X của hai tập mờ A~ và B~ có một phần tử x duy nhất và hàm thuộc thứ cấp t−ơng ứng là )(~ xÀ = 0.5 / 0 + 0.7 / 0.1 và )(~ xBà = 0.3 / 0.4 + 0.9 / 0.8. Từ (2-24), sử dụng minimum t-norm và maximum t-conorm, ta có: )(~~ xBÀ ∪ = )(~ xÀ C )(~ xBà = (0.5 / 0 + 0.7 / 0.1) C (0.3 / 0.4 + 0.9 / 0.8) = 4.00 3.05.0 ∨ ∧ + 8.00 9.05.0 ∨ ∧ + 4.01.0 3.07.0 ∨ ∧ + 8.01.0 9.07.0 ∨ ∧ = 0.3 / 0.4 + 0.5 / 0.8 + 0.3 / 0.4 + 0.7 / 0.8 = max(0.3, 0.3) / 0.4 + max(0.5, 0.7)/ 0.8 =0.3 / 0.4 + 0.7 / 0.8 Từ (2-29), sử dụng mini t-norm và maximum t-conorm, ta có: )(~~ xBÀ ∩ = )(~ xÀ ∏ )(~ xBà = (0.5 / 0 + 0.7 / 0.1) ∏ (0.3 / 0.4 + 0.9 / 0.8) (2-31) 35 = 4.00 3.05.0 ∧ ∧ + 8.00 9.05.0 ∧ ∧ + 4.01.0 3.07.0 ∧ ∧ + 8.01.0 9.07.0 ∧ ∧ = 0.3 / 0 + 0.5 / 0 + 0.3 / 0.1 + 0.7 / 0.1 = max(0.3, 0.5) / 0 + max(0.3, 0.7) / 0.1 =0.5 / 0 + 0.7 / 0.1 Từ (2-29), ta có: )(~ xÀ = )(~ xÀơ = 0.5/(1 - 0) + 0.7/(1 - 0.1) = 0.5/1 + 0.7/0.9 Ví dụ 2-9: Tiếp theo, chúng ta xem xét hội của một tập mờ loại hai đơn trị (singleton), A~ và một tập mờ loại hai, B~ . Tập mờ loại hai đơn trị, A~ là một tập mờ loại hai có hàm thuộc đ−ợc xác định nh− sau: ),(~ vxÀ = ⎩⎨ ⎧ ≠∀ = ' ' 0/1 1/1 xx xx Tập mờ loại hai B~ đ−ợc diễn tả bởi hàm thuộc ),(~ wxBà : ),(~ wxBà = xxX B /)(~∫ à = xwwJ gX xWX /]/)([∫ ∫ ]1,0[⊆J wx Từ (2-29), (2-31), (2-33) và sử dụng minimum t-norm chúng ta có: )(~ xÀ ∏ )(~ xBà = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≠∀ = ∏ ∏ ')(0/1 ')'(1/1 ~ ~ xxx xxx B Bà à = ⎩⎨ ⎧ ≠∀ =∏ '0/1 ')'(1/1 ~ xx xxx Bà = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≠∀ ⊂=∧∈∫ '0/1 ]1,0[')]1/()( '' xx Jandxxww Jw g wxxW X = ⎩⎨ ⎧ ≠∀ = '0/1 ')'(~ xx xxx Bà (2-32) (2-33) (2-34) 36 Nh− vậy, về mặt đồ thị, hội giữa một tập mờ loại hai đơn trị, A~ , và một tập mờ loại hai, B~ , là một lát cắt dọc của ),(~ wxBà tại x = x’ ( )'(~ xBà ) và )'(~ xBà là một tập mờ loại một. 2.5. Kết luận ch−ơng Trên đây là những khái niệm cơ bản về tập mờ loại hai. Tập mờ loại hai là sự mở rộng của tập mờ loại một, nó đ−ợc đặc tr−ng bởi các độ thuộc sơ cấp và các hàm thuộc thứ cấp, giá trị của các độ thuộc sơ cấp và thứ cấp đều thuộc đoạn [0, 1]. Tập mờ loại hai đ−ợc biểu diễn trong không gian ba chiều. Một trong những đặc tr−ng quan trọng của tập mờ loại hai đó là FOU. FOU của một tập mờ loại hai là hợp của các độ thuộc sơ cấp, nó cho biết độ không chắc chắn của một tập mờ loại hai. FOU cho phép nhìn một tập mờ loại hai trong không gian hai chiều. FOU là yếu tố quyết định tới độ phức tạp và chất l−ợng của một hệ logic mờ và nó là một trong những cơ sở xem xét đầu tiên khi thiết kế các hệ logic mờ loại hai. Ngoài ra, ch−ơng này còn đề cập tới các phép toán cơ bản trên tập mờ loại hai bao gồm các phép toán hợp, giao, phần bù. Các phép toán này đ−ợc xác định trên cơ sở phép hội, phép tuyển hoặc một hàm do ng−ời dùng tự định nghĩa. Đây là công cụ để thực hiện các suy diễn đối với tập mờ loại hai mà chúng ta sẽ đề cập tới ở ch−ơng tiếp theo. 37 Ch−ơng 3. Suy diễn với tập mờ loại hai Suy diễn mờ đóng vai trò quan trọng trong một hệ logic mờ, ph−ơng pháp suy diễn quyết định tính phức tạp và chất l−ợng của hệ logic mờ. Hình 3-1 mô tả một hệ logic mờ loại hai, mô tơ suy diễn dựa trên cơ sở các luật mờ để xác định tập mờ đầu ra cho mỗi tập mờ đầu vào. Việc suy diễn mờ có thể đ−ợc thực hiện theo nhiều cách khác nhau song chúng đều đ−ợc xác định dựa trên mối quan hệ mờ giữa các luật. Trong phần này giới thiệu một số ph−ơng pháp suy diễn mờ cơ bản. Tr−ớc khi đi vào các ph−ơng pháp suy diễn, chúng ta xem xét khái niệm quan hệ mờ loại hai và ph−ơng pháp xác định các thành phần của một quan hệ mờ loại hai; các dạng biểu diễn th−ờng gặp của các luật mờ, ph−ơng pháp chuyển đổi một dạng biểu diễn mờ về dạng biểu diễn chuẩn. 3.1. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành 3.1.1. Khái niệm chung Một quan hệ R(A1, A2, …, An) của n tập rõ A1, A2,..An, là một tập rõ trong không gian tích Đê-các A1ìA2ì ..ìAn và R(A1, A2, …, An) ∈ A1ìA2ì ..ìAn. Chúng ta có thể sử dụng hàm thuộc để biểu diễn mối quan hệ rõ này nh− sau: Tập rõ đầu vào Mờ hoá Tập mờ đầu vào Suy diễn Các luật Giảm mờ Giảm loại Tập mờ đầu ra x Tập rõ đầu ra y Tập mờ giảm loại Hình 3-1: Hệ logic mờ loại hai 38 ),..,( 21 aaRà = ⎩⎨ ⎧ ∈ lại ng−ợc nếu 0 ),..A A,R(A),..aa ,(anếu1 n21n21 Một quan hệ mờ loại một F(A1, A2, …, An) là một tập mờ loại một đ−ợc định nghĩa trên không gian tích Đê-các của n tập rõ A1, A2, …, An, ở đây mỗi bộ số (a1, a2, …, an) có một độ thuộc à F (a1, a2, …, an) ∈[0,1] và đ−ợc ký hiệu: F(A1, A2, …, An) = ),...,/(),...,( 2121..21 nnAAA F aaaaaa n ∫ ììì à , ii Aa ∈ Một quan hệ mờ loại hai ),...,,(~ 21 nAAAF là một tập mờ loại hai đ−ợc định nghĩa trên không gian tích Đê-các của n tập rõ A1, A2, …, An, đ−ợc ký hiệu: ),...,,(~ 21 nAAAF = ),...,/(),...,( 2121.. ~21 nnAAA F aaaaaa n ∫ ììì à , ii Aa ∈ ở đây, ),..,,( 21~ nF aaaà là một hàm thuộc thứ cấp và là một tập mờ loại một tại mỗi bộ (a1, a2, …, an). 3.1.2. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành trên cùng một không gian Xét hai không gian tích Đê-các U và V. Gọi ),(~ vuR và ),(~ vuS là hai quan hệ mờ đ−ợc định nghĩa trên các không gian tích Đê-các UìV. Hàm thuộc thứ cấp của ),(~ vuR và ),(~ vuS là các tập mờ loại một. Chúng ta có thể biểu diễn ),(~ vuR và ),(~ vuS theo hàm thuộc thứ cấp nh− sau: ),(~ vuR = ),/(),(~ vuvuVU R∫ ì à = ),/(])([ ),( ),( vuJVU vuvu r∫ ∫ì ∈ αα α ),(~ vuS = ),/(),(~ vuvu VU S∫ ì à = ),/(])([ ),( ),( vuJVU vuvu r∫ ∫ì ∈ βα β ở đây, các hàm thuộc sơ cấp J vuα ),( , J vuβ ),( ∈ [0,1]. Từ (2-36) và (2-41) trong Ch−ơng hai, chúng ta có thể xác định hợp và giao của hai quan hệ mờ này: ),(~~ vuSRà ∪ = ),(~ vuRà C ),(~ vuSà = )/()()( ),(),( ),( ),( βαβαα βα β ∨∗∫ ∫∈ ∈ vuvu sJ J rvu vu (3-1) (3-2) (3-3) (3-4) (3-5) (3-6) 39 ),(~~ vuSRà ∩ = ),(~ vuRà ∏ ),(~ vuSà = )/()()( ),(),( ),( ),( βαβαα βα β ∧∗∫ ∫∈ ∈ vuvu sJ J rvu vu Để minh họa cho hai phép toán trên, chúng ta xem xét ví dụ sau: Ví dụ 3-3: Xét các mối quan hệ mờ sau: “u gần v” và “u nhỏ hơn v”; và “ u gần v” hoặc “u nhỏ hơn v”. Các mối quan hệ này trên cùng không gian UìV. Giả sử U = {u1, u2} = {2, 12} và V = {v1, v2, v3} = {1, 7, 13}. Giá trị độ thuộc thứ cấp của các mối quan hệ mờ: “gần”, ký hiệu là c~ và “nhỏ hơn” , ký hiệu là s~ đ−ợc biểu diễn qua ma trận d−ới đây: v1 v2 v3 U1 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.5/0+1/0.1 ),(~ vucà = U2 0.5/0+1/0.1 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.3/0.8+1/0.9+0.7/1 và: v1 v2 v3 U1 1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5 0.8/0.3 + 0.8/0.4 + 0.9/0.5 + 1/0.6 0.9/0.9 + 1/1 ),(~ vusà = U2 1/0 + 0.1/0.1 + 0.1/0.2 1/0 + 0.3/0.1 1/0.3+0.9/0.4+0.4/0.5 ở đây ),(~ vucà là hàm thuộc của quan hệ mờ “u gần v” và ),(~ vusà là hàm thuộc của quan hệ mờ “u nhỏ hơn v”. Bằng trực giác chúng ta thấy mối quan hệ mờ “ u gần v” hoặc “u nhỏ hơn v” phù hợp hơn mối quan hệ mờ “u gần v” và “u nhỏ hơn v”. Với khái niệm quan hệ mờ, bây giờ chúng ta xác định các hàm thuộc thứ cấp của phép hợp và giao của hai quan hệ mờ trên: Từ (3-6) và (3-7), sử dụng minimun t-norm và maximum t-cornorm ta có: ),( 11~~ vuSRà ∪ = (0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1) C (1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5) = (0.3∧1)/(0.8∨0) + (0.3∧0.9)/(0.8∨ 0.1) + (0.3∧0.4)/(0.8∨ 0.5) + (1∧1)/(0.9∨0) + (1∧0.9)/(0.9∨ 0.1) + (1∧0.4)/(0.9∨ 0.5) + 0.7∧1)/(1∨ 0) + (0.7∧0.9)/(1∨ 0.1) + (0.7∧0.4)/(1∨0.5) = 0.3/0.8 + 0.3/0.8 + 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.9/0.9 + 0.4/0.9 + 0.7/1 + (3-7) 40 0.7/1+0.4/1 = 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1 và ),( 11~~ vuSRà ∩ = (0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1) ∏ (1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5) = (0.3∧1)/(0.8∧0) + (0.3∧0.9)/(0.8∧0.1) + (0.3∧0.4)/(0.8∧0.5) + (1∧1)/(0.9∧0) + (1∧0.9)/(0.9∧0.1) + (1∧0.4)/(0.9∧0.5) + (0.7∧1)/(1∧0) + (0.7∧0.9)/(1∧0.1) + (0.7∧0.4)/(1∧0.5) = 0.3/0 + 0.3/0.1 + 0.3/0.5 + 1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5 + 0.7/0 + 0.7/0.1+0.4/0.5 = 1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5 Tính toán t−ơng tự cho mọi giá trị ui và vj với i = 1, 2 và j = 1, 2, 3 ta nhận đ−ợc ),(~~ vuSRà ∪ và ),(~~ vuSRà ∩ : v1 v2 v3 u1 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1 0.7/0.3+0.8/0.4+ 0.9/0.5+1/0.6 0.9/0.9+1/1 ),(~~ vuSRà ∪ = u2 0.5/0+1/0.1+0.1/0.2 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.3/0.8+1/0.9+0.7/1 và: v1 v2 v3 u1 1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5 0.8/0.3 + 1/0.4 + 0.1/0.5 0.5/0 + 1/0.1 ),(~~ vuSRà ∩ = u2 1/0 + 0.1/0.1 1/0 + 0.3/0.1 1/0.3+0.9/0.4+0.4/0.5 Nh− vậy, từ kết quả trên chúng ta thấy rằng các giá trị độ thuộc sơ cấp có giá trị độ thuộc thứ cấp khác 0 trong phép hợp nhìn chung lớn hơn so với phép giao. Điều này khẳng định mối quan hệ “ u gần v” hoặc “u nhỏ hơn v” phù hợp hơn so với mối quan hệ “ u gần v” và “u nhỏ hơn v”. 41 3.1.3. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành trên các không gian khác nhau Gọi UìV và VìW là hai không gian tích Đê-các khác nhau. Giả sử R~ (U,V) và S~ (V,W) là hai quan hệ mờ loại hai xác định trên hai không gian đó. Phép hợp thành giữa hai quan hệ mờ R~ (U,V) và S~ (V,W) là một tập mờ loại hai xác định trên không gian UìW có hàm thuộc đ−ợc xác định nh− sau: à SR ~~o (u,w) = Vv∈C [ ),(),( ~~ wvvu SR ∏àà ] u∈U, w∈W Để minh họa cho (3-8) chúng ta xem xét ví dụ sau đây: Ví dụ 3-4: Xét hai quan hệ mờ trên hai không gian tích Đê-các khác nhau: quan hệ mờ “u gần v” (ký hiệu là c~ ) trên không gian UìV, ở đây U= {u1, u2}={2, 12} và V={v1, v2, v3} = {1, 7, 13}; và quan hệ mờ “v lớn hơn nhiều w” (ký hiệu là bm~ ) trên không gian VìW, ở đây W={w1, w2}={4, 8}. Hàm thuộc của các quan hệ mờ này lần l−ợt là ),(~ vucà và ),(~ wvbmà đ−ợc xác định nh− sau: v1 v2 v3 u1 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.5/0+1/0.1 ),(~ vucà = u2 0.5/0+1/0.1 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.3/0.8+1/0.9+0.7/1 và: w1 w2 v1 1/0+0.6/0.1 1/0+0.1/0.1 v2 0.4/0.5+1/0.6+0.9/0.7 1/0+0.8/0.1+0.2/0.2 ),(~ wvbmà = v3 0.7/0.9+1/1 0.5/0.6+1/0.7+0.7/0.8 Từ (3-8), phép hợp thành giữa hai quan hệ mờ loại hai c~ và bm~ có hàm thuộc đ−ợc xác định theo (3-9) d−ới đây: à bmc ~~o (ui,wj) = [à c~ (ui,v1)∏à bm~ (v1,wj) ] C [à c~ (ui,v2)∏à bm~ (v2,wj) ] C [à c~ (ui,v3)∏à bm~ (v3,wj) ] ở đây, i = 1, 2 và j = 1, 2, 3. Chẳng hạn: (3-8) (3-9) 42 à bmc ~~o (u1,w1) = [(0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1)∏ (1/0+0.6/0.1)] C [(0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5)∏ (0.4/0.5+1/0.6+0.9/0.7)] C [(0.5/0+1/0.1)∏ (0.7/0.9+1/1)] = 0.7/0.3 + 1/0.4 Tính toán t−ơng tự với mọi ui và vj , i = 1,2 và j = 1, 2, 3 ta nhận đ−ợc à bmc ~~o (u,w): w1 w2 u1 0.7/0.3+1/0.4 0.5/0+1/0.1+0.2/0.2 à bmc ~~o (u,w) = u2 0.3/0.8+1/0.9+0.7/1 0.5/0.6+1/0.7+0.7/0.8 3.1.4. Phép hợp thành của một tập mờ loại hai và một quan hệ mờ loại hai Trong phần này xem xét phép hợp thành của một tập mờ loại hai R~ và một quan hệ mờ loại hai S~ . Giả sử tập mờ loại hai )(~ UR xác định trên không gian U và có hàm thuộc thứ cấp là )(~ uRà ; quan hệ mờ loại hai ),(~ VUS xác định trên không gian UìV và có hàm thuộc thứ cấp là ),(~ vuSà . Khi đó, phép hợp thành của )(~ UR và ),(~ VUS đ−ợc xác định trên V và có hàm thuộc thứ cấp )(~~ vSRà o đ−ợc xác định nh− sau: )(~~ vSRà o = Uu∈C [ )(~ uRà ∏ ),(~ vuSà ] Biểu thức (3-10) đóng vai trò quan trọng nh− là một bộ máy suy diễn của một luật mờ mà các tập mờ giả thiết và kết luận của nó là các tập mờ loại hai. Đây là bộ máy suy diễn cơ bản cho các luật trong một hệ logic mờ loại hai. Ví dụ 3-5: Để minh họa điều này chúng ta xem xét ví dụ sau: xác định phép hợp thành giữa một quan hệ mờ loại hai “u gần v” ( gọi là c~ ) xác định trên không gian UìV có hàm thuộc thứ cấp là ),(~ vucà và một tập mờ loại hai “nhỏ” (gọi là s~ ) xác định trên U có hàm thuộc thứ cấp là )(~ uSà . Giả sử U = {2, 12}, V = {1, 7, 13}; ),(~ vucà và )(~ uSà đ−ợc cho nh− sau: (3-10) 43 v1 v2 v3 u1 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.5/0+1/0.1 ),(~ vucà = u2 0.5/0+1/0.1 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.3/0.8+1/0.9+0.7/1 và u1 u2 )(~ uSà = 0.5/0.7 + 1/0.9 1/0.1+0.3/0.4 áp dụng (3-10), ta xác định đ−ợc hàm thuộc của phép hợp thành giữa tập mờ loại hai s~ và quan hệ mờ c~ : )(~~ jcs và o = [ )( 1~ uSà ∏ ),( 1~ jc vuà ] C [ )( 2~ uSà ∏ ),( 2~ jc vuà ] với j = 1, 2, 3, thay các giá trị của ),(~ vucà và )(~ uSà vào (3-11) ta nhận đ−ợc: v1 v2 v3 )(~~ vcsà o = 0.5/0.7 + 0.3/0.8 + 1/0.9 0.7/0.3 + 1/0.4 + 0.1/0.5 1/0.1 + 0.3/0.4 3.2. Tích Đê-các của các tập mờ loại hai Nh− chúng ta đã biết, tích Đê-các của n tập mờ loại một, A1, A2, …An lần l−ợt xác định trên các không gian X1, X2, …, Xn và có các hàm thuộc t−ơng ứng là )( 1 1 x À , )( 22 xÀ , …, )( nA xnà là một tập mờ loại một xác định trên không gian X1ìX2ì …ìXn và có hàm thuộc đ−ợc xác định theo (3-12): ),...,,( 21...21 nAAA xxx n à ììì = )( 11 xÀ ∗ )( 22 xÀ ∗ …∗ )( nA xnà ở đây x1∈ X1 , x2∈ X2, …, xn∈ Xn và dấu ∗ thể hiện một t-norm (chẳng hạn minimum). Giả sử 1 ~A , 2 ~A , …, nA ~ là các tập mờ loại hai lần l−ợt xác định trên các không gian X1, X2, …, Xn và có các hàm thuộc thứ cấp t−ơng ứng là )( 1~ 1 x À , )( 2~ 2 x À , …, )(~ nA xnà . Tích Đê-các của 1~A , 2~A , …, nA~ , ký hiệu 1~A ì 2~A ì (3-11) (3-12) 44 …ì nA~ là một tập mờ loại hai xác định trên không gian X1ìX2ì …ìXn và có hàm thuộc thứ cấp đ−ợc xác định theo (3-13): ),...,,( 21~...~~ 21 nAAA xxx n à ììì = )( 1~1 xÀ ∏ )( 2~2 xÀ ∏…∏ )(~ nA xnà ở đây x1∈ X1 , x2∈ X2, …, xn∈ Xn và dấu ∏ thể hiện phép toán hội. Trong (3-13), )(~ iA xià là hàm thuộc thứ cấp của iA~ tại giá trị xi và ),...,,( 21~...~~ 21 nAAA xxx n à ììì là giá trị hàm thuộc của tích Đê-các 1~A ì 2~A ì …ì nA~ tại giá trị (x1,…, xn). Ví dụ 3-6: Xét hai không Đê-các U = {u1, u2, u3} và V = {v1, v2}. Giả sử F~ là tập mờ loại hai xác định trên U và G~ là tập mờ loại hai xác định trên V; F~ và G~ có hàm thuộc thứ cấp nh− sau: u1 u2 u3 )(~ uFà = 0.9/0.2+0.9/0.8+0.4/1 0.1/0.4+1/0.7+1/1 0.6/0+0.8/0.2 v1 v2 )(~ vGà = 0.4/0.5+0.3/0.6 0.7/0.6+0.6/0.8+0.1/0.9 Hàm thuộc của tích Đê-các của F~ và G~ đ−ợc xác định nh− sau: ),(~~ jiGF vuà ì = )(~ iF uà ∏ )(~ jG và , i = 1, 2, 3 và j = 1, 2. Thay các giá trị của )(~ uFà và )(~ vGà vào (3-14) ta nhận đ−ợc v1 v2 u1 0.4/0.2+ 0.4/0.5+0.3/0.6 0.7/0.2+0.7/0.6+0.6/0.8+0.1/0.9 u2 0.1/0.4+0.4/0.5+0.3/0.6 0.1/0.4+0.7/0.6+0.6/0.7+0.6/0.8+0.1/0.9 ),(~~ vuGFà ì u3 0.4/0+0.4/0.2 0.6/0.7+0.7/0.2 (3-13) (3-14) 45 3.3. Các dạng luật mờ Chúng ta xem xét các dạng luật mờ trong hệ logic mờ loại một. Giả sử có p biến đầu vào x1 ∈ X1, x2 ∈ X2, …,xp ∈ Xp và một biến đầu ra y ∈ Y. Dạng luật mờ chuẩn của hệ đ−ợc phát biểu: Rl : if x1 is F1 l and … and xp is Fp l then y is Gl, l = 1…M ở đây, hệ có M luật và Rl là luật thứ l của hệ. Mỗi luật luật thể hiện mối quan hệ mờ loại một giữa không gian đầu vào X1ìX2…ìXp và không gian đầu ra Y của hệ. Các dạng thể hiện của các luật mờ th−ờng gặp đ−ợc tổng hợp d−ới đây: 1. Luật mờ không đầy đủ (Incomplete): Luật mờ không đầy đủ là luật mờ mà phần giả thiết (vế trái của luật) chỉ có m biến đầu vào (m < p): if x1 is F1 and … and xm is Fm then y is G, m < p Để chuyển một luật mờ không đầy đủ thành một luật mờ đầy đủ chúng ta thêm (p – m) biến còn thiếu là các biến của (p – m) tập mờ không đầy đủ IN- COMPLETE (IN), với à IN (x) = 1 với Xx∈∀ vào vế trái của luật: (if x1 is F1 and … and xm is Fm then y là G) ⇔ (if x1 is F1 and … and xm is Fm and xm+1 is IN and …and xp is IN then y is G) 2. Luật pha trộn: Luật pha trộn là luật mà vế trái của luật vừa chứa toán tử “and” (“và”) vừa chứa toán tử “or” (“hoặc”): (if x1 is F1 and … and xm is Fm ) or (xm+1 is Fm+1 and …and xp is Fp) then y is G. Luật dạng này có thể đ−ợc biểu diễn thành hai luật: R1: (if x1 is F1 and … and xm is Fm ) then y is G R2: (if xm+1 is Fm+1 and …and xp is Fp) then y is G đây là hai luật không đầy đủ 3. Luật khai báo: Luật khai báo là luật chỉ mang tính chất khai báo một tập mờ, chẳng hạn “y is G”. Rõ ràng luật này là một tr−ờng hợp đặc biệt của luật mờ không đầy đủ và nó có thể đ−ợc biểu diễn lại: if x1 is IN and …and xp is IN then y is G (3-15) 46 4. Luật so sánh: một số luật mang tính chất so sánh nh− sau: “the smaller the x the bigger the y”( “nhỏ hơn là x, lớn hơn là y”). Với các luật dạng này chúng ta có thể chuyển sang dạng phát biểu if-then: if x is S then y is B ở đây S là tập mờ nhỏ hơn và B là tập mờ lớn hơn. 5. Luật phát biểu Unless (trừ khi): một số luật đ−ợc thể hiện d−ới dạng phát biểu trừ khi: y is G Unless x1 is F1 and …and xp is Fp Luật này có thể đ−ợc biểu diễn lại d−ới dạng if-then: if not(x1 is F1 and …and xp is Fp) then y is G Sử dụng luật De Morgan BA∩ = A ∪ B , luật trên có thể đ−ợc biểu diễn: if x1 is not F1 or…or xp is not Fp then y is G ở đây “not Fi” là một tập mờ. Luật này lại có thể đ−ợc tách thành p luật mờ không đầy đủ: if xi is not Fi then y is G, i= 1..p Mở rộng cho hệ logic mờ loại hai, giả sử có p biến đầu vào x1 ∈ X1, x2 ∈ X2, …,xp ∈ Xp và một biến đầu ra y ∈ Y, hệ có M luật. Dạng luật mờ chuẩn thứ l của hệ đ−ợc phát biểu: Rl : if x1 is 1 ~F and … and x2 is pF ~ then y is G~ , l = 1..M Mỗi luật thể hiện mối quan hệ giữa không gian đầu vào X1ìX2ì…ìXp và không gian đầu ra Y của hệ. 3.4. Một số ph−ơng pháp suy diễn mờ loại hai 3.4.1. Suy diễn mờ dựa vào phép hợp thành Cơ sở của ph−ơng pháp suy diễn này là dựa vào phép hợp thành giữa tập mờ đầu vào và quan hệ mờ đ−ợc xác định từ các luật. Từ dạng phát biểu if-then của luật trong (3-16), chúng ta có thể biểu diễn lại (3-16) d−ới dạng một phép kéo theo mờ: Rl : llllp l GAGFF ~~~~...~1 →=→ìì , l = 1…M ở đây ký hiệu lp ll FFA ~...~~ 1 ìì= (3-16) (3-17) 47 Rl đ−ợc đặc tr−ng bởi hàm thuộc ),( yxlRà = ),,...,( 1 yxx pRlà ),( yxlRà = ),(~~ yxll GÀ → Rl thể hiện mối quan hệ mờ giữa p tập mờ loại hai đầu vào pl l l FF ~,...,~ và tập mờ loại hai đầu ra lG~ do đó ta có: ),( yxlRà = ),(~~ yxll GÀ → = )()(...)( ~~1~1 yxx llpl GpFF ∏∏∏ ààà = )()( ~1 ~ yx lli Gi p i F ∏∏ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ = àà p giá trị đầu vào của hệ xác định một tập mờ xA ~ có hàm thuộc nh− sau: )(~ x xA à = ∏∏ )(...)( ~1~ 1 pXX xx p àà = )(1 ~ ipi X xi∏= à iX ~ (i=1..p) là các nhãn của các tập mờ đầu vào. Mỗi luật Rl xác định một tập mờ loại hai lB~ đầu ra t−ơng ứng với mỗi tập mờ đầu vào xA ~ nh− sau: lB~ = xA ~ o lR và hàm thuộc của lB~ đ−ợc xác định theo (3-21): )(~ ylBà = )(~ ylx RÀ o = Xx∈C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∏ ),()(~ yxx lx RA àà , y ∈ Y, l = 1..M Biểu thức (3-21) thể hiện mối quan hệ giữa tập mờ loại hai đầu vào và tập mờ loại hai đầu ra thông qua phần tử suy diễn của hệ logic mờ đ−ợc mô tả trong Hình (3-1). Đây chính là phép hợp thành giữa tập tập mờ đầu vào và luật bị đốt cháy. Từ (3-19), (3-20), (3-21) chúng ta có: )(~ ylBà = Xx∈C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∏ ),()(~ yxx lx RA àà = Xx∈C ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∏ ∏∏∏ == )()()( ~1 ~1 ~ yxx lii Gipi Fipi X ààà = Xx∈C ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∏∏∏= )()()( ~~1 ~ yxx lii GiFipi X ààà = )(~ ylGà ∏ {[ 11 Xx ∈C )( 1~1 xXà ∏ )( 1~1 xlFà ]∏ …∏ [ pp Xx ∈C )(~ pX xpà ∏ )(~ pF xlpà ]}, y∈Y (3-18) (3-19) (3-20) (3-21) (3-22) 48 Tập mờ kết quả đầu ra cuối cùng B~ nhận đ−ợc từ việc kết hợp M tập mờ lB~ , l =1..M: B~ = 1~B ⊕…⊕ MB~ . 3.4.2. Suy diễn mờ dựa trên sự t−ơng tự của các tập mờ Phần 3.4.1 đã trình bày một ph−ơng pháp suy diễn mờ, ph−ơng pháp đó dựa vào việc xác định phép hợp thành giữa sự kiện (fact) và cơ sở luật (rule) đề đ−a ra kết luận (conclusion). Trong phần này trình bày một ph−ơng pháp suy diễn khác dựa vào sự t−ơng tự của các luật. Kết luận đ−ợc xác định dựa trên việc xác định sự t−ơng tự giữa sự kiện (fact) và giả thiết của luật (vế trái của luật). Ph−ơng pháp này đ−ợc đề xuất bởi Tsang, Turksen và Zhong. Tr−ớc khi xem xét chi tiết phép suy diễn, chúng ta xem xét một số khái niệm liên quan: phép chiếu của một quan hệ mờ, độ t−ơng tự giữa hai tập mờ loại hai. 3.4.2.1. Phép chiếu của một quan hệ mờ loại hai Gọi Q~ là một quan hệ mờ loại hai trong không gian tích Đê-các X1ìX2ì…Xn, và {i1, …, ik} là một dãy con của dãy {1, 2,…, n}, khi đó phép chiếu của Q~ lên không gian kii XX ìì ... 1 là một quan hệ mờ pQ ~ trong không gian kii XX ìì ... 1 đ−ợc định nghĩa: pQ ~ = ),...,/()],...,([ 1,..., 1~,...,)()(11 )()(11 sup ikinQ xxXxXx xxXxXxknJknjJj knJknjJj∑ −− −−∈∈ ∈∈ à = ),...,/()],...,([ 11~,..., ,...,)()(11 )()(11 ikinQ xxxxXxXx XxXxknJknjJj knJknjJj à∑ −− −− ∈∈ ∈∈U = ).../()].../()(...)([ 1,..., )(,..., )()()(11 1 1 ikiknJwJu xxwuwxfuXxXx xf knjknJknjJj j j ∨∨∨∨ −−− ∑ ∑∈∈ −∈∈ ở đây, {xj1,…,xj(n-k)} là phần bù của {xi1, …,xik} trong tập {x1, …,xn} và U ký hiệu cho phép toán chiếu của tập mờ loại hai. 3.4.2.2. Độ t−ơng tự giữa hai tập mờ loại hai Gọi A~ và B~ là hai tập mờ loại hai xác định trên không gian rời rạc X: A~ = ii N i A xx /)( 1 ~∑= à = iNi u x xuuf i /]/)([1∑ ∑= , ixJu∈ (3-23) 49 B~ = ii N i B xx /)( 1 ~∑= à = iNi u x xuug i /]/)([1∑ ∑= , ixJu∈ ở đây Bx A xx iii JJJ ~~ == là các hàm thuộc sơ cấp tại các giá trị cụ thể của x của A~ và B~ . Khi đó độ t−ơng tự giữa hai tập mờ A~ và B~ , ký hiệu )~,~(~ BAS đ−ợc xác định nh− sau: )~,~(~ BAS = ∑ =Ni iBiA xxSN 1 ~~ ))(),((1 àà Trong đó S(.) là độ t−ơng tự của hai tập mờ loại một. Độ t−ơng tự của hai tập mờ loại một A và B lần l−ợt có hàm thuộc là )(x À và )(xBà đ−ợc định nghĩa theo (3-25): 2)}(),(max{ )}()({ ),( xx xx BAS BAXx Xx BA àà àà ∑ ∑ ∈ ∈= Vì )(~ xÀ và )(~ xBà là các tập mờ loại hai, dó đó, từ (3-24) và (3-25) ta có: )~,~(~ BAS = ∑ =Ni iBiA xxSN 1 ~~ ))(),((1 àà = ∑ ∑ ∑ = N i u xx u xx uguf uguf N ii ii 1 2 ])}(),([max{ )}().({1 ở đây Xxi ∈ và xJu∈ . Quy −ớc: Khi ∑u xx uguf ii ])}(),([max{ 2 = 0 thì 1))(),(( ~~ =iBiA xxS àà và S( A~ , B~ ) = 1. Chú ý rằng, trong định nghĩa trên các giá trị hàm thuộc sơ cấp AxiJ ~ của A~ và BxiJ ~ của B~ tại mỗi giá trị xi của x là nh− nhau ( AxiJ ~ = BxiJ ~ , với mọi xi). Trong tr−ờng hợp AxiJ ~ và BxiJ ~ khác nhau, khi đó chúng ta có thể điều chỉnh đề hai tập A xi J ~ và BxiJ ~ thành ' ix J bằng cách gán giá trị 0 cho độ thuộc thứ cấp tại các phần tử đ−ợc thêm vào mỗi tập AxiJ ~ và BxiJ ~ đề trở thành ' ix J . Xét ví dụ sau đây: Giả sử U={ 321 , , xxx } và: (3-24) (3-25) (3-26) 50 1 2 3 (0.4 / 0.5) (0.5 / 0.6) (0.7 / 0.4) (0.4 / 0.5) (0.8 / 0.3) (0.9 / 0.4)A x x x + + += + +