Luận văn Về dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân trong không gian hilbert

V1(τ)xdτ ............. Vn(t)x = t∫ s U(t, τ)B(τ)Vn−1(τ)xdτ Bổ đề 1.4. Chuỗi ∞∑ n=0 Vn(t) hội tụ tuyệt đối trên [s; t0] trong đó t0 ∈ R+ Chứng minh. Lấy τ ∈ R+. Kí hiệu ∆τ0 = { (t; s)/t, s ∈ R+; 0 ≤ s ≤ t ≤ τ0 } . Xét phương trình (1.35). Từ tính chất của họ toán tử tiến hóa, ta suy ra (U(t, s))t≥s là bị chặn mũ, tức là tồn tại Mi0 và ωi0 sao cho ||U(t, s)|| ≤Mi0 .e ωi0(t−s) với t ≥ s; (t, s) ∈ ∆τ0. Do đó, (W (t, s))t≥s là cũng bị chặn mũ, tức là tồn tại Mi1 và ωi1 sao cho ||W (t, s)|| ≤Mi1 .e ωi1(t−s) Từ giả thiết B(t) ∈ L(X), ∀t ∈ R+, ta có thể suy ra |||B(t)|| − ||B(t0)||| ≤ |||B(t)|| − B(t0)||| → 0 Mặt khác, B(t) : R+ → R nên sup [0,τ0] ||B(t)|| ≤ b0 < +∞. Xét dãy Vn, ta thấy ||Vn|| ≤M0. Khi đó ||V1(t)|| ≤M 2 0 .b0(t− s) ||V2(t)|| ≤M 3 0 .b 2 0 (t− s)2 2! ............ ||Vn(t)|| ≤ M n+1 0 .b n 0 (t− s)n n! Theo tiêu chuẩn Dalambert, chuỗi ∞∑ n=0 Mn0 bn0 (t− s) n n! hội tụ. 21 Kí hiệu W (t, s) = ∞∑ n=0 Vn(t; s) Bổ đề 1.5. Phương trình W (t, t0)y0 = U(t, t0)y0 + t∫ t0 U(t, τ)B(τ)W (τ, t0)y0dτ có nghiệm duy nhất là y(t) = W (t, t0)y0 Chứng minh: Tính duy nhất nghiệm được suy ra trực tiếp từ bổ đề 1.1 và 1.3 Nhận xét 1.1. W (t; s) : X → X với (t; s) ∈ ∆τ0 là họ các toán tử bị chặn mũ thỏa mãn các điều kiện của định lí 1.3 22 Chương 2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân trong không gian Hilbert 2.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert 2.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm Cho H là không gian Hilbert tách được với cơ sở trực chuẩn là {en}∞1 . Khi đó, với mỗi x ∈ H, ta có x = ∞∑ j=0 ejxj = (x1; x2; .....; xn; ....) Trong H ta xét PTVP dx dt = f(t, x) (2.1) Trong đó, f : [a; b]×H→ H với t ∈ [a; b], x ∈ H. Như vậy, trong cơ sở trực chuẩn này thì PTVP (2.1) có thể viết được dưới dạng hệ vô hạn các PTVP như sau  dx1 dt = f1(t, x1, x2, ....) dx2 dt = f2(t, x1, x2, ....) ........... dxn dt = fn(t, x1, x2, ....) ............... (2.2) 23 Từ nay về sau, nếu không nói gì thêm ta sẽ hiểu nghiệm của (2.1) là nghiệm theo nghĩa cổ điển như sau: Định nghĩa 2.1. Hàm trừu tượng x = x(t) với x : [a; b]→ H xác định trên [a; b], khả vi liên tục theo t ∈ [a; b] được gọi là nghiệm của (2.1) nếu dx dt = f(t, x), ∀t ∈ [a; b] Xét bài toán Cauchy { x˙(t) = f(t, x) x(t0) = x0 (2.3) Tương ứng với phương trình (2.3), ta xét phương trình dạng tích phân x(t) = x0 + t∫ t0 f(τ, x(τ))dτ (2.4) Nhận xét 2.1. Nếu f liên tục theo chuẩn trong H thì ta có thể chỉ ra được rằng nghiệm của (2.4) là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại. Ta có f = (f1, f2, ....) ; x(t) = (x1(t), x2(t), ....) (2.5) Do đó, (2.4) có thể viết được dưới dạng tọa độ xk(t) = x 0 k + t∫ t0 fk(τ, x1(τ), x2(τ), ...); k = 1, 2, ... Tương tự như đối với PTVP trong không gian Banach, ta có các định lí sau: Định lý 2.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương) Giả sử tồn tại lân cận đóng của (t0, x0) sao cho trong lân cận đó hàm f(t, x) liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz ||f(t, x2)− f(t, x1)|| ≤M.||x2− x1|| với M là hằng số dương hữu hạn. Khi đó, tồn tại lân cận của x0 mà trong lân cận đó (2.3) có duy nhất nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện x(t0) = x0 Nhận xét: Định lí trên chỉ ra rằng nghiệm x(t) chỉ tồn tại và duy nhất trên |t − t0| ≤ ε, ||x − x0|| ≤ η với ε, η đủ nhỏ. Định lí sau đây sẽ chỉ ra sự tồn tại nghiệm trên toàn đoạn [a, b] Định lý 2.2. (Tính duy nhất nghiệm toàn cục) Giả sử tồn tại miền [a, b]×H mà trên đó hàm f(t, x) liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Khi đó, với mọi (t0, x0) ∈ [a, b] × H thì bài toán Cauchy có nghiệm duy nhất x = x(t, t0, x0) xác định trên [a, b]. 24 Định lý 2.3. (Sự kéo dài nghiệm trong không gian Hilbert) Giả sử với ||x|| <∞, t ≤ t0, hàm f(t, x) thỏa mãn điều kiện ||f(t, x(t))|| ≤ L(||x||), trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất r∫ r0 dr L(r) → ∞ khi r → ∞. Khi đó, mọi nghiệm của PTVP (2.3) có thể kéo dài được trên khoảng thời gian vô hạn t0 ≤ t <∞ Chứng minh. Vì || x(t2)− x(t1) t2 − t1 || ≥ | ||x(t2)|| − ||x(t1)|| t2 − t1 | ⇒ || dx dt || ≥ | d||x|| dt | Mặt khác từ dx(t) dt = f(t, x(t)) và ||f(t, x)|| ≤ L(||x||), ta suy ra L(||x||) ≥ | d||x|| dt | Lấy tích phân dọc đường cong x = x(t) từ điểm x0 = x(t0) đến điểm x theo chiều tăng của t ta được t∫ t0 dr ≥ t∫ t0 d||x|| dt . 1 L(||x||) dr ⇒ t− t0 ≥ ||x||∫ ||x0|| dr L(r) Với r = x(t). Do r∫ r0 dr L(r) → ∞ khi r → ∞ nên nếu ||x|| → ∞ thì t → ∞. Do đó, nghiệm có thể thác triển ra vô hạn. Sau đây, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân. 2.1.2 Một số khái niệm ổn định nghiệm Giả sử H là không gian Hilbert tách được và D = {(t, x) ∈ (a, b)×H : |t− t0| ≤ T ; ||x− x0|| ≤ r} Xét phương trình vi phân dx dt = f(t, x) (2.6) 25 trong đó, t ∈ R+, x ∈ H, f : D → H là một hàm liên tục thỏa mãn f(t, 0) = 0 và thỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức là tồn tại L > 0 sao cho ∃L > 0, ∀(t, x1), (t, x2) ∈ D : ||f(t, x1)− f(t, x2)|| ≤ L||x1 − x2|| Kí hiệu G = {x : x ∈ H, ||x|| ≤ h ≤ r <∞} ; x(t) = x(t, t0, x0) là nghiệm của (2.6) ; x(t0) = x0, x0 ∈ G Định nghĩa 2.2. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi là ổn định theo Lyapunov khi t→ +∞ nếu ∀ε > 0, t0 ∈ R+∃δ = δ(t0, ε) > 0, ∀x0 ∈ G, ||x0|| ≤ δ → ||x(t, t0, x0)|| < ε, ∀t ≥ t0 Định nghĩa 2.3. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi là ổn định đều theo Lyapunov khi t→ +∞ nếu ∀ε > 0, t0 ∈ R +, ∃δ = δ(ε) > 0 : ∀x0 ∈ G, ||x0|| ≤ δ → ||x(t, t0), x0|| < ε, ∀t ≥ t0 Định nghĩa 2.4. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi là ổn định tiệm cận khi t→ +∞ nếu: (i) nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định. (ii) Tồn tại ∆ = ∆(t0) > 0 sao cho với mọi x0 ∈ G và ||x0|| < ∆ thì lim t→∞ ||x(t, t0, x0)|| = 0 Định nghĩa 2.5. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi là ổn định tiệm cận đều khi t→ +∞ nếu: (i) nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định. (ii) Tồn tại ∆ > 0 (không phụ thuộc vào t0) sao cho với mọi x0 ∈ G và ||x0|| < ∆ thì lim t→∞ ||x(t, t0, x0)|| = 0 Định nghĩa 2.6. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi là ổn định mũ khi t→ +∞ nếu đối với mỗi nghiệm x(t) = x(t, t0, x0) của (2.6) ở trong miền nào đó t0 ≤ t <∞, ||x|| ≤ h < M thỏa mãn bất đẳng thức ||x(t)|| ≤ N ||x0||e −α(t−t0), (t ≥ t0) trong đó N,α là các hằng số dương nào đó không phụ thuộc vào sự lựa chọn nghiệm. Sau đây, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm về tính ổn định bên trái, tính ổn định về bên phải và tính song ổn định nghiệm tầm thường của phương 26 trình vi phân: Xét phương trình dx dt = A(t)x (2.7) với A(t) đo được mạnh và khả tích Bochner t ≥ 0. Phương trình (2.7) được gọi là ổn định (nói riêng là ổn định bên phải) nếu mọi nghiệm của nó bị chặn trên nửa khoảng [0;∞). Bổ đề 2.1. Điều kiện cần và đủ để phương trình (2.7) ổn định là toán tử Cauchy của nó bị chặn đều sup t≥0 ||U(t)|| <∞ Chú ý 2.1. Điều kiện cần và đủ đối với sự ổn định bên phải là tồn tại hằng số q > 0 sao cho với nghiệm x(t) bất kì của (2.7) thỏa mãn ||x(t)|| ≤ q||x(0)|| (2.8) Giá trị nhỏ nhất của hằng số đó là q0 thỏa mãn đẳng thức q0 = sup t≥0 ||U(t)|| Chú ý 2.2. Tính ổn định bên phải của (2.7) tương đương với tính ổn định bên phải của phương trình toán tử dX dt = A(t)X Ta thấy rằng , việc chọn [0;∞) không ảnh hưởng đến định nghĩa tính ổn định của phương trình. Ta có thể thay thế bằng nửa khoảng [t0;∞) và q0 = sup t≥0 ||U(t, t0)||. Hằng số q0 phụ thuộc vào việc chọn t0. Phương trình (2.7) được gọi là ổn định bên phải đều nếu tồn tại hằng số N > 0 sao cho nghiệm x(t) bất kì thỏa mãn ||x(t)|| ≤ N ||x(s)|| (2.9) trong đó N = sup t≥s≥0 ||U(t, s)|| <∞ Chú ý 2.3. Giả sử A(t) = A là toán tử hằng. Trong trường hợp U(t, s) = eA(t−s) thì nghiệm x(t) ≡ 0 của phương trình ổn định đều nếu sup t≥0 ||eAt|| <∞ Ta nói phương trình (2.7) ổn định bên trái nếu tồn tại hằng số q′ > 0 sao cho nghiệm x(t) bất kì của phương trình thỏa mãn ||x(0)|| ≤ q′||x(t)||, ∀t ≥ 0 27 Tính ổn định bên trái rõ ràng tương đương với tính giới nội đều của toán tử U−1(t) q′ = sup t≥0 ||U−1(t)|| <∞ Ta chú ý rằng nghiệm của phương trình liên hợp dX dt = −A(t)X được biểu diễn dưới dạng X(t) = X(0)U−1(t), tính ổn định bên trái của (2.7) tương đương với tính ổn định bên phải của phương trình liên hợp của nó. Ta nói tính ổn định bên trái đều của nghiệm nếu ||x(s)|| ≤ N ||x(t)||, ∀0 ≤ s ≤ t và N không phụ thuộc vào s, t. Rõ ràng, tính ổn định bên trái đều tương đương với điều kiện sup t≥s≥0 ||U(t, s)|| <∞ (2.10) Ta nói phương trình (2.7) là song ổn định trên nửa khoảng [0;∞) nếu nó ổn định bên trái và ổn định bên phải. Do đó, (2.7) song ổn định khi và chỉ khi sup 0≤t<∞ ||U±1(t)|| <∞ hoặc tương đương với điều kiện nếu và chỉ nếu sup 0≤s,t<∞ ||U(t, s)|| <∞ (2.11) Vậy nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình song ổn định là ổn định bên trái đều và ổn định bên phải đều. Mặt khác, nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình là ổn định nếu tồn tại hằng số q > 0 sao cho x(t) bất kì thỏa mãn ||x(t)|| ≤ q||x(s)||, (0 ≤ s, t <∞) Bổ đề 2.2. Nếu toán tử A(t) thỏa mãn điều kiện phản tự liên hợp A(t) = −A∗(t) tức là = − thì nghiệm U(t, τ) của phương trình (2.7) là song ổn định Chứng minh. Ta có: ||x(t)|| = √ . Ta cần chứng minh tồn tại ε sao cho 1− ε ≤ ||x(t)|| ≤ 1 + ε Thật vậy: Đặt v(t) = ||x(t)||2 =. Khi đó: v˙(t) = + = + = 0 28 Do đó v(t) = c = const . Chọn v(0) = c0 = 1. Vậy v(t) = ||x(t)||2 = 1 và q||x(0)|| ≤ ||x(t)|| ≤ q′||x(0)|| Theo điều kiện (2.9) và (2.10) thì nghiệm x(t) ≡ 0 là song ổn định 2.2 Tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân với dạng tam giác trên trong tôpô yếu 2.2.1 Không gian L(H) và các khái niệm tôpô yếu, tôpô mạnh và tôpô đều Cho H là không gian Hilbert thực tách được (ta cũng coi H là không gian Hilbert phức tương ứng). Kí hiệu L(H) là không gian của các toán tử tuyến tính giới nội trên H. Giả sử B(t) ∈ L(H). Khi đó, ta có các khái niệm sau: 1. B(t) hội tụ đều tới B(t0) nếu |||B(t)|| − ||B(t0)||| → 0, t→ t0 nghĩa là ∀ε > 0, ∃δ > 0, |t− t0| < δ ⇒ | sup x∈H ||B(t)||x− sup x∈H ||B(t0)||x| ≤ ε, ∀x ∈ H 2. Bx(t) hội tụ mạnh tới Bx(t0) nếu |||Bx(t)|| − ||Bx(t0)||| → 0, t→ t0 nghĩa là ∀ε > 0, ∃δ > 0, |t− t0| < δ ⇒ | sup x∈H ||Bx(t)|| − ||Bx(t0)||| ≤ ε, ∀x ∈ H 3. B(t) hội tụ yếu tới B(t0) nếu || || → 0, t → t0, ∀x ∈ H, x′ ∈ H ′ Ta viết x ′ (x) thay cho và kí hiệu σ(H,H ′) là một tôpô trên H và σ(H ′, H) là một tôpô yếu trên H ′. Không gian L(H) là không gian Banach với chuẩn ||T || = sup {||Tx|| : ||x|| ≤ 1} , T ∈ L(H) Trên L(H), ta xét hai tôpô như sau: ta viết Ls(H) nếu L(H) là tôpô mạnh hội tụ với chuẩn (H, ||.||) và Lσ(H) nếu L(H) là tôpô yếu hội tụ với chuẩn (H, σ(H,H ′)) Bổ đề 2.3. Dãy (Tα)α ∈ A ⊂ Ls(H) hội tụ tới T ∈ Ls(H) nếu và chỉ nếu 1. ||Tα − T || → 0 (hội tụ đều) 2. ||Tαx− Tx|| → 0, ∀x ∈ H ( hội tụ mạnh ) 3. | | → 0, ∀x ∈ H, x′ ∈ H ′ ( hội tụ yếu ) 29 Mệnh đề 2.1. Cho K ∈ L(H). Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: (a) K giới nội đối với tôpô yếu. (b) K giới nội đối với tôpô mạnh. (c) K giới nội đối với tôpô đều, nghĩa là ||T || ≤ c, ∀T ∈ K. 2.2.2 Khái niệm tính chính quy Cho H là không gian Hilbert thực tách được (ta cũng coi H là không gian Hilbert phức tương ứng). Đặt A : R+0 → L(H). Ta giả sử lim sup t→+∞ 1 t log+||A(t)|| = 0 là đúng, trong đó log+x = max {0, logx}. Xét bài toán{ v˙(t) = A(t)v(t) v(0) = v0 (2.12) với v0 ∈ H. Với giả sử trên, ta dễ dàng chỉ ra (2.12) có nghiệm duy nhất x(t) và nghiệm này là nghiệm toàn cục theo thời gian dương. Số mũ Lyapunov λ : H → R ∪ {+∞} của phương trình (2.12) được xác định bởi: λ(v0) = lim sup t→+∞ 1 t log||v(t)|| (2.13) với quy ước log0 = −∞. Ta cố định một dãy tăng các không gian con H1 ⊂ H2 ⊂ ....., dimHn = n với mỗi n ∈ N bao đóng hợp các không gian con đó chính là H. Do Hn là không gian vector hữu hạn chiều nên với mỗi n ∈ N, hàm λ hạn chế trên Hn \ {0} có thể viết dưới dạng −∞ ≤ λ1,n < ........... < λpn,n, pn ≤ n (2.14) Hơn nữa, với mỗi i = 1, ..., pn tập Ei,n = {v ∈ Hn : λ(v) ≤ λi,n} (2.15) là không gian con tuyến tính của Hn. Ta cũng coi các giá trị λ ′ 1,n ≤ ...... ≤ λ ′ n,n (2.16) của số mũ Lyapunov λ trên Hn \ {0} đếm được với phép nhân, điều này nhận được bằng cách cho tương ứng với mỗi giá trị λi,n với một số dimEi,n−dimEi−1,n với E0,n = {0}. Xét bài toán { w˙ = −A(t)∗w w(0) = w0 (2.17) 30 với w0 ∈ H, ở đây ta thay −A(t)∗ thay cho A(t). Số mũ Lyapunov µ : H → R ∪ {−∞} của phương trình (2.17) được xác định bởi: µ(w0) = lim sup t→+∞ 1 t log||w(t)|| (2.18) Với mỗi n ∈ N, hàm µ hạn chế trên Hn \ {0} có thể viết dưới dạng −∞ ≤ µqn,n < ........... < µ1,n, qn ≤ n (2.19) Hơn nữa, với mỗi i = 1, ..., qn tập Fi,n = {w ∈ Hn : µ(w) ≤ µi,n} (2.20) là không gian con tuyến tính của Hn. Ta cũng coi các giá trị µ ′ 1,n ≥ ...... ≥ µ ′ n,n (2.21) của số mũ Lyapunov µ trên Hn \ {0} đếm được với phép nhân, điều này nhận được bằng cách cho tương ứng với mỗi giá trị µi,n với một số dimFi,n−dimFi+1,n với Fn+1,n = {0}. Ta luôn giả sử rằng số mũ Lyapunov λ và µ là đếm được trong các giá trị{ λ ′ i,n : n ∈ N, i = 1, ..., n } và { µ ′ i,n : n ∈ N, i = 1, ..., n } (2.22) và không có giá trị nào khác. Ta kí hiệu tương ứng bởi λ ′ i và µ ′ i đối với mỗi i ∈ N. Giá trị của λ và µ trên H \ {0}là đếm được đối với phép nhân. Ta nhắc lại, với 2 cơ sở v1, ...., vn và w1, ...., wn của Hn được gọi là đối ngẫu nếu = δij với mọi i, j. Định nghĩa 2.7. Hệ số chính quy của λ và µ được xác định bởi γ(λ, µ) = sup {γn(λ, µ) : n ∈ N} ở đó γn(λ, µ) = minmax {λ(xi) + µ(yi) : 1 ≤ i ≤ n} (2.23) với giá trị nhỏ nhất nhận được trên tất cả các cơ sở đối ngẫu v1, ...., vn và w1, ...., wn của Hn Nhận xét 2.2. Vì Hn là không gian vector hữu hạn chiều nên γn(λ, µ) ≥ 0 với mọi n ∈ H do đó γ(λ, µ) ≥ 0 Định nghĩa 2.8. Ta nói phương trình (2.12) là chính quy Lyapunov nếu γ(λ, µ) = 0 31 Nhận xét 2.3. Ta thấy (i) γ(λ, µ) = 0⇔ γn(λ, µ) = 0. (ii) Khái niệm trong định nghĩa 1.2 trong không gian hữu hạn chiều cũng chính là khái niệm được giới thiệu bởi Lyapunov. Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho −∞ ≤ λ ′ 1 ≤ λ ′ 2 ≤ ....... < −δ và µ ′ 1 ≥ µ ′ 2 ≥ ..... > δ (2.24) Tính chính quy Lyapunov của (2.12) cũng chỉ ra rằng λ ′ i + µ ′ i = 0, ∀i ∈ N (2.25) 2.2.3 Sự rút gọn về phương trình dạng tam giác trên Giả sử H là không gian Hilbert tách được. Trước tiên, ta thực hiện phép rút gọn một hàm bất kì A(t) tới một hàm có dạng tam giác trên như sau: cố định một cơ sở trực chuẩn của H bởi các vector u1, u2, .... sao cho Hn = span {u1, ...., un} với mỗi n. Ta có thể chỉ ra rằng, sự rút gọn một hàm sinh của A(t) tới một hàm có dạng tam giác trên A(t) với mỗi t ≥ 0, tương ứng bằng cách cố định cơ sở u1, u2, .... của H như sau: = 0, với mỗit ≥ 0, i < j Chú ý rằng, cơ sở này là phụ thuộc vào t. Sự rút gọn về dạng tam giác trên rất quan trọng, ta có thể nghiên cứu không gian vô hạn chiều thông qua không gian hữu hạn chiều. Định lý 2.4. Đối với hàm liên tục A : R+0 → L(H), tồn tại các hàm liện tục B : R+0 → L(H) và U : R + 0 → L(H) sao cho: 1. B(t) là hàm dạng tam giác trên ( nghĩa là = 0, i < j) và ||B(t) Hn|| ≤ 2n||A(t)|| với mỗi t ≥ 0 và n ∈ N. là khả tích Fréchet, U(0) = Id và với mỗi t ≥ 0, U(t) là toán tử đơn vị . 2. Bài toán (2.12) tương đương với x ′ = B(t)x, x(0) = v0 (2.26) trong đó nghiệm v(t) của (2.12) và x(t) của (2.26) thỏa mãn v(t) = U(t)x(t) Hơn nữa, ta có lim sup t→+∞ 1 t log+||B(t) Hn|| = 0, n ∈ N (2.27) Chứng minh. Ta xây dựng toán tử U(t) bằng cách sử dụng phương pháp trực giao hoá Gram - Schmidt cho các vector v1(t), v2(t), ..., ở đó vi(t) là nghiệm của 32 (2.12) với v0 = ui, i ≥ 1 với u1, u2, ... là cơ sở trực chuẩn của H. Khi đó, ta nhận được các hàm u1(t), u2(t), .... sao cho: = δij với mỗi i, j Mỗi hàm uk(t) là một tổ hợp tuyến tính của v1(t), ...., vk(t). Cho t ≥ 0, ta định nghĩa toán tử tuyến tính U(t) : H → H sao cho U(t)ui = ui(t) với mỗi i. Rõ ràng, U(t) là toán tử đơn vị và t 7→ U(t) là khả vi Fréchet với U ′ (t)ui = u ′ i(t), ∀i Ta thấy x(t) = U(t)−1v(t) là nghiệm của (2.26) với B(t) có dạng tam giác trên. Rõ ràng, B(t) là hàm liên tục. Với mỗi i, j ∈ N và t ≥ 0, kí hiệu bij(t) =; aij = Vì U(t) là toán tử đơn vị, các vector u1(t) = U(t)u1, u2(t) = U(t)u2, ... là một cơ sở trực chuẩn của H do đó ||A(t)|| ≥ ||A(t)ui(t)|| = || ∞∑ j=1 uj(t)|| = ( ∞∑ j=1 aji(t) 2) 1 2 , ∀i, j Khi đó, ta có |bij(t)| ≤ 2||A(t)|| với mọi i, j. Đặt v = n∑ i=1 αiui ∈ Hn với ( n∑ i=1 α2i ) 1 2 , ta nhận được: ||B(t)v||2 = || n∑ i=1 n∑ j=1 αi uj|| 2 (2.28) = n∑ j=1 ( n∑ j=1 αibij(t)) 2 ≤ n∑ j=1 ( n∑ i=j α2i n∑ i=j (t)2) = n∑ j=1 n∑ i=j bij(t) 2 ≤ 4n2||A(t)||2 Do đó, ||B(t) Hn|| ≤ 2n||A(t)|| và tính chất (2.27) được chứng minh. Khẳng định cuối cùng của định lí nhận được do U(t) là khả nghịch với mỗi t và v(0) = x(0) = v0 do đó U(0) = Id Ưu điểm của việc xét phương trình dạng tam giác trên đó là ta có thể xét trên không gian hữu hạn chiều Hn = span {u1, ..., un} cho bởi{ y ′ n = Bn(t)yn, Bn(t) = B(t) Hn yn(0) = v0 Hn (2.29) 33 Ta có thể tìm được nghiệm của (2.26) dưới dạng y(t) = lim n→∞ yn(t). Tính chất (2.27) chỉ ra rằng nghiệm của bài toán (2.29) là duy nhất và là nghiệm toàn cục. Như vậy, từ bài toán (2.12) trong không gian vô hạn chiều, ta có thể đưa về bài toán trong không gian hữu hạn chiều. 2.2.4 Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân dạng tam giác trên trong không gian Hilbert Xét phương trình x˙ = A(t)x (2.30) trong đó x ∈ H ; t ≥ t0;A ∈ C(R+,L(H)). Giả sử J = {nm : nm ∈ N, m = (1, 2, ...)} là dãy con đơn điệu tăng của N. Kí hiệu Hm = {x : x = Pmx, x ∈ H, m ∈ J}. Kí hiệu Pm : H → Hm xác định bởi Pmx = m∑ k=1 xkek, (m ∈ J) Kí hiệu Bm : H → H xác định bởi Bm(t)x = A(t)x− PmA(t)Pmx,m ∈ J, t ∈ R + (2.31) Cùng với phương trình (2.30), ta xét phương trình dPmx dt = PmA(t)Pmx (2.32) Kí hiệu (Um(t, s))t≥s≥t0 là họ toán tử tiến hóa tương ứng với (2.32). Khi đó (Um(t, s)) xác định bởi: Um(t, s)x = x+ t∫ s A(τ)Um(τ, s)xdτ Từ (2.31) ta có A(t) = PmA(t)Pm +Bm(t), m ∈ J . Kí hiệu U(t, s) : H → H được xác định bởi: U(t, s)x = x+ t∫ s A(τ)U(τ, s)xdτ Khi đó , ta có U(t, s)x = Um(t, s)x+ t∫ s Um(t, τ)Bm(τ)U(τ, s)xdτ 34 Bổ đề 2.4. Giả sử tồn tại m ∈ J sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn 1. Tồn tại M2 sao cho ||Um(t, t0)|| ≤M2, ∀t ≥ t0 . 2. Nếu ∞∫ t0 ||Bm(t)||dt 0 sao cho Khi đó ||U(t, t0)|| ≤M3, ∀t ≥ t0 Chứng minh. Ta có: ||U(t, t0)x0|| ≤ ||Um(t, t0)x0||+ t∫ t0 ||Um(t, τ)||.||Bm(τ)||.||Um(τ, t0)x0||dτ ≤M2||x0||+M ∗ 2 t∫ t0 ||Bm(τ)||.||Um(τ, t0)x0||dτ Áp dụng bổ đề Gronwall - Belman , ta có ||U(t, t0)x0|| ≤ M2||x0||.e M∗2 t∫ t0 ||Bm(τ )||dτ ≤ M3||x0|| Do x0 ∈ H bất kì nên bổ đề được chứng minh Từ đây trở đi, ta luôn giả thiết điều kiện sau : A(t) ∈ L(H), A(t)Pmx = PmAPmx, ∀m ∈ J ; ∀t ∈ R + Khi đó, với t ∈ [t0; +∞) ta có D(A(t)Pm) = Hm và A(t)Pm : Pm → Hm Bổ đề 2.5. Giả sử x0 ∈ H . Khi đó x(t) = U(t, t0)Pmx0 đồng thời là nghiệm của các bài toán Cauchy sau đây  dPmx dt = A(t)Pmx x(t0) = Pmx0 và   dx(t) dt = A(t)x x(t0) = x ∗ 0 trong đó x∗0 ∈ PmH tức là x ∗ 0 = (x1, ..., xm, 0, 0, ...) 35 Chứng minh. Ta có x(t) = x(t, t0, Pmx ∗ 0), x ∗ 0 = Pmx0 ∈ Hm x(t) = Um(t, t0)x ∗ 0 + t∫ t0 Um(t, τ)Bm(τ)U(τ, t0)x ∗ 0dτ Đặt V0(t) = Um(t, t0)x ∗ 0 ∈ Hm V1(t) = t∫ t0 Um(t, τ)Bm(τ)V0(τ)x ∗ 0dτ ............. Vn(t) = t∫ t0 Um(t, τ)Bm(τ)Vn−1(τ)x ∗ 0dτ Do đó Vn(t) = (V0(t), 0, ...., 0, ...) và x(t) = ∞∑ n=0 Vn(t)x ∗ 0 = V0(t) = Um(t, t0)x ∗ 0 Định lý 2.5. Giả sử A(t)Pmx = PmA(t)Pmx, ∀t ∈ [t0,+∞), ∀m ∈ J Khi đó, nếu tồn tại M4 > 0 sao cho ||Um(t, t0)|| ≤M4, ∀m ∈ J, ∀t ≥ t0 thì tồn tại M5 > 0 sao cho ||U(t, t0)|| ≤M5, ∀t ≥ t0 Chứng minh. Với bất kỳ m ∈ J và x′ ∈ Hm , ta có | < U(t, t0)x, x ′ > | = | < Um(t, t0)x, x ′ > | ≤ ||Um(t, t0)|| 2| |, Từ giả thiết của định lý, ta suy ra | < U(t, t0)x, x ′ > | ≤ M24 36 Như vậy U(t, t0) bị chặn trong mọi tô pô yếu nên nó sẽ bị chặn trong tô pô mạnh và ta có điều phải chứng minh. Như vậy, U(t, t0) ∈ L(H) là bị chặn theo tôpô yếu nên sẽ bị chặn theo tôpô đều tức là ||U(t, t0)|| ≤M5 Xét K = {U(t, t0) \ U(t, t0) : Hm → Hm, m ∈ J}. Với m ∈ J thì Um(t, t0) = U(t, t0)Pm. Mà ||Um(t, t0)|| ≤ M4, ∀t ≥ t0. Do đó, với x′ ∈ Hm ta có | < U(t, t0)x, x ′ > | = | < Um(t, t0)x, x ′ > | ≤ ||Um(t, t0)|| 2| |, ∀m ∈ J, x′ ∈ Hm Như vậy, U(t, t0) ∈ L(H) là bị chặn theo tôpô yếu nên sẽ bị chặn theo tôpô đều tức là ||U(t, t0)|| ≤M5 Bổ đề 2.6. Phương trình (2.30) thỏa mãn điều kiện Pm(t)A(t)Pm(t) = A(t)Pm(t) có nghiệm x(t) ≡ 0 ổn định khi và chỉ khi nghiệm x(t) ≡ 0 của phương trình Pmx˙(t) = A(t)Pmx(t), ∀m ∈ J (2.33) là ổn định. Hệ quả 2.1. Nếu tồn tại m0 ∈ J sao cho nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình Pm0x˙(t) = A(t)Pm0x(t) (2.34) không ổn định thì nghiệm tầm thường của phương trình (2.30) thỏa mãn điều kiện Pn(t)A(t)Pn(t) = A(t)Pn(t) là không ổn định 2.3 Phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Hilbert 2.3.1 Khái niệm hàm Lyapunov trong không gian Hilbert Xét phương trình dx dt = f(t, x) (2.35) 37 Định nghĩa 2.9. Ta gọi phiếm hàm V : R+ × H → R+ gọi là phiếm hàm Lyapunov nếu nó liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai Đạo hàm phải trên của V dọc theo nghiệm của (2.35) , kí hiệu là V . lim được xác định bởi V˙ (t, x) = lim h→0+ 1 h V [t+ h, x+ hf(t, x)]− V (t, x) Kí hiệu CIP là họ các hàm tăng, liên tục, xác định dương Định lý 2.6. (Định lí ổn định) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+×H → R+ và hàm a(.) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện : (i) V (t, 0) = 0 (ii) a(||x||) ≤ V (t, x) (iii) V˙ (t, x) ≤ 0 Khi đó, nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của (2.35) là ổn định. Chứng minh. Giả sử có hàm V (t, x) thỏa mãn các điều kiện (i), (ii), (iii) ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.35) là ổn định . Cho ε > 0 đủ bé, ta xác định mặt cầu Sε = {x : x ∈ H, ||x|| = ε} Từ (i) suy ra 0 < a(ε) ≤ V (t, x), t ∈ R+, x ∈ Sε Vì V (t, x) liên tục và V (t, 0) = 0 nên với t0 cố định và a(ε) > 0 tồn tại số δ(t0, ε) > 0 sao cho nếu ||x|| < δ(t0, ε) thì V (t0, x) < a(ε). Lấy x(t, t0, x0) là nghiệm của (2.35)sao cho x0 < δ, ta sẽ chỉ ra x(t, t0, x0) < ε, ∀t ≤ t0. Thật vậy, giả sử ngược lại , tồn tại t1 > t0 sao cho nghiệm x(t, t0, x0) với ||x0|| < δ thỏa mãn ||x(t1)|| = ε . Từ (iii), ta có: V (t1, x(t1)) ≤ V (t0, x(t0)). Từ đó, suy ra: a(ε) ≤ V (t1, x(t1)) ≤ V (t0, x(t0)) < a(ε) Điều này mâu thuẫn với giả thiết, do đó điều giả sử là sai. Như vậy, nếu ||x|| < δ thì x(t, t0, x0) < ε, ∀t ≥ t0 tức nghiệm tầm thường x ≡ 0 ổn định. Định lý 2.7. (Định lí ổn định đều) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+×H → R+ và hàm a(.), b(.) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện : (i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||) (ii) V˙ (t, x) ≤ 0 Khi đó, nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của (2.35) là ổn định đều. 38 Chứng minh. Xét mặt cầu Sε = {x : x ∈ H, ||x|| = ε} Theo (i), ta có a(ε) ≤ V (t, x), ∀x ∈ Sε. Đồng thời, do V (t, x) ≤ b(||x||) và b(||x||) ∈ CIP nên với a(ε) > 0 ta chọn được số δ(ε) > 0 sao cho nếu ||x|| < δ thì b(||x||) < a(ε). Do đó, b(δ) < a(ε). Lấy một nghiệm x(t, t0, x0) tùy ý của (2.35) với ||x0|| < δ(ε) thì với t0 cố định bất kì và từ giả thiết V˙ (t, x) ≤ 0, ta có a(||x||) ≤ V (t, x(t)) ≤ V (t0, x0) ≤ b(||x0||) ≤ b(δ) < a(ε), ∀t ≤ t0 Như vậy, với ||x0|| < δ(ε) thì ||x(t, t0, x0)|| < ε, ∀t ≥ t0. Do đó, nghiệm tầm thường x ≡ 0 là ổn định đều. Định lý 2.8. (Định lí ổn định tiệm cận đều) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+ × H → R+ và hàm a(.), b(.), c(.) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện : (i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||) (ii) V˙ (t, x) ≤ −c(||x||) Khi đó, nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của (2.35) là ổn định tiệm cận đều. Chứng minh. Áp dụng định lí trên ta thấy nghiệm x ≡ 0 là ổn định đều. Ta sẽ chứng minh nó là ổn định tiệm cận đều. Thật vậy: Do nghiệm x ≡ 0 ổn định đều nên ∃δ0 > 0, ∀t0 ∈ R +, ||x|| ≤ δ0, x(t, t0, x0) < M < +∞, ∀t ≥ t0 Mặt khác, ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, t0 ∈ R+, ||x|| ≤ δ(ε) ta có x(t, t0, x0) < ε, ∀t ≥ t0 . Bây giờ, ta cần chứng minh lim t→+∞ ||x(t, t0, x0)|| = 0. Giả sử ngược lại, tồn tại nghiệm x(t, t0, x0), t0 ∈ R+, ||x0|| ≤ δ0 mà lim t→+∞ ||x(t, t0, x0)|| 6= 0. Khi đó, tồn tại dãy {tk} với tk ≥ t0, lim k→+∞ tk = +∞ sao cho δ(ε) ≤ ||x(tk)|| < M . Kết hợp với điều kiện V˙ (t, x) ≤ −c(||x||), ta suy ra tồn tại γ = inf lim δ(ε) c(r) > 0 sao cho V˙ (tk, x(tk)) < −γ Do δ(ε) ≤ ||x(tk)|| < M nên t∫ t0 V . lim(τ, x(τ))dτ ≤ t∫ t0 γdτ . Vậy V (t, x) ≤ V (t0, x0) − γ(t − t0) → −∞ khi t → +∞, mâu thuẫn với giả thiết (i). Điều này chứng tỏ điều giả sử