Luận văn Về điều kiện tối ưu cấp cao trong tối ưu không trơn

đƣa ra, điều kiện đủ của định lý 1.2. đều thoả mãn. Do đó, x0 là điểm cực tiểu địa phƣơng chặt.  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 Ví dụ 1.4 Lấy E = và ( ) m f x x   với m là số nguyên không âm nào đó và 0 <   1 ( so sánh với ví dụ 1.3.). Khi đó, đa thức 11( ) 2 mt t  hiển nhiên là cận dƣới bậc m + 1 của f tại x0 = 0 theo cả hai phƣơng u = 1 và u = – 1. Vậy  thoả mãn điều kiện đủ của định lý 1.5, do đó x0 = 0 là điểm cực tiểu địa phƣơng chặt của f . Ví dụ 1.5 Cho hàm :f  xác định nhƣ sau f (x) = 211 sin , 0, 0 , 0. x x khi x x khi x               Hiển nhiên, x0 = 0 là điểm cực tiểu chặt nếu  > 0 ( không là cực tiểu chặt nếu  = 0 ) và x 0 không là cực tiểu nếu  < 0. Nếu  > 0 thì điểm cực tiểu chặt x0 = 0 có thể tìm đƣợc bằng cách áp dụng định lý 1.5 khi lấy phƣơng u = 1, u = – 1 và đa thức 21( ) 2 t t  . Trƣờng hợp  < 0, ta có x 0 không phải là điểm cực tiểu. Tiếp theo ta chỉ ra rằng đạo hàm theo phƣơng cấp cao có thể biểu diễn dƣới ngôn ngữ hiệu chia. Giả sử :f E  . Ta nhắc lại: miền hữu hiệu của hàm f là tập   : ( ) dom f x E f x     . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 Lấy 0x E và u0, ..., un  S là các phƣơng cho trƣớc. Giả sử t0, ..., tn là các biến thực dƣơng khác nhau và 0' ,..., ' Snu u  là các biến phƣơng. Ta định nghĩa hiệu chia cấp n 0 0 0( , ' ,..., ' , ,..., ) n n n nf f x u u t t  nhƣ sau: 0 0 0 0 0 1 ( ' ) ( , ' ,..., ' , ,..., ) ( ) n n i i n n i n i f x t u f x u u t t t     = 0 0 0 ( ' ) ( ) n i i n i i j j j i f x t u t t       Ở đây 1 0 ( ) ( ) n n j j t t t     và 1( )n t   là đạo hàm của 1( )n t  . Hơn nữa, ta đặt 0( ) 1t  . Ta thừa nhận rằng : hiệu chia cấp n xác định khi và chỉ khi 0 ' i ix t u dom f  trừ ra nhiều nhất một số hạng. Nó hữu hạn khi và chỉ khi tất cả các giá trị 0( ' )i if x t u là hữu hạn. Hiệu chia còn có thể đƣợc định nghĩa quy nạp nhƣ sau 0 0 0 0 0 0 0( , ' , ) ( ' )f x u t f x t u   , và 0 0 0( , ' ,..., ' , ,..., ) n n nf x u u t t =  1 0 ' ' '0 2 0 2( , ,..., , , ,..., , )n n n n nf x u u u t t t   1 0 ' ' '0 2 1 0 2 1( , ,..., , , ,..., , )n n n n nf x u u u t t t      1n nt t  ( Nếu   nằm trong số các giá trị của hàm f thì các chỉ số cần phải sắp xếp lại). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Tính chất sau đây là một trong số các tính chất chính của hiệu chia và đƣợc sử dụng khi chứng minh biểu diễn lại đạo hàm theo phƣơng qua hiệu chia. 0( ')f x tu = 1 0 0 0 1 ( , ' ,..., ' , ' ,..., ' ) ( ) n i i i i i f x u u t t t    + 0 0 1 0 1( , ' ,..., ' , ', ' ,..., ' , ) ( ) n n n nf x u u u t t t t  . Ta giả thiết rằng 0 ' i ix t u dom f  , i = 0, ..., n – 1 và do đó cùng lắm thì 0( ')f x tu và hiệu chia cuối cùng trong vế phải có thể nhận giá trị vô hạn. Mối quan hệ giữa đạo hàm theo phƣơng và hiệu chia đƣợc chỉ ra trong định lý sau đây. Định lý 1.6 ( [5] ) Đạo hàm theo phương ( ) 0( , )nf x u , n = 0, 1,..., được biểu diễn quy nạp dưới ngôn ngữ hiệu chia cùng với dãy các số A0, ..., An  như sau A0 : = 0 0 ( , ') ( 0, ) ( , ', ) t u u lim inf f x u t    = (0) 0( , )f x u . Đạo hàm ( ) 0( , )nf x u , n  1, tồn tại khi và chỉ khi các số A0,..., An-1 xác định và hữu hạn. Khi đó, An := 0 0 1 0 1 ( , ') ( 0, ) ( , ,..., , ', ,..., , )k s s s sn n st u u lim inf lim f x u u u t t t     = 1 !n ( ) 0( , )nf x u , trong đó 0 1 0 1( ,..., , ,..., ) s s s s n nu u t t  là dãy tuỳ ý thoả mãn ba điều kiện sau: 1) 0sit  , s iu u khi s , với i = 0, ..., n – 1, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 2) 0 s si ix t u dom f  với i = 0, 1, ..., n – 1, 3) Ai = 0 0 0 ( , ,..., , ,..., ) i s s s s i i s lim f x u u t t với i = 0, 1, ..., n – 1. 1.3. ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP HAI Đạo hàm cấp một (1) 0( , )f x u của hàm :f E  có thể biểu diễn nhƣ sau (1) 0( , )f x u = 1 0 (0) 0 1 ( , ' ) ( 0, ) 1 ( ' ) ( , ) u u lim inf f x tu f x u t        . (1.3) Để tiện cho việc khai triển đạo hàm cấp hai, ta đƣa ra ký hiệu 0 2 1( , , , ' , ' , )f t x u u u = 0 2 1 ( ' ) 1 f x tu    – 0 1 1 ( ' ) (1 ) f x tu     + (0) 01 ( , )f x u   . (1.4) Ta xét khai triển dƣới đây với giả thiết rằng t > 0 là cố định, u  S, đạo hàm dƣới cấp không (0) 0( , )f x u và đạo hàm dƣới cấp một (1) 0( , )f x u là hữu hạn, ' ' 1 2, Su u  và  là số thực dƣơng thoả mãn 0 ' 1 x tu dom f  . Với giả thiết (0) 0( , )f x u và (1) 0( , )f x u hữu hạn, ta nhận đƣợc biểu diễn sau đây cho đạo hàm dƣới cấp hai (2) 0( , )f x u : (2) 0( , )f x u = 2 0 (0) 0 (1) 0 22 ( , ' ) ( 0, ) 2! ( ' ) ( , ) . ( , ) t u u lim inf f x tu f x u t f x u t          Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 =  2 0 (0) 0 22 ( , ' ) ( 0, ) 2! ( ' ) ( , ) t u u lim inf f x tu f x u t        1 0 (0) 0 1 ( , ' ) ( 0, ) 1 ( ' ) ( , ) u u t lim inf f x tu f x u t          = 2 1 0 22 ( , ' ) ( 0, ) ( , ' ) ( 0, ) 2(1 ) 1 ( ' ) 1t u u u u lim inf lim sup f x tu t         0 (0) 0 1 1 1 ( ' ) ( , ) (1 ) f x tu f x u           = 2 1 0 2 12 ( , ' ) ( 0, ) ( , ' ) ( 0, ) 2 ( , , , ' , ' , )f t u u u u lim inf lim sup t x u u u t       . (1.5) Trong các đẳng thức trên, sự hội tụ 1( , ' ) ( 0, )u u   chỉ theo những giá trị 1( , ' )u mà 0 1' x tu dom f  . Để đơn giản, ta xét trƣờng hợp hàm f liên tục tại x0 . Khi đó ta có (0) 0 0( , ) ( )f x u f x  và 2 0 0 1 2( , ' , ' , ' ,0, , )f x u u u t t = 0 22 1 1 ( ' ) 1 f x tu t      0 (0) 0 1 1 1 ( ' ) ( , ) (1 ) f x tu f x u          . Sử dụng phép biểu diễn này và định lý 1.6, ta có thể thu đƣợc sự biểu diễn (1.5). Từ các định lý 1.1, 1.2 ta có định lý sau cho trƣờng hợp cấp hai. Định lý 1.7 ( Điều kiện cấp hai ) Cho hàm :f E  và 0 Ex  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 (A) Điều kiện cần: Giả sử x0 là điểm cực tiểu địa phương của f, u  S. Khi đó, một trong ba điều kiện sau đây được thoả mãn: (a0) (0) 0 0( , ) ( )f x u f x  , (a1) Nếu (0) 0 0( , ) ( )f x u f x  thì (1) 0( , ) 0f x u  , (a2) Nếu (0) 0 0( , ) ( )f x u f x  và (1) 0( , ) 0f x u  thì (2) 0( , ) 0f x u  . (B) Điều kiện đủ:Giả sử S compact đối với tôpô S. Giả sử với mỗi u  S, một trong ba điều kiện sau được thoả mãn: (b0) (0) 0 0( , ) ( )f x u f x  , (b1) (0) 0 0( , ) ( )f x u f x  và (1) 0( , ) 0f x u  , (b2) (0) 0 0( , ) ( )f x u f x  , (1) 0( , ) 0f x u  và (2) 0( , ) 0f x u  . Khi đó x0 là điểm cực tiểu địa phương chặt của f. Ở đây đạo hàm (1) 0( , )f x u và (2) 0( , )f x u được biểu diễn lần lượt bởi (1.3) và (1.5). Ví dụ 1.6 Lấy E = 2 và hàm :f E  xác định bởi 2( ) 2 ( )f x r r r sin   , trong đó ( , )r  là toạ độ cực của x , nghĩa là x = (x1, x2) = ( , )rcos rsin  . Hiển nhiên x0 = (0,0) là điểm cực tiểu chặt của f(x). Ta có thể áp dụng điều kiện đủ của định lý 1.7 để suy ra x0 là cực tiểu. Chứng minh Hàm f liên tục, do đó với phƣơng bất kỳ u = ( , )cos sin  ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 (0) 0 0( , ) ( )f x u f x  = 0. Nếu 0sin  thì 2( ) 2f x r r sin   , 0 r sin  , và (1) 0( , ) 2f x u sin  > 0. Trong trƣờng hợp nếu u = ( 1, 0) ta đƣợc (1) 0( , ) 0f x u  và do đó điều kiện cấp hai phải sử dụng để thiết lập tính tối ƣu của x0. Xét trƣờng hợp u = (1, 0). Phƣơng đơn vị v = ( , )cos sin  với 0  đủ nhỏ gần u tuỳ ý. Các điểm tv và tv có toạ độ cực lần lƣợt là ( , )t  và ( , )t  . Do đó với 0 t sin  và 0 1  ta có 0 2( ) 2f x tv t tsin   , và 0 2( ) ( ) 2f x tv t tsin       . Do đó 0 2 1 ( , , , , , ) 1f t x v v u t    . Bây giờ ta chỉ ra rằng điều kiện cấp hai trong định lý 1.7 thoả mãn. Với u = (1, 0) , ta lấy lân cận của các vectơ đơn vị W =  w w w 2 = ( , ) :w cos sin    , V =  v v v 1 = ( , ) :v cos sin    , trong đó 1 20   . Chọn t < 2sin và lấy 0 <  < 1. Nếu v  V , ta có 0( )f x tv = 2 2 1 2 2 2 . , ( ) , 3 2 . , 0 ( ), v v v v t t sin arcsin t t t sin arcsin t                    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 và 0( )f x tv  2 2t . Dấu bằng xảy ra khi ( )v arcsin t  . Khi đó, 0 2 ( , ) ( 0, ) 2 ( , , , , , )f v u lim sup t x w v u t     = 0 2 ( , ) ( 0, ) 2 2 ( ) (1 ) 1v u lim sup f x tw t            = 0 2 2 ( )f x tw t  . Tƣơng tự, với w  W , 0( )f x w = 2 w w 2 2 w w 2 , ( ) , 3 2 , 0 ( ), t tsin arcsin t t tsin arcsin t              và ƣớc lƣợng 0( )f x tw  2t . Dấu bằng xảy ra khi w ( )arcsin t  . Do đó, (2) 0( , )f x u = 0 2 ( , ) ( 0, ) 2 ( ) t w u lim inf f x tw t   = 2 > 0. Do tính đối xứng nên ta cũng có đẳng thức nhƣ vậy với phƣơng u = ( –1, 0 ). Do đó, các điều kiện đủ của định lý 1.7 thoả mãn. Nhƣ vậy, tính tối ƣu của điểm x0 có thể suy ra từ định lý này.  Ta so sánh kết quả trên với một số kết quả khác. Giả sử :f E  với E là không gian hữu hạn chiều, f liên tục và tại x 0 có các đạo hàm sau: (1) 0( , )BZf x v = 0 0 0 1 ( ) ( ) t lim f x tv f x t     , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 (2) 0( , , )BZf x v z = 0 2 0 (1) 0 2 0 1 ( ) ( ) ( , )BZ t lim f x tv t z f x tf x v t       , với v, z  S tuỳ ý. Đạo hàm (1) 0( , )BZf x v là đạo hàm theo phƣơng thông thƣờng cấp một, (2) 0( , , )BZf x v z là đạo hàm parabolic cấp hai theo nghĩa BenTal – Zowe [3]. Định lý sau đây cho ta các điều kiện cần dƣới ngôn ngữ các đạo hàm parabolic. Định lý 1.8 ( [3] ) Nếu x0 là điểm cực tiểu địa phương của hàm :f E  thì (BZ1) (1) 0( , ) 0BZf x v  với mọi v  S, (BZ2) (1) 0( , ) 0BZf x v  kéo theo (2) 0( , , ) 0BZf x v z  với mọi z  S. Ta chỉ ra rằng với lớp các hàm đã xét, định lý 1.7 kéo theo định lý 1.8. Thật vậy, giả sử các điều kiện trong định lý 1.7 thoả mãn. Hiển nhiên ta có bất đẳng thức (1) 0 (1) 0( , ) ( , ) 0BZf x v f x v  Nhƣ vậy điều kiện (BZ1) thoả mãn. Bây giờ ta giả sử (1) 0( , ) 0BZf x v  . Từ các bất đẳng thức (1) 0 (1) 00 ( , ) ( , ) 0BZf x v f x v   ta suy ra (1) 0( , ) 0f x v  . Do đó (2) 0( , ) 0f x v  . Theo định nghĩa của (2) 0( , , )BZf x v z , (2) 0( , , )BZf x v z = 0 0 2 0 1 ( ( )) ( ) t lim f x t v tz f x t      Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26  0 (0) 0 (1) 0 2 ( , ') ( 0, ) 1 2 ( ( )) ( , ) . ( , ) 2 t v v lim inf f x t v tz f x v t f x v t           = (2) 01 ( , ) 2 f x v . Do đó, bất đẳng thức (2) 0( , ) 0f x v  kéo theo (2) 0( , , ) 0BZf x v z  , hay điều kiện (BZ2) thoả mãn. Ví dụ sau đây chỉ ra rằng các điều kiện cần (BZ1) và (BZ2) của định lý 1.8 không kéo theo các điều kiện cần (a0) – (a2) của định lý 1.7. Ví dụ 1.7 Hàm 2:f  xác định bởi f (x1, x2) = 3 3 3 2 1 1 1 2 1 3 3 3 1 2 1 1 2 1 1 2 , 0, , 2 3 3 2 , 0, , 2 0 x x x x x x x x x x x x                  Hiển nhiên, x0 = (0, 0) không là điểm cực tiểu. Ta có (1) 0 (2) 0( , ) ( , , ) 0BZ BZf x u f x u z  với mọi u  S, mọi z . Với u0 = (1, 0) ta có 0 (1) 0 00 ( ) ( , )f x f x u  và (2) 0 0( , ) f x u    Nhƣ vậy các điều kiện cần (BZ1) và (BZ2) của định lý 1.8 không kéo theo các điều kiện cần (a0) – (a2) của định lý 1.7. , trong các trƣờng hợp khác. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 1.4. CỰC TIỂU CÔ LẬP Trong mục này, ta mô tả điểm cực tiểu thoả mãn các điều kiện đủ của định lý 1.2 và trả lời câu hỏi đã đặt ra sau ví dụ 1.2. Giả sử :f E  và n0 là một số nguyên không âm. Nhắc lại [10]: điểm cực tiểu x0  E của f gọi là cực tiểu địa phương cô lập cấp n0 của f nếu tồn tại lân cận U của x 0 và hằng số  > 0 sao cho 00 0( ) ( ) n f x f x x x   với mọi x  U  0x . (1.6) Ta nói x 0 là điểm cực tiểu địa phương cô lập của f có nghĩa là x0 là điểm cực tiểu địa phƣơng cô lập cấp n0 của f với n0 là một số nguyên không âm nào đó. Trong trƣờng hợp n0 = 0, bất đẳng thức (1.6) trở thành 0( ) ( )f x f x   với mọi x  U  0x . (1.7) Do bất đẳng thức (1.6) là chặt nên 0( ) f x    tại điểm cực tiểu địa phƣơng cô lập x0. Định lý 1.9 ( Điều kiện cần ) Giả sử x0 là điểm cực tiểu địa phương cô lập cấp n0 của hàm :f E  . Khi đó, với u  S bất kỳ, tồn tại số nguyên không âm n(u)  n0 sao cho điều kiện  0( ) ( , )n uS x u thoả mãn. Chứng minh Giả sử có (1.6). Trƣớc hết ta chỉ ra rằng (0) 0 0( , ) ( )f x u f x  , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 và bất đẳng thức là chặt nếu x0 là điểm cực tiểu cô lập cấp 0. Giả sử ngƣợc lại rằng (0) 0 0( , ) ( )f x u f x  . Theo định nghĩa đạo hàm dƣới cấp không thì tồn tại dãy 0kt  và ku  S sao cho 0 0( ) ( ) ( )kk kf x t u f x f x   ,trong đó 0 0k k kx t u x   . Bất đẳng thức này mâu thuẫn với bất đẳng thức (1.6). Giả sử x0 là điểm cực tiểu địa phƣơng cô lập cấp 0. Bây giờ ta chứng minh rằng (0) 0 0 0( , ) ( ) ( )f x u f x f x   . Giả sử bất đẳng thức này không đúng. Khi đó tồn tại dãy 0kt  và ku  S sao cho 0 0( ) ( ) ( )kk kf x t u f x f x    , trong đó 0 0k k kx x t u x  . Bất đẳng thức này mâu thuẫn với bất đẳng thức (1.7). Giả sử n  n0 là số nguyên dƣơng thoả mãn (0) 0 0( , ) ( )f x u f x  , (1) 0 ( 1) 0( , ) ... ( , ) 0nf x u f x u    . Ta chứng minh rằng ( ) 0( , ) 0nf x u  và bất đẳng thức là chặt nếu x0 là điểm cực tiểu địa phƣơng cô lập cấp n. Giả sử ngƣợc lại rằng ( ) 0( , ) 0nf x u  . Theo định nghĩa đạo hàm theo phƣơng dƣới cấp n thì tồn tại dãy 0kt  và ku  S sao cho 1 0 ( ) 0 0 ! ( ) ( , ) ! in i k kn ik n t f x t u f x u t i           = 0 0 ! ( ) ( )k n k n f x f x x x     < 0 , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 trong đó 0 0k k kx x t u x   . Bất đẳng thức này mâu thuẫn với bất đẳng thức (1.6). Giả sử n = n0. Ta chứng minh rằng ( ) 0( , ) ! 0nf x u n    Giả sử ngƣợc lại rằng ( ) 0( , ) !nf x u n   . Khi đó, với dãy 0kt  và ku  S, tƣơng tự nhƣ trên ta có 0 0 ! ( ) ( )k n k n f x f x x x     < !n  . Từ đó suy ra 0 0( ) ( ) n k kf x f x x x   với 0 0k k kx x t u x   . Bất đẳng thức này mâu thuẫn với bất đẳng thức (1.6).  Điều kiện đủ để điểm x0 là điểm cực tiểu cô lập cấp n0 đƣợc phát biểu nhƣ sau: Định lý 1.10 ( Điều kiện đủ ) Giả sử hàm :f E  , x 0  E và S compact đối với tôpô S. Giả sử n0 là một số nguyên không âm và với mỗi u  S, tồn tại số nguyên không âm n = n(u)  n0 sao cho điều kiện  0nS ( , )x u thoả mãn. Khi đó, x0 là điểm cực tiểu địa phương cô lập cấp n0 của f. Chứng minh Bất đẳng thức cuối cùng trong phần chứng minh của bổ đề 1.1 chỉ ra rằng tồn tại số ( )u sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 0 0( ') ( ) ( ) nf x tu f x u t   , với mọi 0 < t < ( )u và 'u  U(u). Sử dụng u1, ..., us và các ký hiệu sau đây nhƣ trong chứng minh định lý 1.2. Đặt  0 1( ),..., ( ),1smin u u   ,  1( ),..., ( )smin u u   ,  1( ),..., ( )sn max n u n u . Khi đó nhƣ trong chứng minh định lý 1.2 ta đƣợc 0 0( ) ( ) n f x f x x x   với mọi 0 < 0x x < 0 . Do đó x0 là điểm cực tiểu địa phƣơng cô lập cấp n, và vì thế cũng là điểm cực tiểu địa phƣơng cô lập cấp n0 vì n  n0.  Ví dụ 1.8 Lấy E = 2 , C =  0 , n0  1 là số nguyên và x 0 = (0, 0). Hàm :f E  xác định bởi f (x1, x2) = 01 2 2 , 0, 0 , 0. n x x x     Khi đó, x0 là điểm cực tiểu địa phƣơng cô lập cấp n0 của bài toán  ( ), Cmin f x x Chứng minh Đặt g(x1, x2) = 01 2 2 , 0, + , 0. n x x x      Hàm g khác hàm f tại những điểm không thuộc C, tại đó g bằng + . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 Ta nói rằng x0 là điểm cực tiểu địa phƣơng cô lập cấp n0 của bài toán  ( ), Cmin f x x nếu x0 là điểm cực tiểu địa phƣơng cô lập cấp n0 của hàm g. Ta có (0) 0( , ) g x u    , với ( u1, u2) S mà u2  0 . Nếu u = ( 1 , 0) thì ta có 0( 1)(0) 0 0( , ) ... ( , ) 0 n g x u g x u      , 0( ) 0 0( , ) ( )! n g x u n  . Do đó điều kiện đủ của định lý 1.10 cho ta x0 là điểm cực tiểu địa phƣơng cô lập cấp n0.  Ví dụ 1.9 Xét hàm 2:f  xác định bởi f ( x1, x2) = x1. Lấy x0 = (0, 0) và u = (  1, 0). Khi đó đạo hàm cấp hai Hadamard là (2) 0( , ) f x u    còn đạo hàm cấp hai theo phƣơng cổ điển là 0''( , ) 0f x u  . Chứng minh Đạo hàm cấp hai Hadamard là (2) 0( , )f x u = 0 (0) 0 (1) 0 2 ( , ') ( 0, ) 2 ( ') ( , ) ( , ) t u u lim inf f x tu f x u t f x u t          =  (0)12 ( , ') ( 0, ) ( ', ') ( 0, ) 2 1 ' 0 (0 ') (0, ) 't u u t u u lim inf u t lim inf f tu f u t t               =  12 ( , ') ( 0, ) 2 ' t u u lim inf u t t   =   Với đạo hàm theo phƣơng cổ điển ta có 0'( , )f x u = 0 0 0 ( ) ( ) t f x tu f x lim t    1 2( , )u u u Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 = 1 0 0 t tu lim t  = 1u 0''( , )f x u = 0 0 0 2 0 ( ) ( ) '( , ) 2 t f x tu f x t f x u lim t    = 1 1 2 0 0 2 t tu tu lim t   = 0  Ví dụ 1.10 Hàm :f  xác định bởi f (x) = 2 1 ( ), 0, 0 , 0. exp x x x       Ta có f thuộc lớp C . Điểm x0 = 0 là cực tiểu địa phƣơng chặt, nhƣng không là điểm cực tiểu địa phƣơng cô lập. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 Chƣơng II ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP CAO CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN CÓ RÀNG BUỘC TẬP Chƣơng II trình bày một số tính chất của cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt cấp n và cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt, và các điều kiện cần và đủ cho hai loại cực tiểu đó của bài toán tối ƣu đa mục tiêu không trơn với ràng buộc tập dƣới ngôn ngữ đạo hàm theo phƣơng cấp cao Ginchev. Các kết quả trình bày trong chƣơng này là của Đ.V.Lƣu – P.T.Kiên [7] và B.Jiménez [6]. 2.1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ Cho hàm f có giá trị thực mở rộng xác định trên không gian định chuẩn X. Nhắc lại [5]: đạo hàm theo phương dưới và trên cấp n, ( ) ( , )nf x d và ( ) ( , )nf x d , tại x X ( n là số nguyên dƣơng ) theo phƣơng d đƣợc định nghĩa lần lƣợt nhƣ sau: (0) ( , )f x d = 0 ' ( ') t d d lim inf f x td    , (2.1) (0) ( , )f x d = 0 ' ( ') t d d lim sup f x td    , (2.2) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 ( ) ( , )nf x d = 1 ( ) 0 0' ! ( ') ( , ) ! jn j n t jd d n t lim inf f x td f x d t j             , (2.3) ( ) ( , )nf x d = 1 ( ) 0 0' ! ( ') ( , ) ! jn j n t jd d n t lim sup f x td f x d t j             , (2.4) trong đó 0t  có nghĩa là 0t  . Chú ý rằng trong các định nghĩa (2.1) – (2.4) của I.Ginchev đã thừa nhận rằng ( ) ( , )nf x d và ( ) ( , )nf x d tồn tại và thuộc khi và chỉ khi tƣơng ứng ( ) ( , )if x d và ( ) ( , )if x d ( i = 0, 1,..., n – 1) tồn tại và thuộc . Hơn nữa, đạo hàm cấp không của các hàm gián đoạn luôn tồn tại và thuộc . Trong trƣờng hợp f liên tục và n = 1, đạo hàm Ginchev trên và dƣới chính là đạo hàm Dini theo phƣơng trên và dƣới [5]. Phù hợp với định nghĩa đạo hàm của Ginchev [5], ta định nghĩa đạo hàm theo phương cấp n của ánh xạ f từ X vào không gian định chuẩn Y nhƣ sau: (0) ( , )f x d = 0 ' ( ') t d d lim f x td    , (2.5) ( ) ( , )nf x d = 1 ( ) 0 0' ! ( ') ( , ) ! jn j n t jd d n t lim f x td f x d t j            , (2.6) nếu các giới hạn đó tồn tại. Nếu f khả vi Fréchet tại x với đạo hàm Fréchet là '( )f x thì (1)( , )f x d = '( )f x d . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 Trong trƣờng hợp Y = , sự tồn tại của ( ) ( , )nf x d kéo theo sự tồn tại của ( ) ( , )nf x d và ( ) ( , )nf x d , và chúng trùng nhau. Ta nhắc lại nón tiếp liên của tập C tại x clC : KC( x ) = {d X : tồn tại 0nt  và nd d sao cho n nx t d C  , n }, ở đây clC chỉ bao đóng của C. Trong chƣơng này ta xét bài toán tối ƣu đa mục tiêu sau: (P)  ( ) :min f x x C , trong đó f là ánh xạ từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y, C là một tập con của X . Giả sử Q là nón lồi đóng trong Y. Nhắc lại: điểm x C gọi là điểm cực tiểu địa phương yếu của bài toán (P) nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho ( ) ( )f x f x intQ    x C U   Chú ý rằng với điểm cực tiểu địa phƣơng yếu, ta giả thiết rằng intQ  . Điểm x gọi là điểm cực tiểu Pareto địa phương của bài toán (P) nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho ( ) ( )f x f x Q  {0}   x C U   . Điểm x gọi là điểm cực tiểu Pareto địa phương chặt của bài toán (P) nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho ( ) ( )f x f x Q   x C U   { }x . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 Với một số nguyên m  1, ta nhắc lại [6] rằng x gọi là điểm cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt cấp m của bài toán (P) nếu tồn tại hằng số  > 0 và lân cận U của x sao cho    ( ) ( ), mf x Q B f x x x     x C U   { }x , (2.7) trong đó ( , )B x  là hình cầu mở bán kính  , tâm x . Chú ý rằng hình cầu mở  ( ), mB f x x x  trong (2.7) có thể đƣợc thay bằng hình cầu đóng  ( ), mB f x x x  bán kính m x x  , tâm ( )f x , bởi vì với 1 (0, )  , (2.7) kéo theo    1( ) ( ), mf x Q B f x x x     x C U   { }x . Trƣờng hợp Y = và Q =  , (2.7) trở thành    ( ) ( ), mf x B f x x x     x C U   { }x . Điều đó tƣơng đƣơng với ( ) ( ) m f x f x x x    x C U   { }x , trong đó  là tập các số thực không âm. Điều này có nghĩa là x là cực tiểu địa phƣơng chặt cấp m. Chú ý rằng mọi điểm cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt cấp m cũng là điểm cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt cấp k với mọi k  m. Với mỗi số nguyên m  1, ta có mối quan hệ sau [6]: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 Cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt cấp m  Cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt  Cực tiểu Pareto địa phƣơng  Cực tiểu địa phƣơng yếu. Bây giờ, ta trình bày hai kết quả của B.Jiménez [6]. Mệnh đề 2.1 Giả sử x C . Điểm x không là điểm cực tiểu Pareto địa phương chặt cấp m của bài toán (P) khi và chỉ khi tồn tại dãy nx C { }x , nd Q sao cho nx x và ( ) ( ) 0n n m n n f x f x d lim x x      . (2.8) Chứng minh   Bởi vì nx x và (2.8) đúng cho nên 0 00, ( )n n     sao cho 0n n  , ta có ,n nx C x x    và ( ) ( ) m n n nf x f x d x x    . Điều này có nghĩa là  ( ) ( ), mn n nf x d B f x x x   . Nếu nhƣ x là cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt cấp m của bài toán (P) thì tồn tại  ,U B x  và 0  sao cho (2.7) đúng. Với  ,min   , tồn tại 0 0( )n n  sao cho với mỗi 0n n ta có  ,nx C B x   và    ( ) ( ), ( ),m mn n n nf x d B f x x x B f x x x     . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 Điều này lại mâu thuẫn với (2.7). Vì vậy, x không là cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt cấp m của bài toán (P).   Theo giả thiết, với 0  và 0  ,   ,x C B x     x sao cho    ( ) ( ), mf x Q B f x x x    . Do đó, với 1 n   , 1 n   , tồn tại 1 ,nx C B x n           x và nd D sao cho 1 ( ) ( ), m n n nf x d B