Luận văn Xây dựng đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn số khuyết

thøc ρ(f) = lim sup r→∞ log T (r, f) log r . NÕu ρ(f) = ∞ th× f ®­îc gäi lµ cã cÊp v« h¹n, nÕu 0 < ρ(f) < ∞ th× f ®­îc gäi lµ cã cÊp h÷u h¹n. Gi¶ sö 0 < ρ(f) <∞, ®Æt C = lim sup r→∞ T (r, f) rρ . Ta nãi f cã d¹ng tèi ®¹i nÕu C =∞, cã d¹ng trung b×nh nÕu 0 < C <∞, cã d¹ng tèi tiÓu nÕu C = 0. 1.1.5 VÝ dô. NÕu f lµ hµm h÷u tû th× T (f, r) = O(log r), do ®ã hµm h÷u tû cã cÊp 0. NÕu f = ez th× T (f, r) = r/pi + O(1), do ®ã ez cã cÊp 1, d¹ng trung b×nh. Hµm ee z lµ hµm cã cÊp v« h¹n. C«ng thøc Poisson - Jensen 1.1.6 §Þnh lý. Gi¶ sö f(z) 6≡ 0,∞ lµ mét hµm ph©n h×nh trong h×nh trßn D = {|z| ≤ R} víi 0 < R <∞. Gi¶ sö aµ, µ = 1, ...,M lµ c¸c kh«ng ®iÓm cña f trong D, mçi kh«ng ®iÓm ®­îc kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã. bν, (ν = 1, 2, ..., N) lµ c¸c cùc ®iÓm cña f trong trongD, mçi cùc ®iÓm ®­îc kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã. Khi ®ã, víi mçi z = reiθ ∈ D sao cho f(z) 6= 0, f(z) 6=∞ ta cã log |f(z)| = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣f(Reiφ)∣∣ R2 − r2 R2 − 2Rr cos(θ − φ) + r2dφ+ + M∑ µ=1 log ∣∣∣∣R(z − aµ)R2 − aµz ∣∣∣∣− N∑ ν=1 log ∣∣∣∣R(z − bν)R2 − bνz ∣∣∣∣. (1.1) 8Chøng minh. Ta xÐt c¸c tr­êng hîp sau: Tr­êng hîp 1: Hµm f(z) kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong {|z| ≤ R}, z = 0. Khi ®ã ta cÇn chøng minh log |f(0)| = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣f(Reiϕ)∣∣ dϕ. Do f(z) 6= 0 trong D nªn log f(z) lµ hµm chØnh h×nh trong D. Theo §Þnh lý Cauchy, ta cã: log f(0) = 1 2pii ∫ |z|=R log f(z) dz z = 1 2pi 2pi∫ 0 log f(Reiϕ)dϕ. LÊy phÇn thùc hai vÕ ta cã: log |f(0)| = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣f(Reiϕ)∣∣ dϕ. Tr­êng hîp 2: Hµm f(z) kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong {|z| ≤ R}, víi z tuú ý, z = reiθ(0 < r < R) . XÐt ¸nh x¹ b¶o gi¸c: {|ξ| 6 R} → {ω 6 1} z 7→ 0 ξ 6= z 7→ ω = R (ξ − z) R2 − zξ Nh­ vËy |ς| = R t­¬ng øng víi |ω| = 1, v× |ω| = R |ξ − z||R2 − zξ| 9vµ |ξ| = R⇒ ξξ = |ξ|2 = R2 suy ra |ω| = R |ξ − z|∣∣ξξ − zξ∣∣ = R |ξ − z||ξ| ∣∣ξ − z∣∣ = 1. Do log f(z) lµ chØnh h×nh trong |ξ| ≤ R, theo ®Þnh lý Cauchy, ta cã log f(z) = 1 2pii ∫ |ξ|=R log f(ς) dξ ξ − z . (1.2) MÆt kh¸c 1 2pii ∫ |ξ|=R log f(ξ) zdξ R2 − zξ = 1 2pii ∫ |ξ|=R log f(ξ) −dξ ξ − R 2 z = 0. (1.3) Do |z| = |z| < R nªn ∣∣∣∣R2z ∣∣∣∣ > R nghÜa lµ ®iÓm R2z n»m ngoµi |ξ| ≤ R nªn hµm log f(ξ) 1 ξ − R 2 z lµ hµm chØnh h×nh. KÕt hîp víi (1.2) vµ (1.3) ta cã log f(z) = 1 2i ∫ |ξ|=R log f(ξ) [ 1 ξ − z + 1 ξ − R2z ] dξ = 1 2i ∫ |ξ|=R log f(ξ) [ 1 ξ − z + z R2 − zξ ] dξ, víi 1 ξ − z + z R2 − zξ = R2 − zξ + zξ − zz (ξ − z) (R2 − zξ) = R2 − r2 (ξ − z) (ξξ − zξ) = R2 − r2ξ |ξ − z|2 . 10 MÆt kh¸c ξ = Reiϕ = R cosϕ+ iR sinϕ, z = reiθ = r cos θ + ir sin θ, ξ − z = (R cosϕ− r cos θ) + i (R sinϕ− r sin θ) , |ξ − z|2 = (R cosϕ− r cos θ)2 + (R sinϕ− r sin θ)2 = R2 + r2 − 2Rr cos(ϕ− θ). VËy log f(z) = 1 2pi 2pi∫ 0 log f(Reiφ) R2 − r2 R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2dϕ. (1.4) LÊy phÇn thùc hai vÕ cña (1.4) ta ®­îc log |f(z)| = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣f(Reiϕ)∣∣ R2 − r2 R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2dϕ. Tr­êng hîp 3: Hµm f(z) cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trªn biªn {|z| = R} nh­ng kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm ë trong miÒn {|z| < R}. Ta cã sè kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm cña hµm f(z) trªn biªn {|z| = R} lµ h÷u h¹n. ThËt vËy, gi¶ sö f(z) cã v« h¹n kh«ng ®iÓm {zk} , khi ®ã {|ξ| = R} compact, do ®ã { zkj } héi tô ®Õn zk0 ∈ {|ξ| = R} vµ f(zkj) = 0, do ®ã f = 0 trªn mét tËp hîp cã ®iÓm giíi h¹n. §iÒu nµy kÐo theo f ≡ 0 suy ra v« lý. Gi¶ sö cã v« h¹n kh«ng ®iÓm {zk} , khi ®ã tån t¹i { zkj } → z0 ∈ {|ξ| = R}, z0 lµ ®iÓm bÊt th­êng; v× f lµ hµm ph©n h×nh nªn z0 lµ cùc ®iÓm nghÜa lµ trong mét l©n cËn cña z0 hµm f chØnh h×nh chØ trõ t¹i z0 suy ra v« lý v× { zkj }→ z0 nªn trong mäi l©n cËn cña z0 ®Òu chøa zkj nµo ®ã mµ t¹i ®ã f cã cùc ®iÓm. 11 VËy f(z) cã h÷u h¹n kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trªn biªn {|z| = R} . Gi¶ sö Z0 lµ kh«ng ®iÓm hoÆc cùc ®iÓm cÊp k cña f(ξ), Z0 ∈ ∂D. Trong mét l©n cËn nµo ®ã cña Z0, ta cã khai triÓn sau: f(ξ) = a(ξ − Z0)k + . . . , a 6= 0. Khi ®ã, log |f(ξ)| = k log |ξ − Z0|+ o(|ξ − Z0|). XÐt vßng trßn Cδ t©m Z0, b¸n kÝnh δ ®ñ nhá. Thay vßng trßn |ξ| = R bëi vßng trßn Cδ, khi ®ã f kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trªn biªn cña miÒn míi nhËn ®­îc. Quay l¹i tr­êng hîp 2, ta cã tÝch ph©n bªn ph¶i cña b­íc 2 chØ kh¸c tÝch ph©n ë trªn vßng trßn |ξ| = R mét ®¹i l­îng∑ Cδ 1 2pi ∫ |ξ−Z0|=δ log |f(ξ)| |dξ| . Ta cã ∫ |ξ−Z0|=δ log |f(ξ)| |dξ| = Cδ. log δ.δ. Do ®ã, ∑ Cδ 1 2pi ∫ |ξ−Z0|=δ log |f(ξ)| |dξ| ≈ A log δ.δ. Cho δ → 0 ta cã∑ Cδ 1 2pi ∫ |ξ−Z0|=δ log |f(ξ)| |dξ| → 0. C«ng thøc ®­îc chøng minh. Tr­êng hîp 4: B©y giê ta xÐt trong tr­êng hîp f(z) cã c¸c kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong |z| ≤ R. XÐt hµm ψ(z) = f(z) ∏N γ=1 R(z−bγ) R2−bγz∏M µ=1 R(z−aµ) R2−aµz . 12 Khi ®ã ψ(z) suy ra kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm ë trong |ξ| 6 R v× gi¶ sö ng­îc l¹i ψ(z0) = 0 suy ra f(z0) = 0. Do ®ã ψ(ξ) bÞ khö ®i mÉu sè. T­¬ng tù ψ(ξ) còng kh«ng cã cùc ®iÓm. ¸p dông c«ng thøc ®· chøng minh ta cã: log |ψ(z)| = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣ψ(Reiϕ)∣∣ R2 − r2 R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ. Nªn log |f(z)|+ N∑ γ=1 log ∣∣∣∣R(z − bγ)R2 − bγz ∣∣∣∣− M∑ µ=1 log ∣∣∣∣R(z − aµ)R2 − aµz ∣∣∣∣ = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣ψ(Reiϕ)∣∣ R2 − r2 R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ. Khi |z| = R th× ∣∣∣R(z−bγ) R2−bγz ∣∣∣ = 1, vµ ∣∣∣R(z−aµ)R2−aµz ∣∣∣ = 1. Suy ra nÕu |z| = R th× |ψ(z)| = |f(z)| . Do ®ã log |f(z)|+ N∑ γ=1 log ∣∣∣∣R(z − bγ)R2 − bγz ∣∣∣∣− M∑ µ=1 log ∣∣∣∣R(z − aµ)R2 − aµz ∣∣∣∣ = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣f(Reiϕ)∣∣ R2 − r2 R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ. VËy log |f(z)| = 1 2pi ∫ 2pi 0 log ∣∣f(Reiϕ)∣∣ R2 − r2 R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ + M∑ µ=1 log ∣∣∣∣R(z − aµ)R2 − aµz ∣∣∣∣− N∑ γ=1 log ∣∣∣∣R(z − bγ)R2 − bγz ∣∣∣∣. 13 Tõ C«ng thøc Poisson-Jensen ta cã ®Þnh lý sau ®©y. 1.1.7 §Þnh lý (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø nhÊt). Gi¶ sö f lµ hµm ph©n h×nh, a lµ mét sè phøc tuú ý. Khi ®ã ta cã m(f, a, r) +N(f, a, r) = T (f, r)− log |f(0)− a|+ (a, r), trong ®ã (a, r) ≤ log a+ log 2. Ta th­êng dïng §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt d­íi d¹ng T (f, a, r) = T (f, r) +O(1), trong ®ã O(1) lµ ®¹i l­îng bÞ chÆn khi r →∞. §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cho ta thÊy vÕ tr¸i trong c«ng thøc kh«ng phô thuéc a víi sai kh¸c mét ®¹i l­îng bÞ chÆn. 1.1.8 §Þnh lý (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø hai). Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh trong C vµ a1, . . . , aq lµ q sè phøc ph©n biÖt. Khi ®ã, (q − 2)T (f, r) ≤ q∑ i=1 N(f, ai, r)−Nram(f, r) +O ( log T (r, f) ) , cho r →∞ bªn ngoµi tËp hîp cã ®é ®o Lebesgue h÷u h¹n vµ N ram (f, r) = N(f ′, 0, r) + 2N(f,∞, r)−N(f ′,∞, r). 1.2 Quan hÖ sè khuyÕt cho hµm ph©n h×nh Quan hÖ sè khuyÕt lµ mét d¹ng ph¸t biÓu kh¸c cña §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna. Sè khuyÕt liªn quan chÆt chÏ ®Õn bµi to¸n ng­îc cña Nevanlinna trong [9]. Tr­íc hÕt ta nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa sè khuyÕt. 14 1.2.1 §Þnh nghÜa. Sè khuyÕt cña hµm f t¹i ®iÓm a ®­îc ®Þnh nghÜa bëi δ(f, a) = lim inf r→∞ { 1− N(f, a, r) T (f, r) } . Sè khuyÕt rÏ nh¸nh cña hµm f t¹i ®iÓm a ®­îc ®Þnh nghÜa bëi θ(f, a) = lim inf r→∞ {N(f, a, r)−N(f, a, r) T (f, r) } . Sè khuyÕt bÞ chÆt cña hµm f t¹i ®iÓm a ®­îc ®Þnh nghÜa bëi Θ(f, a) = θ(f, a) + δ(f, a) = lim inf r→∞ { 1− N(f, a, r) T (f, r) } . 1.2.2 §Þnh nghÜa. Cho a ∈ C∪{∞}, gi¸ trÞ a ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt cña hµm f nÕu δ(f, a) > 0; gi¸ trÞ a ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt cùc ®¹i cña hµm f nÕu δ(f, a) = 1. 1.2.3 MÖnh ®Ò. Víi mäi a ∈ C ∪ {∞}, 0 ≤ δ(f, a), 0 ≤ θ(f, a), vµ Θ(f, a) = θ(f, a) + δ(f, a) ≤ 1. Cho hµm ph©n h×nh f vµ c¸c ®iÓm ph©n biÖt a1, . . . , aq trong C ∪ {∞}, ký hiÖu S(f, {aj}qj=1, r) = (q − 2)T (f, r)− q∑ j=1 N(f, aj, r) +Nram(f, r). Khi ®ã, §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cã thÓ ®­îc ph¸t biÓu ë d¹ng yÕu h¬n nh­ sau. 1.2.4 §Þnh lý. Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng sè trªn C vµ a1, . . . , aq lµ c¸c phÇn tö ph©n biÖt trong C ∪ {∞}. Khi ®ã lim inf r→∞ S(f, {aj}qj=1, r) T (f, r) ≤ 0. 15 1.2.5 §Þnh lý. Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng sè trong |z| < R0. Khi ®ã tËp hîp c¸c gi¸ trÞ a mµ δ(f, a) > 0 vµ θ(f, a) > 0 lµ ®Õm ®­îc, ®ång thêi ta cã∑ a∈C∪{∞} {δ(f, a) + θ(f, a)} = ∑ a∈C∪{∞} Θ(f, a) 6 2. Chøng minh. XÐt q ®iÓm kh¸c nhau a1, a2, ...., aq trong C ∪ {∞}. Khi ®ã q∑ j=1 (δ(f, aj) + θ(f, aj)) = lim inf r→∞ qT (f, r)−∑qj=1N(f, aj, r) +∑qj=1N(f, aj, r)−∑qj=1 N¯(f, aj, r) T (f, r) . Râ rµng N(f, aj, r) − N¯(f, aj, r) ®Õm sè lÇn hµm f = a víi béi lín h¬n 1 vµ do ®ã q∑ j=1 N(f, aj, r)− q∑ j=1 N¯(f, aj, r) ≤ Nram(f, r) + nram(f, 0) log+ 1 r . Nh­ vËy q∑ j=1 (δ(f, aj) + θ(f, aj)) ≤ lim inf r→∞ qT (f, r)−∑qj=1N(f, aj, r) +Nram(f, r) T (f, r) = 2 + lim inf r→∞ (q − 2)T (f, r)−∑qj=1N(f, aj, r) +Nram(f, r) T (f, r) = 2 + lim inf r→∞ S(f, {aj}qj=1, r) T (f, r) ≤ 2, bëi ¸p dông §Þnh lý 1.2.4. Víi mäi sè nguyªn d­¬ng k, tån t¹i nhiÒu nhÊt h÷u h¹n gi¸ trÞ a sao cho Θ(f, a) ≥ 1/k. Do {a : Θ(f, a) ≥ 0} = ∪∞k=1{a : Θ(f, a) ≥ 1/k}, ta cã nhiÒu nhÊt ®Õm ®­îc a nh­ vËy. 16 1.2.6 HÖ qu¶. NÕu f lµ hµm nguyªn th×∑ a∈C Θ(f, a) 6 1. Chøng minh. Do f lµ hµm nguyªn nªn Θ(f,∞) = 1. Chóng ta cã ®Þnh lý sau lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña ®Þnh lý quan hÖ sè khuyÕt. 1.2.7 §Þnh lý (§Þnh lý Picard). Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh, kh«ng nhËn 3 gi¸ trÞ 0, 1,∞ khi ®ã f lµ hµm h»ng. Chøng minh. Gi¶ sö f kh«ng ph¶i lµ hµm h»ng, do f(z) kh«ng nhËn 3 gi¸ trÞ 0, 1,∞ nªn N(f, 0, r) = 0; N(f, 1, r) = 0; N(f,∞, r) = 0. Do ®ã Θ(f, 0) = 0; Θ(f, 1) = 1; Θ(f,∞) = 1. Nh­ thÕ ∑ a∈C∪{∞} Θ(f, a) > 2, m©u thuÉn víi ®Þnh lý vÒ sè khuyÕt, nh­ vËy f(z) ph¶i lµ hµm h»ng. VÊn ®Ò ng­îc cña Nevanlinna. Cho 1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, gi¶ sö {δi} vµ {θi} lµ d·y c¸c sè thùc kh«ng ©m sao cho 0 < δi + θi ≤ 1, ∑ i (δi + θi) ≤ 2. Gi¶ sö ai, 1 ≤ i < N lµ c¸c ®iÓm ph©n biÖt trong C ∪ {∞}. Nevanlinna ®· ®­a ra c©u hái sau: Tån t¹i hay kh«ng hµm ph©n h×nh f trªn C sao cho δ(f, ai) = δi, θ(f, ai) = θi, 1 ≤ i < N 17 vµ δ(f, a) = θ(f, a) = 0 cho mäi a /∈ {ai}? VÊn ®Ò nµy ®· ®­îc gi¶i quyÕt trän vÑn bëi Drasin trong [3]. 1.3 C¸c hµm Nevanlinna cho ®­êng cong chØnh h×nh. Tr­íc hÕt ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm kh«ng gian x¹ ¶nh. 1.3.1 §Þnh nghÜa. §Æt (C∗)n+1 = Cn+1 \ (0, . . . , 0). Ta ®Þnh nghÜa mét quan hÖ t­¬ng ®­¬ng trªn (C∗)n+1 nh­ sau: (x0, . . . , xn) ∼ (y0, . . . , yn) nÕu tån t¹i 0 6= λ ∈ C sao cho (x0, . . . , xn) = λ(y0, . . . , yn). Kh«ng gian x¹ ¶nh n chiÒu trªn C, ký hiÖu lµ Pn(C) hay ®¬n gi¶n lµ Pn, lµ kh«ng gian (C∗)n+1 víi quan hÖ t­¬ng ®­¬ng ∼ . Ta cã Pn = (C∗)n+1/ ∼ . Mçi phÇn tö cña kh«ng gian x¹ ¶nh Pn lµ mét líp (x0, . . . , xn) theo quan hÖ t­¬ng ®­¬ng ∼ . Mçi phÇn tö P cña kh«ng gian x¹ ¶nh Pn ®­îc gäi lµ mét ®iÓm, kÝ hiÖu lµ P = (x0 : · · · : xn) vµ (x0 : · · · : xn) ®­îc gäi lµ täa ®é thuÇn nhÊt cña ®iÓm P . 1.3.2 §Þnh nghÜa. ¸nh x¹ f = (f0 : f1 : · · · : fn) : C→ Pn(C) ®­îc gäi lµ ®­êng cong chØnh h×nh nÕu fi lµ c¸c hµm nguyªn trªn C. Ta cã thÓ viÕt f = (f˜0, f˜1, . . . , f˜n) trong ®ã f˜i lµ c¸c hµm nguyªn kh«ng cã c¸c kh«ng ®iÓm chung. Khi ®ã (f˜0, f˜1, . . . , f˜n) ®­îc gäi lµ biÓu diÔn rót gän cña ®­êng cong f . Gi¶ sö f : C→ Pn(C) lµ ®­êng cong chØnh h×nh. Gi¶ sö f = (f0, . . . , fn) lµ biÓu diÔn rót gän cña f , trong ®ã f0, . . . , fn lµ c¸c hµm nguyªn trong C kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung. §Æt ‖f(z)‖ = (|f0(z)|2 + · · ·+ |fn(z)|2) 12 . 18 Hµm ®Æc tr­ng Nevanlinna-Cartan Tf(r) ®­îc ®Þnh nghÜa bëi T (r, f) = 1 2pi ∫ 2pi 0 log ‖f(reiθ)‖dθ. Gi¶ söQ lµ ®a thøc thuÇn nhÊt bËc d víi n+1 biÕn. Hµm xÊp xØm(r,Q, f) cña ¸nh x¹ f øng víi ®a thøc Q ®­îc ®Þnh nghÜa lµ m(r,Q, f) = 1 2pi ∫ 2pi 0 log ‖f(reiθ)‖d |Q ◦ f(reiθ)|dθ. Ta gäi n(r,Q, f), (t­¬ng øng, n(r,Q, f)), lµ sè c¸c kh«ng ®iÓm tÝnh c¶ béi, (t­¬ng øng, kh«ng tÝnh béi), cña Q ◦ f trong ®Üa |z| ≤ r. Hµm ®Õm tÝnh c¶ béi N(r,Q, f), (t­¬ng øng, hµm ®Õm kh«ng tÝnh béi N(r,Q, f)), ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ sau: N(r,Q, f) = ∫ r 0 n(t, Q, f)− nf(0, Q) t dt− n(0, Q, f) log r, (t­¬ng øng, N(r,Q, f) = ∫ r 0 n(t, Q, f)− n(0, Q, f) t dt− n(0, Q, f) log r). T­¬ng tù nh­ ®èi víi hµm ph©n h×nh, ta còng cã hai ®Þnh lý c¬ b¶n cho c¸c ®­êng cong chØnh h×nh. 1.3.3 §Þnh lý (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø nhÊt). Gi¶ sö f : C → Pn(C) lµ ®­êng cong chØnh h×nh vµ Q lµ ®a thøc thuÇn nhÊt bËc d trong Pn(C). Gi¶ sö Q ◦ f(C) 6≡ 0, th× víi mäi 0 < r <∞ m(r,Q, f) +N(r,Q, f) = dT (r, f) +O(1), trong ®ã O(1) lµ ®¹i l­îng bÞ chÆn kh«ng phô thuéc vµo r. 1.3.4 §Þnh lý (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø hai). Gi¶ sö f : C→ Pn(C) lµ ®­êng cong chØnh h×nh kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh. Gi¶ sö L1, . . . , Lq lµ c¸c ®a thøc tuyÕn tÝnh Pn(C). Khi ®ã∫ 2pi 0 max K log ∏ j∈K ‖f(reiθ)‖‖Lj‖ |Lj(f)(reiθ)| dθ 2pi 6 (n+ 1)T (r, f) + o(T (r, f)), 19 trong ®ã maximum ®­îc lÊy trªn tÊt c¶ c¸c tËp con K cña {1, . . . , q} sao cho Lj, j ∈ K lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ ‖Lj‖ lµ maximum cña c¸c gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña c¸c hÖ sè trong Lj. Ch­¬ng 2 §­êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt Trong Ch­¬ng 1, ta ®· chøng minh r»ng tËp hîp c¸c gi¸ trÞ a sao cho hµm sè khuyÕt cña mét hµm ph©n h×nh t¹i ®iÓm a d­¬ng lµ ®Õm ®­îc. Trong ch­¬ng nµy, chóng t«i sÏ x©y dùng c¸c ®­êng cong chØnh h×nh cã v« sè hµm sè khuyÕt d­¬ng. Tr­íc hÕt ta ®­a ra c¸c kÕt qu¶ dïng ®Ó hç trî cho viÖc x©y dùng c¸c ®­êng cong chØnh h×nh nh­ vËy. 2.1 C¸c kÕt qu¶ bæ trî Cho a0z0 + · · · + anzn = 0 lµ mét d¹ng tuyÕn tÝnh x¸c ®Þnh mét siªu ph¼ng H trong kh«ng gian x¹ ¶nh Pn. Khi ®ã, cã t­¬ng øng 1-1 gi÷a siªu ph¼ng H vµ ®iÓm a = (a0, . . . , an) ∈ Cn+1 \ {(0, ..., 0)}. Do ®ã, ta cã thÓ thay viÖc xÐt mét siªu ph¼ng trong kh«ng gian x¹ ¶nh Pn b»ng viÖc xÐt mét ®iÓm trong Cn+1 vµ ta ký hiÖu ‖a‖ = (|a0|2 + ...+ |an|2) 12 , (a, f) = a0f0 + ...+ anfn, (a, f(z)) = a0f0(z) + ...+ anfn(z), 20 21 trong ®ã f := (f0, . . . , fn) : C → Pn(C) lµ ®­êng cong chØnh h×nh kh¸c h»ng. Khi ®ã, hµm ®Õm, hµm xÊp xØ cña Nevanlinna-Cartan ®­îc viÕt l¹i nh­ sau 2.1.1 §Þnh nghÜa. Víi a ∈ Cn+1 − {0}, ta cã m(r, a, f) = 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖a‖∥∥f(reiθ)∥∥ |(a, f(reiθ))| dθ, N(r, a, f) = N(r, 1/(a, f)). 2.1.2 §Þnh nghÜa. §­êng cong chØnh h×nh f := (f0, . . . , fn) : C → Pn(C) ®­îc gäi lµ kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh trªn C nÕu f0, ..., fn lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C. 2.1.3 §Þnh nghÜa. §­êng cong f := (f0, . . . , fn) : C → Pn(C) ®­îc gäi lµ siªu viÖt nÕu f lµ kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh vµ lim r→∞ T (r,f) log r =∞. 2.1.4 §Þnh nghÜa. ρ(f) = lim sup r→∞ log T (r, f) log r ®­îc gäi lµ cÊp cña f. 2.1.5 §Þnh lý (§Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt). Cho f : C → Pn(C) lµ ¸nh x¹ chØnh h×nh, a ∈ Cn+1 − {0} tuú ý. Khi ®ã ta cã T (r, f) = m(r, a, f) +N(r, a, f) +O(1), (2.1) trong ®ã O(1) lµ ®¹i l­îng giíi néi. 2.1.6 §Þnh nghÜa. Cho f : C→ Pn(C) lµ ¸nh x¹ chØnh h×nh, a ∈ Cn+1−{0}. δ(f, a) = 1− lim sup r→∞ N(r, a, f) T (r, f) = lim inf r→∞ m(r, a, f) T (r, f) ®­îc gäi lµ sè khuyÕt cña f t¹i a. 22 NhËn xÐt. Tõ c«ng thøc (2.1) ta cã 0 6 δ(f, a) 6 1. T­¬ng tù nh­ ®èi víi hµm ph©n h×nh, ta cã c¸c ®Þnh nghÜa vÒ gi¸ trÞ khuyÕt nh­ sau. 2.1.7 §Þnh nghÜa. Cho a ∈ Cn+1 − {0}, gi¸ trÞ a ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt cña ®­êng cong chØnh h×nh f nÕu δ(f, a) > 0; gi¸ trÞ a ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt cùc ®¹i cña hµm f nÕu δ(f, a) = 1. 2.1.8 §Þnh nghÜa. Cho X lµ mét tËp con cña Cn+1 − {0} , vµ N lµ mét sè nguyªn tho¶ m·n N > n. X ®­îc gäi lµ ë N - vÞ trÝ tæng qu¸t nÕu #X > N + 1 vµ N + 1 phÇn tö bÊt kú cña X sinh ra Cn+1. Chóng ta nãi r»ng X lµ ë vÞ trÝ tæng qu¸t nÕu X ë n - vÞ trÝ tæng qu¸t. §Þnh lý sau ®©y lµ mét më réng cña §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna- Cartan cho hä c¸c phÇn tö ë N - vÞ trÝ tæng qu¸t. KÕt qu¶ nµy ®­îc chøng minh bëi Cartan [1] cho tr­êng hîp N = n vµ bëi Nocka [10] cho N > n. 2.1.9 §Þnh lý. Cho ¸nh x¹ chØnh h×nh f : C → Pn(C). Víi q phÇn tö a1, ..., aq bÊt kú cña X ë N - vÞ trÝ tæng qu¸t. Khi ®ã q∑ j=1 δ(aj, f) 6 2N − n+ 1, trong ®ã 2N − n+ 1 6 q 6∞. §Ó x©y dùng ®­êng cong chØnh h×nh cã v« sè gi¸ trÞ khuyÕt, ta còng cÇn c¸c kÕt qu¶ sau ®©y cña lý thuyÕt d·y. Cho {ηv} lµ mét d·y gi¶m tho¶ m·n ηv > 0, ∞∑ v=1 ηv = 1, η0 = η1. §Æt θ0 = 0, θk = pi k−1∑ v=0 ηv, (k = 1, 2, 3, ...). 23 Khi ®ã {θk} lµ mét d·y t¨ng ngÆt vµ tiÕn tíi pi ∞∑ v=0 ηv = piη0 + pi ∞∑ v=1 ηv 6 2pi, khi k →∞. 2.1.10 Bæ ®Ò. Gi¶ sö k > 1, z = reiθ vµ θ tho¶ m·n θk − 1 3 piηk < θ 6 θk + 1 3 piηk. (2.2) Khi ®ã (a.) cos(θv − θ) 6 cos(23piηk) víi ν 6= k. (b.) ∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 er cos 23piηk víi ν 6= k. Chøng minh. Tr­íc hÕt ta chøng minh kh¼ng ®Þnh (a). Víi v < n θ − θv > (θn − θn−1)− 1 3 piηn = pi(ηn−1 − 1 3 ηn) > 2 3 piηn, vµ víi v > n ta cã θv − θ > (θn+1 − θn)− 1 3 piηn = 2 3 piηn. Suy ra |θv − θ| > 2 3 piηn(mod2pi), (v 6= n). VËy cos(θv − θ) 6 cos(23piηk). Ta tiÕp tôc chøng minh kh¼ng ®Þnh (b). Sö dông (a), ta cã :∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 ∣∣∣erei(θ−θv) ∣∣∣ = er cos(θ−θv) 6 er cos 23piηk, (v 6= k). VËy bæ ®Ò ®­îc chøng minh. 24 Gi¶ sö m lµ mét sè nguyªn d­¬ng bÊt kú, {ak} lµ mét d·y tuú ý c¸c sè phøc trong ®ã cã Ýt nhÊt 2 phÇn tö cña {ak}k>m ph©n biÖt vµ kh¸c kh«ng, {bk} lµ mét d·y c¸c sè d­¬ng tho¶ m·n: S1 = ∞∑ k=1 bk |ak| <∞, S2 = ∞∑ k=1 bk <∞. §Æt u(z) = ∞∑ k=1 bkake ze−iθk , vm(z) = ∞∑ k=m bke ze−iθk , vµ w0(z) ≡ 0, wm−1(z) = m−1∑ k=1 αke ze−iθk , (m > 2) víi sè phøc αk bÊt kú. H¬n n÷a ta ®Æt A0 ≡ 0, Am−1 = m−1∑ k=1 |αk|, (m > 2). Ta cã c¸c mÖnh ®Ò sau. 2.1.11 MÖnh ®Ò. Cho z = reiθ. Khi ®ã 1. |u(z)| 6 S1er, 2. |vm(z)| 6 S2er, 3. |u(z) + wm−1(z)| 6 (S1 + Am−1)er, 4. |vm(z) + wm−1(z)| 6 (S2 + Am−1)er. Chøng minh. Tr­íc hÕt ta cã:∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 ∣∣∣erei(θ−θk) ∣∣∣ = er cos(θ−θk) 6 er. Khi ®ã c¸c kh¼ng ®Þnh ®­îc chøng minh nh­ sau: 1. |u(z)| = ∣∣∣∣ ∞∑ k=1 bkake ze−iθk ∣∣∣∣ = ∞∑ k=1 bk |ak| ∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 S1er. 25 2. |vm(z)| = ∣∣∣∣ ∞∑ k=m bke ze−iθk ∣∣∣∣ = ∞∑ k=m bk ∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 ∞∑ k=1 bk ∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 S2er. 3. |wm−1(z)| = ∣∣∣∣m−1∑ k=1 αke ze−iθk ∣∣∣∣ = m−1∑ k=1 |αk| ∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 Am−1er, (m > 2), |u(z) + wm−1(z)| 6 |u(z)|+ |wm−1(z)| 6 S1er +Am−1er = (S1 +Am−1)er. 4. |vm(z) + wm−1(z)| 6 |vm(z)|+ |wm−1(z)| 6 S2er + Am−1er = (S2 + Am−1)er. 2.1.12 Bæ ®Ò. Cho θ tho¶ m·n (2.2) vµ k > m, z = reiθ. Khi ®ã, ta cã c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: 1. ∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ 6 (S1 + Am−1)er cos 23piηk. (2.3) 2. ∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 S2er cos 23piηk. (2.4) 3. ∣∣∣vm(z) + wm−1(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 (S2 + Am−1)er cos 23piηk, (2.5) vµ víi r ®ñ lín 4. |u(z) + wm−1(z)| > 1 2 bk |ak| er cos 13piηk, (ak 6= 0). (2.6) 5. |vm(z)| > 1 2 bke r cos 13piηk. (2.7) 6. |vm(z) + wm−1(z)| > 1 2 bke r cos 13piηk. (2.8) 26 Chøng minh. Ta cã∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ 6 |wm−1(z)|+ ∣∣∣u(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ 6 m−1∑ v=1 ∣∣∣αveze−iθv ∣∣∣+∑ v 6=k bv ∣∣∣aveze−iθv ∣∣∣ 6 m−1∑ v=1 |αv| ∣∣∣eze−iθv ∣∣∣+ ∞∑ v=1 bv |av| ∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 (S1 + Am−1)er cos 2 3piηk, kh¼ng ®Þnh (1) ®­îc chøng minh. ∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ = ∣∣∣∣∣ ∞∑ k=m bke ze−iθk − bkeze−iθk ∣∣∣∣∣ 6 ∣∣∣∣∣ ∞∑ k=1 bke ze−iθk − bkeze−iθk ∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ ∑ v 6=k bve ze−iθv ∣∣∣∣∣∣ 6 ∣∣∣∣∣ ∞∑ v=1 bve ze−iθv ∣∣∣∣∣ = ∞∑ v=1 bv ∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 S2er cos 23piηk, bÊt ®¼ng thøc (2) ®­îc chøng minh. ∣∣∣vm(z) + wm−1(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 |wm−1(z)|+ ∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 Am−1er cos 2 3piηk + S2e r cos 23piηk = (S2 + Am−1)er cos 2 3piηk, ®­a ra chøng minh cho bÊt ®¼ng thøc (3). 27 Gi¶ sö ak 6= 0, ta cã∣∣∣bkakeze−iθk ∣∣∣− |u(z) + wm−1(z)| 6 ∣∣∣bkakeze−iθk − (u(z) + wm−1(z))∣∣∣ = ∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ 6 (S1 + Am−1)er cos 2 3piηk. §iÒu nµy kÐo theo |vm(z) + wm−1(z)| > ∣∣∣bkakeze−iθk ∣∣∣− (S1 + Am−1)er cos 23piηk = bk |ak| er cos(θ−θk) − (S1 + Am−1)er cos 23piηk > bk |ak| er cos 13piηk − (S1 + Am−1)er cos 23piηk = er cos 1 3piηk(bk |ak| − (S1 + Am−1)er(cos 23piηk−cos 13piηk)) > 1 2 bk |ak| er cos 13piηk, kh¼ng ®Þnh (4) ®­îc chøng minh. BÊt ®¼ng thøc (5) ®­îc chøng minh nh­ sau:∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− |vm(z)| 6 ∣∣∣bkeze−iθk − vm(z)∣∣∣ = ∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 S2er cos 23piηk, do ®ã, |vm(z)| > ∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− S2er cos 23piηk > bker cos 13piηk − S2er cos 23piηk = er cos 1 3piηk(bk − S2er(cos 23piηk−cos 13piηk)) > 1 2 bke r cos 13piηk. 28 BÊt ®¼ng thøc (6) ®­îc suy ra tõ∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− |vm(z) + wm−1(z)| 6 ∣∣∣bkeze−iθk − vm(z) + wm−1(z)∣∣∣ = ∣∣∣vm(z) + wm−1(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 (S2 + Am−1)er cos 2 3piηk, ®iÒu nµy kÐo theo |vm(z) + wm−1(z)| > ∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− (S2 + Am−1)er cos 23piηk > bker cos 1 3piηk − (S2 + Am−1)er cos 23piηk = er cos 1 3piηk(bk − (S2 + Am−1)er(cos 23piηk−cos 13piηk)) > 1 2 bke r cos 13piηk. Bæ ®Ò ®­îc chøng minh. 2.1.13 Bæ ®Ò. u(z) + wm−1(z) vµ vm(z) lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C. Chøng minh. Tr­íc hÕt tõ bÊt ®¼ng thøc (2.6) vµ (2.7) ta nhËn thÊy c¶ u(z) + wm−1(z) vµ vm(z) ®Òu kh«ng ®ång nhÊt b»ng kh«ng. Gi¶ sö u(z) + wm−1(z) vµ vm(z) lµ phô thuéc tuyÕn tÝnh trªn C, khi ®ã tån t¹i mét h»ng sè a 6= 0 tho¶ m·n u(z)+wm−1(z)vm(z) ≡ a. MÆt kh¸c do c¸ch chän d·y {ak} nªn cã Ýt nhÊt mét k > m ®Ó ak 6= 0, ak 6= a, khi ®ã víi θ tho¶ m·n (2.2), víi z = reiθ vµ r ®ñ lín ta cã 29 0 6= |a− ak| = ∣∣∣∣u(z) + wm−1(z)− akvm(z)vm(z) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze −iθk − akvm(z) + bkakeze−iθk vm(z) ∣∣∣∣∣ 6 ∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣+ ∣∣∣akvm(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ |vm(z)| 6 (S1 + Am−1 + |ak|S2)e r cos 23piηk 1 2bke r cos 13piηk = 2 S1 + Am−1 + |ak|S2 bk er(cos 2 3piηk−cos 13piηk) = 2 S1 + Am−1 + |ak|S2 bk e−2r sin pi 6 ηk sin pi 2 ηk = 2 S1 + Am−1 + |ak|S2 bke2r sin pi 6 ηk sin pi 2 ηk r→∞−−−→ 0, (do sin pi6ηk sin pi 2ηk > 0.) §iÒu nµy m©u thuÉn. VËy ®iÒu gi¶ sö kh«ng, tøc u(z) + wm−1(z) vµ vm(z) lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C. Cho f := (f1 : ... : fn+1) lµ mét ®­êng cong chØnh h×nh siªu viÖt; p lµ mét sè nguyªn d­¬ng tuú ý, ®Æt P (z) = zp, chóng ta xÐt ®­êng cong chØnh h×nh f ◦ P = (f1 ◦ P, ..., fn+1 ◦ P ). Chó ý r»ng f1 ◦P, ..., fn+1 ◦P kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung vµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C. 2.1.14 Bæ ®Ò. Cho a ∈ Cn+1 − {0}. Khi ®ã 1. T (r, f ◦ P ) = T (rp, f), vµ ρ(f ◦ P ) = pρ(f), 2. m(r, a, f ◦ P ) = m(rp, a, f), 3. δ(a, f ◦ P ) = δ(a, f). 30 Chøng minh. Bëi ®Þnh nghÜa cña hµm ®Æc tr­ng vµ theo gi¶ thiÕt ‖f ◦ P (z)‖ = ‖f(zp)‖ = ∥∥f(rpeipθ)∥∥ , ta cã T (r, f ◦ P ) = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∥∥f(rpeipθ)∥∥dθ − log ‖f(0)‖ = 1 2ppi 2ppi∫ 0 log ∥∥f(rpeiφ)∥∥dφ− log ‖f(0)‖ = 1 2pi 2pi∫ 0 log ∥∥f(rpeiφ)∥∥dφ− log ‖f(0)‖ = T (rp, f). MÆt kh¸c ρ(f ◦ P ) = lim sup r→∞ log T (r, f ◦ P ) log r = lim sup r→∞ log T (rp, f) 1 p log r p = p lim sup r→∞ log T (rp, f) log rp = p ρ(f). Kh¼ng ®Þnh (1) ®­îc chøng minh. Ta sÏ chøng minh kh¼ng ®Þnh (2). ThËt vËy, m(r, a, f ◦ P ) = 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖a‖∥∥f(rpeipθ)∥∥ |(a, f(rpeipθ))| dθ = 1 2ppi 2ppi∫ 0 log ‖a‖∥∥f(rpeiφ)∥∥ |(a, f(rpeiφ))| dφ = 1 2pi 2pi∫ 0 log ‖a‖∥∥f(rpeiφ)∥∥ |(a, f(rpeiφ))| dφ = m(r p, a, f). 31 Tõ (1) vµ (2) ta cã δ(a, f ◦ P ) = lim inf r→∞ m(r, a, f ◦ P ) T (r, f ◦ P ) = lim inf r→∞ m(rp, a, f) T (rp, f) = δ(a, f), suy ra (3) ®ù¬c chøng minh. 2.2 C¸c vÝ dô vÒ ®­êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt. Nh­ ta ®· biÕt, bµi to¸n vÒ hµm ph©n h×nh víi h÷u h¹n hay v« h¹n gi¸ trÞ khuyÕt ®· ®­îc nghiªn cøu kh¸ trän vÑn trong c¸c c«ng tr×nh cña Le V. T. [11], D. Drasin [3], Hayman [4],... Trong phÇn nµy ta nghiªn cøu bµi to¸n nµy cho ®­êng cong chØnh h×nh. Ta gi¶ thiÕt n > 2. Cho {ηv}vµ {θk} lµ c¸c d·y sao cho {ηv} lµ mét d·y gi¶m víi ηv > 0, ∞∑ v=1 ηv = 1, η0 = η1, vµ {θk} lµ mét d·y t¨ng ngÆt víi θ0 = 0, θk = pi k−1∑ v=0 ηv, (k = 1, 2, 3...). Cho Y = {ak = (a1k, ..., ank, 1) ∈ Cn+1} ë vÞ trÝ tæng qu¸t vµ {cjk}∞k=1 , (j = 1, ..., n) lµ nh÷ng d·y sè d­¬ng tho¶ m·n: det (cjk) 6= 0, (j, k = 1, ..., n), c1k = c2k = ... = cnk = ck, (k = n, n+ 1, ...), 32 vµ Sj = ∞∑ k=1 cjk <∞, (j = 1, ..., n), Sn+1 = ∞∑ k=1 ( n∑ j=1 cjk |ajk|) <∞. §Æt ϕj(z) = ∞∑ k=1 cjke ze−iθk , (j = 1, ..., n) ϕn+1(z) = − ∞∑ k=1 ( n∑ j=1 cjkajk)e ze−iθk , ψ1(z) = ∞∑ k=n cke ze−iθk , ϕj − ψ1 = hj, trong ®ã hj(z) = n−1∑ k=1 cjke ze−iθk , (j = 1, ..., n). Chó ý r»ng, nÕu ta ®Æt ak = ∑n j=1 ajk, (k = 1, 2, ...), th× do Y lµ ë vÞ trÝ tæng qu¸t, nªn d·y {ak} tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña d·y {ak} ®· nªu ë tr­íc MÖnh ®Ò 2.1.11. Ta cã mÖnh ®Ò sau. 2.2.1 MÖnh ®Ò. Cho |z| = r. Khi ®ã |ϕj(z)| < Sjer, (j = 1, 2, ..., n+ 1). Chøng minh. Víi sè k bÊt kú vµ z = reiθ, ta cã:∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 ∣∣∣erei(θ−θk) ∣∣∣ = er cos(θ−θk) 6 er. Khi ®ã: |ϕj(z)| = ∞∑ k=1 cjk ∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 Sjer, (j = 1, ..., n), 33 vµ |ϕn+1(z)| = ∣∣∣∣∣− ∞∑ k=1 ( n∑ j=1 cjkajk)e ze−iθk ∣∣∣∣∣ = ∞∑ k=1 ( n∑ j=1 cjk |ajk|) ∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 Sn+1er. VËy |ϕj(z)| < Sjer, (j = 1, 2, ..., n+ 1). 2.2.2 MÖnh ®Ò. C¸c hµm ϕ1, ..., ϕn+1 kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung. Chøng minh. Chóng ta chØ ph¶i chøng minh ϕ1, ..., ϕn kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung. Gi¶ sö r»ng chóng cã kh«ng ®iÓm chung t¹i z = z0, th× tõ ϕj(z) = n−1∑ k=1 cjke ze−iθk + ψ1(z), (j = 1, ..., n), ta cã