Lý thuyết thế trong địa vật lý (Phần 2)

ρ ψρ − + − −= (3.13) Sau khi giản ước ta có : 3 22 SRr R dn dG − =      ρ σ (3.14) Thay (3.14) vào (3.3) ta có nghiệm bài toán Dirichlet ngoài : (3.15 Nghiệm này gọi là tích phân Poisson cho không gian ngoài. Tương tư,ï ta có thể chứng minh rằng nghiệm của bài toán Dirichlet trong : (3.16) §.3. Bài toán Dirichlet cho mặt phẳng vô hạn. Công thức cho trường hợp mặt phẳng nhận được bằng cách cho bán kính quả cầu không ngừng tiến tới vô cực. Lúc đó đại lượng trong dấu tích phân sẽ có giới hạn sau: 1 2 )(lim =+ R Rρ ρ cũng tiến tới ∞ khi ∞→R , ký hiệu R−ρ là z, tức chiều cao diểm quan sát so với mặt phẳng vô hạn ta nhận được : ∫ ∫ − = σ σ ρλθ pi λθρ d Rr RfV S e 3 22 )','( 4 1),,( ∫ ∫ − = σ σ ρλθ pi λθρ d Rr RfV S i 3 22 )','( 4 1),,( 61 (3.17) Bây giờ σ là mặt phẳng vô hạn, và σd là diện tích nguyên tố của mặt phẳng đó. ∫ ∫= σ σλθ pi 3 )','( 2 r dfzV e 62 CHƯƠNG IV HÀM CẦU VÀ CÁC TÍNH CHẤT §1. Giải phương trình Laplace trong tọa độ cầu Hàm điều hòa là hàm thỏa mãn phương trình Lapcace theo định nghĩa. Đương nhiên nghiệm của phương trình Lapcace là hàm điều hòa. Dạng tổng quát của nghiệm này, ta sẽ nhận được sau khi giải phương trình Lapcace. Trong tọa độ cầu, phương trình Laplace có dạng :       = ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ 0 sin 1 sin sin 11 2 2 2 2 2 λθθθθθρρρρ UUU (4.1) Sử dụng phương pháp tách biến số, ta đặt nghiệm : ),()(),,( λθρλθρ YfU = (4.2) Thế U trong (4.1) bằng (4.2) ta co ù: 0),( sin 1),(sin sin 1)()(),(1 2 2 22 2 2 =       ∂ ∂ +    ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ λθ λθ λθ θ θ θθρ ρρ ρ ρ ρ λθ ρ YYff d dY (4.3) Nhân 2 vế của (4.3) bằng )(),(/2 ρλθρ fY để tách biến số, ta có: 0),( sin 1),(sin sin 1 ),( 1)()( 1 2 2 2 2 =       ∂ ∂ +    ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ λθ λθ λθ θ θ θθλθρρρρρ YYYfd d f (4.4) Phần chứa ρ ta đặt bằng k : kf d d f =     ∂ ∂ )()( 1 2 ρ ρ ρ ρρ (4.5) Phần chứa λθ , ta đặt bằng -k : 0 sin 1 sin sin 1 2 2 2 =+∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ kYYY λθθθθθ (4.6) 63 Đặt nf ρρ =)( , n = 0, 1, 2, 3,.và thay vào (4.5) ta có : kn d d n n = − )(1 12 ρρ ρρ Sau khi lấy đạo hàm theo ρ ta có : k = n(n+1) (4.6a) Thay n bằng -(n+1) vào (4.6a), kết quả k vẫn bằng n(n+1). Vậy ta có 2 nghiệm. Nhưng nghiệm )1()( +−= nf ρρ có tính chính quy ở ∞ , thích hợp cho bài toán ngoài.Đưa giá trị k này vào (4.6), ta có : 0)1( sin 1 sin sin 1 2 2 2 =++∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ n nn YnnYY λθθθθθ (4.7) Tách biến số một lần nữa bằng cách đặt nghiệm: )()(),( λθλθ nnn LPY = Sau khi thay (4.7a) vào (4.7) ta có: 0)1( sin sin sin 2 2 2 =+++      ∂ ∂ nnn nnn LPnnL d dPP d dL λθθθθθ (4.8) Nhân 2 vế của (4.8) bằng nnPL/sin 2 θ thì phương trình (4.8) tách làm 2 phần. Đặt chúng bằng l và - l, ta có : nn lLLd d −=2 2 λ −l hằng số (4.9) [ ] 0sin)1(sinsin 2 =−++      n n Plnn d dP d d θ θ θ θ θ (4.10) Phương trình (4.9) có dạng quen thuộc 0'' =+ nn lLL trong dao động điều hòa nên Ln sẽ là 1 tổ hợp tuyến tính của λλ mm cos,sin mà trong đó l =m2 (dương), m = 0,1,2,3 Thay 2ml = trong (4.10) và đặt x=θcos , ta có : ( ) ( ) 0 1 11 2 2 2 =      − −++    − n n P x m nn dx dP x dx d (4.11) 64 Đây là phương trình cơ bản của hàm cầu mà nghiệm riêng của nó bằng hàm liên kết Legendre : (4.12) Ví dụ: ( ) θsin1)( 21211 =−= xxP ( ) θ2sin 2 313)( 2 1 2 12 =−= xxP ( ) )2cos1( 2 313)( 222 θ−=−= xxP ( ) ( ) )3sin5(sin 8 3151 2 3)( 221231 θθ +=−−= xxxP ( ) ( )θθ 3coscos 4 15115)( 232 −=−= xxxP ( ) ( )θθ 3sinsin3 4 15115)( 2 3 2 33 −=−= xxP Khi m = 0, ta có Pno(x) = Pn(x) là đa thức Legendre : (4.13) là nghiệm của phương trình (4.11) với m = 0 : ( ) ( ) 0121 2 2 2 =++−− n nn Pnn dx dP x dx Pd x (4.14) Ví dụ : Po(x) = 1 θcos)(1 == xxP )12cos3( 4 1 2 1 2 3)( 22 +=−= θxxP )cos33cos5( 8 1 2 3 2 5)( 23 θθ +=−= xxxP )()1()( 22 xP dx d xxP nm mm nm −= ( )n n n nn x dx d n xP )1 !2 1)( 2 −= 65 Kết quả: (4.15) )sincos)((cos),( 0 ∑ = += n m nmmnmnn mBmAPY λλθλθ (4.16) ),,( λθρnU gọi là hàm cầu khối, còn ),( λθnY gọi là hàm cầu mặt . Chú ý là )(xPn mới chỉ là nghiệm riêng của (4.14) Nghiệm tổng quát là : Z = C1Pn(x) + C2Qn(x) C1, C2 – hằng số. ( )∫ ∞ − = x n nn xPx dx xPxQ )(1)()( 22 (4.17) Hàm này gọi là hàm Legendre loại 2. Ví dụ : x x arcthxQ − + == 1 1ln 2 1 0 1 1 1ln 2 11)()(11 − − + =−= x x xxQxPQ o xxQxPQ o 2 3)()(22 −= 3 2 2 5)()( 233 +−= xxQxPQ o Tương tự, nghiệm tổng quát của (4.11) là: W = C1Pnm(x) + C2Qnm(x’) Trong đó: ( )[ ]∫ ∞ − = x nm nmnm xPx dx xPQ 22 )(1 )( (4.18) §.2 Một số tính chất của đa thức Legendre 1. Đa thức Legendre là những hàm trực giao trong miền : -1≤ x ≤ 1 ∫ + − = 1 1 0)()( dxxPxP mn (4.19) 2. Tích phân của bình phương đa thức Legendre bậc n lấy từ -1 đến +1 bằng : ),(),,( λθρλθρ nnYU = 66 [ ]∫ + − + = 1 1 2 12 2)( n dxxPn (4.20) 3. Hệ số trước x có lũy thừa bậc cao nhất trong đa thức Legendre là : 2)!(2 )!2( n n n (4.21) Ví dụ: Khi n = 3. ta có : xxxP 2 3 2 5)( 33 −= Thay n = 3 vào (4.21) ta có hệ số là : 2 5 )!3(2 !6 23 = 2 5 là hệ số trước x3 có lũy thừa bậc cao nhất ở đây. 4. Pn(1) = 1, Pn(-1) = (-1)n (4.22) 5. Công thức truy hồi cho đa thức Legendre : Công thức bắc cầu, dùng để tính đa thức Legendre bậc cao hơn khi đã biết hai đa thức Legendre bậc thấp hơn kế cận : )( 12 )( 12 1)( 11 xP n n xP n n xxP nnn −+ + + + + = Từ đó rút ra: )()()12()()1( 11 xnPxxPnxPn nnn ++ −+=+ (4.23) §.3. Một số tính chất của hàm liên kết Legendre 1. Tính chất trực giao trong miền [-1, +1] : ∫ + − = 1 1 0)()( dxxPxP nmkm khi k ≠ n (4.24) 2. [ ]∫ + − − + + = 1 1 2 )!( )!( 12 2)( mn mn n dxxPnm (4.25) 3. Công thức truy hồi : 67 nmmnmn PmnmngPmP )1)((cot)1(2 1,2, ++−−+= ++ θ (4.26) Hoặc : mnmnmn PxmnmnxPmPx , 2 1,2, 2 1)1)(()1(21 −++−−+=− ++ §.4. Khai triển hàm r 1 thành chuỗi đa thức Legendre. Hàm r 1 chính là tỷ lệ nghịch với khoảng cách giữa điểm quan sát P(x,y,z) và điểm M ),,( ςηξ có khối lượng hấp dẫn đơn vị như ta đã biết. ( ) 222 )()()( 11 ςηξ −+−+−== zyxrrV Hàm r có thể biểu diễn qua tọa độ cực : θρρ cos222 RRr −+= (4.27) 222 ςηξ ++=R và 222 zyx ++=ρ Ở không gian ngoài R>ρ , nên : )(1 cos21 1)( 2 ρρ θ ρρ ρ RU RR rV = −      + = Ký hiệu ρ α R = , ta cần có 1<α và θαα α cos21 1)(U 2 −+ = H. 17 O R P r ρ M 68 Khai triển )(αU thành chuỗi Mac-Laurin : U U U UU ' '' )0( ! ...)0( !2 )0( !1 )0()( )( 2 n n n ααα α ++++= (4.28) U 1)0( = θ αθαα θα cos 0 ' )cos21( cos)0( 2 3 2 = =             −+ − −=U 1cos3 r 1 r )cos(3)0('' 235 2 −=      − − = θθαU ( )θθθαθα cos3cos53 r )cos(9 r )cos(15)0(''' 3 52 2 −==         − + − =U Thay thế giá trị đạo hàm này vào (4.28), ta có : ... 2 cos3cos5 2 1cos3 cos1)( 32 2 3 + − + − ++= θθ α θ αθααU Hoặc : ...)(cos)(cos)(cos)( 221 +++= θαθαθα PPPoU ∑= ∞ =0 )(cos)( n n n P θααU (4.29) Miền hội tụ của chuỗi, nay được xác định bởi miền hội tụ của chuỗi Mac- Laurin là 1ρ , không gian ngoài quả cầu bán kính R. Kết quả : (4.30) Nếu α >1 thì chuỗi này không hội tụ nhưng chuỗi của α 1 sẽ hội tụ (thay α bằng 1/α). Khi đó ta viết : ∑ ∞ = + = 0 1 )(cos)( n nn n PRrV θ ρ 69 θ ααθ ρρ cos1211 11 cos21 1)( 2 2 −+ = −      + = R RR R rV Ta suy ra : ∑ ∞ = + =      0 1 )(cos 1 n nn n P R U θρ α (4.31) (4.31a) Miền hội tụ của chuỗi là 11 < α hay 1>α , tức R<ρ , không gian bên trong quả cầu bán kính R. §.5.Các hệ thức tích phân cho hàm cầu. Giả sử U và V là hai hàm điều hòa tồn tại trong miềnø τ cho tới mặt giới hạn S. Theo công thức Green thứ hai cho hàm điều hòa ( 2.15a) , ta có : ∫∫ =      − s dS dn dUV dn dVU 0 (4.32) Mặt S ta chọn mặt cầu có bán kính R với tâm là gốc tọa độ.Còn hai hàm điều hòa ta chọn như sau : U ),( λθρ nnY= (4.33) ),( λθρ mmYV = (4.34) λθρ ,, -tọa độ của điểm mà U và V tồn tại trong quả cầu. Chú ý, n là pháp tuyến ngoài nên dR d dn d = và λθθ ddRdS sin2= . Trên mặt cầu ρ = R. Thay tất cả vào (4.32) ta có: [ ] λθθλθλθλθλθ ddRYnRYRYmRYR nnmmmmnn sin.,(),(),(),( 2 2 0 2 0 11 ∫ ∫ −− − ∑ ∞ = + = 0 1 )(cos)( n nn n P R rV θρ 70 ∫ ∫ =−= ++ pi pi λθθλθ 0 2 0 1 0sin),()( ddYnmR nnm Ta suy ra : ∫ ∫ = pi pi λθθλθλθ 0 2 0 0sin),(),( ddYY mn Điều này nói lên tính chất trực giao trên mặt cầu của hàm cầu, khi m ≠ n. Bây giời xét trường hợp l U 1= , trong đó : ψρρρρ cos'2'22 −+=l (4.35) Ý nghĩa hình học của ψρρ ,', thể hiện ở hình 18. Chọn điểm N cố định trên mặt cầu, còn điểm P và P’ bên trong mặt cầu. Đối với P, xét tam giác PNO theo (4.31) ta có : ∑ += )(cos 1 1 θ ρ nn n P Rr (4.36) Đối với P’ tương tự, xét tam giác P’NO ta có: ∑ += )'(cos ' ' 1 1 θ ρ nn P R n r (4.37) Xét tam giác P’PO ta cũng có tương tư ï: ∑ ∞ = + = 0 1 )(cos '1 n nn n P l ψ ρ ρ (giả sử 'ρρ > ) (4.38) Chọn P’ làm điểm quan sát. P sẽ làm điểm chạy trong tích phân mặt nói trên nên trong biểu thức của l 1 và đạo hàm của nó, ta thay ρ = R. ∑ ∞ = + = 0 1 )(cos '1 n nn n P Rl ψρ (4.39) 71 Aùp dụng (2.21 b) và (4.39) cho điểm quan sát P’ bên trong S, ta có : dS ldn Vd dn dV l PV s ∫∫             −= 11 4 1)'( pi Sử dụng pháp tuyến ngoài nên dR d dn d = , ta có : [∫ ∫ ∑ ∂ ∞ = + − = pi pi ψρλθ pi 2 0 0 1 1 )(cos),( 4 1)'( n n n n m m P R YmRPV ]∑ ∞ = + ++ 0 2 2 sin)(cos ')1(),( n nn n m m ddRP R nYR λθθψρλθ Thế V(P’) ở vế trái bằng biểu thức của nó (4.34) và nhóm vế phải lại ta có : ( )[∑ ∫ ∫ ∞ = − = 0 0 2 0 )(cos,0' 4 1),(' n nm nmn m m PmYRY pi pi ψλρ pi λθρ ] λθθψλθ ddPYn nm sin)(cos),()1( ++ Đẳng thức trên đây đúng với mọi điểm có R<'ρ ∑ ∫ ∫ ∞ = − ++ = 0 0 2 0 sin)(cos)(cos)1( 4 ' )','(' n nm nm n m m ddPYmnR Y pi pi λθθψψ pi ρ λθρ (4.40) θ’ θ ψ R N P O P’ l ρ ρ’ H. 18 72 So sánh hệ số cạnh 'ρ ở hai vế trên ta có : Khi m ≠ n vế trái chỉ có duy nhất n'ρ , có nghĩa các số hạng còn lại với lũy thừa m ≠ n đều bằng 0 : ∫ ∫ = ++ − pi pi λθθψλθ pi 0 2 0 0sin)(cos),( 4 )1( ddPYmnR nmnm Tức )(cosψnP và ),( λθmY trực giao với nhau. Còn khi m = n, từ (4.40) ta rút ra : (4.41) Trong đó ∑ ∞ = = 0 ),(),( m mYY λθλθ . Nhờ tính trực giao, nên thay ),( λθmY bằng ),( λθY không có gì thay đổiû. §.6. Khai triển hàm số f(θ,λ) thành chuỗi hàm cầu. Giả sử ta có hàm số nào đó ),( λθf có thể khai triển thành chuỗi hội tụ sau : ),(....),(),(),( 10 λθλθλθλθ nYYYf +++= (4.42) ),( λθnY là hàm cầu mặt ở công thức (4.16). Dùng công thức (4.16) thay vào công thức (4.42) ta có : : ( )∑     ∑ ++=∑= ∞ = = ∞ = 0 1 0 0 )(cossincos)(cos),(),( n n m nmnmnmn n n PmBmAPAYf θλλθλθλθ (4.43) Nếu như các hệ số A0, Anm, Bnm xác định được thì coi như ta đã triển khai xong ),( λθf thành chuỗi. Tính các hệ số : Nhân 2 vế của (4.43) với λλdkcos và lấy tích phân từ 0 đến pi2 (k ≠ 0) :    ∑     ∫ ∫+ ∫ ∑    ∫ += = ∞ = )(coscossincoscos cos)coscos),( 1 2 0 2 0 2 0 0 2 0 θλλλλλλ λλθλλλθ pi pi pi pi nm n m nmnm n no PdkmBdkmA dkPAdkf ∫ + = S nn dPY nY σψλθ pi λθ )(cos),( 4 12)','( 73 Số hạng đầu bằng 0, vì ∫ = pi λλ 2 0 0cos dk chú ý là : mk ≠ ∫ = pi λλλ 2 0 0coscos dkm mk = ∫ = pi piλλλ 2 0 coscos dkm Vậy các số hạng thứ 2 chỉ khác 0 khi m = k, còn với k và m bất kỳ, các số hạng thứ 3 luôn luôn bằng 0 : ∫ = pi λλλ 2 0 0cossin dkm (4.44) Kết quả là : ∫ ∑ ∞ = = pi θpiλλλθ 2 0 0 )(coscos),( n nmnm PAdmf (4.45) Nhân tiếp 2 vế (4.45) với θθ cos)(cos dPnm và lấy tích phân từ -1 đến +1 : [ ]∫ ∫ ∫ + − + − = 1 1 2 0 21 1 cos)(coscos)(coscos),( pi θθpiλθθλλθ dPAddPmf nmnmnm Do tính chất của hàm liên kết (4.25) ta có tích phân : [ ] )!( )!( 12 2 cos)(cos 21 1 mn mn n dPnm − + + =∫ + − θθ (4.46) Vậy : ∫ ∫+ −+ = pi pi λθθθλpi pi 0 2 0 sin)(coscos),0()!(2 )!(12 ddPmf mn mnnA nmnm (4.47) Tương tư ï: ∫ ∫+ −+ = pi pi λθθθλλθ pi 0 2 0 sin)(cossin),()!(2 )!(12 ddPmf mn mnnB nmnm (4.48) 74 Để xác định A0, lấy tích phân đẳng thức (4.43) theo λ từ 0 đến 2π. Vì : ∫ = pi λλ 2 0 0cos dm ∫ = pi λλ 2 0 0sin dm nên ta có: ∫ ∑ ∫ ∑ ∞ = ∞ = == pi pi θpiλθλλθ 2 0 0 2 0 0 00 )(cos2)(cos),( n n nn PAdPAdf Nhân tiếp 2 vế với θθ cos)(cos dPn và lấy tích phân từ -1 đến +1. Nhờ tính chất trực giao ta có : [ ]∫ ∫ ∫ + − + − = 1 1 2 0 21 1 0 )(cos(cos2cos)(cos),( pi θθpiλθθλθ dPAddPf nn Rút ra : ∫ ∫ + = pi pi λθθθλθ pi 0 2 0 0 sin)(cos),(4 12 ddPfnA n (4.48a) §.7. Công thức cộng hàm cầu. Nhân chuỗi (4.43) với λθθψ ddPn sin)(cos và lấy tích phân mặt trên quả cầu bán kính đơn vị. Bên vế phải các tích phân chứa tích )(cos),( ψλθ nm PY bằng 0 hết khi m ≠ n, còn m = n thì theo (4.41) ta có : ∫ ∫ pi pi λθθψλθ 0 2 0 sin)(cos),( ddPf n ∫ ∫ +== pi pi λθpiλθθψλθ 0 2 0 12 )','(4 sin)(cos),( n YddPY nnn (4.49) Mặt khác ∑ += )'(cos)'sin'cos)','( θλλλθ nmnmnmn PmBmAY theo (4.16). Sử dụng (4.47), (4.48) và (4.48a) ta có : )'(cosPddsin)(cosP),(f 4 1n2)','(Y n 0 2 0 nn θλθθθλθpiλθ pi pi ×     + = ∫ ∫ × + − − +∑ ∞ = pi2 1n2 )!mn( )!mn( 1m 'cossin)(coscos),( 0 λλθθθλλθ pi mddPmf nm           ∫ 75 )'(cos'sinsin)(cossin),( 0 2 0 θλλθθθλλθ pi pi nmnm PmddPmf           + ∫ ∫ (4.49a) Biến đổi đơn giản dựa vào công thức lượng giác cos(a - b), ta có :    −× + −    + + = ∑ ∫ ∫ ∫ ∫ = λθθλλθθλθ λθθθθλθ pi piλθ pi pi pi pi ddmPPf mn mn ddPPfY nm n m nm nnn sin)'(cos)'(cos)(cos),()!( )!(2 sin)'(cos)(cos),( 4 12)','( 1 0 2 0 0 2 0 Thế )','( λθnY ở (4.49) bằng cơng thức cho Yn (θ’,λ) trên đây ta có : λθθλλθθ θθλθλθθψλθ pi pipi pi ddmPP mn mn PPfddPf n m nmnm nnn sin)'(cos)'(cos)(cos)!( )!(2 )'(cos)(cos),(sin)(cos),( 1 0 2 00 2 0    − + − +    = ∑ ∫ ∫∫ ∫ = So sánh vế trái với vế phải ta suy ra công thức cộng hàm cầu : (4.50) Theo lượng giác cầu : )'cos('sinsin'coscoscos λλθθθθψ −+= (4.50a) Công thức (4.50) và (4.50a) giúp biến đổi từ tọa độ cực sang tọa đồ cầu. §.8.Chuẩn hóa hàm cầu. Phương trình tích phân cho hàm cầu chuẩn hóa. Chúng ta hãy tìm một hệ số rnm sao cho hàm cầu : rnm 'cos)'(cos λθ mPnm và rnm 'sin)'(cos λθ mPnm , ký hiệu chung là )','( λθnmF thỏa mãn điều kiện trên mặt cầu đơn vị : [ ][ ]∫∫ = σ σλθ 1'','( 2 dFnm (4.51 ) ∑ = − + − + = n m nmnm nnn mPP mn mn PPP 1 )'(cos)(cos)'(cos)!( )!(2 )'(cos)(cos)(cos λλθθ θθψ 76 Dựa vào tính chất (4.25) của hàm )','( λθnmP rồi rút r2nm từ (4.51 ) ra, ta có hệ số chuẩn hóa : )!( )!( 2 12 mn mnn rnm + −+ = pi với m = 1, 2. 3, 4 . và hàm cầu chuẩn hóa :         + −+ + −+ = λθ pi λθ pi λθ mP mn mnn mP mn mnn F nm nm nm sin)(cos)!( )!( 2 12 cos)(cos)!( )!( 2 12 ),( (4.52) Trường hợp m = 0, hệ số rn phải rút ra từ đầu cho Fn(θ) = rnP(cos θ’), ta có : )'(cos4 12)'( θ pi θ nn P nF += (4.53) Công thức cộng cho hàm cầu chuẩn hóa có thể rút ra từ (4.50) : (4.54) Khi ρ < R ta có (4.31) : ∑ ∞ = + = 0 1 )(cos 1 n nn n P Rr ψρ Nhờ (4.54) ta có : ∑ ∑ ∞ = = ++ = 0 2 0 1 )','(),()12( 41 n n m nmnmn n FF Rnr λθλθpiρ Nhân 2 vế trên với )','( λθnmF và lấy tích phân trên toàn mặt cầu đơn vị và nhờ tính trực giao ta có : ),()12( 4 ' )','( 1 λθ piρ σ λθ nmn n nm F Rn d r F ++ =∫∫ (4.55) ∑ = + = n m nmnmn FF n P 0 )','(),( 12 4)(cos λθλθpiψ 77 Khi R>ρ tương tự : ),()12( 4 ' )','( 1 λθρ pi σ λθ nmn n nm FR n d r F ++ =∫∫ (4.56) Khi R=ρ : R F n d r F nmnm ),( )12( 4 ' )','( λθpi σ λθ + =∫∫ (4.57) §.9 Phân loại hàm cầu. Giả sử ta có hàm ),( λθf phụ thuộc vào góc cựcθ và kinh độä λ . Một hàm như vậy có thể là hàm phân bố giá trị dị thường trọng lực hoặc từ trên mặt địa cầu. Như ta biết, hàm ),( λθf có thể khai triển thành chuỗi hàm cầu : ( )58.4)...(cos)sincos( ...)(cos)sincos()(cos ...)(cos)2cos()(cos)sincos( )(cos)(cos)sincos()(cos)(cos),( 11100 222222212121 2020111111101000 θλλ θλλθ θλλθλλ θθλλθθλθ kkkkkk kkkkk PkBkA PBAPA PsìnBAPBA PAPBAPAPAf ++ ++++ +++++ ++++= Các hệ số khai triển được xác định bởi chính hàm ),( λθf đo được trên thực tế, và theo công thức tích phân (4.47), (4.48) và (4.48a). Tuy nhiên, về mặt thực tiễn, ta không lấy được tích phân theo lý thuyết, vì hàm ),( λθf không được cho trước dưới dạng biểu thức giải tích, mà nhận được một cách rời rạc qua từng lần quan sát tại các vị trí khác nhau trên mặt địa cầu. Các vị trí quan sát càng nhiều càng tốt và phải phủ đều khắp mặt địa cầu. Phương pháp xác định thực nghiệm các hệ số nói trên là phương pháp tối thiểu bình phương. Số phương trình phải nhiều hơn số ẩn số, là số các hệ số nói trên. ( về lý thuyết ∞=n nhưng trong thực tế chỉ có thể có một số hữu hạn). Chuỗi (4.58) là một chồng chất các sóng trên mặt địa cầu với đủ loại các tần số khác nhau (theo kinh độ λ và θ ). Một sóng bậc n (theo )θ và m ( theo )λ có dạng chung là : )(cos)(cossin)sincos( θθθλλ nm m m nmnm Pd d mBmA + (4.59) Hàm (4.59) có thể tách ra làm 2 phần, chứa cos và chưa sin nhân với )(cosθnmP thực chất là cùng loại. 78 a) Hàm cầu đới: Khi m = 0, n bất kỳ, công thức (4.59) cho ta một hàm duy nhất phụ thuộcθ đa thức Legendre : )(cosθnonoPA Để tìm các vị trí mà tại đó (4.59) bằng 0, ta giải phương trình : 0)(cos =θnP (4.60) Các giá trị θ đối xứng qua xích đạo địa cầu là nghiệm của phương trình này. Có tất cả n nghiệm. Ví dụ với n = 3, ta có : 0)35( 2 1)( 33 =−= xxxP (4.61) Giải phương trình này ta có 3 nghiệm số : 01 =x 5 3 2 =x 5 3 3 −=x N S Xích đạo H.19 Góc θ tương ứng là: 900, 39030’, 140030. Ta có 3 vĩ tuyến mà tại đó 0)(cos3 =θP . Mặt cầu bị chia thành 4 đới. Số đới tổng quát là (n+1) đới ( H.19). b) Hàm cầu múi: Khi m = n, trong (4.59) ta có : 79 constPd d nn n =θ θ cos)(cos (4.62) Sau khi lấy đạo hàm )(cosθnP n lần, ta được hằng số. Kết quả, ta có 2 sóng (điều hòa) : λθ nA nnm cossin và 0sinsin =λθ nB nnm (4.63) 0sin =θn với 0=θ và piθ = , tức ứng với 2 cực địa cầu N và S. Còn λnsin và λncos bằng 0 tại các kinh tuyến ở cách nhau 1 cung n piλ =∆ . Địa cầu bị chia ra thành các múi đều nhau theo kinh tuyến. Trong mỗi múi, các hàm giữ nguyên dấu (+ hoặc -). Khi chuyển sang múi kế cận thì dấu đổi. Hai loại hàm cầu này trong (4.63) là hàm cầu múi. Hình 20 cho thấy sự phân bổ của hàm cầu múi với các múi chứa giá trị âm và dương của hàm xen kẽ nhau. Mỗi hàm λnsin (hoặc λncos ) chia địa cầu ra làm 2n múi. S N N S H.20 H.21 c) Hàm cầu ô: Khi m ≠ n ( 0 < m < n ), trong (4.59), ta có : )(cos)(cos θθ nm m P d d (4.64) Đa thức này có (n - m) nghiệm thực cả thảy, ứng với n – m vĩ tuyến trên mặt địa cầu mà tại đó hàm cầu (4.59) bằng không. 80 Kết qủa, địa cầu bị các vĩ tuyến này chia ra làm (n – m + 1) đới. Các đới có giá trị âm, dương của hàm (4.64) xen kẽ nhau như trường hợp a) Hàm λmsin (hoặc λmcos ) bằng không tại 2m giá trị của λ và chia địa cầu ra thành 2m múi, mỗi múi có bề rộng là m pi . Trong mỗi múi, hàm này mang một dấu và nó đổi dấu khi chuyển sang múi bên cạnh (như trường hợp b). Sự chồng chất của 2 hàm λmsin (hoặc λmcos ) với hàm (4.64), kết quả, mặt địa cầu bị chia ra tựa ô bàn cờ vua, với dấu âm, dương xen kẽ nhau, nên hàm có tên gọi là hàm cầu ô. Tuy nhiên ô ở đây không phải là ô vuông mà là ô cầu hình thang, vì các hàm sin, cos chia vĩ tuyến ra thành những cung bằng nhau nhưng hàm liên kết Legendre thì không chia kinh tuyến thành những cung bằng nhau. Các nghiệm phân bố không đều dọc theo kinh tuyến, nhưng đối xứng qua xí ch đạo. Nếu m chẵn, thì dấu cũng phân bố đối xứng qua xích đạo. ( hình 22 cho trường hợp P42 )cosθ ). Còn m lẽ thì không đối xứng về dấu, mà ngược về dấu qua xích đạo (hình 23 cho trường hợp P41 θcos ). 0 100 5 -5 P42 + 0 450 900 1350 1800 + + + + 0o 0o 315o 225o 45o 135o φN=22o 12’ φS=22o 12’ P42cos2λ N _ _ _ _ _ + + 1350 0 -1 -2 -3 3 1 2 900 450 1800 0 P41 + + + 0o 0o 40o50’ 40o50’ λ=90o 0 _ _ _ _ λ=270o 0 P41cosλ Hình 22 Hình 23 Tóm lại, ứng với một giá trị bất kỳ của n ta có: Khi m = 0 : một hàm cầu. Khi m = n : hai hàm cầu (sin và cos) Khi m ≠ n : 2(n - 1) hàm cầu Tổng cộng ta có 2n + 1 hàm cầu. 81 Ứng với tất cả các giá trị của n ( từ 0,1,2,3, n ), là cả chuỗi, có tổng cộng n(n + 2) + 1 hàm cầu ( điều hòa). Số hệ số hàm cầu Anm và Bnm tổng cộng cũng bằng n (n + 2) + 1 hệ số. Để xác định các hệ số này, tối thiểu cần có : n(n + 2) + 1 phương trình, nghĩa là từng ấy phép đo tại các vị trí khác nhau trên địa cầu. Nhưng thường, số phép đo phải nhiều hơn số ẩn số theo phương pháp bình phương tối thiểu để làm giảm ảnh hưởng của các giá trị chứa sai số ngẫu nhiên. 87 MỤC LỤC Lời giới thiệu ...................................................................................................................2 CHƯƠNG I : Thế và các tính chất .3 §.1. Khái niệm về thế. Các dạng chủ yếu của thế ... 1. Thế tỷ lệ nghịch với khoảng cách quan sát.. 2. Thế khối ..6 3. Thế lớp đơn 7 4. Thế lớp kép 9 5. Thế từ của một lưỡng cực 1 6. Thế từ của các vật thể bị từ hóa .1 §.2. Ý nghĩa vật lý của thế, mặt đẳng thế, đường sức ....1 §.3. Thế và trường lực của một số vật có dạng đơn giản .1 1. Thế lớp cầu .20 2. Thế khối cầu .2 3. Thế logarit .27 4. Thế từ của kkhối cầu 2 §.4 Các tính chất của thế Newton ..30 1. Thế khối ..30 2. Thế lớp đơn 35 3. Thế lớp kép .38 §.5 Các tích phân Gauss ..3 CHƯƠNG II : Các công thức Green 41 §.1. Hai công thức Green cơ sở .. 4 §.2. Công thức Green cho hàm 1/r ...46 §.3. Hàm điều hòa và các tính chất 4 1. Định lý về đẳng trị ....48 2. Định lý về đơn trị 49 3. Định lý về trung bình 49 4. Định lý về cực trị 50 88 §.4. Công thức Green cơ bản ..50 §.5. Công thức Green theo biến đổi theo Molodensky ...51 §.6. Các hằng số Stokes ..52 CHƯƠNG III : Các bài toán biên ...55 §.1. Ba ba