Nghiệm tuần hoàn của hệ động lực suy biến nonautonomous bậc hai và hệ phương trình vi phân hàm nonautonomous

0 , T i i iK t G t s k s ds= ∫ . Nếu * 0γ ≥ thì (2.1) có ít nhất một nghiệm x dương tuần hoàn chu kì T với ( ) ( )x t tγ> với mọi t và 0 x rγ< − < . Chứng minh Đầu tiên ta chỉ ra rằng ( ) ( ) ( )( ),x a t x f t x t tγ′′ + = + (2.6) có một nghiệm x dương tuần hoàn chu kì T thỏa mãn ( ) ( ) [ ]0, 0;x t t t Tγ+ > ∀ ∈ và 0 x r< < . Từ (H3),ta chọn { }0 1,2,...n ∈ sao cho * 0 1 r n σ γ< + và ( ) ( )( ) * * * * * * * * * * 0 ,..., 1,..., , , ,..., 1 ,..., i i i i i h r r K g r r ng r r γ γ γ γ σ γ γ γ γ γ  + + + + + <  + +   , 1,2,...,i N= . Trong đó { }1 2min , ,..., Nσ σ σ σ= -12- Chọn { }0 0 0, 1,...N n n= + . Cố định 0n N∈ . Xem xét họ hệ ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ], , 0;1n a tx a t x f t x t t n λ γ λ′′ + = + + ∈ (2.7) và cho mỗi 1,2,...,i N= , ( ) ( ) 1 1 1 1, , , 1 1, ,..., , , ,..., , i i n i i i i N i f t x x nf t x f t x x x x x n n− +  ≥=    ≤    Giải (2.7) thì tương đương với vấn đề tìm điểm bất động sau ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 1 1, , T n n i i i ix t G t s f s x s s ds T x tn n λ γ λ= + + = +∫ , 1,2,...,i N= (2.8) Chúng ta chứng minh rằng bất kì điểm bất động x của (2.8)với bất kì [ ]0;1λ∈ phải thỏa mãn x r≠ . Giả sử trái lại x là điểm bất động của (2.8) ứng với [ ]0;1λ∈ sao cho x r= . Không mất tổng quát, ta giả sử rằng jx r= cho một 1,2,...j N= . Vì vậy ta có ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 1 , , T n j j jx t G t s f s x s s dsn λ γ− = +∫ ( ) ( )( ) 0 , T n j jm f s x s s dsλ γ≥ +∫ = ( ) ( )( ) 0 , T n j j jM f s x s s dsσ λ γ+∫ -13- { ( ) ( ) ( )( ) } 0 max , , T n j j jt G t s f s x s s dsσ λ γ≥ +∫ = 1j jx n σ − . Do đó, với mọi t , ta có ( ) 1 1 1 1j j j j j jx t x x rn n n nσ σ σ  ≥ − + ≥ − + ≥    Vì thế ( ) ( ) * 1 j j jx t t r n γ σ γ+ ≥ + > Từ * 0 1 1 r n n σ γ≤ < + Vì có điều kiện (H2), cho tất cả t ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 1, , T n j j jx t G t s f s x s s ds n λ γ= + +∫ = ( ) ( ) ( )( ) 0 1, , T j jG t s f s x s s ds n λ γ+ +∫ ( ) ( ) ( )( ) 0 1, , T j jG t s f s x s s ds n γ≤ + +∫ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )0 1, 1 T j j j j j h x s s G t s k s g x s s ds g x s s n γ γ γ  + ≤ + + +  +   ∫ ( ) ( )( ) * * * * * * * * * * 0 ,..., 1,..., , , ,..., 1 ,..., j j j j j h r r K g r ng r r γ γ γ γ σ γ γ γ γ γ  + + ≤ + + +  + +   -14- Vì ( ) { } { }1 , 1,2,..., \ix t i N jn≥ ∀ ∈ và * 0γ ≥ . Do đó, jr x= ( ) ( ) ( ) * * * * * * * * * * 0 ,..., 1,..., , , ,..., 1 ,..., j j j j j h r r K g r ng r r γ γ γ γ σ γ γ γ γ γ  + + ≤ + + +  + +   Mâu thuẫn với chọn 0n và khẳng định được chứng minh Từ chứng minh trên, Định lí Leray- Schauder công nhận rằng ( ) ( )( ) 1nx t T x t n= + (2.9) có một điểm bất động, kí hiệu nx , trong { }:rB x X x r= ∈ < . ( ) ( ) ( )( ) ( ),n a tx a t x f t x t t n γ′′ + = + + (2.10) có một nghiệm nx tuần hoàn chu kì T với nx r . 1,2,...,i N= và [ ]0;t T∈ , nx là nghiệm tuần hoàn dương chu kì T của (2.10). Tiếp theo ta khẳng định tồn tại một hằng số 0δ > , độc lập với 0n N∈ , sao cho ( ) ( ){ } 0.min , n i ii t x t t n Nγ δ+ ≥ ∀ ∈ (2.11) Từ (H1) được thỏa mãn, tồn tại một hàm liên tục ( )* 0r tγφ + > sao cho mỗi thành phần if của f thỏa mãn ( ) ( )*,i rf t x tγφ +≥ với mọi t và *x r γ≤ + . Cho ( )*rx tγ+ là nghiệm tuần Chu kì T duy nhất của -15- ( ) ( )x a t x tφ′′ + = Với ( ) ( ) ( )( )* *,..., Tr rt t tγ γφ φ φ+ += , thì ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * * 0 , 0 T r i i i ir x t t G t s s ds tγ γ γ φ γ φ γ+ + + = + ≥ + >∫ , cho mỗi 1,2,...,i N= Ở đây ( ) ( ) ( ) ( )** , 0 min , , T i i i ri t t t G t s s ds γ φ φ φ φ + = = ∫ Tiếp theo ta chỉ ra rằng (2.11) thỏa * * 0δ φ γ= + > . Để có điều này, với mỗi 1,2,...,i N= , từ ( ) ( ) *ni ix t t rγ γ+ ≤ + và ( ) * 1n ix t n γ+ ≥ , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 1, , T n n n i i i i ix t t G t s f s x s s ds t n γ γ γ+ = + + +∫ ( ) ( ) ( )* 0 , T i ir G t s s ds t γ φ γ + ≥ +∫ * *φ γ δ≥ + = Do đó ( ) ( ){ } . min ni ii t x t tγ δ+ ≥ Chúng ta chứng minh{ } 0 n i n N x ∈ là họ bị chặn và liên tục đồng bậc trên [ ]0,T Ta cần nx H≤ với hằng số 0H > , với mọi 0n n≥ . Bởi điều kiện biên tuần hoàn , ( )0 0nx t = với một vài [ ]0 0,t T∈ . Tích phân hai vế (2.10) từ 0 đến T , ta có -16- ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 , T T n n n a ta t x t dt f t x t t dt n γ   = + +    ∫ ∫ Do đó, với mỗi 1,2,...,i N= ( ) 0 ax t n n i it t x m x s ds= ∫  ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 ax , t n n ni i i it t a s m f s x s s a s x s ds n γ   = + + −    ∫ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , T T n ni i n i i a s f s x s s ds a s x s ds n γ   ≤ + + +    ∫ ∫ ( ) ( ) 11 0 2 2 T n i i ia s x s ds r a H= ≤ =∫ Ở đây ( )1 0 ax T i ia m a s ds= ∫ . Thì nx H≤ được thỏa mãn với { }ax iiH m H= Từ nx r< và nx H≤ chỉ ra rằng với mỗi 1,2,...,i N= ,{ } 0 n i n N x ∈ là họ bị chặn và liên tục đồng bậc trên [ ]0,T . Theo định lí Ascoli-Arzela { } 0 n i n N x ∈ có dãy con { }kni kx ∈ hội tụ đều trên [ ]0,T về hàm liên tục ( )0,ix T∈ . Lấy ( )1,..., Nx x x= , từ nx r< và ( ) ( ){ } . min ni ii t x t tγ δ+ ≥ , x thỏa mãn ( ) ( ) *,i ix t t r tδ γ γ≤ + ≤ + ∀ và 1,2,...,i N= . Hơn nữa knix thỏa mãn phương trình tích phân -17- ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 1, , , 1,2,...,k k T n n i i i k x t G t s f s x s s ds i N n γ= + + =∫ Cho k →∞ , ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 , , , 1,2,..., T i i ix t G t s f s x s s ds i Nγ= + =∫ ( ( ),if t x liên tục đều trên [ ] *0, ,T rδ γ × +  ). Do đó ( ) ( ) ( )( ),x a t x f t x t tγ′′ + = + (2.6) có một nghiệm x dương tuần hoàn chu kì T thỏa mãn ( ) ( ) [ ]0, 0;x t t t Tγ+ > ∀ ∈ và 0 x r< ≤ . Nếu x r= tương tự như chứng minh trên ta có điều mâu thuẫn. Khi đó ( ) ( ) ( )u t x t tγ= + là một nghiệm x dương tuần hoàn chu kì T của ( ) ( ) ( ),x a t x f t x e t+ = + (2.1) với 0 u rγ< − < vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,u a t u x a t x a t f t x e t f t u e tγ γ γ′′ ′′ ′′+ = + + + = + + = + . Ta có điều phải chứng minh. □ Xét hệ phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 x a t x x y x y e t y a t y x y x y e t α β α β µ µ − −  ′′ + = + + + +   ′′ + = + + + + (2.12) Với [ ]1 2 1 2, , , 0, , , 0a a e e C T α β∈ > và µ∈ là tham số cho trước. Hệ quả 2.1: Giả sử rằng ( ) ( )1 2,a t a t thỏa mãn (A) và 0, 0α β> ≥ .thì với mỗi ( ) ( ) ( )1 2, / ,e t e t C T∈    với * 0γ ≥ chúng ta có -18- (i) Nếu 1β < , thì (2.12) có ít nhất một nghiệmdương tuần hoàn chu kì T với mỗi 0µ > . (ii) Nếu 1β ≥ , thì (2.12) có ít nhất một nghiệm dương tuần hoàn chu kì T với mỗi 10 µ µ< < , ở đây 1µ là hằng số dương bất kì. Chứng minh: Chúng ta áp dụng định lí 2.1 với ( ) ( ) ( )2 2 2 2, ,if t x y x y x y α β µ − = + + + ( ) ( ) ( )2 21 2, ,g x y g x y x y α− = = + ( ) ( ) ( )2 21 2, ,h x y h x y x y β µ= = + và ( ) ( )1 2 1k t k t= = (H1) Cho mỗi hằng số 0L > , Chọn hàm liên tục ( ) ( )2 0L t L α φ − = > khi đó ( ) ( ) [ ], , , 0,i Lf t x y t t Tφ≥ ∀ ∈ và [ ];x L L∈ − (H2) Cho mỗi thành phần if của f tồn tại hàm không âm liên tục ( ) ( ) ( ), , , ,i i ig x y h x y k t Và ( ), 0ig x y > là hàm không tăng và ( ) ( ), / ,i ih x y g x y là hàm không giảm.Thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) [ ] { }20 , , , , , , , 0; \ 0 ,i i i if t x y k t g x y h x y t x y T +≤ ≤ + ∀ ∈ × (H3) Tồn tại số 0r > sao cho ( ) ( ) * 2 2 *2 2 * * , 1,2 1 2 i i r i r r α α β α β ω σ γ γ µ γ − + + > =   + + + +     ( ) ( ) 2 2 *2 * * *2 , 1,2 2 i ir r i r α α β α β σ γ γ ω µ γ + +  + + − ⇒ < = + với 0r > bất kì -19- Trong đó ( ) ( ) 0 , T i it G t s dsω = ∫ . Vì vậy, (2.8) có ít nhất một nghiệm tuần hoàn chu kì T dương với ( ) ( ) 2 2 *2 * * 1 1,2 0 *2 0 minsup , 1,2 2 i i i r r r i r α α β α β σ γ γ ω µ µ γ += +>  + + − < < = = + Nếu 1β < thì 1µ = ∞ , nếu 1β ≥ thì 1µ < ∞ . Ta có kết quả (i),(ii). □ Bổ đề 2.2: Giả sử rằng ( )a t thỏa mãn (A). tổng quát hơn ở đây tồn tại hàm liên tục ˆ, 0b b > và 0,0 1α β> ≤ < sao cho mỗi thành phần if của f thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) 0 , ,i b t b t F f t x b t x t x x β α α≤ ≤ ≤ + ∀ Nếu * 0γ ≥ , thì (2.1) có ít nhất một nghiệm dương tuần hoàn chu kì T . Chứng minh: Ta áp dụng định lí (2.1), với ( ) ( ) ( ) ( )1, ,i i ik t b t g x h x xx β α= = = Theo giả thiết (H1) Cho mỗi hằng số 0L > , Chọn hàm liên tục ( ) ( ) ˆ 0L b t t Lα φ = > khi đó ( ) ( ) [ ], , 0,i Lf t x t t Tφ≥ ∀ ∈ và [ ];x L L∈ − (H2) Cho mỗi thành phần if của f tồn tại hàm không âm liên tục ( ) ( ) ( ), ,i i ig x h x k t Và ( ) 0ig x > là hàm không tăng và ( ) ( )/i ih x g x là hàm -20- không giảm.Thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) [ ] { }0 , , , 0; \ 0 ,Ni i i if t x k t g x h x t x T +≤ ≤ + ∀ ∈ × (H3) Tồn tại số 0r > sao cho ( ) ( ) * * * , 1,2,...,1 1 i i r i N r r α β α β γ σ γ + > =  + +  + ở đây ( ) ( ) ( ) 0 , T i it G t s b s dsβ = ∫ Điều kiện (H3) trở thành ( ) ( ) * * * , 1,2,..., 1 i i r r i N r α α β σ γ β γ + + > = + + (2.13) Cho bất kì 0r > , Từ *0,0 1, 0α β γ> ≤ đủ lớn sao cho (2.13) được thỏa mãn. □ 2.3. Kết quả tồn tại (II) Trong mục này, ta thiết lập kết quả tồn tai thứ hai của (2.1) bằng cách sử dụng định lí điểm bất động Schauder. Định lí 2.2: Giả sử rằng ( )a t thỏa mãn (B) và ( ),f t x thỏa mãn (H1)-(H2). Hơn nữa giả thiết rằng (G1) Tồn tại một hằng số dương 0R > sao cho * * *, 0R φ φ γ> + > và với mỗi 1,2,...,i N= -21- ( ) ( )( ) * * * * * * * * * ,..., ,..., 1 ,..., i i i i h R R R g K g R R γ γ φ γ φ γ γ γ  + + ≥ + + +  + +   trong đó ( ) ( ) ( ) ( )** , 0 min , , T i i i Ri t t t G t s s ds γ φ φ φ φ + = = ∫ Thì (2.1) có ít nhất một nghiệm dương tuần hoàn chu kì T . □ Chứng minh: Nghiệm tuần hoàn chu kì T của (2.1) thì vừa là điểm bất động của toán tử :T X X→ bởi ( )1 2, ,..., N NTx T x T x T x= trong đó ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 , , T i i iT x t G t s f s x s s dsγ= +∫ , 1,2,...,i N= T là toán tử hoàn toàn liên tục. Cho R là hằng số dương thỏa mãn (G1)và * 0r φ= > . Thì ta có 0R r> > . Bây giờ ta xác định tập hợp ( ){ }: , , 1,2,...,ix X r x t R t i NΩ = ∈ ≤ ≤ ∀ = (2.14) Ta có Ω là tập lồi đóng. Vì T là toán tử hoàn toàn liên tục nên ( )T Ω là tập compăc tương đối. Tiếp theo ta chứng minh ( )T Ω ⊂Ω . Thực vậy, với mỗi x∈Ω và mỗi 1,2,...,i N= , sử dụng ( ), 0iG t s ≥ và điều kiện (H1) ( )( ) ( ) ( )* * 0 , 0 T i i R T x t G t s s ds r γ φ φ + ≥ ≥ = >∫ Mặt khác,từ điều kiện (H1) và (G1),ta có -22- ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )0 , 1 T i i i i i i h x s s T x t G t s k s g x s s ds g x s s γ γ γ  + ≤ + +  +   ∫ ( ) ( )( ) * * * * * * * * * ,..., ,..., 1 ,..., i i i i h R R g K R g R R γ γ φ γ φ γ γ γ  + + ≤ + + + ≤  + +   Kết luận, ( )T Ω ⊂Ω . Áp dụng dịnh lí điểm bất động Schauder, có điều phải chứng minh. □ Như một áp dụng của định lí 2.2, ta xem xét trường hợp * 0γ = . Hệ quả sau là kết quả trực tiếp của định lí 2.2. Hệ quả 2.3. Giả sử rằng ( )a t thỏa mãn (B) và ( ),f t x thỏa mãn điều kiện (H1) và (H2). Hơn nữa, giả thiết rằng (G1*)Tồn tại hằng số dương 0R > sao cho *R φ> và với mỗi 1,2,...,i N= , ( ) ( )( ) * * * * * * * ,..., ,..., 1 ,..., i i i i h R R R g K g R R γ γ φ φ γ γ  + + ≥ +  + +   . Nếu * 0γ = thì (2.1) có ít nhất một nghiệm tuần hoàn chu kì T dương. Hệ quả 2.4. Giả sử rằng ( ) ( )1 2,a t a t thỏa mãn (B) và 0 1, 0α β< < ≥ thì với mỗi ( ) ( ) ( )1 2, / ,e t e t T∈    với * 0γ = chúng ta có (i)Nếu 21α β α+ < − , thì (2.12) có ít nhất một nghiệmdương tuần hoàn với mỗi 0µ ≥ ; (ii) Nếu 21α β α+ ≥ − , thì (2.12) có ít nhất một nghiệmdương tuần hoàn chu kì T với mỗi 20 µ µ≤ < trong đó 2µ là hằng số dương bất kì. Chứng minh: -23- Chúng ta áp dụng với ( ) ( ) ( )2 2 2 2, ,if t x y x y x y α β µ − = + + + ( ) ( ) ( )2 21 2, ,g x y g x y x y α− = = + ( ) ( ) ( )2 21 2, ,h x y h x y x y β µ= = + Và ( ) ( )1 2 1k t k t= = (H1) Cho mỗi hằng số 0L > , Chọn hàm liên tục ( ) ( )2 0L t L α φ − = > khi đó ( ) ( ) [ ], , , 0,i Lf t x y t t Tφ≥ ∀ ∈ và [ ];x L L∈ − . (H2) Cho mỗi thành phần if của f tồn tại hàm không âm liên tục ( ) ( ) ( ), , , ,i i ig x y h x y k t Và ( ), 0ig x y > là hàm không tăng và ( ) ( ), / ,i ih x y g x y là hàm không giảm.Thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) [ ] { }20 , , , , , , , 0; \ 0 ,i i i if t x y k t g x y h x y t x y T +≤ ≤ + ∀ ∈ × Vì (H1) và (H2) được thỏa mãn và tồn tại điều kiện (G1*) trở thành ( ) *2 * * *2 2 , 1,2 2 i i R i R α α α β α β φ ωµ ω γ + + − < = + (2.15) Cho bất kì 0R > với *R φ> . Chú ý rằng ( ) ( ) ( ) ( )** , 0 min , , T i i i Ri t t t G t s s ds γ φ φ φ φ + = = ∫ ( )*2* *2 R α α φ γ ω − − = + -24- Ở đây { } ( ) ( )* *1,2 0 min , , T i i ii t G t s dsω ω ω = = = ∫ . Do đó (3.2) trở thành ( ) ( ) 2 2 * *2 * * *2 2 , 1,2 2 i i R R i R α α α α α β α β γ ω ω µ ω γ − − + + + − < = + cho bất kì 0R > . Vì (2.8) có ít nhất một nghiệm tuần hoàn chu kì T dương với ( ) ( ) 2 2 * *2 * 2 1,2 * *2 2 0 minsup 2 i i i R R R α α α α α β α β γ ω ω µ µ ω γ − − += + + − < < = + Chú ý rằng 2µ = ∞ nếu 21α β α+ < − và 2µ < ∞ nếu 21α β α+ ≥ − . Chúng ta có kết quả (i) và (ii). □ Kết quả kế tiếp thăm dò trường hợp khi * 0γ > . Định lí 2.3. Giả sử rằng ( )a t thỏa mãn (B)và ( ),f t x thỏa mãn điều kiện (H2). Hơn nữa, giả thiết rằng (G2) Tồn tại *R γ> sao cho mọi 1,2,...,i N= , ( ) ( )( ) * * * * * * * * ,..., , ,..., 1 ,..., i i i i h R R g K R g R R γ γ γ γ γ γ γ  + + + ≤  + +   Nếu * 0γ > , thì (2.12) có ít nhất một nghiệmdương tuần hoàn chu kì T . Chứng minh: Ta sử dụng những kí hiệu như trong định lí 2.1. Cho R là hằng số dương thỏa mãn (G2) và *r γ= , thì 0R r> > vì *R γ> . Tiếp theo ta chứng minh -25- ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) * 0 , , 0 T i i i iT x t G t s f s x s ds t rγ γ= + ≥ = >∫ Mặt khác ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )0 , 1 T i i i i i i h x s s T x t G t s k s g x s s ds g x s s γ γ γ  + ≤ + +  +   ∫ ( ) ( )( ) * * * * * * * ,..., ,..., 1 ,..., i i i i h R R g K R g R R γ γ γ γ γ γ  + + ≤ + ≤  + +   Kết luận ( )T Ω ⊂Ω và chứng minh được hoàn thành bởi định lí điểm bất động Schauder. Hệ quả 2.5: Giả sử rằng ( ) ( )1 2,a t a t thỏa mãn (B) và , 0α β ≥ , vì với mỗi ( ) ( ) ( )1 2, / ,e t e t T∈    với * 0γ > , ta có (i) Nếu 1α β+ < , thì (2.12) có ít nhất một nghiệm dương tuần hoàn chu kì T với mỗi 0µ ≥ (ii) Nếu 1α β+ ≥ thì (2.12) có ít nhất một nghiệmdương tuần hoàn chu kì T với mỗi 30 µ µ≤ < , trong đó 3µ là hằng số dương bất kì. Chứng minh: Ta áp dụng định lí 2.3 Vì (H1), (H2)được thỏa mãn nên diều kiện tồn tại (G2) trở thành ( ) * *2 * *2 2 , 1,2 2 i i R i R α α α β α β γ ωµ ω γ + + − < = + Với bất kì 0R > . Vì vậy (2.12) có ít nhất một nghiệm tuần hoàn chu kì dương cho -26- ( ) * *2 3 1,2 0 *2 20 minsup 2 * i i R i R R α α α β α β γ ωµ µ ω γ += > + − < < = + . Chú ý rằng 3µ = ∞ nếu 1α β+ < và 3µ < ∞ nếu 1α β+ ≥ . Hệ quả 2.6. Giả sử rằng ( )a t thỏa mãn (B) và ( ),f t x thỏa mãn (F) với 0β = . Thì ta có (i) Nếu *0, 0α γ> > , thì (2.1) có ít nhất một nghiệm dương tuần hoàn chu kì T . (ii) Nếu 0 1α< < và * 0γ = , thì (2.1) có ít nhất một nghiệm dương tuần hoàn chu kì T . Chứng minh. Ta áp dụng định lí 2.3 và bổ đề 2.3. Ta lấy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ 1, , , 0L i i i b t t k t b t g x h x L x αα φ = = = = Thì (H1), (H2) được thỏa mãn. Nếu * 0γ > , thì điều kiện (G2) trở thành * * , 1,2,...,iR i N αγ β≥ = cho bất kì 0R > . Điều này rõ ràng từ *0, 0α γ> > .Vì vậy ta có kết quả (i) Nếu * 0γ = , thì điều kiện tồn tại ( * iG ) trở thành * * iR αφ β−≥ , ( ) * * *R α ωφ γ = + (2.16) Chú ý rằng (3.3) tương đương với ( ) 2 * * * , 1,2,...,i R R i N α α γ β ω + ≥ = (2.17) -27- Từ 0 1α đủ lớn sao cho (2.17)được thỏa mãn. Vì vậy ta có kết quả (ii). □ -28- Chương 3: NGHIỆM TUẦN HOÀN DƯƠNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM NON-AUTONOMOUS 3.1. Nghiệm tuần hoàn dương của hệ phương trình vi phân hàm nonautonomous Trong mục này ta nghiên cứu hệ vi phân hàm n chiều sau ( ) ( )( ) ( ) ( ), , tx t A t x t x t f t xλ′ = + (3.1) Trong đó 0λ > là tham số, ( )( ) ( )( ) ( )( )1, , ,..., ,nA t x t diag a t x t a t x t =   sao cho ( )( ),ia t x t liên tục và ( ) ( ), ,i ia t a tω ξ ξ+ = , 1,2,...,i n= . Kí hiệu BC là không gian Banach của của hàm liên tục bị chặn ( )1 2, ,..., : nnφ φ φ φ= →  . Trang bị với chuẩn ( ) 1 sup n i iθ φ φ θ ∈ = = ∑  . Với x BC∈ và t∈ , tx BC∈ được xác định ( ) ( )tx x tθ θ= + choθ ∈ . Hàm ( ), tf t x xác định trên BC× là tuần hoàn chu kì ω bất kì x tuần hoàn chu kìω , và 0ω > là hằng số. Ta sử dụng các giả thiết sau (H1) Tồn tại ( ) ( ) ( )1 ,..., nB t diag b t b t=    và ( ) ( ) ( )1 ,..., nC t diag c t c t=    , ở đây ( ) ( ) ( ), ,i ib t c t C +∈   tuần hoàn chu kìω và ( ) 0 0, 1,2,...,ib t dt i n ω > =∫ sao cho ( ) ( )( ) ( ),B t A t t C tϕ≤ ≤ cho ( ), nt BCϕ +∈ × (H2) ( ),0 0,f t t= ∀ ∈ . -29- (H3) ( ) ( ), 0, , ntf t t BCϕ ϕ +≤ ∀ ∈ × . (H4) ( ), tf t ϕ là hàm liên tục theo t với mỗi nBCϕ +∈ . (H5)Với bất kì 0, 0L ε> > , tồn tại 0δ > sao cho với , , ,nBC L Lφ ψ φ ψ+∈ ≤ ≤ và [ ], 0,tφ ψ δ ω− ≤ ∈ , ( ) ( ), ,t tf t f tφ ψ ε− < . Bổ đề 3.1. Giả sử D là một tập con mở của một không gian Banach thực vô hạn chiều X , 0 D∈ , và P là một nón của X .Nếu toán tử : P D PΓ ∩ → là hoàn toàn liên tục với 0 0Γ = và thỏa mãn inf 0 x P D x ∈ ∩∂ Γ > , thì tồn tại 0x P D∈ ∩∂ và 0 0µ > sao cho 0 0 0x xµΓ = . Để nghiên cứu hệ (3.1), xét ( ) ( ) ( ){ }, : ,nX x C x t x t tω= ∈ + = ∈   ( )1 20 1 , , ,..., n i n i x x x x x x X = = = ∈∑ . [ ] ( )0 0, sup , 1,2,...,i i t x x t i n ω∈ = = . Khi đó X là không gian Banach. Nếu x là nghiệm của ( ) ( )( ) ( ) ( ), , tx t A t x t x t f t xλ′ = + , 1,2,...,i n= thì ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0 0 exp , exp , , t t i i i i tx t a s x s ds a s x s ds f t xλ ′     − = −           ∫ ∫ (3.2) Lấy tích phân hai vế của (3.2) trên [ ],t t ω+ ta có -30- ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 exp , exp , exp , , t t i i t s i i s t x t a x d x t a x d a x d f s x ds ω ω ω θ θ θ θ θ θ λ θ θ θ + +     + − − − =          −    ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0 0 exp , exp , 1 exp , , t t i i t t s i i s t x t a x d a x d a x d f s x ds ω ω θ θ θ θ θ θ λ θ θ θ + +      ⇔ − − − =             −    ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 0 exp , , exp , exp , 1 s i i st t t t i i t a x d f s x x t ds a x d a x d ω ω θ θ θ λ θ θ θ θ θ θ + +   −   =      − − −           ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0 exp , , exp , 1 s i i st t t i a x d f s x x t ds a x d ω ω θ θ θ λ θ θ θ +   −   =    − −       ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ), , , 1,2,..., t i x i s t x t G t s f s x ds i n ω λ + = =∫ Ở đây ( ) ( )( ) ( )( ) 0 exp , , , 1,2,..., exp , 1 s i i t x i a x d G t s i n a x d ω θ θ θ θ θ θ   −   = =   − −    ∫ ∫ -31- Chọn ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 exp 1 exp min 1 1 exp i i i n i c d b d c d ω ω ω θ θ θ θ σ θ θ ≤ ≤      − − −          = <   − −    ∫ ∫ ∫ Xác định hai nón trên X như sau ( ){ } ( ){ } 1 0 2 : , , 1,2,..., ; : 0, i iP x X x t x t i n P x X x t t σ= ∈ ≥ ∈ = = ∈ ≥ ∈   Ta xác định toán tử φ trên X như sau ( )( ) ( )( ) ( )( )( )1 ,..., nx t x t x tφ φ φ= Ở đây( )( ) ( ) ( ), , , 1,2,..., t i i x i s t x t G t s f s x ds i n ω φ + = =∫ Ta có ( ) ( ), ,i ix xG t s G t sω ω= + + Bổ đề 3.2. Ánh xạ 1 1 1 1: ,P P P Pφ φ→ ⊂ Chứng minh. Từ giả thiết (H1) 1,2,...,i n= và t s t ω≤ ≤ + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 exp 1 , exp 1 exp 1 i i x i i c d G t s b d c d ω ω ω θ θ θ θ θ θ   −   ≤ ≤     − − − −        ∫ ∫ ∫ (3.3) Khi đó ( ) ( ) 0 1, exp 1 i x i G t s b d ω θ θ − − ≤   − −    ∫ -32- ( )( ) ( ) ( ), , t i i x i s t x t G t s f s x ds ω φ + = ∫ ( ) ( ), , t i x i s t G t s f s x ds ω+ ≤ ∫ ( ) ( ) 0 1 , 1 exp t i s t i f s x ds b d ω ω θ θ + ≤   − −    ∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 1 , 1 exp i s i f s x ds b d ω ω θ θ ≤   − −    ∫ ∫ Điều này chỉ ra rằng ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 , 1 exp i i s i x f s x ds b d ω ω φ θ θ ≤   − −    ∫ ∫ Hay ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , 1 expi s i if s x ds b d x ω ω θ θ φ    ≥ − −       ∫ ∫ Do đó ( )( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 exp , 1 exp i i i s i c d x t f s x ds c d ω ω ω θ θ φ θ θ   −   ≥   − −    ∫ ∫ ∫ -33- ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 exp 1 exp 1 exp i i i i c d b d x c d ω ω ω θ θ θ θ φ θ θ      − − −          ≥   − −    ∫ ∫ ∫ ( ) 0 'i xσ φ≥ Điều này có nghĩa là 1x Pφ ∈ .Ta có điều phải chứng minh. □ Bổ đề 3.3. Toán tử 2: P Xφ → là hoàn toàn liên tục. Chứng minh Với giả sử (H4) và (H5) ta thấy φ là liên tục. Ta chứng minh φ là com pắc Lấy 2S P⊂ là tập bị chặn. Theo giả thiết (H5), tồn tại hằng số 0M > sao cho ( ) ( ) [ ], , , 0, , 1,2,..., .i tf t x M t x S i nω≤ ∀ ∈ × = Từ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 , 1 exp i i s i x f s x ds b d ω ω φ θ θ ≤   − −    ∫ ∫ . Ta có ( ) 0 0 1 1 exp i i x M b d ω φ ω θ θ ≤   − −    ∫ Do đó ( ) 0 1 1 0 1 1 exp n n i i i i x x M b d ω φ φ ω θ θ= = = ≤   − −    ∑ ∑ ∫ -34- Theo định nghĩa của φ , ta có ( ) ( ) ( ) ( )' , , t i i x i s t dx t G t s f s x ds dt ω φ +  =     ∫ ( )( ) ( ), , , 1,2,...,i i i ta t x t x f t x i nφ= + = Vì vậy ta được ( ) ( ) ( )( ) ( )0' , ,i i i i tx t a t x t x f t xφ φ≤ + ( )1M CBω≤ +  ở đây [ ] ( ) 1 , 0, max ,ii n tC c tω≤ ≤ ∈=  ( ) 1 0 1max 1 exp i n i B b d ω θ θ ≤ ≤ =   − −    ∫  Vì S Xφ ⊆ là bị chặn đều và đồng liên tục.Theo định lí Ascoli-Arzela,φ là toán tử compắc.□ Trước khi trình bày kết quả, ta giới thiệu hai kí hiệu sau ( ) ( ) 1 1 0 0 0 0 , , lim , lim s s P P f s ds f s ds f f ω ω φ φ φ φ φ φ φ φ∞∈ ∈ → →∞ = = ∫ ∫ Cho r là số dương, rΩ bởi { }:r x X x rΩ = ∈ < . Định lí 3.1. Giả sử (H1)-(H5) thỏa mãn và 0 f∞< < ∞ . Tồn tại hằng số 0 1 2, ,R λ λ với 1 2λ λ , hệ (3.1) có một nghiệm tuần hoàn chu kì ω dương ( )rx t tương ứng với [ ]1 2,rλ λ λ∈ và rx r= . -35- Chứng minh Từ 0 f∞ > và 0 0R > sao cho ( )1 2 0 , sf s ds ω ε φ φ ε φ< <∫ với 0 1,R Pφ φ≥ ∈ (3.4) Giả sử 0r R> , thì rΩ là tập mở bị chặn của X và 0 r∈Ω .Cho 1 rx P∈ ∩∂Ω , ta có [ ] ( )( ) 0,1 max n iti x x t ω φ φ ∈ = =∑ ( )( ) 1 n i i x tφ = ≥∑ ( ) ( ) 1 , , tn i x i s i t G t s f s x ds ω+ = =∑ ∫ ( ) ( ) ( )0 1 0 0 exp , 1 exp in i s i i c d f s x ds c d ω ω ω θ θ θ θ=   −   ≥   − −    ∫ ∑ ∫ ∫ ( ) ( ) ( )0 1 10 0 exp min , 1 exp i n i si n i i c d f s x ds c d ω ω ω θ θ θ θ ≤ ≤ =    −     ≥     − −     ∫ ∑∫ ∫ ( ) ( ) 0 11 0 exp min 0 1 exp i i n i c d r c d ω ω θ θ ε θ θ ≤ ≤    −     ≥ >    − −     ∫ ∫ -36- Điều này chỉ ra rằng ( ) ( ) 1 0 11 0 exp inf min 0 1 exp r i x P i n i c d x r c d ω ω θ θ φ ε θ θ ∈ ∩∂Ω ≤ ≤    −     ≥ >    − −     ∫ ∫ Hơn nữa,φ là hoàn toàn liên tục với 0 0φ = . Bổ đề 3.1 chỉ ra rằng toán tử φ có một vectơ riêng 1 rx P∈ tương ứng vớitới giá trị riêng 0rµ > sao cho rx r= . Đặt 1 r r λ µ = . Thì rx là nghiệm tuần hoàn chu kì ω dương của hệ (3.1). Ta xác định 1 2,λ λ như sau ( ) ( ) ( ) ( ), ,r t r i r r i sxi t x t G t s f s x ds ω λ + = ∫ ( ) ( ) 0 0 1 , 1 exp r r i s i f s x d