Sáng kiến kinh nghiệm: Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán

Kết quả thực hiện sáng kiến I- Sơ lược lý lịch tác giả: - Họ và tên: NGUYỄN VĂN THƯỜNG Nam, nữ: Nam - Ngày tháng năm sinh: 20/04/1968 - Nơi thường trú: Số nhà 45, Tô 2, Ấp Kiến Thuận I, Xã Kiến Thành, Huyện Chợ Mới, Tỉnh An Giang - Đơn vị công tác: Trường THCS Kiến Thành - Chức vụ hiện nay: Giáo Viên - Lĩnh vực công tác: Dạy Toán Lớp : 8A3,5,6 + 9A3 II. Tên sáng kiến: “Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán”. III. Lĩnh vực: Toán học IV- Mục đích yêu cầu của sáng kiến: 1. Nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để ứng dụng trong việc giải các bài toán theo kinh nghiệm của giáo viên truyền đạt hay theo cách nhớ riêng của học sinh để khi giải bài tập toán không nhầm lẫn. Từ đó nhận biết các bài tập đơn giản, phức tạp.. 2. Luyện tập, vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài tập. Rèn luyện các thao tác tư duy, tính toán để giải bài tập nhanh nhẹn, chính xác. 3.Thông hiểu vấn đề vận dụng giải các bài tập phức tạp, rèn luyện học sinh khá giỏi hiểu rõ cách vận dụng. Đi sâu vào từng bài tập để hiểu được tầm quan trọng của nó đối với việc giải các bài tập liên quan. Thực trạng ban đầu trước khi áp dụng sáng kiến. Trong chương trình đại số lớp 8 có một mảng kiến thức hết sức quan trọng, việc nắm vững phương pháp giải loại toán này sẽ giúp cho các em rất nhiều trong việc giải các bài toán khác đó là dạng toán: Phân tích đa thức thành nhân tử. Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán khác như giải phương trình, rút gọn phân thức, tính giá trị của biểu thức... Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán 8 tôi thấy rất nhiều học sinh lúng túng khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt đối với học sinh trung bình, học sinh yếu. Ngược lại đối với học sinh khá, giỏi thì bài toán phân tích phân tích đa thức thành nhân tử làm cho các em hết sức thích thú, say mê học tập. Trong tôi lúc nào cũng đặt ra một câu hỏi “làm thế nào để cho các đối tượng học sinh đều thích thú, say mê học đối với dạng toán này?". Trong phạm vi đề tài này tôi muốn đưa ra các phương pháp để giúp các em học sinh lớp 8 có một kĩ năng thành thạo, phương pháp giải tốt nhất đối với dạng toán này. Vì vậy việc tập hợp hệ thống các bài toán ở dạng này là rất cần thiết đối với các đối tượng học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi. Qua đó giúp các em biết vận dụng dạng toán này để giải các bài toán khác. Sự cần thiết phải áp dụng sáng kiến. Trong chương trình đại số 8 sách giáo khoa có đưa ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: - Đặt nhân tử chung, - Dùng hằng đẳng thức, - Nhóm các hạng tử và phối hợp các phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử. Trong thực tế có những bài toán ở dạng này rất phức tạp không thể áp dụng các phương pháp trên mà giải được. Gặp các bài như vậy thì các em lại lúng túng không biết làm thế nào và sử dụng phương pháp nào để giải. Qua thực tế giảng dạy tôi thấy việc hệ thống các phương pháp giải đối với từng loại là rất cần thiết nó giúp các em thấy được sự đa dạng và phong phú về nội dung của từng loại toán. Đồng thời giúp cho các em có một cách nhìn nhận dưới nhiều góc độ khác nhau của một dạng toán, từ đó kích thích các em có một sự tìm tòi sáng tạo, khám phá những điều mới lạ say mê trong học tập, có nhiều hứng thú khi học bộ môn toán. Với hi vọng nhỏ là làm sao cho các em học sinh có thể thực hiện được các bài toán phân tích một đa thức thành nhân tử một cách say mê và hứng thú đã giúp tôi chọn chuyên đề: “Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” Nội dung sáng kiến (Tiến trình, thời gian thực hiện, biện pháp tổ chức..) I-Các hệ thống kiển thức cơ bản Trước hết cần nhắc lại một số kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giải bài toán ”Phân tích đa thức thành nhân tử ”. 1- Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức khác. 2- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường a. Đặt nhân tử chung b. Dùng hằng đẳng thức Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = ( A - B)(A + B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) c. Nhóm các hạng tử d. Phối hợp các phương pháp trên 3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp khác a. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử b. Thêm, bớt cùng một hạng tử II- Những vấn đề cần giải quyết Như đã nêu trong phần đầu các bài toán phân tích thành nhân tử được sắp xếp ở ngay đầu chương I sau các bài nhân đa thức và hằng đẳng thức, với thời lượng chỉ có 6 tiết bao gồm 3 tiết lí thuyết và 3 tiết luyện tập thì các em học sinh chỉ kịp hoàn thành phần bài tập chứ chưa nói đến việc khai thác và xem xét các ứng dụng của các phương pháp phân tích đó. Để rèn kĩ năng cho học sinh trong quá trình giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử tôi đã phân dạng các bài toán thành hai loại: - Bài tập thông thường và các bài tập được khai thác từ đó. - Các bài toán ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử. Phần I - Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và khai thác các kết quả của chúng I - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường (đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử . . .) Đây là các phương pháp được dùng cho các bài toán phân tích ở mức độ đơn giản. Tuy nhiên có những đa thức cần phải biến đổi một số bước Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. x2- 3x b. 12x3 - 6x2 + 3x c. x2 + 5x3 + x2y d. 14x2y - 21xy2 + 28x2y2 Giải a. x2- 3x = x(x - 3) b. 12x3 - 6x2 + x = 3x(4x2 -2x +3) c. x2 + 5x3 + x2y = x2( + 5x + y) d. 14x2y - 21xy2 + 28x2y2 = 7xy(2x - 3y + 4xy) Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. 5x2 (x - 2y) - 15xy(x - 2y) b. x(x + y) + 4x + 4y Giải a. 5x2 (x - 2y) - 15xy(x - 2y) = (x - 2y)(5x2 - 15xy) = (x - 2y)5x(x - 3y) b. x(x + y) + 4x + 4y = x(x + y) + (4x + 4y) = x(x + y) + 4(x + y) = (x+ y)(x + 4) Nhận xét: Ở hai ví dụ trên việc phân tích thức đa thức thành nhân tử ở mức độ đơn giản. Học sinh nhận thấy ngay được nhân tử chung. Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung phải đổi dấu các hạng tử có trong đa thức như ví dụ sau: Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. 10x(x - y) - 8y(y - x) b. 5x(x - 2000) - x + 2000 Giải a.10x(x - y) - 8y(y - x) = 10x(x - y) + 8y(x – y) = (x - y)(10x + 8y) =2(x - y)(5x + 4y) b. 5x(x - 2000) - x + 2000 = 5x(x - 2000) - (x - 2000) = (x - 2000)(5x - 1) Lỗi thường gặp của các em học sinh khi giải bài toán ở dạng này chính là không biết nhóm hay đổi dấu các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung nên cần hướng dẫn học sinh chi tiết để các em có thể thực hiện được một cách dễ dàng. Tuy nhiên trong các ví dụ đã nêu các em học sinh chỉ cần có một chút cố gắng thì sẽ thực hiện được bài toán nhưng cũng là phân tích đa thức bằng cách đặt nhân tử chung thì bài toán sau đây đòi hỏi các em phải có một cố gắng nhất định thì mới thực hiện được: Ví dụ 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. (a - b)x + (b - a)y - b + a b. (a + b - c)x2 - (c - a - b)x Giải: a. (a - b)x + (b - a)y - b + a = (a - b)x - (a - b)y + (a - b) = (a - b)(x - y + 1) b.(a + b - c)x2 - (c - a - b)x = (a + b - c)x2 + (a + b - c)x = x (a + b - c) (x + 1) Nhận xét: Trong hai ví dụ vừa nêu thì trong ví dụ 1 học sinh có thể biết đổi dấu ở hạng tử thứ hai từ b - a thành a - b để xuất hiện nhân tử chung nhưng đối với hạng tử thứ ba thì các em dễ bị nhầm lẫn và cho rằng không có nhân tử chung nhưng chỉ cần hướng dẫn các em đổi vị trí của a và b thì sẽ có nhân tử chung, cũng bằng nhận xét tương tự như vậy ta có cách làm tương tự đối với ví dụ thứ hai. Vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử đây là cách làm thông dụng nhất được áp dụng nhiều nhất. Để áp dụng phương pháp này yêu cầu học sinh phải nắm chắc bẩy hằng đẳng thức đáng nhớ Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a. x2- 6x +9 b. x2- 6 c. 1- 27x3 d. x3 + e. -x3 + 9x2 - 27x + 27 Giải a. x2- 6x + 9 = (x-3)2 b. x2- 6 = (x- ) (x+) c. 1- 27x3 = (1 - 3x)(1 + 3x + 9x2) d. x3 + = (x + )(x2 - 1 + ) e. -x3 + 9x2 - 27x + 27 = -(x3 - 9x2 + 27x - 27) = -(x - 3)3 Ở ví dụ trên là các hằng đẳng thức đã được khai triển. Việc phân tích chỉ là cách viết theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức các em học sinh dễ dàng thực hiện được nếu như các em thuộc và biết cách vận dụng các hằng đẳng thức, thế nhưng trong các ví dụ sau đây thì muốn áp dụng được hằng đẳng thức thì các em phải có một sự biến đổi thì mới có hằng đẳng thức. Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a. (x + y)2 - 6(x + y) + 9 b. 16a2 - 49(b - c)2 c. 49(y - 4)2 - 9(y - 2)2 Giải a.(x + y)2 - 6(x + y) + 9 = (x + y)2 - 6(x + y) + 32 = (x + y - 3)2 b.16a2 - 49(b - c)2 = (4a)2 - = (4a - 7b + 7c)(4a + 7b - 7c) c. 49(y - 4)2 - 9(y - 2)2 Ta có thể thấy trong hai ví dụ trên không khó nhưng vấn đề ở chỗ là học sinh không nhận dạng được hằng đẳng thức ngay cho nên việc phân tích sẽ gặp khó khăn vì thế trong những ví dụ dạng như thế nên hướng dẫn các em nhận dạng sau đó thì phân tích. Phương pháp thứ ba để phân tích một đa thức thành nhân tử đó là phương pháp nhóm các hạng tử. Đối với phương pháp này cần lưu ý cho học sinh khi nhóm các hạng tử phải chú đến dấu trước ngoặc đặc biệt là dấu trừ ở ngoài ngoặc. Ví dụ 7: Phân tích đa thức thành nhân tử. a. x2 - x - y2 - y b. x2 - 2xy + y2 - z2 c. x2 - 3x + xy - 3y d. 2xy + 3z + 6y + xz Giải a, x2 - x - y2 - y b, x2 - 2xy + y2 - z2 =( x2 - y2 ) - (x + y) = (x2 - 2xy + y2) - z2 = (x + y) (x - y) - (x +y) = (x-y)2 - z2 =(x + y) (x - y - 1) = (x - y - z)(x - y + z) c, x2 - 3x + xy - 3y d, 2xy + 3z + 6y + xz =(x2 + xy) - (3x + 3y) =(2xy + 6y) + (3z + xz) =x(x + y) - 3(x + y) =2y(x + 3) + z(3 + x) =(x + y)(x - 3) =(x + 3)(2y + z) Ở ví dụ này khi phân tích đa thức thành nhân tử ta đã phối hợp các phương pháp như : Nhóm các hạng tử đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức. Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm như thế nào cuối cùng cũng phải đạt được mục đích là có nhân tử chung hoặc vận dụng được hằng đẳng thức đáng nhớ như vậy yêu cầu đặt ra với người thầy là hướng dẫn cho các em nhóm như thế nào cho hợp lí để xuất hiện nhân tử chung sau đó tiến hành phân tích các đa thức đó. Trên đây chúng ta vừa xem xét các ví dụ phân tích một đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường đã nêu trong SGK tuy nhiên nếu chỉ dừng lại ở các phương pháp đó thì sẽ thích hợp với các em học sinh ở dạng trung bình còn đối với các em học sinh khá, giỏi thì sẽ làm cho các em nhàm chán vì vậy có thể giới thiệu thêm cho các em các phương pháp bổ sung khác để giúp cho học sinh khá giỏi tìm hiểu II - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt các hạng tử . Phương pháp này cho các đa thức chưa phân tích được ngay thành nhân tử. Ta tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để vận dụng các phương pháp đã biết. Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a. x2 - 7x + 12 b. 4x2 - 3x - 1 Giải a. x2 - 7x + 12 Cách 1: Tách số hạng -7x thành - 4x - 3x Ta có x2 - 7x + 12 = x2 - 4x - 3x + 12 =(x2 - 4x) - (3x - 12) = x(x - 4) -3(x - 4) =(x - 4)(x - 3) Cách 2: Tách số hạng 12 thành 21 - 9 Ta có x2 - 7x + 12 = x2 - 7x + 21 - 9 = (x2 - 9) - (7x - 21) = (x - 3) (x + 3) - 7(x - 3) = (x - 3) (x + 3 - 7) = (x - 3) (x - 4) Cách 3: Tách số hạng 12 thành -16 + 28 Ta có x2 - 7x + 12 = x2 - 7x + 28 - 16 = (x2 - 16) - (7x - 28) = (x - 4)(x + 4) - 7(x - 4) = (x - 4) (x + 4 - 7) = (x - 4)(x - 3) Cách 4: Tách số hạng -7x thành -6x - 3x và 12 = 9 + 3 Ta có x2 - 7x + 12 = x2 - 6x + 9 - x + 3 = (x2 - 6x + 9) - (x - 3) = (x - 3)2 - (x - 3) = (x - 3)(x - 3 - 1) = (x - 4)(x - 3) Cách 5: Tách số hạng -7x thành -8x + x và 12 = 16 - 4 Ta có x2 - 7x + 12 = x2 - 8x + 16 + x - 4 = (x2 - 8x + 16) + (x - 4) = (x - 4)2 + (x - 4) = (x - 4)(x - 4 + 1) = (x - 4)(x - 3) ..... b. 4x2 - 3x - 1 Cách 1: Tách số hạng 4x2 thành x2 + 3x2 Ta có 4x2 - 3x - 1 = x2 + 3x2 - 3x - 1 = (x2 - 1) + (3x2 - 3x) = (x - 1)(x + 1) + 3x(x - 1) = (x - 1)(x + 1+ 3x) = (x - 1)( 4x + 1) Cách 2: Tách số hạng -3x thành - 4x + x 4x2- 3x - 1 = 4x2- 4x + x - 1 = 4x(x - 1) + (x - 1) = (x - 1)(4x + 1) Cách 3: Tách số hạng -1 thành - 4 + 3 4x2 - 3x - 1 = 4x2- 3x - 4 + 3 = 4(x - 1)(x + 1) -3 (x - 1) = (x - 1)(4x + 4 - 3) = (x - 1)(4x + 1) Với bài toán này khi phân tích đa thức trên thành nhân tử có ba lời giải tương ứng với ba cách tách học sinh có thể chọn một trong ba cách. Cần tổng kết cho học sinh thấy được có nhiều cách tách hạng tử nhưng trong đó có hai cách tách thông dụng nhất đó là: - Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằng đẳng thức: (mx + n)(px + q) = mpx2 + (mq + np)x + nq như vậy trong tam thức ax2 + bx + c, hệ số b được tách thành hai hạng tử b = b1 + b2 sao cho b1.b2 = ac. - Tách hạng tử tự do thành hai hạng tử như trong ví dụ 1 phần a ta tách 12 = -16 + 28... - Hoặc đôi khi có thể tách một hạng tử thành 3 hạng tử để phân tích thành nhân tử... Ví dụ 2: Phân tích đa thức trên thành nhân tử a. x3 - 2x - 4 b. x3 + 8x2 + 17x + 10 Giải a. x3 - 2x - 4 =.x3 - 2x - 8 + 4 = (x3- 8) - (2x - 4) = (x - 2)(x2+ 2x + 4) -2(x - 2) =(x - 2)(x2 + 2x + 2) b. x3 + 8x2 + 17x + 10 = x3 + x2 + 7x2 + 10x + 7x + 10 = x2(x + 1) + 7x(x + 1) + 10(x + 1) = (x + 1)(x2 + 7x + 10) = (x + 1)(x2 + 2x + 5x + 10) = (x + 1)[x(x + 2) + 5(x + 2)] = (x + 1)(x + 2)(x + 5) Vì thế khi làm dạng toán này không phải lúc nào cũng áp dụng một khuôn mẫu theo một phương pháp giải cố định nào đó. Khi học xong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thì tuỳ từng bài tập mà học sinh lựa chọn cho mình một phương pháp giải thích hợp để có một cách phân tích nhanh nhất và có hiệu quả nhất. Như trong phần đầu tôi đã đề cập là quá trình phân tích một đa thức thành nhân tử học sinh chỉ áp dụng theo kiểu xuôi chiều nghĩa là chỉ phân tích đa thức thành nhân tử chứ không tổng kết và vận dụng các kết quả đó vào trong một số các bài toán quan trọng khác, trong phần sau đây tôi xin nêu một vài các ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán. Phần II -Một số lợi ích của việc phân tích đa thức thành nhân tử Chúng ta đều biết: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức khác. Do vậy đối với một số dạng toán nếu ta áp dụng kết quả phân tích thành nhân tử thì sẽ giải được dễ dàng như một số các dạng toán sau: Dạng 1 : Tính nhanh Ví dụ 1: (Bài 46, trang 21 SGK) Tính nhanh: a) 732 - 272 = (73 - 27)(73 + 27) = 46 . 100 = 4600 c) 20022 - 4 = 20022 - 22 = (2002 + 2)(2002 - 2) = 2004 . 2000 = 4008000. Ví dụ 2 : (Bài 49, trang 22 SGK) Tính nhanh: a)37,5.6,5 -7,5.3,4 - 6,6.7,5 + 3,5.37,5 = (37,5.6,5 + 3,5.37,5) - (7,5.3,4 + 6,6.7,5) = 37,5(6,5 + 3,5) - 7,5(3,4 + 6,6) = 37,5.10 - 7,5.10 = 375 - 75 = 300. b)452 + 402 - 152 + 80.45 = 452 + 2.40.45 + 402 - 152 = (45 + 40)2 - 152 = 852 - 152 = (85 - 15)(85 + 15) = 70.100 = 7000 Ví dụ 3 : (Bài 56, trang 25 SGK) Tính nhanh: Trong các ví dụ trên ta thấy để thực hiện được việc tính nhanh thì phương pháp chung là : Phân tích các biểu thức cần tính nhanh ra thừa số rồi tính Dạng 2 : Tính giá trị biểu thức: Ví dụ 1 : (Bài 40, trang 19 SGK) Tính giá trị các biểu thức sau: a. 15.91,5 + 150.0,85 b. x(x - 1) - y(1 - x) tại x = 2001 ; y = 1999 Giải: 15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.8,5 = 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500 x(x - 1) – y(1 - x) = (x -1) (x +y) Với x = 2001 ; y = 1999 thì (2001 – 1)(2001 +1999) = 2000.4000 = 8000000 Ví dụ 2 : Tính giá trị biểu thức: a, b, Giải: a, b, Trong 2 ví dụ trên đặc biệt là ví dụ 2 nhận thấy nếu như học sinh không sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử thì việc tính toán sẽ găp rất nhiều khó khăn nên cần hướng dẫn cho các em: - Trước hết hãy phân tích các biểu thức đã cho thành nhân tử - Thay giá trị của biến vào biểu thức đã phân tích để tính Dạng 3: Tìm x thoả mãn đẳng thức cho trước Ví dụ 1: (Bài 50, trang 23 SGK) Tìm x biết: a. x(x - 2) + x - 2 = 0 b. 5x(x - 3) - x + 3 = 0 Giải: x(x - 2) + x - 2 = 0 Ta có x(x - 2) + x - 2 = x(x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(x + 1) Nên (x - 2)(x + 1) = 0 5x(x - 3) - x + 3 = 0 Ta có 5x(x - 3) - x + 3 = 5x(x - 3) - (x - 3) = (x - 3)(5x - 1) Nên (x - 3)(5x - 1) = 0 Ví dụ 2 : Tìm x biết: 8x3 - 50x = 0 (x - 2)(x2 + 2x + 7) + 2(x2 - 4) - 5(x - 2) = 0 Giải: 8x3 - 50x = 2x(4x2 - 25) 2x(2x - 5)(2x + 5) = 0 b. (x - 2)(x2 + 2x + 7) + 2(x2 - 4) - 5(x - 2) = (x - 2)(x2 + 2x + 7) + 2(x - 2)(x + 2) - 5(x - 2) = (x - 2)[x2 + 2x + 7 + 2(x + 2) - 5] = (x - 2)(x2 + 4x + 6) = 0 vì x2 + 4x + 6 = (x + 2)2 + 2 > 0 nên (x - 2)(x2 + 4x + 6) = 0 x - 2 = 0 hay x = 2 Ví dụ 3: Tìm x biết 5x(x - 1) = x - 1 5x(x - 1) - (x - 1) = 0 (x - 1)(5x - 1) = 0 Trong dạng toán này có thể nhận thấy đây là một cách biến đổi để đưa về phương trình tích với các phép biến đổi chính là phân tích một đa thức thành nhân tử, có thể hướng dẫn các em thực hiện theo trình tự sau: Chuyển tất cả các số hạng về vế trái và vế phải bằng 0 Phân tích vế trái thành nhân tử để được A.B = 0 Lần lượt tìm x từ các đẳng thức A = 0, B = 0 ta được kết quả Dạng 4: áp dụng vào số học Đây là một dạng toán không khó nhưng việc vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải thì lại là khó cho các em học sinh, có thể hướng dẫn các em giải theo định hướng sau đây: - Số nguyên a chia hết cho số nguyên b khác 0 nếu có số nguyên k sao cho a = bk. - Phân tích biểu thức ra thừa số để xuất hiện số chia. Ví dụ 1: (Bài 42, trang 19 SGK) CMR: 55n + 1 - 55n chia hết cho 54 (n là số tự nhiên) Giải: 55n + 1 - 55n = 55n(55 - 1) = 55n.54 chia hết cho 54 Ví dụ 2: (Bài 52, trang 24 SGK) CMR: (5n + 2)2 - 4 chia hết cho 5 Giải: (5n + 2)2 - 4 = (5n + 2 - 2)(5n + 2 + 2) = 5n(5n + 4) chia hết cho 5 Ví dụ 3: CMR: ta có: n3 - 13n chia hết cho 6 n5 - 5n3 + 4n chia hết cho 120 Giải: n3 - 13n = (n3 - n) - 12n = n(n - 1)(n + 1) - 12n Vì n, n + 1, n - 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 nên tích n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 2.3 = 6 (2 và 3 nguyên tố cùng nhau), 12n chia hết cho 6 vậy: n3 - 13n = n(n - 1)(n + 1) - 12n chia hết cho 6 n5 - 5n3 + 4n = n5 - n3 - 4n3 + 4n = n3(n2 - 1) - 4n(n2 - 1) = n(n2 - 1)(n2 - 4) = n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp.Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất hai số là bội của 2(Trong đó có một số là bội của 4, một bội của 3 và một bội của 5). Do đó tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8.3.5= 120 (vì 8, 5, 3 đôi một nguyên tố cùng nhau) Qua 3 ví dụ vừa nêu ta nhận thấy nếu như các biểu thức đã cho được phân tích thành nhân tử thì việc chứng minh sẽ trở nên đơn giản hơn vì vậy giúp các em phân tích được biểu thức thành nhân tử là ta đã giúp cho các em hoàn thành được bài toán. Trên đây học sinh đã được nhận biết các lợi ích của việc phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng trong một số các bài toán được nêu trong SGK. Tóm lại: Qua việc hướng dẫn học sinh các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, khai thác các kết quả của bài toán từ đó có hướng đề xuất và áp dụng trong giải các bài toán tương tự đã tạo ra các bài tập phong phú và đa dạng đồng thời có những hướng đề xuất các cách giải hay giúp cho học sinh hứng thú trong học tập. Việc khai thác và đề xuất ra những ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử còn nhiều nhưng vì mức độ kiến thức toán ở THCS còn hạn hẹp nên chưa thể mở rộng hơn được.Tuy nhiên khi áp dụng chuyên đề này vào trong giảng dạy cho các em học sinh khá giỏi lớp 8 thì các em đã tiếp thu tốt và có hứng thú suy nghĩ, tìm tòi các bài toán có nội dung tương tự và từ chỗ mặc cảm với dạng toán này thì các em đã có hứng thú học hơn. V- Hiệu quả đạt được: Chuyên đề "Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán" này tôi đã sử dụng nhiều trong quá trình giảng dạy học sinh và bồi dưỡng học sinh khá giỏi. Kết quả thu được là các em đã biết khai thác , phân tích kết quả của các bài toán để tổng kết thành các phương pháp giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Đối với học sinh đại trà, sau khi được hướng dẫn , chữa các bài tập có nội dung đơn giản (Bài tập trong SGK) thì hầu hết các em đã: - Nắm được các cách phân tích đa thức thành nhân tử. - Biết phân loại và sử dụng các phương pháp thích hợp - Tự chọn được cách giải và biết trình bày bài làm. Thông qua bảng số liệu (Số liệu thống kê Kiểm tra chương I Đại số 8 qua các năm học) Năm Học TS Giỏi Khá TB Yếu Kém TS TL% TS TL% TS TL% TS TL% TS TL% 2014 - 2015 68 20 29.4 13 19.1 18 26.5 10 14.7 7 10.3 2015 - 2016 67 26 38.9 16 23.9 13 19.4 8 11.9 4 5.9 2016 - 2017 110 47 42.7 25 22.7 20 18.2 13 11.8 5 4.6 Qua bảng số liệu có thể nhận thấy các em đã vận dụng tốt các kết quả và biết vận dụng vào trong các bài toán một cách tương đối có hiệu quả. Song các kết quả đã thu được chưa phải là mĩ mãn, cần phải có một thời gian để học sinh vận dụng kiến thức cơ bản và nhận dạng, phân loại bài toán một cách thành thạo. Trên cơ sở đó các em sẽ tìm ra một phương pháp giải thích hợp và sáng tạo hơn. VI. Mức độ ảnh hưởng: Khả năng áp dụng giải pháp: .......... (nêu lĩnh vực, địa chỉ mà giải pháp có thể áp dụng, những điều kiện cần thiết để áp dụng giải pháp đó) Phạm vi áp dụng: Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử chỉ chiếm một thời lượng khá khiêm tốn song nó chứa đựng nhiều kiến thức cơ bản, trọng tâm và khá quan trọng. Tuy nhiên đối với học sinh khá, giỏi thì áp dụng chuyên đề này hoàn toàn hữu ích, với học sinh đại trà thì khi hướng dẫn các em ở các dạng từ 1 - 4 thì các em dễ hiểu hơn còn cá dạng 5 - 7 thì các em gặp rất nhiều khó khăn nên giáo viên giảng dạy cần chú ý. Để kinh nghiệm này được áp dụng rộng rãi theo tôi cần có các điều kiện sau: - Nhà trường cần thường xuyên mở các chuyên đề áp dụng đề tài kinh nghiệm để giáo viên có điều kiện tham gia hoặc trao đổi lẫn nhau. Phải có sự phối hợp chặt chẽ trao đổi, bàn bạc tập thể giữa các giáo viên giảng dạy của tổ, của khối lớp 8. Giáo viên phải kiên trì biết sử dụng các phương pháp dạy học một cách linh hoạt. Thường xuyên kiểm tra học sinh theo phương pháp mới. Giáo viên cần phải đầu tư thời gian nghiên cứu bài dạy để đạt được hiệu quả cao. -Bên cạnh đó đối với học sinh phải có đầy đủ phương tiện học đặc biệt là sách giáo khoa. Cần chú ý theo dõi sự hướng dẫn của giáo viên và hăng hái tham gia nêu những ý kiến đánh gía của mình. Nắm chắc kiến thức từng phần có liên quan đến dạng toán "Phân tích đa thức thành nhân tử" như quy tắc dấu ngoặc, hằng đẳng thức, chia đa thức... *Bài học chung: - Thày phải trang bị cho học sinh vốn kiến thức tổng hợp phong phú để làm phương tiện giải toán. Trong mỗi trường hợp, mỗi bài toán đều có điều kiện rõ ràng và dữ kiện chưa rõ nên giáo viên cần giúp cho học sinh phân tích các mối quan hệ giữa các yếu tố đó để biến cái chưa rõ thành cái đã rõ. -Cuối cùng mỗi người giáo viên cần phải hiểu tâm lí đối tượng học sinh để chuyển tải những nội dung kiến thức cho phù hợp, vừa sức tạo ra bầu không khí thoả mái trong lớp học, tránh sự gò bó áp đặt đối với học sinh. VII- Kết luận Qua nghiên cứu thực nghiệm chuyên đề bản thân tôi thấy kết quả học tập của các em được nâng lên rõ rệt cả về chất lượng lẫn kỹ năng giải toán. Tôi thấy đây là việc làm thiết thực và quan trọng để nâng cao chất lượng học tập toàn diện cho học sinh. Học sinh phát huy được tính tích cực chủ động sáng tạo trong học tập. Có được kết quả cao trong việc dạy và học môn toán đặc biệt là dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử từ đó vận dụng bài toán này để giải các bài toán khác thì một trong các biện pháp thực hiện đó là xây dựng hệ thống bài tập về dạng phân tích đa thức thành nhân tử. Trong mỗi phương pháp giải tôi luôn đưa ra hệ thống bài tập từ dễ đến khó . Đối với bài dễ dùng cho đối tượng học sinh trung bình, yếu còn đối với bài tập khó nâng cao dùng cho học sinh khá giỏi để các đối tượng học sinh không cảm thấy chán. Tuy nhiên trong mỗi bài toán đưa ra cần lưu ý cho học sinh không chỉ có một cách giải trong mỗi bài toán đưa ra cần tìm tòi những lời giải khác nhau để tìm ra lời giải thích hợp nhất. Mỗi phương pháp giải tôi đều đưa ra các bài tập khác nhau nhằm mục đích phát triển bài toán . Với kinh nghiệm của bản thân còn nhiều hạn chế chắc chắn không thể tránh khỏi những khiếm khuyết trong quá trình vận dụng. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các bạn đồng nghiệp và bạn đọc để xây dựng và hoàn thiện hơn nữa các phương pháp giải bài toán "Phân tích