Toám tắt Luận án Phân tích tĩnh và động kết cấu vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt - Dương Thành Huân

= 0, b  Điều kiện biên Khớp - Ngàm - Khớp - Ngàm (SCSC) : t t t t t 0 0 y xx xxv w N M 0     tại x = 0, a (2.21) t t t t t 0 0 0 x yu v w 0      tại y = 0, b  Điều kiện biên ngàm cứng (CCCC) : t t t t t0 0 0 x yu v w 0      tại x = 0, a và y = 0, b (2.22) SSSS SCSC CCCC Hình 2.4. Một số điều kiện biên khảo sát Giả thiết các thành phần chuyển vị là các chuỗi lượng giác kép như sau [69]:      t t m0 mn n m 1 n 1 X x u x,y U Y y x         ;      t t n 0 mn m m 1 n 1 Y y v x,y V X x y         (2.23)      t t0 mn m n m 1 n 1 w x,y W X x Y y      ;      t t mx Xmn n m 1 n 1 X x x,y Y y x           ;      t t n y Ymn m m 1 n 1 Y y x,y X x y           6 Để thỏa mãn các điều kiện biên như trong (2.20), (2.21) và (2.22), các hàm lượng giác  mX x và  nY y được chọn như trong Bảng 2.1 của luận án [69]. Tải trọng cơ học và tải trọng nhiệt cũng được giả thiết là chuỗi lượng giác kép như sau:      t tmn m n m 1 n 1 q x,y Q sin x sin y       ;        mn m n m 1 n 1 T z T z sin x sin y       (2.24) trong đó       a b t mn m n 0 0 4 Q q x,y sin x sin y dxdy ab     ;         a b mn m n 0 0 4 T z T z sin x sin y dxdy ab     (2.25) Thay (2.23)-(2.25) vào hệ phương trình c n bằng theo chuyển vị, áp dụng phương pháp Galerkin để giải với các điều kiện biên nêu trên ta thu được hệ phương trình viết dạng rút gọn như sau:       t tmn ch ndK F F   (2.27) Giải hệ phương trình (2.27) ta được t t t t t tmn mn mn mn Xmn Ymn(U , V , W , , )   . Từ đó ta nhận được các thành phần chuyển vị và ứng suất. 2.5. Phân tích động vỏ thoải FGM hai độ cong t ong môi t ƣờng nhiệt độ Như đã trình bày ở trên, chuyển vị của vỏ có thể biểu diễn dưới dạng p t du u u  . Chuyển vị tĩnh tu của vỏ được xác định thông qua việc giải bài toán tĩnh. Trong phần này, luận án thiết lập và giải hệ phương trình chuyển động để tính toán và ph n tích đáp ứng động du của vỏ trong môi trường nhiệt độ theo cách tiếp cận thứ hai. Theo cách tiếp cận này, các thành phần ứng suất do nhiệt độ g y ra được tính toán như trong mục 2.4 và được coi là ứng suất ban đầu khi thiết lập hệ phương trình chuyển động của vỏ. Áp dụng nguyên lý Hamilton để thiết lập hệ phương trình chuyển động cho vỏ thoải FGM hai độ cong như sau:   T T d d d d 0 0 L dt T W dt 0       (2.33) trong đó d d 0U U   Với Ud là thế năng biến dạng đàn hồi có dạng như trong (2.16), tuy nhiên trong đó các thành phần ứng suất là ứng suất tăng thêm khi vỏ chịu tải trọng động. U 0 là thế năng biến dạng đàn hồi do ứng suất ban đầu và được tính như sau [58]. 2 2 d d d d h 2 0 0 0 00 0 0 0 xx xy yy h 2 A w w w w1 1 U dzdxdy 2 x x y 2 y                              (2.36) trong đó 0 0 0xx yy xy, ,    là các thành phần ứng suất do nhiệt độ và các tải trọng tĩnh g y nên, được tính như trong công thức (2.31). Biến ph n thế năng của ngoại l c được tính như công thức (2.17) với tải trọng tác dụng là tải trọng động. Biến ph n của động năng được xác định thông qua các đạo hàm theo thời gian của chuyển vị và khối lượng riêng của vật liệu. Thay các thành phần biến dạng từ công thức (2.6), các thành phần ứng suất từ (2.34) vào công thức (2.16), sau đó thay (2.16), (2.17), (2.36) và (2.37) vào (2.33) (với lưu ý các chỉ số   t được đổi thành   d ), th c hiện tích ph n và biến đổi thu được hệ phương trình chuyển động của vỏ thoải FGM hai độ cong chịu tải trọng động trong môi trường nhiệt. Áp 7 dụng phương pháp Galerkin (tương t như trình bày trong bài toán tĩnh), từ phương trình (2.38) ta thu được hệ phương trình dưới dạng thu gọn như sau:           d d dmn ini mn chM K K F ( t )      (2.45) trong đó:  iniK là ma trận độ cứng do ứng suất ban đầu g y nên. 2.5.1. Phân tích dao động tự do Từ phương trình (2.44), bỏ qua ảnh hưởng của tải trọng ta được phương trình dao động t do của vỏ thoải FGM hai độ cong. Đặt  d 0 i tmn mnU t U e  ;  d 0 i tmn mnV t V e  ;  d 0 i tmn mnW t W e  ;  d 0 i tXmn Xmnt e   ;  d 0 i tYmn Ymnt e   ta được phương trình bài toán dao động t do có dạng phương trình trị riêng với năm ẩn chuyển vị  0 0 0 0 0 0mn mn mn mn Xmn YmnU , V , W , ,    dạng rút gọn như sau:          2 0ini mnK K M 0      (2.51) Tần số dao động riêng của vỏ xác định từ phương trình:       2inidet K K M 0     (2.52) Giải hệ phương trình (2.52) với mỗi cặp (m, n) ta được một tần số dao động riêng của vỏ là ωmn ứng với dạng dao động tương ứng. 2.5.2. Phân tích dao động cưỡng bức Phương trình (2.45) là phương trình dao động cưỡng bức không cản của vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt độ. Nhiệt độ và các tải trọng tĩnh khác được xét đến trong bài toán tĩnh và có ảnh hưởng đến bài toán động thông qua ma trận độ cứng [Kini]. Do đó, vế phải của phương trình chỉ còn lại thành phần tải trọng động cơ học  dchF t . Phương trình (2.45) có thể viết dưới dạng thu gọn như sau:            d d dmn ini mnM K K F t      (2.53) Khi kể đến ảnh hưởng của l c cản ta có phương trình:               d d d dmn mn ini mnM C K K F t        (2.54) trong đó [C] là ma trận cản, và được tính theo [98]:        1 2 iniC a M a K K     (2.55) với a1 và a2 là hệ số cản khối lượng và hệ số cản độ cứng Rayleigh. Sử dụng phương pháp tích ph n Newmark- để giải hệ phương trình (2.54) thu được đáp ứng chuyển vị theo thời gian của vỏ thoải FGM hai độ cong chịu tải trọng cơ học trong môi trường nhiệt độ. 2.7. Xây dựng chƣơng t ình tính – Phƣơng pháp Giải tích Trên cơ sở lý thuyết đã trình bày. Luận án viết 03 chương trình máy tính theo lời giải giải tích trên nền Matlab, bao gồm: o Chương trình ShellpanelStatic(GT): Tính toán độ võng và ứng suất của vỏ FGM thoải hai độ cong chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ. o Chương trình ShellpanelVibration(GT): Tính toán tần số và dạng dao động riêng của vỏ FGM thoải hai độ cong trong môi trường nhiệt. o Chương trình ShellpanelForcedvibration(GT): Tính toán, ph n tích đáp ứng động của vỏ FGM thoải hai độ cong trong môi trường nhiệt độ. Các chương trình trên được th c hiện theo các bước như được trình bày trên các lưu đồ trong Hình 2.6, Hình 2.7 và Hình 2.8 trong luận án. Như vậy, trong chương này, luận án đã hệ thống lại các hệ thức và x y d ng phương trình chuyển động cho kết cấu vỏ thoải FGM hai độ cong theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 8 nhất. Luận án đã sử dụng phương pháp Galerkin và phương pháp Newmark để x y d ng lời giải giải tích tính toán độ võng, ứng suất, tần số dao động riêng và đáp ứng động cho loại vỏ này trong môi trường nhiệt độ với một số điều kiện biên thông dụng. Trên cơ sở đó, luận án đã x y d ng các chương trình máy tính d a trên các lời giải giải tích đã thiết lập ở trên. Tuy nhiên, giới hạn của mô hình giải tích th c hiện trong chương hai này là: - Chỉ có thể tính toán được với một số dạng kết cấu dạng vỏ có độ cong không đổi như vỏ trụ, vỏ cầu và vỏ yên ng a. - Chỉ tính được với một số ít điều kiện biên thông dụng. Trong chương ba, luận án thiết lập mô hình phần tử hữu hạn để ph n tích tĩnh và động vỏ FGM với nhiều hình dạng khác nhau trong môi trường nhiệt độ. Mô hình phần tử hữu hạn sẽ khắc phục những hạn chế của mô hình giải tích. Luận án đã có một số công bố liên quan đến nội dung chương này bao gồm: (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7) (trong “Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến đề tài luận án”). CHƢƠNG 3 PHÂN TÍCH TĨNH VÀ ĐỘNG VỎ FGM TRONG MÔI TRƢỜNG NHIỆT BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 3.1. Mở đầu Trong Chương 2, luận án đã x y d ng nghiệm giải tích để ph n tích, tính toán tĩnh và động vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt độ. Tuy nhiên, hạn chế của lời giải giải tích là chỉ giải được kết cấu vỏ hai độ cong với một số điều kiện biên nhất định. Chương này, luận án sử dụng phần tử 3D suy biến d a trên lý thuyết Mindlin để x y d ng mô hình phần tử hữu hạn ph n tích tĩnh và động vỏ FGM. Phương pháp phần tử hữu hạn sẽ khắc phục được một số hạn chế của phương pháp giải tích như có thể tính toán với vỏ có nhiều hình dạng và điều kiện biên khác nhau. 3.2. Hình d ng hình học của vỏ ét vỏ FGM có hình dạng bề mặt được mô tả bởi một hàm có dạng  z f x,y , hình chiếu bằng của vỏ là hình chữ nhật có kích thước a x b, vỏ có chiều dày h không đổi như trên Hình 3.1. Hình 3.1. Hình dạng tổng quát của vỏ FGM nghiên cứu trong luận án 3.3. Lựa chọn lo i phần tử Phương pháp phần tử hữu hạn có nhiều loại phần tử có thể sử dụng để mô hình kết cấu tấm vỏ. Trong luận án này, phần tử 3D suy biến được sử dụng để mô hình kết cấu vỏ FGM với những hình dáng khác nhau. u điểm của phần tử vỏ 3D suy biến là cho phép mô phỏng gần đúng với kết cấu vỏ thật, số bậc t do được giảm đi đáng kể nhờ việc loại bỏ các nút ở mặt trên và mặt dưới, việc tính toán chỉ còn phụ thuộc vào các bậc t do của các điểm nút ở mặt trung bình. 9 3.4. Phần tử 3D suy biến Như thể hiện trên Hình 3.2, phần tử 3D suy biến là s rút gọn từ phần tử khối về phần tử phẳng kèm thêm các véc tơ chỉ phương tại mỗi nút. Hình 3.2. Phần tử 3D suy biến 3.5. Mô hình phần tử hữu h n vỏ FGM sử dụng phần tử 3D suy biến 3.5.1. Xác định hệ tọa độ nút uất phát từ phần tử khối, phần tử 3D suy biến được x y d ng bằng cách loại bỏ các nút ở mặt trên và mặt dưới và chỉ để lại các nút tại mặt tham chiếu (thường là mặt trung bình). Ngoài ra, tại các nút ở mặt tham chiếu sẽ được bổ sung một hệ tọa độ nút 1 2 3V V V , trong đó véc tơ 3V là véc tơ chỉ phương theo chiều dày và được tính thông qua tọa độ các nút ở mặt trên và mặt dưới của phần tử khối như thể hiện trong Hình 3.3. Tuy nhiên, với cách xác định hệ tọa nút như trên thì việc chia lưới phần tử phải được th c hiện như chia lưới phần tử khi sử dụng phần tử khối. Trong luận án này, một cách xác định hệ tọa độ nút được đề xuất bằng cách từ hàm số biểu diễn bề mặt vỏ  z f x,y     F x,y,z z f x,y 0   ta dễ dàng có được véc tơ pháp tuyến tại một điểm bất kỳ  K KK x ,y trên mặt vỏ như sau:      K T 3 x K K y K KV F x ,y ,F x ,y ,1 (3.7) trong đó: x y F F F ; F x y       (3.8) véc tơ pháp tuyến đơn vị tại điểm  K KK x ,y được xác định         3 x K K K 3 3 y K K 2 2 x K K y K K 3 l F x , y 1 v m F x ,y F x ,y F x ,y 1 n 1                      (3.9) Sau khi xác định được véc tơ 3V , việc xác định véc tơ 1V và 2V th c hiện như đã trình bày ở trên. Với cách làm này, việc chia lưới phần tử trở nên dễ dàng hơn và mô hình cho phép th c hiện với những mặt vỏ có dạng  z f x,y . 3.5.2. Trường chuyển vị Tọa độ của một điểm bất kỳ trong phần tử được xác định:     0i 3i8 8 i 0i i 3i i 1 i 1 0i 3i x x l h y N , y N , m 2 z z n                                        (3.10) Theo giả thiết của Mindlin, đoạn pháp tuyến trước và sau biến dạng vẫn thẳng, chuyển vị của một điểm bất kỳ trong phần tử được xác định như sau: 10   0i 2i 1i8 xi i 0i 2i 1i i 1 yi 0i 2i 1i u u l l h v N , v m m 2 w w n n                                          (3.11) trong đó   T 1i 1i 1il m n và   T 2i 2i 2il m n là các cosin chỉ phương của hai véc tơ 1 2V , V như được xác định trong mục 3.5.1; xi yi,   là góc xoay của đoạn pháp tuyến. Phương trình (3.11) có thể viết lại dưới dạng:    8 Ai Bi i i 1 u v N N u w               (3.12) 3.5.3. Trường biến dạng Các thành phần biến dạng trong hệ tọa độ phần tử thu được từ đạo hàm của các thành phần chuyển vị tương ứng như sau:   x' y' x' y' x' z' y' z' u' x' v' y' u' v' ' y' x' u' w' z' x' v' w' z' y'                                                        (3.16) Các thành phần biến dạng này cũng có thể được tính trong hệ tọa độ tổng thể thông qua ma trận chuyển như sau:       x' x y' y x' y' x y y' z' y z x' z' x z u' u x' x v v y' y u' v' u v ' T T y' x' y x v' w' v w z' y' z y w' u' w u x' z' x z                                                                                                             T                           (3.25) Các thành phần biến dạng này có thể được biểu diễn và tính toán trong hệ tọa độ t nhiên thông qua ma trận Jacobean của phép biến đổi như sau:  dV dxdydz det J d d d    (3.26) Kết hợp các công thức (3.25), (3.30) và (3.31) ta được các thành phần biến dạng trong hệ tọa độ tổng thể như sau: 11         8 i i e i 1 B u B u    (3.32) Trong đó    1 2 8B B B . . B là ma trận tính biến dạng,    T T T Te 1 2 8u u u . . u là véc tơ chuyển vị nút phần tử 3.5.4. Các thành phần ứng suất Các thành phần ứng suất được tính thông qua các thành phần biến dạng như trình bày trong công thức (2.8) và (2.9), có thể viết ở dạng thu gọn như sau:     nd' D' '    (3.34) 3.5.5. Phân tích tĩnh vỏ FGM Áp dụng nguyên lý thế năng toàn phần c c tiểu để thiết lập hệ phương trình c n bằng tĩnh cho vỏ FGM chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ như trong công thức (2.16). Thế năng biến dạng của phần tử:                          1 1 1 T TT e e e 1 1 1 1 1 1 T TT nd e 1 1 1 1 U u B T D' T B det J d d d u 2 1 u B T D' det J d d d 2                               (3.37) Thế năng của ngoại lực trên phần tử:       x1 1 T T e e A B y 1 1 z p W u N N p H d d p                     (3.39) Thay các công thức tính thế năng biến dạng phần tử (3.37) và thế năng của ngoại l c (3.39) vào biểu thức thế năng toàn phần. Áp dụng nguyên lý c c tiểu hóa thế năng toàn phần và giản lược, ta được:        ch nd e e e eK u F F  (3.40) Th c hiện ghép nối phần tử và áp đặt điều kiện biên, ta có hệ phương trình c n bằng cho vỏ FGM chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ:       ch ndK u F F  (3.44) Giải hệ phương trình (3.44) được chuyển vị nút của kết cấu, từ đó tính được các thành phần ứng suất tại điểm bất kỳ trong vỏ. 3.5.6. Phân tích động vỏ FGM Như đã trình bày trong Chương 2, phần này luận án thiết lập phương trình chuyển động để tính toán và ph n tích đáp ứng động cho vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt theo cách tiếp cận thứ hai (khi dao động vỏ có ứng suất ban đầu do nhiệt độ g y ra, các thành phần chuyển vị động là các gia số của chuyển vị tính từ trạng thái c n bằng mới sau khi vỏ chịu tải trọng nhiệt độ) bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Khi đó thế năng biến dạng đàn hồi: d 0 e e eU U U  (3.45) trong đó deU là thế năng biến dạng đàn hồi tăng thêm                   e 1 1 1 T TTTd d e e e e e V 1 1 1 1 1 U dV u B T D' T B det J d d d u 2 2                 (3.46) 0 eU là thế năng biến dạng đàn hồi do ứng suất ban đầu. 12 2 2 d d d d h 2 0 0 0 00 0 0 0 e xx yy xy h 2 A w w w w1 1 U dzdxdy 2 x 2 y x y                              (3.47) trong đó, 0 0 0xx yy xy, ,    là các thành phần ứng suất do nhiệt độ và các tải trọng tĩnh g y nên, được tính trong bài toán tĩnh ở trên. Động năng của phần tử:           1 1 1 T T e e A B A B e 1 1 1 1 T u N N N N det J d d d u 2                  (3.56) Thay (3.39), (3.46), (3.49) và (3.56) vào biểu thức của nguyên lý Hamilton và giản lược ta được hệ phương trình chuyển động của phần tử như sau:         ge e e e e eM u K K u P       (3.57) Th c hiện ghép nối ma trận, ta được hệ phương trình chuyển động của vỏ:         gM u K K u P       (3.62) Hệ phương trình (3.62) là hệ phương trình dao động cưỡng bức không cản của vỏ, khi kể đến cản ta có hệ phương trình như sau:            gM u C u K K u P        (3.63) Với [C] là ma trận cản như đã được trình bày trong Chương 2. Khi không kể đến cản và tải trọng ngoài, ta có hệ phương trình dao động t do:         gM u K K u 0       (3.64) Áp đặt điều kiện biên và giải hệ phương trình (3.64) ta được tần số dao động riêng và các dạng dao động riêng của vỏ, trường hợp dao động cưỡng bức ta giải hệ phương trình (3.63) bằng phương pháp tích ph n tr c tiếp Newmark sẽ thu được các đáp ứng động của vỏ FGM trong môi trường nhiệt độ. 3.6. Xây dựng chƣơng t ình tính – Phƣơng pháp PTHH Trên cơ sở lý thuyết trình bày trong Chương 3, luận án đã viết 03 chương trình máy tính theo mô hình PTHH trên nền Matlab để th c hiện tính toán và khảo sát số, bao gồm: o Chương trình ShellpanelStatic(PTHH): Tính toán độ võng và ứng suất của vỏ thoải FGM hai độ cong chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ. o Chương trình ShellpanelVibration(PTHH): Tính toán tần số và dạng dao động riêng của vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt. o Chương trình ShellpanelForcedvibration(PTHH): Tính toán, ph n tích đáp ứng động của vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt độ. Lưu đồ các bước th c hiện các chương trình trên được trình bày trên các Hình 3.5, Hình 3.6 và Hình 3.7 trong luận án. Như vậy, trong Chương 3 này, luận án đã x y d ng được mô hình phần tử hữu hạn để ph n tích kết cấu vỏ FGM trong môi trường nhiệt độ:  Mô hình phần tử hữu hạn của luận án cho phép tính toán với những kết cấu vỏ có hình dạng khác nhau (mặt vỏ được mô tả bởi một hàm toán học).  ét đến s thay đổi cơ tính và ứng suất ban đầu do nhiệt độ gây ra ảnh hưởng đến ứng xử động của vỏ FGM.  Các chương trình máy tính tính toán độ võng, ứng suất, tần số và dạng dao động riêng, đáp ứng động của vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt cũng đã được thiết lập. 13 Chương tiếp theo, luận án sẽ tiến hành các khảo sát số và rút ra những nhận xét kết luận. Luận án đã có một số công bố liên quan đến nội dung chương này bao gồm: (3), (5), (8) (trong “Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến đề tài luận án”). CHƢƠNG 4 KẾT QUẢ SỐ 4.1. Mở đầu Chương 2 và Chương 3 luận án đã thiết lập mô hình giải tích và mô hình PTHH để ph n tích bài toán tĩnh, bài toán dao động t do và bài toán dao động cưỡng bức của vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt độ. Trong chương này, luận án sẽ sử dụng các chương trình máy tính đã x y d ng để kiểm chứng độ tin cậy của cả hai mô hình lý thuyết đã thiết lập, sau đó luận án sẽ tiến hành th c hiện các ví dụ khảo sát số và rút ra những nhận xét, kết luận. Mô hình PTHH của luận án thiết lập có thể tính được với nhiều loại vỏ có hình dạng khác nhau như đã trình bày ở Chương 3. Tuy nhiên, trong luận án sẽ tập trung khảo sát đối với một số loại vỏ như trong Bảng 4.1. Bảng 4.1. Phương trình bề mặt và dạng hình học một số loại vỏ khảo sát. Lo i vỏ Phƣơng t ình bề mặt Tham số Hình d ng Vỏ trụ (CYL) 2 x 2 y 1 a z x 2R 2 1 b y 2R 2               x yR ( R )  x 0 a  y 0 b  Vỏ cầu (SPH) 2 x 2 y 1 a z x 2R 2 1 b y 2R 2               x yR R 0 x 0 a  y 0 b  Vỏ yên ng a (HPR) 2 x 2 y 1 a z x 2R 2 1 b y 2R 2               x yR R 0 x 0 a  y 0 b  14 Vỏ hypar (HYP) 4c z xy ab  a a x 2 2    b b y 2 2    Vỏ conoid (CON)  l h l 2 x z 4 h H h a y y b b               x 0 a  y 0 b  Vỏ 6 (P6) 22 x y x y z k a k b              (kx = ky = 1.2) a a x 2 2    b b y 2 2    4.2. Ví dụ kiểm chứng Luận án th c hiện một số ví dụ kiểm chứng nhằm kiểm tra độ tin cậy của lời giải (Giải tích và PTHH) và chương trình máy tính mà luận án đã x y d ng. Đối với chương trình PTHH, luận án cũng đã th c hiện kiểm tra tính hội tụ của chương trình và l a chọn lưới chia là 14 x 14 phần tử để th c hiện các tính toán khảo sát trong các ví dụ. Vật liệu được sử dụng có cơ tính như trong Bảng 4.2 của luận án.  Các kết quả kiểm chứng bao gồm: - Độ võng của vỏ FGM (Al/ZrO2) hai độ cong chịu tải trọng ph n bố đều được so sánh với kết quả tính của Kiani và cộng s [56] (Ví dụ KC1). - Độ võng của vỏ FGM (Al/ZrO2) chịu tải trọng nhiệt độ được so sánh với kết quả công bố của Kar và Panda [55] (Ví dụ KC2). - Tần số dao động riêng của vỏ cầu FGM (Si3N4/SUS304) có cơ tính vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ (tính theo cách tiếp cận thứ nhất) được so sánh với kết quả do Shen và cộng s [93] (Ví dụ KC3). - Tần số dao động riêng của tấm FGM (Si3N4/SUS304) có cơ tính vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ và có kể đến biến dạng và ứng suất ban đầu do nhiệt độ g y ra (tính theo cách tiếp cận thứ hai) được so sánh với kết quả của Li và cộng s [58] (Ví dụ KC4). - Đáp ứng chuyển vị của tấm FGM (Al/ZrO2) được so sánh với kết quả được Reddy công bố trong [85] (Ví dụ KC5). Kết quả kiểm chứng khẳng định độ tin cậy của lời giải mà luận án đã x y d ng. 15 4.2.1. Ví dụ KC1 - Độ võng của vỏ FGM hai độ cong chịu tải trọng cơ học Bảng 4.3. Độ võng 2w của vỏ FGM hai độ cong chịu tải trọng cơ học Tỉ số (a/b; Rx/a; Ry/b; a/h) Mô hình Chỉ số tỉ lệ thể tích p p = 0 p = 0.5 p = 1.0 p = 2.0 p = 10 (1; 5; 10; 5) Kiani và cộng s [56] 0.6107 0.7756 0.8689 0.9559 1.1133 Luận án (GT) 0.6118 0.7769 0.8704 0.9575 1.1152 Luận án (PTHH) 0.6079 0.7686 0.8596 0.9449 1.1038 Sai lệch (%) 0.46 0.90 1.07 1.15 0.85 (0.5; -5; 5; 5) Kiani và cộng s [56] 1.4216 1.8016 2.0148 2.2102 2.5707 Luận án (GT) 1.4595 1.8516 2.0704 2.2688 2.6337 Luận án (PTHH) 1.4355 1.8294 2.0493 2.2476 2.6008 Sai lệch (%) 2.60 2.70 2.69 2.58 2.39 4.2.2. Ví dụ KC2 – Độ võng của vỏ trụ FGM chịu tải trọng nhiệt độ Bảng 4.4. Độ võng không thứ nguyên w của vỏ trụ FGM chịu tải trọng nhiệt độ Nhiệt độ Mô hình ΔT = 100 K ΔT = 200 K ΔT = 300 K Kar và Panda [55] 0.0048 0.0096 0.0144 Luận án (GT) 0.0048 0.0097 0.0145 Luận án (PTHH) 0.0048 0.0097 0.0145 Sai lệch (%)* 0.00 0.01 0.00 4.2.3. Ví dụ KC3 - Tần số dao động riêng của vỏ FGM hai độ cong Bảng 4.5. Tần số dao động riêng không thứ nguyên 1 của vỏ FGM hai độ cong bốn biên t a khớp với các (m, n) khác nhau. Nhiệt độ Mô hình (m, n) (1, 1) (1, 2) (2, 1) (2, 2) Tc=400 K, Tm = 400 K Shen và cộng s [93] 6.7887 16.6717 16.6605 25.7837 Luận án (GT) 6.9053 16.5319 16.5096 25.5378 Luận án (PTHH) 6.9080 16.5120 16.5377 25.5404 Sai lệch (GT) (%) 1.69 0.85 0.91 0.96 Sai lệch (PTHH) (%) 1.73 0.97 0.74 0.95 Tc=500 K, Tm = 300 K Shen và cộng s [93] 6.8414 16.7251 16.7137 25.8402 Luận án (GT) 6.8990 16.5170 16.4947 25.5148 Luận án (PTHH) 6.9018 16.4971 16.5228 25.5174 Sai lệch (GT) (%) 0.83 1.26 1.33 1.28 Sai lệch (PTHH) (%) 0.88 1.38 1.16 1.27 4.2.4. Ví dụ KC4 - Tần số dao động riêng của tấm FGM Bảng 4.6. Tần số * tấm chữ nhật bốn biên t a khớp chịu tải trọng nhiệt độ (Quy luật truyền nhiệt tuyến tính theo chiều dày). Mô hình Tần số dao động iêng ω1 ω2 ω3 ω4 ω5 ω6 ω7 Li và cộng s [58] 2.3252 5.9048 5.9048 9.3967 11.7208 11.7324 15.0783 Luận án (GT) 2.4566 6.0432 6.0432 9.5263 11.7947 11.7947 15.1219 16 Luận án (PTHH) 2.4606 6.0680 6.0703 9.5852 11.8928 11.9043 15.2686 Sai lệch GT (%) 5.35 2.29 2.29 1.36 0.63 0.53 0.29 Sai lệch PTHH (%) 5.50 2.69 2.73 1.97 1.45 1.44 1.25 4.2.5. Ví dụ KC5 - Đáp ứng chuyển vị của tấm FGM Hình 4.1. Đáp ứng chuyển vị tại điểm chính giữa tấm FGM (a/2, b/2) 4.3. Bài toán tĩnh Trong phần này, luận án khảo sát ảnh hưởng của chỉ số tỷ lệ thể tích p, tỷ số a/h, quy luật truyền nhiệt theo chiều dày và điều kiện biên đến độ võng và ứng suất của các loại vỏ FGM kể trên (như trong Bảng 4.1). 4.3.1. Ví dụ 4.1 - Ảnh hưởng của chỉ số tỷ lệ thể tích p a. Ảnh hưởng của chỉ số tỉ lệ thể tích p đến độ võng Hình 4.2. Ảnh hưởng của chỉ số tỉ lệ thể tích p đến độ võng tại t m vỏ Nhận xét: Khi p = 0 (toàn bộ vỏ là gốm) các vỏ trụ (CYL), cầu (SPH), yên ng a (HPR) và hypar (HYP) bị vồng lên lớn nhất sau đó độ vồng giảm dần theo chiều tăng của chỉ số p; trong