Tóm tắt Luận án Bài toán biên ban đầu đối với phương trình Parabilic trong miền trụ với đấy không trơn - Nguyễn Thành Anh

à Γ = S∞ = S ì [0,+∞). Giả sử L = L(x, t, ∂x) = m∑ |α|,|β|=0 (−1)|α|∂αx (aαβ(x, t) ∂βx ) (1.1) là một toỏn tử vi phõn bậc 2m tự liờn hợp hỡnh thức. Giả sử Bj = Bj(x, t, ∂x) = ∑ |α|6àj bjα(x, t)∂αx , j = 1, . . . ,m, (1.2) là một hệ của cỏc toỏn tử (vi phõn) biờn trờn ST . Ta giả sử ordBj = àj 6 m − 1 với j = 1, . . . , J, và m 6 ordBj = àj 6 2m − 1 với j = J + 1, . . . ,m, và giả thiết rằng cỏc hệ số của Bj khụng phụ thuộc t nếu ordBj < m. Giả thiết rằng cỏc hệ số của cỏc toỏn tử L và Bj cú đạo hàm mọi cấp bị chặn trờn GT . Giả sử rằng {Bj(x, t, ∂x)}mj=1 là một hệ chuẩn tắc trờn ST và đẳng thức tớch phõn sau B(t, u, v) = ∫ G Luvdx+ J∑ j=1 ∫ S ΦjuBjvds+ m∑ j=J+1 ∫ S BjuΦjvds 5đỳng với mọi u, v ∈ C∞(G) và hầu khắp t ∈ [0, T ], trong đú Φj , j = 1, . . . ,m, cỏc toỏn tử biờn trờn S và B(t, u, v) = m∑ |α|,|β|=0 ∫ G aαβ(., t) ∂βxu∂αx vdx. Ta kớ hiệu HmB (G) = { u ∈Wm2 (G) : Bju = 0 trờn S với j = 1, . . . , J } với chuẩn vốn cú trong Wm2 (G). Bởi H −m B (G) ta kớ hiệu khụng gian đối ngẫu của HmB (G). Ta viết 〈., .〉 để kớ hiệu dạng đối ngẫu giữa HmB (G) và H −m B (G), và (., .) để kớ hiệu tớch vụ hướng trong L2(G). Trong luận ỏn này ta giả thiết B(t, u, v) là HmB (G)−elliptic đều theo t ∈ [0, T ], nghĩa là, bất đẳng thức B(t, u, u) > %0‖u‖2Wm2 (G) đỳng với mọi u ∈ HmB (G) và mọi t ∈ [0, T ]. Giả sửX,Y là cỏc khụng gian Banach. Ta kớ hiệu bởiW 12 (0, T ;X,Y ) khụng gian bao gồm cỏc hàm u ∈ L2(0, T ;X) sao cho đạo hàm suy rộng ut = u′ tồn tại và thuộc L2(0, T ;Y ). Chuẩn trongW 12 (0, T ;X,Y ) xỏc định bởi ‖u‖W 12 (0,T ;X,Y ) = (‖u‖2L2(0,T ;X) +‖ut‖2L2(0,T ;Y )) 12 . Để cỏc kớ hiệu được ngắn gọn, ta đặt H l,0(GT ) = L2(0, T ;W l2(G)), H l,1(GT ) = W 12 (0, T ;W l 2(G), L2(G)), Hm,0B (GT ) = L2(0, T ;H m B (G)), H m,1 B (GT ) = W 1 2 (0, T ;H m B (G), L2(G)), H−m,0B (GT ) = L2(0, T ;H −m B (G)), H−m,1B (GT ) = W 1 2 (0, T ;H −m B (G), L2(G)), H m,1 B (GT ) = W 1 2 (0, T ;H m B (G), H −m B (G)), H −m,1 B (GT ) = W 1 2 (0, T ;H −m B (G), H −m B (G)). Trong luận ỏn này chỳng tụi nghiờn cứu trong luận này là bài toỏn biờn ban đầu đối với phương trỡnh parabolic sau ut+Lu =f trong GT , (1.3) Bju =0, trờn ST , j = 1, . . . ,m, (1.4) u|t=0=φ trờn G. (1.5) 6Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f ∈ H−m,0B (GT ), φ ∈ L2(G). Hàm u ∈ H m,1 B (Q) gọi là nghiệm suy rộng của bài toỏn (1.3)- (1.5) nếu u(., 0) = φ và đẳng thức 〈ut, v〉+B(t, u, v) = 〈f(., t), v〉 (1.6) đỳng với hầu khắp t ∈ (0, T ) và mọi v ∈ HmB (G). 1.2 Tớnh giải được duy nhất của bài toỏn Trong bài này chỳng tụi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng của bài toỏn (1.3)- (1.5). Sự duy nhất nghiệm được chứng minh bằng phương phỏp đỏnh giỏ năng lượng. Cũn sự tồn tại được chứng minh bằng phương phỏp Galerkin. Bổ đề 1.2.1 Giả sử F (t, ., .) là một dạng song tuyến tớnh trờn HmB (G) ìHmB (G) thỏa món |F (t, v, w)| 6 C‖v‖HmB (G)‖w‖HmB (G) (C = const ) với mọi t ∈ [0,+∞) và v, w ∈ HmB (G), và F (., v, w) là đo được [0,+∞) với mỗi cặp v, w ∈ HmB (G). Giả sử u ∈ Hm,1B (Q) thỏa u(., 0) = 0 và 〈ut(., t), v(., t)〉+B(t, u(., t), v(., t)) = ∫ t 0 F (θ, u(., θ), v(., t))dθ với hầu khắp nơi t ∈ [0,+∞) và mọi hàm v xỏc định trờn Q, v ∈ Hm,0B (Gτ ) với τ là số dương bất kỡ. Khi đú u ≡ 0 trờn Q. Định lớ 1.2.2 Nếu f ∈ H−m,0B (Q), φ ∈ L2(G) thỡ bài toỏn (1.3)- (1.5) tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng u ∈ Hm,1B (Q) thỏa món ‖u‖2 Hm,1B (Q) 6 C (‖φ‖2L2(G) + ‖f‖2H−m,0B (Q)), (1.7) trong đú C là hằng số khụng phụ thuộc φ, f và u. Chương 2 TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM Mục đớch chớnh của chương này là nghiờn cứu tớnh chớnh quy của nghiệm suy rộng của bài toỏn theo biến thời gian trong khụng gian 7Hm,1B (Q) và tớnh chớnh quy theo cỏc biến khụng gian và thời gian trong cỏc khụng gian Sobolev cú trọng. Tớnh chớnh quy theo biến thời gian được chứng minh bằng cỏch kết hợp cỏc kết quả về tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng của bài toỏn, phương phỏp xấp xỉ Galerkin trờn cựng với phương phỏp quy nạp toỏn học. Để xột chớnh quy theo cỏc biến khụng gian và thời gian trong cỏc khụng gian Sobolev cú trọng, phương phỏp chớnh là chuyển số hạng chứa đạo hàm theo biến thời gian của ẩn hàm sang vế phải và coi bài toỏn nhận được như là bài toỏn biờn elliptic phụ thuộc tham số. Sau đú sử dụng cỏc kết quả về tớnh chớnh quy của nghiệm của bài toỏn elliptic trong miền với biờn chứa điểm nún và kết quả về tớnh chớnh quy của nghiệm suy rộng theo biến thời gian của chương trước để nhận được cỏc kết quả mong muốn. Kết quả chớnh của chương này là Định lớ 2.2.3, Định lớ 2.3.4 và Định lớ 2.3.6. Nội dung chớnh của chương này được viết dựa theo phần sau của cỏc bài bỏo số 1, 2, 3 trong danh mục cỏc cụng trỡnh của tỏc giả. 2.1 Đại cương Kớ hiệu bởi V l2,γ(G), W l 2,γ(G) (γ ∈ R) cỏc khụng gian Sobolev cú trọng với cỏc chuẩn ‖u‖V l2,γ(G) = ( ∑ |α|6l ∫ G r 2(γ+|α|−l)|∂αxu|2dx ) 1 2 , ‖u‖W l2,γ(G) = ( ∑ |α|6l ∫ G r 2γ |∂αxu|2dx ) 1 2 . Nếu l > 1, V l− 1 2 2,γ (S),W l− 1 2 2,γ (S) kớ hiệu lần lượt cỏc khụng gian vết của hàm thuộc V l2,γ(G),W l 2,γ(G) trờn biờn S. Bởi W h2 ((0, T );X) ta kớ hiệu khụng gian Sobolev của cỏc hàm nhận giỏ trị trong khụng gian Banach X xỏc định trờn (0, T ) với chuẩn ‖f‖Wh2 ((0,T );X) = ( h∑ k=0 ∫ T 0 ‖d kf(t) dtk ‖2Xdt ) 1 2 . Để cỏc kớ hiệu ngắn gọn, ta đặt W h2 ((0, T )) = W h 2 ((0, T );C),W l,h 2 (ΩT ) = W h 2 ((0, T );W l 2(Ω)), V l,h2,γ (GT ) = W h 2 ((0, T );V l 2,γ(G)), V l− 1 2 ,h 2,γ (ST ) = W h 2 ((0, T );V l− 1 2 2,γ (∂G)), W l,h2,γ(GT ) = W h 2 ((0, T );W l 2,γ(G)),W l− 1 2 ,h 2,γ (ST ) = W h 2 ((0, T );W l− 1 2 2,γ (∂G)). 8Cuối cựng kớ hiệu bởiW2ml,l2,γ (GT ),W 2ml,l 2,γ (GT ) (γ ∈ R) cỏc khụng gian Sobolev cú trọng, ‖u‖ W2ml,l2,γ (GT ) = ∫ GT ( ∑ |α|+2mk62ml k<l r2γ−2km|∂αxutk |2 + l∑ k=0 |utk |2 ) dxdt  1 2 , ‖u‖ W2ml,l2,γ (GT ) = ∫ GT ( ∑ |α|+2mk62ml r2γ |∂αxutk |2 + l∑ k=0 |utk |2 ) dxdt  12 . 2.2 Tớnh chớnh quy của nghiệm theo biến thời gian Bổ đề 2.2.1 Giả sử φ ∈ HmB (G) và f ∈ L2(Q). Khi đú nghiệm suy rộng u trong Hm,1B (Q) của bài toỏn (1.3)- (1.5) thực tế thuộc H m,1 B (Q) và bất đẳng thức sau ‖u‖2 Hm,1B (Q) 6 C (‖φ‖2HmB (G) + ‖f‖2L2(Q)) (2.1) đỳng với hằng số C khụng phụ thuộc g, f, và u. Bổ đề 2.2.2 Giả sử φ ∈ HmB (G) và f ∈ H−m,1B (Q). Khi đú nghiệm suy rộng u trong Hm,1B (Q) của bài toỏn (1.3)- (1.5) thực tế thuộc Hm,1B (Q) và bất đẳng thức sau ‖u‖2 Hm,1B (Q) 6 C (‖φ‖2HmB (G) + ‖f‖2H−m,1B (Q)) (2.2) đỳng với hằng số C khụng phụ thuộc g, f, và u. Giả sử φ ∈ W (2h+1)m2,loc (G), f ∈ W2hm,h2,loc (Q), trong đú h một số nguyờn dương. Ta đặt φ0 := φ, φ1 := f(., 0)−L(x, 0, ∂x)φ0, . . . , φh := fth−1(., 0)− ∑h−1 k=0 ( h−1 k ) Lth−1−k(x, 0, ∂x)φk. Ta núi điều kiện phự hợp 9bậc h đối với bài toỏn (1.3)-(1.5) thỏa món nếu cỏc hàm φ0, . . . , φh−1 thuộc W 2m2,loc(G) và s∑ k=0 ( s k ) (Bj)ts−k(x, 0, ∂x)φk|S = 0, s = 0, . . . , h− 1, j = 1, . . . ,m. Định lớ 2.2.3 Giả sử h là một số nguyờn khụng õm. Giả sử φ ∈ W (2h+1)m 2,loc (G), f ∈W2hm,h2,loc (Q) sao cho φk ∈Wm2 (G), ftk ∈ L2(Q) với k = 0, . . . , h và, nếu h > 1, điều kiện phự hợp bậc h đối với bài toỏn (1.3)- (1.5) thỏa món. Khi đú nghiệm suy rộng u ∈ Hm,1B (Q) của bài toỏn (1.3)- (1.5) thỏa món utk ∈ Hm,1B (Q) với k = 0, . . . , h, và h∑ k=0 ‖utk‖2Hm,1B (Q) 6 C h∑ k=0 ( ‖φk‖2Wm2 (G) + ‖ftk‖ 2 L2(Q) ) , (2.3) trong đú C là hằng số khụng phụ thuộc vào u, f, φ. 2.3 Tớnh chớnh quy của nghiệm trong khụng gian Sobolev cú trọng Trong mục này chỳng tụi sẽ thiết lập định lớ về tớnh chớnh quy của nghiệm suy rộng của bài toỏn trong khụng gian cú trọng W2ml,l2,γ (Q). Trước hết chỳng tụi đưa ra một số bổ đề bổ trợ. Bổ đề 2.3.1 Giả sử u ∈ W l2,γ(G) với 0 < γ + n 2 6 l. Khi đú với số nguyờn bất kỡ k > 0, u cú thể viết được u = v + w, trong đú v ∈ V l2,γ(G) và w ∈W l+k2,γ+k(G), hơn nữa, ‖v‖2 V l2,γ(G) + ‖w‖2 W l+k2,γ+k(G) 6 C‖u‖2 W l2,γ(G) (2.4) với hằng số C khụng phụ thuộc u. Hơn nữa, nếu giả thiết thờm rằng u|S ∈ V l−q− 1 2 2,γ−q (S), q là một số nguyờn bộ hơn l, l > 1, thỡ u|S ∈ V l− 1 2 2,γ (S). 10 Bổ đề 2.3.2 Giả sử u ∈Wm2 (G) ∩W 2m2,loc(G) là một nghiệm của bài toỏn L(x, t0, ∂x)u = f trong G, (2.5) Bj(x, t0, ∂x)u = gj trờn S, j = 1, . . . ,m. (2.6) với f ∈W 02,m(G), gj ∈W 2m−àj− 12 2,m (S) Khi đú u ∈W 2mm (G) và ‖u‖2W 2mm (G) 6 C (‖f‖2W 02,m(G) + m∑ j=1 ‖gj‖ W 2m−àj− 12 2,m (S) + ‖u‖2Wm2 (G) ) , trong đú hằng số C là khụng phụ thuộc u, f và t0. Bổ đề 2.3.3 Giả sử l, s là cỏc số nguyờn khụng õm, l > 2m, và γ là một số thực. Giả sử u ∈W l,02,γ(Q) là nghiệm của bài toỏn sau L(x, t, ∂x)u = f trong Q, (2.7) Bj(x, t, ∂x)u = gj trờn Γ, j = 1, . . . ,m. (2.8) Khi đú nếu f ∈W l−2m+s,02,γ+s (Q), g ∈W l−àj− 12+s,0 2,γ+s (Γ) thỡ u ∈W l+s,02,γ+s(G) và ‖u‖2 W l+s,02,γ+s(G) 6 C (‖f‖2 W l−2m+s,02,γ+s (Q) + ‖g‖2 W l−àj− 12+s,0 2,γ+s (Γ) + ‖u‖2 W l,02,γ (G) ) với hằng số C khụng phụ thuộc u, f, g. Bõy giờ là lỳc chỳng tụi đưa ra định lớ chớnh của mục này. Định lớ 2.3.4 Giả sử h là một số nguyờn khụng õm và cỏc giả thiết của Định lớ 2.2.3 thỏa món. Giả thiết thờm rằng f ∈W2hm,h2,(2h+1)m(Q). Khi đú nghiệm suy rộng u ∈ Hm,1(Q) của bài toỏn (1.3)- (1.5) thuộc W (2h+2)m,h+1 2,(2h+1)m (Q). Hơn nữa ta cú đỏnh giỏ ‖u‖2 W (2h+2)m,h+1 2,(2h+1)m (Q) 6 C ( h∑ k=0 ‖φk‖2Wm2 (G) + ‖f‖ 2 W2hm,h 2,(2h+1)m (Q) ) , trong đú C là hằng số khụng phụ thuộc u, f, φ. 11 Trong phần cũn lại của mục này chỳng tụi sẽ thiết lập định lớ về tớnh chớnh quy của nghiệm suy rộng của bài toỏn trong khụng gian cú trọng W2ml,l2,γ (Q). Những kết quả này là mạnh hơn so với những kết quả của mục trước. Tuy nhiờn, chỳng chỉ đạt được nhờ giả thiết về phổ của bú toỏn tử tương ứng với bài toỏn. Trước hết ta giới thiệu về bú toỏn tử tương ứng với bài toỏn. Giả sử L = L(t, ∂x),Bj = Bj(t, ∂x) phần chớnh của L(x, t, ∂x),Bj(x, t, ∂x) tại x = 0. Bởi vậy ta cú thể viết L(t, ∂x),Bj(t, ∂x) dưới dạng L(t, ∂x) = r−2mL (ω, t, ∂ω, r∂r),Bj(t, ∂x) = r−àjBj(ω, t, ∂ω, r∂r). Ta đặt U (λ, t) = (L (ω, t, ∂ω, λ),Bj(ω, t, ∂ω, λ)) với λ ∈ C, t ∈ [0, T ] và gọi là bú toỏn tử tương ứng với bài toỏn (1.3)-(1.5). Bổ đề 2.3.5 Giả sử u ∈W l,02,γ(Q) là một nghiệm của bài toỏn L(x, t, ∂x)u = f trong Q (2.9) Bj(x, t, ∂x)u = gj trờn Γ,j = 1, . . . ,m, (2.10) trong đú f ∈ W k−2m,02,δ (Q), gj ∈ W k−àj− 12 ,0 2,δ (Γ), l, k là một số nguyờn > 2m, k − δ > l − γ, γ + n 2 /∈ {1, . . . , l}, δ + n 2 /∈ {1, . . . , k}. Giả sử dải −γ + l − n 2 6 Reλ 6 −δ + k − n 2 khụng chứa giỏ trị riờng nào của U (λ, t) với mọi t ∈ (0,+∞). Khi đú u ∈W k,02,δ (Q) và ‖u‖2 Wk,02,δ (Q) 6 C (‖f‖2 Wk−2m,02,δ (Q) + m∑ j=1 ‖gj‖2 W k−àj− 12 ,0 2,δ (Γ) + ‖u‖2 W l,02,γ(Q) ) (2.11) với hằng số C khụng phụ thuộc u, f, gj. Sau đõy là định lớ chớnh của mục này. Định lớ 2.3.6 Giả sử h là một số nguyờn khụng õm và cỏc giả thiết của Định lớ 2.2.3 thỏa món. Giả thiết thờm rằng 0 6 γ 6 m, γ+ n 2 /∈ {1, . . . , 2(h+ 1)m} và f ∈W2hm,h2,γ (Q). Hơn nữa giả sử dải m− n 2 6 12 Reλ 6 −γ+ 2hm+ 2m− n 2 khụng chứa giỏ trị riờng nào của U(λ, t) với mọi t ∈ (0,+∞). Khi đú nghiệm suy rộng u ∈ Hm,1(Q) của bài toỏn (1.3)- (1.5) thuộc W2(h+1)m,h+12,γ (Q) và ‖u‖2 W 2(h+1)m,h+1 2,γ (Q) 6 C ( h∑ k=0 ‖φk‖2Wm2 (G) + ‖f‖ 2 W2hm,h2,γ (Q) ) , (2.12) trong đú C là hằng số khụng phụ thuộc vào u, f, φ. Chương 3 BIỂU DIỄN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Mục đớch chớnh của chương này là nghiờn cứu dỏng điệu tiệm cận nghiệm suy rộng trong lõn cận của điểm nún. Phương phỏp chớnh dựng để nghiờn cứu là sử dụng cỏc kết quả về nhiễu giải tớch của cỏc toỏn tử tuyến tớnh, tuyến tớnh húa cỏc bú toỏn tử phụ thuộc đa thức và cỏc kết quả về biểu diễn của nghiệm của bài toỏn elliptic trong lõn cận của điểm nún. Kết quả chớnh của chương này là Định lớ 3.3.3 và Định lớ 3.3.4. Để đạt được cỏc kết quả này, Định lớ 3.2.5 và Bổ đề 3.3.1 là những kết quả quan trọng. Nội dung chớnh của chương này được viết dựa theo cụng trỡnh số 5, riờng hai mục 3.4, 3.5 chỳng tụi dựa theo cụng trỡnh số 4 trong danh mục cỏc cụng trỡnh của tỏc giả. 3.1 Đại cương Giả sử X,Y là cỏc khụng gian Banach. Ta xột bú toỏn tử U (λ) = l∑ j=0 Ajλ j (3.1) trong đú Aj ∈ L(X,Y ), j = 0, . . . , l, λ ∈ C. Nếu λ0 ∈ C, ϕ0 ∈ X sao cho ϕ0 6= 0,U (λ0)ϕ0 = 0, thỡ λ0 được gọi là một giỏ trị riờng của U (λ) và ϕ0 ∈ X được gọi là một vectơ riờng tương ứng với λ0. Λ = dim kerU (λ0) được gọi là bội hỡnh học của giỏ trị riờng λ0. Hạng của vectơ riờng ϕ0, kớ hiệu bởi rankϕ0, là độ dài cực đại của 13 cỏc xớch Jordan tương ứng với vectơ riờng ϕ0. Tổng cỏc hạng của một hệ cỏc vectơ riờng tạo thành một cơ sở của kerU (λ0) gọi là bội đại số (hay gọi ngắn gọn là bội) của giỏ trị riờng λ0. Một giỏ trị riờng cú bội đại số bằng bội hỡnh học (cỏc bội riờng đều bằng 1) thỡ gọi là giỏ trị riờng bỏn đơn (semi-simple). Một giỏ trị riờng bỏn đơn thỡ chỉ cú cỏc vectơ riờng mà khụng cú vectơ riờng suy rộng tương ứng với nú. Giả sử A ∈ L(X). Cỏc khỏi niệm giới thiệu ở trờn (giỏ trị riờng, vectơ riờng, vectơ suy rộng, bội hỡnh học, bội đại số, xớch Jordan, hệ chớnh tắc cỏc xớch Jordan) của bú toỏn tử λI−A cũn được gọi là của toỏn tử A. Kớ hiệu bởi Ca([0, T ];X) tập cỏc hàm giỏ trị trong X xỏc định và giải tớch trờn [0, T ]. Ta núi rằng f ∈ C∞,a(DT ) nếu f ∈ Ca([0, T ];C l(D)) với mọi số nguyờn khụng õm l. Trong chương này, chỳng tụi giả thiết thờm rằng: cỏc hệ số của toỏn tử L(x, t, ∂x) thuộc lớp C∞,a(GT ) và cỏc hệ số của cỏc toỏn tử biờn Bj = Bj(x, t, ∂x) thuộc lớp C∞,a(∂Gì [0, T ]). 3.2 Giỏ trị riờng và cỏc hàm riờng của bú toỏn tử tương ứng với bài toỏn Trong mục này chỳng tụi sẽ nghiờn cứu tớnh trơn theo t của cỏc hàm giỏ trị riờng và cỏc hàm vectơ riờng của bú toỏn tử U (λ, t). Định nghĩa 3.2.1 Một hàm giỏ trị phức λ(t) xỏc định và liờn tục trờn một khoảng con R nào đú của [0, T ] sao cho λ(t) là giỏ trị riờng của toỏn tử A(t) với mọi t ∈ R được gọi là một hàm giỏ trị riờng của họ toỏn tử A(t). Hàm giỏ trị riờng λ(t) được gọi là cú bội khụng đổi nếu cỏc bội hỡnh học, bội riờng và bội đại số của λ(t1) và λ(t2) tương ứng bằng nhau với mọi t1, t2 ∈ R. Khi đú bội của λ(t1) cũng được gọi là bội của hàm giỏ trị riờng λ(t). Hàm giỏ trị riờng λ(t) được gọi là bỏn đơn (tương ứng, đơn) nếu λ(t) là giỏ trị riờng bỏn đơn (tương ứng, đơn) của toỏn tử A(t) với mỗi t ∈ R. Định nghĩa 3.2.2 Giả sử λ(t) là một hàm giỏ trị riờng của họ toỏn tử A(t) xỏc định trờn R ⊂ [0, T ]. Một hàm ϕ(t) xỏc định trờn R nhận 14 giỏ trị trong X được gọi là một hàm vectơ riờng của họ toỏn tử A(t) tương ứng với hàm giỏ trị riờng λ(t) nếu, với mỗi t ∈ R, ϕ(t) là vectơ riờng của toỏn tử A(t) tương ứng với giỏ trị riờng λ(t). Định nghĩa 3.2.3 Giả sử λ(t) là một hàm giỏ trị riờng của họ toỏn tử A(t) xỏc định trờn R ⊂ [0, T ]. Một hệ ϕ1(t), . . . , ϕΛ(t) cỏc hàm xỏc định trờn R nhận giỏ trị trong X được gọi là một hệ chớnh tắc cỏc hàm vectơ riờng của họ toỏn tử A(t) tương ứng với hàm giỏ trị riờng λ(t) nếu với mỗi t ∈ [0, T ], {ϕ1(t), . . . , ϕΛ(t)} là một hệ chớnh tắc cỏc vectơ riờng của toỏn tử A(t) tương ứng với giỏ trị riờng λ(t). Bằng cỏch thay họ toỏn tử A(t) bởi bú toỏn tử U (λ, t), ta cú cỏc khỏi niệm hàm giỏ trị riờng, tớnh đơn, bỏn đơn và tớnh bội khụng đổi của hàm giỏ trị riờng, khỏi niệm hàm vectơ riờng và hệ chớnh tắc cỏc hàm vectơ riờng của bú toỏn tử U (λ, t). Bổ đề 3.2.4 Giả sử A(t) ∈ Ca([0, T ];L(X)). Giả sử D0 là một miền con liờn thụng trong C sao cho với mỗi t ∈ [0, T ], ∂D0 ∩ ρ(A(t)) = ∅ và D0 ∩ ρ(A(t)) là tập hữu hạn cỏc giỏ trị riờng cú bội hữu hạn của A(t). Khi đú: (i) Tồn tại cỏc hàm giỏ trị phức λk(t), k = 1, . . . , N , liờn tục trờn [0, T ] sao cho {λ1(t), . . . , λN (t)} là tập tất cả cỏc giỏ trị riờng của toỏn tử A(t) trong D0 với mọi t ∈ [0, T ] (Nghĩa là cỏc giỏ trị riờng của họ toỏn tử A (t) cú thể sắp xếp để trở thành N hàm giỏ trị riờng xỏc định trờn toàn đoạn [0, T ]). (ii) Nếu giả thiết thờm rằng cỏc hàm giỏ trị riờng trờn cú đồ thị khụng cắt nhau từng đụi một (điều này tương đương với mỗi hàm giỏ trị riờng đú cú bội khụng đổi) thỡ cỏc hàm này giải tớch trờn [0, T ]. (iii) Nếu giả thiết thờm nữa rằng cỏc hàm giỏ trị riờng trờn là bỏn đơn thỡ tồn tại một hệ chớnh tắc cỏc hàm vectơ riờng ϕkj(t), j = 1, . . . ,Λk, của họ toỏn tử A(t) tương ứng với hàm giỏ trị riờng λk(t) (k = 1, . . . , N) gồm cỏc hàm thuộc Ca([0, T ], X). Định lớ sau đõy là quan trọng để thiết lập tớnh trơn theo thời gian của cỏc hàm trong biểu diễn của nghiệm sau này. Định lớ 3.2.5 Giả sử γ1, γ2 là cỏc số thực, γ1 < γ2, sao cho trờn cỏc đường Reλ = γj, j = 1, 2, khụng chứa giỏ trị riờng nào của bú toỏn 15 tử U (λ, t) với mọi t ∈ [0, T ] và dải D1 := {λ ∈ C : γ1 < Reλ < γ2} (3.2) chứa ớt nhất một giỏ trị riờng của U (λ, t0) với t0 ∈ [0, T ] nào đú. Giả sử thờm rằng cỏc hàm giỏ trị riờng của bú toỏn tử U (λ, t) trong D1 cú bội khụng đổi và bỏn đơn. Khi đú tồn tại cỏc hàm số λk(t), k = 1, . . . , N , giải tớch trờn [0, T ] sao cho {λ1(t), . . . , λN (t)} là tập tất cả cỏc giỏ trị riờng của toỏn tử U (λ, t) trong dải D1. Hơn nữa, với mỗi k ∈ {1, . . . , N}, tồn tại một hệ chớnh tắc cỏc hàm vectơ riờng ϕkj(ω, t), j = 1, . . . ,Λk, của bú toỏn tử U (λ, t) tương ứng với giỏ trị riờng λk(t) gồm cỏc hàm thuộc lớp C∞,a(ΩT ). 3.3 Biểu diễn tiệm cận của nghiệm của bài toỏn trong lõn cận điểm nún Bổ đề 3.3.1 Giả sử u ∈ V l1,h2,γ1 (GT ) là một nghiệm của bài toỏn L(t, ∂x)u = f trong GT , (3.3) Bj(t, ∂x)u = gj trờn ST , j = 1, . . . ,m, (3.4) trong đú f ∈ V l2−2m,h2,γ2 (GT ), gj ∈ V l2−àj− 12 ,h 2,γ2 (ST ), l1, l2 > 2m, γ1 − l1 > γ2 − l2. Giả sử rằng cỏc đường Reλ = −γi + li − n2 (i = 1, 2) khụng chứa cỏc giỏ trị riờng của U (λ, t) với mọi t ∈ [0, T ], và cỏc hàm giỏ trị riờng nằm trong dải −γ1 + l1 − n2 < Reλ < −γ2 + l2 − n 2 của bú toỏn tử U (λ, t) là bỏn đơn và khụng giao nhau (hay cú bội khụng đổi). Khi đú cú một lõn cận V của gốc tọa độ của Rn sao cho trong VT nghiệm u cú biểu diễn u(x, t) = N∑ à=1 rλà(t) Λà∑ k=1 càk(t)ϕàk(ω, t) + w(x, t), (3.5) 16 trong đú w ∈ V l2,h2,γ2 (KT ), càk(t) ∈W h2 ((0, T )), λ1(t), . . . , λN (t) là cỏc hàm giỏ trị riờng của bú toỏn tử U (λ, t) xỏc định trờn [0, T ] như kết quả của Định lớ 3.2.5, Λà là bội của hàm giỏ trị riờng λà(t), ϕàk(ω, t), k = 1, . . . ,Λà, là một hệ chớnh tắc cỏc hàm vectơ riờng của bú toỏn tử U (λ, t) tương ứng với hàm giỏ trị riờng λà(t) gồm cỏc hàm thuộc C∞,a(ΩT ). Bổ đề 3.3.2 Giả sử f = rλ0(t)−2m s∑ σ=0 1 σ! (ln r)σfs−σ, (3.6) gj= rλ0(t)−àj s∑ σ=0 1 σ! (ln r)σgj,s−σ,j = 1, . . . ,m, (3.7) trong đú fσ ∈ W l−2m,h2 (ΩT ), gj,σ ∈ W l−àj− 12 ,h 2 (∂ΩT ), σ = 0, . . . , s, j = 1, . . . ,m. Giả sử rằng nếu λ0(t) là giỏ trị riờng của U (λ, t) với một t nào đú, thỡ nú là một hàm giỏ trị riờng bỏn đơn với bội khụng đổi của U (λ, t) xỏc định trờn [0, T ]. Khi đú cú một nghiệm u của bài toỏn (3.3), (3.4) cú dạng u = rλ0(t) s+κ∑ σ=0 1 σ! (ln r)σus+κ−σ (3.8) trong đú uσ ∈ W l,h2 (ΩT ), σ = 0, . . . , s + κ. Ở đõy κ = 1 hoặc κ = 0 tựy theo λ0(t) cú là một hàm giỏ trị riờng của U (λ, t) hay khụng. Định lớ 3.3.3 Giả sử u ∈ V l1,h2,γ1 (GT ) là một nghiệm của bài toỏn L(x, t, ∂x)u = f trong GT , (3.9) Bj(x, t, ∂x)u = gj trờn ST , j = 1, . . . ,m, (3.10) trong đú f ∈ V l2−2m,h2,γ2 (GT ), gj ∈ V l2−àj− 12 ,h 2,γ2 (ST ), l1, l2, h là cỏc số nguyờn khụng õm, l1, l2 > 2m, l1 − γ1 < l2 − γ2. Giả sử rằng cú cỏc số thực δ0, δ2, . . . , δM sao cho δ0 = γ1 + l2 − l1, δM = γ2, 0 < δd−1 − δd 6 1, d = 1, . . . ,M, 17 và cỏc đường Reλ = −δd + l2 − n2 , d = 0, . . . ,M, khụng chứa cỏc giỏ trị riờng của bú U (λ, t) với mọi t ∈ [0, T ], cũn cỏc hàm giỏ trị riờng nằm trong dải −δ0 + l2 − n2 < Reλ < −δM + l2 − n 2 của bú toỏn tử U (λ, t) đều bỏn đơn và khụng giao nhau (hay cú bội khụng đổi). Gọi λ1(t), λ2(t), . . . , λN (t) là cỏc hàm giỏ trị riờng xỏc định trờn [0, T ] của U (λ, t) nằm trong dải đú. Giả sử thờm rằng nếu λj(t0) = λk(t0) + s với j, k ∈ {1, . . . , N}, với số nguyờn s và t0 ∈ [0, T ], thỡ λj(t) = λk(t) + s với mọi t ∈ [0, T ]. Khi đú nghiệm u cú biểu diễn u = N∑ à=1 `à∑ τ=0 rλà(t)+τPà,τ (ln r) + w, (3.11) trong đú w ∈ V l2,h2,γ2 (GT ), Pà,τ là cỏc đa thức với cỏc hệ số thuộc W l2,h2 (ΩT ), `à là số nguyờn nhỏ nhất lớn hơn −γ2−λà(t)−1+ l2− n 2 với mọi t ∈ [0, T ]. Sau đõy là định lớ về biểu diễn tiệm cận của nghiệm của bài toỏn biờn ban đầu (1.3)-(1.5) trong lõn cận của điểm nún. Định lớ 3.3.4 Giả sử cỏc giả thiết của Định lớ 2.3.4 thỏa món và u ∈ Hm,1B (Q) là nghiệm suy rộng của bài toỏn (1.3)- (1.5). Giả thiết cú cỏc số thực δ0, δ2, . . . , δM sao cho δ0 > max(m, 2m− n2 ), δM > 0, 0 < δd−1 − δd 6 1, d = 1, . . . ,M, và cỏc đường Reλ = −δd + 2m− n2 , d = 0, . . . ,M, 18 khụng chứa cỏc giỏ trị riờng của bú U (λ, t) với mọi t ∈ [0, T ], cũn cỏc hàm giỏ trị riờng nằm trong dải −δ0 + 2m− n2 < Reλ < −δM + 2m− n 2 của bú toỏn tử U (λ, t) đều bỏn đơn và khụng giao nhau (hay cú bội khụng đổi). Gọi λ1(t), λ2(t), . . . , λN (t) là cỏc hàm giỏ trị riờng xỏc định trờn [0, T ] của U (λ, t) nằm trong dải đú. Giả thiết thờm rằng nếu λj(t0) = λk(t0) + s với j, k ∈ {1, . . . , N}, với số nguyờn s và t0 ∈ [0, T ], thỡ λj(t) = λk(t) + s với mọi t ∈ [0, T ]. Khi đú u cú biểu diễn u = N∑ à=1 `à∑ τ=0 rλà(t)+τPà,τ (ln r) + w, (3.12) trong đú w ∈ V 2m,h2,δM (GT ), Pà,τ là cỏc đa thức với cỏc hệ số thuộc W 2m,h2 (ΩT ), `à là số nguyờn nhỏ nhất lớn hơn −δM−λà(t)−1+2m− n 2 với mọi t ∈ [0, T ]. 3.4 Bài toỏn biờn mẫu cho toỏn tử cấp hai trong miền gúc Trong mục này chỳng tụi xột cỏc bài toỏn biờn mẫu cấp hai hai biến trong miền gúc; chỳng tương ứng với trường hợp toỏn tử L(x, t, ∂x) của bài toỏn biờn ban đầu (1.3)- (1.5) là toỏn tử cấp hai với hai biến khụng gian và miền G là một miền con bị chặn của R2 chứa điểm gúc. Chỳng tụi sẽ tớnh toỏn tường minh cỏc hàm giỏ trị riờng và cỏc hàm vectơ riờng của U (λ, t); từ đú khảo sỏt dễ dàng về bội của cỏc hàm giỏ trị riờng cũng như tớnh chớnh quy của cỏc hàm giỏ trị riờng và cỏc hàm vectơ riờng theo biến t. Bởi vậy, cú thể coi đõy cỏc vớ dụ minh họa cho cỏc kết quả tổng quỏt được trỡnh bày phớa trước. Xột miền gúc K = {x = (x1, x2) ∈ R2 : r > 0, 0 < ω < ω0}. Đặt S0 = {x ∈ R2 : r > 0, ω = 0}, S1 = {x ∈ R2 : r > 0, ω = ω0}, SjT = S j ì [0, T ], j = 0, 1. 19 Xột toỏn tử vi phõn L = L(t, ∂x) = −(∂x2−a(t)∂x1)(∂x2−a(t)∂x1), trong đú a(t) = (α(t) + iβ(t)), α(t), β(t) là cỏc hàm thực xỏc định trờn [0, T ], β(t) > %3 với mọi t ∈ [0, T ], trong đú %3 là hằng số dương nào đú. 3.4.1 Bài toỏn biờn Dirichlet Trong tiểu mục này ta xột bài toỏn biờn Dirichlet phụ thuộc tham số: L(t, ∂x)u = f trong KT , (3.13) u =gj trờn S j T ,j = 0, 1. (3.14) Mệnh đề 3.4.1 Giả sử hàm a(t) thuộc lớp Ch([0, T ]), trong đú h là một số tự nhiờn. Khi đú cỏc hàm giỏ trị riờng của bú toỏn tử U (λ, t) tương ứng với bài toỏn (3.13), (3.14) xỏc định bởi cụng thức λk(t) = kpi Imϑ(ω0, t) , k = ±1,±2, . . . ; cỏc hàm giỏ trị riờng này là đơn và thuộc lớp Ch([0, T ]). Cỏc hàm vectơ riờng tương ứng được cho bởi cụng thức ϕk(ω, t) = e kReϑ(ω,t)pi Imϑ(ω0,t) sin k Imϑ(ω,t)piImϑ(ω0,t) , k = ±1,±2, . . . ; chỳng là khả vi vụ hạn theo biến ω và khả vi liờn tục h lần theo biến t. Ở đõy Reϑ(ω, t) = 1 2 ln Z2j (ω, t) + 1 tan2(ω) + 1 + ln |β(t)|√ α2(t) + β2(t) và Imϑ(ω, t) =  arctanZ(ω, t)− arctan α(t) β(t) , ω ∈ (0, pi2 ], arctanZ(ω, t)− arctan α(t) β(t) + 2pi, ω ∈ (pi2 , 3pi2 ], arctanZ(ω, t)− arctan α(t) β(t) + 4pi, ω ∈ (3pi2 , 2pi), trong đú Z(ω, t) = α2(t) + β2(t) β(t) tanω + α(t) β(t) . 20 3.4.2 Bài toỏn biờn Neumann Trong tiểu mục này chỳng tụi xột bài toỏn biờn ellipic phụ thuộc tham số với điều kiện biờn Neumann: L(t, ∂x)u = f trong GT , (3.15) Nj(t, ∂x)u = gj trờn S j T , j = 0, 1, (3.16) Nj(t, ∂x)u = ∂x2u.ν j 2−α(t)∂x1u.νj2−α(t)∂x2 .νj1+(α2(t)+β2(t))∂x1 .νj1, νj = (νj1, ν j 2) là trường vectơ đơn vị phỏp tuyến ngoài trờn S j T , j = 0, 1. Mệnh đề 3.4.2 Giả sử hàm a(t) thuộc lớp Ch([0, T ]), trong đú h là một số tự nhiờn. Khi đú 1) Cỏc hàm giỏ trị riờng khỏc hàm đồng nhất bằng 0 của bú toỏn tử U (λ, t) tương ứng với bài toỏn (3.15), (3.16) xỏc định bởi λk(t) = kpi Imϑ(ω0, t) , k = ±1,±2, . . . ; cỏc hàm giỏ trị riờng này là đơn và thuộc lớp Ch([0, T ]). Cỏc hàm vectơ riờng tương ứng được cho bởi ϕk(ω, t)= e kReϑ(ω,t)pi Imϑ(ω0,t) cos k Imϑ(ω,t)piImϑ(ω0,t) , k = ±1,±2, . . . ; chỳng là khả vi vụ hạn theo biến ω và khả vi liờn tục h lần theo biến t. 2) λ(t) ≡ 0 là một hàm giỏ trị riờng của bú toỏn tử U (λ, t) với hàm vectơ riờng tương ứng u0 = 1. Nếu đẳng thức M(ω0, t)α(t) = −N(ω0, t) khụng đỳng với mọi t ∈ [0, T ] thỡ hàm giỏ trị riờng này là đơn. Nếu đẳng thức này đỳng với mọi t ∈ [0, T ] thỡ λ(t) ≡ 0 là hàm giỏ trị riờng cú bội khụng đổi 2 với hàm vectơ riờng suy rộng u1 = 1 + α(t)ω. 3.4.3 Bài toỏn biờn hỗn hợp Dirichlet-Neumann Trong tiểu