Tóm tắt Luận án Một số hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng

y đổi, ta dùng hệ Navier-Stokes có mật độ khối lượng ρ(x, t) được cho bởi:@t(u)− ∆u+∇ · (uu) +∇p = f;@t+∇ · (u) = 0; ∇ · u = 0: (3) Khi điều kiện ban đầu ρ0(x) ≥ c0 > 0, sự tồn tại nghiệm yếu được chứng minh lần đầu tiên bởi Antontsev-Kazhikov (1973). Trong trường hợp ρ0(x) ≥ 0, sự tồn tại nghiệm yếu, nghiệm mạnh, các vấn đề liên quan đến bài toán điều khiển đã được trình bày khá hoàn chỉnh bởi E.F. Cara (2012). Khác với hệ Navier-Stokes với mật độ khối lượng là hằng số, câu hỏi về tính duy nhất nghiệm yếu vẫn chưa được giải quyết thậm chí trong không gian 2 chiều. Khi kết hợp hệ (3) với một phương trình đối lưu-khuếch tán 3 của nhiệt độ có mật độ thay đổi ta được hệ sau: @t(u)− ∆u+∇ · (uu) +∇p = f + −→e N; @t()− ∆ +∇ · (u) = g; @t+∇ · (u) = 0; ∇ · u = 0: (4) Hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi (4) miêu tả chuyển động của chất lỏng có mật độ ρ, nhớt, không nén được dưới ảnh hưởng của nhiệt độ. Theo hiểu biết của chúng tôi, hiện chưa có kết quả nào liên quan đến hệ này. Như vậy, đối với lớp các hệ phương trình cặp xuất hiện trong cơ học chất lỏng, mặc dù các kết quả gần đây tập trung vào việc nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm, các bài toán điều khiển, tuy nhiên các kết quả hiện có chủ yếu dừng lại ở trường hợp ôtônôm trong miền bị chặn và hệ phương trình được xét có mật độ khối lượng của chất lỏng là hằng số. Do vậy, những vấn đề chúng tôi quan tâm nghiên cứu trong luận án này bao gồm: • Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm cho hệ phương trình Bénard (1) và hệ MHD (2) trong trường hợp không ôtônôm và miền xét bài toán thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré. Khi ngoại lực phụ thuộc vào thời gian, quỹ đạo nghiệm không còn là bất biến dương đối với phép tịnh tiến theo thời gian và do đó lí thuyết tập hút toàn cục cổ điển không còn thích hợp. Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm, chúng tôi sử dụng lí thuyết tập hút lùi, một lí thuyết mới được phát triển gần đây và tỏ ra rất hữu ích khi nghiên cứu các hệ động lực không ôtônôm (xin xem cuốn chuyên khảo của Carvalho, Langa và Robinson (2013)). • Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có điều kiện, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị chặn. Khi nghiên cứu hệ Bénard và hệ MHD trong miền không bị chặn, khó khăn lớn gặp phải là các phép nhúng Sobolev cần thiết 4 chỉ liên tục chứ không compact; dẫn đến Bổ đề compact Aubin- Lions cổ điển và các phương pháp thường dùng cho miền bị chặn không còn thích hợp nữa. Để khắc phục khó khăn này, chúng tôi sử dụng các bổ đề compact phù hợp để chứng minh sự tồn tại nghiệm và tính liên tục yếu của quá trình, sử dụng phương pháp phương trình năng lượng để chứng minh tính compact tiệm cận lùi, một điều kiện quan trọng cho sự tồn tại tập hút lùi. Khi nghiên cứu hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi, khó khăn gây ra chủ yếu là do mật độ không còn là hằng số; điều này dẫn đến việc nghiên cứu phức tạp lên rất nhiều. Để chứng minh sự tồn tại nghiệm, chúng tôi sử dụng phương pháp nửa Galerkin kết hợp với kết quả của Lions về phương trình chuyển dịch (1989). Tính duy nhất có điều kiện của nghiệm được chứng minh bằng cách sử dụng ý tưởng của P.-L. Lions (1996). Để nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu, chúng tôi phát triển các ý tưởng của E.F. Cara (2012) cho hệ Navier- Stokes với mật độ khối lượng thay đổi; tuy nhiên việc nghiên cứu khó khăn hơn khá nhiều do hệ đang xét có cấu trúc phức tạp hơn. Từ những phân tích ở trên, chúng tôi chọn vấn đề nghiên cứu sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm (thông qua sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal tập hút lùi) của các hệ Bénard và MHD trong trường hợp khi ngoại lực có thể phụ thuộc vào biến thời gian; đồng thời nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có điều kiện, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi, làm đề tài nghiên cứu của Luận án "Một số hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng". 2. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Luận án tập trung nghiên cứu sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ Bénard, hệ MHD trong trường hợp không 5 ôtônôm; sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có điều kiện, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi. Cụ thể như sau: Nội dung 1. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất, dáng điệu tiệm cận nghiệm và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi của hệ Bénard hai chiều trong miền không bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré. Nội dung 2. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất, dáng điệu tiệm cận của nghiệm và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi của hệ MHD hai chiều trong miền không bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré và điều kiện nón. Nội dung 3. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có điều kiện, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị chặn. 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU • Để nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, chúng tôi sử dụng các phương pháp và công cụ của Giải tích hàm phi tuyến: phương pháp xấp xỉ Galerkin, hoặc xấp xỉ nửa Galerkin kết hợp các dạng phù hợp của Bổ đề compact và các bổ đề xử lí số hạng phi tuyến. • Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm, chúng tôi sử dụng các công cụ và phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều không ôtônôm. • Để nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu, chúng tôi sử dụng các phương pháp của lí thuyết điều khiển tối ưu đối với phương trình đạo hàm riêng và các công cụ của giải tích lồi. 4. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN • Đối với hệ Bénard và MHD không ôtônôm trong miền không bị chặn hai chiều: Chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm 6 yếu đối với bài toán (1), (2); chứng minh được sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi. • Đối với hệ Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị chặn hai hoặc ba chiều: Chứng minh được sự tồn tại và tính duy nhất có điều kiện của nghiệm yếu; chứng minh được sự tồn tại nghiệm và thiết lập được điều kiện cần tối ưu cấp một của bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu cho hệ (4). Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, góp phần vào việc hoàn thiện lí thuyết các hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng. Nội dung chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo trên các tạp chí khoa học quốc tế, 02 bài gửi đăng và đã được báo cáo tại: Đại hội Toán học toàn quốc VIII, Nha Trang, 2013; Hội thảo tối ưu và tính toán khoa học XIII, Ba Vì, 2015; Xêmina của Bộ môn Toán Cơ bản, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội; Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. 5. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương: Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương sau; Chương 2 trình bày các kết quả về sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu cho hệ Bénard hai chiều; Chương 3 trình bày các kết quả về sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu cho hệ động lực học thủy từ trường (MHD) hai chiều; Chương 4 trình bày kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm có điều kiện của nghiệm yếu, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệ Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị chặn hai hoặc ba chiều. 7 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các không gian hàm cần dùng để nghiên cứu, thiết lập các đánh giá cần thiết để xử lí số hạng phi tuyến trong hệ phương trình. Chúng tôi cũng trình bày các kết quả tổng quát về lí thuyết tập hút lùi và một số kết quả bổ trợ được dùng trong các chương sau. 1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM Cho Ω là tập mở trong RN với biên ∂Ω. Kí hiệu Q := Ω×(0, T ) là trụ không-thời gian với T <∞ và ∑ := ∂Ω× (0, T ). Với 1 ≤ m, p ≤ +∞, ta cũng thường kí hiệu Lp(Ω) = Lp(Ω)N , Wm;p(Ω) = Wm;p(Ω)N ,Hm(Ω) = Hm(Ω)N ,H10(Ω) = H10 (Ω)N để xét các hàm vectơ trong không gian N chiều. Đặt V1 = {u ∈ C∞0 (Ω)N : ∇ · u = 0}, V2 = {B ∈ C∞(Ω)N : ∇ ·B = 0 và B · n|@Ω = 0}, V1,H1 lần lượt là bao đóng của V1 trong H10(Ω),L2(Ω), V2,H2 lần lượt là bao đóng của V2 trong H1(Ω),L2(Ω), V3 = H 1 0 (Ω), H3 = L 2(Ω). Tích vô hướng và chuẩn tương ứng trong Vi, i = 1, 3 như sau: • ((u, v))1 = N∑ j=1 ∫ Ω ∇uj · ∇vjdx, ∀u, v ∈ V1, ∥u∥1 = ((u, u))1=21 , ∀u ∈ V1. • ((B,C))2 = ∫ Ω curl B · curl Cdx, ∀B,C ∈ V2, ∥B∥2 = ((B,B))1=22 , ∀B ∈ V2. • ((θ, φ))3 = ∫ Ω ∇θ · ∇φdx, ∀θ, φ ∈ V3, ∥θ∥3 = ((θ, θ))1=23 , ∀θ ∈ V3. 8 Các không gian Hi, i = 1, 3 với tích vô hướng (u, v) = ∫ Ω uvdx, ∀u, v ∈ Hi và chuẩn tương ứng |.| = (u, v)1=2. Ký hiệuH := Hi×Hj và V := Vi×Vj với (i, j) ∈ {(1, 2), (1, 3)}. Dễ thấy V ⊂ H ≡ H ′ ⊂ V ′, trong đó các phép nhúng là trù mật và liên tục. Ta dùng ký hiệu ∥ · ∥∗ cho chuẩn trong V ′, và ⟨., .⟩ chỉ đối ngẫu giữa V và V ′. Các không gian trên đều là không gian Hilbert. Tương tự, ta cũng định nghĩa các không gian hàm phụ thuộc thời gian thường được sử dụng trong luận án này gồm: C([a, b];X); Lp(a, b;X), 1 ≤ p ≤ +∞; Lploc(R;X);Wm;p(0, T ;X);Ns;q(0;T ;B) (không gian Nikolskii), trong đó X là không gian Banach. 1.2. TẬP HÚT LÙI Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và kết quả về sự tồn tại tập hút lùi, cũng như phương pháp đánh giá số chiều của tập hút lùi sẽ được sử dụng trong luận án. 1.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG 1.3.1. Một số bất đẳng thức thường dùng Ta nhắc lại một số bất đẳng thức sơ cấp nhưng rất quan trọng và thường xuyên được sử dụng trong luận án: Bất đẳng thức Cauchy; Bất đẳng thức Young; Bất đẳng thức Ho¨lder; các dạng bất đẳng thức Gronwall. 1.3.2. Một số định lí và bổ đề quan trọng Ta nhắc lại một số định lí và bổ đề quan trọng thường được sử dụng để chứng minh các kết quả của luận án: Bất đẳng thức Ladyzhenskaya, Bất đẳng thức Poincaré và các bổ đề compact. 9 Chương 2 HỆ BÉNARD HAI CHIỀU KHÔNG ÔTÔNÔM Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Bénard hai chiều không ôtônôm trên miền không nhất thiết bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré. Chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm yếu bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin và chứng minh sự tồn tại, đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi của quá trình sinh bởi bài toán. Nội dung của chương này dựa trên bài báo [1] trong Danh mục các công trình đã công bố của tác giả. 2.1. ĐẶT BÀI TOÁN Cho Ω ⊂ R2 là miền tùy ý với biên ∂Ω, thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré. Xét hệ Bénard không ôtônôm sau:@tu+ (u · ∇)u− ∆u+∇p = fu(x; t) + −→e 2(T − Tr);@tT + u · ∇T − ∆T = fT (x; t); ∇ · u = 0; (2.1) trong đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm vectơ vận tốc và hàm áp suất cần tìm; T = T (x, t) là nhiệt độ cần tìm; ν > 0, κ > 0 lần lượt là hệ số nhớt, hệ số truyền nhiệt; α = ϑg là tham số đặc trưng cho sự nổi của chất lỏng với hệ số giãn nở nhiệt ϑ và gia tốc rơi tự do g; vectơ −→e 2 = (0, 1); Tr là nhiệt độ môi trường; fu(x, t) là hàm ngoại lực tác động lên chất lỏng, fT (x, t) là nguồn nhiệt. Xét hệ (2.1) thỏa mãn điều kiện biên không thuần nhấtu(x, t) = φu(x), ∀(x, t) ∈ ∂Ω× (τ,+∞),T (x, t) = φT (x), ∀(x, t) ∈ ∂Ω× (τ,+∞), (2.2) và điều kiện ban đầu u(x, τ) = u0(x), T (x, τ) = T0(x), x ∈ Ω. (2.3) 10 Kí hiệu V := V1 × V3, H := H1 ×H3. Ta định nghĩa tích vô hướng và chuẩn trong V , H như sau ((z, z˜)) = ((v, v˜))1 + γ((θ, θ˜))3, ∥z∥ = ((z, z))1=2,∀z, z˜ ∈ V, (z, z˜) = (v, v˜) + γ(θ, θ˜), |z| = (z, z)1=2, ∀z, z˜ ∈ H, trong đó γ cho bởi γ ≥ α λ1 2 1 νκ . Đặt A : V → V ′ là toán tử xác định bởi ⟨Az, z˜⟩ = a(z, z˜) = ν((v, v˜))1 + γκ((θ, θ˜))3. Đặt B : V × V → V ′ là toán tử xác định bởi ⟨B(z, zˆ), z˜⟩ = b(z, zˆ, z˜) = b1(v, vˆ, v˜) + γb2(v, θˆ, θ˜), trong đó các dạng ba tuyến tính được cho bởi b1(v, vˆ, v˜) = ∫ Ω 2∑ i;j=1 vi ∂vˆj ∂xi v˜jdx, b2(v, θˆ, θ˜) = ∫ Ω 2∑ i=1 vi ∂θˆ ∂xi θ˜dx, và ta viết tắt B(z) = B(z, z). Ta có bổ đề sau. Bổ đề 2.1. Giả sử Ω ⊂ R2 và z, z˜ ∈ V , khi đó |b(z, z, z˜)| ≤ |z|∥z∥∥z˜∥. Giả sử rằng ub và Tb xác định trong miền Ω lần lượt là dòng chảy nền và nhiệt độ nền sao cho ub = φu, Tb = φT trên ∂Ω. Ta đặt v = u− ub và θ = T − Tb, khi đó (2.1) được viết lại như sau:@tv + (v · ∇)v − ∆v +∇p = f¯u − (ub · ∇)v − (v · ∇)ub + −→e 2;@t + v · ∇ − ∆ = f¯T − ub · ∇ − v · ∇Tb; ∇ · v = 0; (2.4) với f¯u và f¯T được xác định bởi f¯u = fu + ∆ub − (ub · ∇)ub + −→e 2(Tb − Tr); f¯T = fT + ∆Tb − ub · ∇Tb: (2.5) 11 Điều kiện biên cho hệ (2.4) là v(x, t) = 0, θ(x, t) = 0, với mọi x ∈ ∂Ω. (2.6) Và điều kiện ban đầu v(., τ) = v0 = u0 − ub, θ(., τ) = θ0 = T0 − Tb. (2.7) Đặt R : V → V ′ là toán tử cho bởi ⟨Rz, z˜⟩ = b¯(zb, z, z˜) + b¯(z, zb, z˜)− α(−→e 2θ, v˜), trong đó b¯(z, zˆ, z˜) = − ∫ Ω (v · ∇)v˜ · vˆdx− γ ∫ Ω v · ∇θ˜θˆdx. Đặt e : V → R cho bởi e(z) = ⟨f¯u; v⟩V ′1 ;V1+ ⟨f¯T ; ⟩V ′3 ;V3 = ⟨Ψ; z⟩; với Ψ = (fu, fT )− (ν∆ub, κ∆Tb)−B(zb, zb) + (α−→e 2(Tb − Tr), 0). 2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU Trước hết, ta định nghĩa nghiệm yếu của bài toán (2.4)-(2.7). Định nghĩa 2.1. Hàm z = (v, θ) được gọi là nghiệm yếu của bài toán (2.4)-(2.7) trên khoảng (τ, T ) nếu z ∈ L2(; T ;V ) ∩ L∞(; T ;H); z′ + (A+R)z +B(z) = Ψ trong V ′; với hầu khắp t ∈ (; T ); z() = z0: (2.8) Sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu được chỉ ra trong định lí sau. Định lí 2.1. Giả sử fu ∈ L2loc(R;V ′1), fT , Tr ∈ L2loc(R;V ′3), zb = (ub, Tb) cho trước. Khi đó, với mọi z0 ∈ H, τ ∈ R, T > τ cho trước, bài toán (2.8) có duy nhất nghiệm yếu z trên khoảng (τ, T ). 2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI Ta định nghĩa quá trình liên tục Z(t, τ) : H → H cho bởi Z(t, τ)z0 = z(t; τ, z0), τ ≤ t, z0 ∈ H, 12 trong đó z(t) = z(t; τ, z0) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (2.8) với điều kiện ban đầu z(τ) = z0. Bổ đề 2.2. Cho {z0n}n ⊂ H là một dãy hội tụ yếu trong H đến phần tử z0 ∈ H. Khi đó Z(t, τ)z0n ⇀ Z(t, τ)z0 trong H, với mọi t ≥ τ. Z(., τ)z0n ⇀ Z(., τ)z0 trong L 2(τ, T ;V ), với mọi T > τ. Định lí 2.2. Giả sử Ψ ∈ L2loc(R;V ′) thỏa mãn∫ t −∞ es∥Ψ(s)∥2∗ds < +∞ với mọi t ∈ R. Khi đó tồn tại duy nhất tập D-hút lùi Aˆ = {A(t) : t ∈ R} của quá trình {Z(t, τ)} sinh bởi bài toán (2.8). 2.4. ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI Giả sử fu ∈ L∞(−∞, T ∗;V ′1), fT , Tr ∈ L∞(−∞, T ∗;V ′3), khi đó Ψ ∈ L∞(−∞, T ∗;V ′) với T ∗ ∈ R nào đó. (2.9) Định lí 2.3. Giả sử các điều kiện của Định lí 2.1 và (2.9) được thỏa mãn. Khi đó tập D-hút lùi Aˆ = {A(t) : t ∈ R} của quá trình Z(t, τ) sinh bởi bài toán (2.8) có số chiều fractal hữu hạn dF ( A() ) ≤ max{1; C (4 + (=)3=2) 21( + ) Θ } ; trong đó Θ = 2 21 32 (∥fT ∥2L∞(−∞;T∗;V ′3) + 2∥∆Tb∥2V ′3 + c2buT ) + 1 3 (∥fu∥2L∞(−∞;T∗;V ′1) + 2∥∆ub∥2V ′1 + c2buu + 2∥Tb − Tr∥2V ′3 ): Chú ý cuối chương. Bằng cách sử dụng phương pháp phương trình năng lượng và phương pháp đánh giá số chiều fractal hữu hạn như trong chương này, chúng tôi đã chứng minh được những kết quả tương ứng cho hệ Newton-Boussinesq trong miền không bị chặn hai chiều (2014). 13 Chương 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC THỦY TỪ TRƯỜNG (MHD) HAI CHIỀU KHÔNG ÔTÔNÔM Trong chương này, chúng tôi xét hệ phương trình động lực học thủy từ trường (MHD) hai chiều trên một miền không nhất thiết bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré và điều kiện nón. Đầu tiên, sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin và phương pháp compact, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm yếu của bài toán. Tiếp theo, chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất và số chiều fractal hữu hạn của tập D-hút lùi. Nội dung chương này dựa trên bài báo [2] trong Danh mục các công trình đã công bố của tác giả. 3.1. ĐẶT BÀI TOÁN Giả sử Ω là miền tùy ý trong R2 thỏa mãn điều kiện nón. Xét hệ MHD không ôtônôm sau: @u @t + (u · ∇)u− 1 Re ∆u+∇ ( p+ S 2 |B|2 ) − S(B · ∇)B = f(x; t); @B @t + (u · ∇)B − (B · ∇)u+ 1 Rm gcurl(curlB) = 0; ∇ · u = 0; ∇ ·B = 0; (3.1) với điều kiện ban đầu u(x; ) = u0(x); B(x; ) = B0(x); ∀x ∈ Ω; (3.2) và điều kiện biên u = 0, B · n = 0 và curl B = 0 trên ∂Ω, (3.3) trong đó u = u(x, t) là hàm vectơ vận tốc của chất lỏng; B = B(x, t) là vectơ từ trường; p = p(x, t) và |B|2/2 lần lượt là hàm áp suất chất lỏng và áp suất từ trường; f(x, t) là hàm ngoại lực 14 tác động lên chất lỏng; n là vectơ pháp tuyến đơn vị trên ∂Ω; S = M2/(ReRm) với M,Re, Rm lần lượt là các hệ số Hartman, Reynolds và Reynolds trong từ trường. Kí hiệu V := V1 × V2, H := H1 ×H2. Trên V ta trang bị tích vô hướng ((z, z˜)) = ((u, u˜))1 + S((B, B˜))2, ∀z = (u,B), z˜ = (u˜, B˜) ∈ V, tích vô hướng này sinh ra chuẩn tương ứng ∥z∥ = ((z, z˜))1=2. Tích vô hướng và chuẩn trong H được cho bởi (z, z˜) = (u, u˜) + S(B, B˜), ∀z = (u,B), z˜ = (u˜, B˜) ∈ H, |z| = (z, z)1=2, ∀z ∈ H. Đặt A : V → V ′ là toán tử xác định bởi ⟨Az, z˜⟩ = a(z, z˜) = 1 Re ((u, u˜))1 + S Rm ((B, B˜))2. Đặt B : V × V → V ′ là toán tử xác định bởi ⟨B(z1, z2), z3⟩ = b(u1, u2, u3)− Sb(B1, B2, u3) + Sb(u1, B2, B3) − Sb(B1, u2, B3), ∀zi = (ui, Bi) ∈ V, i = 1, 2, 3, trong đó dạng ba tuyến tính b được cho bởi b(u, v, w) = 2∑ i;j=1 ∫ Ω ui ∂vj ∂xi wjdx, và ta viết tắt B(z) = B(z, z). Tính bị chặn của toán tử B được chứng minh trong bổ đề sau. Bổ đề 3.1. Giả sử miền Ω ⊂ R2 thỏa mãn điều kiện nón. Khi đó |⟨B(z, z), z˜⟩| ≤ C|z|∥z∥∥z˜∥, z, z˜ ∈ V. Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu những vấn đề sau: • Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu. • Sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi. 15 3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU Trong mục này, bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin, chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu. Trước hết, ta định nghĩa nghiệm yếu của bài toán (3.1)-(3.3) như sau. Định nghĩa 3.1. Đặt Ψ = (f, 0), hàm z = (u,B) được gọi là nghiệm yếu của bài toán (3.1)-(3.3) trên khoảng (τ, T ) nếu z ∈ L2(; T ;V ) ∩ C([; T ];H); z′ +Az + B(z) = Ψ trong V ′; với hầu khắp t ∈ (; T ); z() = z0: (3.4) Kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu của bài toán được trình bày trong định lí sau. Định lí 3.1. Giả sử f ∈ L2loc(R;V ′1). Khi đó, với mọi z0 ∈ H, τ ∈ R, T > τ , bài toán (3.4) có duy nhất một nghiệm yếu trên (τ, T ). Hơn nữa, với mọi t > τ , hàm cho bởi z0 7→ z(t) liên tục trên H. 3.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI Theo kết quả của Định lí 3.1, ta có thể định nghĩa một quá trình liên tục Z(t, τ) : H → H cho bởi Z(t, τ)z0 = z(t; τ, z0), τ ≤ t, z0 ∈ H, trong đó, z(t) = z(t; τ, z0) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (3.4) với điều kiện ban đầu z(τ) = z0. Bổ đề 3.2. Cho {z0n}n ⊂ H là một dãy hội tụ yếu trong H đến phần tử z0 ∈ H. Khi đó Z(t, τ)z0n ⇀ Z(t, τ)z0 trong H, với mọi t ≥ τ. Z(., τ)z0n ⇀ Z(., τ)z0 trong L 2(τ, T ;V ), với mọi T > τ. 16 Bổ đề 3.3. Giả sử f ∈ L2loc(R;V ′1) thỏa mãn∫ t −∞ es∥f(s)∥2V ′1ds < +∞ với mọi t ∈ R. (3.5) Khi đó tồn tại họ hình cầu Bˆ = {z ∈ H : |z(t)| ≤ R(t), t ∈ R} là họ D-hấp thụ lùi của quá trình Z(t, τ). Bổ đề 3.4. Giả sử f ∈ L2loc(R;V ′1) thỏa mãn (3.5). Khi đó quá trình Z(τ, t) sinh bởi bài toán (3.4) là D-compact tiệm cận lùi. Từ hai bổ đề trên, ta có kết quả quan trọng sau. Định lí 3.2. Giả sử f ∈ L2loc(R;V ′1) thỏa mãn (3.5). Khi đó tồn tại duy nhất tập D-hút lùi Aˆ = {A(t) : t ∈ R} của quá trình {Z(t, τ)} sinh bởi bài toán (3.4). 3.4. ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI Giả sử: (C1) Ngoại lực f ∈ L∞(−∞, T ∗;V ′1) với T ∗ ∈ R nào đó; (C2) Tập R2 \ Ω chứa nửa nón. Định lí 3.3. Giả sử các điều kiện của Định lí 3.1 và các giả thiết (C1)-(C2) được thỏa mãn. Khi đó tập D-hút lùi Aˆ = {A(t) : t ∈ R} có số chiều fractal thỏa mãn dF ( A(τ) ) ≤ max(1,K/L), trong đó K =  [(√ Re + √ Rm )2 R2e + (ReRm) 3=2 ] ∥f∥2L∞(−∞;T∗;V ′1); L = 1 4 ( λ1 Re + c0 Rm ) . Chú ý cuối chương. Từ các kết quả trong chương này, trong trường hợp từ trường B ≡ 0, ta thu lại được các kết quả tương ứng về sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Navier-Stokes 2 chiều không ôtônôm. Đồng thời các kết quả này là sự mở rộng tương ứng của Temam (1997) từ trường hợp ôtônôm trong miền bị chặn sang trường hợp không ôtônôm trong miền không bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré và điều kiện nón. 17 Chương 4 HỆ BOUSSINESQ VỚI MẬT ĐỘ KHỐI LƯỢNG THAY ĐỔI Trong chương này, chúng tôi xét hệ Boussinesq với mật độ khối lượng (mà về sau ta sẽ gọi tắt là mật độ) thay đổi trong miền bị chặn Ω ⊂ RN , N = 2 hoặc 3, với biên trơn. Đầu tiên sử dụng phương pháp xấp xỉ nửa Galerkin, chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu. Tiếp theo, chúng tôi chứng minh nghiệm yếu đó là duy nhất khi nó đủ trơn. Cuối cùng, chúng tôi xét các bài toán gồm: điều khiển tối ưu và thời gian tối ưu. Nội dung của chương này dựa trên các bài báo [3, 4] trong Danh mục các công trình nghiên cứu của tác giả. 4.1. ĐẶT BÀI TOÁN Cho Ω là miền bị chặn trong RN (N = 2 hoặc 3) với biên trơn ∂Ω. Hệ Boussinesq với hàm mật độ thay đổi được cho bởi: ∂t(ρu)− ν∆u+∇ · (ρuu) +∇p = ρf + γ−→e Nθ, x ∈ Ω, ∂t(ρθ)− κ∆θ +∇ · (ρθu) = ρg, x ∈ Ω, ∂tρ+∇ · (ρu) = 0, ∇ · u = 0 x ∈ Ω, u = 0, θ = 0, x ∈ ∂Ω, ρ|t=0 = ρ0, (ρu)|t=0 = ρ0u0, (ρθ)|t=0 = ρ0θ0, x ∈ Ω. (4.1) 4.2. SỰ TỒN TẠI CỦA NGHIỆM YẾU Định lí 4.1. Với T > 0 cho trước. Giả sử rằng z0 = (u0, θ0) ∈ H, ρ0 ∈ L∞(Ω) với ρ0 ≥ 0 hầu khắp Ω, và f ∈ L2(0, T ;L2(Ω)), g ∈ L2(0, T ;L2(Ω)). Khi đó tồn tại bộ ba (ρ, z, p), trong đó z = (u, θ), thỏa mãn ρ ∈ L∞(Q) ∩ C0([0, T ];Lr(Ω)), ∀1 ≤ r < +∞, z ∈ L2(0, T ;V ), p ∈W−1;∞(0, T ;L2(Ω)), ρz ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)× L2(Ω)) ∩N1=4;2(0, T ;W−1;3(Ω)×W−1;3(Ω)), inf Ω ρ0 ≤ ρ(x, t) ≤ sup Ω ρ0 hầu khắp trong Q, 18 sao cho ∫ Ω [ ρ (∂tu+ (u · ∇)u− f) · v − γ−→e Nθ · v ] dx +ν((u, v))1 = 0, ∀v ∈ V1, theo nghĩa phân bố trong D′(0, T ),∫ Ω [ρ (∂tθ + u · ∇θ − g) · φ] dx +κ((θ, φ))3 = 0,∀φ ∈ V3, theo nghĩa phân bố trong D′(0, T ), ∂ρ ∂t +∇ · (ρu) = 0, (4.2) và điều kiện ban đầu ρ|t=0 = ρ0,(∫ Ω ρu · vdx ) (0) = ∫ Ω ρ0u0 · vdx, ∀v ∈ V1,(∫ Ω ρθ · φdx ) (0) = ∫ Ω ρ0θ0 · φdx, ∀φ ∈ V3. (4.3) 4.3. SỰ DUY NHẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM YẾU Giả sử bài toán (4.2)-(4.3) tồn tại nghiệm (ρ, z) thỏa mãn ∇ ∈ L2(0; T ;L3(Ω));  ∈ C0(Q); z ∈ C0(Q)N × C0(Q); ∇z ∈ L2(0; T ;L∞(Ω)× L∞(Ω)); zt ∈ L2(0; T ;L3(Ω)× L3(Ω)): (4.4) Khi đó ta có kết quả sau về sự duy nhất nghiệm. Định lí 4.2. Giả sử rằng (f, g) ∈ L2(0, T ;L3(Ω)× L3(Ω)) và γ ≤ λ1 √ νκ. (4.5) Gọi (ρ, z) là nghiệm của bài toán (4.1) thỏa mãn (4.4). Khi đó (ρ, z) ≡ (ρ, z) hầu khắp Q. 4.4. BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU Trong mục này chúng tôi xét bài toán điều khiển tối ưu đối với hàm mục tiêu cho bởi J(h, ρ, z) = a1 2 ∫ Ω |z(x, T )− ze(x)|2dx+ a2 2 ∫ Ω |ρ(x, T )− ρe(x)|2dx + a′1 2 ∫∫ Q |z(x, t)− zd|2dxdt+ a′2 2 ∫∫ Q |ρ(x, t)− ρd|2dxdt+ b 2 ∫∫ !×(0;T ) |h|2dxdt, (4.6) 19 trong đó ω là tập mở khác rỗng trong Ω; các số thực không âm a1, a ′ 1, a2, a ′ 2 với ít nhất một số thực dương; hằng số dương b cho biết chi phí của điều khiển; các trạng thái ze(x) = (ue(x), θe(x)) ∈ H, zd = (ud, θd) ∈ L2(Q) × L2(Q) và ρe ∈ L∞(Ω), ρd ∈ L∞(Q) cho trước. Khi đó hàm mật độ ρ(x, t), trạng thái z = (u, θ) và điều khiển h = (v, w) thỏa mãn hệ Boussinesq sau: ∂t(ρu)− ν∆u+∇ · (ρuu) +∇p = γ−→e Nθ + v1! , (x, t) ∈ Q, ∂t(ρθ)− κ∆θ +∇ · (ρθu) = w1! , (x, t) ∈ Q, ∂tρ+∇ · (ρu) = 0, ∇ · u = 0, (x, t) ∈ Q, u = 0, θ = 0, (x, t) ∈∑, ρ|t=0 = ρ0, (ρu)|t=0 = ρ0u0, (ρθ)|t=0 = ρ0θ0, x ∈ Ω, (4.7) với ρ0, z0 = (u0, θ0) cho trước. Từ đây, chúng tôi xét trường hợp ρ0 ∈ L∞(Ω), ρ0 ≥ α > 0 hầu khắp Ω. Xét bài toán sau:Cực tiểu hóa phiếm hàm J(h, ρ, z),trong đó (ρ, z) là nghiệm của (4.7) với h ∈ Uad. (4.8) 4.4.1. Sự tồn tại nghiệm tối ưu Định lí 4.3. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: 1. Tập ∅ ̸= Uad ⊂ L2(ω × (0, T ))× L2(ω × (0, T )) lồi và đóng. 2. J là nửa liên tục dưới yếu, tức là nếu (hm, ρm, zm) là nghiệm của (4.7), hm ⇀ h trong L2(ω× (0, T ))×L2(ω× (0, T )), ρm ⇀∗ ρ trong L∞(Q) và zm ⇀ z trong L2(0, T ;V ) thì lim inf m→∞ J(h m, ρm, zm) ≥ J(h, ρ, z). 3. Uad bị chặn hoặc J là cưỡng đối với h, tức là J(hm, ρm, zm)→ +∞ khi hm ∈ Uad, ∥hm∥L2(!×(0;T ))×L2(!×(0;T )) →∞. Khi đó bài toán tối ưu (4.8) có ít nhất một nghiệm. 4.4.2. Điều kiện cần tối ưu cấp một Định lí 4.4. Giả sử Uad ⊂ L2(ω× (0, T ))×L2(ω× (0, T )) là tập khác rỗng, đóng, lồi và J được cho trong (4.6). Gọi (h∗, ρ∗, z∗) là 20 nghiệm tối ưu của bài toán (4.8), giả sử (ρ∗, z∗) thỏa mãn ∇∗ ∈ L2(0; T ;W 1;∞(Ω)); ∗ ∈ C0(Q); ∇z∗ ∈ L2(0; T ;L∞(Ω)× L∞(Ω)); z∗ ∈ C0(Q)N × C0(Q); z∗ ∈ L∞(0; T ;H2(Ω)×H2(Ω)) ∩ L2(0; T ;H3(Ω)×H3(Ω)); ∇z∗t ∈ L2(Q)× L2(Q); z∗t ∈ L2(0; T ;L∞(Ω)× L∞(Ω)); (4.9) và (4.5) thỏa mãn. Khi đó, bởi Định lí 4.2, (ρ∗, z∗) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (4.7), và tồn tại duy nhất nghiệm yếu (η, z), với z = (ξ, ψ), của bài toán −ρ∗ ∂ξ ∂t − ν∆ξ + ρ∗[− (u∗ · ∇)ξ + (ξ · ∇)u∗ + ψ∇θ∗ −∇η] +∇