Trình bày tích phân ngẫu nhiên theo martingale bình phương khả tích; công thức Itô đối với bộ d − semimartingale trên thang thời gian và phát biểu bài toán martingale

: Bổ đề 2.2.1. (Tính chất kết hợp). Giả sử M là semimartingale và X, H là hai quá trình cadlag. Khi đó, b∫ a H−∇Y = b∫ a (H−X−)∇M , (2.2.13) trong đó, Yt được xác định bởi (2.2.12). Chứng minh. Nếu X,H ∈ L0 thì (2.2.13) đúng. Giả sử rằng ( X (n) t ) thuộc L0 hội tụ đến Xt theo chuẩn ∥.∥b;M . Khi đó, Y(n)t := t∫ a X (n) t ∇M hội tụ đến Yt = t∫ a X−∇M với mỗi t ∈ (a, b]. Hơn nữa, vì H ∈ L0 nên b∫ a H−∇Y = lim n→∞ b∫ a H−∇Y (n) = lim n→∞ b∫ a H−X (n)  ∇M = lim n→∞ b∫ a H−X−∇M . 27 Lấy ( H (n) t ) hội tụ đến Ht− thì b∫ a H (n)  ∇X hội tụ đến b∫ a H−∇X . Do đó, b∫ a H−∇Y = lim n→∞ b∫ a H (n)  ∇Y = b∫ a H (n)  X∇M= b∫ a H−X−∇M . Ta có điều phải chứng minh. Với mỗi t ∈ Ta và G : R→ R là hàm số liên tục. Xét phân hoạch π(n) của đoạn [a, t] được xác định bởi (2.2.8), (2.2.9).Đặt Sn(t) := kn∑ i=1 G(Mti−1)(Mti −Mti−1)2. (2.2.14) Bổ đề 2.2.2. Giả sử M là semimartingale và Sn(t) được xác định bởi (2.2.14). Khi đó, P− lim n→∞Sn(t) := t∫ a G(M−)∇[M ] . Chứng minh. Xét thời điểm dừng τm= inf{t : |Mt| ≥ m}. Khi đó, martingale Mt∧m bị chặn bởi m. Hơn nữa, quỹ đạo của Ms bị chặn với xác suất 1, suy ra τm ↑ ∞. Bổ đề 2.2.2 đúng với Mt∧m với mỗi m, bằng cách lấy giới hạn khi m→∞ suy ra Bổ đề 2.2.2 đúng với M . Vì vậy, chúng ta giả thiết M bị chặn. Mặt khác, M2 − [M ]t là semimartingale. Do đó, từ (2.2.10) và Bổ đề 2.2.1, suy ra t∫ a G(M−)∇ ( M2 − [M ] ) = 2 t∫ a G(M−)M−∇M. Hệ thức trên tương đương với t∫ a G(M−)∇[M ] = = lim n→∞ ( kn∑ i=1 G(Mti−1) ( M2ti −M2ti−1 )− 2 kn∑ i=1 G(Mti−1)Mti−1 ( Mti −Mti−1 )) = lim n→∞ ( kn∑ i=1 G(Mti−1) ( Mti −Mti−1 )2) . 28 Ta có điều phải chứng minh. Kí hiệu C1;2(Ta × Rd;R)là họ tất cả các hàm V (t, x) xác định trên Ta × Rd sao cho ∇-khả vi liên tục theo biến t và khả vi liên tục 2 lần theo biến x. Định lý sau là công thức Itô đối với bộ d-semimartingale trên thang thời gian. Kết quả là sự tổng quát hóa cho công thức Itô đối với thời gian rời rạc và liên tục. Định lý 2.2.1. (Công thức Itô). Giả sử X = (X1, X2, . . . , Xd) là bộ d-semimartingale V ∈ C1;2(Ta×Rd;R). Khi đó, V (t,X) là một semimartingale và công thức sau được thỏa mãn V (t,X(t)) = V (a,X(a)) + ∫ t a ∂∇V ∂∇τ (τ,X (τ−))∇τ + d∑ i=1 ∫ t a ∂V ∂xi (τ,X (τ−))∇Xi (τ) + 1 2 ∑ i;j ∫ t a ∂2V ∂xi∂xj (τ,X (τ−))∇[Xi, Xj ] + ∑ s∈(a;t] (V (s,X (s))− V (s,X (s−)))− ∑ s∈(a;t] d∑ i=1 ∂V ∂xi (s,X (s−))∇∗Xi (s) − 1 2 ∑ s∈(a;t] ∑ i;j ∂2V ∂xi∂xj (s,X (s−)) (∇∗Xi (s)) (∇∗Xj (s)), (2.2.15) trong đó ∇∗Xi (s) = Xi (s)−Xi (s−) và ∂ ∇V ∂∇t (t, x) là ∇-đạo hàm riêng của V (t, x) theo biến t. Chứng minh. Từ công thức khai triển Taylor đối với hàm nhiều biến, ta có V (t, y)− V (t, x) = d∑ i=1 ∂V (t, x) ∂xi (yi − xi) + 1 2 ∑ i;j ∂2V (t, x) ∂xi∂xj (yi − xi) (yj − xj) +R (x, y) , trong đó |R(x, y| ≤ r (∥y − x∥) ∥y − x∥2 với r : R+ → R+ là hàm tăng sao cho lim u↓0 r (u) = 0, đúng với V ∈ C2 xác định trên tập compact. Xác định thời điểm dừng τm = inf {t : ∥X (t)∥ ≥ m} . Khi đó, semimartingaleX(t∧τm) bị chặn bởi m và nếu công thức Itô đúng với X(t ∧ τm) với mỗi m, thì công thức đúng với X. Do đó, ta luôn giả thiết rằng X bị chặn. Lấy ε > 0, vì các điểm gián đoạn của martingale X không quá đếm được và∑ s∈(a;t] ∥X(s)−X(s−)∥2 <∞, 29 chúng ta có thể phân tập các điểm gián đoạn của X trên (a, t] thành hai lớp: C1 là tập hữu hạn và C2 là tập các điểm gián đoạn sao cho∑ s∈C2 ∥X(s)−X(s−)∥2 < ε2. Xét phân hoạch π(n) của [a, t] được xác định bởi (2.2.8) và (2.2.9), ta có V (t,X (t))− V (a,X (a)) = ∑ k [V (tk, X (tk))− V (tk−1, X (tk−1))] = ∑ k [V (tk, X (tk−1))− V (tk−1, X (tk−1))] + ∑ k [V (tk, X (tk))− V (tk, X (tk−1))] . Vì C1 hữu hạn và X là cadlag, nên lim n→∞  ∑ C1∩(tk−1;tk] ̸=∅ [V (tk, X (tk))− V (tk, X (tk−1))]  = ∑ s∈C1 [V (s,Xs)− V (s,Xs−)]. (2.2.16) Để đơn giản trong trình bày, ta kí hiệu ∑ C1∩(tk−1;tk] ̸=∅ bởi ∑ (1) và ∑ C1∩(tk−1;tk]=∅ bởi ∑ (2) . Bằng cách phân tích thành tổng các số hạng trên các khoảng rời nhau và dùng công thức Taylor, ta có∑ (1) [V (tk, X (tk))− V (tk, X (tk−1))] = ∑ (2) ( d∑ i=1 ∂V ∂xi (tk, X (tk−1)) (Xi (tk)−Xi (tk−1)) ) + 1 2 ∑ (2) (∑ i;j ∂2V ∂xi∂xj (tk, X (tk−1)) (Xi (tk)−Xi (tk−1)) (Xj (tk)−Xj (tk−1)) ) + ∑ (2) R (X (tk−1) , X (tk)) = kn∑ k=1 ( d∑ i=1 ∂V ∂xi (tk, X (tk−1)) (Xi (tk)−Xi (tk−1)) ) + 1 2 kn∑ k=1 (∑ i;j ∂2V ∂xi∂xj (tk, X (tk−1)) (Xi (tk)−Xi (tk−1)) (Xj (tk)−Xj (tk−1)) ) − ∑ (1) ( d∑ i=1 ∂V ∂xi (tk, X (tk−1)) (Xi (tk)−Xi (tk−1)) ) 30 − 1 2 ∑ (1) (∑ i;j ∂2V ∂xi∂xj (tk, X (tk−1)) (Xi (tk)−Xi (tk−1)) (Xj (tk)−Xj (tk−1)) ) + ∑ (2) R (X (tk−1) , X (tk)). Vì C1 hữu hạn, ta có lim n→∞ kn∑ k=1 ( d∑ i=1 ∂V ∂xi (tk, X (tk−1)) (Xi (tk)−Xi (tk−1)) ) = ∑ s∈C1 ( d∑ i=1 ∂V ∂xi (s,X (s−)) (Xi (s)−Xi (s−)) ) , (2.2.17) và lim n→∞ ∑ (1) (∑ i;j ∂2V ∂xi∂xj (tk, X (tk−1)) (Xi (tk)−Xi (tk−1)) (Xj (tk)−Xj (tk−1)) ) = ∑ s∈C1 (∑ i;j ∂2V ∂xi∂xj (s,X (s−)) (Xi (s)−Xi (s−)) (Xj (s)−Xj (s−)) ) . (2.2.18) Ta có∑ (2) R (X (tk−1) , X (tk)) ≤ r ( max C1∩(tk−1;tk]=∅ ∥X (tk)−X (tk−1)∥ )∑ (2) ∥X (tk)−X (tk−1)∥2. Do đó, limsup n→∞ ∑ (2) R (X (tk−1) , X (tk)) ≤ r (ε+) limsup n→∞ ∑ tk∈(n) ∥X (tk)−X (tk−1)∥2 ≤ r (ε+) d∑ i=1 [Xi]t. Cho ε ↓ 0, ta có limsup n→∞ ∑ (2) R (X (tk−1) , X (tk)) → 0, (2.2.16) hội tụ về ∑ s∈(a;t] [V (s,X (s))− V (s,X (s−))], 31 (2.2.17) hội tụ về ∑ s∈(a;t] d∑ i=1 ∂V ∂xi (s,X (s−)) (∇∗Xi (s)), (2.2.18) hội tụ về 1 2 ∑ s∈(a;t] ∑ i;j ∂2V ∂xi∂xj (s,X (s−))∇∗Xi (s)∇∗Xj (s). Suy ra lim n→∞ kn∑ k=1 ( d∑ i=1 ∂V ∂xi (tk, X (tk−1)) (Xi (tk)−Xi (tk−1)) ) = d∑ i=1 ∫ t a ∂V ∂xi (τ,X (τ−))∇Xi (τ). (2.2.19) Sử dụng Bổ đề 2.2.2, ta có lim n→∞ kn∑ k=1 d∑ i=1 ∂2V (tk, X (tk−1)) ∂xi∂xj (Xi (tk)−Xi (tk−1)) (Xj (tk)−Xj (tk−1)) = ∑ i;j ∫ t a ∂2V ∂xi (τ,X (τ−))∇ [Xi, Xj ] (τ). (2.2.20) Hơn nữa, lim n→∞ (∑ k [V (tk, X (tk−1))− V (tk−1, X (tk−1))] ) = lim n→∞ (∑ k [V (tk, X (tk−1))− V (tk−1, X (tk−1))] tk − tk−1 (tk − tk−1) ) = ∫ t a ∂∇V ∂∇τ (τ,X (τ−))∇τ . Mặt khác, V (t,X (t))− V (a,X (a)) = ∑ k [V (tk, X (tk−1))− V (tk−1, X (tk−1))] + ∑ k [V (tk, X (tk))− V (tk, X (tk−1))] = ∑ k [V (tk, X (tk−1))− V (tk−1, X (tk−1))] + ∑ (1) [V (tk, X (tk))− V (tk, X (tk−1))] + ∑ (1) [V (tk, X (tk))− V (tk, X (tk−1))]. 32 Vế phải hội tụ đến∫ t a ∂∇V ∂∇τ (τ,X (τ−))∇τ + d∑ i=1 ∫ t a ∂V ∂xi (τ,X (τ−))∇X + 1 2 ∑ i;j ∫ t a ∂2V ∂xi (τ,X (τ−))∇ [Xi, Xj ] (τ) + ∑ s∈(a;t] (V (s,X (s))− V (s,X (s−))) − ∑ s∈(a;t] d∑ i=1 ∂V ∂xi (s,X (s−))∇∗Xi (s) − 1 2 ∑ s∈(a;t] ∑ i;j ∂2V ∂xi∂xj (s,X (s−))∇∗Xi (s)∇∗Xj (s). Ta có điều phải chứng minh. Từ định lý trên ta có hê quả sau. Kết quả này chính là công thức Itô rời rạc được xây dựng bởi D. Kannan và B. Zhan năm 2002 trong [16]. Hệ quả 2.2.1. Lấy T = N, a = 0 và Xn là biến ngẫu nhiên nào đó. Khi đó, với các giả thiết của Định lý 2.2.1 thì công thức (2.2.15) có dạng. V (n,Xn) = V (0, X0) + n∑ k=1 (V (k,Xk−1)− V (k − 1, Xk−1)) + n∑ k=1 Vx (k,Xk−1)∇∗Xk + 1 2 n∑ k=1 (Vx (k,Xk)− Vx (k,Xk−1))∇∗Xk + n∑ k=1 (V (k,Xk)− V (k,Xk−1))− 1 2 n∑ k=1 (Vx (k,Xk) + Vx (k,Xk−1))∇∗Xk (2.2.21) trong đó Vx (k, ·) = @V (k;·)@x và ∇∗Xk = Xk −Xk−1. Trường hợp T = R, a = 0 hệ quả là Định lý 32 trong [17]. Kí hiệu Lloc1 (Ta,R) là họ các quá trình ngẫu nhiên {f (t)}t∈Ta nhận giá trị thực, (Ft)-phù hợp, thỏa mãn∫ T a |f (τ)|∇τ < +∞ h.c.c, với mọi T ∈ Ta. (2.2.22) Lấy fi ∈ Lloc1 (Ta,R) và M ∈M2; gi ∈ L2 (Ta,M) với i = 1, 2. Xét 2 quá trình Xi (t) = Xi (a) + ∫ T a fi (τ)∇τ + ∫ T a gi (τ)∇M ∀i = 1, 2. (2.2.23) 33 Chứng minh của bổ đề sau được suy ra trực tiếp từ các hệ thức [t, t]t = ∑ a<s≤t ν2 (s); [Mt, t]t = ∑ a<s≤t ν (s)∇∗M (s) và đẳng thức (2.2.11). Bổ đề 2.2.3. Giả sử X1, X2 là các semimartingale được xác định bởi (2.2.23). Khi đó, [X1, X2]t = ∫ t a f1 (τ) f2 (τ)∇τ + ∑ a<s≤t (f1 (s) g2 (s) + f2 (s) g1 (s)) ν (s)∇∗M (s) + ∫ t a g1 (τ) g2 (τ)∇[M ] , trong đó ∇∗Ms = Ms −Ms− . Hệ quả 2.2.2. Giả sử X = (X1, X2, . . . , Xd) là bộ d-semimartingale được xác định bởi Xi (t) = Xi (a) + ∫ t a fi (τ)∇τ + ∫ t a gi (τ)∇M , (2.2.24) trong đó M ∈ M2, fi ∈ Lloc1 (Ta,R) và gi ∈ L2 (Ta,M) với i = 1, d. Lấy V ∈ C1;2 ( Ta ×Rd;R ) . Khi đó, hệ thức sau được thỏa mãn V (t,X (t)) = V (a,X (a)) + ∫ t a ∂∇V ∂∇τ (τ,X (τ−))∇τ + d∑ i=1 ∫ t a ∂V ∂xi (τ,X (τ−)) (1− 1I (τ)) fi (τ)∇τ + d∑ i=1 ∫ t a ∂V ∂xi (τ,X (τ−)) gi (τ)∇M + 1 2 ∑ i;j ∫ t a ∂2V ∂xi∂xj (τ,X (τ−)) gi (τ) gj (τ)∇[M ] + ∑ s∈(a;t] (V (s,X (s))− V (s,X (s−)))− ∑ s∈(a;t] d∑ i=1 ∂V ∂xi (s,X (s−)) gi (s)∇∗Ms − 1 2 ∑ s∈(a;t] ∑ i;j ∂2V ∂xi∂xj (s,X (s−)) gi (s) gj (s) (∇∗Ms)2. Chứng minh. Từ (2.2.24), ta có ∇∗Xi (t) = fi (t) ν (t) + gi (t)∇∗Mt. (2.2.25) Phần chứng minh còn lại được suy ra bằng cách áp dụng trực tiếp công thức Itô và Bổ đề 2.2.3. 34 Hệ quả sau đây của Định lý 2.2.1 là một kết quả của McKean trong [10]. Hệ quả 2.2.3. Giả sử X = (X1, X2, . . . , Xd) là bộ d-semimartingale được xác định bởi Xi (t) = Xi (0) + ∫ t 0 fi (τ) dτ + ∫ t 0 gi (τ) dW , (2.2.26) trong đó Wt là quá trình chuyển động Brown, fi ∈ Lloc1 ([0,∞) ,R) và gi ∈ L2 ([0,∞) ,R) với i = 1, d. Lấy V ∈ C1;2 (R+ ×Rd;R). Khi đó, hệ thức sau đây được thỏa mãn V (t,X (t)) = V (0, X (0)) + ∫ t 0 ∂V ∂τ (τ,X (τ)) dτ + d∑ i=1 ∫ t 0 ∂V ∂xi (τ,X (τ)) fi (τ) dτ + d∑ i=1 ∫ t 0 ∂V ∂xi (τ,X (τ−)) gi (τ) dW + 1 2 ∑ i;j ∫ t 0 ∂2V ∂xi∂xj (τ,X (τ)) gi (τ) gj (τ) dτ . (2.2.27) Ví dụ 2.2.1. Giả sử M là semimartingale, với mọi t ∈ Ta ta có M2t = M 2 a + [M ]t + 2 ∫ t a M−∇M . (2.2.28) Đẳng thức (2.2.28) có thể thu được từ (2.2.10) với M ≡ N . Ở đây, chúng ta chứng minh bằng cách áp dụng công thức Itô. Thật vậy, sử dụng Định lý 2.2.1 với V (t, x) = x2 và X(t) = Mt, ta có M2t = M 2 a + ∫ t a ∇[M ] + 2 ∫ t a M−∇M + ∑ s∈(a;t] [( M2s −M2s− )− 2Ms− (Ms −Ms−)− (Ms −Ms−)2] = M2a + [M ]t + 2 ∫ t a M−∇M . 35 2.3. Phát biểu bài toán martingale Kí hiệu B lớp tất cả các tập Borel đóng trong R, không chứa điểm không, Mr2 là không gian con của không gian M2 gồm các martingale bình phương khả tích với đặc trưng liên tục. Với bất kì M ∈ M2, gọi δ(t, A) là số các bước nhảy của M trên (a, t] với giá trị thuộc A ∈B. Vì martingale M là quá trình cadlag nên quá trình δ(t, A) xác định với xác suất 1 với mọi t ∈ Ta, A ∈ B. Chúng ta mở rộng δ(t, A) lên Ω bằng cách đặt δ(t, A) ≡ 0 với những ω ∈ Ω mà t → Mt (ω) không có tính cadlag. Rõ ràng quá trình δ(t, A) là quá trình (Ft)−phù hợp, nhận giá trị nguyên, có quỹ đạo là hàm liên tục phải, đơn điệu không giảm trên Ta, δ(t, A) = 0. Ngoài ra, với mỗi t cố định, δ(t, ·) là một độ đo trên B và tích phân ∫ t a ∫ R f (τ, u) δ (∇τ, du) hoàn toàn xác định với f(t, u) là hàm Borel, không âm bất kì. Đồng thời∫ t a ∫ R f (τ, u) δ (∇τ, du) = ∑ s∈(a;t] f (s,∇∗Ms) (2.3.29) Đặt cMt := Mt − ∑ s∈(a;t] ( Ms −M(s) ) . (2.3.30) Dễ thấy rằng cMt là (Ft)−martingale và cMt = [M(t) với mọi t ∈ T. Hơn nữa, E [(⟨M⟩ t − ⟨M⟩s) |Fs] = E [ (Mt −Ms)2|Fs ] = E [(cMt − cMs)2|Fs] + 2E (cMt − cMs) ∑ u∈(s;t] ( Mu −M(u) )|Fs + E   ∑ u∈(s;t] ( Mu −M(u) )2|Fs  = E [(cMt − cMs)2|Fs]+ 2E  ∑ u∈(s;t] (cMu − [M(u))(Mu −M(u))|Fs  + E   ∑ u∈(s;t] ( Mu −M(u) )2|Fs  = E [(cMt − cMs)2|Fs]+ E   ∑ u∈(s;t] ( Mu −M(u) )2|Fs  . 36 Do đó, ⟨ bM⟩ t = ⟨M⟩ t − ∑ s∈(a;t] ( ⟨M⟩s − ⟨M⟩(s) ) . (2.3.31) Như vậy, M ∈Mr2 nếu và chỉ nếu bM ∈Mr2. Tương tự như định nghĩa δ(t, A) chúng ta có thể định nghĩa bδ(t, A) đối với bMt. Lấyeδ (t, A) = #{s ∈ (a, t] : Ms −M(s) ∈ A}. Suy ra δ (t, A) = bδ (t, A) + eδ (t, A) . Với mỗi t cố định, bδ (t, ·) và eδ (t, ·) là hai độ đo. Các quá trình δ (t, A), bδ (t, A) và eδ (t, A), t ∈ Ta là các (Ft)−submartingale chính quy với mỗi A ∈ B cố định. Áp dụng định lý khai triển Doob-Meyer, ta có biểu diễn duy nhất dạng δ (t, A) = ζ (t, A) + π (t, A) , bδ (t, A) = bζ (t, A) + bπ (t, A)eδ (t, A) = eζ (t, A) + eπ (t, A) , (2.3.32) trong đó π (t, A) ,bπ (t, A) và eπ (t, A) là các quá trình tăng tự nhiên, khả tích. Đồng thời ζ (t, A) , bζ (t, A) và eζ (t, A) là các martingale. Từ tính chất cadlag, chúng ta có thể chỉ ra bản sao của các quá trình này sao cho chúng là các độ đo với mỗi t cố định. Với mỗi M ∈Mr2, martingale bMt có thể mở rộng thành martingale chính quy xác định trên [a,∞)R. Do đó, sử dụng Định lý 13 [9] suy ra bπ (t, A) là quá trình tăng tự nhiên có quỹ đạo liên tục. Đặt cM ct := cMt − cMdt , (2.3.33) trong đó cMdt = ∫ t a ∫ R ubζ (∇t, du). (2.3.34) Khi đó, cM ct là martingale trực giao với martingale cMdt , nghĩa là ⟨cM c, cMd⟩ t = 0. Ngoài ra, [cMd]t = ∫ t a ∫ R u2bδ (∇t, du) (2.3.35) 37 và [M ]t = [ cM c]t + [cMd]t + ∫ t a ∫ R u2eδ (∇t, du) = [cM c]t + ∫ t a ∫ R u2δ (∇t, du). (2.3.36) Hơn nữa, ⟨ bM⟩ t = ⟨cM c⟩ t + ⟨cMd⟩ t. (2.3.37) Với các khái niệm ở trên thì Hệ quả 2.2.2 có thể được viết lại như sau: Lấy X = (X1, . . . , Xd) là bộ d−semimartingale được xác định bởi Xi (t) = Xi (a) + ∫ t a fi (t)∇τ + ∫ t a gi (t)∇M , trong đóM ∈M2, fi ∈ Lloc1 (Ta;R) và gi ∈ L2(Ta;M) với i = 1, d. Lấy V ∈ C1;2 ( Ta ×Rd;R ) . Khi đó, hệ thức sau được thỏa mãn V (t,X(t)) = V (a,X(a)) + ∫ t a ∂∇V ∂∇t (τ,X (τ−))∇τ + d∑ i=1 ∫ t a ∂V ∂xi (τ,X (τ−)) (1− 1I (τ)) fi (τ)∇τ + ∫ t a (V (τ,X (τ−) + f (τ) ν (τ))− V (τ,X (τ−))) Φ (τ)∇τ + d∑ i=1 ∫ t a ∂V ∂xi (τ,X (τ−)) gi (τ)∇ bM + 1 2 ∑ i;j ∫ t a ∂2V ∂xi∂xj (τ,X (τ−)) gi (τ) gj (τ)∇[cM c] + ∫ t a ∫ R ( ΨV (τ,X (τ−) , u)− d∑ i=1 u ∂V ∂xi (τ,X (τ−)) gi (τ) )bδ (∇τ, du) + ∫ t a ∫ R ΨV (τ,X (τ−) , u)eδ (∇τ, du), (2.3.38) trong đó ΨV (t, x, u) = V (x+ f (t) ν (t) + g (t)u)−V (x+ f (t) ν (t)); f = (f1, f2, . . . , fd); g = (g1, g2, . . . , gd) và Φ (t) = { 0 nếu t trù mật trái 1 ν (t) nếu t cô lập trái. Giả sử rằng ⟨M⟩ t tuyệt đối liên tục với ∇−độ đo Lebesgue µ∇ trên T, từ hệ thức (2.3.31) và (2.3.37) suy ra ⟨cM c⟩ t cũng tuyệt đối liên tục đối với ∇−độ đo Lebesgue µ∇ trên T, 38 nghĩa là tồn tại quá trình cKct là (Ft)−phù hợp, đo được dần sao cho⟨cM c⟩ t = ∫ t a cKc∇τ . (2.3.39) Với mỗi n, xét phân hoạch π(n) : s = t (n) 0 < . . . < t (n) kn = t của [s, t] sao chomax i (ρ (ti+1)− ti) ≤ 2−n. Từ bất đẳng thức∑ ∇∗cMu≥";u∈(s;t] ( ∇∗ bMu)2 ≤ lim n→∞ kn∑ k=1 ( bMtk − bMtk−1)2, nếu A ⊂ {x : |x| ≥ ε}, lim n→∞ kn∑ k=1 E [bδ (tk, A)− bδ (tk−1, A) |F tk−1] ≤ 1ε2 limn→∞ kn∑ k=1 E [( bMtk − bMtk−1)2|Ftk−1], thì bπ (t, A)− bπ (s, A) ≤ 1 ε2 (⟨ bM⟩ t − ⟨ bM⟩ s) . Từ đó suy ra bπ (t, A) tuyệt đối liên tục với ∇−độ đo Lebesgue µ∇ trên T, nghĩa là tồn tại quá trình bΥ(t, A) là (Ft)−phù hợp, đo được dần sao cho bπ (t, A) = ∫ t a bΥ(τ, A)∇τ . (2.3.40) Vì B được sinh bởi họ đếm được các tập Borel, nên bản sao của bΥ(t, A) đo được và với mỗi t cố định bΥ(t, ·) là một độ đo. Mặt khác, eπ (t, A) = ∑ s∈(a;t] E [ 1A ( Ms −M(s) ) |F(s)]. (2.3.41) Do đó, nếu đặt eΥ(τ, A) =  E [ 1A ( Mt −M(t) ) |F(t)] ν (t) nếu ν(t) > 0 0 nếu ν(t) = 0 thì eπ (t, A) = ∫ t a eΥ(τ, A)∇τ . (2.3.42) Với mỗi martingale bình phương khả tích M ∈ M2, xét phân hoạch {ti} của đoạn [s, t] sao cho max i (ρ (ti+1)− ti) ≤ 2−n, ta có E ( (Mt −Ms)2|Fs ) = E (∑ i (Mti −Mti−1)2|Fs ) n→∞→ E (([M ]t − [M ]s) |Fs) . 39 Nghĩa là, M2t − [M ]t là một (Ft)−martingale, suy ra [M ]t − ⟨M⟩t cũng là martingale. Vì [M ]t và ⟨M⟩t là hai quá trình tăng, suy ra ∫ t 0 h−∇ ([M ] − ⟨M⟩ ) là một martingale địa phương với bất kì hàm ht là hàm cadlag, phù hợp. Kí hiệu C2 ( Rd;R ) là tập tất cả các hàm V : Rd → R khả vi liên tục đến cấp 2. Xét toán tử ngẫu nhiên At xác định trên C2 ( Rd;R ) , AtV (x) = d∑ i=1 ∂V (x) ∂xi (1− 1I (t)) fi (t) + (V (x+ f (t) ν (t))− V (x)) Φ (t) + 1 2 ∑ i;j ∂2V (x) ∂xi∂xj gi (t) gj (t)cKct + ∫ R ΨV (x, u) eΥ(t, du) + ∫ R ( ΨV (t, x, u)− d∑ i=1 u ∂V (x) ∂xi gi (t) ) bΥ(t, du). Định lý 2.3.1. Giả sử X = (X1, . . . , Xd) là bộ d−semimartingale xác định bởi Xi (t) = Xi (a) + ∫ t a fi (t)∇τ + ∫ t a gi (t)∇M , trong đó M ∈ M2, gi ∈ L(Ta;M) và fi ∈ L1(Ta;R) với i = 1, d. Khi đó, với bất kì hàm V ∈ C2 (Rd;R), V (X (t))− V (X (a))− ∫ t a AV (X−)∇τ là một Ft−martingale địa phương. Chứng minh. Áp dụng công thức (2.3.38) ta có V (X (t)) = V (X (a)) + d∑ i=1 ∫ t a ∂V ∂xi (X (τ−)) (1− 1I (τ)) fi (τ)∇τ + ∫ t a (V (τ,X (τ−) + f (τ) ν (τ))− V (τ,X (τ−))) Φ (τ)∇τ + d∑ i=1 ∫ t a ∂V ∂xi (X (τ−)) gi (τ)∇ bM + 1 2 ∑ i;j ∫ t a ∂2V ∂xi∂xj (X (τ−)) gi (τ) gj (τ)∇[cM c] + ∫ t a ∫ R ( ΨV (X (τ−) , u)− d∑ i=1 u ∂V ∂xi (X (τ−)) gi (τ) )bδ (∇τ, du) + ∫ t a ∫ R ΨV (X (τ−) , u)eδ (∇τ, du). 40 Từ công thức (2.3.32), (3.1.10), (2.3.42) và tính chất của tích phân ngẫu nhiên, suy ra∫ t a ∫ R ( ΨV (X (τ−) , u)− d∑ i=1 u ∂V ∂xi (X (τ−)) gi (τ) )bδ (∇τ, du) = ∫ t a ∫ R ( ΨV (X (τ−) , u)− d∑ i=1 u ∂V ∂xi (X (τ−)) gi (τ) ) bΥ(τ, du)∇τ + ∫ t a ∫ R ( ΨV (X (τ−) , u)− d∑ i=1 u ∂V ∂xi (X (τ−)) gi (τ) )bζ (∇τ, du) và ∫ t a ∫ R ΨV (X (τ−) , u)eδ (∇τ, du) = ∫ t a ∫ R ΨV (X (τ−) , u) eΥ(τ, du)∇τ + ∫ t a ∫ R ΨV (X (τ−) , u) eζ (∇τ, du). Ta có d∑ i=1 ∫ t a ∂V ∂xi (X (τ−)) gi (τ)∇ bM + ∫ t a ∫ R ( ΨV (X (τ−) , u)− d∑ i=1 u ∂V ∂xi (X (τ−)) gi (τ) )bζ (∇τ, du) + ∫ t a ∫ R ΨV (X (τ−) , u) eζ (∇τ, du), là (Ft)−martingale địa phương. Do đó, V (X (t))− V (X (a))− ∫ t a AV (X−)∇τ là một Ft−martingale địa phương. 41 Chương 3 Tính ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian Trong chương này, tôi trình bày về phương trình động lực ngẫu nhiên với nhiễu là martingale bình phương khả tích trên thang thời gian, chỉ ra điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm, công thức ước lượng moment và tính ổn định mũ của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian. Các kết quả chính của chương này được viết dựa vào [12, 13]. 3.1. Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian LấyM ∈M2 và xa là biến ngẫu nhiên, Fa đo được, nhận giá trị thực sao cho Ex2a <∞. f, g : [a, T ]×R→ R là hai hàm Borel. Xét phương trình vi phân Itô dạng{ d∇X (t) = f (t,X (t−)) d∇t+ g (t,X (t−)) d∇M (t) ∀t ∈ [a, T ] X (a) = xa (3.1.1) Trong chương này tôi giả thiết ⟨M⟩t = ∫ t a N∇τ , (3.1.2) trong đó Nt là quá trình bị chặn, (Ft)−phù hợp, tức là tồn tại hằng số N sao cho P { sup a≤t≤T |Nt| ≤ N } = 1. (3.1.3) Định nghĩa 3.1.1. Một quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực {X (t)}t∈[a;T ] được gọi là nghiệm của phương trình (3.1.1) nếu có các tính chất sau: i) {X (t)} là quá trình (Ft)−phù hợp, ii) f (·, X (·−)) ∈ L1 ([a, T ] ;R) và g (·, X (·−)) ∈ L2 ([a, T ] ;M) 42 iii) Phương trình sau được thỏa mãn X (t) = X (a) + ∫ t a f (τ,X (τ−))∇τ + ∫ t a g (τ,X (τ−))∇M , ∀t ∈ [a, T ] , (3.1.4) với xác suất 1. Phương trình (3.1.1) được gọi là có duy nhất nghiệm trên [a, T ] nếu khi X(t) và X (t) là hai nghiệm của phương trình thì P { X (t) = X (t) ∀t ∈ [a, T ]} = 1. Chúng ta có ∫ t a g (τ,X (τ−))∇M là (Ft)−martingale, suy ra nó có bản sao cadlag. Do đó, X(t) thỏa mãn (3.1.4) thì X(t) có tính chất cadlag. Hơn nữa, nếu Mt là rd−liên tục thì X(T ) cũng rd−liên tục. Định lý 3.1.1. (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm). Giả sử tồn tại hai hằng số dương K và K sao cho (i) (Điều kiện Lipschitz) Với mọi x, y ∈ R và t ∈ [a, T ] thì (f (t, x)− f (t, y))2 ∨ (g (t, x)− g (t, y))2 ≤ K(x− y)2; (3.1.5) (ii) (Điều kiện tăng tuyến tính) Với mọi (t, x) ∈ [a, T ]×R thì f2 (t, x) ∨ g2 (t, x) ≤ K (1 + x2) . (3.1.6) Khi đó, phương trình (3.1.1) tồn tại và duy nhất nghiệm X(t) và nghiệm là semimartingale bình phương khả tích. Chứng minh. Trước hết, chúng ta chỉ ra rằng nếu điều kiện tăng tuyến tính (3.1.6) được thỏa mãn và X(t) là nghiệm của phương trình (3.1.1) thì E ( sup a≤t≤T X2 (t) ) ≤ (1 + 3Ex2a) e3K(T−a+4N) (T, a) , (3.1.7) trong đó N được xác định bởi (3.1.3). Thật vậy, với mọi số nguyên dương n ≥ 1, xác định thời điểm dừng vn = T ∧ inf {t ∈ [a, T ] : |X (t)| ≥ n} . Rõ ràng, vn ↑ T h.c.c, khi n→∞. Đặt un (t) := X (t ∧ vn) với t ∈ [a, T ]. Chúng ta thấy un (t) = xa + ∫ t a f (τ, un (τ−)) 1[a;vn]∇τ + ∫ t a g (τ, un (τ−)) 1[a;vn]∇M , 43 với t ∈ [a, T ] bất kì. Sử dụng bất đẳng thức cơ bản (a+ b+ c)2 ≤ 3 (a2 + b2 + c2) và bất đẳng thức Ho¨lder suy ra u2n (t) = 3x 2 a + 3 (t− a) ∫ t a f2 (τ, un (τ−)) 1[a;vn](τ)∇τ + 3 (∫ t a g (τ, un (τ−)) 1[a;vn](τ)∇M )2 Áp dụng Định lý 2.1.2 và điều kiện (3.1.6), ta có E ( sup a≤s≤t u2n (s) ) = 3Ex2a + 3 (T − a) ∫ t a f2 (τ, un (τ−)) 1[a;vn] (τ)∇τ + 12E ∫ t a g2 (τ, un (τ−)) 1[a;vn] (τ)∇⟨M⟩ ≤ 3Ex2a + 3K (T − a+ 4N) ∫ t a ( 1 + Eu2n (τ−) )∇τ . Từ đó suy ra 1 + E ( sup a≤s≤t u2n (s) ) ≤ 1 + 3Ex2a + 3K (T − a+ 4N) ∫ t a ( 1 + Eu2n (τ−) )∇τ ≤ 1 + 3Ex2a + 3K (T − a+ 4N) ∫ t a ( 1 + E ( sup a≤s≤− u2n (s) )) ∇τ . Kết hợp Bổ đề 1.1.2 ta có 1 + E ( sup a≤t≤t u2n (s) ) ≤ (1 + 3Ex2a) e3K(T−a+4N) (T, a) . Cho n→∞ ta có bất đẳng thức (3.1.7). Tính duy nhất: Giả sử X(t) và X (t) là hai nghiệm của phương trình (3.1.1). Từ hệ thức X (t)−X (t) = ∫ t a ( f (τ,X (τ−))− f ( τ,X (τ−) ))∇τ + ∫ t a ( g (τ,X (τ−))− g ( τ,X (τ−) ))∇M , bất đẳng thức Ho¨lder, Định lý 2.1.2, điều kiện Lipschitz (3.1.5) và chứng minh tương tự như chứng minh bất đẳng thức (3.1.7) ta có E ( sup a≤s≤t ( X (s)−X (s))2) ≤ 2K (T − a)∫ t a ( X (τ−)−X (τ−) )2∇τ + 8KE ∫ t a ( X (τ−)−X (τ−) )2∇⟨M⟩ ≤ 2K (T − a+ 4N) ∫ t a E ( sup a≤s≤− ( X (s)−X (s))2)∇τ . 44 Kết hợp với Bổ đề 1.1.2 ta suy ra E ( sup a≤s≤T ( X (s)−X (s))2) = 0 Vậy X (t) = X (t) h.c.c, với mọi a ≤ t ≤ T . Tính duy nhất nghiệm của phương trình được chứng minh. Sự tồn tại: Đặt X0(t) := xa và với n = 1, 2, . . . xác định dãy xấp xỉ Picard Xn (t) = xa + ∫ t a f (τ,Xn−1 (τ−))∇τ + ∫ t a g (τ,Xn−1 (τ−))∇M , (3.1.8) với t ∈ [a, T ]. Chúng ta thấy E ( sup a≤s≤t X20 (s) ) = Ex2a a. Do đó, bằng phương pháp quy nạp suy ra E ( sup a≤s≤t X2n (s) ) <∞ với mọi n ∈ N∗ và t ≥ a. Hơn nữa, (X1 (t)−X0 (t))2 = (X1 (t)− xa)2 ≤ 2 (∫ t a f (τ, xa)∇τ )2 + 2 (∫ t a g (τ, xa)∇M )2 . Từ đó ta có E ( sup a≤s≤t (X1 (s)−X0 (s))2 ) ≤ C, (3.1.9) với C = 2K [ (T − a)2 + 4N (T − a)] (1 + Ex2a). Chứng minh tương tự ta có E ( sup a≤s≤t (Xn+2 (s)−Xn+1 (s))2 ) ≤ P ∫ t a E ( sup a≤s≤ (Xn+1 (s−)−Xn (s−))2 ) ∇τ ≤ P ∫ t a E ( sup a≤s≤− (Xn+1 (s)−Xn (s))2 ) ∇τ với P = 2K (T − a+ 4N). Vì vậy, bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được rằng E ( sup a≤s≤t (Xn+2 (s)−Xn+1 (s))2 ) ≤ CPnhn (t, a) , (3.1.10) với hn (t, s) được xác định bởi (1.1.1). Từ (3.1.10) và bất đẳng thức Chebychev suy ra P { sup a≤t≤T |Xn+1 (s)−Xn (s)| ≥ 1 2n } ≤ C(4P )nhn (t, a) . Theo công thức khai triển Taylor ta có ∞∑ n=0 (4P )nhn (T, a) = e2P (T, a) . 45 Áp dụng Bổ đề Borel-Cantelli và Định lý Weierstrass suy ra chuỗi hàm xa + ∞∑ n=0 (Xn+1 (s)−Xn (s)) hội tụ hầu chắc chắn đến một quá trình ngẫu nhiên X(t). Hơn nữa, lim n→∞E supa≤t≤T (Xn (t)−X (t))2 = 0. Ta có (X(t)) là quá trình cadlag, (Ft)−phù hợp. Ngoài ra f (·, X (·−)) ∈ L1 ([a, T ] ;R) và g (·, X (·−)) ∈ L2 ([a, T ] ;M) . Bây giờ, ta cần chỉ ra rằng X(t) thỏa mãn phương trình (3.1.4). Ta có E (∫ t a f (τ,Xn (τ−))∇τ − ∫ t a f (τ,X (τ−))∇τ )2 + E (∫ t a g (τ,Xn (τ−))∇M − ∫ t a g (τ,X (τ−))∇M )2 ≤ K (T − a) ∫ T a E(Xn (τ−)−X (τ−))2∇τ +KN ∫ T a E(Xn (τ−)−X (τ−))2∇τ → 0 khi n→∞, cho n→∞ từ (3.1.8), suy ra X (t) = X (a) + ∫ t a f (τ,X (τ−))∇τ + ∫ t a g (τ,X (τ−))∇M trên a ≤ t ≤ T. Ta có điều phải chứng minh. Trong chứng minh của Định lý 3.1.1 chúng ta đã chỉ ra rằng phương pháp lặp Picard cho ta dãy (Xt) hội tụ về nghiệm duy nhất X(t) của phương trình (3.1.1). Định lý sau ước lượng tốc độ hội tụ của dãy (Xn(t)) về nghiệm X(t) của phương trình (3.1.1). Định lý 3.1.2. Giả sử các giả thiết trong Định lý 3.1.1 đúng. Lấy X(t) là nghiệm của phương trình (3.1.1) và (Xn(t)) là dãy có được bằng phương pháp lặp Picard xác định bởi (3.1.8). Khi đó, E sup a≤t≤T (Xn (t)−X (t))2 ≤ CPnhn (T, a) , (3.1.11) với mọi n ≥ 1, trong đó C và P được xác định như trong chứng minh của Định lý 3.1.1, nghĩa là, C = 2K [ (T − a)2 + 4N (T − a)] (1 + Ex2a) ;P = 2K (T − a+ 4N) . 46 Chứng minh. Ta có Xn (t)−X (t) = ∫ t a (f (τ,Xn−1 (τ−))− f (τ,X (τ−)))∇τ + ∫ t a (g (τ,Xn−1 (τ−))− g (τ,X (τ−)))∇M , suy ra E ( sup a≤s≤t (Xn (s)−X (s))2 ) ≤ 2K (T − a) ∫ T a E(Xn−1 (τ−)−X (τ−))2∇τ + 8KN ∫ t a E(Xn−1 (τ−)−X (τ−))2∇τ = 2K (T − a+ 4N) ∫ t a E(Xn−1 (τ−)−X (τ−))2∇τ = P ∫ t a E(Xn−1 (τ−)−X (τ−))2∇τ ≤ P ∫ t