100 bài tập Hình học lớp 9

C/m H;O;K thẳng hàng. 4. Gọi giao điểm HKvà CM là I.Khi C di động trên nửa đường tròn thì I chạy trên đường nào? C H A O B I P Q K M 2/C/m CHMK là hình vuông: Do  vuông HCM có 1 góc bằng 45o nên CHM vuông cân ở H HC=HM, tương tự CK=MK Do C=H=K=1v CHMK là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau CHMK là hình vuông. 3/C/m H,O,K thẳng hàng: Gọi I là giao điểm HK và MC;do MHCK là hình vuôngHKMC tại trung điểm I của MC.Do I là trung điểm MCOIMC(đường kính đi qua trung điểm một dây) Vậy HIMC;OIMC và KIMCH;O;I thẳng hàng. 4/Do góc OIM=1v;OM cố địnhI nằm trên đường tròn đường kính OM. -Giới hạn:Khi CB thì IQ;Khi CA thì IP.Vậy khi C di động trên nửa đường tròn (O) thì I chạy trên cung tròn PHQ của đường tròn đường kính OM.  Hình 17 1/C/m:BOMK nội tiếp: Ta có BCA=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CM là tia phân giác của góc BCAACM=MCB=45o. cungAM=MB=90o. dây AM=MB có O là trung điểm AB OMAB hay gócBOM=BKM=1v BOMK nội tiếp. 21 Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB=2a,chiều rộng BC=a.Kẻ tia phân giác của góc ACD,từ A hạ AH vuông góc với đường phân giác nói trên. 1/Chứng minhAHDC nt trong đường tròn tâm O mà ta phải định rõ tâm và bán kính theo a. 2/HB cắt AD tại I và cắt AC tại M;HC cắt DB tại N.Chứng tỏ HB=HC. Và AB.AC=BH.BI 3/Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại H của (O) 4/Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường này cắt HC ở K và cắt (O) ở J.Chứng minh HOKD nt. Xét hai HCAABI có A=H=1v và ABH=ACH(cùng chắn cung AH)  HCA∽ABI  BI AC AB HC  mà HB=HCđpcm 3/Gọi tiếp tuyến tại H của (O) là Hx. DoAH=HD;AO=HO=DOAHO=HODAOH=HOD màAOD cân ở OOHAD và OHHx(tính chất tiếp tuyến) nên AD//Hx(1) Do cung AH=HD ABH=ACH=HBDHBD=ACH hay MBN=MCN hay 2 điểm B;C cùng làm với hai đầu đoạn MN những góc bằng nhau MNCB nội tiếpNMC=NBC(cùng chắn cung NC) mà DBC=DAC (cùng chắn cung DC) NMC=DAC MN//DA(2).Từ (1)và (2)MN//Hx. 4/C/m HOKD nội tiếp: Do DJ//BHHBD=BDJ (so le)cung BJ=HD=AH= 2 AD mà cung AD=BCcung BJ=JCH;O;J thẳng hàng tức HJ là đường kính HDJ= 1v .Góc HJD=ACH(cùng chắn 2 cung bằng nhau)OJK=OCKCJ cùng làm với hai đầu đoạn OK những góc bằng nhauOKCJ nội tiếp KOC=KJC (cùng chắn cung KC);KJC=DAC(cùng chắn cung DC)KOC=DACOK//AD mà ADHJOKHOHDKC nội tiếp.  x A B M H I O J N K D C 22 H I M A O B Bài 19: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB,bán kính OCAB.Gọi M là 1 điểm trên cung BC.Kẻ đường cao CH của tam giác ACM. 1. Chứng minh AOHC nội tiếp. 2. Chứng tỏ CHM vuông cân và OH là phân giác của góc COM. 3. Gọi giao điểm của OH với BC là I.MI cắt (O) tại D.Cmr:CDBM là hình thang cân. 4. BM cắt OH tại N.Chứng minh BNI và AMC đồng dạng,từ đó suy ra: BN.MC=IN.MA. C N D Sđ CMA= 2 1 sđcung AC=45 o .CHM vuông cân ở M. C/m OH là phân giác của góc COM:Do CHM vuông cân ở HCH=HM; CO=OB(bán kính);OH chungCHO=HOMCOH=HOMđpcm. 3/C/m:CDBM là thang cân: Do OCM cân ở O có OH là phân giácOH là đường trung trực của CM mà IOHICM cân ở IICM=IMC mà ICM=MDB(cùng chắn cung BM) IMC=IDB hay CM//DB.Do IDB cân ở IIDB=IBD và MBC=MDC(cùng chắn cungCM) nên CDB=MBDCDBM là thang cân. 4/C/m BNI và AMC đồng dạng: Do OH là đường trung trực của CM và NOH CN=NM. Do AMB=1vHMB=1v hay NMAM mà CHAMCH//NM,có góc CMH=45 oNHM=45oMNH vuông cân ở M vậy CHMN là hình vuông INB=CMA=45o. Do CMBD là thang cânCD=BM cungCD=BM mà cung AC=CBcungAD=CM và CAM=CBM(cùng chắn cung CM) INB=CMA đpcm 1/C/m AOHC nội tiếp: (học sinh tự chứng minh) 2/C/mCHM vuông cân: Do OCAB trại trung điểm OCung AC=CB=90 o . Ta lại có: Hình 19 23 K O D N Bài 20: Cho  đều ABC nội tiếp trong (O;R).Trên cnạh AB và AC lấy hai điểm M;N sao cho BM=AN. 1. Chứng tỏ OMN cân. 2. C/m :OMAN nội tiếp. 3. BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E.C/m BC2+DC2=3R2. 4. Đường thẳng CE và AB cắt nhau ở F.Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại I;AO kéo dài cắt BC tại J.C/m BI đi qua trung điểm của AJ. F A I E M B J C AOC=120oAOE=60o AOE là tam giác đều có ADOEOD=ED= 2 R Aùp dụng Pitago ta có:OD 2 =OC 2 -CD 2 =R 2 -CD 2 .(2) Từ (1)và (2)BC2=R2+2.R. 2 R +CD 2 -CD 2 =3R 2 . 4/Gọi K là giao điểm của BI với AJ. Ta có BCE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)có B=60 oBFC=30o. BC= 2 1 BF mà AB=BC=AB=AF.Do AOAI(t/c tt) và AJBCAI//BC có A là trung điểm BFI là trung điểm CF. Hay FI=IC. Do AK//FI.Aùp dụng hệ quả Talét trong BFI có: BI BK EI AK  Do KJ//CI.Aùp dụng hệ quả Talét trong BIC có: BI BK CJ KJ  Mà FI=CIAK=KJ (đpcm)  1/C/m OMN cân: Do ABC là tam giác đều nội tiếp trong (O)AO và BO là phân giác của ABC OAN=OBM=30o; OA=OB=R và BM=AN(gt)OMB=ONA OM=ON OMN cân ở O. 2/C/m OMAN nội tiếp: do OBM=ONA(cmt)BMO=ANO mà BMO+AMO=2vANO+AMO=2v. AMON nội tiếp. 3/C/m BC 2 +DC 2 =3R 2 . Do BO là phân giác của đều BOAC hay BOD vuông ở D.Aùp dụng hệ thức Pitago ta có: BC 2 =DB 2 +CD 2 =(BO+OD) 2 +CD 2 = =BO 2 +2.OB.OD+OD 2 +CD 2 .(1) Mà OB=R.AOC cân ở O có OAC=30o. Hình 20 CI KJ FI AK  24 I Bài 21: Cho ABC (A=1v)nội tiếp trong đường tròn tâm (O).Gọi M là trung điểm cạnh AC.Đường tròn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC ở N và cắt (O) tại D. 1. C/m ABNM nội tiếp và CN.AB=AC.MN. 2. Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến của (I). 3. Tia IO cắt đường thẳng AB tại E.C/m BMOE là hình bình hành. 4. C/m NM là phân giác của góc AND. A M D B O N C E Hay BDDC. Qua điểm D có hai đường thẳng BD và DM cùng vuông góc với DCB;M;D thẳng hàng. C/m OM là tiếp tuyến của (I):Ta có MO là đường trung bình của ABC (vì M;O là trung điểm của AC;BC-gt)MO//AB mà ABAC(gt)MOAC hay MOIC;M(I)MO là tiếp tuyến của đường tròn tâm I. 3/C/m BMOE là hình bình hành: MO//AB hay MO//EB.Mà I là trung điểm MC;O là trung điểm BCOI là đường trung bình của MBCOI//BM hay OE//BMBMOE là hình bình hành. 4/C/m MN là phân giác của góc AND: Do ABNM nội tiếp MBA=MNA(cùng chắn cung AM) MBA=ACD(cùng chắn cung AD) Do MNCD nội tiếp ACD=MND(cùng chắn cung MD) ANM=MNDđpcm.  1/ C/m ABNM nội tiếp: (dùng tổng hai góc đối) C/m CN.AB=AC.MN Chứng minh hai tam giác vuông ABC và NMC đồng dạng. 2/C/m B;M;D thẳng hàng. Ta có MDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I) hay MD  DC. BDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) Hình 21 25 Bài 22: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.Gọi I là điểm bất kỳ trên đường chéo AC.Qua I kẻ các đường thẳng song song với AB;BC,các đường này cắt AB;BC;CD;DA lần lượt ở P;Q;N;M. 1. C/m INCQ là hình vuông. 2. Chứng tỏ NQ//DB. 3. BI kéo dài cắt MN tại E;MP cắt AC tại F.C/m MFIN nội tiếp được trong đường tròn.Xác định tâm. 4. Chứng tỏ MPQN nội tiếp.Tính diện tích của nó theo a. 5. C/m MFIE nội tiếp. A M D F E P I N B Q C Hay NQACNQ//DB. 3/C/m MFIN nội tiếp: Do MPAI(tính chất hình vuông)MFI=1v;MIN=1v(gt) hai điểm F;I cùng làm với hai đầu đoạn MNMFIN nội tiếp. Tâm của đường tròn này là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật MFIN. 4/C/m MPQN nội tiếp: Do NQ//PMMNQP là hình thang có PN=MQMNQP là thang cân.Dễ dàng C/m thang cân nội tiếp. TÍnh SMNQP=SMIP+SMNI+SNIQ+SPIQ= 2 1 SAMIP+ 2 1 SMDNI+ 2 1 SNIQC+ 2 1 SPIQB = 2 1 SABCD= 2 1 a 2 . 5/C/m MFIE nội tiếp: Ta có các tam giác vuông BPI=IMN(do PI=IM;PB=IN;P=I=1v. PIB=IMN mà PBI=EIN(đ đ)IMN=EIN Ta lại có IMN+ENI=1vEIN+ENI=1vIEN=1v mà MFI=1vIEM+MFI=2v FMEI nội tiếp 1/C/m INCQ là hình vuông: MI//AP//BN(gt)MI=AP=BN NC=IQ=PD NIC vuông ở N có ICN=45 o (Tính chất đường chéo hình vuông)NIC vuông cân ở N INCQ là hình vuông. 2/C/m:NQ//DB: Do ABCD là hình vuông DBAC Do IQCN là hình vuông NQIC Hình 22 26 E I H  Bài 23: Cho hình vuông ABCD,N là trung điểm DC;BN cắt AC tại F,Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN.(O) cắt AC tại E.BE kéo dài cắt AD ở M;MN cắt (O) tại I. 1. C/m MDNE nội tiếp. 2. Chứng tỏ BEN vuông cân. 3. C/m MF đi qua trực tâm H của BMN. 4. C/m BI=BC và IE F vuông. 5. C/m FIE là tam giác vuông. Q B A M D N C Ta có BIN=1v(góc nt chắn nửa đtròn) BIMN. Mà ENBM(cmt)BI và EN là hai đường cao của BMNGiao điểm của EN và BI là trực tâm H.Ta phải C/m M;H;F thẳng hàng. Do H là trực tâm BMNMHBN(1) MAF=45 o (t/c hv);MBF=45 o (cmt)MAF=MBF=45oMABF nội tiếp.MAB+MFB=2v mà MAB=1v(gt)MFB=1v hay MFBM(2) Từ (1)và (2)M;H;F thẳng hàng. 4/C/m BI=BC: Xét 2vuông BCN và BIN có cạnh huyền BN chung;NBC=NEC (cùng chắn cung NC).Do MEN=MFN=1vMEFN nội tiếpNEC=FMN(cùng chắn cung FN);FMN=IBN(cùng phụ với góc INB)IBN=NBCBCN=BIN.BC=BI *C/m IEF vuông:Ta có EIB=ECB(cùng chắn cung EB) và ECB=45o EIB=45o Do HIN+HFN=2vIHFN nội tiếpHIF=HNF (cùng chắn cung HF);mà HNF=45o(do EBN vuông cân)HIF=45o . Từvà EIF=1v đpcm 5/ * C/mBM là đường trung trực của QH:Do AI=BC=AB(gt và cmt)ABI cân ở B.Hai vuông ABM và BIM có cạnh huyền BM chung;AB=BIABM=BIMABM=MBI;ABI cân ở B có BM là phân giác BM là đường trung trực của QH. 1/C/m MDNE nội tiếp. Ta có NEB=1v(góc nt chắn nửa đường tròn) MEN=1v;MDN=1v(t/c hình vuông) MEN+MDN=2vđpcm 2/C/m BEN vuông cân: NEB vuông(cmt) Do CBNE nội tiếp ENB=BCE(cùng chắn cung BE) mà BCE=45 o (t/c hv)ENB=45ođpcm. 3/C/m MF đi qua trực tâm H của BMN. Hình 23 27 *C/mMQBN là thang cân: Tứ giác AMEQ có A+QEN=2v(do ENBM theo cmt) AMEQ nội tiếpMAE=MQE(cùng chắn cung ME) mà MAE=45o và ENB=45o(cmt) MQN=BNQ=45o MQ//BN.ta lại có MBI=ENI(cùng chắn cungEN) và MBI=ABM vàIBN=NBC(cmt)  QBN=ABM+MBN=ABM+45o(vì MBN=45o)MNB=MNE+ENB=MBI+45o MNB=QBNMQBN là thang cân. Bài 24: Cho ABC có 3 góc nhọn(AB<AC).Vẽ đường cao AH.Từ H kẻ HK;HM lần lượt vuông góc với AB;AC.Gọi J là giao điểm của AH và MK. 1. C/m AMHK nội tiếp. 2. C/m JA.JH=JK.JM 3. Từ C kẻ tia Cxvới AC và Cx cắt AH kéo dài ở D.Vẽ HI;HN lần lượt vuông góc với DB và DC. Cmr : HKM=HCN 4. C/m M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn. A J M K B H C I N D Mà HAM=MHC (cùng phụ với góc ACH). Do HMC=MCN=CNH=1v(gt)MCNH là hình chữ nhật MH//CN hay MHC=HCNHKM=HCN. 4/C/m: M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn. Do BKHI nội tiếpBKI=BHI(cùng chắn cung BI);BHI=IDH(cùng phụ với góc IBH) Do IHND nội tiếpIDH=INH(cùng chắn cung IH)BKI=HNI 1/C/m AMHK nội tiếp: Dùng tổng hai góc đối) 2/C/m: JA.JH=JK.JM Xét hai tam giác:JAM và JHK có: AJM=KJH (đđ).Do AKHM nt HAM=HKM( cùng chắn cung HM) JAM∽JKH đpcm 3/C/m HKM=HCN vì AKHM nội tiếp HKM=HAM(cùng chắn cung HM) Hình 24 28 Do AKHM nội tiếpAKM=AHM(cùng chắn cung AM);AHM=MCH(cùng phụ với HAM) Do HMCN nội tiếpMCH=MNH(cùng chắn cung MH)AKM=MNH mà BKI+AKM+MKI=2vHNI+MNH+MKI=2v hay IKM+MNI=2v M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn. 29 I Bài 25: Cho ABC (A=1v),đường cao AH.Đường tròn tâm H,bán kính HA cắt đường thẳng AB tại D và cắt AC tại E;Trung tuyến AM của ABC cắt DE tại I. 1. Chứng minh D;H;E thẳng hàng. 2. C/m BDCE nội tiếp.Xác định tâm O của đường tròn này. 3. C?m AMDE. 4. C/m AHOM là hình bình hành. A E B H M C D O BDE=BCEHai điểm D;C cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BE Xác định tâm O:O là giao điểm hai đường trung trực của BE và BC. 3/C/m:AMDE: Do M là trung điểm BCAM=MC=MB= 2 BC MAC=MCA;mà ABE=ACB(cmt)MAC=ADE. Ta lại có:ADE+AED=1v(vì A=1v)CAM+AED=1vAIE=1v vậy AMED. 4/C/m AHOM là hình bình hành: Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp BECDOM là đường trung trực của BC OMBCOM//AH. Do H là trung điểm DE(DE là đường kính của đường tròn tâm H)OHDE mà AMDEAM//OHAHOM là hình bình hành.  1/C/m D;H;E thẳng hàng: Do DAE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm H)DE là đường kính D;E;H thẳng hàng. 2/C/m BDCE nội tiếp: HAD cân ở H(vì HD=HA=bán kính của đt tâm H)HAD=HAD mà HAD=HCA(Cùng phụ với HAB) Hình 25 30 E F M Bài 26: Cho ABC có 2 góc nhọn,đường cao AH.Gọi K là điểm dối xứng của H qua AB;I là điểm đối xứng của H qua AC.E;F là giao điểm của KI với AB và AC. 1. Chứng minh AICH nội tiếp. 2. C/m AI=AK 3. C/m các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn. 4. C/m CE;BF là các đường cao của ABC. 5. Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác của HFE chính là trực tâm của ABC. I A K B H C 2/C/m AI=AK: Theo chứng minh trên ta có:AI=AH.Do K đx với H qua AB nên AB là đường trung trực của KHAH=AK AI=AK(=AH) 3/C/m A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn: DoEABvà ABlà trung trực của KHEK=EH;EA chung;AH=AKAKE=AHEAKE=EHA màAKI cân ở A(theo c/m trên AK=AI) AKI=AIK.EHA=AIE hai điểm I và K cung làm với hai đầu đoạn AEA;E;H;I cùng nằm trên một đường tròn ký hiệu là (C) Theo cmt thì A;I;CV;H cùng nằm trên đường tròn(C’)  (C) và (C’) trùng nhau vì có chung 3 điểm A;H;I không thẳng hàng) 4/C/m:CE;BF là đường cao của ABC. Do AEHCI cùng nằm trên một đường tròn có AIC=1vAC là đường kính.AEC=1v ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)Hay CE là đường cao của ABC.Chứng minh tương tự ta có BF là đường cao 5/Gọi M là giao điểmAH và EC.Ta C/m M là giao điểm 3 đường phân giác của HFE. EBHM nt MHE=MBE(cùng chắn cungEM) BEFC nt FBE=ECF (Cùng chắn cung EF) HMFC ntFCM=FMH(cùng chắn cung MF) 1/C/m AICH nội tiếp: Do I đx với H qua ACAC là trung trực của HIAI=AH và HC=IC;AC chung AHC=AIC(ccc) AHC=AIC mà AHC=1v(gt)AIC=1v AIC+AHC=2v AICH nội tiếp. Hình 26 EHM=MHF HA là pg 31 C/m tương tự có EC là phân giác của FHEđpcm. Bài 27: Cho ABC(AB=AC) nội tiếp trong (O).Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC.Trên tia BM lấy MK=MC và trên tia BA lấy AD=AC. 1. C/m: BAC=2BKC 2. C/m BCKD nội tiếp.,xác định tâm của đường tròn này. 3. Gọi giao điểm của DC với (O) là I.C/m B;O;I thẳng hàng. 4. C/m DI=BI. D A I K M B C AD=AC(gt)ADC cân ở AADC=ACDBAC=2BDC Nhưng ta lại có:BAC=2BKC(cmt)BDC=BKC BCKD nội tiếp. Xác định tâm:Do AB=AC=ADA là trung điểm BD trung tuyến CA= 2 1 BDBCD vuông ở C .Do BCKD nội tiếp DKB=DCB(cùng chắn cungBD).Mà BCD=1vBKD=1vBKD vuông ở K có trung tuyến KAKA= 2 1 BD AD=AB=AC=AK A là tâm đường tròn 3/C/m B;O;I thẳng hàng:Do góc BCI=1v,mà B;C;I(O) BI là đường kính B;O;I thẳng hàng. 4/C/mBI=DI: Cách 1: Ta có BAI=1v(góc nội tiếp chắn nử đường tròn)hay AIDB,có A là trung điểmAI là đường trung trực của BDIBD cân ở IID=BI 1/Chứng tỏ:BAC=BMC (cùng chắn cung BC) BMC=MKC+MCK(góc ngoài MKC) Mà MK=MC(gt)MKC cân ở MMKC=MCK BMC=2BKC. BAC=2BKC. 2/C/mBCKD nội tiếp: Ta có BAC=ADC+ACD(góc ngoài ADC) mà Hình 27 32 M N  O Cách 2: ACI=ABI(cùng chắn cung AI)ADC cân ở DACI=ADIBDC=ACDIDB=IBDBID cân ở Iđpcm. Bài 28: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O).Gọi I là điểm chính giữa cung AB(Cung AB không chứa điểm C;D).IC và ID cắt AB ở M;N. 1. C/m D;M;N;C cùng nằm trên một đường tròn. 2. C/m NA.NB=NI.NC 3. DI kéo dài cắt đường thẳng BC ở F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD ở E.C/m:EF//AB. 4. C/m :IA2=IM.ID. E F I B A D C IAB=ICB(cùng chắn cung BI) INA=BNC(đ đ)NAI∽NCBđpcm. 3/C/m EF//AB: Do IDA=ICB(cùng chắn hai cung hai cung bằng nhau IA=IB) hay EDF=ECF hai điểm D và C cùng làm với hai đầu đoạn EFEDCF nội tiếp  EFD=ECD(cùng chắn cung ED),mà ECD=IMN(cmt) EFD=FMN EF//AB. 4/C/m: IA 2 =IM.ID. 2 AIM∽DIA vì: I chung;IAM=IDA(hai góc nt chắn hai cung bằng nhau) đpcm.  1/C/m D;M;N;C cùng nằm trên một đường tròn. Sđ IMB= 2 1 sđcung(IB+AD) Sđ NCD= 2 1 Sđ cungDI Mà cung IB=IAIMB=NCD IMB=NCD. Ta lại có IMN+DMN=2v NCD+DMN=2vMNCD nộitiếp. 2/Xét 2NBC và NAI có: Hình 28 33 E C Bài 29: Cho hình vuông ABCD,trên cạnh BC lấy điểm E.Dựng tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài tại F.Kẻ trung tuyến AI của AEF,AI kéo dài cắt CD tại K.qua E dựng đường thẳng song song với AB,cắt AI tại G. 1. C/m AECF nội tiếp. 2. C/m: AF2=KF.CF 3. C/m:EGFK là hình thoi. 4. Cmr:khi E di động trên BC thì EK=BE+DK và chu vi CKE có giá trị không đổi. 5. Gọi giao điểm của EF với AD là J.C/m:GJJK. Giải: F A J D G I K B 3/C/m: EGFK là hình thoi. -Do AK là đường trung trực của FEGFE cân ở G GFE=GEF.Mà GE//CF (cùng vuông góc với AD)GEF=EFK(so le) GFI=IFKFI là đường trung trực của GKGI=IK,mà I F=IEGFKE là hình thoi. 4/C/m EK=BE+DK: vuông ADF và ABE có AD=AB;AF=AE.(AE F vuông cân)ADF=ABE BE=DF nà FD+DK=FK VÀ FK=KE(t/v hình thoi)KE=BE+DK C/m chu vi tam giác CKE không đổi:Gọi chu vi là C= KC+EC+KE =KC+EC+BE +DK =(KC+DK)+(BE+EC)=2BC không đổi. 5/C/m IJJK: Do JIK=JDK=1vIJDK nội tiếp JIK=IDK(cùng chắn cung IK) IDK=45o(T/c hình vuông) JIK=45oJIK vuông vân ở IJI=IK,mà IK=GI 1/C/m AECF nội tiếp: FAE=DCE=1v(gt)  AECF nội tiếp 2/C/m: AF 2 =KF.CF. Do AECF nội tiếp DCA=FEA(cung chắn cung AF).Mà DCA=45 o (Tính chất hình vuông) FEA=45oFAE vuông cân ở A có FI=IEAIFE FAK=45o. FKA=ACF=45o.Và KFA chung FKA∽FCA  FA FK FC FA  đpcm. Hình 29 34  O M H N I C G JI=IK=GI= 2 1 GKGJK vuông ở J hay GJJK. Bài 30: Cho ABC.Gọi H là trực tâm của tam giác.Dựng hình bình hành BHCD. Gọi I là giao điểm của HD và BC. 1. C/m:ABDC nội tiếp trong đường tròn tâm O;nêu cáh dựng tâm O. 2. So sánh BAH và OAC. 3. CH cắt OD tại E.C/m AB.AE=AH.AC 4.Gọi giao điểm của AI và OH là G.C/m G là trọng tâm của ABC. A Q B Và BHACCDAC hay ACD=1v,mà A;D;Cè nằm trên đường trònAD là đường kính.Vậy O là trung điểm AD. 2/So sánh BAH và OAC: BAN=QCB(cùng phụ với ABC) mà CH//BD( do BHCD là hình bình hành) QCB=CBD(so le);CBD=DAC(cùng chắn cung CD)BAH=OAC. 3/c/m: AB.AE=AH.AC: Xét hai tam giác ABH và ACE có EAC=HCB(cmt);ACE=HBA(cùng phụ với BAC)ABH∽ACEđpcm 4/C/m G là trọng tâm của ABC.ta phải cm G là giao điểm ba đường trung tuyến hay GJ= 3 1 AI. Do IB=ICOIBC mà AHBCOI//AH.Theo định lý Ta Lét trong AGH D 1/c/m:ABDC nội tiếp: Gọi các đường cao của ABC là AN;BM;CN. Do AQH+HMA=2vAQHM nội tiếpBAC+QHM=2v mà QHM=BHC(đ đ) BHC=CDB(2 góc đối của hình bình hành) BAC+CDB=2VABDC nội tiếp. Cách xác định tâm O:do CD//BH(t/c hình bình hành) Hình 30 35  O  AG GI AH OI  .Do I là trung điểm HDO là trung điểm AD 2 1  AH OI (T/c đường trung bình) 2 1  AG GI AH OI GI= 2 1 AG. Hay GI= 3 1 AIG là trọng tâm của ABC.  Bài 31: Cho (O0 và cung AB=90 o .C là một điểm tuỳ ý trên cung lớn AB.Các đường cao AI;BK;CJ của ABC cắt nhau ở H.BK cắt (O) ở N;AH cắt (O) tại M.BM và AN gặp nhau ở D. 1. C/m:B;K;C;J cùng nằm trên một đường tròn. 2. c/m: BI.KC=HI.KB 3. C/m:MN là đường kính của (O) 4. C/m ACBD là hình bình hành. 5. C/m:OC//DH. N D A M K B C I J H Tam giác vuông cânKBC=45oIBH=KBC=45oIBH cũng là tam giác vuông cân.Ta lại có: AMD=MAB+ABM(góc ngoài tam giác MAB).Mà sđMAB= 2 1 sđMB Bài này có hai hình vẽ tuỳ vào vị trí của C.Cách c/m tương tự 1/C/m B;K;C;J cùng nằm trên một đường tròn. -Sử dụng tổng hai góc đốùi. -Sử dụng hai góc cùng làm với hai đầu đoạn thẳng một góc vuông. 2/C/m: BI.KC=HI.KB. Xét hai tam giác vuông BIH và BKC có IBH=KBC(đ đ) đpcm 3/ C/m MN là đường kính của (O). Do cung AB=90 o .ACB=ANB=45o KBC;AKN là những Hình 31 36 E  O SđABM= 2 1 sđAM và cung MA+AM=AB=90 o .AMD=45o và AMD=BMH(đ đ) BMI=45oBIM vuông cânMBI=45oMBH=MBI+IBH=90o hay MBN=1vMN là đường kính của (O). 5/C/m OH//DH. Do MN là đường kính MAN=1v(góc nt chắn nửa đtròn) mà CAN =45o. MAC=45o hay cung MC=90oMNC=45o.Góc ở tâm MOC chắn cung MC=90 oMOC=90oOCMN. Do DBNH;HADN;AH và DB cắt nhau ở MM là trực tâm của DNH MNDHOC//DH.  Bài 32: Cho hình vuông ABCD.Gọi N là một điểm bất kỳ trên CD sao cho CN<ND;Vẽ đường tròn tâm O đườn kính BN.(O) cắt AC tại F;BF cắt AD tại M;BN cắt AC tại E. 1. C/m BFN vuông cân. 2. C/m:MEBA nội tiếp 3. Gọi giao điểm của ME và NF là Q.MN cắt (O) ở P.C/m B;Q;P thẳng hàng. 4. Chứng tỏ ME//PC và BP=BC. 5. C/m FPE là tam giác vuông A B F M Q P D N C FME=45o và MAC=45o(tính chất hình vuông)FME=MAC=45o. MABE nội tiếp. 3/C/m B;Q;P thẳng hàng: Do MABE ntMAB+NEB=2v;mà MAB=1v(t/c hình vuông)MEB=1v hay MEBN.Theo cmt NFBMQ là trực tâm của BMNBQMN(1) Ta lại có BPN=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay BPMN(2). 1/c/m:BFN vuông cân: ANB=FCB(cùng chắn cung FB).Mà FCB=45 o (tính chất hình vuông) ANB=45o Mà NFB=1v(góc nt chắn nửa đường tròn) BFN vuông cân ở F 2/C/m MEBA Nội tiếp: DoFBN vuông cân ở F Hình 32 37 K Từ (1)và(2)B;Q;P thẳng hàng. 4/C/m MF//PC. Do MFN=MEN=1vMFEN nội tiếpFNM=FEM(cùng chắn cung MF) Mà FNP=FNM=FCD(cùng chắn cung PF của (O) FEM=FCPME//CP C/m:BP=BC:Do ME//CP và MEBNCPBN.Đường kính MN vuông góc với dây CPBN là đường trung trực của CP hay BCP cân ở BBC=BP. 5/C/m FPE vuông: Do FPNB nội tiếpFPB=FNB=45o(cmt) Dễ dàng cm được QENP nội tiếpQPE=QNE=45ođpcm.  Bài 33: Trên đường tròn tâm O lần lượt lấy bốn điểm A;B;C;D sao cho AB=DB.AB và CD cắt nhau ở E.BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn(O) ở Q;DB cắt AC tại K. 1. Cm: CB là phân giác của góc ACE. 2. c/m:AQEC nội tiếp. 3. C/m:KA.KC=KB.KD 4. C/m:QE//AD. Q E B A C O D QAB=ADB=BCE(cmt) QAE=QCDhai điểm A và C cùng làm với hai đầu đoạn QEđpcm 3/C/m: KA.KC=KB.KD. 1/C/m CB là phân giác của góc ACE: Do ABCD nội tiếp BCD+BAD=2v Mà BCE+BCD=2VBCE=BAD. Do AB=AC(gt)BAD cân ở BBAD=BDA.ta lại có BDA=BCA (Cùng chắn cung AB)BCE=BCA đpcm. 2/C/m AQEC nội tiếp: Ta có sđ QAB= 2 1 SđAB(góc giữa tiếp tuyến và một dây) Sđ ADB=Sđ 2 1 AB Hình 33 38 C/m KAB∽KDC. 4/C/m:QE//AD: Do AQEC ntQEA=QCA(cùng chắn cung QA) mà QCA=BAD(cmt) QEA=EADQE//AD.  39 Bài 34: Cho (O) và tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB=BC.Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn.CE và CF cắt (O) lần lượt ở M và N.Dựng hình bình hành AECD. 1. C/m:D nằm trên đường thẳng BF. 2. C/m ADCF nội tiếp. 3. C/m: CF.CN=CE.CM 4. C/m:MN//AC. 5. Gọi giao điểm của AF với MN là I.Cmr:DF đi qua trung điểm của NI. C D B E N J A O I F M hai điểm F và C cùng làm với 2 đầu đoạn ADđpcm 3/C/m: CF.CN=CE.CM. ta c/m CEF∽CNM. 4/C/m:MN//AC. Do ADCF ntDAC=DFC(cùng chắn cung CD).Mà ADCE là hình bình hành DAC=ACE(so le),ta lại có CFD=NME(cùng chắn cung EN)ACM=CMN AC//MN. 5/C/m:DF đi qua t