128 đề ôn tập Toán lớp 9

C lÊy ®iÓm E, qua E kÎ c¸c ®−êng th¼ng song song víi AB vµ AC chóng c¾t AC t¹i P vµ c¾t AB t¹i Q. 1) Chøng minh BP = CQ. 2) Chøng minh tø gi¸c ACEQ lµ tø gi¸c néi tiÕp. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña E trªn c¹nh BC ®Ó ®o¹n PQ ng¾n nhÊt. 3) Gäi H lµ mét ®iÓm n»m trong tam gi¸c ABC sao cho HB2 = HA2 + HC2. TÝnh gãc AHC. §Ò sè 54 (§Ò thi cña tØnh H¶i D−¬ng n¨m häc 2000 – 2001) C©u I Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3. 1) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó hµm sè lu«n nghÞch biÕn. 2) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 3. 3) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè trªn vµ c¸c ®å thÞ cña c¸c hµm sè y = -x + 2 ; y = 2x – 1 ®ång quy. C©u II Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh : 1) x2 + x – 20 = 0 2) 1 1 1 x 3 x 1 x + =− − 3) 31 x x 1− = − . C©u III Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A néi tiÕp ®−êng trßn t©m O, kÎ ®−êng kÝnh AD, AH lµ ®−êng cao cña tam gi¸c (H ∈ BC). 1) Chøng minh tø gi¸c ABDC lµ h×nh ch÷ nhËt. 2) Gäi M, N thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B, C trªn AD. Chøng minh HM vu«ng gãc víi AC. 33 3) Gäi b¸n kÝnh cña ®−êng trßn néi tiÕp, ngo¹i tiÕp tam gi¸c vu«ng ABC lµ r vµ R. Chøng minh : r + R ≥ AB.AC . §Ò sè 55 (§Ò thi cña tØnh H¶i D−¬ng n¨m häc 2000 – 2001) C©u I Cho ph−¬ng tr×nh: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0. 1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi m = 0. 2) Gäi hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n 5x1 + x2 = 4. C©u II Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3. 1) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè song song víi ®å thÞ hµm sè y = -2x + 1. 2) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm (1 ; -4). 3) T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ cña hµm sè lu«n ®i qua víi mäi m. 4) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè t¹o víi trôc tung vµ trôc hoµnh mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 1 (®vdt). C©u III Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®−êng trßn t©m O, ®−êng ph©n gi¸c trong cña gãc A c¾t c¹nh BC t¹i D vµ c¾t ®−êng trßn ngo¹i tiÕp t¹i I. 1) Chøng minh OI vu«ng gãc víi BC. 2) Chøng minh BI2 = AI.DI. 3) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn c¹nh BC. Chøng minh r»ng : BAH CAO= . 4) Chøng minh : HAO B C= − . §Ò sè 56 (§Ò thi cña tØnh H¶i D−¬ng n¨m häc 2001 – 2002) C©u I (3,5®) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: 1) x2 – 9 = 0 2) x2 + x – 20 = 0 3) x2 – 2 3 x – 6 = 0. C©u II (2,5®) Cho hai ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; -1). 1) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB. 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®−êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song víi ®−êng th¼ng AB ®ång thêi ®i qua ®iÓm C(0 ; 2). C©u III (3®) Cho tam gi¸c ABC nhän, ®−êng cao kÎ tõ ®Ønh B vµ ®Ønh C c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC lÇn l−ît t¹i E vµ F. 1) Chøng minh AE = AF. 2) Chøng minh A lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c EFH. 3) KÎ ®−êng kÝnh BD, chøng minh tø gi¸c ADCH lµ h×nh b×nh hµnh. C©u IV (1®) T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x, y) tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh: 3 x 7 y 3200+ = . §Ò sè 57 (§Ò thi cña tØnh H¶i D−¬ng n¨m häc 2001 – 2002) 34 C©u I (3,5®) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau : 1) 2(x – 1) – 3 = 5x + 4 2) 3x – x2 = 0 3) x 1 x 1 2 x x 1 − +− =− . C©u II (2,5®) Cho hµm sè y = -2x2 cã ®å thÞ lµ (P). 1) C¸c ®iÓm A(2 ; -8), B(-3 ; 18), C( 2 ; -4) cã thuéc (P) kh«ng ? 2) X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®iÓm D cã to¹ ®é (m; m – 3) thuéc ®å thÞ (P). C©u III (3®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®−êng cao AH. §−êng trßn ®−êng kÝnh AH c¾t c¹nh AB t¹i M vµ c¾t c¹nh AC t¹i N. 1) Chøng minh r»ng MN lµ ®−êng kÝnh cña ®−êng trßn ®−êng kÝnh AH. 2) Chøng minh tø gi¸c BMNC néi tiÕp. 3) Tõ A kÎ ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi MN c¾t c¹nh BC t¹i I. Chøng minh: BI = IC. C©u IV (1®) Chøng minh r»ng 5 2− lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: x2 + 6x + 7 = 2 x , tõ ®ã ph©n tÝch ®a thøc x3 + 6x2 + 7x – 2 thµnh nh©n tö. §Ò sè 58 (§Ò thi cña tØnh H¶i D−¬ng n¨m häc 2002 – 2003) C©u I (3®) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh: 1) 4x2 – 1 = 0 2) 2 2 x 3 x 1 x 4x 24 x 2 x 2 x 4 + + − +− =− + − 3) 24x 4x 1 2002− + = . C©u II (2,5®) Cho hµm sè y = 2 1 x 2 − . 1) VÏ ®å thÞ cña hµm sè. 2) Gäi A vµ B lµ hai ®iÓm trªn ®å thÞ cña hµm sè cã hoµnh ®é lÇn l−ît lµ 1 vµ -2. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB. 3) §−êng th¼ng y = x + m – 2 c¾t ®å thÞ trªn t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt, gäi x1 vµ x2 lµ hoµnh ®é hai giao ®iÓm Êy. T×m m ®Ó x1 2 + x2 2 + 20 = x1 2x2 2. C©u III (3,5®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C, O lµ trung ®iÓm cña AB vµ D lµ ®iÓm bÊt kú trªn c¹nh AB (D kh«ng trïng víi A, O, B). Gäi I vµ J thø tù lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ACD vµ BCD. 1) Chøng minh OI song song víi BC. 2) Chøng minh 4 ®iÓm I, J, O, D n»m trªn mét ®−êng trßn. 3) Chøng minh r»ng CD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC khi vµ chØ khi OI = OJ. C©u IV (1®) T×m sè nguyªn lín nhÊt kh«ng v−ît qu¸ ( )77 4 3+ . 35 §Ò sè 59 (§Ò thi cña tØnh H¶i D−¬ng n¨m häc 2002 – 2003) C©u I (2,5®) Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – 3. 1) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm (2; 5) 2) Chøng minh r»ng ®å thÞ cña hµm sè lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m. T×m ®iÓm cè ®Þnh Êy. 3) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 2 1− . C©u II (3®) Cho ph−¬ng tr×nh : x2 – 6x + 1 = 0, gäi x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh. Kh«ng gi¶i ph−¬ng tr×nh, h·y tÝnh: 1) x1 2 + x2 2 2) 1 1 2 2x x x x+ 3) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 x 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 x x x x x x x x 1 x x 1 + + + − + − . C©u III (3,5®) Cho ®−êng trßn t©m O vµ M lµ mét ®iÓm n»m ë bªn ngoµi ®−êng trßn. Qua M kÎ tiÕp tuyÕn MP, MQ (P vµ Q lµ tiÕp ®iÓm) vµ c¸t tuyÕn MAB. 1) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB. Chøng minh bèn ®iÓm P, Q, O, I n»m trªn mét ®−êng trßn. 2) PQ c¾t AB t¹i E. Chøng minh: MP2 = ME.MI. 3) Gi¶ sö PB = b vµ A lµ trung ®iÓm cña MB. TÝnh PA. C©u IV (1®) X¸c ®Þnh c¸c sè h÷u tØ m, n, p sao cho (x + m)(x2 + nx + p) = x3 – 10x – 12. §Ò sè 60 (§Ò thi cña tØnh H¶i D−¬ng n¨m häc 2003 – 2004) C©u I (1,5®) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = 4 5 2 3 8 2 18 2 − + − + C©u II (2®) Cho hµm sè y = f(x) = 2 1 x 2 − . 1) Víi gi¸ trÞ nµo cña x hµm sè trªn nhËn c¸c gi¸ trÞ : 0 ; -8 ; - 1 9 ; 2. 2) A vµ B lµ hai ®iÓm trªn ®å thÞ hµm sè cã hoµnh ®é lÇn l−ît lµ -2 vµ 1. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua A vµ B. C©u III (2®) Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: x 2y 3 m 2x y 3(m 2) − = −⎧⎨ + = +⎩ 1) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh khi thay m = -1. 2) Gäi nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ (x, y). T×m m ®Ó x2 + y2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊtl. C©u IV (3,5®) Cho h×nh vu«ng ABCD, M lµ mét ®iÓm trªn ®−êng chÐo BD, gäi H, I vµ K lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn AB, BC vµ AD. 1) Chøng minh :Δ MIC = Δ HMK . 2) Chøng minh CM vu«ng gãc víi HK. 36 3) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó diÖn tÝch cña tam gi¸c CHK ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. C©u V (1®) Chøng minh r»ng : (m 1)(m 2)(m 3)(m 4)+ + + + lµ sè v« tØ víi mäi sè tù nhiªn m. §Ò sè 61 (§Ò thi cña tØnh H¶i D−¬ng n¨m häc 2003 – 2004) C©u I (2®) Cho hµm sè y = f(x) = 2 3 x 2 . 1) H·y tÝnh f(2), f(-3), f(- 3 ), f( 2 3 ). 2) C¸c ®iÓm A 3 1; 2 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , B ( )2; 3 , C ( )2; 6− − , D 1 3; 42⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ cã thuéc ®å thÞ hµm sè kh«ng ? C©u II (2,5®) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau : 1) 1 1 1 x 4 x 4 3 + =− + 2) (2x – 1)(x + 4) = (x + 1)(x – 4) C©u III (1®) Cho ph−¬ng tr×nh: 2x2 – 5x + 1 = 0. TÝnh 1 2 2 1x x x x+ (víi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh). C©u IV (3,5®) Cho hai ®−êng trßn (O1) vµ (O2) c¾t nhau t¹i A vµ B, tiÕp tuyÕn chung cña hai ®−êng trßn vÒ phÝa nöa mÆt ph¼ng bê O1O2 chøa B, cã tiÕp ®iÓm víi (O1) vµ (O2) thø tù lµ E vµ F. Qua A kÎ c¸t tuyÕn song song víi EF c¾t (O1) vµ (O2) thø tù ë C vµ D. §−êng th¼ng CE vµ ®−êng th¼ng DF c¾t nhau t¹i I. Chøng minh: 1) IA vu«ng gãc víi CD. 2) Tø gi¸c IEBF néi tiÕp. 3) §−êng th¼ng AB ®i qua trung ®iÓm cña EF. C©u V (1®) T×m sè nguyªn m ®Ó 2m m 23+ + lµ sè h÷u tØ. §Ò sè 62 (§Ò thi cña tØnh H¶i D−¬ng n¨m häc 2004 – 2005) C©u I (3®) Trong hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho hµm sè y = 3x + m (*). 1) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè ®i qua: a) A(-1; 3) ; b) B( 2 ; -5 2 ) ; c) C(2 ; -1). 2) X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè (*) c¾t ®å thÞ cña hµm sè y = 2x – 1 t¹i ®iÓm n»m trong gãc vu«ng phÇn t− thø IV. C©u II (3®) Cho ph−¬ng tr×nh 2x2 – 9x + 6 = 0, gäi hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2. 1) Kh«ng gi¶i ph−¬ng tr×nh tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc: a) x1 + x2 ; x1x2 b) 3 31 2x x+ c) 1 2x x+ . 37 2) X¸c ®Þnh ph−¬ng tr×nh bËc hai nhËn 21 2x x− vµ 22 1x x− lµ nghiÖm. C©u III (3®) Cho 3 ®iÓm A, B, C th¼ng hµng theo thø tù ®ã. Dùng ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB, BC. Gäi M vµ N thø tù lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn chung víi ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB vµ BC. Gäi E lµ giao ®iÓm cña AM víi CN. 1) Chøng minh tø gi¸c AMNC néi tiÕp. 2) Chøng minh EB lµ tiÕp tuyÕn cña 2 ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB vµ BC. 3) KÎ ®−êng kÝnh MK cña ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB. Chøng minh 3 ®iÓm K, B, N th¼ng hµng. C©u IV (1®) X¸c ®Þnh a, b, c tho¶ m·n: ( ) 2 23 5x 2 a b c x 3x 2 x 2 x 1 x 1 − = + +− + + − − . §Ò sè 63 (§Ò thi cña tØnh H¶i D−¬ng n¨m häc 2004 – 2005) C©u I (3®) Trong hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho hµm sè y = (m – 2)x2 (*). 1) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (*) ®i qua ®iÓm: a) A(-1 ; 3) ; b) B ( )2; 1− ; c) C 1 ; 5 2 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 2) Thay m = 0. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ (*) víi ®å thÞ cña hµm sè y = x – 1. C©u II (3®) Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: (a 1)x y a x (a 1)y 2 − + =⎧⎨ + − =⎩ cã nghiÖm duy nhÊt lµ (x; y). 1) T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo a. 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a tho¶ m·n 6x2 – 17y = 5. 3) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó biÓu thøc 2x 5y x y − + nhËn gi¸ trÞ nguyªn. C©u III (3®) Cho tam gi¸c MNP vu«ng t¹i M. Tõ N dùng ®o¹n th¼ng NQ vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c MNP sao cho NQ = NP vµ MNP PNQ= vµ gäi I lµ trung ®iÓm cña PQ, MI c¾t NP t¹i E. 1) Chøng minh PMI QNI= . 2) Chøng minh tam gi¸c MNE c©n. 3) Chøng minh: MN. PQ = NP. ME. C©u IV (1®) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = 5 3 4 2 x 3x 10x 12 x 7x 15 − − + + + víi 2 x 1 x x 1 4 =+ + . §Ò sè 64 (§Ò thi cña tØnh H¶i D−¬ng n¨m häc 2005 – 2006) C©u I (2®) Cho biÓu thøc: N = ( )2x y 4 xy x y y x x y xy − + −−+ ;(x, y > 0) 38 1) Rót gän biÓu thøc N. 2) T×m x, y ®Ó N = 2. 2005 . C©u II (2®) Cho ph−¬ng tr×nh: x2 + 4x + 1 = 0 (1) 1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh (1). 2) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1). TÝnh B = x1 3 + x2 3. C©u III (2®) T×m sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, biÕt r»ng ch÷ sè hµng chôc lín h¬n ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 2 vµ nÕu ®æi chç hai ch÷ sè cho nhau th× ta ®−îc sè míi b»ng 4 7 sè ban ®Çu. C©u IV (3®) Cho nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh MN. LÊy ®iÓm P tuú ý trªn nöa ®−êng trßn (P ≠ M, P ≠ N). Dùng h×nh b×nh hµnh MNQP. Tõ P kÎ PI vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng MQ t¹i I vµ tõ N kÎ NK vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng MQ t¹i K. 1) Chøng minh 4 ®iÓm P, Q, N, I n»m trªn mét ®−êng trßn. 2) Chøng minh: MP. PK = NK. PQ. 3) T×m vÞ trÝ cña P trªn nöa ®−êng trßn sao cho NK.MQ lín nhÊt. C©u V (1®) Gäi x1, x2, x3, x4 lµ tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) = 1. TÝnh: x1x2x3x4. §Ò sè 65 (§Ò thi cña tØnh H¶i D−¬ng n¨m häc 2005 – 2006) C©u I (2®) Cho biÓu thøc: N = a a a a 1 1 a 1 a 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞+ −+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠⎝ ⎠ 1) Rót gän biÓu thøc N. 2) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó N = -2004. C©u II (2®) 1) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : x 4y 6 4x 3y 5 + =⎧⎨ − =⎩ . 2) T×m gi¸ trÞ cña k ®Ó c¸c ®−êng th¼ng sau : y = 6 x 4 − ; y = 4x 5 3 − vµ y = kx + k + 1 c¾t nhau t¹i mét ®iÓm. C©u III (2®) Trong mét buæi lao ®éng trång c©y, mét tæ gåm 13 häc sinh (c¶ nam vµ n÷) ®· trång ®−îc tÊt c¶ 80 c©y. BiÕt r»ng sè c©y c¸c b¹n nam trång ®−îc vµ sè c©y c¸c b¹n n÷ trång ®−îc lµ b»ng nhau ; mçi b¹n nam trång ®−îc nhiÒu h¬n mçi b¹n n÷ 3 c©y. TÝnh sè häc sinh nam vµ sè häc sinh n÷ cña tæ. C©u IV (3®) Cho 3 ®iÓm M, N, P th¼ng hµng theo thø tù Êy, gäi (O) lµ ®−êng trßn ®i qua N vµ P. Tõ M kÎ c¸c tiÕp tuyÕn MQ vµ MK víi ®−êng trßn (O). (Q vµ K lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Gäi I lµ trung ®iÓm cña NP. 1) Chøng minh 5 ®iÓm M, Q, O, I, K n»m trªn mét ®−êng trßn. 2) §−êng th¼ng KI c¾t ®−êng trßn (O) t¹i F. Chøng minh QF song song víi MP. 3) Nèi QK c¾t MP t¹i J. Chøng minh : MI. MJ = MN. MP. C©u V (1®) Gäi y1 vµ y2 lµ hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh : y2 + 5y + 1 = 0. T×m a vµ b sao cho ph−¬ng tr×nh : x2 + ax + b = 0 cã hai nghiÖm lµ : x1 = y1 2 + 3y2 vµ x2 = y2 2 + 3y1. 39 §Ò sè 66 (§Ò thi cña tØnh H¶i D−¬ng n¨m häc 2006 – 2007) Bµi 1 (3®) 1) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a) 4x + 3 = 0 b) 2x - x2 = 0 2) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: 2x y 3 5 y 4x − =⎧⎨ + =⎩ . Bµi 2 (2®) 1) Cho biÓu thøc: P = a 3 a 1 4 a 4 4 aa 2 a 2 + − −− + −− + (a ≥ 0; a ≠ 4) a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9. 2) Cho ph−¬ng tr×nh : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m lµ tham sè). a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm lµ b»ng 2. T×m nghiÖm cßn l¹i. b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n x1 3 + x2 3 ≥ 0. Bµi 3 (1®) Kho¶ng c¸ch gi÷a hai thµnh phè A vµ B lµ 180 km. Mét « t« ®i tõ A ®Õn B, nghØ 90 phót ë B råi trë l¹i tõ B vÒ A. Thêi gian tõ lóc ®i ®Õn lóc trë vÒ lµ 10 giê. BiÕt vËn tèc lóc vÒ kÐm vËn tèc lóc ®i lµ 5 km/h. TÝnh vËn tèc lóc ®i cña « t«. Bµi 4 (3®) Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®−êng trßn ®−êng kÝnh AD. Hai ®−êng chÐo AC, BD c¾t nhau t¹i E. H×nh chiÕu vu«ng gãc cña E trªn AD lµ F. §−êng th¼ng CF c¾t ®−êng trßn t¹i ®iÓm thø hai lµ M. Giao ®iÓm cña BD vµ CF lµ N. Chøng minh: a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM. c) BE.DN = EN.BD. Bµi 5 (1®) T×m m ®Ó gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc 2 2x m x 1 + + b»ng 2. §Ò sè 67 (§Ò thi cña tØnh H¶i D−¬ng n¨m häc 2006 – 2007) Bµi 1 (3®) 1) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a) 5(x - 1) - 2 = 0 b) x2 - 6 = 0 2) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng y = 3x - 4 víi hai trôc to¹ ®é. Bµi 2 (2®) 1) Gi¶ sö ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh y = ax + b. X¸c ®Þnh a, b ®Ó (d) ®i qua hai ®iÓm A(1; 3) vµ B(-3; - 1). 2) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x 2 - 2(m - 1)x - 4 = 0 (m lµ tham sè). T×m m ®Ó 1 2x x 5+ = . 3) Rót gän biÓu thøc: P = x 1 x 1 2 2 x 2 2 x 2 x 1 + −− −− + − (x ≥ 0; x ≠ 1). Bµi 3 (1®) 40 Mét h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch 300m2. NÕu gi¶m chiÒu réng 3m, t¨ng chiÒu dµi thªm 5m th× ta ®−îc h×nh ch÷ nhËt míi cã diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu. TÝnh chu vi cña h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu. Bµi 4 (3®) Cho ®iÓm A ë ngoµi ®−êng trßn t©m O. KÎ hai tiÕp tuyÕn AB, AC víi ®−êng trßn (B, C lµ tiÕp ®iÓm). M lµ ®iÓm bÊt k× trªn cung nhá BC (M≠ B, M≠ C). Gäi D, E, F t−¬ng øng lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn c¸c ®−êng th¼ng AB, AC, BC; H lµ giao ®iÓm cña MB vµ DF; K lµ giao ®iÓm cña MC vµ EF. 1) Chøng minh: a) MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) MF vu«ng gãc víi HK. 2) T×m vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn cung nhá BC ®Ó tÝch MD.ME lín nhÊt. Bµi 5 (1®) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é (Oxy) cho ®iÓm A(-3; 0) vµ Parabol (P) cã ph−¬ng tr×nh y = x2. H·y t×m to¹ ®é cña ®iÓm M thuéc (P) ®Ó cho ®é dµi ®o¹n th¼ng AM nhá nhÊt. §Ò sè 68 (§Ò thi cña thµnh phè H¶i Phßng n¨m häc 2003 – 2004) C©u I (2®) Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: x ay 1 (1) ax y 2 + =⎧⎨ + =⎩ 1) Gi¶i hÖ (1) khi a = 2. 2) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. C©u II (2®) Cho biÓu thøc: A = x 2 x 1 x 1 : 2x x 1 x x 1 1 x ⎛ ⎞+ −+ +⎜ ⎟⎜ ⎟− + + −⎝ ⎠ , víi x > 0 vµ x ≠ 1. 1) Rót gän biÓu thøc A. 2) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2. C©u III (2®) Cho ph−¬ng tr×nh: (m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*) 1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh khi m = 1. 2) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. C©u IV (3®) Tõ ®iÓm M ë ngoµi ®−êng trßn (O; R) vÏ hai tiÕp tuyÕn MA , MB vµ mét c¸t tuyÕn MCD (MC < MD) tíi ®−êng trßn. Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD. Gäi E, F, K lÇn l−ît lµ giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng AB víi c¸c ®−êng th¼ng MO, MD, OI. 1) Chøng minh r»ng: R2 = OE. OM = OI. OK. 2) Chøng minh 5 ®iÓm M, A, B, O, I cïng thuéc mét ®−êng trßn. 3) Khi cung CAD nhá h¬n cung CBD. Chøng minh : DEC 2.DBC= . C©u V (1®) Cho ba sè d−¬ng x, y, z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y + z = 1. Chøng minh r»ng: 2 2 2 3 2 14 xy yz zx x y z + >+ + + + . §Ò sè 69 (§Ò thi cña tØnh B¾c Giang n¨m häc 2003 – 2004) C©u I (2®) 41 1) TÝnh : ( ) ( )2 1 . 2 1+ − 2) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: x y 1 x y 5 − =⎧⎨ + =⎩ . C©u II (2®) Cho biÓu thøc: A = ( )2 x 2 x 1x x 1 x x 1 : x 1x x x x − +⎛ ⎞− +−⎜ ⎟⎜ ⎟ −− +⎝ ⎠ . 1) Rót gän A. 2) T×m x nguyªn ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn. C©u III (2®) Mét ca n« xu«i dßng tõ bÕn s«ng A ®Õn bÕn s«ng B c¸ch nhau 24 km, cïng lóc ®ã còng tõ A mét bÌ nøa tr«i víi vËn tèc dßng n−íc 4 km/h. Khi ®Õn B ca n« quay l¹i ngay vµ gÆp bÌ nøa tr«i t¹i mét ®Þa ®iÓm C c¸ch A lµ 8 km. TÝnh vËn tèc thùc cña ca n«. C©u IV (3®) Cho ®−êng trßn (O; R), hai ®iÓm C vµ D thuéc ®−êng trßn, B lµ trung ®iÓm cña cung nhá CD. KÎ ®−êng kÝnh BA; trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm S, nèi S víi C c¾t (O) t¹i M; MD c¾t AB t¹i K; MB c¾t AC t¹i H. Chøng minh: 1) BMD BAC= , tõ ®ã suy ra tø gi¸c AMHK lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2) HK song song víi CD. 3) OK. OS = R2. C©u V (1®) Cho hai sè a, b ≠ 0 tho¶ m·n : 1 1 1 a b 2 + = . Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh Èn x sau lu«n cã nghiÖm: (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0. §Ò sè 70 (§Ò thi cña tØnh Th¸i B×nh n¨m häc 2003 – 2004) C©u I (2®) Cho biÓu thøc: A = 2 2 x 1 x 1 x 4x 1 x 2003 . x 1 x 1 x 1 x ⎛ ⎞+ − − − +− +⎜ ⎟− + −⎝ ⎠ . 1) T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi x ®Ó biÓu thøc cã nghÜa. 2) Rót gän A. 3) Víi x ∈ Z ? ®Ó A ∈ Z ? C©u II (2®) Cho hµm sè : y = x + m (D). T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®−êng th¼ng (D) : 1) §i qua ®iÓm A(1; 2003). 2) Song song víi ®−êng th¼ng x – y + 3 = 0. 3) TiÕp xóc víi parabol y = - 2 1 x 4 . C©u III (3®) 1) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph−¬ng tr×nh : Mét h×nh ch÷ nhËt cã ®−êng chÐo b»ng 13m vµ chiÒu dµi lín h¬n chiÒu réng 7m. TÝnh diÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt ®ã. 42 2) Chøng minh bÊt ®¼ng thøc: 2002 2003 2002 2003 2003 2002 + > + . C©u IV (3®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. Nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB c¾t BC t¹i D. Trªn cung AD lÊy E. Nèi BE vµ kÐo dµi c¾t AC t¹i F. 1) Chøng minh CDEF lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2) KÐo dµi DE c¾t AC ë K. Tia ph©n gi¸c cña gãc CKD c¾t EF vµ CD t¹i M vµ N. Tia ph©n gi¸c cña gãc CBF c¾t DE vµ CF t¹i P vµ Q. Tø gi¸c MPNQ lµ h×nh g× ? T¹i sao? 3) Gäi r, r1, r2 theo thø tù lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn néi tiÕp c¸c tam gi¸c ABC, ADB, ADC. Chøng minh r»ng: r2 = 2 21 2r r+ . §Ò sè 71 (§Ò thi cña tØnh H¶i D−¬ng n¨m häc 2007 – 2008) C©u I (2®). Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: 1) 2x – 3 = 0 ; 2) x2 – 4x – 5 = 0. C©u II (2®). 1) Cho ph−¬ng tr×nh x2 – 2x – 1 = 0 cã hai nghiÖm lµ x1 , 2x . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2 1 1 2 x x S . x x = + 2) Rót gän biÓu thøc : A = 1 1 3 1 a 3 a 3 a ⎛ ⎞⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠⎝ ⎠ víi a > 0 vµ a≠ 9. C©u III (2®). 1) X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè m vµ n, biÕt r»ng hÖ ph−¬ng tr×nh mx y n nx my 1 − =⎧⎨ + =⎩ cã nghiÖm lµ ( )1; 3− . 2) Kho¶ng c¸ch gi÷a hai tØnh A vµ B lµ 108 km. Hai « t« cïng khëi hµnh mét lóc ®i tõ A ®Õn B, mçi giê xe thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n xe thø hai 6 km nªn ®Õn B tr−íc xe thø hai 12 phót. TÝnh vËn tèc mçi xe. C©u IV (3®). Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, néi tiÕp ®−êng trßn (O). KÎ ®−êng kÝnh AD. Gäi M lµ trung ®iÓm cña AC, I lµ trung ®iÓm cña OD. 1) Chøng minh OM // DC. 2) Chøng minh tam gi¸c ICM c©n. 3) BM c¾t AD t¹i N. Chøng minh IC2 = IA.IN. C©u V (1®). Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy, cho c¸c ®iÓm A(-1 ; 2), B(2 ; 3) vµ C(m ; 0). T×m m sao cho chu vi tam gi¸c ABC nhá nhÊt. §Ò sè 72 (§Ò thi cña tØnh H¶i D−¬ng n¨m häc 2007 – 2008) C©u I (2®). 1) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh 2x 4 0 4x 2y 3 + =⎧⎨ + = −⎩ . 2) Gi¶i ph−¬ng tr×nh ( )22x x 2 4+ + = . C©u II (2®). 1) Cho hµm sè y = f(x) = 2x2 – x + 1. TÝnh f(0) ; f( 1 2 − ) ; f( 3 ). 2) Rót gän biÓu thøc sau : A = ( )x x 1 x 1 x x x 1 x 1 ⎛ ⎞+ −− −⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠ víi x ≥ 0, x ≠ 1. C©u III (2®) 43 1) Cho ph−¬ng tr×nh (Èn x) x2 – (m + 2)x + m2 – 4 = 0. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp? 2) Theo kÕ ho¹ch, mét tæ c«ng nh©n ph¶i s¶n xuÊt 360 s¶n phÈm. §Õn khi lµm viÖc, do ph¶i ®iÒu 3 c«ng nh©n ®i lµm viÖc kh¸c nªn mçi c«ng nh©n cßn l¹i ph¶i lµm nhiÒu h¬n dù ®Þnh 4 s¶n phÈm. Hái lóc ®Çu tæ cã bao nhiªu c«ng nh©n? BiÕt r»ng n¨ng suÊt lao ®éng cña mçi c«ng nh©n lµ nh− nhau. C©u IV (3®). Cho ®−êng trßn (O ; R) vµ d©y AC cè ®Þnh kh«ng ®i qua t©m. B lµ mét ®iÓm bÊt k× trªn ®−êng trßn (O ; R) (B kh«ng trïng víi A vµ C). KÎ ®−êng kÝnh BB’. Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC. 1) Chøng minh AH // B’C. 2) Chøng minh r»ng HB’ ®i qua trung ®iÓm cña AC. 3) Khi ®iÓm B ch¹y trªn ®−êng trßn (O ; R) (B kh«ng trïng víi A vµ C). Chøng minh r»ng ®iÓm H lu«n n»m trªn mét ®−êng trßn cè ®Þnh. C©u V (1®). Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy, cho ®−êng th¼ng y = (2m + 1)x – 4m – 1 vµ ®iÓm A(-2 ; 3). T×m m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn ®−êng th¼ng trªn lµ lín nhÊt. §Ò sè 73 C©u I (2®). Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh 2 5 2 x x y 3 1 1,7 x x y ⎧ + =⎪ +⎪⎨⎪ + =⎪ +⎩ . C©u II (2®). Cho biÓu thøc P = 1 x x 1 x x ++ − , víi x > 0 vµ x ≠ 1. 1) Rót gän biÓu thøc sau P. 2) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x = 1 2 . C©u III (2®) Cho ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh y = ax + b. BiÕt r»ng (d) c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 1 vµ song song víi ®−êng th¼ng y = -2x + 2003. 1) T×m a vµ b. 2) T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm chung (nÕu cã) cña (d) vµ Parabol y = 2 1 x 2 − . C©u IV (3®). Cho ®−êng trßn (O) vµ mét ®iÓm A n»m ë bªn ngoµi ®−êng trßn. Tõ A kÎ c¸c tiÕp tuyÕn AP vµ AQ víi ®−êng trßn (O), P vµ Q lµ c¸c tiÕp ®iÓm. §−êng th¼ng ®i qua O vu«ng gãc víi OP vµ c¾t ®−êng th¼ng AQ t¹i M. 1) Chøng minh r»ng MO = MA. 2) LÊy ®iÓm N n»m trªn cung lín PQ cña ®−êng trßn (O). TiÕp tuyÕn t¹i N cña ®−êng trßn (O) c¾t c¸c tia AP vµ AQ lÇn l−ît t¹i B vµ C. a) Chøng minh : AB + AC – BC kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm N. b) Chøng minh : NÕu tø gi¸c BCQP néi tiÕp mét ®−êng trßn th× PQ // BC. C©u V (1®). Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 2 2x 2x 3 x 2 x 3x 2 x 3− − + + = + + + − . 44 §Ò sè 74 C©u I (3®). 1) §¬n gi¶n biÓu thøc : P = 14 6 5 14 6 5+ + − . 2) Cho biÓu thøc : Q = x 2 x 2 x 1 . x 1x 2 x 1 x ⎛ ⎞+ − +−⎜ ⎟⎜ ⎟−+ +⎝ ⎠ , víi x > 0 ; x ≠ 1. a) Chøng minh r»ng Q = 2 x 1− ; b) T×m sè nguyªn x lín nhÊt ®Ó Q cã gi¸ trÞ nguyªn. C©u II(3®). Cho hÖ ph−¬ng tr×nh ( )a 1 x y 4 ax y 2a ⎧ + + =⎪⎨ + =⎪⎩ (a lµ tham sè). 1) Gi¶i hÖ khi a = 1. 2) Chøng minh r»ng víi mäi a hÖ lu«n cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y ≥ 2. C©u III(3®). Cho ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh AB = 2R. §−êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi ®−êng trßn (O) t¹i A. M vµ Q lµ hai ®iÓm ph©n biÖt chuyÓn ®éng trªn (d) sao cho M kh¸c A vµ Q kh¸c A. C¸c ®−êng th¼ng BM vµ BQ lÇn l−ît c¾t ®−êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai lµ N vµ P. Chøng minh : 1) TÝch BM.BN kh«ng ®æi. 2) Tø gi¸c MNPQ néi tiÕp. 3) BN + BP + BM + BQ > 8R. C©u IV (1®). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y = 2 2 x 2x 6 x 2x 5 + + + + . §Ò sè 75 C©u 1 : ( 3 ®iÓm ) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh a) 3x2 – 48 = 0 . b) x2 – 10 x + 21 = 0 . c) 5 203 5 8 −=+− xx C©u 2 : ( 2 ®iÓm ) a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a , b biÕt r»ng ®å thÞ cña hµm sè y = ax + b ®i qua hai ®iÓm A( 2 ; - 1 ) vµ B ( )2; 2 1 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®å thÞ cña c¸c hµm sè y = mx + 3 ; y = 3x –7 vµ ®å thÞ cña hµm sè x¸c ®Þnh ë c©u ( a ) ®ång quy . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho hÖ ph−¬ng tr×nh . ⎩⎨ ⎧ =+ =− nyx nymx 2 5 a) Gi¶i hÖ khi m = n = 1 . 45 b) T×m m , n ®Ó hÖ ®· cho cã nghiÖm ⎩⎨ ⎧ += −= 13 3 y x C©u 4 : ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( C = 900 ) néi tiÕp trong ®−êng trßn t©m O . Trªn cung nhá AC ta lÊy mét ®iÓm M bÊt kú ( M kh¸c A vµ C ) . VÏ ®−êng trßn t©m A b¸n kÝnh AC , ®−êng trßn nµy c¾t ®−êng trßn (O) t¹i ®iÓm D ( D kh¸c C ) . §o¹n th¼ng BM c¾t ®−êng trßn t©m A ë ®iÓm N . a) Chøng minh MB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CMD . b) Chøng minh BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn t©m A nãi trªn . c) So s¸nh gãc CNM víi gãc MDN . d) Cho biÕt MC = a , MD = b . H·y tÝnh ®o¹n th¼ng MN theo a vµ b . §Ò sè 76 C©u 1 : ( 3 ®iÓm ) Cho hµm sè : y = 2 3 2x ( P ) a) TÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè t¹i x = 0 ; -1 ; 3 1− ; -2 . b) BiÕt f(x) = 2 1; 3 2;8; 2 9 − t×m x . c) X¸c ®Þnh m ®Ó ®−êng th¼ng (D) : y = x + m – 1 tiÕp xóc víi (P) . C©u 2 : ( 3 ®iÓm ) Cho hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎩⎨ ⎧ =+ =− 2 2 2 yx mmyx a) Gi¶i hÖ khi m = 1 . b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh . C©u 3 : ( 1 ®iÓm ) LËp ph−¬ng tr×nh bËc hai biÕt hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ : 2 32 1 −=x 2 32 2 +=x C©u 4 : ( 3 ®iÓm ) Cho ABCD lµ mét tø gi¸c néi tiÕp . P lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo AC vµ BD . a) Chøng minh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña P lªn 4 c¹nh cña tø gi¸c lµ 4 ®Ønh cña mét tø gi¸c cã ®−êng trßn néi tiÕp . b) M lµ mét ®iÓm trong tø gi¸c sao cho ABMD lµ h×nh b×nh hµnh . Chøng minh r»ng nÕu g