17 đề ôn thi Đại học môn Toán

vn.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 quocdhsptoan@gmail.com 43  17 7 1 1cos4 . 1 cos8 32 16 32 2 35 7 1cos4 cos8 . 64 16 64 x x x x        Suy ra : 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 35 7 cos4 cos8 64 16 64 35 7 1 1 35. sin 4 . sin8 . 64 16 4 64 8 128 xV dx xdx xdx x x x                        Vậy 35 128x V  là giá trị cần tìm. 2. Ta có: 1 3 5 2007 2009 2010 2010 2010 2010 2010 2010! 2010! 2010! 2010!.2010! ... 1!2009! 3!2007! 2007!3! 2009!1! = C + C +C +...+ C + C S      Ta có:         20102010 0 1 2 2009 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 0 1 2 2009 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2 1 1 ... 1 0 1 1 ... 2 C C C C C C C C C C                 Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được:  2010 1 3 5 2007 20092010 2010 2010 2010 20102 2 ...C C C C C      . Suy ra 2009 2010 22 2. .2010! 2010! S S   . Câu V 1. + Nếu n là bội của 10 thì  2 2cos sin =1 0,1,...,9 10 10 n k kn kne i k    . Vì thế 10S  . www.MATHVN.com www.mathvn.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 quocdhsptoan@gmail.com 44 + Nếu n không là bội của 10 thì  1 2 2cos sin 0,1,...,9 10 10 k k k i k            ở đây 1 2 2cos sin 1 10 10 n n ni     . Vì vậy:            2 90 1 2 91 1 1 1 1 1 1... 1 ... n n n n n n nS                    10 101 1 1 1 1 1 1 1 1 0. 1 1 1 nn n n n                2. Lấy 3log hai vế, ta được: 3 3 3 1 1 1log log log 3 xy yz zxx y z x y z xyz       3 3 3 1 1 1 1 1 13 log log log 1x y z x y z x y z            Đặt 3 3 3log , b = log , c = loga x y z . Giả thiết 3xyz  trở thành 1a b c   . Từ đó   1 1 11 3 3 3 3 3 3 3a b c a b c a b c            1 1 13 3 3 3 3 3 3a b c a b c a b c a b c                       1 1 1 1 1 1 0 3 3 3 3 3 3a b b c c a a b b c c a                          . Điều này luôn đúng, vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Câu I ĐỀ 8 www.MATHVN.com www.mathvn.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 quocdhsptoan@gmail.com 45 Cho hàm số      3 23 1 5 4 8 my x m x m x C      1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  0C hàm số khi 0m  . 2. Tìm m để  mC cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt lập thành một cấp số nhân. Câu II. 1. Giải phương trình: 2sin .sin 4 2 2 cos 4 3 cos .sin .cos2 6 x x x x x x       2. Giải hệ phương trình sau: 1 21 3 1 4 141 7 x x y y x y                 Câu III 1. Cho parabol 2.y x Một góc vuông ở đỉnh O cắt Parabol tại 1A và 2A . Hình chiếu của 1 2 , AA lên Ox là 1 2, BB . Chứng minh rằng: 1 2.OB OB const . 2. Cho mặt cầu:   2 2 2: 2 2 2 0S x y z x z      và các điểm      0;1;1 , B 1; 2; 3 , C 1;0; 3A     . Tìm điểm D thuộc mặt cầu (S) sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất. 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi d và  lần lượt là khoảng cách và góc giữa AB và CD. Chứng minh rằng: 1 . . .sin 6ABCD V AB CD d  . Câu IV 1. Tính tích phân: 6 4 4 . 2 2 x dxI x x     . 2. Cho n là một số nguyên dương và   0 1 2 21 ... ... n k n k nx a a x a x x x a x        . Biết rằng tồn tại số nguyên dương k  1 1k n   sao cho 1 1 . 2 9 24 k k ka a a   Tính  2009! 102010 nM  . www.MATHVN.com www.mathvn.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 quocdhsptoan@gmail.com 46 Câu V 1. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn thỏa mãn hệ thức: 2 2 5sin sin sinA B C  . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. 2. Cho hàm số  : 0;f   thỏa mãn điều kiện:   4 4 1tan 2 tan tan f x x x   0; 4 x       . Chứng minh rằng:    sin cos 196 x 0; 2 f x f x         . Câu I 1. Học sinh tự làm . 2. + Điều kiện cần : Giả sử  mC cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt 1 2 3, ,x x x lập thành một cấp số nhân . Khi đó    3 23 1 5 4 8 0x m x m x      có 3 nghiệm là 1 2 3, ,x x x         3 2 1 2 33 1 5 4 8 xx m x m x x x x x x x               3 23 1 5 4 8x m x m x     =    3 21 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3x x x x x x x x x x x x x x x        Suy ra : 1 2 3 8x x x  . Vì 1 2 3, ,x x x lập thành một cấp số nhân nên 2 2 1 3x x x . Do đó 32 28 2.x x   Thay 2 2x  vào phương trình    3 23 1 5 4 8 0x m x m x      ta thu được 4 2 0 2.m m    + Điều kiện đủ : Với 2m  thay vào phương trình    3 23 1 5 4 8 0x m x m x      ta thu được    3 2 1 2 37 14 8 0 1 2 4 0 1 , 2, 4x x x x x x x x x             lập thành một cấp số nhân . Vậy 2m  là giá trị cần tìm HƯỚNG DẪN GIẢI www.MATHVN.com www.mathvn.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 quocdhsptoan@gmail.com 47 Câu II 1. Phương trình đã cho tương đương với: sin .sin 4 2 2 cos 3 cos .sin 4 6 x x x x x        sin 4 sin 3 cos 2 2 cos 6x x x x         sin 4 . sin sin cos cos 2 cos 6 6 6 x x x x                 sin 4 . 2 cos sin 4 2 cos 06 6 6x x x x x                           cos 0 6 x       ( vì sin 4 2 0x   ).  2 6 2 3 x k x k k           . 2. Nếu  ,x y là nghiệm của hệ phương trình thì phải có 0 , y > 0x  ( trường hợp 0x y  sẽ làm cho hệ vô nghiệm ). Hệ phương trình đã cho tương đương     1 2 1 1 2 21 1 3 3 7 1 4 2 1 2 21 1 27 3 7 x y x yx x y x y y x y                  Nhân vế theo vế của  1 và  2 ta đươc:    2 21 1 8 21 7 24 7 38 24 0 3 7 xy x y y x y xy x x y x y              6 7 4 0 6y x y x y x      vì x, y > 0. (3) www.MATHVN.com www.mathvn.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 quocdhsptoan@gmail.com 48 Thay  3 vào  2 ta được: 1 21 3 21x x   . Giải phương trình này hết sức đơn giản tìm được 11 4 7 22 8 7 21 7 x y    . Câu III 1. Giả sử    21 0 0;A x x P .Khi đó: 1B là hình chiếu của 1A lên Ox nên có tọa độ là  1 0 1 0;0B x OB x  . Phương trình đường thẳng 1 0:OA y xx . 2 1OA OA  Phương trình đường thẳng 2 0 1:OA y x x   . Tọa độ 2A là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 2 0 0 0 1 1;1 y x A y x x x x             . 2B là hình chiếu của 2A lên Ox nên có tọa độ là 2 2 0 0 1 1;0B OB x x         Vì thế 1 2. 1OA OB  . 2.  S có tâm  1;0; 1I  , bán kính 2R  .    1; 3; 4 , 1; 1; 4AB AB         . Gọi   là mặt phẳng chứa 3 điểm A, B, C nhận  , 8; 8;4n AB AC        làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:      8 1 8 2 4 3 0 2 2 1 0x y x x y z           .    22 2 2 0 1 1 2, 2 32 2 1 d I R              S    . 2A 1A  1B2B O www.MATHVN.com www.mathvn.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 quocdhsptoan@gmail.com 49 Ta có: 1 . 3ABCD D ABC V h S  nên ABCDV lớn nhất Dh lớn nhất. Gọi 1 2D D là đường kính của  S vuông góc với mặt phẳng   . Vì D là điểm bất kì thuộc  S nên       1 2, max , , ,d D d D d D   . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi D trùng với một trong hai điểm 1D hoặc 2D . 1 2D D qua I nhận vectơ pháp tuyến của   làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số: 1 2 1 2 : 2 t 1 x t D D y t z t            . Gọi  0 0 0 1 21 2 ; 2 ; 1D d d d D D     là điểm cần tìm. Khi đó D là nghiệm của phương trình:        2 220 0 0 0 0 0 21 2 4 1 2 1 2 2 1 2 0 3 d d d d d d               . Ta có:   0 9 2 , 3 d d D    . Vì 22 9. 29. 2 33 3 3        nên D phải ứng với 0 2 3 d  . Vậy 7 4 1; ; 3 3 3 D      là điểm cần tìm. 3. Dựng hình bình BCDE. Khi đó góc giữa AB và BE cũng bằng  . Do  / /CD ABE nên   ,d d D ABE . Ta có:   1. , . 3ABCD ABDE ABE V V d D ABE S   1 1 1. . .sin . . .sin 3 2 6 d AB BE ABE AB CD d   A B C DE www.MATHVN.com www.mathvn.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 quocdhsptoan@gmail.com 50 Câu IV 1. Đặt   2 22 2 4 6 6 121 2 2 2 1 1 x tdtt t x dx x x t t               .      1 1 1 1 2 22 2 2 2 2 2 22 0 0 0 0 1 12 1 2. . 2 2 1 2 6 1 1 1 11 t tdt tI t dt dt t t t tt                        1 1 12 2 2 0 0 0 1 1 12 ln 1 ln 1 2 ln 2 1 1 1 tdt t t t t t t t                       ln3 1  . 2. Ta có:  1 1 1 1 2 9 24 k k ka a a k n      1 1 2 9 24 k k k n n nC C C                1 ! 1 ! 1 ! 2 1 ! 1 ! 9 ! ! 24 1 ! 1 ! n n n k n k k n k k n k                    2 1 ! 1 ! 9. ! ! 24. 1 ! 1 !k n k k n k k n k                2. 1 9 24 1n k n k k n k k k              2 2 2 1 9 2 2 3 811 10 3 8 11 119 24 1 11 nkn k k n n k nn k k k                     . Khi đó:  2009! 10 10 02010 2010 1.M    Câu V 1. Dễ thấy 25 sin sinC C (do 0 sin 1C  ). Do đó 2 2 2 2sin sin sinA B C a b c     www.MATHVN.com www.mathvn.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 quocdhsptoan@gmail.com 51 Hay 2 2 2 2 2 cos cos 0 2 a b a b ab C C C         (*). + Nếu 2 2 2 2sin sin sin cos 1 2 2 C A B A B A A          . Vậy nếu tam giác ABC vuông tại C thì thỏa mãn hệ thức đã cho. + Nếu 2 C  thì từ giả thiết ta có:    5 51 cos2 1 cos2 sin 1 cos cos sin 2 2 A B C A B A B C           51 cos cos sin **C A B C    . Vì 2 C  nên sin 1C  . Hơn nữa, do A, B, C nhọn nên  cos 0 , cos 0C A B   . Vậy từ  ** suy ra điều vô lý. Kết luận: tam giác ABC vuông tại C. 2. Đặt tan 2t x , ta có: 2 2 2 2 2 t 2 1 4 1tan tan 2 1 tan tan tan ant x x x t x t x          . Từ đó: 2 2 2 4 2 2 4 4 2 4 1 1 16 162 tan tan 2 tan tan x x t x x t t                   . Lúc đó:   4 2 16 16 2f t t t    với tan 2 , x 0; 4 t x       . Khi 0; 4 x      thì  tan 2 0;t x   và liên tục trên miền đó nên ta có:    4 2 16 16 2 0;f t t t t       . www.MATHVN.com www.mathvn.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 quocdhsptoan@gmail.com 52 Bắt đầu từ đây ta có:     4 2 4 2 16 16 16 16sin cos 2 2 sin sin cos cos f x f x x x x x        4 4 2 2 1 1 1 116 16 4 sin cos sin cosx x x x                . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 4 4 2 2 2 1 1 2 8 8 x 0; sin cos sin cos sin 2 2x x x x x           . 2 2 1 1 2 4 4 x 0; sin cos sin cos sin 2 2x x x x x           . Cuối cùng ta thu được:    sin cos 196 x 0; 2 f x f x         . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 x  . Câu I Cho hàm số: 3 23y x x mx   (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi 0m  . 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng : 2 5 0d x y   . Câu II 1. Giải bất phương trình:    2 22 22 7 12 1 14 2 24 2 log xx x x xx x             . ĐỀ 8 www.MATHVN.com www.mathvn.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 quocdhsptoan@gmail.com 53 2. Giải hệ phương trình: 3 2 3 23 3 2 3 23 2 2 9 2 2 9 xyx x y x x xyy y x x y               . Câu III 1. Trong mặt phẳng Oxy cho elip   2 2 : 1 6 3 x yE   . Xét một hình vuông ngoại tiếp  E ( tức các cạnh của hình vuông đều tiếp xúc với elip). Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh hình vuông đó. 2. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1 2 1 0 : 0 , d : 4 2 5 5 3 x t x d y y s z t z s                  a) Chứng tỏ 1d và 2d chéo nhau. b) Viết phương trình tham số cho đường vuông góc của hai đường thẳng này. Câu IV 1. Tính tích phân: 2 5 910 0 1 cos .sin .cosI x x xdx    . 2. Tìm giới hạn: 2 0 lim 1 tan cosx xL x x x    . Câu V 1. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n số tam giác có 3 đỉnh lấy từ 6n  điểm đã cho là 439. 2. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn: 1x y z   . Chứng minh rằng: 3 4 3 x xy xyz   . Câu I 1. Học sinh tự giải HƯỚNG DẪN GIẢI www.MATHVN.com www.mathvn.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 quocdhsptoan@gmail.com 54 2. Ta có: 23 6y x x m    . Hàm số có cực đại, cực tiểu 0y  có 2 nghiệm phân biệt 0 3 0 3.m m        Lại có:    1 1 2 12 3 3 3 3 f x x f x m x m               . Giả sử    1 1 2 2; , B ;A x y x y là tọa độ hai điểm cực trị. 1 2 , xx là nghiệm của phương trình 0y  nên theo định lí Viet, ta có: 1 2 1 2 2 3 x x mx x      . Khi đó ta tính được    1 1 1 2 2 2 2 1 2 12 + m , y 2 3 3 3 3 y f x m x f x m x m                 . Đường thẳng d có vectơ chỉ phương  2;1u   . Gọi M là trung điểm AB nên dễ dàng suy ra tọa độ điểm  1; 2M m  . Do A, B đối xứng nhau qua d nên        2 12 1 2 1 1 2 2 5 0 0 022 02 2 0. 0 33 m mM d m m x xx x m x xAB u                            Vậy 0m  là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu II 1. Gọi 1 2,   là các cặp cạnh hình vuông liên tiếp nhau nên có dạng: 1 : 0Ax By C    , 2 : 0Bx Ay D    ( do 2 2   ). 1 và 2 tiếp xúc với   2 2 2 2 2 2 6 3 6 3 A B C E B A D        (1) Vì hình vuông tâm O nên ta có:     2 21 2 2 2 2 2, , C D d O d O C D C D A B A B            (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: 2 2 2 2 2 26 3 6 3 A B A B B A A B A B           . + Với A B , chọn 2 2 9 3 1 1 39 C C A B DD              ta được các cạnh: 1 : 3 0x y    , 2 : 3 0x y    , 3 : 3 0x y    , 4 : 3 0x y    . www.MATHVN.com www.mathvn.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 quocdhsptoan@gmail.com 55 + Với A B  , chọn 2 2 9 3 1 1 39 C C A B DD               ta cũng được các đường thẳng như trên. Vậy phương trình bốn cạnh hình vuông là: 3 0x y   , 3 0x y   , 3 0x y   , 3 0x y   . 2. a) 1d qua  1;0; 5M  và nhận  1;0;1u   làm vectơ chỉ phương. 2d qua  0;4;5N và nhận  0; 2;3v    làm vectơ chỉ phương. Ta có:    1;4;10 , , 2; 3; 2MN u v          Suy ra: , . 34 0u v MN         . Vậy 1d và 2d chéo nhau. b)    1 21 ;0; 5 , B d 0;4 2 ;5 3A d A a a B b b          1 ;4 2 ;10 3AB a b b a       . AB là đường vuông góc chung của 1d và 2d    . 0 2 3 9 3 4;6;4 3 13 22 1. 0 AB u AB u a b a AB a b bAB v AB v                                      là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB nên có phương trình tham số là: 4 2 3 2 2 x t y t z t          1. Điều kiện: 2 2 7 12 0 3 40 0 14 2 24 0 3 4 3 4 0 1 0 1 2 0 x x x xx x x x x x x x x x                              . + Thay 3x  vào phương trình được 9 8 . Vô lý, vì thế 3x  không là nghiệm. + Thay 4x  ta được 1 1 2 2    luôn đúng. Tóm lại, bất phương trình 4x  là nghiệm của bất phương trình đã cho. www.MATHVN.com www.mathvn.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 quocdhsptoan@gmail.com 56 2.     3 2 3 23 3 2 3 23 2 1 2 9 2 2 2 9 xyx x y x x xyy y x x y               Cộng vế theo vế của  1 và  2 ta suy ra: 2 2 2 23 3 1 12 2 9 2 9 xy x y x x y y                 2 2 2 23 3 1 12 1 8 1 8 xy x y x y              (3). Nhận xét:   2 23 2VT xy x y VP    .     0 3 3 1 1 0 x y x y VT VP x y x y x y              . Vậy tập hợp nghiệm của hệ phương trình đã cho là:     0;0 , 1;1S  . Câu IV 1. Đặt 5 10 510 1 cos 1 cost x t x     9 4 4 910 5sin .cos sin .cos 2t dt x xdx x xdx t dt    Ta có:     1 12 5 5 4 10 9 10 2010 0 0 0 1 cos .cos .sin cos 2 1 2I x x x xdx t t t dt t t dt          111 21 0 202 11 21 231 t t        . 2.  22 0 0 1 tan cos lim lim 1 tan cos1 tan cosx x x x x xxL x x xx x x          2 0 02 2 2 1 tan cos 1 tan cos 2 4lim lim 1 3tan 2sin sin 1tan 12 2 2. 2 4 x x x x x x x x x x xx x x xx              . Câu V www.MATHVN.com www.mathvn.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 quocdhsptoan@gmail.com 57 1. Nếu 2n  thì 6 8n   và số tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ 6n  điểm đó không vượt quá 38 56 439C   . Vậy 3n  . Mỗi tam giác được tạo thành ứng với một tổ hợp chập 3 từ 6n  phần tử. Nhưng trên cạnh CD có 3 điểm, trên cạnh DA có n điểm nên số tam giác được tạo thành chỉ là       3 3 36 3 6 5 4 1 2 1 6 6n n n n n n n n C C C           . Theo giả thiết ta có:       6 5 4 1 2 439 1 440 6 n n n n n n         2 104 140 0 14 n n n n          . Chọn 10n  . Vậy 10n  là giá trị cần tìm. 2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 3 31 1 4 4.4 .4 .16 2 4 4 12 x y x y zx xy xyz x x y x y z x           3x xy xyz    4 3 x y z    3 4 . 3 x xy xyz   Câu I Cho hàm số:  3 2 my x mx x m C    . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số khi 1m  . 2. Tìm m để  mC cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Câu II 1. Giải phương trình: 4 6 2 cos 23 1 tan 7 cos x x x        2. Tìm m để bất phương trình:    2 2 2 1 2 0m x x x x      có nghiệm 0;1 3x     . Câu III 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC có trọng tâm  2;0 .G  Biết phương trình các cạnh AB,AC theo thứ tự là 4 14 0x y   , 2 5 2 0.x y   Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C . ĐỀ 10 www.MATHVN.com www.mathvn.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 quocdhsptoan@gmail.com 58 2. Trong không gian Oxy cho các điểm    3;5; 5 , B 5; 3;7A    và mặt phẳng   : 0P x y z   a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng  P . b) Tìm điểm  M P sao cho  2 2MA MB nhỏ nhất . Câu IV 1. Tính tích phân:    1 2 1 1 1 x dxI x    . 2. Xét số phức:  1 2 i mz m m i     . Tìm m để 1. 2 z z  . Câu V 1. Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng nếu cos cos cos 6 sin sin sin sin sin sin A B C B C C A A B    thì tam giác ABC đều. 2. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta có:      2 2 2 2 2 2 3 3 9 xyz x y z x y z x y z xy yz zx            Câu I 1. Học sinh tự làm 2. Phương trình hoành độ giao điểm của  mC và Ox là:    3 2 1 0 1 1 0 x x mx x m x x x m x m                Điều kiện để phương trình này có 3 nghiệm phân biệt là 1m   . Các nghiệm lập thành một cấp số cộng , 1, 1 1 2 3.m m m         1, , 1 1 1 2 0m m m          . 1, 1, 1 2 3.m m m          Vậy  0 , 3m  là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu II 1. Đặt 22 cos2 , b = tan cos 1 xa x x   . HƯỚNG DẪN GIẢI www.MATHVN.com www.mathvn.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 quocdhsptoan@gmail.com 59 Phương trình đã cho thành: 4 33 4 7a b  . Dễ thấy a, b 0 và 2a b  . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 4 31 1 1 4 , b 1 1 3a a b       . Suy ra:    4 3 4 33 3 12 , 4 2 12 3 4 7a a b b a b       . Dấu bằng xảy ra 4 4 1 1a b a b     hay  tan 1 4 x x k k        là nghiệm của phương trình đã cho. 2. Đặt  2 22 2 2 2t x x x x t       . Nếu 0;1 3x     thì     21 1 1;2t x    . Bất phương trình đã cho thành:     2 2 2 21 2 0 1 2 1 tm t t m t t m t             (*) ( vì 1 2t  ). Bất phương trình đã cho có nghiệm 0;1 3x      bất phương trình (*) có nghiệm       1;2 1;2 max t t m f t     , trong đó   2 2 11 1 1 tf t t t t         f t liên tục trên  1;2        2 11 0 1;2 1 f t t f t t         là hàm tăng trên  1;2        1;2 2max 2 3t f t f    . Kết luận: bất phương trình đã cho có nghiệm 0;1 3x     khi 2 3 m  . Câu III 1. A AB AC   Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ   4 14 0 4 , A 4;2 2 5 2 0 2 x y x x y y               . Vì G là trọng tâm ABC nên 3 6 6 2 3 0 2 A B C G B C A A B C G B C A x x x x x x x y y y y y y y                         Vì B AB nên 4 14B By x   C AC nên  1 2 5C C y x  Thế và hệ , giải ra được      3; 2 , C 1;0 , A 1;2B    . www.MATHVN.com www.mathvn.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 quocdhsptoan@gmail.com 60 2. Đường thẳng AB qua  3;5; 5A   nhận  1 2; 2;3 4 u AB     làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: 3 2 5 2 5 3 x t y t z t          a) Tọa độ giao điểm I của AB và (P) là nghiệm của phương trình:  3 2 5 2 5 3 0 1 1;3; 2t t t t I            . b) Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB. Theo công thức độ dài trung tuyến MH của tam giác MAB ta có: 2 2 2 22 2 ABMA MB MH   . 2 2MA MB nhỏ nhất MH nhỏ nhất. Ta có:  1;1;1H cố định. Suy ra MH nhỏ nhất M là chân của đường vuông góc hạ từ H đến (P). Để ý rằng  1;1;1OH   là vectơ pháp tuyến của mp (P) và  O P nên  0;0;0 .M O Vậy 2 2MA MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng với gốc tọa độ và    2 2 2 2 142Min MA MB Min OA OB    . Câu IV 1. Đặt x t dx dt     . Khi đó:          1 1 1 2 2 2 1 1 11 1 1 1 1 1 t x t t x dt dt dxI t t x                      1 1 1 2 2 2 1 0 0 2 2 . 1 1 1 dx dx dxI I x x x           Đặt  2tan 1 tanx u dx u du    .  24 4 4 2 0 0 0 1 tan 1 tan 4 u du I du u u           . 2. Ta có:        2 22 2 2 1 2 1 2 1 4 m i m mii mz m mi m m                       2 2 2 2 2 2 22 2 1 2 1 2 1 1 1 1 m m m i m m m m i m m m              www.MATHVN.com www.mathvn.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 quocdhsptoan@gmail.com 61 = 2 2 1 1 1 m i m m    2 2 1 1 1 mz i m m      Do đó   2 2 2 22 1 1 1 1 1. 1 2 1. 2 2 1 21 mz z m m mm              Câu V 1. Ta có:   coscos cos 1 cot cot 0. sin sin AA B C A C B C        Do đó: cos cos cos sin sin sin sin sin sin A B C B C C A A B   1 cot cot 1 cot cot 1 cot cotB C C A A B      . Đặt cot cot , b = cotBcotC , c = cotCcotAa A B thì 1a b c   . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:            2 2 2 2 2 21 2 1 . , 1 2 1 . , 1 2 1 . 3 3 3 3 3 3 a a b b c c           