30 đề học sinh giỏi môn Toán 9

Khi đú: (Với ) ylà ước của 49 Cỏc nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh là: Đề 12 Bài 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức:P = a) Rỳt gọn P b) Xột dấu của biểu thức P. Bài 2: (5,0 điểm). a) Giải phương trỡnh: = b) Tỡm nghiệm nguyờn của hệ phương trỡnh Bài 3: (4,0 điểm). a) Cho x, y, z là cỏc số thực dương thoả món x y z và 3z - 3x2 = z2 = 16 - 4y2 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : zy + yz + zx b) Cho tam giỏc ABC cú cỏc cạnh a,b,c và chu vi 2p =a+ b + c Chứng minh rằng : + + 2 ( + + ) Bài 4. (5,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn nội tiếp đường trũn tõm O. Gọi I là điểm trờn cung nhỏ AB (I khụng trựng với A và B). Gọi M, N, P theo thứ tự là hỡnh chiếu của I trờn cỏc đường thẳng BC, CA và AB. a) Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. b) Xỏc định vị trớ của I để đoạn MN cú độ dài lớn nhất. c) Gọi E, F, G theo thứ tự là tiếp điểm của đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC với cạnh BC, CA và AB. Kẻ EQ vuụng gúc với GF. Chứng minh rằng QE là phõn giỏc của gúc BQC. Bài 5: (2,0 điểm). Ở miền trong hỡnh vuụng ABCD lấy điểm M sao cho Chứng minh rằng : Tam giỏc MCD đều HƯỚNG DẴN GIẢI 2. a) PT đưa về: Xột 3 trường hợp * Trường hợp 1: Nếu x<1. PT (thỏa món) * Trường hợp 2: Nếu <. PT (PT vụ nghiệm) * Trường hợp 3: Nếu . PT (thỏa món) Kết luận: PT cú 2 nghiệm b) Ta cú hằng đẳng thức (x + y + z)3 – ( x3 + y3 + z3 ) = 3(x + y) (y + z)(z + x) nờn (x + y) (y + z)(z + x) = 8. Đặt c = x + y, a = y + z , b = z + x thỡ abc = 8 do đú a,b,c ẻ{ ±1, ±2, ±4, ±8 } Giả sử x Ê y Ê z thỡ c Ê b Ê a. Ta cú a + b + c = 2 ( x + y + z ) = 6 nờn a ³ 2 Với a = 2 ta cú . Với a = 4 ta cú Khụng cú nghiệm nguyờn. Với a = 8 ta cú . Vậy hệ cú 4 nghiệm (1 ;1 ;1) ,(4 ;4 ;-5) (4 ;-5 ;4) (-5 ;4 ;4) 3. a) * Tỡm giỏ trị lớn nhất của: xy + yz + zx .Từ giả thiết ta cú: y2 = , x2 = Vỡ y z z2 5t2 16z (1)Mặt khỏc x2 - 3y2 = x2 3y2 x (2) Từ đú . Ta cú: xz = và yz xy + yz + zx y2 + = = 2 Dấu đẳng thức sảy ra x = , y = z = Vậy giỏ trị lớn nhất của biểu thức xy + yz + zx là đạt được b, ta cú: , , ỏp dụng bất đẳng thức: x, y>0 ta cú: , Tương tự ta cú:. Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c 4. a) Từ giả thiết cú Tứ giỏc IPAN nội tiếp (cựng chắn cung IN) Lại do Bốn điểm I , P , M , B nằm trờn đường trũn đường kớnh BIVỡ Từ (2) và (3) Từ (4) và (1) Vậy M , P , N thẳng hàng . b) Theo chứng minh trờn ta cú (gúc nội tiếp cựng chắn cung IP của đường trũn qua 4 điểm I , B , M , P) (gúc nội tiếp cựng chắn cung IP của đường trũpn qua 4 điểm I , N , A , P) Từ (5) và (6) Dấu "=" xảy ra là đường kớnh của .Vậy MN nhỏ nhất bằng AB I đối xứng với C qua O . c) Gọi B' , C' lần lượt là hỡnh chiếu của B và C trờn GF . Chứng minh được , suy ra . Lại cú Từ (8) và (9) suy ra (10) Từ (7) và (10) Vậy QE là phõn giỏc của gúc BQC . 5. Xỏc định điểm I trong tam giỏc MDA sao cho tam giỏc MIA là tam giỏc đều Ta cú IAD=900-150-600=150= MAB, AB=AD và AM=AI AID= AMB AID = AMB=1500 MID=3600-1500-600=1500 Xột IDM và IDAcú ID chung; MID=AID=1500, IA=IM (do AIM là đều) IDM=IDA AD=DM =DC (1) Mặt khỏcDAM=CBM (vỡ BC=AD ;MB=MA;CBM=DAM) MC=MD (2) từ (1) và (2) ta cú DMC đều Đề 13 Bài 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức: a/ Rỳt gọn P b/ Tỡm cỏc giỏ trị x nguyờn để P nguyờn ; c/ Tỡm cỏc giỏ trị của x để Bài 2: (5,0 điểm). a) Giải hệ phương trỡnh: b) Giải phương trỡnh: Bài 3: (4,0 điểm). a. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa món: Chứng minh rằng < b. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc biết: Chứng minh rằng tam giỏc đó cho là tam giỏc đều Bài 4: (2,0 điểm). a) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh sau: 7x2 + 13y2 = 1820. b) Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x) Bài 5: (5,0 điểm). Cho đoạn thẳng AB cú trung điểm là O. Trờn nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường trũn (O) đường kớnh AB. Gọi C là một điểm nằm trờn nửa đường trũn (O). Từ C kẻ CH vuụng gúc với AB . Gọi M, N lần lượt là hỡnh chiếu của H lờn AC và CB. a) Chứng minh rằng: OC vuụng gúc với MN; b) Qua A kẻ đường thẳng d vuụng gúc với AB. Tiếp tuyến với (O) tại điểm C cắt đường thẳng d ở K. Chứng minh rằng: BK; CH; MN đồng quy. HƯỚNG DẴN GIẢI 2. a) Đặt  Hpt b) Tập xỏc định : Pt So sỏnh với điều kiện (*) ị x=2 là nghiệm. 3. a) Ta cú: b) Ta cú: và và . mà Dấu bằng xảy ra khi . Kết luận: Vậy tam giỏc cú 3 cạnh bằng nhau nờn là tam giỏc đều 4. a) Do 1820 13 và 13y213, x và y là cỏc số nguyờn nờn ta cần cú 7x213 Û x213 Û x13 (vỡ 13 là số nguyờn tố)Û x = 13m với m ẻ Z. Tương tự do 1820 7 và 7x27, x và y là cỏc số nguyờn nờn ta cần cú 13y27 Û y27 Û y7 (vỡ 7 là số nguyờn tố)Û y = 7n với n ẻ Z. Khi đú phương trỡnh đó cho trở thành: 7(13m)2 + 13(7n)2 = 1820 Û 13m2 + 7n2 = 20 ị 13m2 Ê 20 ị m2 Ê 1 , (vỡ m ẻ Z). + Nếu (loại). + Nếu Vậy phương trỡnh đó cho cú 4 nghiệm nguyờn là (-13; -7) (-13; 7), (13; -7) và (13; 7). b) vỡ x, y, z > 0, x + y + z = 1. ỏp dụng BDT cụsi cho 3 số dương : xyz Tương tự Từ (1),(2) . Vậy giỏ trị lớn nhất của biểu thức là khi x = y = z = 5. a) ACB = 90o (vỡ OA = OC = OB) b) CMH = 90o (gt) và CNH = 90o (gt) => CMHN là hỡnh chữ nhật => C1 = M1 Mà CAO = ACO (OA = OC nờn tam giỏc ACO cõn)CAO + C1 = 90o Cho nờn ACO + M1 = 90o. Gọi E là giao của OC và MN ta cú CEM = 90o Hay OC vuụng gúc MN (đpcm) b) Ta cú KA = KC (tớnh chất tiếp tuyến). Kộo dài BC cắt d tại W. Ta cú WCA = 90o Mà: KAC + AWC = 90oKCA + WCK = 90o và KCA = KAC (lý do KC = KA)=> KWC = WCK => KC = KW. Vậy WK = KA = KC. Hay K là trung điểm AWI là giao CH và MN vỡ CMHN là hỡnh nhữ nhật, I là trung điểm của CH Mặt khỏc WA // CH (cựng vuụng gúc với AB); giả sử BI cắt WA tại K' ỏp dụng talet: Vậy BI đi qua trung điểm K của AW. Hay KB; CH; MN đồng quy Đề 14 Bài 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức : P = a) Rỳt gọn P b) Tớnh giỏ trị của P biết x = c) Tỡm giỏ trị của x thỏa món : P Bài 2: (5,0 điểm). a) Giải hệ: b) Giải phương trỡnh: Bài 3: (4,0 điểm). a) Cho a , b, c, d > 0 . Chứng minh rằng : 1 < + + + < 2 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P=. Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giỏc Bài 4: (5,0 điểm). Cho ABC cú 3 gúc nhọn. ở bờn ngoài tam giỏc vẽ hai nửa đường trũn cú đường kớnh là AB và AC. Một đường thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đường trũn lần lượt tại M và N (khỏc A) a) Chứng minh đường trung trực của MN đi qua một điểm cố định b) Giả sử ABC cõn tại A. Xỏc định vị trớ của đường thẳng d để diện tớch tứ giỏc BCNM lớn nhất Bài 5: (2,0 điểm). Cho tam giỏc ABC cõn ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao BK bằng 12cm. Tớnh độ dài cỏc cạnh của tam giỏc ABC. HƯỚNG DẴN GIẢI 2. a) Giải hệ: Lấy (21) + (22): thay vào (21) Từ đú ta cú hệ: Từ đú ta cú hệ pt: a) b) c) d) Vậy hệ đó cho cú nghiệm: 3. a) Ta luụn cú : < < 1 ( 1 ) ỏp dụng tớnh chất của tỉ số ta cú : < (2) Từ (1) và (2) ta cú : < < Tương tự ta cú : < < < < ; < < Cộng vế theo vế của 4 bất đẳng thức kộp trờn ta được : < + + + < Vậy 1 < + + + < 2 (đpcm) b) Đặt b+c-a=2x; a+c-b =2y; a+b-c=2z x, y, z >0 a= y+z b= x+z c= x+y 2P = = ị P³ 26 Dấu "=" xảy ra khi ; ; Û 3x=4y=6z; x=2; y=3; z= 4 ị a=7; b =6; c=5. 4. a) Ta cú éAMB =90o (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn) (1) éANC = 90o (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn) (2) Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giỏc BMNC là hỡnh thang vuụng Gọi d' là trung trực của MN => d' là đường trung bỡnh của hỡnh thang vuụng BMNC => d luụn đi qua một điểm cố định k (k là trung điểm của BC) b) Xỏc định vị trớ d để diện tớch BCMN lớn nhất Vẽ => Max MN = BC Ta cú SBCNM=SABC + SABM + SACN => max SBCNM ( SABM+ SACN) max 1/2(BM.MA+CN.NA) max (1) mà 1/2(BM.MA+CN.NA) 1/4(BM2+MA2+CN2+NA2) =1/4(AB2+AC2) = ( do AB=AC=a) Khụng đổi => maxSBCNM = SABC + BM=MA NC= AN M là điểm chớnh giữa của nửa đường trũn đường kớnh AB. N là điểm chớnh giữa của nửa đường trũn đường kớnh AC. Vậy khi d đi qua M và N được xỏc định nh trờn thỡ SBCNM max 5. s Đặt AC = AB = x, BC = y. Ta cú: tam giỏc AHC đồng dạng với tam giỏc BKC ( vỡ cú gúc nhọn C chung) nờn: Hay AH.BC = BK.AC Vậy: 5y = 6x (1) s Mặt khỏc: trong tam giỏc AHC vuụng tại H ta cú: Hay (2) s Từ (1) và (2) ta suy ra: x = , y = 15. Vậy: AB = AC = cm, BC = 15cm Đề 15 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức :P= a) Tỡm giỏ trị của x để P xỏc định b) Rỳt gọn P c) Tỡm x sao cho P>1 Bài 2: (5 điểm) Giải hệ phương trỡnh: b) Giải phương trỡnh: Bài 3: (3 điểm) Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món đẳng thức x2 + xy + y2 = x2y2 Bài 4: (2 điểm) Cho 4 số x, y, z, t. Thoả món (x+y)(z+t)+xy+88 = 0 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + 9y2 + 6z2 + 24t2 Bài 5: (6 điểm) Cho đường trũn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường trũn. Từ một điểm M di động trờn đường thẳng d OA tại A, vẽ cỏc tiếp tuyến MB, MC với đường trũn (B, C là cỏc tiếp điểm). Dõy BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K. a) Chứng minh rằng OA.OK khụng đổi, từ đú suy ra BC luụn đi qua một điểm cố định. b) Chứng minh rằng H di động trờn một đường trũn cố định. c) Cho biết OA = 2R, hóy xỏc định vị trớ của điểm M để diện tớch tứ giỏc MBOC nhỏ nhất. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú. HƯỚNG DẴN GIẢI 2. a) Vậy hệ phương trỡnh cú 2 nghiệm: (1; 1); 3. Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món đẳng thức x2 + xy + y2 = x2y2 *Với ẵxẵ³ 2 và ẵyẵ³ 2 ta cú: ị x2y2 ³ 2 (x2 + y2) = x2 + y2 +x2 + y2³ x2 + y2 + 2ẵxyẵ> x2 + y2 + xy * Vậy ẵxẵÊ 2 hoặc ẵyẵ Ê 2 - Với x =2 thay vào phương trỡnh ta được 4 + 2y + y2 = 4y2 hay 3y2-2y -4 =0 ị Phương trỡnh khụng cú nghiệm nguyờn - Với x =-2 thay vào phương trỡnh ta được 4 - 2y + y2 = 4y2 hay 3y2+2y -4 =0 ị Phương trỡnh khụng cú nghiệm nguyờn - Với x =1 thay vào phương trỡnh ta được 1 + y + y2 = y2 hay y = -1 - Với x =-1 thay vào phương trỡnh ta được 1 - y + y2 = y2 hay 1- y = 0 ị y =1 - Với x = 0 thay vào phương trỡnh ta được y =0 Thử lại ta được phương trỡnh cú 3 nghiệm nguyờn (x, y) là: (0; 0); (1, -1); (-1, 1) 4. Cho 4 số x, y, z, t. Thoả món (x+y)(z+t)+xy+88=0 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + 9y2 + 6z2 + 24t2 Ta cú: (x + y)(z + t) + xy + 88 = 0 4(x + y)(z + t) + 4xy + 352 = 0 =>A + 4(x + y)(z + t) + 4xy = =x2 + 9y2 + 6z2 + 24t2 + 4xz + 4xt + 4xy + 4yz + 4yt = =x2 + 4x(y + z + t) + 4(z + y + t)2 + 4y2 - 4yz + z2 + z2- 8zt +16t2 + y2- 4yt + 4t2 = =[x + 2(z + y + t)]2 + (2y - z)2 + (z - 4t)2 + (y - 2t)2 0 A Dấu bất đẳng thức xảy ra: 2y – z = 0 z - 4t = 0 y - 2t = 0 x + 2y + 2z + 2t = 0 (x + y)(z + t)+ xy + 88 = 0 => (x; y; z; t) bằng (14; -2; -4; -1) hoặc (-14; 2; 4; 1) 5. a) Dễ thấy OM ^ BC DHOK DAOM => => OA.OK = OH.OM (1) Xột DBOM vuụng tại B nờn : OB2 = OH.OM (2) Từ (1) và (2) suy ra A. OK = R2 (khụng đổi) => (khụng đổi) do đú K cố định trờn OA b) Ta cú OHK = 900 => H nằm trờn đường trũn đường kớnh OK cố định. c) Tứ giỏc MBOC cú hai đường chộo vuụng gúc nờn SMBOC = OM.BC => S nhỏ nhất Û OM nhỏ nhất và BC nhỏ nhất. + OM nhỏ nhất Û M trựng với A + BC nhỏ nhất Û BC ^ OK Û H trựng với K Û M trựng với A Nếu OA = 2R thỡ: ; BC = 2 BK = Vậy SMBOC = 2R. Đề 16 Bài 1: (4 điểm) Cho biờ̉u thức: a) Rút gọn biờ̉u thức . b) Tìm các giá trị nguyờn của đờ̉ biờ̉u thức nhọ̃n giá trị nguyờn. Bài 2: (5 điểm) a) Giải hệ phương trỡnh: b) Giải phương trình (1) Bài 3: (4 điểm) a) Tỡm mọi cặp số nguyờn dương (x; y) sao cho là số nguyờn dương. b) Cho x, y , z là cỏc số dương thoả món xyz x + y + z + 2 tỡm giỏ trị lớn nhất của x + y + z Bài 4: (2 điểm)Cho cỏc số dương a,b,c thoả món điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng: Bài 5: (5 điểm) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d khụng đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điờ̉m A và B. Từ mụ̣t điờ̉m M tùy ý trờn đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiờ́p tuyờ́n MN và MP với đường tròn (O) (M, N là hai tiờ́p điờ̉m). a) Chứng minh rằng b) Dựng vị trí điờ̉m M trờn đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuụng. c) Chứng minh rằng tõm của đường tròn nụ̣i tiờ́p và tõm của đường tròn ngoại tiờ́p tam giác MNP lõ̀n lượt chạy trờn hai đường cụ́ định khi M di đụ̣ng trờn đường thẳng d. HƯỚNG DẴN GIẢI 1.a) Ta có: , nờn điờ̀u kiợ̀n đờ̉ A có nghĩa là . () b) Với , đờ̉ A là sụ́ nguyờn thì (vì và ).Khi đó: 2. a) + Từ (3): x + y + z = 2 + Từ (1) và (3) ta cú: Biến đổi tương đương ta đưa về được: 3(x + y)(y + z)(x + z) = 0 + Xột x + y = 0 thay vào (3) ta được z = 2, thay vào (2) được x = 0; y = 0 Do đú ta được (x ; y; z) = (0 ; 0; 2) Xột y + z = 0, giải tương tự ta được: (x ; y: z) = (2; 0; 0) Xột z + x = 0, giải tương tự ta được: (x ; y: z) = (0; 2; 0) + Vậy hệ phương trỡnh trờn cú 3 nghiệm: (x; y; z) = (0 ; 0; 2) ; (2; 0; 0) ; (0; 2; 0) b) Ta nhọ̃n thṍy x = 1 là nghiợ̀m của PT (1) Với thì: . Nờn PT vụ nghiợ̀m với Với x >1 Thì: Nờn PT vụ nghiợ̀m với x >1 Vọ̃y PT (1) có nghiợ̀m duy nhṍt x = 1 3. a) ỏp dụng BĐT Cautry cho ba số dương x, y, z. Ta cú x + y +z Biến đổi được ( x + y + z)3 27(x + y + z +2 ). Đặt T = x + y + z > 0 Biến đổi được ( T - 6) ( T + 3)2 0 T 6. Tỡm được GTNN T = 6 khi x = y = z =2 b) Đặt = a Với a là số nguyờn dương thỡ x4 + 2 = a(x2y + 1) Û x2(x2- ay) = a - 2 (1) Xột 3 trường hợp sau : TH1: Nếu a = 1 thỡ từ (1) ta cú : x2(x2- y) = - 1ị Û TH2: Nếu a=2 thỡ từ (1) cú x2(x2- 2y)=0, suy ra x2 =2y nờn cú x= 2k, y=2k2 với k là số nguyờn dương TH3: Nếu a > 2 thỡ từ (1), cú a – 2 > 0 và (a – 2) chia hết cho x2 nờn a – 2 ³ x2 Û a ³ x2 + 2 > x2 Từ đú ị 0 < x2- ay < x2- x2y Ê 0. Điều này khụng xảy ra Vậy: Cặp số nguyờn dương (x; y) thoả món đề ra là : (1; 2) và (2k; 2k2) với k là số nguyờn dương. 4. Ta cú a5 + b5 = (a + b)(a4 - a3b + a2b2 – ab3 +b4 ) =(a + b)[(a - b)2(a2 + ab + b2) + a2b2) Do nờn Suy ra . Đẳng thức sảy ra khi a = b. Do đú: (1)( vỡ cú abc =1) Chứng minh tương tự tacú (2) (3) Cộng từng vế của (1); (2); (3) ta cú Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1 5. a) Ta có: MN = MP (Tính chṍt của 2 tiờ́p tuyờ́n cắt nhau) Chứng minh được 2 tam giác MAN và MNB đụ̀ng dạng. Suy ra: b) Đờ̉ MNOP là hình vuụng thì đường chéo Dựng điờ̉m M: Ta dựng hình vuụng OACD, dựng đường tròn tõm O đi qua điờ̉m D, cắt (d) tại M. Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiờ́p tuyờ́n MN và MP. Ta có , nờn Tam giác ONM vuụng cõn tại N. Tương tự, tam giác OPM cũng vuụng cõn tại P. Do đó MNOP là hình vuụng. Bài toán luụn có 2 nghiợ̀m hình vì c) + Ta có: MN và MP là 2 tiờ́p tuyờ́n của (O), nờn MNOP là tứ giác nụ̣i tiờ́p đường tròn đường kính OM. Tõm là trung điờ̉m H của OM. Suy ra tam giác cõn MPQ nụ̣i tiờ́p trong đường tròn đường kính OM, tõm là H. + Kẻ , thì E là trung điờ̉m của AB (cụ́ định). Kẻ thì HL // OE, nờn HL là đường trung bình của tam giác OEM, suy ra: (khụng đụ̉i). + Do đó, khi M đi đụ̣ng trờn (d) thì H luụn cách dờ̀u (d) mụ̣t đoạn khụng đụ̉i, nờn H chạy trờn đường thẳng (d') // (d) và (d') đi qua trung điờ̉m của đoạn OE. Đề 17 Bài 1: (4 điểm)Cho biểu thức: A = a. Rỳt gọn biểu thức. b. Cho Tỡm Max A. Bài 2: (5 điểm)a) Giải hệ phương trỡnh b) Cho ba số thực x, y, z thỏa món và Chứng minh rằng ớt nhất một trong ba số x, y, z bằng 2006. Áp dụng giải phương trỡnh sau: . Bài 3: (2 điểm)Cho x, y, z > 0 thoả món: x + y + z = 2 Tỡm GTNN của P = Bài 4: (4 điểm) a) Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn x2y2-x2 -8y2 = 2xy (1) b) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) cú phương trỡnh (m là tham số). Tỡm m để khoảng cỏch từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Bài 5: (5 điểm) Cho đường trũn (O;R) đường kớnh AB cố định. H là điểm thuộc đoạn OB sao cho HB = 2HO. Kẻ dõy CD vuụng gúc với AB tại H. Gọi E là điểm di động trờn cung nhỏ CB sao cho E khụng trựng với C và B. Nối A với E cắt CD tại I. a/ Chứng minh rằng AD2 = AI.AE b/ Tớnh AI.AE – HA.HB theo R c/ Xỏc định vị trớ điểm E để khoảng cỏch từ H đến tõm đường trũn ngoại tiếp DIE ngắn nhất. HƯỚNG DẴN GIẢI 1. a) Đk : x ³ 0; y ³ 0; x.y ạ 1. Quy đồng rỳt gọn ta được: A = b) ị Max A = 9 Û 2. a) TXĐ: x, y, z ³ . Nhõn 2 vế của mỗi phương trỡnh với 2 ta cú: Cộng (1), (2), (3) từng vế ta cú: ị ị Thử lại ta thấy thoả món. Vậy x = y = z = là nghiệm của hệ. b) Từ giả thiết ta cú: Kết luận: Vậy ớt nhất một trong ba số x, y, z bằng 2006 * Đặt a = 2x + 1, b = x - 1, c = - x- 2 a + b + c = 2x - 2 Phương trỡnh (*) trở thành theo kết quả cõu a ta cú a + b = 0 hoặc b + c = 0 ( vụ lớ) hoặc a + c = 0 ( loại) Vậy phương trỡnh cú nghiệm là: x = 0 3. Vỡ x, y, z > 0 ta cú: ỏp dụng BĐT Cụsi đối với 2 số dương và ta được: (1) . Tương tự ta cú: Cộng (1) + (2) + (3) ta được: Dấu “=” xảy ra . Vậy min P = 1 4. a) Nhận thấy x=y=0 là nghiệm. Với x,y0 (1) y2 ( x2- 7)= (x+y)2 (2) x2 – 7 phải là bỡnh phương của số nguyờn. Hay: x2 – 7 = a2 x2 – a2 = 7 Thay x =- 4, ta được: y=1; y=-2 Thay x = 4, ta được: y= 1; y=2. Vậy phương trỡnh cú nghiệm nguyờn là: (0; 0); (-4; 1); ( -4; -2); (4; 1); (4; 2) b) Với mọi m, đường thẳng (d) khụng đi qua gốc toạ độ O(0; 0). m = 4, ta cú đường thẳng y = 1, do đú khoảng cỏch từ O đến (d) là 1 (1). m = 3, ta cú đường thẳng x = -1, do đú khoảng cỏch từ O đến (d) là 1 (2). m 4, m 3 thỡ (d) cắt trục Oy, Ox lần lượt tại: và . Hạ OH vuụng gúc với AB, trong tam giỏc vuụng AOB, ta cú: . Suy ra (3). Từ (1), (2), (3) ta cú GTLN của OH là , đạt được khi và chỉ khi m =. Kết luận: m =. 5. a/ AD2 = AE.AI đồng dạng) b/ Ta cú AI.AE –HA.HB = AD2 – HD2 = AH2 = ( OA+OH)2 =( R+)2 = c/ Kẻ Dx cắt EB kộo dài tại FTứ giỏc DIEF nội tiếp (tổng hai gúc đối = 1800) đường trũn ngoại tiếp trựng với đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc DIEF cú đường kớnh là IF Gọi K là giao điểm của IF và BD K là tõm đường trũn ngoại tiếp HK ngắn nhất KD = Egiao điểm của (O;R) với ( K; ) ( E cung nhỏ BC của đường trũn tõm O ) Đề 18 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức A = với a) Rỳt gọn biểu thức A. b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2. Bài 2: (5 điểm)a) Giải hệ phương trỡnh: b) Giải phương trỡnh: x3 – 3x2 + 9x – 9 = 0 Bài 3: (2 điểm)Giả sử x, y là cỏc số dương thoả món đẳng thức: Tỡm giỏ trị của x và y để biểu thức: đạt giỏ trị nhỏ nhất. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất ấy. Bài 4: (4 điểm) a) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: x3 + y3 + 6xy = 21. b) Cho ba số thực a, b, c thỏa món a + b + c = 3. Chứng minh rằng: Bài 5: (6 điểm) 1. Cho đường trũn tõm O, đường kớnh BC = 2R. Từ điểm P trờn tia tiếp tuyến của đường trũn tại B, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đường trũn. Gọi H là hỡnh chiếu của A lờn BC, E là giao điểm của PC và AH. a) Chứng minh E là trung điểm của AH. b) Tớnh AH theo R và khoảng cỏch d = PO. 2. Cho hỡnh thang vuụng ABCD ( A = D = 900) và DC = 2 AB. Gọi H là hỡnh chiếu của D trờn đường chộo AC và M là trung điểm của đoạn HC. Chứng minh rằng BM MD HƯỚNG DẴN GIẢI 1. a) với . Ta cú A = b) với ta luụn cú A > 0. Lại cú: hay A < 2. Vậy 0 < A < 2 2. a) Cộng từng vế 3 phương trỡnh ta được: (x + 3)2 + (y-3)2 + (z- 3)2 = 0 (4) Mặt khỏc: (1) ị 9x2- 27x + 27 = y3= 9 (>0ị y> 0; tương tự : x > 0; z > 0. a. Xột x ³ 3 từ (3) ị 9z2 – 27z = x3- 27 ³ 0ị 9z (z – 3) ³ 0 ị z ³ 3 Tương tự y ³ 3. Từ (4) ị x = y= z = 3 b. Xột 0 < x < 3. Từ (3) ị 9z2- 27z = x3 – 27 < 0 ị 9z (z-3) < 0 ị z < 3 Từ (4) ị hệ phương trỡnh vụ nghiệm. Vậy hệ cú nghiệm duy nhất (x= 3; y = 3; z = 3) b) x3 – 3x2 + 9x – 9 = 0 3x3 – 9x2 + 27x – 27 = 0 3x3 = 9x2 – 27x + 27 2x3 = -x3 + 9x2 – 27x + 27 = (3 – x)3 => 3. a) P = (x4 + 1) (y4+ 1) = (x4+ y4) + (xy)4 + 1 Đặt: t = xy, ta cú: x2+ y2 = (x +y)2 – 2xy = 10 – 2t x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2= (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2- 40t + 100 Khi đú : P = t4 + 2t2- 40 t + 101= (t4 – 8t + 16) + 10 (t2- 4t + 4) + 45= (t2 – 4)2+ 10 (t – 2)2 + 45 Suy ra P ³ 45. Đẳng thức xảy ra khi t = 2Û x+y = và xy = 2 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là P = 45 khi: (x,y) = hoặc: 4. a) Đặt S = x + y ; P = xy => điều kiện cần để hệ cú nghiệm là S2 ³ 4P (*) Phương trỡnh đó cho tương đương với :S3 – 3 SP + 6P = 21 ú S3 – 3SP + 6P – 8 = 13 ú ( S – 2 ) ( S2 + 2S - 3P + 4 ) = 13 (2) Xột nhõn tử : M = S2 + 2S – 3P + 4 = ( x + y ) 2 + 2(x + y ) – 3 xy + 4 = x2 + y2 – xy + 2(x +y ) + 4 = Vậy S – 2 và M là 2 ước số dương của số nguyờn tố 13 .ta xột 2 trường hợp sau : TH1 : hoặc 0,25đ TH2 : vụ nghiệm vỡ khụng thoả món (*) . Vậy phương trỡnh cú 2 nghiệm nguyờn là ( 2 ; 1 ) ; ( 1 ; 2 ) . 0,25đ b) Với mọi số thực x ta cú : Do đú: Suy ra : . Hoặc: 3( 3( nhõn vào khai triển và rỳt gọn đưa về BĐT đỳng 5. 1) a) Ta cú AH // PB (vỡ AH, PB cựng vuụng gúc với BC) (1) Lại cú AC // PO (vỡ AC, PO cựng vuụng gúc với AB) nờn hai tam giỏc vuụng AHC và PBO đồng dạng (2) Mà CB = 2.BO nờn AH = 2. EH hay E là trung điểm của AH. b) Ta cú AH2 = HB. HC = (2R – HC)HC = Mà nờn 2) Gọi N là trung điểm của DH MN là đường trung bỡnh của DHC =>MN = DC và MN//CD Mà AB = CD ; AB//CD => MN =AB và MN//AB => tứ giỏc ABMN là hỡnh bỡnh hành => AN//BM. Từ MN//AB mà AB AD => MN AD => N là trực tõm của AMD => AN MD vỡ AN//BM mà AN DM => BM DM Đề 19 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: A = a) Rỳt gọn A b) CM: A ³ 0 Bài 2: (5 điểm) a) Tỡm x, y, z thỏa món hệ sau: . b) Giải phương trỡnh sau: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x Bài 3: (2 điểm) Cho cỏc số dương a;b;c thỏa món a + b + c 3. Chứng minh rằng: Bài 4: (3 điểm) a) Giả sử a, b, c là những số thực thỏa món a, b, c ạ o và . Chứng minh rằng: b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = với x > 0; y > 0; z > 0 và Bài 5: (6 điểm) Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn ( O;R ) . Điểm M thuộc cung nhỏ BC. gọi I,K,H theo thứ tự là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn AB; AC; BC. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB; HK. a) Chứng minh MQ ^ PQ. b) Chứng minh : c) Cho tam giỏc ABC đều. Xỏc định vị trớ của điểm M trờn cung BC để MA + MB + MC đạt giỏ trị lớn nhất HƯỚNG DẴN GIẢI 1. a) ĐK: . A = ú A = ú A = b) Do: , => A = 2. a) Biến đổi tương đương hệ ta cú: Nhõn cỏc vế của 3 phương trỡnh với nhau ta được: (x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2) (x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0 (x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0.x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta được x = y = z = 2. Vậy: với x = y = z = 2 thỏa món hệ đó cho. b) Giải phương trỡnh sau: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x 9(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 24x Đặt y = x + 9 hoặc đặt y = x + 6. Cú nghiệm x = -9 3. Áp dụng (a + b + c)(+ + ) 9. Ta cú (1) Mặt khỏc từ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 0 => ab+bc+ca a2+b2+c2 => ab + bc + ca (2) Từ (1) và (2) ta cú dấu = xảy ra khi a = b = c = 1 4. a) * a + b + c = 0 => a + b = -c => (a + b)3 = -c 3 => a3 + b3 + c3 = -3ab(a + b) = 3abc * => ab + bc + ca = 0 * a6 + b6 + c6 = (a3 )2 + (b3)2 + (c3)2 = (a3 + b3 + c3)2 – 2(a3b3 + b3c3 + c3a3) * ab + bc + ca = 0 => a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2 Do đú * a6 + b6 + c6 = (3abc)2 – 2.3a2b2c2 = 3a2b2c2. + Vậy: b) + Biến đổi để được: A = x + y + z (1) + Chứng minh được: x + y + z > 0 (2) + Thay (2) (3) vào (1) được A Do đú: Min A = + Vậy Amin = 5. a) Tứ giỏc MCKH nội tiếp BMAHMK. Mặt khỏc MP, MQ là trung tuyến củaBMA, HMK và BMH PMQ Mặt khỏc PQ MQ. b) Giả sử AC AB ta cú: (1) ( Do Do ( 2) c) Từ (1),(2) và (3) suy ra Gọi D là giao điểm của MA với BD ta cú : MBD MAC Tương tự ta cú : Do đú Suy ra MA + MB + MC = 2MA 4R Vậy max (MA + MB + MC) = 4R khi AM là đường kớnh khi đú M là trung điểm của cung BC Đề 20 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: Tìm điều kiện để cho biểu thức M có nghĩa. Chứng minh rằng biểu thức M không phụ thuộc vào a. Bài 2: (5 điểm) a) Giải phương trỡnh : b) Giải hệ phương trỡnh : Bài 3: (4 điểm) Ba số x;y;z thoả mản hệ thức : . Xột biểu thức :P= x+y2+z3. a.Chứng minh rằng: Px+2y+3z-3? b.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P?. Bài 4: (5 điểm) Cho nửa đường trũn (O), đường kớnh AB và tia tiếp tuyến Bx của nửa đường. Trờn tia Bx lấy 2 điểm C, D (C: nằm giữa B và D). Cỏc tia AC và AD lần lượt cắt đường trũn tại E và F; hai dõy AE và BF cắt nhau tại M. Hai tia AF và BE cắt nhau tại N. Chứng minh rằng: a) MN // Bx. b) Tứ giỏc CDFE nội tiếp được. Bài 5: (2 điểm) Cho tam giỏc cú số đo cỏc cạnh lần lượt là 6; 8 và 10. Tớnh khoảng cỏch từ tõm đường trũn ngoại tiếp đến tõm đường trũn nội tiếp của tam giỏc. HƯỚNG DẴN GIẢI 1. Điều kiện: Kết luận: biểu thức M không phụ thuộc vào a 2. a) Chia cả tử và mẫu của hai phõn thức cho x và đặt biến phụ b) Điều kiện (1) (2) Cộng (1) và (2) vế với vế ta được: Từ (3) và (2) ta cú: vụ nghiệm hệ vụ nghiệm Từ (4) và (2) ta cú hệ cú 1 nghiệm 3. a) Xột nghiệm P=(x+y2+x3)= y2-2y+z3-3z+3=(y2-2y+1)+(z3-3x+2)=(y-1)2+(z-1)2(x+2)do x+2>0) Vậy Px+2y+3z-3 b) ỏp dụng BĐT Bu nhi a Cốp ski ta cú (x+2y+3z)(=[(]. =36 => x+2y+3z=>P Đẳng thức xảy ra khi: Vạy giỏ trị nhỏ nhất của P=3 khi x=y=z=1. 4. a) Trong tam giỏc ABN ta cú: E N F A B C M x AEB = 900 (gúc nội tiếp chắn nửa đườ