4 Bộ đề thi thử đại học môn Toán

I. PHẦN CHUNG (Dành cho tất cả các thí sinh) Câu I. (2.0 điểm) Cho hàm số y = x x-1 (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. Câu II. (2.0 điểm) 1. Tìm nghiệm của phương trình 2cos4x - ( 3 - 2)cos2x = sin2x + 3 biết xÎ [ 0 ;p ]. 2. Giải hệ phương trình 3 2 3 2 2 3 5.6 4.2 0 ( 2 )( 2 ) x y x x y x y y y x y x - -ì - + =ï í - = + - +ïî Câu III. (1.0 điểm) Tính tích phân 3 1 4 2 0 ( ) 1 x xx e dx x + +ò Câu IV. (1.0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx ³ 2xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1). Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com 4 Câu V. (1.0 điểm) Cho tứ diện ABCD biết AB = CD = a, AD = BC = b, AC = BD = c. Tính thể tích của tứ diện ABCD. PHẦN II. PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần) A. Theo chương trình nâng cao Câu VIa. (2.0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - 12 = 0. Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy. 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm của đoạn AD, N là tâm hình vuông CC’D’D. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm B, C’, M, N. Câu VIIa. (1.0 điểm) Giải bất phương trình 2 3 3 4 2 log ( 1) log ( 1) 0 5 6 x x x x + - + > - - . B. Theo chương trình chuẩn Câu VIb. (2.0 điểm) 1. Cho elip (E) : 4x2 + 16y2 = 64.Gọi F1, F2 là hai tiêu điểm. M là điểm bất kì trên (E).Chứng tỏ rằng tỉ số khoảng cách từ M tới tiêu điểm F2 và tới đường thẳng x = 8 3 có giá trị không đổi. 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) và mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z + 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q). Câu VIIb. (1.0 điểm) Giải bất phương trình 2 2 321 6 102 x x xA A Cx- £ + ( k nC , k nA là tổ hợp, chỉnh hợp chập k của n phần tử). ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 04 Câu I. (2 điểm). Cho hàm số 2 1 1 x y x - = + (1). 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng - 9. Câu II. (2 điểm) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com 5 1) Giải phương trình sau: 2 1 1 2 2x x + = - . 2) Giải phương trình lượng giác: 4 4 4sin 2 os 2 os 4 tan( ). tan( ) 4 4 x c x c x x x p p + = - + . Câu III. (1 điểm) Tính giới hạn sau: 3 2 20 ln(2 . os2 ) 1 lim x e e c x x L x® - - + = Câu IV. (2 điểm) Cho hình nón đỉnh S có độ dài đường sinh là l, bán kính đường tròn đáy là r. Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón (mặt cầu bên trong hình nón, tiếp xúc với tất cả các đường sinh và đường tròn đáy của nón gọi là mặt cầu nội tiếp hình nón). 1. Tính theo r, l diện tích mặt cầu tâm I; 2. Giả sử độ dài đường sinh của nón không đổi. Với điều kiện nào của bán kính đáy thì diện tích mặt cầu tâm I đạt giá trị lớn nhất? Câu V (1 điểm) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x3 + y3 + z3 – 3xyz. Câu VI. (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1( ; 0) 2 I .Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó. Câu VII. (1 điểm) Giải hệ phương trình : 2 2 2 2 3 2 2010 2009 2010 3 log ( 2 6) 2 log ( 2) 1 y x x y x y x y -ì +=ï í + ï + + = + + +î Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com 6 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI www.mathvn.com Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com 7 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐH SỐ 01 PHẦN I. Câu I. Cho hàm số: ( ) ( )3 2 22 11 4 3 3 2 y x m x m m x= + + + + + + . 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -3. 2. Với giá trị nào của m hàm số có cực đại, cực tiểu? Gọi x1, x2 là hoành độ hai điểm cực đại, cực tiểu của hàm số, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( )1 2 1 2. 2x x x x- + . Đáp án: Ta có ( )2 22 2 1 4 3y x m x m m¢ = + + + + + . Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi y¢ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 hay ( ) ( )2 2 21 2 4 3 0 6 5 0 5 1m m m m m m¢D = + - + + > Û + + < Û - < < - Theo định lí Vi-ét, ta có ( )1 2 1x x m+ = - + , ( )21 2 1. 4 32x x m m= + + Suy ra ( ) ( )2 21 14 3 2 1 8 7 2 2 m m m m m+ + + + = + + Ta nhận thấy, với ( )5; 1mÎ - - thì ( ) 229 8 7 4 9 0m m m- £ + + = + - < Do đó A lớn nhất bằng 9 2 khi m = -4. Câu II. 1. Giải phương trình ( )4 4 2 1 cot 2 cot 2 sin cos 3 cos x x x x x + + + = Đáp án: Điều kiện: sin2x ¹ 0. Phương trình ( )2 4 222 12 1 sin 2 3 sin 2 sin 2 2 02sin x x xxÛ + - = Û + - = ( ) 2 2 2 sin 2 2 sin 2 1 cos 2 0 4 4sin 2 1 x kx x x k x é = - p pÛ Û = Û = Û = + Îê =êë ¢ 2. Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình ( ) ( )24 4 5 2 2x x m x x- + - + + £ nghiệm đúng với mọi giá trị x thuộc đoạn 2; 2 3é ù+ë û Đáp án: Đặt 2 4 5t x x= - + . Từ [ ]2; 2 3 1; 2x té ùÎ + Þ Îë û . Bất phương trình đã cho tương đương với: ( ) ( ) 2 2 55 2 0 2 tt m t m g t t -- + + ³ Û ³ = + (do 2 0t + > ) Bất phương trình nghiệm đúng ( ) [ ]2; 2 3 max , 1; 2x m g t té ù" Î + Û ³ Îë û . Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com 8 Xét hàm g(t) có g(t) đồng biến [ ] ( ) ( ) [ ]11; 2 max 2 , 1; 2 4 t m g t m t-" Î Þ ³ = = Î Câu III. 1. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 2AD a= , CD = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và ( )3 2 0SA a a= > . Gọi K là trung điểm của cạnh AC. Chứng minh mặt phẳng (SBK) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và tính thể tích khối chóp SBCK theo a. Đáp án: 1. Gọi H là giao của AC và BK thì BH = 2 3 BK 2 3 3 a= và CH = 1 3 ; CA = 6 3 a 2 2 2 22BH CH a BC BK ACÞ + = = Þ ^ Từ BK ^ AC và BK ^ SA Þ BK ^ (SAC) Þ (SBK) ^ (SAC) VSBCK = 13 SA.SBCK = 13 2 323 2 2 aa a× = (đvtt) 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0) và O1(0; 0; 4). Xác định tọa độ điểm M trên AB, điểm N trên OA1 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (a): 2 5 0x y z+ + - = và độ dài MN = 5 . Đáp án: Có A1(2; 0; 4) Þ ( )1 2; 0; 4OA = uuuur Þ phương trình OA1: ( ) 2 0 2 ; 0; 4 4 x n y N n n z n =ì ï = Þí ï =î Có ( )2; 4; 0AB = - uuur Þ phương trình AB: ( ) 2 2 4 2 2 ; 4 ; 0 0 x m y m N m m z = -ì ï = Þ -í ï =î Vậy ( )2 2 2; 4 ; 4MN n m m m= + - -uuuur Từ ( ) ( ) ( ) ( )1// . 0 2 2 2 2 4 4 0 1; 0; 22MN MN n n m m n n Naa Û = Û + - - + = Û = Þ uuuur uuuur . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 12 2 2 8 41 ; ; 0 5 552 1 16 4 5 0 2; 0; 0 Mm MN m m m M A éé = êê= - + + = Û Þ êê = ºë êë Câu IV. 1. Tính tổng: 2 2 2 20 1 2 ... 1 2 3 1 n n n n nC C C CS n æ ö æ ö æ ö æ ö = + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷+è ø è ø è ø è ø , ở đó n là số nguyên dương và knC là số tổ hợp chập k của n phần tử. Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com 9 Đáp án: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 !!1 1 , 0,1,..., 1 1 1! ! 1 1 ! ! k k n nC Cnn k n k k nk n k n k n k + ++= × = × = " = + + +- + + - Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 3 11 1 1 121 ... 1 n n n n nS C C C C n + + + + + é ù= + + + +ë û + Từ ( ) ( ) ( )1 1 2 21 . 1 1n n nx x x+ + ++ + = + , cân bằng hệ số 1nx + ở hai vế ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 20 1 2 3 1 11 1 1 1 1 2 2... n nn n n n n nC C C C C C+ ++ + + + + ++ + + + + = Vậy: ( ) 1 2 2 2 1 1 n nCS n + + -= + 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn (C): 2 2 6 2 6 0x y x y+ + - + = và các điểm B(2; -3) và C(4; 1). Xác định tọa độ điểm A thuộc đường tròn (C) sao cho tam giác ABC cân tại điểm A và có diện tích nhỏ nhất. Đáp án: Để ABC làm tam giác cân tại A thì A phải nằm trên đường trung trực (D) qua trung điểm BC là M(3; 1) và nhận ( )2; 4BCuuur làm véc tơ pháp tuyến nên (D) có phương trình: ( ) ( )2 3 4 1 0 2 1 0x y x y- + + = Û + - = Vì A Î (C) nên tọa độ A là nghiệm của hệ: 2 2 6 2 6 0 2 1 0 x y x y x y ì + + - + =ï í + - =ïî Giải hệ tìm ra hai điểm A1(-1; 1) và A2( 215- ; 13 5 ) Do 1 2 1820 5 A M A M= < = nên 1 2A BC A BC S S< . Vậy điểm cần tìm là A(-1; 1) PHẦN II. Câu Va. 1. Tính tích phân: ( ) ln 5 ln 2 10 1 1x x dxI e e- = - - ò . Đáp án: Đặt 21 1 2x x xt e t e tdt e dx= - Þ = - Þ = . Khi x = ln2 thì t = 1; khi x = ln5 thì t = 2. Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2ln 5 2 2 2 22 ln 2 1 1 1 1 2 3 51 1 1 1 12 ln ln 3 3 3 3 3 3 29910 1x x dx tdt dt tI dt t t ttt te e -= = = = - - = - = - + +--- - ò ò ò ò 2. Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 22 2 32 2 4 2 2 2 4 1 0 5 x yx xy x y x x y x -ì ï + + =ï í ï + - - + =ïî Đáp án: Điều kiện: x ¹ 0 Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com 10 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 25 2 2 2 1 0 2 1 xx xy x xy x xy y x -é ù é ùÛ + - + + = Û + = Û =ë û ë û Thay vào (4) nhận được: 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 3 1 2 11 12 2 2 2 x x x x x x x x x x x - - - - -- = - = - = - 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 12 2 x x x xx x x xf f x x x x - - æ ö- - - -æ öÛ + = + Û =ç ÷ ç ÷ è ø è ø Ở đó ( ) 2 2 t tf t = + là hàm đồng biến với mọi t. Từ đó suy ra 2 2 2 1 2 1 32 4 x x x y x x æ ö- - -æ ö = Û = Þ =ç ÷ ç ÷ è ø è ø Vậy nghiệm của hệ phương trình là 32 4 x y -= Þ = . Câu Vb. 1. Tính tích phân: 4 3 0 sin cos x xI dx x p = ò . Đáp án: Đặt u = x và 3 sin cos xdv dx du dx x = Þ = và 2 1 2 cos v x = . Từ đó: 4 4 4 2 2 00 0 1 1 1tan 2 4 2 4 22 cos cos x dxI x x x p p p p p= - = - = -ò 2. Giải phương trình ( ) ( )22 7 7 2log log 3 2 log 3 log2 xx x x x xé ù+ + = + +ê úë û (6) Đáp án: Điều kiện: x > 0 ( ) ( ) ( )( )2 2 76 log log 2 log 3 02xx x xé ùÛ - + + =ë û Xét 22 ln ln 2log 2 2 2 xx xx x x = Û = Û = (7). Đặt: ( ) ( )ln 1 lnx xf x f x x x -¢= Þ = ; ( ) 0f x x e¢ = Û = . Vậy phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm. Dễ thấy x = 2 và x = 4 là nghiệm của (7). Xét ( )2 7log 2 log 3x x= + (8). Đặt: 2log 2 tx t x= Û = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 2 18 7 2 3 6 9 17 7 7 t t t t tÛ = + Û + + = có nghiệm duy nhất t = 2. Vậy phương trình có nghiệm x = 2 và x = 4. Hết Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com 11 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐH SỐ 02 PHẦN I. Câu I. Cho hàm số ( )3 22 3 1 2y x mx m x= + + - + (1) (m là tham số thực) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0. 2. Cho điểm M(3; 1) và đường thẳng D: 2y x= - + . Tìm các giá trị của m để đường thẳng D cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm A(0; 2); B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 2 6 . Đáp án: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng D là: ( ) ( ) 2 2 2 0 2 2 3 1 2 3 2 3 2 0 x y x mx m x x g x x mx m = Þ =ìï+ + - + = - + Û í = + + - =ïî Đường thẳng D cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm A(0; 2), B, C Û Phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x ¹ 0 ( ) 2 20 3 2 0 21;0 3 2 0 3 mm m m mg x m >ì¢D > ìì - + >ï ïÛ Û Ûí í í < ¹¹ - ¹ïî î ïî Chiều cao DMBC: h = d(M; (D)) = 3 1 2 2 2 + - = . Vậy 2 4 3MBCSBC h = = . Vì xB, xC là hai nghiệm phương trình g(x) = 0 và B, C Î D nên: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 2 2 2 4 2 4 12 8 8 3 2 48 3 4 0 B C B C B C B C B CBC x x y y x x x x x x m m m m m m = - + + = - = - - = - + = - + = Û - - = 1mÛ = - (loại) hoặc m = 4 (thỏa mãn). Câu II. 1. Giải phương trình ( )2 22sin sin 2 cos sin 2 1 2 cos 4x x x x x p- + = - Đáp án: Phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) 2sin sin 2 cos sin 2 1 1 cos 2 1 sin 2 2 sin 2 sin cos sin 2 1 0 x x x x x x x x x x p- + = + - = + Û - - = Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com 12 * ( )sin 2 0 2 kx x kp= Û = ΢ * ( ) ( ) ( ) ( )2 2sin cos sin 2 1 0 sin 1 2 cos sin 0 sin 1 1 2sin 2sin 0x x x x x x x x x- - = Û - - = Û - + + = ( )21 2sin 2sin 0x xÛ + + = (vô nghiệm) hoặc sinx = 1 ( )2 2 x k kpÛ = + p ΢ 2. Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực duy nhất. ( ) ( ) 2 2 1 1x y x y x y m ì + + = +ï í + =ïî Đáp án: Do hệ đối xứng nên nếu (x; y) là một nghiệm của hệ thì (y; x) cũng là một nghiệm của hệ. Do đó để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì x = y. Thay x = y = 1 vào phương trình (2) Þ m = 2. Khi m = 2 thì hệ trở thành ( ) ( ) 2 2 1 1 2 x y x y x y ì + + = +ï í + =ïî ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 1 1 2 2 x y x y x y xy x y xy x y xy + ³ì ï + =ìïÛ + + + = + Û íí =îï + - =ïî hoặc 2 1 x y xy + =ì í =î Dễ thấy hệ có ba nghiệm (1; -1); (-1; 1) và (1; 1). Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn. Câu III. 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a (a > 0). Góc ABC bằng 120o, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi C¢ là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng (a) đi qua AC¢ và song song với BD cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B¢, D¢. Tính thể tích khối của chóp S.AB¢C¢D¢. Đáp án: Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của SO và AC¢. Trong mặt phẳng (SBD), qua I kẻ đường thẳng song song BD cắt SB, SD lần lượt tại B¢ và D¢. Từ BD ^ (SAC) Þ B¢D¢ ^ (SAC) Þ B¢D¢ ^ AC¢. Ta có: 13 2 2 AC a SC a AC SC a¢= Þ = Þ = = . S A a D¢ D I B¢ C¢ C B a O 2a Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com 13 Do I là trọng tâm của DSAC 22 3 3 aB D BD¢ ¢Þ = = . Vậy 21 . 2 3AB C D aS AC N D¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢= = Từ B¢D¢ ^ (SAC) Þ (AB¢C¢D¢) ^ (SAC¢). Vậy đường cao h của hình chóp S.AB¢C¢D¢ chính alf đường cao của tam giác đều SAC¢ Þ 3 2 ah = . Vậy 3 . 31 . 3 18S AB C D AB C D aV h S¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢= = (đvtt). 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(-1; 0; 2), mặt phẳng (P): 2 3 0x y z- - + = và đường thẳng (d): 23 6 2 4 1 yx z-- -= = . Viết phương trình đường thẳng (d¢) đi qua điểm A, cắt (d) tại B và cắt (P) tại C sao cho 2 0AC AB+ =uuur uuur r . Đáp án: Gọi M là giao điểm của (d) và (P). Phương trình tham số của (d) là: 3 2 4 6 x m y m z m = +ì ï = +í ï = +î . Thay vào (P) ta có: 6 4 2 4 6 3 0 1m m m m- - - - - + = Û = Vậy M(5; 6; 7). Kẻ đường thẳng (d1) đi qua A và // (D). Gọi N là giao điểm của (d1) và (P) ta có: 1 1 2 : 4 2 x t d y t z t = - +ì ï =í ï = +î . Thay vào (P) ta được 2 4 4 2 3 0 1t t t t- + - - - + = Û = - Vậy N(-3, -4, 1). Gọi C là điểm trên (P) sao cho ( )2 0 19; 24; 11NC NM C+ = Þ - - -uuur uuuur r Đường CA cắt (d) tại B thỏa mãn yêu cầu. Vậy (d¢) là đường thẳng qua A và C có phương trình: 1 2 18 24 13 yx z+ -= = . Câu IV. 1. Cho số phức ; ,z x yi x y= + ΢ thỏa mãn 3 18 26z i= + . Tính ( ) ( )2009 20092 4T z z= - + - Đáp án: ta có ( ) ( ) 3 2 3 3 2 2 3 2 3 3 18 3 3 18 26 3 26 x xy z x xy x y y i i x y y ì - =ï= - + - = + Þ í - =ïî Do x = y = 0 không là nghiệm hệ, đặt y = tx M N C A d1 d d¢ B P Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com 14 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 1 3 18 3 1 3 12 13 0 3 26 x t t t t x t t ì - =ïÞ Þ - - - =í - =ïî Khi 1 3 t = thì x = 3 và y = 1, thỏa mãn x, y Î Z. Khi 23 12 13 0t t- - = thì x, y Ï¢ . Vậy số phức cần tìm là: z = 3 + i Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2009 2009 2009 2009 1004 1004 10052 4 1 1 2 1 2 1 2T z z i i i i= - + - = + + - = + + - = 2. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn 3z y z+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 4 2 ln 1 4 2 ln 1 4 2 ln 1 P x y y z z x = + + + + - + + - + + - Đáp án: Từ giả thiết 0 , , 3x y z£ £ suy ra ( ) ( )4 2 ln 1 0; 4 2 ln 1 0x y y z+ + - > + + - > và ( )4 2 ln 1 0z x+ + - > . Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: ( ) ( ) ( ) 9 4 2 ln 1 4 2 ln 1 4 2ln 1 P x y y z z x ³ + + - + + + - - + + - Xét hàm số ( ) ( ) [ ]2 ln 1 , 0;3f t t t t= + - Î , có ( ) 1 1 tf t t -¢ = + . Lập bảng biến thiên hàm f(t), với [ ]0; 3tÎ suy ra ( )0 2 ln 2 1f t£ £ - . Do đó ( ) ( ) ( ) 9 3 3 2 ln 212 P f x f y f z ³ ³ ++ + + . Vậy 3min 3 2 ln 2 P = + , khi x = y = z = 1. PHẦN 2 (thí sinh làm một trong hai câu) Câu Va. 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 3x y+ = , 1 0x y+ - = . Đáp án: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường 23x y= - và 1x y= - là: 2 23 1 2 0 1y y y y y- = - Û - - = Û = - hoặc y = 2. Vậy ( ) ( ) ( ) 22 2 3 2 2 2 11 1 93 1 2 2 3 2 2 y y S y y dy y y dy y -- - æ ö = - - - = - + + = - + + =ç ÷ è øò ò (đvdt). 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cố định A nằm trên đường thẳng (D): 2 3 14 0x y- + = , cạnh BC song song với D, đường cao CH có phương trình: 2 1 0x y- - = . Biết trung điểm của cạnh AB là M(-3; 0). Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C. Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com 15 Đáp án: Vì AB ^ CH nên AB có phương trình: 2 0x y c+ + = . Do M(-3; 0) Î AB nên c = 6. Vậy phương trình AB là: 2 6 0x y+ + = . Do A Î D nên tọa độ A là nghiệm của hệ: ( )2 3 14 0 4; 2 2 6 0 x y A x y - + =ì Þ -í + + =î Vì M(-3; 0) là trung điểm AB nên B(-2; -2) Cạnh BC // D và đi qua B nên BC có phương trình: ( ) ( )2 2 3 2 0 2 3 2 0x y x y+ - + = Û - - = . Vậy tọa độ C là nghiệm của hệ ( )2 3 2 0 1;0 2 1 0 x y C x y - - =ì Þí - - =î Câu Vb. 1. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2y x= ; 22y x= - . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox. Đáp án: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là: 2 2 4 22 2 0 1x x x x x= - Û + - = Û = - hoặc x = 1. Khi [ ]1; 1xÎ - thì 2 22 x x- ³ và đồ thị các hàm 2y x= và 22y x= - cùng nằm phía trên trục Ox. Vậy ( ) 11 3 5 2 4 11 442 2 3 5 5 x xV x x dx x -- æ ö= p - - = p - - = pç ÷ è øò (đvtt). 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho điểm I(-1; 3). Viết phương trình đường tròn có tâm I và cắt đường thẳng 3 4 10 0x y- + = tại hai điểm A, B sao cho AIB bằng 120o. Đáp án: Gọi H là hình chiếu của I trên đường thẳng (d): 3 4 10 0x y- + = , khi đó: ( )( ) 3 12 10, 1 5 IH d I d - - += = = Suy ra R = AI = o 2 cos 60 IH = . Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: ( ) ( ) 221 3 4x y+ + - = Hết Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com 16 ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐH SỐ 03 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm) CÂU NỘI DUNG Điểm TXĐ : D = R\{1} 0.25 Chiều biến thiên lim ( ) lim ( ) 1 x x f x f x ®+¥ ®-¥ = = nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 1 1 lim ( ) , lim x x f x + -® ® = +¥ = -¥ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y’ = 2 1 0 ( 1)x - < - 0.25 Bảng biến thiên 1 +¥ -¥ 1 - - y y' x -¥ 1 +¥ Hàm số nghịc biến trên ( ;1)-¥ và (1; )+¥ Hàm số không có cực trị 0.25 Câu I. (2.0đ) 1. (1.0đ) Đồ thị.(tự vẽ) Giao điểm của đồ thị với trục Ox là (0 ;0) Vẽ đồ thị Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng 0.25 2.(1.0đ) Giả sử M(x0 ; y0) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến là lớn nhất. Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng : 002 0 0 1 ( ) ( 1) 1 x y x x x x = - - + - - 0.25 Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com 17 -+ f(t) f'(t) x 2 0 10 +¥ 2 0 2 2 0 0 1 0 ( 1) ( 1) x x y x x Û - - + = - - Ta có d(I ;tt) = 0 4 0 2 1 1 1 ( 1) x x - + + Xét hàm số f(t) = 4 2 ( 0) 1 t t t > + ta có f’(t) = 2 4 4 (1 )(1 )(1 ) (1 ) 1 t t t t t - + + + + 0.25 f’(t) = 0 khi t = 1 Bảng biến thiên từ bảng biến thiên ta có d(I ;tt) lớn nhất khi và chỉ khi t = 1 hay 0 0 0 2 1 1 0 x x x =é - = Û ê =ë 0.25 + Với x0 = 0 ta có tiếp tuyến là y = -x + Với x0 = 2 ta có tiếp tuyến là y = -x+4 0.25 Câu II (2.0đ) 1. (1.0đ) Phương trình đã cho tương đương với 2(cos4x + cos2x) = 3 (cos2x + 1) + sin2x 0.25 Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com 18 2 cosx=0 4 os3xcosx=2 3 os 2sinxcosx 2cos3x= 3 osx+sinx c c x c é Û + Û ê ë 0.25 + osx=0 x= 2 c k p pÛ + + 3x=x- 2 62 os3x= 3 osx+sinx cos3x=cos(x- ) 6 3 2 6 k c c x x k p p p p p é +ê Û Û ê ê = - +êë 0.25 12 24 2 x k k x p p p p é = - +ê Û ê ê = +êë vì x [ ] 11 130; , , , 2 12 24 24 x x x x p p p ppÎ Þ = = = = 0.25 ĐK: , 0x y x y ³ì í ³î Hệ phương trình 3 2 3 2 3 2 3 23 5.6 4.2 0 3 5.6 4.2 0 (2 )( 2 ) 2 (2 )( 2 )( ) x y x x y x y x x y x y y y x y x x y y x y x x y y - - - -ì ì- + = - + =ï ïÛ Ûí í - - = - + - = - + - +ï ïî î 0.25 2.(1.0đ) 3 2 3 2 3 2 3 23 5.6 4.2 0 3 5.6 4.2 0 2 0(2 )[( 2 )( ) 1] 0 x y x x y x y x x y y xy x y x x y y - - - -ì - + = ì - + =ïÛ Ûí í - =- + - + + =ï îî (do 2 )( ) 1 0y x x y y+ - + + ¹ ) 3 2 3 2 2 23 5.6 4.2 0 3 5.6 4.2 0 (1) 2 2 (2) x y x x y x x x y x y x - -ì ì- + = - + = Û Ûí í = =î î Giải (1): 2 2 2 3 ( ) 1 3 3 23 5.6 4.2 0 ( ) 5.( ) 4 0 32 2 ( ) 4 2 x x x x x x x é =ê - + = Û - + = Û ê ê =êë 3 2 0 log 4 x x =é êÛ =êë 0.25 0.25 Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com 19 Với x = 0 thay vào (2) ta được y = 0 Với 3 2 log 4x = thay vao (2) ta được y = 3 2 1 log 4 2 Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 3 2 log 4x = ,y = 3 2 1 log 4 2 0.25 Đặt I = 3 1 4 2 0 ( ) 1 x xx e dx x + +ò . Ta có I = 3 1 1 4 2 0 0 1 x xx e dx dx x + +ò ò 0.25 Ta tính 3 1 2 1 0 xI x e dx= ò Đặt t = x3 ta có 1 1 1 0 0 1 1 1 1 3 3 3 3 t tI e dt e e= = = -ò 0.25 Ta tính 1 4 2 0 1 x I dx x = +ò Đặt t = 4 x 4 34x t dx t dtÞ = Þ = 0.25 Câu III. (1.0đ) Khi đó 1 14 2 2 2 2 0 0 1 2 4 4 ( 1 ) 4( ) 1 1 3 4 t I dx t dt t t p = = - + = - + + +ò ò Vậy I = I1+ I2 1 3 3 e p= + - 0.25 Ta có 1 1 1 2 2xy yz xz xyz x y z + + ³ Û + + ³ nên 0.25 1 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 2 (1) y z y z x y z y z yz - - - - ³ - + - = + ³ Tương tự ta có 1 1 1 1 1 ( 1)( 1)1 1 2 (2)x z x z y x z x z xz - - - - ³ - + - = + ³ 1 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 2 (3) x y x y y x y x y xy - - - - ³ - + - = + ³ 0.25 Câu IV. (1.0đ) Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được 1( 1)( 1)( 1) 8 x y z- - - £ 0.25 Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com 20 B' Y X Z N D' C' A' C D A B M B D A C P M N vậy Amax = 1 3 8 2 x y zÛ = = = 0.25 Câu V. (1.0đ) Qua B, C, D lần lượt dựng các đường thẳng Song song với CD, BD, BC cắt nhau tại M, N, P Ta có MN = 2BD, MP = 2CD, NP = 2BC từ đó ta có các tam giác AMN, APM, ANP vuông tại A Đặt x = AM, y = AN, AP = z ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ), 2( ) 2( ) x a c b y b c a z a b c = + - = + - = + - Vậy V = 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 22( )( )( )a c b b c a a b c+ - + - + - 1.0 Gọi A là giao điểm d1 và d2 ta có A(3 ;0) Gọi B là giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4) Gọi C là giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4) 0.5 CâuVIa. (2.0đ) 1.(1.0đ) Gọi BI là đường phân giác trong góc B với I thuộc OA khi đó ta có I(4/3 ; 0), R = 4/3 0.5 2.(1.0đ) Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ Ta có M(1 ;0 ;0), N(0 ;1 ;1) B(2 ;0 ;2), C’(0 ;2 ;2) Gọi phương tình mặt cầu đi qua 4 điểm M,N,B,C’ có dạng x2 + y2 + z2 +2Ax + 2By+2Cz +D = 0 Vì mặt cầu đi qua 4 điểm nên ta có 1.0 Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com 21 5 21 2 0 5 2 2 2 0 2 8 4 4 0 1 8 4 4 0 2 4 A A D B C D B A C D CB C D D ì = -ï + + =ì ï ï ï+ + + = = -ï ïÛí í+ + + =ï ï = -ï ï+ + + =î ï ï =î . Vậy bán kính R = 2 2 2 15A B C D+ + - = Đk: x > - 1 0.25 bất phương trình 3 3 3 3log ( 1) 2log ( 1) log 4 0 ( 1)( 6) x x x x + + - Û > + - 3log ( 1) 0 6 x x + Û < - 0.25 0.25 0 6xÛ < < 0.25 Ta có 1 2( 12;0), ( 12;0)F F- Giả sử M(x0 ; y0)thuộc (E) H là hình chiếu của M trên đường thẳng 8 3 x = . Ta có MF2 = a - cx0/a = 0 8 3 2 x- 0.5 CâuVIa (1.0đ