Bài giải Xác sất thống kê - Chương 1: Những định lý cơ bản trong lý thuyết xác suất - Trần Ngọc Hội

7. b) Gọi B là biến cố khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Ta có: B = X1T2T3T4 + T1X2T3T4 + T1T2X3T4 . Suy ra P(B) = P(X1T2T3T4 ) + P(T1X2T3T4 ) + P(T1T2X3T4 ) = P(X1) P(T2/X1) P(T3/X1T2) P(T4/X1T2T3) + P(T1) P(X2/T1) P(T3/T1X2) P(T4/T1X2T3) + P(T1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2) P(T4/ T1T2 X3) = (4/10)(6/9)(5/8)(4/7) + (6/10)(4/9)(5/8)(4/7)+(6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 3(4/10)(6/9)(5/8)(4/7) = 0,2857. c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Khi đó biến cố B đã xảy ra. Do đó xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện P(X3/B). Theo Công thức nhân xác suất , ta có 3 3P(X B) P(B)P(X /B)= . Suy ra 3 3 P(X B)P(X /B) P(B) = . Mà X3B = T1T2X3T4 nên P(X3B) = P(T1T2X3T4 ) = P(T1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2) P(T4/ T1T2 X3) = (6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 0,0952. Suy ra P(X3/B) = 0,3333. Bài 1.4: Một hộp bi gồm 5 bi đỏ, 4 bi trắng và 3 bi xanh có cùng cỡ. Từ hộp ta rút ngẫu nhiên không hòan lại từng bi một cho đến khi được bi đỏ thì dừng lại. Tính xác suất để a) được 2 bi trắng, 1 bi xanh và 1 bi đỏ. b) không có bi trắng nào được rút ra. 6 Lời giải Gọi Di, Ti, Xi lần lượt là các biến cố chọn được bi đỏ, bi trắng, bi xanh ở lần rút thứ i. a) Gọi A là biến cố rút được 2 bi trắng, 1 bi xanh và 1 bi đỏ. Ta có: A xảy ra ⇔ Rút được T T X D T X T D X T T D − − −⎡⎢ − − −⎢⎢ − − −⎣ Suy ra A = T1T2X3D4 + T1X2T3D4 + X1T2T3D4 Từ đây, do tính xung khắc từng đôi của các biến cố thành phần, ta có: P(A) = P(T1T2X3D4)+ P(T1X2T3D4) + P(X1T2T3D4 ) Theo Công thức Nhân xác suất, ta có P(T1T2X3D4) = P(T1)P(T2/T1)P(X3/T1T2)P(D4/T1T2X3) = (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66; P(T1X2T3D4) = P(T1)P(X2/T1)P(T3/T1X2)P(D4/T1X2T3) = (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66; P(X1T2T3D4) = P(X1)P(T2/X1)P(T3/X1T2)P(D4/X1T2T3) = (3/12)(4/11)(3/10)(5/9) = 1/66. Suy ra P(A) = 3/66 = 1/22 = 0,0455. b) Gọi B là biến cố không có bi trắng nào được rút ra. Ta có: B xảy ra ⇔ Rút được D X D X X D X X X D ⎡⎢ −⎢⎢ − −⎢ − − −⎣ Suy ra B = D1 + X1D2 + X1X2D3+ X1X2X3 D4 Từ đây, do tính xung khắc từng đôi của các biến cố thành phần, ta có: P(B) = P(D1)+ P(X1D2) + P(X1X2D3 ) + P(X1X2X3 D4) Theo Công thức Nhân xác suất, ta có Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 7 P(B) = P(D1) + P(X1)P(D2/X1) + P(X1)P(X2/X1)P(D3/X1X2) + P(X1)P(X2/X1)P(X3/X1X2)P(D4/X1X2X3) = 5/12+ (3/12)(5/11) + (3/12)(2/11)(5/10) + (3/12)(2/11)(1/10)(5/9) = 5/9 Bài 1.5: Sản phẩm X bán ra ở thị trường do một nhà máy gồm ba phân xưởng I, II và III sản xuất, trong đó phân xưởng I chiếm 30%; phân xưởng II chiếm 45% và phân xưởng III chiếm 25%. Tỉ lệ sản phẩm loại A do ba phân xưởng I, II và III sản xuất lần lượt là 70%, 50% và 90%. a) Tính tỉ lệ sản phẩm lọai A nói chung do nhà máy sản xuất. b) Chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm X ở thị trường. Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Theo bạn, sản phẩm ấy có khả năng do phân xưởng nào sản xuất ra nhiều nhất? c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong rất nhiều sản phẩm X) ở thị trường. 1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A. 2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A. Lời giải Tóm tắt: Phân xưởng I II III Tỉ lệ sản lượng 30% 45% 25% Tỉ lệ loại A 70% 50% 90% a) Để tính tỉ lệ sản phẩm loại A nói chung do nhà máy sản xuất ta chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm ở thị trường. Khi đó tỉ lệ sản phẩm loại A chính là xác suất để sản phẩm đó thuộc loại A. Gọi B là biến cố sản phẩm chọn mua thuộc loại A. A1, A2, A3 lần lượt là các biến cố sản phẩm do phân xưởng I, II, III sản xuất. Khi đó A1, A2, A3 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và P(A1) = 30% = 0,3; P(A2) = 45% = 0,45; P(A3) = 25% = 0,25. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + P(A3)P(B/A3) Theo giả thiết, P(B/A1) = 70% = 0,7; P(B/A2) = 50% = 0,5; P(B/A3) = 90% = 0,9. 8 Suy ra P(B) = 0,66 = 66%. Vậy tỉ lệ sản phẩm loại A nói chung do nhà máy sản xuất là 66%. b) Chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm X ở thị trường. Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Theo bạn, sản phẩm ấy có khả năng do phân xưởng nào sản xuất ra nhiều nhất? Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Khi đó biến cố B đã xảy ra. Do đó, để biết sản phẩm loại A đó có khả năng do phân xưởng nào sản xuất ra nhiều nhất ta cần so sánh các xác suất có điều kiện P(A1/B), P(A2/B) và P(A3/B). Nếu P(Ai/B) là lớn nhất thì sản phẩm ấy có khả năng do phân xưởng thứ i sản xuất ra là nhiều nhất. Theo công thức Bayes ta có: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 P(A )P(B/A ) 0, 3.0,7 21P(A /B) ; P(B) 0, 66 66 P(A )P(B/A ) 0,45.0,5 22,5P(A /B) ; P(B) 0, 66 66 P(A )P(B/A ) 0, 25.0, 9 22,5P(A /B) . P(B) 0, 66 66 = = = = = = = = = Vì P(A2/B) = P(A3/B) > P(A1/B) nên sản phẩm loại A ấy có khả năng do phân xưởng II hoặc III sản xuất ra là nhiều nhất. c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong rất nhiều sản phẩm X) ở thị trường. 1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A. 2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A. Aùp dụng công thức Bernoulli với n = 121, p = 0,66, ta có: 1) Xác suất để có 80 sản phẩm loại A là 80 80 41 80 80 41 121 121 121P (80) C p q C (0,66) (0,34) 0,076.= = = 2) Xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A là 85 85 85 k k 121 k k k 121 k 121 121 121 k 80 k 80 k 80 P (k) C p q C (0,66) (0,34) 0,3925.− − = = = = = =∑ ∑ ∑ Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 9 Bài 1.6: Có ba cửa hàng I, II và III cùng kinh doanh sản phẩm Y. Tỉ lệ sản phẩm loại A trong ba cửa hàng I, II và III lần lượt là 70%, 75% và 50%. Một khách hàng chọn nhẫu nhiên một cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm a) Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A. b) Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Theo bạn, khả năng người khách hàng ấy đã chọn cửa hàng nào là nhiều nhất? Lời giải Tóm tắt: Cửa hàng I II III Tỉ lệ loại A 70% 75% 50% Chọn nhẫu nhiên một cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm. a) Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A. Gọi B là biến cố sản phẩm chọn mua thuộc loại A. A1, A2, A3 lần lượt là các biến cố chọn cửa hàng I, II, III. Khi đó A1, A2, A3 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/ A2)+ P(A3)P(B/A3) Theo giả thiết, P(B/A1) = 70% = 0,7; P(B/A2) = 75% = 0,75; P(B/A3 = 50% = 0,5. Suy ra P(B) = 0,65 = 65%. Vậy xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A là 65%. b) Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Theo bạn, khả năng người khách hàng ấy đã chọn cửa hàng nào là nhiều nhất? Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Khi đó biến cố B đã xảy ra. Do đó, để biết sản phẩm loại A đó có khả năng khách hàng ấy đã chọn cửa hàng nào là nhiều nhất ta cần so sánh các xác suất có điều kiện P(A1/B), 10 P(A2/B) và P(A3/B). Nếu P(Ai/B) là lớn nhất thì cửa hàng thứ i có nhiều khả năng được chọn nhất. Theo công thức Bayes ta có: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 P(A )P(B/A ) (1 / 3).0,7 70P(A /B) ; P(B) 0, 65 195 P(A )P(B/A ) (1 / 3).0,75 75P(A /B) ; P(B) 0, 65 195 P(A )P(B/A ) (1 / 3).0,5 50P(A /B) . P(B) 0, 65 195 = = = = = = = = = Vì P(A2/B) > P(A1/B) > P(A3/B) nên cửa hàng II có nhiều khả năng được chọn nhất. Bài 1.7: Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 12 bi, trong đó hộp I gồm 8 bi đỏ, 4 bi trắng; hộp II gồm 5 bi đỏ, 7 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ba bi rồi bỏ sang hộp II; sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp II bốn bi. a) Tính xác suất để lấy được ba bi đỏ và một bi trắng từ hộp II. b) Giả sử đã lấy được ba bi đỏ và một bi trắng từ hộp II. Tìm xác suất để trong ba bi lấy được từ hộp I có hai bi đỏ và một bi trắng. Lời giải Gọi A là biến cố chọn được 3 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II. Ai (i = 0, 1, 2, 3) là biến cố có i bi đỏ và (3-i) bi trắng có trong 3 bi chọn ra từ hộp I. Khi đó A0, A1, A2, A3 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có: 0 3 8 4 0 3 12 1 2 8 4 1 3 12 2 1 8 4 2 3 12 3 0 8 4 3 3 12 4P(A ) ; 220 48P(A ) ; 220 112P(A ) ; 220 56P(A ) . 220 C C C C C C C C C C C C = = = = = = = = a) Tính xác suất để lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II. Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 11 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(A)=P(A0)P(A/A0)+P(A1)P(A/A1)+P(A2)P(A/A2)+P(A3)P(A/A3) Theo công thức tính xác suất lựa chọn, ta có 3 1 5 10 0 4 15 3 1 6 9 1 4 15 3 1 7 8 2 4 15 3 1 8 7 3 4 15 100P(A / A ) ; 1365 180P(A / A ) ; 1365 280P(A / A ) ; 1365 392P(A / A ) . 1365 C C C C C C C C C C C C = = = = = = = = Suy ra xác suất cần tìm là P(A) = 0,2076. b) Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II. Tìm xác suất để trong 3 bi lấy được từ hộp I có 2 bi đỏ và 1 bi trắng. Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II. Khi đó biến cố A đã xảy ra. Do dó xác suất để trong 3 bi lấy được từ hộp I có 2 bi đỏ và 1 bi trắng trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện P(A2/A). Aùp dụng công thức Bayes, ta có: 2 2 2 112 280.P(A )P(A/A ) 220 1365P(A /A) 0,5030. P(A) 0, 2076 = = = Vậy xác suất cần tìm là P(A2/A) = 0,5030. Bài 1.8: Có ba hộp mỗi hộp đựng 5 viên bi trong đó hộp thứ nhất có 1 bi trắng, 4 bi đen; hộp thứ hai có 2 bi trắng, 3 bi đen; hộp thứ ba có 3 bi trắng, 2 bi đen. a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một bi. 1) Tính xác suất để được cả 3 bi trắng. 2) Tính xác suất được 2 bi đen, 1 bi trắng. 3) Giả sử trong 3 viên lấy ra có đúng 1 bi trắng.Tính xác suất để bi trắng đó là của hộp thứ nhất. b) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bi. Tính xác suất được cả 3 bi đen. 12 Lời giải a) Gọi Aj (j = 1, 2, 3) là biến cố lấy được bi trắng từ hộp thứ j. Khi đó A1, A2, A3 độc lập và 1 1 2 2 3 3 1 4P(A ) ; P(A ) ; 5 5 2 3P(A ) ;P(A ) ; 5 5 3 2P(A ) ;P(A ) . 5 5 = = = = = = 1) Gọi A là biến cố lấy được cả 3 bi trắng. Ta có 1 2 3A A A A .= Suy ra P(A) = P(A1) P(A2) P(A3) = 0,048. 2) Gọi B là biến cố lấy 2 bi đen, 1 bi trắng. Ta có 1 2 3 1 2 3 1 2 3B A A A A A A A A A= + + Suy ra P(B) =0,464 . 3) Giả sử trong 3 viên lấy ra có đúng 1 bi trắng. Khi đó biến cố B đã xảy ra. Do đó xác suất để bi trắng đó là của hộp thứ nhất trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện P(A1/B). Theo công thức Nhân xác suất ta có: P(A1B) = P(B)P(A1/B) Suy ra 1 1 P(A B)P(A /B) . P(B) = Mà 1 1 2 3A B A A A= nên lý luận tương tự như trên ta được P(A1B) = 0,048. Suy ra P(A1/B) =0,1034 . b) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bi. Tính xác suất được cả 3 bi đen. Gọi A là biến cố lấy được cả 3 bi đen. A1, A2, A3 lần lượt là các biến cố chọn được hộp I, II, III. Khi đó A1, A2, A3 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/ A2)+ P(A3)P(A/A3) Theo công thức xác suất lựa chọn, ta có: Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 13 0 30 3 2 31 4 1 2 33 3 5 5 C CC C 4 1P(A/A ) = ;P(A/A ) = ;P(A/A ) =0. 10 10C C = = Suy ra P(A) = 0,1667. Bài 1.9: Có 20 hộp sản phẩm cùng lọai, mỗi hộp chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó có 10 hộp của xí nghiệp I, 6 hộp của xí nghiệp II và 4 hộp của xí nghiệp III. Tỉ lệ sản phẩm tốt của các xí nghiệp lần lượt là 50%, 65% và 75%. Lấy ngẫu nhiên ra một hộp và chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm từ hộp đó. a) Tính xác suất để trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 sản phẩm tốt. b) Giả sử trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 sản phẩåm tốt. Tính xác suất để 2 sản phẩm tốt đó của xí nghiệp I. Lời giải Gọi A là biến cố trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 sản phẩm tốt. Aj (j = 1, 2, 3) là biến cố chọn được hộp của xí nghiệp thứ j. Khi đó A1, A2, A3 là một đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có: 1 10 1 1 20 1 6 2 1 20 1 4 3 1 20 10P(A ) ; 20 6P(A ) ; 20 4P(A ) . 20 C C C C C C = = = = = = Mặt khác, từ giả thiết, theo công thức Bernoulli, ta có 2 2 1 3 2 2 2 3 2 2 3 3 P(A / A ) C (0,5) (1 0,5) 0,375 P(A / A ) C (0,65) (1 0,65) 0,443625 P(A / A ) C (0,75) (1 0,25) 0,421875 = − = = − = = − = Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3) = (10/20).0,375 + (6/20). 0,443625 + (4/20). 0,421875 = 0,4050. b) Giả sử trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 sản phẩåm tốt. Khi đó, biến cố A đã xảy ra. Do đó, xác suất để 2 sản phẩm tốt đó của xí nghiệp I chính là xác suất có điều kiện P(A1/A). 14 Aùp dụng Công thức Bayes và sử dụng kết quả vừa tìm được ở câu a) ta có 1 1 1 P(A )P(A/A ) (10/20).0,375P(A /A) 0,4630. P(A) 0,4050 = = = Bài 1.10: Có 10 sinh viên đi thi, trong đó có 3 thuộc loại giỏi, 4 khá và 3 trung bình. Trong số 20 câu hỏi thi qui định thì sinh viên lọai giỏi trả lời được tất cả, sinh viên khá trả lời được 16 câu còn sinh viên trung bình được 10 câu. Gọi ngẫu nhiên một sinh viên và phát một phiếu thi gồm 4 câu hỏi thì anh ta trả lời được cả 4 câu hỏi. Tính xác suất để sinh viên đó thuộc loại khá. Lời giải Tóm tắt: Xếp loại sinh viên Giỏi Khá Trung bình Số lượng 3 4 3 Số câu trả lời được/20 20 16 10 Gọi A là biến cố sinh viên trả lời được cả 3 câu hỏi. A1, A2, A3 lần lượt là các biến cố sinh viên thuộc loại Giỏi, Khá; Trung bình. Yêu cầu của bài toán là tính xác suất có điều kiện P(A2/A). Các biến cố A1, A2, A3 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi, và ta có: P(A1) = 3/10; P(A2) = 4/10; P(A3) = 3/10. Theo công thức Bayes, ta có 2 2 2 P(A )P(A/A )P(A /A) . P(A) = Mặt khác, theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3). Theo công thức tính xác suất lựa chọn, ta có: 4 20 1 4 20 4 0 16 4 2 4 20 4 0 10 10 3 4 20 CP(A / A ) 1; C C C 1820P(A / A ) ; C 4845 C C 210P(A / A ) . C 4845 = = = = = = Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 15 Suy ra P(A2/A) = 0,3243. Bài 1.11: Có hai hộp I và II, trong đó hộp I chứa 10 bi trắng và 8 bi đen; hộp II chứa 8 bi trắng và 6 bi đen. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên 2 bi bỏ đi, sau đó bỏ tất cả các bi còn lại của hai hộp vào hộp III (rỗng). Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp III. Tính xác suất để trong 2 bi lấy từ hộp III có 1 trắng, 1 đen. Lời giải Gọi A là biến cố bi lấy được 1 trắng, 1 đen. Aj (j = 0, 1, 2, 3, 4) là biến cố có j bi trắng và (4-j) bi đen có trong 4 bi bỏ đi (từ cả hai hộp I và II). Khi đó A0, A1, A2 , A3, A4 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2)+ P(A3)P(A/A3) + P(A4)P(A/A4). trong đó 1 1 18 10 0 2 28 C C 10P(A/A ) = 21C = (Vì khi A0 đã xảy ra thì trong hộp III có 28 bi gồm 18 trắng , 10 đen). Tương tự, 1 1 1 1 17 11 16 12 1 22 2 28 28 1 1 1 1 15 13 14 14 3 42 2 28 28 C C C C187 32P(A/A ) = ;P(A/A ) = ; 378 63C C C C C C65 14P(A/A ) = ;P(A/A ) = . 126 27C C = = = = Bây giờ ta tính P(A0); P(A1); P(A2); P(A3); P(A4). Gọi Bi , Ci (i = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i bi trắng và (2 - i) bi đen có trong 2 bi được chọn ra từ hộp I, hộp II. Khi đó - B0, B1, B2 xung khắc và ta có: 0 2 1 1 2 0 10 8 10 8 10 8 0 1 22 2 2 18 18 18 28 80 5P(B ) ; P(B ) ;P(B ) . 153 153 17 C C C C C C C C C = = = = = = - C0, C1, C2 xung khắc và ta có: 0 2 1 1 2 0 8 6 8 6 8 6 0 1 22 2 2 14 14 14 15 48 28P(C ) ;P(C ) ;P(C ) . 91 91 91 C C C C C C C C C = = = = = = 16 - Bi và Cj độc lập. - Tổng số bi trắng có trong 4 bi chọn ra phụ thuộc vào các biến cố Bi và Cj theo bảng sau: C0 C1 C2 B0 0 1 2 B1 1 2 3 B2 2 3 4 A0 = B0C0 ⇒ P(A0) = P(B0)P(C0) = 20/663. A1 = B0C1 + B1C0 ⇒ P(A1) = P(B0)P(C1 ) + P(B1)P(C0) = 848/4641. A2 = B0C2 + B1C1 + B2C0 ⇒ P(A2) = P(B0)P(C2)+P(B1)P(C1)+P(B2)P(C0) =757/1989. A3 = B1C2 + B2C1 ⇒ P(A3) = P(B1)P(C2)+P(B2)P(C1) = 4400/13923. A4 = B2C2 ⇒ P(A4) = P(B2)P(C2) = 20/221. Từ đó suy ra P(A) = 0,5080. Bài 1.12: Có hai hộp cùng cỡ. Hộp thứ nhất chứa 4 bi trắng 6 bi xanh, hộp thứ hai chứa 5 bi trắng và 7 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra 2 bi thì được 2 bi trắng. Tính xác suất để viên bi tiếp theo cũng lấy từ hộp trên ra lại là bi trắng. Lời giải Gọi A1 là biến cố 2 bi lấy đầu tiên là bi trắng. A2 là biến cố bi lấy lần sau là bi trắng. Bài tóan yêu cầu tính P(A2/A1). Theo công thức nhân xác suất, ta có P(A1A2) = P(A1) P(A2/A1). Suy ra 1 2 2 1 1 P(A A )P(A / A ) P(A ) = . Bây giờ ta tính các xác suất P(A1) và P(A1A2). Gọi B1, B2 lần lượt là các biến cố chọn được hộp I, hộp II. Khi đó B1, B2 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có: P(B1) = P(B2) = 0,5. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A1) = P(B1) P(A1/ B1) + P(B2) P(A1/ B2) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 17 Mà 2 0 4 6 1 1 2 10 2 0 5 7 1 2 2 12 6P(A / B ) ; 45 10P(A / B ) . 66 C C C C C C = = = = nên P(A1) = 47/330. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A1A2) = P(B1) P(A1A2/ B1) + P(B2) P(A1A2/ B2). Mà 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 6 2 1P(A A / B ) P(A / B )P(A / A B ) ; 45 8 30 10 3 1P(A A / B ) P(A / B )P(A / A B ) . 66 10 22 = = = = = = nên P(A1A2) = 13/330. Suy ra xác suất cần tìm là P(A2/A1) =13/47= 0,2766. Bài 1.13: Một lô hàng gồm a sản phẩm loại I và b sản phẩm loại II được đóng gới để gửi cho khách hàng. Nơi nhận kiểm tra lại thấy thất lạc 1 sản phẩm. Chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm thì thấy đó là sản phẩm loại I. Tính xác suất để sản phẩm thất lạc cũng thuộc loại I. Lời giải Gọi A là biến cố sản phẩm được chọn ra thuộc lọai I. A1, A2 lần lượt là các biến cố sản phẩm thất lạc thuộc loại I, loại II. Yêu cầu của bài toán là tính xác suất có điều kiện P(A1/A). Ta thấy A1, A2 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và 1 0 0 1 a b a b 1 21 1 a b a b C C C Ca bP(A ) ; P(A ) . C a b C a b+ + = = = =+ + Theo công thức Bayes, ta có 1 1 1 1 1 1 1 2 2 P(A )P(A / A ) P(A )P(A / A )P(A / A) P(A) P(A )P(A / A ) P(A )P(A / A ) = = + Mà 1 0 1 0 a 1 b a b 1 1 21 1 a b 1 a b 1 C C C Ca 1 aP(A / A ) ; P(A / A ) . C a b 1 C a b 1 − − + − + − −= = = =+ − + − nên 18 1 a a 1. a 1a b a b 1P(A / A) a a 1 b a a b 1. . . a b a b 1 a b a b 1 − −+ + −= =− + −++ + − + + − Bài 1.14: Có 3 hộp phấn, trong đó hộp I chứa 15 viên tốt và 5 viên xấu, hộp II chứa 10 viên tốt và 4 viên xấu, hộp III chứa 20 viên tốt và 10 viên xấu. Ta gieo một con xúc xắc cân đối. Nếu thấy xuất hiện mặt 1 chấm thì ta chọn hộp I; nếu xuất hiện mặt 2 hoặc 3 chấm thì chọn hộp II, còn xuất hiện các mặt còn lại thì chọn hộp III. Từ hộp được chọn lấy ngẫu nhiên ra 4 viên phấn. Tìm xác suất để lấy được ít nhất 2 viên tốt. Lời giải Gọi A là biến cố chọn được ít nhất 2 viên phấn tốt. Aj (j =1,2, 3) là biến cố chọn được hộp thứ j. Khi đó A1, A2, A3 là hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có: - A1 xảy ra khi và chỉ khi thảy con xúc xắc, xuất hiện mặt 1 chấm, do đó P(A1) = 1/6. - Tương tự, P(A2) = 2/6; P(A3) = 3/6. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3). Từ giả thiết ta có: 2 2 3 1 4 0 15 5 15 5 15 5 1 4 4 4 20 20 20 2 2 3 1 4 0 10 4 10 4 10 4 2 4 4 4 14 14 14 2 2 3 1 4 0 20 10 20 10 20 10 3 4 4 4 30 30 30 C C C C C C 4690P(A / A ) ; C C C 4845 C C C C C C 960P(A / A ) ; C C C 1001 C C C C C C 24795P(A / A ) . C C C 27405 = + + = = + + = = + + = Suy ra P(A) =0,9334. Bài 1.15: Có hai kiện hàng I và II. Kiện thứ nhất chứa 10 sản phẩm, trong đó có 8 sản phẩm loại A. Kiện thứ hai chứa 20 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm loại A. Lấy từ mỗi kiện 2 sản phẩm. Sau đó, trong 4 sản phẩm thu được chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra sau cùng có đúng 1 sản phẩm loại A. Lời giải Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 19 Gọi C là biến cố trong 2 sản phẩm chọn ra sau cùng có đúng 1 sản phẩm loại A. Aj (j = 0, 1, 2, 3, 4 ) là biến cố có j sản phẩm lọai A và (4-j) sản phẩm lọai B có trong 4 sản phẩm lấy từ hai kiện I và II. Khi đó A0, A1, A2, A3, A4 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(C) = P(A0)P(C/A0) + P(A1)P(C/A1) + P(A2)P(C/A2) + P(A3)P(C/A3) + P(A4)P(C/A4). Ta có: 0 1 1 1 3 1 2 4 1 1 2 2 2 2 4 1 1 3 1 3 2 4 4 P(C/A ) = 0; C C 3P(C/A ) = 6C C C 4P(C/A ) = 6C C C 3P(C/A ) = 6C P(C/A ) =0. = = = Bây giờ ta tính P(A1); P(A2); P(A3). Gọi Bi , Ci (i = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i sp A và (2 - i) sp B có trong 2 sp được chọn ra từ kiện I, kiện II. Khi đó - B0, B1, B2 xung khắc từng đôi và ta có: 0 2 8 2 0 2 10 1 1 8 2 1 2 10 2 0 8 2 2 2 10 1P(B ) ; 45 16P(B ) ; 45 28P(B ) . 45 C C C C C C C C C = = = = = = - C0, C1, C2 xung khắc từng đôi và ta có: 20 0 2 4 16 0 2 20 1 1 4 16 1 2 20 2 0 4 16 2 2 20 120P(C ) ; 190 64P(C ) ; 190 6P(C ) ; 190 C C C C C C C C C = = = = = = - Bi và Cj độc lập. - Tổng số sp A có trong 4 sp chọn ra phụ thuộc vào các biến cố Bi và Cj theo bảng sau: C0 C1 C2 B0 0 1 2 B1 1 2 3 B2 2 3 4 Ta có: A1 = B0C1 + B1C0 . A2 = B0C2 + B1C1 + B2C0 . A3 = B1C2 + B2C1 . Từ đây, nhờ các công thưcù cộng và nhân xác suất ta tính được: P(A1) = 0,2320 ; P(A2) = 0,5135 ; P(A3) = 0,2208 . Suy ra xác suất cần tìm là P(C) = 0,5687. Bài 1.16: Một xạ thủ bắn 10 viên đạn vào một mục tiêu. Xác suất để 1 viên đạn bắn ra trúng mục tiêu là 0,8 . Biết rằng: Nếu có 10 viên trúng thì mục tiêu chắc chắn bị diệt. Nếu có từ 2 đến 9 viên trúng thì mục tiêu bị diệt vơiù xác suất 80%. Nếu có 1 viên trúng thì mục tiêu bị diệt với xác suất 20%. a) Tính xác suất để mục tiêu bị diệt. b) Giả sử mục tiêu đã bị diệt. Tính xác suất có 10 viên trúng. Lời giải Tóm tắt: - Số viên bắn ra: 10 viên. - Xác suất trúng của mỗi viên: 0,8. Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 21 Số viên trúng 1 2-9 10 Xác suất mục tiêu bị diệt 20% 80% 100% a) Gọi A là biến cố mục tiêu bị diệt. A0, A1, A2, A3 lần lượt là các biến cố có 0; 1; 2-9; 10 viên trúng. Khi đó, A0, A1, A2, A3 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và giả thiết cho ta: P(A/A0) = 0; P(A/A1) = 20% = 0,2; P(A/A2) = 80%= 0,8; P(A/A3) = 100% = 1. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3). Theo công thức Bernoulli với n =10; p = 0,8, q = 0,2, ta có 10 10 0 1 9 9 1 10 10 10 3 10 9 10 2 0 1 3 P(A ) q (0,2) ; P(A ) C pq 10(0,8)(0,2) ; P(A ) p (0,8) ; P(A ) 1