Bài giảng Các phân phối xác suất đặc biệt

äc lậäp cóù phânâ phốái chuẩån tắéc. Xéùt ĐLNN (38) vớùi mọïi x ³ 0, (39) đượïc gọïi làø luậät phânâ phốái Chi bình phương, vớùi n bậäc tựï do, Kýù hiệäu làø X ~ c2(n) vàø cóù hàøm mậät độä tương ứùng làø , trong đó LUẬÄT PHÂN PHÔ ÁÁI CHI BÌNH PHƯƠNG 2 2 2 2 1 2 ..... nX X Xc = + + + 2 ( / 2) 1 /2 /2 0 1( ) 2 ( / 2) x n u nP x u e dun c - -£ = G ị ( / 2) 1 / 2 / 2 1 0 2 ( / 2)( ) 0 0 n x n x e xnf x x - -ì >ï G= í ï £ỵ 1 0 ( ) t tt x e dt +¥ - -G = ị Ng uy en C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHƯƠNG 4: CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ 2 5c 2 10c 2 19c o q Đồà thị củûa đườøng cong c2(n) ởû phầàn tư thứù nhấát vàø tiệäm cậän vớùi trụïc hoàønh. q Tổång dt dướùi đườøng cong c2(n) bằèng 1. q . Giáù trị c2(n) (tra bảûng IV).( )2 2( )P n ac c a> = ĐỒÀ THỊ LUẬÄT PHÂN PHÔ ÁÁI CHI BÌNH PHƯƠNG Nếáu X ~ c2(n) thì [i] Kỳø vọïng củûa X làø: mX = n [ii] Phương sai củûa X làø: s2 = 2n VÍ DỤÏ 4.8. Cho X cóù phânâ phốái Chi bình phương 12 bậäc tựï do, xáùc định giáù trị c2 0,025 côngâ thứùc (tra bảûng IV) ĐỊNH LÝÙ PHÂN PHÔ ÁÁI CHI BÌNH PHƯƠNG 0.025 2 12c ( )20 , 0 2 5 1 2 ?c =0 ( )2 20,025 0,025nP c c> = ( )20,025 12 23,3367cÞ = BẢÛNG IV PHÂN PHÔ ÁÁI CHI BÌNH PHƯƠNG a acc a => )( 22 nP 13.7867………………53.6719 30 ……………………… 3.07383.57064.40385.226021.026123.336726.217028.299712 ……………………… 0.01000.02010.05060.10265.99157.37789.210410.59652 0.00000.00020.00100.00393.84155.02396.63497.87941 n 0.9950.990.9750.950.050.0250.010.005a q ĐLNN liênâ tụïc X cóù phânâ phốái Student vớùi n bậäc tựï do, kýù hiệäu X ~ T(n), nếáu cóù hàøm mậät độä cóù dạïng q Nếáu n lớùn (n ³ 30) thì đồà thị củûa hàøm mậät độä ¦(t) xấáp xỉ vớùi đườøng cong chuẩån tắéc. q Cáùc giáù trị củûa luậät phânâ phốái T vớùi n bậäc tựï do đượïc viếát làø ta. Do luậät phânâ phốái T đốái xứùng nênâ ta cóù ta = –ta; ví dụï t0,05 = –t0,05 q X ~ T(n) thì m = 0 vàø s2 = n/(n – 2), (n > 2). LUẬÄT PHÂN PHÔ ÁÁI STUDENT ( 1) / 22 1 2( ) 1 2 n n tf t t n nnp - + +ỉ ưGç ÷ ỉ ưè ø= + -¥ < < +¥ç ÷ỉ ư è øGç ÷ è ø q Đồà thị củûa đườøng cong T(n) tiệäm cậän vớùi trụïc hoàønh vàø đốái xứùng qua trụïc tung. q Khi n ® ¥ thì phânâ phốái Student T(n) trùøng vớùi phânâ phốái chuẩån tắéc X~N(0,1). q Tổång dt dướùi đườøng cong T(n) bằèng 1. q . Giáù trị ta (tra bảûng III).( )( )P T n ta a> = ĐỒÀ THỊ LUẬÄT PHÂN PHÔ ÁÁI STUDENT VÍ DỤÏ 4.9. Cho X ~ T(13). (a) Tính xáùc suấát P(½T½> 1,7709) vàø P(T > 1,7709). (b) Xáùc định giáù trị t0,01. (a) Ta cóù P(½T(n)½> ta) = a Vậäy P(½T(13)½> 1,7709) = Do P(½T½> ta) = a Û P(T > ta) + P(T < -ta) = a phânâ phốái T đốái xứùng nênâ P(T > ta) = a/2 Vậäy P(T > 1,7709) = (0,1)/2 = 0,05 (b) Ta cóù P(½T(13)½> t0,01) = 0,01 Þ t0,01= 3,0123. ĐỊNH LÝÙ PHÂN PHÔ ÁÁI STUDENT (Tra bảng IV) 0,1 (Tra bảng IV) Ng uy en C g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHƯƠNG 4: CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ 3.01232.65032.43582.28162.16042.06001.97421.89891.83171.770913 …………………………… …………………………… 9.92506.96455.64284.84874.30273.89643.57823.31983.10402.92002 63.655931.821021.205115.894512.706210.57899.05797.91587.02646.31371 n 0.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10a t0 1-a t=? 0, 00 5 2 a =0, 00 5 2 a = BẢÛNG PHÂN PHÔ ÁÁI STUDENT XẤÁP XỈ GIỮA Cà ÙÙC LUẬÄT PHÂN PHÔ ÁÁI ? M pt cóù t/c A N pt N–M pt Ỉ t/c A n pt Chọïn cóù hoàøn lạïi Gọïi X làø sốá pt cóù t/c A X ~ B(n, p) M pt cóù t/c A N pt N–M pt Ỉ t/c A n pt Chọïn khôngâ hoàøn lạïi Gọïi X làø sốá pt cóù t/c A X ~ H(N, M, n) 1 N n N - - 1=limN®+¥ Xéùt tậäp cóù N phầàn tửû, trong đóù cóù M phầàn tửû cóù tính chấát A. Lấáy ngẫuã nhiênâ n phầàn tửû. Gọïi X làø sốá phầàn tửû cóù tính chấát A cóù trong n phầàn tửû đượïc lấáy ra. q Nếáu lấáy cóù hoàøn lạïi thì cóù n–phéùp thửû độäc lậäp vàø X~B(n, p), vớùi q Nếáu lấáy ra khôngâ hoàøn lạïi, khi đóù ĐLNN X cóù luậät phânâ phốái X~ H(N, M, n). q Khi n << N, khi đóù = Mp N XẤÁP XỈ SIÊU BÔ ÄÄI SANG NHỊ THỨÙC ~ ( , , ) ~ ( , )X H N M n X B n p» ( ) k n k k k n kM N M nn N C CP X k C p q C - --= = » VÍ DỤÏ 4.10. Côngâ ty T&T hiệän đang tồàn kho 8.000 linh kiệän điệän tửû cáùc loạïi, trong đóù cóù 2.000 linh kiệän khôngâ đạït tiêuâ chuẩån kỹõ thuậät. Mộät kháùch hàøng muốán mua hếát sốá linh kiệän trênâ nhưng khôngâ hềà biếát trong lôâ hàøng cóù linh kiệän khôngâ đạït tiêuâ chuẩån kỹõ thuậät. Kháùch hàøng lấáy ngẫuã nhiênâ 10 linh kiệän đểå kiểåm tra, nếáu trong 10 linh kiệän lấáy ra cóù khôngâ quáù 2 linh kiệän khôngâ đạït tiêuâ chuẩån kỷû thuậät thì kháùch hàøng đồàng ýù mua lôâ hàøng trênâ . Tính xáùc suấát lôâ hàøng đượïc mua. XẤÁP XỈ SIÊU BÔ ÄÄI SANG NHỊ THỨÙC q Gọïi X làø sốá linh kiệän khôngâ đạït tiêuâ chuẩån cóù trong 10 sảûn phẩåm lấáy ra. q X = {0,1,2,...,10} vàø X ~ H(8.000, 2.000,10). q Do n = 10 << N = 8.000 nênâ cóù thểå tính xấáp xỉ P(X = 2) bởûi phânâ phốái nhị thứùc Ta cóù q Xáùc suấát cầàn tìm 2000~ 10, (10;0,25) 8000 X B Bỉ ư =ç ÷è ø ( ) ( ) 2 10 10 0 ( 2) . 0, 25 . 0,75k kk k P X C - = £ = å 0,5255= XẤÁP XỈ SIÊU BÔ ÄÄI SANG NHỊ THỨÙC ĐLNN X cóù luậät phânâ phốái nhị thứùc X ~ B(n, p) q Khi n lớùn, xáùc suấát p xảûy ra củûa mộät biếán cốá rấát gầàn khôngâ sao cho q = 1 – p rấát gầàn 1, biếán cốá nàøy đượïc gọïi làø biếán cốá hiếám. q Khi đóù ta cóù thểå xem ĐLNN X cóù luậät phânâ phốái Poisson X ~ P(l), vớùi l = np. q Trong thựïc hàønh, mộät biếán cốá đượïc xem làø hiếám nếáu n ³ 50 vàø np £ 5. ( ) ( )~ , ~X B n p X P l» ( ) ! k k k n k n eP X k C p q k ll--= = » XẤÁP XỈ NHỊ THỨÙC SANG POISSON Ng uy en C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHƯƠNG 4: CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ VÍ DỤÏ 4.11. Mộät dâyâ chuyềàn tựï độäng lắép ráùp xe máùy cóù thểå cho xuấát xưởûng xe khôngâ đạït tiêuâ chuẩån kỷû thuậät (phếá phẩåm) vớùi xáùc suấát làø 0,1%. Tính xáùc suấát đểå trong 4.000 xe do dâyâ chuyềàn nàøy sảûn xuấát ra cóù (a) đúùng 5 phếá phẩåm, (b) khôngâ quáù 5 phếá phẩåm. q Gọïi X làø sốá phếá phẩåm do dâyâ chuyềàn sảûn xuấát, X = {0,1,...,4.000} vàø X ~ B(4.000; 0,001). q Vớùi n = 4.000 (lớùn) vàø p = 0,001 (nhỏû) nênâ ta cóù thểå xem ĐLNN rờøi rạïc X cóù phânâ phốái Poisson. XẤÁP XỈ NHỊ THỨÙC SANG POISSON vớùi l = np = 4000´0,001 = 4 hay X~ P(4) a) Xáùc suấát cóù đúùng 5 phếá phẩåm. b) Xáùc suấát cóù khôngâ quáù 5 phếá phẩåm. ( 5) ! keP X k ll- = = 0,1563= 4 54 5! e- = (Tra bảng IA) 45 0 .4( 5) ! k k eP X k - = £ = å 0,7851= 2 3 4 5 4 4 4 4 41 4 2 3! 4! 5! e- ỉ ư = + + + + +ç ÷ è ø(Tra bảng IB) XẤÁP XỈ NHỊ THỨÙC SANG POISSON BẢÛNG IA PHÂN PHÔ ÁÁI POISSON X ~ P(l) ( ) l l-= = ! k P X k e k ...........................13 0.05190.03630.02320.01320.00660.00270.00090.00020.00009 0.08490.06530.04630.02980.01690.00810.00310.00090.00018 0.12340.10440.08240.05950.03850.02160.00990.00340.00087 0.15710.14620.12810.10420.07710.05040.02780.01200.00356 0.17140.17550.17080.15630.13220.10080.06680.03610.01415 0.15580.17550.18980.19540.18880.16800.13360.09020.04714 0.11330.14040.16870.19540.21580.22400.21380.18040.12553 0.06180.08420.11250.14650.18500.22400.25650.27070.25102 0.02250.03370.05000.07330.10570.14940.20520.27070.33471 0.00410.00670.01110.01830.03020.04980.08210.13530.22310 5.554.543.532.521.5l k BẢÛNG IB PHÂN PHÔ ÁÁI POISSON X ~ P(l) ( ) l l- = £ = å 0 ! kn k P X n e k ...........................13 0.94620.96820.98290.99190.99670.99890.99971.00001.00009 0.89440.93190.95970.97860.99010.99620.99890.99981.00008 0.80950.86660.91340.94890.97330.98810.99580.99890.99987 0.68600.76220.83110.88930.93470.96650.98580.99550.99916 0.52890.61600.70290.78510.85760.91610.95800.98340.99555 0.35750.44050.53210.62880.72540.81530.89120.94730.98144 0.20170.26500.34230.43350.53660.64720.75760.85710.93443 0.08840.12470.17360.23810.32080.42320.54380.67670.80882 0.02660.04040.06110.09160.13590.19910.28730.40600.55781 0.00410.00670.01110.01830.03020.04980.08210.13530.22310 5.554.543.532.521.5l k q Nếáu n lớùn vàø p hoặëc q khôngâ quáù gầàn khôngâ , luậät phânâ phốái nhị thứùc cóù thểå xấáp xỉ bằèng luậät phânâ phốái chuẩån vớùi ĐLNN đượïc chuẩån hóùa trong đóù X làø sốá lầàn thàønh côngâ trong n lầàn thửû Bernoulli vàø p làø xáùc suấát thàønh côngâ . q Trong thựïc hàønh, phương pháùp xấáp xỉ nàøy rấát tốát nếáu cảû hai np vàø nq đềàu lớùn hơn 5. XẤÁP XỈ NHỊ THỨÙC SANG CHUẨÅN X npZ npq - = 2 / 21lim ( ) 2 b u n a X npP a b e du npq p - ®¥ - £ £ = ị 1. TRƯỜØNG HỢÏP 1: Tính P(X= k) q Cáùch 1. Sửû dụïng hàøm phânâ phốái trong đóù q Cáùch 2. Sửû dụïng hàøm mậät độä Trong đóù: vàø ( )( ) xP X k npq j = = 2 21( ) 2 x x ej p - = k npx npq - = 0,5 0,5( ) k np k npP X k npq npq ỉ ư ỉ ư- - + - = = F - Fç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø è ø2 2 0 1( ) 2 x z z e dz p - F = ị XẤÁP XỈ NHỊ THỨÙC SANG CHUẨÅN Ng uy en C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHƯƠNG 4: CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ VÍ DỤÏ 4.12. Mộät máùy sảûn xuấát ra sảûn phẩåm loạïi A vớùi xáùc suấát làø 0,485. Tính xáùc suấát sao cho trong 200 sảûn phẩåm do máùy sảûn xuấát ra cóù đúùng 95 sảûn phẩåm loạïi A. q Gọïi X làø sốá SP loạïi A thì X ~ B(200; 0,485). q Xấáp xỉ sang chuẩån X ~ N(97; 49,955) Cáùch 1. Dùøng hàøm phânâ phốái P(X = 95) = P(94,5 ≤ X ≤ 95,5) = F(–14,78) – F(–14,92) = 0,0542 Cáùch 2. Dùøng hàøm mậät độä( )( 95) xP X npq j = = (0, 28) 7,068 j = ( 0,283) 7,068 j -= 0,3836 0,0542 7,068 = = (Tra bảng I) XẤÁP XỈ NHỊ THỨÙC SANG CHUẨÅN 0 z 0.00130.00130.00140.0014…0.00160.00160.00170.00173.3 0.05510.05620.05730.0584…0.06200.06320.06440.06561.9 0.00090.00090.00100.0010…0.00110.00120.00120.00123.4 ………………………… 0.06690.06810.06940.0707…0.07480.07610.07750.07901.8 ………………………… 0.38250.38360.38470.3857…0.38850.38940.39020.39100.2 0.39180.39250.39320.3939…0.39560.39610.39650.39700.1 0.39730.39770.39800.3982…0.39880.39890.39890.39890.0 9876---3210Z BẢNG I HÀM MẬT ĐỘ ~ ( 0 , 1 )Z N 2 21( ) 2 z z ej p - = 2. TRƯỜØNG HỢÏP 2. Tính P(a £ X £ b) X ~ B(n, p), xấáp xỉ X ~ N(m, s2) = N(np, npq). Trong đóù làø hàøm phânâ phốái Laplace củûa Z ~ N (0,1). ( ) ( )0,5 0,5( ) b np a npP a X b npq npq f f ỉ ư ỉ ư+ - - - £ £ = -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø è ø 2 2 0 1( ) 2 x z z e dzf p - = ị XẤÁP XỈ NHỊ THỨÙC SANG CHUẨÅN VÍ DỤÏ 4.13. Xáùc suấát mộät máùy cóù thểå sảûn xuấát ra sảûn phẩåm loạïi A làø 0,25. Tính xáùc suấát trong 80 sảûn phẩåm do máùy nàøy sảûn xuấát ra cóù từø 25 đếán 30 sảûn phẩåm loạïi A. q Gọïi X làø sốá sảûn phẩåm loạïi A cóù trong 80 sảûn phẩåm thì X={0,1,..., 80} vàø X ~ B(80; 0,25). q Do n=80; p=0,25; cóù thểå xấáp xỉ X~N(20, 15). Xáùc suấát cầàn tìm: 30 0,5 20 25 0,5 20(25 30) 15 15 P X f f+ - - -ỉ ư ỉ ư£ £ = -ç ÷ ç ÷ è ø è ø ( ) ( )2,71 1,16f f= - 0,4966 0,3770 0,1196= - = (Tra bảng II) XẤÁP XỈ NHỊ THỨÙC SANG CHUẨÅN 0.49740.49730.49720.4971…0.49680.49670.49660.49652.7 0.4990……………………3.0 ………………………… 0.49360.49340.49320.4931…0.49250.49220.49200.49182.4 ………………………… 0.38300.38100.37900.3770…0.37080.36860.36650.36431.1 ………………………… 0.07530.07140.06750.0636…0.05170.04780.04380.03980.1 0.03590.03190.02790.0239…0.01200.00800.00400.00000.0 9876…3210Z 0 z BẢNG II PHÂN PHỐI CHUẨN ~ ( 0 , 1 )Z N dzez zx 2 0 2 2 1)( - ị= pf Ths. Nguyễnãã Côngââ Trí Copyright 2001 LUẬÄT PHÂN PHÔ ÁÁI NHỊ THỨÙC [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] LUẬÄT PHÂN PHÔ ÁÁI SIÊU BÔ ÄÄI [17] [59] [60] [61] LUẬÄT PHÂN PHÔ ÁÁI POISSON [15] [16] [55] [56] [57] [58] LUẬÄT PHÂN PHÔ ÁÁI CHUẨÅN [8] [9] [10] [11] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] BÀØI TẬÄP CHƯƠNG 4 Ths. Nguyễn Công TríNg uy en C ng Tr i PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHƯƠNG 4: CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC 4.1. Tìm xác suất trong phép thử tung một đồng xu công bằng ba lần, sẽ xuất hiện (a) 3 lần mặt ngửa, (b) 2 lần mặt sấp và 1 lần mặt ngửa, (c) ít nhất 1 mặt ngửa, (d) không quá 1 mặt sấp. Đs. (a) 1/8; (b) 3/8; (c) 7/8; (d) ½. 4.2. Tìm xác suất trong năm lần tung một con xúc xắc công bằng, mặt 3 sẽ xuất hiện (a) hai lần, (b) nhiều nhất một lần, (c) ít nhất hai lần. Đs. (a) 625/3.888; (b) 3.125/3.888; (c) 763/3.888. 4.3. Tìm xác suất trong một gia đình có 4 con sẽ có (a) ít nhất 1 trai, (b) ít nhất 1 trai và ít nhất 1 gái. Giả sử xác suất sinh trai là ½. Đs. (a) 15/16; (b) 7/8. 4.4. Khảo sát 2.000 gia đình, trong đó mỗi gia đình có 4 con. Bạn hy vọng sẽ có bao nhiêu gia đình có (a) ít nhất 1 trai, (b) 2 trai, (c) 1 hoặc 2 gái, (d) không có con gái nào cả? Đs. (a) 1.875; (b) 750; (c) 1.250; (d) 125. 4.5. Giả sử có 20% bu-long do một máy sản xuất bị khuyết tật. Tính xác suất trong 4 con bu-long được chọn ngẫu nhiên có, (a) 1, (b) 0, (c) ít hơn 2, con bu-long bị khuyết tật. Đs. (a) 0,4096; (b) 0,4096; (c) 0,8192. 4.6. Tìm xác suất để có ít nhất một lần được 7 điểm trong ba lần tung một cặp xúc xắc công bằng. Đs. 91/216. 4.7. Nếu xác suất của một con bu-long khuyết tật là 0,1 thì hãy tìm (a) trung bình, (b) độ lệch chuẩn, của số con bu-long khuyết tật trong tổng số 400 con bu-long. Đs. (a) 40; (b) 6. LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN 4.8. Tìm diện tích dưới đường cong chuẩn được thể hiện trong Hình. 4-3 (a) giữa z = 0 và z = 1,2, (b) giữa z = – 0,68 và z = 0, (c) giữa z = – 0,46 và z = 2,21, (d) giữa z = 0,81 và z = 1,94, (e) bên phải của z = – 1,28. CHƯƠNG 4 Ng uy en C ng Tr i PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHƯƠNG 4: CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ Hình. 4-3 Đs. (a) 0,3849; (b) 0,2517; (c) 0,6636; (d) 0,1828; (e) 0,8997 . 4.9. Nếu "diện tích" dựa vào bên dưới đường cong chuẩn, hãy tìm giá trị của z sao cho (a) diện tích giữa 0 và z là 0,3770, (b) diện tích phần bên trái của z là 0,8621, (c) diện tích giữa –1,5 và z là 0,0217. Đs. (a) z = 1.16; (b) z = 1,09; (c) z = –1,35 hay z = –1,69. 4.10. Trọng lượng trung bình của 500 nữ sinh ở một trường đại học là 151 lb và độ lệch chuẩn là 15 lb. Giả sử trọng lượng của các nữ sinh có luật phân phối chuẩn, hãy tìm có bao nhiêu sinh viên cân nặng (a) từ 120 đến 155lb, (b) hơn 185lb. Đs. (a) 300; (b) 5. 4.11. Chọn một mẫu gồm 200 vòng đệm cao su do một máy sản xuất, có đường kính trong trung bình là 0,502 inches và độ lệch chuẩn là 0,005 inches. Đường kính trong của các vòng đệm này được phép có dung sai từ 0,496 đến 0,508 inches, ngược lại thì các vòng đệm được xem bị hỏng. Hãy xác định có bao nhiêu phần trăm các vòng đệm do máy này sản xuất bị hỏng, giả sử đường kính trong của các vòng đệm này có phân phối chuẩn. Đs. 23,02%. XẤP XỈ PHÂN PHỐI NHỊ THỨC BẰNG PHÂN PHỐI CHUẨN 4.12. Tìm xác suất để có được từ 3 đến 6 mặt ngửa trong 10 lần tung đồng xu công bằng, bằng cách sử dụng (a) luật phân phối nhị thức, (b) xấp xỉ luật phân phối nhị thức bằng luật phân phối chuẩn. Đs. (a) 0,7734; (b) 0,7718. 4.13. Tung một đồng xu công bằng 500 lần. Tìm xác suất số lần xuất hiện mặt ngửa cách 250 (a) không quá 10, (b) không quá 30 lần mặt ngửa. Đs. (a) 0,6528; (b) 0,9936. 4.14. Tung một con xúc xắc công bằng 120 lần. Tìm xác suất để mặt 4 xuất hiện (a) không quá 18 lần, (b) không quá 14 lần. Đs. (a) 0,3557; (b) 0,0885. LUẬT PHÂN PHỐI POISSON 4.15. Một quy trình sản xuất ra công cụ sản xuất có 10% sản phẩm hỏng. Chọn ngẫu nhiên 10 sản phẩm, tìm xác suất có đúng 2 sản phẩm hỏng, bằng cách sử dụng (a) luật phân phối nhị thức, (b) xấp xỉ luật phân phối nhị thức bằng luật phân phối Poisson. Đs. (a) 0,1937; (b) 0,1839. 4.16. Xác suất một người sẽ bị phản ứng với việc tiêm huyết thanh là 0,001. Hãy tính xác suất của 2.000 người được tiêm huyết thanh thì có, (a) đúng 3 người, (b) hơn 2 người, sẽ bị phản ứng với huyết thanh. Ng uy en C ng Tr i PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHƯƠNG 4: CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ Đs. (a) 0,18; (b) 0,323. LUẬT PHÂN PHỐI SIÊU BỘI 4.17. Một hộp chứa 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Thực hiện thí nghiệm sau đây, chọn ngẫu nhiên 1 bi và ghi nhận màu của nó, nhưng bi này không được trả vào hộp. Tìm xác suất để sau 5 lần thử sẽ chọn được 3 bi xanh. Đs. 10/21. LUẬT PHÂN PHỐI CHI-BÌNH PHƯƠNG 4.18. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 0 và phương sai 1. Chứng minh X2 có phân phối chi bình phương với bậc tự do là 1. 4.19. Đồ thị luật phân phối chi bình phương với 5 bậc tự do được thể hiện trong Hình. 4-18. Tìm các giá trị 21 , 2 2 cho trường hợp (a) diện tích được tô đậm phần bên phải là 0,05, (b) tổng diện tích được tô đậm là 0,05, (c) diện tích được tô đậm phần bên trái là 0,10, (d) diện tích được tô đậm phần bên phải là 0,01. Hình. 4-18 Đs. (a) 11,1; (b) 12,8 và 0,831; (c) 1,61; (d) 15,1. 4.20. Tìm giá trị của 2 với diện tích phần bên phải của luật phân phối 2 là 0,05 nếu bậc tự do bằng (a) 15, (b) 21, (c) 50. Đs. (a) 25; (b) 32,7; (c) 67,5. 4.21. Tìm trung vị của 2 ứng với (a) 9, (b) 28, (c) 40 bậc tự do. Đs. (a) 8,34; (b) 27,3; (c) 39,3. 4.22. Tìm 20.95 với (a) = 50, (b) = 100 bậc tự do. Đs. (a) 69,2; (b) 124. LUẬT PHÂN PHỐI STUDENT 4.23. Đồ thị của phân phối Student với 9 bậc tự do được thể hiện trong Hình. 4-19. Tìm giá trị t1 của (a) phần bên phải của diện tích được tô đậm bằng 0,05 (b) tổng diện tích được tô đậm bằng 0,05 (c) tổng diện tích không được tô đậm bằng 0,99 (d) phần bên trái của diện tích được tô đậm bằng 0,01 (e) diện tích phần bên trái của t1 bằng 0,90. Ng uy n C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHƯƠNG 4: CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ Hình. 4-19 Đs. (a) 1,83; (b) 2,26; (c) 3,25; (d) –2,82; (e) 1,38. 4.24. Tìm giá trị t sao cho diện tích phần bên phải của luật phân phối t là 0,05 nếu bậc tự do của luật phân phối này là (a) 16, (b) 27, (c) 200. Đs. (a) 1,75; (b) 1,70; (c) 1,645. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP 4.25. Xác suất một sinh viên ghi danh sẽ tốt nghiệp đại học là 0,4. Tính xác suất trong 5 sinh viên ghi danh sẽ (a) không có sinh viên nào, (b) có 1 sinh viên, (c) có ít nhất 1 sinh viên tốt nghiệp đại học. Đs. (a) 0,0777; (b) 0,2592; (c) 0,92222. 4.26. Tính xác suất được tổng số điểm là 9 (a) hai lần, (b) ít nhất hai lần trong 6 lần tung cặp xúc xắc? Đs. (a) 0,1156; (b) h. 4.27. Xác suất con bu-long bị hỏng là 0,1, tìm (a) trung bình, (b) độ lệch chuẩn của phân phối số con bu-long bị hỏng trong tổng số 400 con. Đs. (a) 40; (b) 6. 4.28. Thang điểm trong kiểm tra vấn đáp môn sinh là 0, 1, 2,..., 10 điểm, tùy thuộc vào số câu trả lời đúng trong số 10 câu hỏi. Điểm trung bình là 6,7 và độ lệch chuẩn là 1,2. Giả sử thang điểm có phân phối chuẩn, hãy xác định (a) tỷ lệ (%) sinh viên đạt điểm 6, (b) điểm cao nhất của 10% sinh viên trong lớp có điểm thấp nhất, (c) điểm thấp nhất của 10% sinh viên trong lớp có điểm cao nhất. Đs. (a) 0,2738; (b) 5; (c) 8. BÀI TẬP BỔ SUNG LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC 4.29. Tìm xác suất trong 6 lần tung một đồng xu công bằng sẽ xuất hiện (a) 0, (b) 1, (c) 2, (d) 3, (e) 4, (f) 5, (g) 6 lần mặt ngửa. Đs. (a) 1/64, (b) 3/32, (c) 15/64, (d) 5/16, (e) 15/64, (f) 3/32, (g) 1/64. 4.30. Tìm xác suất trong 6 lần tung một đồng xu công bằng sẽ có (a) ít nhất 2, (b) không quá 4 lần xuất hiện mặt ngửa. Đs. (a) 57/64 (b) 21/32. 4.31. Gọi X là số lần xuất hiện mặt ngửa trong 4 lần tung một đồng xu công bằng, tìm (a) P(X = 3), (b) P(X < 2), (c) P(X 2), (d) P(1 < X 3). Đs. (a) ¼, (b) 5/16, (c) 11/16, (d) 5/8. 4.32. Khảo sát 800 hộ gia đình, mỗi hộ có 5 con, bạn hy vọng sẽ có bao nhiêu hộ có (a) 3 trai, (b) 5 gái, (c) từ 2 đến 3 trai cho mỗi hộ? Giả sử xác suất sinh trai và sinh gái bằng nhau. Ng uy en C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHƯƠNG 4: CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ Đs. (a) 250, (b) 25, (c) 500. 4.33. Tung cặp xúc xắc công bằng hai lần. Tìm xác suất để có tổng điểm là 11 trong (a) một lần, (b) hai lần tung. Đs. (a) 17/162, (b) 1/324. 4.34. Tìm xác suất để có tổng điểm là 9 đúng một lần trong ba lần gieo một cặp xúc xắc công bằng? Đs. 64/243. 4.35. Tìm xác suất để có thể đoán đúng ít nhất 6 câu trong 10 câu hỏi trắc nghiệm đúng – sai. Đs. 193/512. 4.36. Một đại lý bảo hiểm bán hợp đồng bảo hiểm cho 5 người, tất cả 5 người có cùng tuổi và trong tình trạng sức khoẻ tốt. Theo bảng chuyên thống kê bảo hiểm, xác suất một người ở độ tuổi này còn sống đến 30 năm nữa là 2 3 . Tìm xác suất trong 30 năm (a) tất cả 5 người, (b) ít nhất 3 người, (c) chỉ có 2 người, (d) ít nhất 1 người vẫn còn sống. Đs. (a) 32/243, (b) 192/243, (c) 40/243, (d) 242/243. LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN 4.37. Trong kỳ thi thống kê, điểm trung bình của các sinh viên là 78 điểm và độ lệch chuẩn là 10 điểm. (a) Hãy chuẩn hóa điểm của hai sinh viên có số điểm lần lượt là 93 và 62. (b) Hãy xác định điểm của hai sinh viên có điểm được chuẩn hóa lần lượt là – 0,6 và 1,2. Đs. (a) 1,5 và -1.6 (b) 7 và 90. 4.38. Tìm điểm (a) trung bình, (b) độ lệch chuẩn trong một kỳ thi với các bài có điểm là 70 và 88 được chuẩn hóa lần lượt là –0,6 và 1,4. Đs. (a) 75,4 (b) 9. 4.39. Tìm diện tích dưới đường cong chuẩn giữa (a) z = –1,20 và z = 2,40, (b) z = 1,23 và z = 1,87, (c) z = –2,35 và z = –0,50. Đs. (a) 0,8767; (b) 0,0786; (c) 0,2991. 4.40. Tìm diện tích dưới đường cong chuẩn (a) thuộc phần bên trái của z = –1,78; (b) thuộc phần bên trái của z = 0,56, (c) thuộc phần bên phải của z = –1,45, (d) ứng với z 2,16, (e) ứng với –0.80 z 1,53, (f) thuộc phần bên trái của z = –2,52 và thuộc phần bên phải của z = 1,83. Đs. (a) 0,0375; (b) 0,7123; (c) 0,9265; (d) 0,0154; (e) 0,7251; (f) 0,0395. 4.41. Cho Z có phân phối chuẩn với trung bình 0 và phương sai 1. Tìm (a) P(Z – 1,64), (b) P(–1,96 Z 1,96), (c) P( Z 1). Đs. (a) 0,9495; (b) 0,9500; (c) 0,6826. 4.42. Tìm giá trị của z sao cho (a) diện tích về phía phải của z là 0,2266, (b) diện tích về phía trái của z là 0,0314, (c) diện tích giữa – 0,23 và z bằng 0,5722, (d) diện tích giữa 1,15 và z bằng 0,0730, (e) diện t