Bài giảng cLý thuyết mẫu ngẫu nhiên

t mẫuã nênâ ta phảûi sửû dụïng đếán ngônâ ngữõ xáùc suấát cho bấát kỳø kếát luậän nàøo vềà tổång thểå. MẪU NGẪU NHIÊNà à  q Mộät tổång thểå đượïc xem làø tườøng minh khi ta biếát luậät phânâ phốái xáùc suấát f(x) củûa ĐLNN X (tính chấát đượïc quan tâmâ củûa tổång thểå). Chẳúng hạïn, trong ví dụï 5.1 Nếáu X làø ĐLNN vớùi cáùc giáù trị làø chiềàu cao (hoặëc trọïng lượïng) củûa 12.000 sinh viênâ thì X cóù luậät phânâ phốái xáùc suấát f(x). q Nếáu X cóù phânâ phốái chuẩån thì ta nóùi tổång thểå cóù phânâ phốái chuẩån. Tương tựï, nếáu X cóù phânâ phốái nhị thứùc thì ta nóùi tổång thểå cóù phânâ phốái nhị thứùc. CÁÙC THAM SỐÁ CỦÛA TỔÅNG THỂÅ q Hàøm f(x) củûa tổång thểå đượïc xáùc định thì cáùc tham sốá củûa tổång thểå đóù cũngõ sẽõ đượïc xáùc định, chẳúng hạïn m vàø s trong trườøng hợïp phânâ phốái chuẩån hoặëc p trong trườøng hợïp phânâ phốái nhị thứùc. Tấát cảû cáùc sốá đặëc trưng nàøy đượïc gọïi làø cáùc tham sốá củûa tổång thểå. q Nếáu luậät phânâ phốái xáùc suấát f(x) củûa tổång thểå chưa biếát. Ví dụï, cóù thểå cóù mộät vàøi lýù do nàøo đóù cho rằèng tổång thểå cóù dấáu hiệäu củûa phânâ phốái chuẩån. Trong trườøng hợïp đóù cóù thểå ta chưa biếát mộät hoặëc cảû hai giáù trị m vàø s, vì vậäy ta cóù khuynh hướùng chọïn suy diễnã thốáng kêâ đểå đưa ra cáùc giáù trị củûa chúùng. CÁÙC THAM SỐÁ CỦÛA TỔÅNG THỂÅ q Chọïn mẫuã NN từø tổång thểå, ta sẽõ sửû dụïng cáùc phầàn tửû mẫuã nàøy đểå tính cáùc giáù trị tham sốá mẫuã , phụïc vụï cho ướùc lượïng vàø kiểåm định cáùc tham sốá củûa tổång thểå. q Đểå minh họïa, xem ví dụï 5.1, trong đóù X làø ĐLNN gồàm cáùc chiềàu cao kháùc nhau. Đểå chọïn mộät mẫuã cóù kích thướùc 100, trướùc tiênâ ta chọïn NN mộät SV trong tổång thểå 12.000 SV, gọïi x1 làø giáù trị củûa ĐLNN X1. Tương tựï, chọïnphầàn tửû thứù hai củûa mẫuã , gọïi x2 làø giáù trị củûaĐLNN X2. Tiếáp tụïc quáù trình nàøy cho đếán X100, đểå đơn giảûn, ta giảû sửû việäc chọïn mẫuã trong trườøng hợïp nàøy làø cóù hoàøn lạïi. CÁÙC THAM SỐÁ CỦÛA MẪU à q Trong trườøng hợïp tổång quáùt, mộät mẫuã cóù kích thướùc n sẽõ đượïc môâ tảû bởûi cáùc giáù trị x1, x2,..., xn củûa cáùc ĐLNN X1, X2, . . . , Xn. Trong trườøng hợïp chọïn mẫuã cóù hoàøn lạïi thì X1, X2, . . . , Xn độäc lậäp, cáùc ĐLNN cóù phânâ phốái giốáng nhau vàø cóù hàøm xáùc suấát làø f(x). Hàøm xáùc suấát đồàng thờøi làø P(X=x1, X=x2, ...,X=xn) = f(x1)f(x2)...f(xn) q Mọïi sốá đặëc trưng thu đượïc từø mẫuã nhằèm ướùc lượïng tham sốá củûa tổång thểå thì đượïc gọïi làø thốáng kêâ mẫuã . CÁÙC THAM SỐÁ CỦÛA MẪU à q Tùøy vàøo mỗiã tham sốá củûa tổång thểå sẽõ cóù mộät thốáng kêâ đượïc tính từø mẫuã . q Thôngâ thườøng phương pháùp đểå đạït đượïc thốáng kêâ nàøy từø mẫuã tương tựï như phương pháùp thu đượïc tham sốá từø tổång thểå hữũ hạïn. q Mộät trong nhữngõ bàøi toáùn quan trọïng củûa lýù thuyếát mẫuã làø quyếát định cáùch thứùc thiếát lậäp thốáng kêâ mẫuã thích hợïp đểå ướùc lượïng tham sốá củûa tổång thểå tốát nhấát. q Ta sẽõ sửû dụïng cáùc mẫuã tựï m vàø s cho giáù trị củûa tham sốá tổång thểå, cáùc mẫuã tựï x, s, ... cho giáù trị củûa thốáng kêâ mẫuã tương ứùng. CÁÙC THAM SỐÁ CỦÛA MẪU à Ng uy en C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT MẪU NGẪU NHIÊN _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ q Mộät thốáng kêâ mẫuã đượïc tính từø cáùc ĐLNN X1, X2,..., Xn làø mộät hàøm củûa cáùc ĐLNN trênâ . Luậät phânâ phốái xáùc suấát củûa thốáng kêâ mẫuã thườøng đượïc gọïi làø luậät phânâ phốái mẫuã . q Ta cóù thểå quan tâmâ đếán tấát cảû cáùc mẫuã cóù cùøng kích thướùc n đượïc chọïn ra từø mộät tổång thểå, vớùi mỗiã mẫuã ta cóù thểå tính thốáng kêâ tương ứùng. Theo cáùch nàøy ta cóù thểå thu đượïc luậät phânâ phốái củûa thốáng kêâ mẫuã . q Vớùi luậät phânâ phốái mẫuã , ta cóù thểå tính trung bình, phương sai, độä lệäch chuẩån ... CÁÙC LUẬÄT PHÂN PHÔ ÁÁI CỦÛA MẪUà q Cho mộät mẫuã (X1, X2, . . . , Xn) gồàm cáùc ĐLNN độäc lậäp, cóù cùøng luậät phânâ phốái. Trung bình mẫuã làø mộät ĐLNN đượïc định nghĩa như sau q Nếáu x1, x2,..., xn làø cáùc giáù trị thu đượïc trong mẫuã cụï thểå cóù kích thướùc làø n thì q VÍ DỤÏ 5.5. Cho mộät mẫuã cóù kích thướùc làø 5 cóù cáùc giáù trị làø 7, 9, 1, 6, 2, thì trung bình mẫuã làø TRUNG BÌNH MẪU à 1 2 ... nX X XX n + + + = 1 2 ... nx x xx n + + + = 7 9 1 6 2 5 5 x + + + += = q Định lýù 5-1: Trung bình củûa phânâ phốái trung bình mẫuã , kýù hiệäu làø , đượïc cho bởûi biểåu thứùc sau trong đóù m làø trung bình củûa tổång thểå. q Định lýù 5-2: Nếáu tổång thểå làø vôâ hạïn vàø chọïn mẫuã ngẫuã nhiênâ hoặëc nếáu tổång thểå làø hữũ hạïn vàø chọïn mẫuã cóù hoàøn lạïi thì phương sai củûa phânâ phốái trung bình mẫuã , kýù hiệäu , đượïc cho bởûi biểåu thứùc trong đóù s2 làø phương sai củûa tổång thểå. PHÂN PHÔ ÁÁI CỦÛA TRUNG BÌNH MẪU à ( ) XE X m m= = Xm 2 Xs ( ) 22 2 XE X n s m sé ù- = = ë û q Định lýù 5-3: Nếáu tổång thểå cóù kích thướùc N, chọïn mẫuã khôngâ hoàøn lạïi vàø kích thướùc mẫuã làø n £ N thì Chúù ýù rằèng khi N ® ¥ thì định lýù 5-3 trởû thàønh định lýù 5-2. q Định lýù 5-4: Nếáu tổång thểå cóù phânâ phốái chuẩån vớùi trung bình m vàø phương sai s2. Mộät mẫuã đượïc chọïn từø tổång thểå nàøy thì trung bình mẫuã cũngõ cóù phânâ phốái chuẩån vớùi trung bình m vàø phương sai làø s2/n. 2 2 1X N n n N s s -ỉ ư= ç ÷-è ø PHÂN PHÔ ÁÁI CỦÛA TRUNG BÌNH MẪU à q Định lýù 5-5: Giảû sửû tổång thểå cóù luậät phânâ phốái vớùi trung bình m vàø phương sai s2, khôngâ nhấát thiếát phảûi làø phânâ phốái chuẩån. Mộät mẫuã đượïc chọïn từø tổång thểå nàøy thì ĐLNN đượïc chuẩån hóùa liênâ kếát vớùi , đượïc cho bởûi xấáp xỉ vớùi phânâ phốái chuẩån tắéc, nghĩa làø X XZ n m s - = ( ) 2 21 2lim z u n P Z z e du p - -¥ ®¥ £ = ị PHÂN PHÔ ÁÁI CỦÛA TRUNG BÌNH MẪU à q Giảû sửû mộät tổång thểå hữũ hạïn vàø cóù phânâ phốái nhị thứùc vớùi tham sốá p vàø q = 1 – P. q Ví dụï, tổång thểå ââ làø tấát cảû cáùc lầàn tung củûa mộät đồàng xu, trong đóù xáùc suấát củûa biếán cốá mặët ngửûa xảûy ra trong mỗiã lầàn tung làø p = ½. q Xéùt cáùc mẫuã cóù kích thướùc n đượïc chọïn ra từø tổång thểå nàøy, vớùi mỗiã mẫuã ta xáùc định mộät thốáng kêâ làø tỷû lệä f củûa sốá lầàn thàønh côngâ (tỷû lệä xuấát hiệän mặët ngửûa). Từø đóù ta thu đượïc luậät phânâ phốái tỷû lệä mẫuã PHÂN PHÔ ÁÁI TỶÛ LỆÄ MẪUà ( )1 f f p ppqP n n m s - = = = Ng uy en C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT MẪU NGẪU NHIÊN _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ q Giảû sửû cóù 2 tổång thểå. Từø tổång thểå thứù nhấát, chọïn mộät mẫuã nl, tính thốáng kêâ S1, đượïc ms1, ss1. Tương tựï, chọïn mộät mẫuã n2 từø tổång thểå thứù hai, tính thốáng kêâ S2, đượïc mS2, sS2. q Ta cóù thểå thu đượïc phânâ phốái hiệäu, S1 – S2, củûa thốáng kêâ mẫuã . Trung bình mS1–S2 vàø độä lệäch chuẩån sS1–S2 củûa phânâ phốái mẫuã nàøy cho bởûi q Phânâ phốái tổång mẫuã củûa thốáng kêâ S1 vàø S2 cóù trung bình vàø độä lệäch chuẩån làø PHÂN PHÔ ÁÁI HIỆÄU VÀØ TỔÅNG CỦÛA MẪU à 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 s s s s s s s sm m m s s s- -= - = + 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2,s s s s s s s sm m m s s s+ += + = + Gọïi X1, X2, ... , Xn làø mộät mẫuã ngẫuã nhiênâ cóù kích thướùc n thì ĐLNN củûa phương sai mẫuã đượïc định nghĩa Trong định lýù 5-1 ta thấáy E(X) = m, vàø rấát đẹïp nếáu ta cũngõ cóù E(S2) = s2. Tuy nhiênâ nóù cóù khuynh hướùng làø Khi giáù trị kỳø vọïng củûa thốáng kêâ tương ứùng bằèng tham sốá tổång thểå thì ta gọïi thốáng kêâ đóù làø mộät ướùc lượïng khôngâ chệäch. PHƯƠNG SAI MẪU à ( ) ( ) ( )2 2 21 22 ... nX X X X X XS n - + - + + - = ( ) 22 21s nE S n m s - = = Biểåu thứùc E(S2) rấát gầàn vớùi s2 chỉ khi giáù trị n lớùn (n ³ 30). Ướùc lượïng khôngâ chệäch đượïc xáùc định làø sao cho Vì lýù do nàøy, mộät vàøi nhàø thốáng kêâ chọïn định nghĩa phương sai mẫuã làø . Tuy nhiênâ ta sẽõ dùøng định nghĩa phương sai mẫuã S2 vì cáùc kếát quảû vềà sau sẽõ đơn giảûn hơn. $ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 22 ... 1 1 nX X X X X XnS S n n - + - + + - = = - - $ 2 2( )E S s= 2 S$ PHƯƠNG SAI MẪU à qVÍ DỤÏ 5.6. Cho mộät mẫuã cóù kích thướùc làø 5 cóù cáùc giáù trị làø 7, 9, 1, 6, 2, thì phương sai mẫuã làø khi đóù ướùc lượïng khôngâ chệäch làø q Nếáu chọïn mẫuã từø mộät tổång thểå vôâ hạïn hoặëc chọïn mẫuã cóù hoàøn lạïi từø tổång thểå hữũ hạïn cóù kích thướùc N thì khi đóù q Khi N ® ¥, E(S2) = [(n–1)/n]s2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 7 5 9 5 1 5 6 5 2 5 9,2 5 s - + - + - + - + - = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2 7 5 9 5 1 5 6 5 2 55 11,5 4 4 s s - + - + - + - + - = = =$ ( ) 22 211s N nE S N n m s -ỉ ưỉ ư= = ç ÷ç ÷-è øè ø PHƯƠNG SAI MẪU à q Định lýù 5-6: Nếáu mẫuã ngẫuã nhiênâ cóù kích thướùc n đượïc chọïn từø mộät tổång thểå cóù phânâ phốái chuẩån thì ĐLNN cóù phânâ phốái chi-bình phương n–1 bậäc tựï do q Định lýù 5-7: Nếáu cáùc mẫuã ngẫuã nhiênâ cóù kích thướùc n đượïc chọïn từø mộät tổång thểå cóù phânâ phốái chuẩån thì thốáng kêâ cóù phânâ phốái Student vớùi n – 1 bậäc tựï do. PHÂN PHÔ ÁÁI CỦÛA PHƯƠNG SAI MẪUà ( ) $ ( ) ( ) ( )2 2 222 1 2 2 2 2 ...1 nX X X X X Xn SnS s s s - + - + + -- = = $ / 1/ X XT S nS n m m- - = = - Thay vì xéùt phânâ phốái hiệäu củûa phương sai mẫuã , ta chúù ýù đếán thốáng kêâ S12/S22. q Định lýù 5-8: Cho hai mẫuã ngẫuã ngẫuã nhiênâ độäc lậäp cóù kích thướùc lầàn lượït làø m vàø n, đượïc chọïn từø hai tổång thểå cóù phânâ phốái chuẩån vớùi phương sai lầàn lượït làø s12 vàø s22. Nếáu phương sai củûa cáùc mẫuã ngẫuã nhiênâ lầàn lượït làø S12 vàø S22 thì thốáng kêâ cóù phânâ phốái F vớùi m – 1, n – 1 bậäc tựï do. PHÂN PHÔ ÁÁI TỶÛ LỆÄ CỦÛA PHƯƠNG SAI MẪU à ( ) ( ) $ $ 22 2 2 11 1 1 22 2 2 2 2 2 2 / 1 / / 1 / mS m SF nS n S s s s s - = = - Ng uy en C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT MẪU NGẪU NHIÊN _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ q Mộät mẫuã cóù kích thướùc lớùn thì rấát khóù khănê quan sáùt cáùc tính chấát kháùc nhau hoặëc tính cáùc thốáng kêâ, do đóù cầàn tổå chứùc hoặëc phânâ nhóùm dữõ liệäu thôâ. q Giảû sửû cóù mộät mẫuã gồàm cáùc chiềàu cao củûa 100 sinh viênâ nữõ ởû Đạïi họïc XYZ. Ta sắép xếáp dữõ liệäu thàønh từøng lớùp vàø xáùc định sốá cáù thểå thuộäc vàøo mỗiã lớùp, đượïc gọïi làø tầàn sốá củûa lớùp. q Kếát quảû việäc sắép xếáp nàøy (xem Bảûng 5-2), đượïc gọïi làø phânâ phốái tầàn sốá hay bảûng phânâ phốái tầàn sốá. PHÂN PHÔ ÁÁI TẦÀN SỐÁ Chiềàu cao củûa 100 sinh viênâ nữõ ờø Đạïi họïc XYZ đượïc thểå hiệän trong bảûng 5-2. Hình 5-1 làø biểåu diễnã tầàn sốá chiềàu cao củûa mẫuã gồàm 100 sinh viênâ nữõ. PHÂN PHÔ ÁÁI TẦÀN SỐÁ Nếáu trong bảûng 5-2 ta ghi nhậän tầàn suấát hay tỷû lệä báùch phânâ chiềàu cao sinh viênâ . Tổång diệän tích cáùc hình chữõ nhậät bằèng 1 Cáùc tầàn suấát đượïc coi làø cáùc xáùc suấát thựïc nghiệäm, nênâ phânâ phốái tầàn suấát đượïc hiểåu làø cáùc phânâ phốái xáùc suấát thựïc nghiệäm. 1Tổång sốá 5/100 18/100 42/100 27/100 8/100 60 – 62 63 – 65 66 – 68 69 – 71 72 – 74 Tầàn suấátChiềàu cao Ta àn su ất Chiều cao PHÂN PHÔ ÁÁI TẦÀN SUẤÁT Cóù 2 cáùch môâ tảû mẫuã ngẫuã nhiên⠁ Môâ tảû bằèng bảûng phânâ phốái tầàn sốá hay trong đóù: k Môâ tảû bằèng bảûng phânâ phốái tầàn suấát trong đóù: nk...nj...n2n1ni xk...xj...x2x1xi 1 k i i n n = =å fk...fj...f2f1fi xk...xj...x2x1xi 1 1 k i i f = =å PHƯƠNG PHÁÙP TÍNH THAM SỐÁ MẪUà nTổång n1n2. . . nk x1x2. . . xk nixi 1. Trung bình mẫuã (1) 2. Phương sai mẫuã (2) Cáùch tính nhanh phương sai cóù điềàu chỉnh Từø bảûng phânâ phốái tầàn sốá tính Sxi2ni  ÁÙp dụïng côngâ thứùc: (3) ‚ Lậäp bảûng tính theo côngâ thứùc (4) 3. Độä lệäch chuẩån mẫuã hay (5) = = å 1 1 n i i i x x n n 2 2 2 1 1 1 1ˆ 1 n n i i i i i i s x n x n n n= = é ùỉ ư = -ê úç ÷- è øê úë û å å ( )22 2 1 1ˆ 1 n i i i s x n n x n = é ù = -ê ú- ë û å = 2s s ( )2 2 1 k i i x x n s n = - = å 2 2ˆ 1 ns s n Þ = - 2ˆ ˆs s= PHƯƠNG PHÁÙP TÍNH THAM SỐÁ MẪUà VÍ DỤÏ. Tính điểåm trung bình vàø phương sai từø mộät mẫuã gồàm 50 sinh viênâ như sau Cáùch 1. Sxi2ni = (42´10+ 52´15+ 72´13+ 92´12) = 2.144 12131510ni 9754xi = = å 1 1 n i i i x x n n ( )1 4 10 5 15 7 13 9 12 6,28 50 = ´ + ´ + ´ + ´ = ( )22 2 1 1ˆ 1 n i i i s x n n x n = é ù = -ê ú- ë û å ( )22 1ˆ 2.144 50 6,28 3,5118 49 s é ù= - =ë û PHƯƠNG PHÁÙP TÍNH THAM SỐÁ MẪUà Ng uy en C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT MẪU NGẪU NHIÊN _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ Cáùch 2. Từø kếát quảû tính toáùn ởû bảûng trênâ , ta cóù: 214431450Tổång 160 375 637 972 40 75 91 108 10 15 13 12 4 5 7 9 ni.xi2ni.xinixi 314 6,28 50 = = = = å 1 1 n i i i x x n n 21 12144 .(314) 49 50 é ù= -ê úë û 2 2 2 1 1 1 1ˆ 1 n n i i i i i i s x n x n n n= = é ùỉ ư= -ê úç ÷- è øê úë û å å 3,5118= PHƯƠNG PHÁÙP TÍNH THAM SỐÁ MẪUà VÍ DỤÏ. Chọïn mộät mẫuã NN gồàm 40 đầàu tư ngắén hạïn tạïi thàønh phốá trong nămê 2000. (a) Tính giáù trị trung bình vàø độä lệäch chuẩån (cóù điềàu chỉnh) kỳø hạïn thanh toáùn củûa 40 đầàu tư ngắén hạïn trênâ . (b) Cáùc đầàu tư cóù kỳø hạïn thanh toáùn dướùi 60 tháùng làø cáùc loạïi đầàu tư kéùm hiệäu quảû, tính tỷû lệä cáùc đầàu tư kéùm hiệäu quảû củûa mẫuã trênâ . 7 70–79 7 80–89 4 90–99 8 50–59 10 60–69 3 30–39 1Sốá đầàu tư 40–49Kỳø hạïn thanh toáùn (tháùng) PHƯƠNG PHÁÙP TÍNH THAM SỐÁ MẪUà Cáùch 1. Đưa bảûng vềà dạïng điểåm (a) Trung bình vàø phương sai (cóù điềàu chỉnh) Sxi2ni=(34,52´3+44,52´1+...+94,52´4)=269,48 (b) Tỷû lệä mẫuã 7 74,5 7 84,5 4 94,5 8 54,5 10 64,5 3 34,5 1Sốá đầàu tư 44,5Kỳø hạïn thanh toáùn (tháùng) = = å 1 1 n i i i x x n n ( )1 34,5 3 44,5 1 94,5 4 68 40 = ´ + ´ + + ´ =L ( )22 2 1 1ˆ 1 n i i i s x n n x n = é ù= -ê ú- ë û å ( )21 195.470 40 68 269,4839 é ù= - =ë û ˆ 269,487 16,42sÞ = = kf n = 3 1 8 0,3 40 + + = = PHƯƠNG PHÁÙP TÍNH THAM SỐÁ MẪUà 195470272040 35721378494,590-99 49981,75591,5784,580-89 38851,75521,5774,570-79 41602,56451064,560-69 23762436854,550-59 1980,2544,5144,540-49 3570,75103,5334,530-39 xi 2nixininixiKỳø hạïn 1 1 2720 68 40 n i i i x x n n = = = =å 2 2 2 2 1 1 1 1 1 (2720)ˆ 195.470 1 39 40 269.487 n n i i i i i i s x n x n n n= = é ù é ùỉ ư= - = -ê ú ê úç ÷- è ø ë ûê úë û = å å ˆ 269,487 16,42sÞ = = Cáùch 2: Lậäp bảûng kf n = 3 1 8 0,3 40 + + = = PHƯƠNG PHÁÙP TÍNH THAM SỐÁ MẪUà Ths. Nguyễnãã Côngââ Trí Copyright 2001 1. PHÂN PHÔ ÁÁI TRUNG BÌNH MẪUà [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] 2. PHÂN PHÔ ÁÁI TỶÛ LỆÄ MẪUà [8] [9] [10] [11] [57] [58] [59] [60] [61] [62] 3. PHÂN PHÔ ÁÁI HIỆÄU VÀØ TỔÅNG [12] [13] [14] [15*] [16] [17] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] 3. PHÂN PHÔ ÁÁI PHƯƠNG SAI MẪUà [18] [19] [20*] [21] [22] [23] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] 4. PHÂN PHÔ ÁÁI TỶÛ LỆÄ CỦÛA PHƯƠNG SAI MẪUà [26] [27] [79] [80] [81] BÀØI TẬÄP CHƯƠNG 5 Ths. Nguyễn Công Trí Ths. Nguyễnãã Côngââ Trí Copyright 2001 5.PHÂN PHÔ ÁÁI TẦÀN SỐÁ [28] [29] [30] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] 6.TÍNH TRUNG BÌNH, PHƯƠNG SAI [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] 7.CÁÙC BÀØI TOÁÙN TỔÅNG HỢÏP [43] [44*] [45] [46] [47] [48] [127] [128] [129] [130] 131] [132] BÀØI TẬÄP CHƯƠNG 5 Ths. Nguyễn Công Trígu ye n C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT MẪU NGẪU NHIÊN _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ LÝ THUYẾT MẪU CHƯƠNG 5 PHÂN PHỐI TRUNG BÌNH MẪU 5.1. Một tổng thể gồm năm số 2, 3, 6, 8, 11. Xét tất cả các mẫu có kích thước là hai được chọn có hoàn lại từ tổng thể này. Hãy tìm (a) trung bình của tổng thể, (b) độ lệch chuẩn của tổng thể, (c) trung bình của phân phối các trung bình mẫu, (d) độ lệch chuẩn của phân phối các trung bình mẫu (sai số chuẩn của các trung bình). Đs. (a) 6; (b) 3,29; (c) 6; (d) 2,32 5.2. Giải bài tập 5.1 trong trường hợp chọn mẫu không hoàn lại. Đs. (a) 6; (b) 3,29; (c) 6; (d) 2,01 5.3. Giả sử chiều cao của 3.000 sinh viên nữ ở một trường đại học có phân phối chuẩn với trung bình là 68,0 inches và độ lệch chuẩn là 3,0 inches. Nếu chọn 80 mẫu, mỗi mẫu gồm 25 sinh viên. Tính trung bình và độ lệch chuẩn của phân phối các trung bình mẫu nếu thực hiện việc chọn mẫu (a) có hoàn lại, (b) không hoàn lại? Đs. (a) 0,6; (b) 0,5975. 5.4. Có bao nhiêu mẫu trong bài tập 5.3 mà bạn hy vọng tìm được chiều cao trung bình của các sinh viên (a) giữa 66,8 và 68,3 inches, (b) bé hơn 66,4 inches? Đs. (a) 53; (b) 0. 5.5. Năm trăm vòng bi có trọng lượng trung bình là 5.02oz và độ lệch chuẩn là 0.30 oz. Tìm xác suất của một mẫu ngẫu nhiên gồm 100 vòng bi được chọn từ nhóm này có trọng lượng tổng, (a) giữa 496 và 500oz, (b) lớn hơn 510oz. Đs. (a) 0,2164; (b) 0,0015. 5.6. Chứng minh định lý 5-1. E X 5.7. Chứng minh định lý 5-2. 2 Var X n PHÂN PHỐI TỶ LỆ MẪU 5.8. Tìm xác suất trong 120 lần tung một đồng xu công bằng có (a) từ 40% đến 60% xuất hiện mặt ngửa, (b) ít nhất 5 8 xuất hiện mặt ngửa. Đs. (a) 0,9774; (b) 0,0040. 5.9. Một nhóm 500 người, mỗi người tung một đồng xu công bằng 120 lần. Hy vọng có bao nhiêu người đạt (a) từ 40% đến 60% mặt ngửa (b) không dưới 5/8 mặt ngửa? Đs. (a) 489; (b) 2. 5.10.Người ta phát hiện có 2% công cụ do một máy sản xuất bị hỏng. Tính xác suất trong 400 sản phẩm xuất xưởng có (a) không dưới 3% sản phẩm bị hỏng, (b) không quá 2% sản phẩm bị hỏng? Đs. (a) 0,1056; (b) 0,5714. Ng uy en C g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT MẪU NGẪU NHIÊN _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ 5.11.Một công bố về kết quả bầu cử cho thấy một ứng cử viên đạt được 46% số phiếu bầu. Tìm xác suất trong (a) 200, (b) 1000 số phiếu bầu được chọn ngẫu nhiên từ tổng số phiếu bầu có đa số phiếu bầu dành cho ứng viên này. Đs. (a) 0,1131; (b) 0,0036. PHÂN PHỐI HIỆU VÀ TỔNG CỦA MẪU 5.12.Cho U1 là biến ngẫu nhiên đại diện cho các phần tử của tổng thể 3, 7, 8 và U2 là biến ngẫu nhiên đại diện cho các phần tử của tổng thể 2, 4. Tính (a) 1U , (b) 2U , (c) 1 2U U , (d) 1U , (e) 2U , (f) 1 2U U . Đs. (a) 6; (b) 3; (c) 3; (d) 1 14 3U ; (e) 2 1U ; (f) 1 2 17 3U U . 5.13.Các bóng đèn do nhà máy A sản xuất có tuổi thọ trung bình là 1.400 giờ, độ lệch chuẩn là 200 giờ, trong khi đó loại bóng đèn này do nhà máy B sản xuất có tuổi thọ trung bình là 1.200 giờ, độ lệch chuẩn là 100 giờ. Chọn mẫu ngẫu nhiên mỗi nhà máy 125 bóng đèn để thử, tính xác suất các bóng đèn mang nhãn hiệu của nhà máy A có tuổi thọ trung bình hơn bóng đèn mang nhãn hiệu của nhà máy B ít nhất (a) 160 giờ, (b) 250 giờ? Đs. (a) 0,9772; (b) 0,0062. 5.14.Trọng lượng trung bình của các vòng bi là 0,50 oz và độ lệch chuẩn là 0,02 oz. Tìm xác suất sao cho hiệu trọng lượng của hai lô hàng, mỗi lô có 1.000 vòng bi, ít nhất 2 oz? Đs. 0,0258. 5.15.A và B cùng tham gia trò chơi tung đồng xu, mỗi người tung 50 đồng xu. A thắng nếu số mặt ngửa của A nhiều hơn B ít nhất là 5 lần. Ngược lại thì B thắng. Hãy xác định tỷ lệ cược A thắng trong trò chơi này. Đs. 4,43 ăn 1. 5.16.Có hai độ dài đo được lần lượt là 27,3 inches và 15,6 inches, độ lệch chuẩn (sai số chuẩn) là 0,16 inches và 0,08 inches. Hãy xác định trung bình và phương sai của (a) tổng, (b) hiệu của hai độ dài trên. Đs. (a) 42,9 inch và 0,18 inch; (b) 11,7 inch và 0,18 inch. 5.17.Một loại bóng đèn có có tuổi thọ trung bình là 1.500 giờ và độ lệch chuẩn là150 giờ. Một bộ 3 bóng được mắc nối sao cho khi có một bóng hỏng, hai bóng còn lại vẫn cháy sáng. Giả sử tuổi thọ bóng đèn có phân phối chuẩn, tìm xác suất để một bộ đèn này sẽ được thay sau (a) ít nhất 5.000 giờ, (b) tối đa 4.200 giờ? Đs. (a) 0,0274; (b) 0,1251. PHÂN PHỐI PHƯƠNG SAI MẪU 5.18.Xem bài tập 5.1. Tìm (a) trung bình của phân phối phương sai mẫu, (b) độ lệch chuẩn của phân phối phương sai mẫu, nghĩa là, sai số chuẩn của các phương sai. Đs. (a) 5,4; (b) 4,8. 5.19.Làm bài tập 5.18 trường hợp chọn mẫu không hoàn lại. Đs. (a) 6,75; (b) 6,30. 5.20.Chứng minh rằng 2 21nE S n gu ye n C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT MẪU NGẪU NHIÊN _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ 5.21.Chứng minh định lý 5-4. 2 2 / 2i j e 5.22.Chứng minh định lý 5-6. 5.23. (a) Sử dụng định lý 5-6 xác định số mẫu hy vọng trong bài tập 5.1 với các phương sai mẫu lớn hơn 7,2. (b) Hãy kiểm tra kết quả trong câu (a) với kết quả thực. TRƯỜNG HỢP PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ CHƯA BIẾT 5.24.Chứng minh định lý 5-7. 5.25.Theo bảng phân phối Student với 1 bậc tự do, ta có 1.376 1.376 0.60P T . Hãy kiểm tra liệu biểu thức này là kết quả thu được trong bài tập 5.1. hay không? PHÂN PHỐI TỶ LỆ CỦA CÁC PHƯƠNG SAI MẪU 5.26.Chứng minh định lý 5-8. 5.27.Cho hai mẫu có kích thước là 8 và 10 được chọn từ hai tổng thể có phân phối chuẩn có phương sai lần lượt là 20 và 36. Tìm xác suất sao cho phương sai của mẫu thứ nhất gấp hai lần phương sai của mẫu thứ hai. PHÂN PHỐI TẦN SỐ 5.28.Trong bảng 5-4 là trọng lượng của 40 sinh viên nữ ở một trường Đại học công lập được thống kê lại, đơn vị tính là pound. Hãy lập bảng phân phối tần số. Bảng 5-4 138 164 150 132 144 125 149 157 146 158 140 147 136 148 152 144 168 126 138 176 163 119 154 165 146 173 142 147 135 153 140 135 161 145 135 142 150 156 145 128 Hướng dẫn Bảng 5-5 Bảng 5-6 Dĩ nhiên còn tồn tại các bảng phân phối tần số khác. Ví dụ Bảng 5-6, thể hiện bảng phân phối tần số với chỉ 7 lớp, với mỗi khoảng lớp là 9 lb. Trọng lượng (lb) Thẻ ghi Tần số 118-122 123-127 128-132 133-137 138-142 143-147 148-152 153-157 158-162 163-167 168-172 173-177 / // // //// //// / //// /// //// //// // /// / // 1 2 2 4 6 8 5 4 2 3 1 2 Tổng cộng 40 Trọng lượng (