Bài giảng Cơ học lượng tử

I. XÁC SUẤT CỦA HÀM PHÂN BỐ LIÊN TỤC (TK) II. HÀM SÓNG III. TOÁN TỬ (OPERATOR) IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER V. HẠT TRONG HỐ THẾ VI. DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA VII. HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM CƠ HỌC LƯỢNG TỬ II. HÀM SÓNG (Wave fuction) 1. Biểu thức sóng phẳng đơn sắc tại điểm M cách nguồn O một đoạn : Véctơ sóng xác định theo véctơ đơn vị của phương truyền sóng: Hàm sóng ở dạng phức: vì OMr )r.ktsin(A) v.T r.2 tsin(A)t,r(    )]rkt(iexp[A)t,r(    k  n 2k     )}rktsin(i)rkt{cos(A)t,r(    }sini{cosAAe i  1.Ý nghĩa thống kê của hàm sóng Theo thuyết sóng ánh sáng: Thuyết hạt ánh sáng: hạt photon tạo ra I tỷ lệ số photon qua 1m2 trong 1 s gọi là mật độ hạt: Vì Hàm sóng phức mô tả trạng thái vi mô của hạt chuyển động nhanh có bình phương của biên độ: 2. Điều kiện chuẩn hóa: Xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V bất kỳ mà hạt cư trú là 1.0. 3. Điều kiện của hàm sóng: 1- Giới nội. 2- Đơn trị. 3- Liên tục. 4- Đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục. 2i.i2 *Aee.AAI   2i.i2 AAee.A*.)t,r(p   2A*)t,r(   1dV)t,r(*).t,r( V   4. Quan hệ giữa sóng Broglie và vi hạt chuyển động tự do có năng lượng và xung lượng Tính tần số góc: Còn véctơ sóng: Hàm sóng viết dưới dạng: mvP    chhE . Ehc . h 2c22       P n h h 2 n 2k    )]r.kt(iexp[A)t,r(    ]rPEt)[iexp(A     Vận tốc Pha - Vận tốc nhóm Vận tốc Pha: Vận tốc truyền sóng sao cho pha là không đổi: suy ra : hay: Vận tốc u lớn hơn vận tốc ánh sáng Vận tốc pha không phải là vận tốc truyền năng lượng. const)dxx(P)dtt(EPxEt  PdxEdt  v c v.m c.m P E dt dx u 22  Vận tốc nhóm là vận tốc chuyển động của toàn bộ bó sóng. Vận tốc nhóm của bó sóng bằng vận tốc của hạt chuyển động. v mc mvc E Pc P E u 2 22   )]rkt(iexp[A)t,r(    III. TOÁN TỬ (OPERATOR) 1. Toán tử: Ánh xạ tác dụng lên một hàm biến hàm đó thành một hàm khác: Ví dụ : )t,z,y,x(g)t,z,y,x(fAˆ  xt4)zyx2(Aˆ 2  2. Một số toán tử thông dụng A-Toán tử đạo hàm: Ví dụ: dx dAˆ  2)zyx2( dx d)zyx2(Aˆ 22  321 e z e y e x dGra       3 2 21 22 eyeyz2e2)zyx2()zyx2(dgra    2 2 2 2 2 2 zyx Aˆ     2 22 2 22 2 22 2 z )zyx2( y )zyx2( x )zyx2()zyx2(Aˆ     z2)zyx2(Aˆ 2  zyx2)z,y,x(f 2 C-Toán tử Laplace: Ví dụ : B-Toán tử grad: Ví dụ : A. PHÉP TOÁN CHO TOÁN TỬ 1. PHÉP CỘNG: Ví dụ : CˆBˆAˆ  zxyx22)z,y,x(f)x dx d()zyx2(Cˆ 222  2. PHÉP TRỪ Ví dụ: DˆBˆAˆ  zxyx22)zyx2(Dˆ 222  )fBˆ(Aˆf)Bˆ.Aˆ(  zyx4)}zyx2(x{ dx df)Bˆ.Aˆ( 22  )fAˆ(Bˆf)Aˆ.Bˆ(  xBˆ; dx dAˆ  3. PHÉP NHÂN Ví dụ : zyx2)z,y,x(f 2 DˆEˆAˆBˆ  x2)}zyx2( dx d{xf)AˆBˆ( 2  f)Bˆ.Aˆ(f)Aˆ.Bˆ(  B. GIAO HOÁN TỬ 1. Định nghĩa: Ví dụ : Aˆ.BˆBˆ.Aˆ  0)yz2( dx d)}zyx2( dy d{ dx d)zyx2(Bˆ.Aˆ 22  zˆ,yˆ,xˆ dy dBˆ; dx dAˆ  2. Các toán tử giao hoán được zyx2)z,y,x(f 2 0)2( dy d)}zyx2( dx d{ dy d)zyx2(Aˆ.Bˆ 22  dz d ; dy d ; dx d 2 2 2 2 2 2 dz d ; dy d ; dx d xy ; yx 22     3. Các toán tử không giao hoán được dz d ;z dy d ;y dx d ;x ... zy ; yx 22     Bài tập : Xem các TT sau có thể giao hoán được với nhau ? 2. Tổ hợp toán tử giao hoán được Khi mà )DˆCˆ)(BˆAˆ(  AˆDˆDˆAˆAˆCˆCˆAˆ  BˆDˆDˆBˆBˆCˆCˆBˆ  321 e z e y e x dGra       2 2 2 2 2 2 zyx Aˆ     321 ezeyexrˆ   rˆdGra    C. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH (LINEAR OPERATOR) 1. Định nghĩa: cho các hàm f1 f2…fn và các hằng số c1 c2…cn A là TT tuyến tính Các TT tuyến tính   ]f.Aˆ[c}f.c{Aˆ iii 321 e z e y e x dGra       2 2 2 2 2 2 zyx Aˆ     321 ezeyexrˆ   Bài tập : Xem các TT sau có tuyến tính không ? 2 2 2 2 2 2 dz d ; dy d ; dx d ; dz d ;z; dy d ;y; dx d ;x rˆdGra    Lagrange D. HÀM RIÊNG VÀ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ 1. Định nghĩa: Ví dụ : Ta có tìm hàm riêng trị riêng )x(f)x(fAˆ  2. Dùng định nghĩa dx d aˆ  3. Chuyển vế: )x(f dx )x(df)x(faˆ  dx)x(f )x(df  4. Lấy tích phân x.)c(lnc)x(flndx)x(f )x(df 1   5. Biến đổi x 11 e)x(fcx.)x(fcln  x 2ec)x(f  6. Kết luận: Có nhiều trị riêng  khác nhau có nhiều hàm riêng khác nhau E. TOÁN TỬ TỰ LIÊN HỢP TUYẾN TÍNH HERMITTE 1. Định nghĩa:Ta có là các hàm bất kỳ Â là TT Hermitte: 2. Ví dụ Xét toán tử Xét vế trái : Dùng tích phân từng phần: Vế phải: So sánh: Để Â là Hermitte thì ta có: Kết luận: các hàm fi(x) khi nhân lẫn nhau bằng không Gọi là trực giao )x(f),x(f 21 dx)x(f].Aˆ)[x(fdx)x(fAˆ)x(f 1221    dx diAˆ  ])dxf dx df(ff[idx)x(f dx d)x(fi 122121    dx)x(f dx d)x(fidx)x(f]. dx di)[x(f 1212    0)x(f).x(f 21  Tính chất TT hermitte 1. Nó có trị riêng là các giá trị thực. 2. Các hàm riêng là trực giao: 3. Các hàm riêng tạo thành một hệ đủ: một hàm bất kỳ được khai triển thành tổ hợp TT các hàm trực giao       KLkhi0 KLkhi1)KL()x(f).x(f KL )x(fC)x(U n 1k kk   IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER Các tiên đề trong Cơ lượng tử 1. Mỗi đại lượng a trong CH cổ điển tương ứng một TT Hermitte â trong CH Lượng tử sao cho trị riêng của â là số thực bằng chính giá trị của đại lượng a. Ví dụ là toán tử năng lượng có trị riêng là E 2. Hệ thức của các TT có hình thức giống hệt như các đại lượng cổ điển tương ứng H  rˆ,zˆ,yˆ,xˆ  ]P.xr[L   Ví dụ: TT tọa độ là phép nhân TT mômen xung lượng Hai TT giao hoán thì chúng có cùng hàm riêng và không tuân theo nguyên lý bất định. Các toán tử thông dụng trong Cơ lượng tử 1. TT tọa độ= Tương ứng phép nhân rˆ,zˆ,yˆ,xˆ  2. Các toán tử xung lượng 4. toán tử năng lượng: toán tử thế năng x iPˆx    y iPˆy    z iPˆz    ] z .e y .e x .e[iiPˆ 321      3. toán tử xung lượng tòan phần )z,y,x(U m2 PE 2  ) zyx ( m2m2 Pˆ 2 2 2 2 2 222      )x,y,x(U)z,y,x(Uˆ  PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER Ý nghĩa 1. Hàm riêng và trị riêng của toán tử năng lượng. Nếu năng lượng là không đổi 2. PT Schodinger không phụ thuộc t Giải được:- Trị riêng là mức năng lượng - Hàm riêng mô tả trạng thái )t,z,y,x(E)t,z,y,x(Hˆ  )z,y,x()iEtexp(A)r()iEtexp(A)t,r(      )z,y,x(E)z,y,x(Hˆ)r(Hˆ   )z,y,x(.E)z,y,x()]z,y,x(U m2 [ 2   GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER MỤC ĐÍCH KHI GIẢI 1. TÌM TRỊ RIÊNG: Tức là xác định các mức năng lượng và xem nó có bị gián đọan không (lượng tử hóa) 2. TÌM HÀM RIÊNG: Dùng tính xác suất những nơi tìm thấy hạt (đám mây điện tử). Xác định hàm mật độ xác suất CÁC LƯU Ý KHI GIẢI 1. BIẾT DẠNG TOÁN TỬ THẾ NĂNG: Thường đó là một phép nhân. Nếu đơn giản thì U=0 2. CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN: 1D/ 2D/ 3D. Đơn giản là một chiều khi đó 3. Có khi phải tách không gian làm nhiều vùng khác nhau để tìm hàm sóng cho từng vùng. 2 222 dx d m2m2   V HẠT TRONG HỐ THẾ VUÔNG Bên trong hố 0  x  a thì U = 0 Bên ngòai hố 0 > x và x > a thì U vô hạn Bên ngòai U lớn nên hạt không thể nhảy ra  hạt chỉ tồn tại bên trong Phương trình S  Xét chuyển động theo 1 phương x nên:  Nghiệm là: Lưu ý tại x=a thì hàm sóng bằng không a0 U=0 )z,y,x(E0)z,y,x() zyx ( m2 2 2 2 2 2 22      )x(k)x(Em2 x )x( 2 22 2     mE2k  kxsinA)x(   nsin0kasinA Kết quả:  nka 2n2 22 2 nn mE2 a nk a nk   ...3,2,1n ma2 n m2 kE 2 2222 n 2 n   Kết luận về mức năng lượng: 1- Năng lượng bị lượng tử hóa 2- Năng lượng tỉ lệ với bình phương các số nguyên 3- E1 là mức thấp nhất (Ground state) 4- Từ E2 lên trên là mức kích thích (excited state) 5- Khỏang cách các mức không đều )1n2( ma2 ]n)1n[( ma2 EEE 2 22 22 2 22 n1n    Kết quả: Kết luận về các hàm sóng bậc n: 1- Ta chứng minh các hàm sóng là trực giao. 2- Xác suất tìm thấy hạt tỉ lệ với mức năng lượng thứ n ?AkxsinA)x(  a 2A1a 2 1Adx)kx(sinA 22 a 0 2  Theo sự chuẩn hóa hàm sóng : ) a xn sin( a 2)xksin( a 2)x( nn  )nm(0dx)xksin()xksin( a 2/ n a 0 mnm   x U(x) a x U(x) a x U(x) a n=1 n=2 n=3 Kết quả: nghiệm tổng quát là tổ hợp tuyến tính các nghiệm ) a xn sin(c a 2 c)x(f nnn   Kết quả: nghiệm có yếu tố thời gian )tiEexp() a xn sin(c a 2)iEtexp()x()t,x( nn   )t ma2 niexp() a xn sin(c a 2 2 22 n  Kết quả: cho trường hợp 3D hạt trong hộp vuông 2 222 2 222 2 222 321 mc2 nx mb2 ny ma2 nxEEEE   )c znzsin(c 2)b ynysin(b 2)a xnxsin(a 2)x,y,x(nz,ny,nx  V DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Trong 1D : Hệ chịu tác động lực tuần hoàn f=-kx, nên động năng U=kx2/2 Phương trình Schrodinger một chiều:  Xét hai toán tử tăng và giảm:  Lấy phép nhân 2 toán tử đó viết lạI PT Schrodinger 2 xm 2 xˆm 2 xˆk)x(Uˆ 22222  )x(uE)x(u)x 2 m dx d m2 i( nnn2 2 2 22    aˆ,aˆ ]xim dx d i [ m2 1 aˆ   )x(uE)x(u} 2 1)aa{()x(uHˆ nnnn    V DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Ta chứng minh được luận điểm sau: Nếu U(x) là nghiệm riêng thỏa PT Schrodinger với trị riêng E thì hàm â+(x) cũng là nghiệm riêng của PT Schrodinger với năng lượng riêng là E Hàm â-(x) cũng là nghiệm riêng của PT Schrodinger với năng lượng riêng là E Kết qủa về mức năng lượng 1- Các năng lượng cách đều nhau một đoạn 2- Mức năng lượng thấp nhất có giá trị dương và là năng lượng ở nhiệt độ 0K. ?? 3- Mức thứ J bất kỳ có giá trị  E   2 1E0  )5,0j(E j NGHIỆM CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Nghiệm ở trạng thái cơ bản u0: khi đó Nếu tác dụng hạ bậc sẽ không còn sóng Phương trình xác định: Giải được nghiệm:  Dùng điều kiện chuẩn hóa Biên độ sóng là  Và viết lại hàm cơ bản: Hàm ở trạng thái m 0)x(uaˆ 0  0)x(u]xim dx d i [ m2 1)x(uaˆ 00   )x 2 m exp(A)x(u 200   4/1 0 mA       )x 2 m exp(m)x(u 2 4/1 0       )x 2 m exp(m)a()x(u)aˆ()x(u 2 4/1 m 0 m m         Kết quả: nghiệm có yếu tố thời gian )tiEexp()x(u)t,x( mmm  Kết quả: cho trường hợp 3D hạt trong hộp vuông 222222 321 zm2 1ym2 1xm2 1)z(U)y(U)x(U)z,y,x(U  Kết quả: Về năng lượng )nznynxN() 2 3 nznynx(EN   )z(Z).y(Y).x(X)x,y,x( nznynxnz,ny,nx  Kết quả: Về hàm sóng Lúc này có sự suy biến: Cùng một mức năng lượng sẽ có nhiều trạng thái khác nhau do các giá trị nx, ny và nz tạo ra. nx ny nz Trạng thái 1 2 0 0 Trạng thái 2 0 2 0 Trạng thái 3 0 0 2 Trạng thái 4 1 1 0 Trạng thái 5 0 1 1 Trạng thái 6 1 0 1 Ví dụ với mức   2 7) 2 32(EN VII Hiệu ứng đường hầm Tuner effect Giải bài toán hạt chuyển động vướt qua rào thế có U cao hơn năng lượng của nó. O X U0 Miền 3Miền 2Miền 1 Khi 0  x  U = 0: miền 1 Khi a  x  0 U = U0: miền 2 Khi x  a  U = 0: miền 3 d dx k 2 1 2 1 2 1 0   Trong Miền I và III Nghiệm: k mE 1 2 2 2  Trong Miền II d dx k 2 2 2 2 2 2 0    k m U E22 02 2 ( ) )xikexp(B)xikexp(A 11111  )xkexp(B)xkexp(A 22212  Để tìm nghiệm, dùng điều kiện biên, vì có 6 biên độ ứng các miền nhưng chỉ có 4 DK biên phải bỏ một hệ số B3 với giả thuyết sóng không phản xạ ở vô cùng. Vấn đề ta quan tâm là sóng có qua rào không? Hệ số truyền qua D: là tỷ số giữa bình phương biên độ sóng truyền qua hàng rào thế và bình phương biên độ sóng tới tại hàng rào thế. ???0 A AD 2 1 2 3  Kết qủa thu được 0)ak2exp()n1( n16D 222 2  n k k E U E    1 2 0 k m U E 2 2 0 2 2 ( ) Ví dụ: Nếu hiệu năng lượng cho là E-U0=1,28.10-31 J, khi đó ta có thể dùng lý thuyết để tính sự phụ thuộc của hệ số truyền qua D vào độ rộng hố thế a. a(m) 10-10 1,5.10- 10 2.10-10 5.10- 10 D 0,1 0,03 0,008 5.10-7 Hệ số truyền qua D chỉ đáng kể khi độ rộng hố thế a là rất nhỏ, khi đó hạt thể hiện tính chất sóng của vi hạt và điều đó không thể có với các hạt vĩ mô. Ứng dụng: 1- Giải thích phát xạ lạnh electron trong kim loại 2-Phân rã hạt anpha từ nhân có 2 prôtôn và 2 Nơtrôn. 1- Phương trình truyền sóng vật chất: 2- Ýnghĩa và tính chất hàm sóng 3-Vận tốc pha và nhóm 4- Toán tử và các phép toán của Toán tử. Toán Tử Hermitte 5- Giao hoán tử và các tính chất. Hàm riêng trị riêng. 6- PT Schrodinger 7- Hạt trong hố thế 8- Dao động tử điều hòa. 9- Hiệu ứng đường ngầm Ôn tập )]rkt(iexp[A)t,r(    vu; v c u N 2 P  )z,y,x(.E)z,y,x()]z,y,x(U m2 [ 2   ...3,2,1n ma2 n m2 kE 2 2222 n 2 n   ) a xn sin( a 2)xksin( a 2)x( nn   )5,0j(E j )x 2 m exp(m)x(u 2 4/1 0       0)ak2exp()n1( n16D 222 2  n k k E U E    1 2 0 k m U E 2 2 0 2 2 ( )