Bài giảng Cơ sở lý thuyết trường điện từ - Chương 2: Mô tả toán học, quy luật tương tác của hệ trường điện từ - Môi trường chất liên tục - Nguyễn Văn Huỳnh

CHƯƠNG II MÔ TẢ TOÁN HỌC, QUY LUẬT TƯƠNG TÁC CỦA HỆ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - MÔI TRƯỜNG CHẤT LIÊN TỤC Một Số toán tử về giải tích vécto Toán tử Nabla ( Hamilton) Toán tử Nabla trong hệ trục tọa độ Oxyz: ổx ?õz -Z, Trong hệ trục tọa độ Đề các Oxyz cho Fcó các thành phần (Fx; Fy; Fz) thì được biểu diễn dưới dạng: -p T7 , -t T7 , -t T7 F=ẻxFI+ẻyFy + ẻIFI a. Hàm Div: ■ -> ỠF ỔFV ỠE DivF = V.F=^ + -^ + ^ dx õy õz b. Hàm Rot: ẽ. ẽ, RotF = V A F = c. Hàm Gradian: õ Ôx Fv d ày F õ 5z F, õz Õx +) Nếu trong hệ toạ độ trụ: 1 a(r.F ) 1 ỠẸ ỠF DivF = - 7 + --rJL+-7~L r ổr r ôa ỡz RotF = ụ r d dr Fr õa r.F a d õz Fz Toán tử Laplace: . 02<p 02<p &<p = Divgrad?? = ;—y+-—y + dx 9y Một so tính chat cơ bản: DivrotF = 0 Rotgradộơ = 0 RotRotF = GradDivF - DivGradF Các định lý: ĐL Oxtrogratsky-Gaux: J DivFdV = |ji FdS V s ĐL Green-Stoc: J RotFdS = |J Fdl §2.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MACXOEN VÀ BÀI TOÁN BỜ CỦA HẸ TĐT - MTC 1.1. Hệ phuong trình Macxoen và bài toán trường có SO’ kiện Hệ phưong trình Macxoen: RotH = Jd + (1) Trong đó: RotE = -^ (2) D = S.E ổt DivB = 0 (3) B = p.H DivD = Ptd (4) Jđ = y-E Hệ phương trình Macxoen mô tả một cách tổng quát của hệ TĐT - MTC. Nói lên tính sơ kiện của bài toán, vì các phương trình đều là các đạo hàm và tích phân theo không gian và thời gian. Do vậy muốn giải được bài toán ta phải lập ra điều kiện cho bài toán (sơ kiện bài toán). Bài toán trường có 2 loại sơ kiện: sơ kiện theo không gian hay còn gọi là điều kiện bờ và sơ kiện về thời gian hay còn gọi là điều kiện đầu. Mối quan hệ gỉữa các phương trình Macxoen và các luật Kỉếchốp. Dan ra luật kiechop 1: TÙM1: RotH = J.+^= Jy 1 d ôt 2 Lấy Div 2 vế ta dược: DivRotH = Div ĨỊ" Mà DivRotH = 0 -> Div J2 = 0 (*) Lấy tích phân 2 vế của (*) theo mien V nào đó: jDivjỊdv=0 Mặt khác theo định lý Ôxtrôgrat-sky: Jdĩv Jỵdv=ịji JỵdS =0 V S' Từ biểu thức trên ta thấy mật độ dòng tổng đí qua một mặt kín s là bang 0 hay nói một cách khác là đi qua một nút bang 0. Neu ta coi tại nút dòng dò và dòng chuyển dịch là không đáng kể thì ta có luật kiechop 1: ifj^ds =[f]j;dS=O ^22), =0 s S' nut *Dan ra luật Kiếchốp 2: TÙM2: RotE = --^- ổt Lấy tích phân 2 vế theo mặt s nào đó ta đưực: í RotẼdS = - Ị- í BdS = - . ôt ’ ôt Mặt khác theo định lý Grin — stốc: jRotẼd§ = (jjẼdĩ ->jjẼdĩ=-|^ ->^u = ^e (X2) S' L L § 2.2. DẪN RA CÁC PHƯƠNG TRÌNH MACXOEN 1. Phuong trình Macxoen 2: Theo đính luật cảm ứng điện từ của Lenx — Faraday thì khi có một từ thông biến thiên xuyên qua một vòng khép kín đứng yên trong không gian thì trong vòng sẽ cảm ứng ra một sức điện động e e = -^=|JẼ=JẼdS dt L ■ =>-|jBdS=^Edl fđS = ^Ẽdĩ Mà theo định lý Green - stốc: J RotẼdS = lỆẼdĩ ^J-^dS = jRotEdS s L s S Vậy suy ra phưong trình Macxoen 2 : „ ÔB RotE = - —— dt 2. Phuong trình Macxoen 1 và khái niệm dòng điện chuyển dịch Phương trình Macxoen 1: Theo đính luật Bío — Xavar - Amper thì mối liên hệ giữa dòng và cường độ từ trường (từ căm) là: ^Hdĩ = id = JjddS (1) L S Mặt khác theo đính lý Grin — stốc: |ỆHdĩ = jRotHdS (2) L S Từ (1) và (2) ta có: RotH = Jd (3) Ta thấy phương trình (3) chỉ đúng với trường họp trường không biến thiên, còn trường biến thiên thì lại không đúng. Vì ta đã có: DivI? = 0 => | DivĩỊdv = ý J^dS = 0 (4) V S Từ (4) ta thấy dòng điện dẫn ở trường biến thiên cũng phải chảy liên tục qua mọi mặt kín s bất kỳ. Nhưng thực tế lại không phải như vậy có nghĩa là biểu thức Rotĩĩ = Jd là sai VỚI trường biến thiên. Vì vậy ta đí hiệu chỉnh chúng Theo định nghĩa dòng điện dẫn: rf JddS = - — Neu ta lấy 1 miền V bao bởí mặt s thì qtd = J Ptdđv JdivJddv^JddS = -^ = -|jptdđv = -f^đv Từ biểu thức trên ta được: DivJ. = - • ổ? hay DivJd+-§^ = 0 ỡ/ Mà theo luật Gaux ta có DivD = ptd ^>DivJd + aD^D=0 hay Div(Jd +^) = 0 (*) Vậy từ biểu thức (*) muốn hiệu chỉnh (3) thì ta phải đưa ra khái niệm mật độ dòng điện tổng có vai trò như mật độ dòng điện dẫn và thỏa mãn tính liên tục thì ta có: 5D Jz=j" a vậy cuối cùng ta được pt Macxoen 1: - — — ỔD RotH = Jy = Jd + —— 2 d õt Khái niệm dòng chuyển dịch: Macxoen cho rang luật Gaux đúng cả vói trường biến thiên tức là phải tồn tại một dòng chuyển dịch trong điện môi vói mật độ: j-=ặ Jcd Õt _ Và nó có vai trò như Jd Dấn ra phưong trình Macxuel3 ỠB Từ phương trình Macxuel2 : RotE = - — õt Lấy dív hai vế của phương trình ta được: DivRotẼ = -Div^ = 0 =^>ẬdivB = 0(*) dt dí Lấy tích phân haí vế theo thời gian t của (*) ta dược: _ Div B = f(x, y, z) (**) Với chú ý là hàm Dív không phụ thuộc vào thòi gian mà là một hàm của không gian Biểu thức (**) không phụ thuộc vào t nên nó đúng cả khi trường là chưa thành lập trong hệ quy chiếu mà ta xét, tức là cả khi B=0;DivB = 0 Thay vào (**) ta được: f(x, y, z) = 0 Vậy ta đưực phương trình Macxoen 3: DivB = 0 Dan ra phưong trình Macxuel 4 Từ pt Macxuel 1: RotH = Jd + ổz Lấy dív hai vế phương trình ta được: DivrotH = div(Jd + ^5.) = 0 o DivJd + Div = 0 õt õt Mà ta có: div J. = - d dt =s..Ẽẹ!ạ.+Divặ=o Ỡt õt at Õt Lấy tích phân hai vế theo thòi gian và cũng chú dív chỉ phụ thuộc vào không gian mà không phụ thuộc vào thời gian. Ta được: DivD = ptd + f(x,y, z) (***) Quy luật này đúng cho cả trường chưa thành lập tức là ptd = 0;D = O;DivD = 0 Thay vào (***) ta được: f(x, y, z) = 0 Cuối cùng ta được phương trình Macxoen 4: DivD=ptd §2.3. Ý NGHĨA CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH MACXOEN 1. Hai phương trình 1 và 2 mô tả mối quan hệ giữa hai mặt thể hiện điện và từ của TĐT Từ hai phương trình 1 và 2: RotH = j; + ^ (1) ỡí RotE=-^ (2) dt Đối với trường điện từ biến thiên: -Ở đâu có điện trường biến thiên tức J~ + — 0 d dt thì ở đó có từ trường biến thiên và từ trường này có tính chất xoáy vì RotH 0’ -Ở đâu có từ trường biến thiên tức ẼẼ. othì ở Ắ . ./X X ../X đó có điện trường biên thiên và điện trường này cũng có tính chất xoáy vì RotẼ 0« Đốí với trường điện từ dừng: ổ _ ? _ Với trường dừng ta có: — = 0; Jd # 0 ổt => RotH = Jd từ trường vẫn phụ thuộc vào dòng điện dẫn và có tính chất xoáy còn phương trình RotẼ = 0 chứng tỏ sự phân bố điện trường không phụ thuộc vào từ trường nữa mối quan hệ không còn mật thiết nữa và điện trường có tính chất thế. ĐỐI với trường điện từ tĩnh: , ổ _ ? _ Với trường tĩnh ta có: —- = 0; Jd = 0 ổt Vậy hai pt Macxuel 1 và 2 có dạng: RotH = 0; RotE = 0 Do đó điện và từ không quan hệ mật thiết vói nhau nữa và chúng đều có tính chất thế Đây là TĐT của các nam châm vĩnh cửu hoặc của các điện tích đặt tĩnh tại trong không gian. 2. Các phưong trình 3 và 4 mô tã ý nghĩa hình học của 2 mặt thể hiện điện và từ. a. Phưong trình 3: Ta có: DivB = 0 -> đ]BdS = 0 X . s Biêu thức trên chứng tỏ véctơ từ cảm luôn chảy liên tục với mọi mặt kín s suy ra không có vùng nào là xuất phát hoặc vùng tận cùng hay nói cách khác không có vùng đầu hoặc vùng cuối của B • Đây chính là ý nghĩa hình học của từ trường (Ẽ). b. Phưotig trình 4: Ta có: DivD=ptd ^DdS = qt(i s Vậy đây cũng là một dạng hình học của điện trường tức là D có thê xuất phát từ vùng có phân bố điện tích tự do ptd > 0 và tận cùng ptd < 0. Cũng có thể Õ chảy liên tục và khép kín giống như B khí ptd = 0. §2.4. CẤC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG TĨNH THÊ VÔ HƯỚNG I. Hệ phương trình Macxoen đối VỚI TĐT tĩnh. ' r ô ~ „ VỚI trường tĩnh ta có: — = 0; J d =0 RotH = 0 (1) RotE = 0 (2) DivB = 0 (3) DivD = ptd (4) Trong đó: B = |1.H; D = S.E II. Khái niệm hàm thế vô hướng cp Vì Rotĩĩ = 0;RotẼ = 0 cho thấy điện trường và từ trường đều có tính chất thế. Vì vậy người ta sử dụng 1 biến trạng thái mới để mô tả tính chất này gọi là các hàm vô hướng <p của điện và từ là <pE và <pB. 1. Điện thế vô hướng <pE a. Tính chất thế của <pE Giả sử có 1 vật nhỏ mang điện tích q đặt trong 1 miền có ĐT tĩnh sẽ chịu t/đ của 1 lực ĐT: FR=q.E Neu ta t/d 1 ngoại lực (-FE) làm dịch chuyển vật thì công để dịch chuyển vật trong điện trường là: A = -JẸdĩ=-qJẼdĩ L L Đối với ĐT tĩnh nó có tính chất là công dịch chuyển một điện tích từ điểm này đến điểm khác là xác định, và chỉ phụ thuộc vào vị trí 2 điểm mà không phụ thuộc vào đường đi. Suy ra công dịch chuyển 1 diện tích theo một vòng khép kín = 0. Thật vậy khi tính công theo một vòng khép kín: A = -qỊ^ỊEdĩ theo G - S: J RotEdS = ịj]Edĩ L s L => A = —q. J RotEdS = 0 S (Vì điện trường tĩnh có RotE=0) Từ đặc điểm đó ta thấy nếu chọn một điểm Mo nào đó làm mốc suy ra công dịch chuyển 1 điện tích q = 1C den điểm M là xác định và chỉ phụ thuộc vào vị trí của Mo và M. Vậy ta định nghĩa công dịch chuyển 1 điện tích q= 1C từ Mo den M là thế năng úng VỚI M thay đổi hay là điện thế vô hướng tại M: M A(q.lC>=«’(»=%=-jÊdĩ(*) Mo Từ biểu thức (*) ta thấy tuỳ thuộc vào chọn mốc Mo mà có các <pE khác nhau. Vì vậy khi cho 1 <pE phải nói rõ mốc chọn. Tuy nhiên hiệu số thế giữa 2 điểm Mỉ và M2 là hoàn toàn xác đính không phụ thuộc vào mốc chọn Mo Ta gọi hiệu số ấy là hiệu điện thế từ diễm 1 đến 2: Mị M2 M2 u12 = ặ]-<p2 = - ị Edĩ+ J Edĩ = J Edĩ M() M() Mị b. Biểu diễn véc ttf E qua <pE Ta có: <pB = - J Edĩ=-jEdĩ Mo L Lấy đạo hàm riêng 2 vế theo 1 ta được: Ỡ/ vậy khí xét trong hệ trục toạ độ đề các ta có: Ẽ=ẽX+ẽA+ẽX Biểu diễn E qua <pE: Ẽ =-(ĩ^+S í Ẽ =-gradợ^ ỡx ỡy ổz Ta có: Phưong trình đối VỚI điện thế. RotE = 0 (1) DivD = Ptd (2) D = S.Ẽ (3) Ẽ = -gradộ?E (4) Thay (3); (4) vào (2) VỚI 8 = const ta được: -£.Divgradự>E = ptd ío vùng không có ptd Hay: Divgradạ>E = p - ^2- vùng có ptd l s [o vùng không có ptd => Divgradự>E = = p - vùng có ptd l s Đây là pt Laplax - Poatxông của ĐT tĩnh. 2. Phưong trình Macxoen đối với từ trường tĩnh và phương trình từ thế. Hệ phương trình : RotH = 0 (1); DivB = 0 (2); B = [1.H (3) Do RotH = 0 nên tương tự như ở điện trường tĩnh ta có một hàm từ thế vô hướng <pB thoả mãn: H =-gradợ?B (4) Thay (3); (4) vào (2) VỚI JX = const ta có: Đi vgradợ>B = 0 => Aợ?B =0 §2.5. CẤC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG DỪNG THỂ VÔ HƯỚNG - THỂ VÉCTƠ , Ổ Với trường dừng ta có: — = 0; Jd 0 ổt Khi đó hệ pt Macxoen được mô tả như sau: RotH = Jđ (l);RotẼ=0 (2) Trong dó^ DivB=0 (3);DivD = 0 (4) B = p..H;D = S.E; T ; J ’ J = Y-Ẽ Lay Dív 2 ve của (1) ta được: DivRotH = DivJd = 0 —> DivJd = 0 Vậy ta có thể tách ra hệ pt đối VỚI điện trường và từ trường để đi xét một cách độc lập nhau. I. Điện trường dừng 1. Hệ phương trình Macxoen: RotẼ=0 (1) với D = S.Ẽ DivD=0 (2) Jd = Y-Ẽ DivJ^ = 0 (3) Điện trường dừng tồn tại ở cả 2 vùng vật dẫn và điện môi + Vùng vật dẫn có E = 0 ; Y 0: Hệ pt Macxoen là: RotE = 0 (1); Divĩ^= 0 (3) với Jd = y.E 4- Vùng điện môi có s 0 ; Y = 0: Hệ pt Macxoen là: RotE = 0 (1); DivD = 0 (2) với D = 8.E 2. Khái niệm điện thế <pE Từ pt RotE = 0, tuông tự nhu điện trường tĩnh và tồn tại ử cả hai vùng vật dẫn và diện môi, ta có thể biểu diễn điện trường qua hàm thế <pE VỚI: E = -gradựk (*) Thay (*) vào các phưong trình của 2 hệ pt mô tả cho vùng vật dẫn và điện môi đều được: dívgrad<pE = A(pE = 0 II. Từ trường dừng 1. Hệ phưong trình Macxuel Hệ phưong trình Macxuel đối với từ trường dừng: RotH = (1) DivB = 0 (2) Trong đó: 2. Các hàm thế vô hướng <pB và từ thế vector AB a. Từ thế vô hướng (pB Ở những vùng có Jj = ()> RotH = 0 do đó nó hoàn toàn giống với từ trường tĩnh. Vậy có thể đo từ trường ờ những vùng này bằng 1 hàm từ thế vô hướng <pB thoă mãn pt: Và ta cũng có: Divgradộ9B = 0 o Aộpb = 0 b. Dan ra khái niệm từ thế vector AB Ở những vùng có J. = 0 —> Rotĩĩ Odo đó không thể sử dụng <pB để biểu diễn cho cả hai trường hợp đưực. Vì vậy ta đưa ra k/n từ thế vector AB với lập luận rằng cả 2 t/h J7 0 và L = 0 thì DivẼ = 0 Khí đó hàm từ thế vector Agthoă mãn: DivB = DivrotAB —> B = RotAB §2.6 TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIẾN THIÊN HÀMTỪTHÊ VÉCTƠ Ầ TĐT biến thiên có các biến trạng thái gan bó rất khăng khít vói nhau thông qua hệ pt Macxuel: _ RotH = j; + ^(l) Ỡt RotE = -^ (2) ổt DivB = 0 (3) DivD = ptd (4) Do RotH * 0;RotẼ * 0 nên điện trường và từ trường đều có tính chất xoáy, vì vậy ta không thể biểu diễn chúng qua các hàm thế vô hướng được. Mà phải dùng biến trạng thái mói gọi là từ thế véctư A B hay viết tắt là à 1. Khái niệm từ the vécto’ A Cũng như ử phần từ trường dừng ta đưa ra khái niệm từ thế vector A được xác đính: B = RotẨ (1) Từ pt Macxuel2: RotE = — —— (2) ổt Thay (1) vào (2): RotE = - Ệ- Rot A = -Rot ỡt ổt - ỠẰ ^>Rot(E + ^) = 0 (3) Mặt khác ta có Rotgradcp = 0. Do đó ta có thể cho thêm một giá trí Rotgradcp vào biểu thức (3) ta được: — Ỡà Rot(E + -f — + gradộ?E) = 0 ổt Ta đặt ~E+_— + gradpE = F(t) => RotF(t) = 0 Ta thấy F(t)tồn tại và chỉ phụ thuộc vào thời gian ngay cả khi trường chưa thành lập trong không gian tức là các biến trạng thái: Ẽ=0; B = 0; (Pt =0; Ã=o =^F(t)=0 - ỠẦ Vậy ta được: E = - - gradộ?E ỡt ' Ở biểu thức trên thành phần grad(pE chính là thành phần của trường dừng hoặc trường tĩnh. Neu ta coi trong không gian ta xét không có thành phần này tức là gradcpE = 0 thì ta được: Ổt 2. Phưomg trình đối với từ thế vécto’ A RotH = j;+^(l) Ỡt RotE = -^P (2) đồng nhất E =-^^-gradộk (5) ổt ổt DivB= 0 (3) đồng nhất B = RotA (6) DivD = ptd (4) VỚI B= p,.H; D= S.E; Jd = y.E Ta có: RotH = — RotB (*) M- Thay (6) vào (*): RotH = - RotRotà Thay vào (1) la có: — RotRotA = Jd + = Jd + s. ụ at at Thay (5) vào biểu thức trên ta đưực: „ _ - — a A , ỔứL RotRotA = p,Jd - p,s —V- - Ịisgrad — at at Mặt khác ta có: RotRotA = graddivA-divgradA => gmddivà - divgradà = pj- - ge - jugrad^L o grad(DivA +118 = DivgradA + |iJd -118 -—j- ỡt ổt Theo điều kiện Lorenx thì: Div A + JX£ = 0 — — ổ2 A => DivgradA+ |iJd -|1£ = 0 — a2à — o Divgrad A - J1£ y = -p,Jd ổt — ỡ2 A Vậy ta có: AA-J1S-—T- = at -|iJd trong vật dẫn 0 trong điện môi Jd =ỵE = -y^ AA-M£^ = at ỡt — â2à Đặt □ 2A = AA-LLS^r _ at2 -gjd trong v/d 2Ã* hay ũ2 A = 0 trong đ/m PY^ trong v/d 0 trong đ/m □ là t/ tử d’alamberxian trong v/d 0 trong đ/m Trong không gian không có điện tích tự do ta có Đây là pt truyền sóng của TĐT biến thiên §2.7 HIỆN TƯỢNG LAN TRUYỀN TĐT BIỂN THIÊN TĐT biến thiên có khả năng lan truyền với vận toe V tuỳ thuộc vào môi trường chất và đưực xác định theo biểu thức: .. 1 V = —7= Ợp.8 - 1 ô2A AA---r-ry V2 ôt2 Thay giá trị trên vào pt truyền sóng ta được: —P- Jd trong vật dẫn 0 trong điện môi Từ pt truyền sóng ta thấy từ thế véctơ A và các lượng È; B; D; H và năng lượng cũng như tín hiệu mà trường chứa đựng cũng lan truyền với vận tốc hữu hạn V phụ thuộc vào môi trường. §2.8 DÒNG NĂNG LƯỢNG ĐIỆN TỪ - VÉCTƠ POYNTINH (Tự đọc)