Bài giảng Cơ sở lý thuyết trường điện từ - Chương 4: Một số phương pháp giải bài toán điện trường tĩnh - Nguyễn Văn Huỳnh

CHƯƠNG 4 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH (GIÃI PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE - POATXONG) §4.1 Phương pháp vận đụng trực tiếp luật Gauss §4.2 Phương pháp soi gương §4.3 Phương pháp sử dụng hàm Grin tối giản §4.4 Phương pháp phân ly biến số Furie §4.5 Phương pháp lưới tính gần đúng §4.1 PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG TRỰCTIÉP LUẬT GÃUSS Điện trường đôĩ xứng xuyên tâm hình cầu a. Điều kiện để điện trường là đối xứng xuyên tâm hình cầu. Điều kiên 1: Toàn bộ miền không gian điện môi giới hạn bởi mặt cầu s là đồng nhất s(e= const) Điều kiện2: Vât mang điện có thể là: + Điện tích điểm + Quả cầu tích điện có bán kính rất nhỏ so với khoảng cách tính điện trường (có thể bỏ qua) b. Bài toán: Bài toán đặt ra là tìm cường độ điện trường và điện thế tại điểm M do điện tích điểm q gây ra, với giả thiết toàn bộ không gian điện môi xét là đồng nhấts Đễ giải bài toán ta lấy một mặt cầu s đi qua điểm M có tâm đặt tại vị trí điện tích điểm. Do điện trường đối xứng xuyên tâm hình cầu nên ta có: D = Dr ; Ẽ = Ẽr Vận dụng trực tiếp luật Gauss [^D.ds = q =>^Dr.ds = q =>^£.Et..ds = q s s s q 2 -dr 4ĩT.£.r q 4ĩL£ q r = JL(1_1) 47ĩ.£.r4xs r r0 Fo Để đơn giản chọn mốc M( ở xa vô cùng thì ta có: (P(M)=-7ZT 4718 r Điện trường đo Ị xứng xuyên trục hình trụ Điều kiện để điện trường ỉà đối xứng xuyên trục hình trụ. Toàn bộ miền không gian điện môi giới hạn bởi mặt trụ s là đồng nhất £ Vật mang điện là trục đường dây có độ dài đủ lớn bài toán -Bài toán đặt ra là tìm cđđt và điện thế tại điểm M do trục đường dây mang điện T gây ra, giả thiết đường dây có độ dài đủ lớn và toàn bộ miền không gian điện môi là đồng nhất s -Khi đó ta có: D = Dr ;Ẽ = Er - Để giải bài toán ta lấy một mặt trụ s có trục là trục đường dây, có bán kính r chiều dài I và đi qua điểm M như hình vẽ: Vận dụng trực tiếp luật Gauss ^D.dẩ = q ^Dr.ds = q s s ^s.Er.ds = q^E,=-i- Diện tích xq mặt trụ: s = xq Er = -5— 27isrl Trường hợp này q = T.I Er = ——- 2ĩT£r =>Er=-^- => 27ierl 3. Trường hợp điện trường đối xứng của 2 trục dài thẳng song song mang điện Giả sử một đường dây có hai dây có điện tích phân bố dọc đường dây với mật độ đường của 2 dây là ±T như hình vẽ: Ta coi hai dây dẫn như là hai trục mang điện khi đó ta tách thành hai trục riêng rẽ. Lúc này trở thành hai bài toán đối xứng và có thể vận dựng trực tiếp luật Gaux để tính: Ta CÓ: E+=—và E’ = —— 2%sr+ 27tsr’ Cường độ điện trường tại M : E = ự(E+)2 +(E~)2 +2E+E~ cos(F,ĩF) Điện thế tại điểm M so với mốc Mo: +ĩ . < , -ĩ , r’ ĩ r+r’ ỌM = —— In -77+ —— In — = ——In -7-57 2%s r 2tĩs r’ 2%£ rj §4.2 PHƯƠNG PHÁP SOI GƯƠNG Trong thực tế gặp nhiều bài toán mà điện trường trong miền V1 thuộc môi trường 1, giới hạn bởi bờ s tiếp giáp vối miền V2 thuộc môi trường 2 hoặc ngược lại, với những điều kiện bờ Đírchle - Noiman và điều kiện bờ hỗn họp trên bờ s. Neu giải trực tiếp bài toán trên là khó khăn (vì trường không đối xứng). Khi bờ s có hình dáng đon giản thì ta có thể sử dụng phương pháp soi gưong điện tích. Nội dung của phưong pháp là ta thay toàn bộ miền v2 bang miền hoặc ngược lại. Ta sẽ có bài toán của một môi trường đồng nhất. Đồng thời thêm một so điện tích vào miền v2 hoặc ngược lại sao cho toàn hệ vẫn thoả mãn điều kiện bò. Như vậy sau khí thay thế thì nghiệm của bài toán lúc này cũng chính là nghiêm của bài toán đã cho. Nhưng toàn không gian xét là đồng nhất nên việc giải sẽ đon giản hon và việc thay thế các điện tích giống như việc soi gưong nên được goí là phưong pháp soi gưong. Soi gương qua mặt phẳng dẫn - Giả sử trong không gian điện môi V VỚI hang số điện môi s có một vật mang điện (trường họp đon giản nhất là một điện tích điểm q), đặt cách mặt s một khoảng h như hình vẽ: - Khi cần tính điện trường tại một điểm nào đó thuộc miền V thì ta sử dụng phương pháp soi gương n Nội dung phương pháp soi gương qua mặt phẳng dẫn: Thay thế toàn bộ miền không gian vật dẫn bằng miền không gian điện môi s để toàn bộ miền không gian là đồng nhấts. Để đảm bảo điều kiện bờ (mặt s là đẳng thế) ta phải đặt đối xứng với q qua mặt phẳng dẫn s một điện tích trái dấu - q Sau khi thay thế thì điện trường do điện tích q gây ra trong miền (V) được xem như điện trường do 2 điện tích điểm q và - q gây ra. Việc thay thế (soi gương) được minh hoạ như hình vẽ sau: q . q . -q- Ví dụ: Hãy tính cường độ điện trường do điện tích điểm q gây ra tại diễm M trên mặt dẫn s, biết h, a, s, q > 0 như hình a: q. (s) h a M s a Hình a (s) ơ-\ r ạ h a M ■ 1/ '-D- ' ' Em - q *' R,. Hình b M Áp dụng phương pháp soi gương ta thay thế như hình b = + Em Em — Em — - — ,, 2 , 2\ 47ĨSĨ 4írs(h 4-a ) T7 nT?+ ~ 2clh E.. = 2EJ, cos a = , MM • 3 47TEr 2.q.h 4«sự(h2 + a2)3 Chú ý: Nếu khoảng cách r từ điện tích q đến điểm M (cần tính điện trường) nhỏ hơn khoảng cách h từ q đến mặt s thì khi đó ta sử dụng trực tiếp luật Gauss để giải mà không cần phải soi gương Nếu khoảng cách r từ điện tích q đến điểm M (cần tính điện trường) lớn hơn khoảng cách h từ q đến mặt s thì khi đó ta phải soi gương q. (e) h . M ị ’■» s, 7777777777777777777 Soi gupong qua góc dẫn - Giả sử có một điện tích điểm q đặt trong không gian V, hằng số điện môi 8 được ngăn cách bởi 2 áp dụng phương pháp soi gương bằng cách lấp đầy không gian dẫn bởi môi trường 8 mặt phẳng dẫn như hình vẽ. - Để giải bài toán ta Để thoả mãn điều kiện bờ trên S1 ta soi gương điện tích q quaS1 được -q. Hệ 2 điện tích điểm ±q này không thoả mãn điều kiện bờ trên s2 do đó ta soi gương qua s2 được -q và q. Hệ 4 điện tích điểm này lại không thoả mãn điều kiện bờ trên S1 ta lại soi gương qua S1 và quá trình cứ thế tiếp tục sẽ xảy ra 2 trường hợp sau: + TH1: -Soi gương đến một lúc nào đó các điện tích vừa soi gương trùng với các điện tích đã có thì dừng lại. Khi đó điện trường trong miền V bằng xếp chồng các điện trường do các điện tích gây ra. + TH2: Soi gương mãi các điện tích không trùng nhau thì ta dừng lại ở một bước nào đó rồi tính gần đúng. Việc thay thế (soi gương) được minh hoạ như hình vẽ sau: Chúỷ: - Nếu gọi h1 là k/c từ q đến s1t h2 là k/c từ q đến s2, r là k/c từ q đến M, giả sử hì > h2: + Khi r < h2 < h1 thì ta không phải soi gương mà áp dụng trực tiếp luậtGass để giải + Khi h2 < r < h1 thì ta soi gương qua s2, không soi gương qua S1 + Khi h2 < h1 < r thì ta soi gương qua câ S1 và s2 3. Soi gương qua mặt tiếp giáp giữa 2 mõi trường điện môi - Trong KTĐ thường gặp trường hợp 1 vật tích điện đặt trong không khí cách sàn gỗ, sàn sứ... Khi đó cả 2 môi trường điện môi đều tồn tại điện trường và điện thế. - Gíă sử có 1 điện tích q đặt trong môi trường Sỉ ngăn cách bởi bờ s tiếp giáp với môi trường &2 như hình vẽ - Áp dụng phương pháp soi gương khi cần tìm phân bố điện thế và cđđt tại điểm M1 thuộc môi trường 1 (Sí) (là môi trường chứa điện tích q hay vật mang điện) ta lấp đầy không gian bài toán bởi mt 1 (s^ và để thoả mãn đk bờ trên s ta phải đặt điện tích k^q đối xứng với q qua s. Khi đó điện trường tại M1 là điện trường do q và k^q gây ra. q ■ Mi ! s V2,s2 Vi ,S1 V2,Si q : Mì 4 s * M - Khi cần tìm điện thế và cđđt tại điểm M2 thuộc môi trường 2 (e2) thì ta lấp đầy không gian bài toán bởi môi trường 2 (s2) và để thoả mãn đk bờ trên s ta đặt vào vị trí của q một điện tích k2.q (thay q bằng k2.q). Khi đó điện trường tại M2 do k2.q gây ra £1~£2 ■ V — 81 + s2 €1 + s2 Chú ý: - Nếu k/c từ q đến s lớn hơn k/c từ q đến thì ta không phải soi gương mà áp dụng trực tiếp luật Gauss đễ giải. Ví dụ: Tính cđđt tại M1 biết M1 q >0 như hình a: V1 ,e1 S- ^2^2 UJ . „ Hình a M. - Áp dụng phương pháp soi gương ta lấp đầy không gian bài toán bởi mt S1 như hình b Với: k, = s‘ ~82 < 0 q?\ Sj+82 v1,s1 ịOc\ r Ẽ = Ẽ+ + Ẽ” s h a Mị Mj + kMj ị7k E+ = —= a M1 47i£xr2 47is1(h2+ a2) Iqq * M1x\/ E- = Iki-q| _ Iki-q| Hình b ẼM1 1 4-ne^2 4iT£x(h2 + a2) E„ = J(Et )2 + (EL,)2 + 2E+ E" cos(Et ,E“ ) E„ = J(E+ )2 + (EL )2 + 2E* EL COS2O. M1 V M1 v M1 ' Mị M1 §4.3 PHƯƠNG PHÁP HÀM GRIN TÔI GIẢN Trong thực tế gặp nhiều bài toán là điện trường của những đoạn dây hữu hạn như điện trường của một đoạn dây Anten; một đoạn dây nối từ máy phát đến Anten; một đoạn dây cung cấp điện trong phân xưởng hay phòng thí nghiệm... Trong các trường họp này do dây dài là hữu hạn vì vậy nó không có tính chất đối xứng nữa, do đó ta phải sử dụng phưong pháp sử dụng hàm Grín tối giản để tính. -Như ta đã biết hàm Grín tối giản ứng vói một đon vị điện tích điếm là: G(r) = -4- 47ĩsr Giả sử ta có một trục thẳng mang điện có độ dài lo và có phân bo điện tích đường T. Đe đon giản ta gan vào trục mang điện một hệ trục toạ độ trụ khi đó điện trường chỉ còn phụ thuộc vào toạ độ r và z (đặc trưng độ dài 1) như hình vẽ: -Đe tính điện thế tạí điểm M(rx;zi) bất kỳ do trục mang điện gây ra ta lấy vi phân đoạn dây dl, tuông ứng ta sẽ có vi phân điện tích dq = Tdl Khí đó ta có: 4%sr T.dz với: dl = dz và M(r15zx) r T.dz • 4.7C.E.r Ố 4.7Ĩ.S. §4.4 Phương pháp phân ly biến số Furíe §4.5 Phương pháp lưới tính gần đúng (Tự nghiên cứu)