Bài giảng Cơ sở lý thuyết truyền tin - Chương 7: Lý thuyết tín hiệu - Hà Quốc Trung

ng phổ tần số. Dịch phổ tần số. Biến đổi về miền thời gian. Tính toán các đặc trưng khác của tín hiệu băng hẹp. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 8/ 73 Loại bỏ các tần số âm Dùng hàm bước nhảy đơn vị U(f ) để loại bỏ thành phần tần số âm: S+(f ) = 2U(f )S(f ) U(f ) = { 1 nếu f ≥ 0 0, nếu f < 0 u(t) = 1 2 (δ(t) + j piT ) S+(f ) gọi là gọi là bao đóng trước (pre-envelope) của tín hiệu băng hẹp s(t). Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 9/ 73 Loại bỏ các tần số âm Dùng hàm bước nhảy đơn vị U(f ) để loại bỏ thành phần tần số âm: S+(f ) = 2U(f )S(f ) U(f ) = { 1 nếu f ≥ 0 0, nếu f < 0 u(t) = 1 2 (δ(t) + j piT ) S+(f ) gọi là gọi là bao đóng trước (pre-envelope) của tín hiệu băng hẹp s(t). Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 9/ 73 Biểu diễn trong miền thời gian Áp dụng biến đổi Fourier: s+(t) = F−1(S+(f )) = F−1(S(f )) ∗ F−1(2u(f )) ∗ là phép toán chập giữa hai tín hiệu x(t) ∗ y(t) = ∞∫ −∞ x(t)y(t − τ)dτ Như vậy s+(t) = s(t) ∗ (δ(t) + j piT ) = s(t) + js(t) ∗ 1 pit Đặt: sˆ(t) = s(t) ∗ 1tpi = 1 pi ∞∫ −∞ s(t) t − τ dτ Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 10/ 73 Biểu diễn trong miền thời gian Áp dụng biến đổi Fourier: s+(t) = F−1(S+(f )) = F−1(S(f )) ∗ F−1(2u(f )) ∗ là phép toán chập giữa hai tín hiệu x(t) ∗ y(t) = ∞∫ −∞ x(t)y(t − τ)dτ Như vậy s+(t) = s(t) ∗ (δ(t) + j piT ) = s(t) + js(t) ∗ 1 pit Đặt: sˆ(t) = s(t) ∗ 1tpi = 1 pi ∞∫ −∞ s(t) t − τ dτ Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 10/ 73 Biểu diễn trong miền thời gian Áp dụng biến đổi Fourier: s+(t) = F−1(S+(f )) = F−1(S(f )) ∗ F−1(2u(f )) ∗ là phép toán chập giữa hai tín hiệu x(t) ∗ y(t) = ∞∫ −∞ x(t)y(t − τ)dτ Như vậy s+(t) = s(t) ∗ (δ(t) + j piT ) = s(t) + js(t) ∗ 1 pit Đặt: sˆ(t) = s(t) ∗ 1tpi = 1 pi ∞∫ −∞ s(t) t − τ dτ Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 10/ 73 Biểu diễn trong miền thời gian-02 Khi đó: s+(t) = s(t) + j sˆ(t) sˆ(t) là đầu ra của một hệ thống có đặc tính xung h(t) = 1pit khi đầu vào là s(t). Đặc tính tần số của một hệ thống này: H(f ) = ∞∫ −∞ h(t)e−2jpitdt = 1 pi ∞∫ −∞ 1 t e −2jpitdt =  −j Nếu f > 0 0, Nếu f = 0 j , Nếu f < 0 Nhận xét |H(f )| = 1∀f , θ(H(f )) = pi/2∀f 0 . Vậy có thể coi đây là một biến đổi bảo toàn biên độ tín hiệu, lệch pha pi/2 với mọi tần số, gọi là biến đổi trực giao hay biến đổi Hilbert. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 11/ 73 Biểu diễn trong miền thời gian-02 Khi đó: s+(t) = s(t) + j sˆ(t) sˆ(t) là đầu ra của một hệ thống có đặc tính xung h(t) = 1pit khi đầu vào là s(t). Đặc tính tần số của một hệ thống này: H(f ) = ∞∫ −∞ h(t)e−2jpitdt = 1 pi ∞∫ −∞ 1 t e −2jpitdt =  −j Nếu f > 0 0, Nếu f = 0 j , Nếu f < 0 Nhận xét |H(f )| = 1∀f , θ(H(f )) = pi/2∀f 0 . Vậy có thể coi đây là một biến đổi bảo toàn biên độ tín hiệu, lệch pha pi/2 với mọi tần số, gọi là biến đổi trực giao hay biến đổi Hilbert. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 11/ 73 Biểu diễn trong miền thời gian-02 Khi đó: s+(t) = s(t) + j sˆ(t) sˆ(t) là đầu ra của một hệ thống có đặc tính xung h(t) = 1pit khi đầu vào là s(t). Đặc tính tần số của một hệ thống này: H(f ) = ∞∫ −∞ h(t)e−2jpitdt = 1 pi ∞∫ −∞ 1 t e −2jpitdt =  −j Nếu f > 0 0, Nếu f = 0 j , Nếu f < 0 Nhận xét |H(f )| = 1∀f , θ(H(f )) = pi/2∀f 0 . Vậy có thể coi đây là một biến đổi bảo toàn biên độ tín hiệu, lệch pha pi/2 với mọi tần số, gọi là biến đổi trực giao hay biến đổi Hilbert. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 11/ 73 Dịch tần số s+(t) vẫn là tín hiệu băng hẹp. Dịch tần số để chuyển về tín hiệu thông thấp: Sl(f ) = S+(f + fc) rồi chuyển sang miền thời gian: sl(t) = s+(t)e−2jpifc t = (s(t) + j sˆ)e−2jpifc t Có s(t) + j sˆ = sl(t)e−2jpifc t Biểu diễn sl(t) bằng các tín hiệu thực, ví dụ sl(t) = x(t) + jy(t), ta có s(t) = x(t) cos 2pifc t − y(t) sin 2pifc t sˆ(t) = x(t) cos 2pifc t + y(t) sin 2pifc t Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 12/ 73 Dịch tần số-02 Công thức s(t) = x(t) cos 2pifc t − y(t) sin 2pifc t biểu diễn tín hiệu băng hẹp s(t) theo tín hiệu thông thấp tương đương sl(t) = x(t) + jy(t). sl(t) gọi là tín hiệu thông thấp tuơng đương của tín hiệu s(t). x(t), y(t) là hai tín hiệu thông thấp thực, là hệ số phần thực và phần ảo của của tín hiệu thông thấp s(t), lệch nhau,còn gọi là 2 thành phần trực giao thông thấp. s(t) được biểu diễn từ tín hiệu thông thấp sl(t) như tổng hợp của hai tín hiệu thu được khi điều biên các tín hiệu thành phần trực giao thực, thông thấp với sóng mang có tần số fc Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 13/ 73 Dịch tần số-02 Công thức s(t) = x(t) cos 2pifc t − y(t) sin 2pifc t biểu diễn tín hiệu băng hẹp s(t) theo tín hiệu thông thấp tương đương sl(t) = x(t) + jy(t). sl(t) gọi là tín hiệu thông thấp tuơng đương của tín hiệu s(t). x(t), y(t) là hai tín hiệu thông thấp thực, là hệ số phần thực và phần ảo của của tín hiệu thông thấp s(t), lệch nhau,còn gọi là 2 thành phần trực giao thông thấp. s(t) được biểu diễn từ tín hiệu thông thấp sl(t) như tổng hợp của hai tín hiệu thu được khi điều biên các tín hiệu thành phần trực giao thực, thông thấp với sóng mang có tần số fc Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 13/ 73 Dịch tần số-02 Công thức s(t) = x(t) cos 2pifc t − y(t) sin 2pifc t biểu diễn tín hiệu băng hẹp s(t) theo tín hiệu thông thấp tương đương sl(t) = x(t) + jy(t). sl(t) gọi là tín hiệu thông thấp tuơng đương của tín hiệu s(t). x(t), y(t) là hai tín hiệu thông thấp thực, là hệ số phần thực và phần ảo của của tín hiệu thông thấp s(t), lệch nhau,còn gọi là 2 thành phần trực giao thông thấp. s(t) được biểu diễn từ tín hiệu thông thấp sl(t) như tổng hợp của hai tín hiệu thu được khi điều biên các tín hiệu thành phần trực giao thực, thông thấp với sóng mang có tần số fc Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 13/ 73 Biểu diễn khác sl(t) có thể biểu diễn bằng các tín hiệu thực thông thấp theo hình thức khác: s(t) = Re(sl(t)e2jpifc t) và s(t) = a(t)cos(2pifc t + θ(t)) Trong đó sl(t) = a(t)eθ(t),a(t) = √ x2(t) + y2(t), θ(t) = arctan y(t)x(t) Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 14/ 73 Liên hệ về tần số Biểu diễn tần số của tín hiệu theo tín hiệu thông thấp S(f ) = ∞∫ −∞ s(t)e−2jpiftdt = ∞∫ −∞ Re(sl(t)ej2pifc t)e−2jpiftdt Chú ý C+ C∗ = 2Re(C) S(f ) = 1 2 ∫ ∞ −∞ [ sl(t)ej2pifc t + sl(t)e−j2pifc t ] e−2jpiftdt = 1 2 [Sl(f − fc) + S∗l (−f − fc)] Đây là liên hệ về tần số giữa tín hiệu băng hẹp và tín hiệu thông thấp tương đương. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 15/ 73 Liên hệ về tần số Biểu diễn tần số của tín hiệu theo tín hiệu thông thấp S(f ) = ∞∫ −∞ s(t)e−2jpiftdt = ∞∫ −∞ Re(sl(t)ej2pifc t)e−2jpiftdt Chú ý C+ C∗ = 2Re(C) S(f ) = 1 2 ∫ ∞ −∞ [ sl(t)ej2pifc t + sl(t)e−j2pifc t ] e−2jpiftdt = 1 2 [Sl(f − fc) + S∗l (−f − fc)] Đây là liên hệ về tần số giữa tín hiệu băng hẹp và tín hiệu thông thấp tương đương. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 15/ 73 Liên hệ về năng lượng Năng lượng của tín hiệu E = ∞∫ −∞ s2(t)dt = ∞∫ −∞ [ Re(sl(t)ej2pifc t) ]2 dt = 1 2 ∞∫ −∞ |sl(t)|2dt = 12 ∞∫ −∞ |sl(t)|2(cos 4pifc t + 2θ(t))dt Số hạng thứ 2 có thể bỏ qua, vì s(t) là tín hiệu băng hẹp, a(t) hầu như không thay đổi khi ej2pifc t thay đổi. Vậy E = 1 2 ∞∫ −∞ |sl(t)|2dt Năng lượng của tín hiệu băng hẹp bằng 1/2 năng lượng của tín hiệu thông thấp tương đương. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 16/ 73 Năng lượng tín hiệu băng hẹp Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 17/ 73 Ghi nhớ Bao đóng trước S+(f ) = 2U(f )S(f ) Tín hiệu thông thấp tương đương sl(t) = s+(t)e−2jpifc t = (s(t) + j sˆ)e−2jpifc t Biến đổi Hilbert h(t) = 1 pit ,H(f ) =  −j Nếu f > 0 0, Nếu f = 0 j , Nếu f < 0 Biểu diễn thông thấp tọa độ sl(t) = x(t) + jy(t), s(t) = x(t) cos 2pifc t − y(t) sin 2pifc t Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 18/ 73 Ghi nhớ (Tiếp) Biểu diễn thông thấp phức s(t) = Re(sl(t)e2jpifc t) Biểu diễn thông thấp tọa độ cực s(t) = a(t)cos(2pifc t + θ(t)) Biểu diễn phổ S(f ) = 1 2 [Sl(f − fc) + S∗l (−f − fc)] Năng lượng E = 1 2 ∞∫ −∞ |sl(t)|2dt Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 19/ 73 1.3.Biểu diễn thông thấp hệ thống tuyến tính băng hẹp Hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi Đặc tính xung h(t) Đặc tính tần số H(f ) = F (h(t)) Hàm h(t) là hàm thực, nên H∗(−f ) = H(f ) Bài toán: biểu diễn hệ thống băng hẹp bằng hệ thống tuyến tính có các đặc tính thông thấp tương đương. Giải pháp Định nghĩa các hàm đặc tính thông thấp tương đương. Biểu diễn hàm đặc tính theo các hàm đặc tính thông thấp. Biểu diễn đầu ra theo các hàm đặc tính thông thấp. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 20/ 73 1.3.Biểu diễn thông thấp hệ thống tuyến tính băng hẹp Hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi Đặc tính xung h(t) Đặc tính tần số H(f ) = F (h(t)) Hàm h(t) là hàm thực, nên H∗(−f ) = H(f ) Bài toán: biểu diễn hệ thống băng hẹp bằng hệ thống tuyến tính có các đặc tính thông thấp tương đương. Giải pháp Định nghĩa các hàm đặc tính thông thấp tương đương. Biểu diễn hàm đặc tính theo các hàm đặc tính thông thấp. Biểu diễn đầu ra theo các hàm đặc tính thông thấp. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 20/ 73 1.3.Biểu diễn thông thấp hệ thống tuyến tính băng hẹp Hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi Đặc tính xung h(t) Đặc tính tần số H(f ) = F (h(t)) Hàm h(t) là hàm thực, nên H∗(−f ) = H(f ) Bài toán: biểu diễn hệ thống băng hẹp bằng hệ thống tuyến tính có các đặc tính thông thấp tương đương. Giải pháp Định nghĩa các hàm đặc tính thông thấp tương đương. Biểu diễn hàm đặc tính theo các hàm đặc tính thông thấp. Biểu diễn đầu ra theo các hàm đặc tính thông thấp. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 20/ 73 1.3.Biểu diễn thông thấp hệ thống tuyến tính băng hẹp Hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi Đặc tính xung h(t) Đặc tính tần số H(f ) = F (h(t)) Hàm h(t) là hàm thực, nên H∗(−f ) = H(f ) Bài toán: biểu diễn hệ thống băng hẹp bằng hệ thống tuyến tính có các đặc tính thông thấp tương đương. Giải pháp Định nghĩa các hàm đặc tính thông thấp tương đương. Biểu diễn hàm đặc tính theo các hàm đặc tính thông thấp. Biểu diễn đầu ra theo các hàm đặc tính thông thấp. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 20/ 73 1.3.Biểu diễn thông thấp hệ thống tuyến tính băng hẹp Hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi Đặc tính xung h(t) Đặc tính tần số H(f ) = F (h(t)) Hàm h(t) là hàm thực, nên H∗(−f ) = H(f ) Bài toán: biểu diễn hệ thống băng hẹp bằng hệ thống tuyến tính có các đặc tính thông thấp tương đương. Giải pháp Định nghĩa các hàm đặc tính thông thấp tương đương. Biểu diễn hàm đặc tính theo các hàm đặc tính thông thấp. Biểu diễn đầu ra theo các hàm đặc tính thông thấp. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 20/ 73 1.3.Biểu diễn thông thấp hệ thống tuyến tính băng hẹp Hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi Đặc tính xung h(t) Đặc tính tần số H(f ) = F (h(t)) Hàm h(t) là hàm thực, nên H∗(−f ) = H(f ) Bài toán: biểu diễn hệ thống băng hẹp bằng hệ thống tuyến tính có các đặc tính thông thấp tương đương. Giải pháp Định nghĩa các hàm đặc tính thông thấp tương đương. Biểu diễn hàm đặc tính theo các hàm đặc tính thông thấp. Biểu diễn đầu ra theo các hàm đặc tính thông thấp. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 20/ 73 1.3.Biểu diễn thông thấp hệ thống tuyến tính băng hẹp Hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi Đặc tính xung h(t) Đặc tính tần số H(f ) = F (h(t)) Hàm h(t) là hàm thực, nên H∗(−f ) = H(f ) Bài toán: biểu diễn hệ thống băng hẹp bằng hệ thống tuyến tính có các đặc tính thông thấp tương đương. Giải pháp Định nghĩa các hàm đặc tính thông thấp tương đương. Biểu diễn hàm đặc tính theo các hàm đặc tính thông thấp. Biểu diễn đầu ra theo các hàm đặc tính thông thấp. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 20/ 73 1.3.Biểu diễn thông thấp hệ thống tuyến tính băng hẹp Hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi Đặc tính xung h(t) Đặc tính tần số H(f ) = F (h(t)) Hàm h(t) là hàm thực, nên H∗(−f ) = H(f ) Bài toán: biểu diễn hệ thống băng hẹp bằng hệ thống tuyến tính có các đặc tính thông thấp tương đương. Giải pháp Định nghĩa các hàm đặc tính thông thấp tương đương. Biểu diễn hàm đặc tính theo các hàm đặc tính thông thấp. Biểu diễn đầu ra theo các hàm đặc tính thông thấp. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 20/ 73 1.3.Biểu diễn thông thấp hệ thống tuyến tính băng hẹp Hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi Đặc tính xung h(t) Đặc tính tần số H(f ) = F (h(t)) Hàm h(t) là hàm thực, nên H∗(−f ) = H(f ) Bài toán: biểu diễn hệ thống băng hẹp bằng hệ thống tuyến tính có các đặc tính thông thấp tương đương. Giải pháp Định nghĩa các hàm đặc tính thông thấp tương đương. Biểu diễn hàm đặc tính theo các hàm đặc tính thông thấp. Biểu diễn đầu ra theo các hàm đặc tính thông thấp. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 20/ 73 Định nghĩa hệ thống thông thấp Định nghĩa hàm đặc tính tần số của hệ thống thông thấp Hl(f − fc) = { H(f ), f>0; 0, f<0 Từ đó H∗l (−f − fc) = { H∗(f ), f<0; 0, f>0 Vậy H(f ) = Hl(f − fc) + H∗l (−f − fc) Biểu diễn h(t) theo hl(t), sử dụng biến đổi Fourier ngược: h(t) = hl(t)ej2pifc t + h∗l (t)e−j2pifc t = 2Re [ hl(t)ej2pifc t ] Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 21/ 73 Định nghĩa hệ thống thông thấp Định nghĩa hàm đặc tính tần số của hệ thống thông thấp Hl(f − fc) = { H(f ), f>0; 0, f<0 Từ đó H∗l (−f − fc) = { H∗(f ), f<0; 0, f>0 Vậy H(f ) = Hl(f − fc) + H∗l (−f − fc) Biểu diễn h(t) theo hl(t), sử dụng biến đổi Fourier ngược: h(t) = hl(t)ej2pifc t + h∗l (t)e−j2pifc t = 2Re [ hl(t)ej2pifc t ] Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 21/ 73 Đáp ứng thông thấp của hệ thống băng hẹp Xét tín hiệu đầu vào băng hẹp s(t), biểu diễn bằng tín hiệu thông thấp tương đương là sl(t), kích hoạt đầu vào một hệ thống tuyến tính băng hẹp đáp ứng xung h(t) và đáp ứng xung thông thấp tương đương hl(t). Đầu ra của hệ thống là r(t), biểu diễn theo tín hiệu thông thấp r(t) = Re [ rl(t)ej2pifc t ] r(t) được tính từ tích chập r(t) = s(t) ∗ h(t) = ∫ ∞ −∞ s(τ)h(t − τ)dτ Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 22/ 73 Đáp ứng thông thấp của hệ thống băng hẹp (Tiếp) Trên miền tần số R(f ) = S(f )H(f ) = = 1 2 [Sl(f − fc) + S∗l (−f − fc)] [Hl(f − fc) + H∗l (−f − fc)] Chú ý: Sl(f − fc)H∗l (−f − fc) = S∗l (f − fc)Hl(−f − fc) = 0 Vậy R(f ) = 1 2 [Sl(f − fc)Hl(f − fc) = S∗l (f − fc)H∗l (f − fc)] = = 1 2 [Rl(f − fc) + R∗l (−f − fc)] Với Rl(f ) = Sl(f )Hl(f ) biểu diễn tần số thông thấp của tín hiệu đầu ra Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 23/ 73 Đáp ứng thông thấp của hệ thống băng hẹp (Tiếp) Với tín hiệu đầu ra thông thấp rl(t) = sl(t) ∗ hl(t) = ∫ ∞ −∞ sl(τ)hl(t − τ)dτ Cùng với r(t) = Re [ rl(t)ej2pifc t ] Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 24/ 73 1.4.Biểu diễn quá trình ngẫu nhiên dừng băng hẹp bằng các quá trình ngẫu nhiên thông thấp tương đương Trong các mục trên, đã xem xét các biểu diễn của tín hiệu tất định Với các tín hiệu ngẫu nhiên, các tham số đặc trưng sẽ là các hàm tự tương quan, hàm tự hiệp biến Cần định nghĩa quá trình ngẫu nhiên thông thấp tương đương và biểu diễn quá trình ngẫu nhiên băng hẹp theo quá trình ngẫu nhiên thông thấp. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 25/ 73 Bài toán Xem xét quá trình ngẫu nhiên dừng băng hẹp Dừng Băng hẹp: phổ tần số tập trung xung quanh sóng mang. Tần số sóng mang lớn hơn nhiều dải tần. Gọi n(t) là một hàm (tín hiệu) mẫu. n(t) có thể được biểu diễn băng hẹp bởi: n(t) = a(t) sin (2pifc t+θ(t)) = x(t) cos 2pifc t−jy(t) sin 2pifc t = Re(z(t)e2jpifc t) Trong đó a(t), θ(t), x(t), y(t) đều là các tín hiệu thông thấp, và là hàm mẫu của các quá trình ngẫu nhiên thông thấp tương ứng. Có thể thấy tất cả các QTNN này đều dừng, không những thế, các hàm tương quan của chúng có mối liên hệ đặc biệt để đảm bảo tính dừng của QTNN n(t). Có thể tạm coi QTNN z(t) = x(t) + jy(t) là QTNN thông thấp tương đương. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 26/ 73 Bài toán Xem xét quá trình ngẫu nhiên dừng băng hẹp Dừng Băng hẹp: phổ tần số tập trung xung quanh sóng mang. Tần số sóng mang lớn hơn nhiều dải tần. Gọi n(t) là một hàm (tín hiệu) mẫu. n(t) có thể được biểu diễn băng hẹp bởi: n(t) = a(t) sin (2pifc t+θ(t)) = x(t) cos 2pifc t−jy(t) sin 2pifc t = Re(z(t)e2jpifc t) Trong đó a(t), θ(t), x(t), y(t) đều là các tín hiệu thông thấp, và là hàm mẫu của các quá trình ngẫu nhiên thông thấp tương ứng. Có thể thấy tất cả các QTNN này đều dừng, không những thế, các hàm tương quan của chúng có mối liên hệ đặc biệt để đảm bảo tính dừng của QTNN n(t). Có thể tạm coi QTNN z(t) = x(t) + jy(t) là QTNN thông thấp tương đương. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 26/ 73 Bài toán Xem xét quá trình ngẫu nhiên dừng băng hẹp Dừng Băng hẹp: phổ tần số tập trung xung quanh sóng mang. Tần số sóng mang lớn hơn nhiều dải tần. Gọi n(t) là một hàm (tín hiệu) mẫu. n(t) có thể được biểu diễn băng hẹp bởi: n(t) = a(t) sin (2pifc t+θ(t)) = x(t) cos 2pifc t−jy(t) sin 2pifc t = Re(z(t)e2jpifc t) Trong đó a(t), θ(t), x(t), y(t) đều là các tín hiệu thông thấp, và là hàm mẫu của các quá trình ngẫu nhiên thông thấp tương ứng. Có thể thấy tất cả các QTNN này đều dừng, không những thế, các hàm tương quan của chúng có mối liên hệ đặc biệt để đảm bảo tính dừng của QTNN n(t). Có thể tạm coi QTNN z(t) = x(t) + jy(t) là QTNN thông thấp tương đương. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 26/ 73 Bài toán Xem xét quá trình ngẫu nhiên dừng băng hẹp Dừng Băng hẹp: phổ tần số tập trung xung quanh sóng mang. Tần số sóng mang lớn hơn nhiều dải tần. Gọi n(t) là một hàm (tín hiệu) mẫu. n(t) có thể được biểu diễn băng hẹp bởi: n(t) = a(t) sin (2pifc t+θ(t)) = x(t) cos 2pifc t−jy(t) sin 2pifc t = Re(z(t)e2jpifc t) Trong đó a(t), θ(t), x(t), y(t) đều là các tín hiệu thông thấp, và là hàm mẫu của các quá trình ngẫu nhiên thông thấp tương ứng. Có thể thấy tất cả các QTNN này đều dừng, không những thế, các hàm tương quan của chúng có mối liên hệ đặc biệt để đảm bảo tính dừng của QTNN n(t). Có thể tạm coi QTNN z(t) = x(t) + jy(t) là QTNN thông thấp tương đương. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 26/ 73 Bài toán Xem xét quá trình ngẫu nhiên dừng băng hẹp Dừng Băng hẹp: phổ tần số tập trung xung quanh sóng mang. Tần số sóng mang lớn hơn nhiều dải tần. Gọi n(t) là một hàm (tín hiệu) mẫu. n(t) có thể được biểu diễn băng hẹp bởi: n(t) = a(t) sin (2pifc t+θ(t)) = x(t) cos 2pifc t−jy(t) sin 2pifc t = Re(z(t)e2jpifc t) Trong đó a(t), θ(t), x(t), y(t) đều là các tín hiệu thông thấp, và là hàm mẫu của các quá trình ngẫu nhiên thông thấp tương ứng. Có thể thấy tất cả các QTNN này đều dừng, không những thế, các hàm tương quan của chúng có mối liên hệ đặc biệt để đảm bảo tính dừng của QTNN n(t). Có thể tạm coi QTNN z(t) = x(t) + jy(t) là QTNN thông thấp tương đương. Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 26/ 73 Hàm tự tương quan được tính theo công thức φnn(τ) = E [n(t)n(t + τ)] = E {[x(t) cos 2pifc t − jy(t) sin 2pifc t ] [x(t + τ) cos 2pifc(t + τ)− jy(t + τ) sin 2pifc(t + τ)]} = φxx(τ) cos 2pifc t cos 2pifc(t + τ) + φyy(τ) sin 2pifc t sin2pifc(t + τ) −φxy(τ) sin 2pifc t cos 2pifc(t + τ) + φyx(τ) cos 2pifc t sin 2pifc(t + τ) Chuyển tích lượng giác thành tổng: φnn(τ) = E [n(t)n(t + τ)] = = 12 [ φxx(τ) + φyy(τ) ] cos2pifcτ + 12 [ φxx(τ)− φyy(τ) ] cos2pifc(2t + τ) −12 [ φyx(τ)− φxy(τ) ] sin2pifcτ − 12 [ φyx(τ) + φxy(τ) ] sin2pifc(2t + τ) Để đảm bảo tính dừng của vế trái thì φxx(τ) = φyy(τ); φxy(τ) = −φyx(τ) Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 27/ 73 Hàm tự tương quan φnn(τ) = E [n(t)n(t + τ)] = = 12 [ φxx(τ) + φyy(τ) ] cos2pifcτ − 12 [ φyx(τ) + φxy(τ) ] sin2pifcτ = φxx(τ)cos2pifcτ − φxy(τ)sin2pifcτ φnn(τ) = φxx(τ)cos2pifcτ − φxy(τ)sin2pifcτ Trong khi đó φzz(τ) = 1 2 E [z(t)z∗(t + τ)] = 1 2 E [(x(t) + jy(t)) (x(t + τ)− jy(t + τ))] φzz(τ) = 1 2 [ φxx(τ)+φyy(τ) + j ( φyx(τ)−φxy(τ) )] = φxx(τ) + jφxy(τ) Vậy φnn(τ) = Re ( φzz(τ)e j2pifcτ ) Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 1. Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 28/ 73 2. Không gian tín hiệu 1 Biểu diễn thông thấp của tín hiệu và hệ thống truyền tin 2 Không gian tín hiệu Không gian vector Không gian tín hiệu Khai triển trực giao tín hiệu Xây dựng hệ thống trực chuẩn (Gram-Schmit) Quan hệ giữa các tín hiệu Ví dụ về khai triển trực giao tín hiệu 3 Biểu diễn các tín hiệu điều chế số Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 29/ 73 2.1.Không gian vector Vectơ n chiều [v1, v2, .., vn] Biểu diễn qua các vectơ đơn vị v = n∑ i=1 viei Tích vô hướng của hai vectơ [v1 = [v11v12..v1n] và v2 = [v21v22..v2n] là v1.v2 = n∑ i=1 v1iv2i Tập hợp m vectơ là trực giao nếu tích các cặp 2 vectơ đều bằng 0 Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 30/ 73 2.1.Không gian vector (Tiếp) Chuẩn của vectơ v ‖v‖ chính là độ dài của v ‖v‖ = √v.v = √√√√ n∑ i=1 v2i Bất đẳng thức tam giác ‖v1 + v2‖ ≤ ‖v1‖+ ‖v2‖ Bất đẳng thức Cauchy |v1.v2| ≤ ‖v1‖ . ‖v2‖ Công thức Pythagore cho 2 vecto trực giao ‖v1 + v2‖2 = ‖v1‖2 + ‖v2‖2 Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 31/ 73 2.1.Không gian vector (Tiếp) Biến đổi tuyến tính trong không gian vectơ v ′ = Avhay v ′ = λv Thuật toán xác định tập hợp các vector trực chuẩn từ tập hợp các vector 1 Chọn một vector đầu tiên, chuẩn hóa độ dài u1 = v1 ||v1|| 2 Chọn một vector thứ hai và tính vector trực chuẩn thứ 2 u′2 = v2 − (v2.u1).u1 sau đó u2 = u′2 ||u′2|| Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 32/ 73 2.1.Không gian vector (Tiếp) 3 Tiếp tục chọn vectơ thứ 3 u′3 = v3 − (v3.u1).u1 − (v3.u2).u2 rồi chuẩn hóa u3 = u′3 ||u′3|| 4 Quá trình tiếp tục như vậy cho đến khi kết thúc (thu được vecto 0, không còn vecto nào để chọn), thu được n1 vectơ trực chuẩn Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 33/ 73 2.2.Không gian tín hiệu Xét tập hợp tín hiệu phức trên khoảng thời gian [a,b] Tích vô hướng của hai tín hiệu được định nghĩa 〈x1 (t) , x2 (t)〉 = b∫ a x1(t)x ∗ 2(t)dt 2 tín hiệu trực giao nếu tích = 0 Chuẩn của tín hiệu được định nghĩa là ‖x (t)‖ = √√√√√ b∫ a |x(t)|2dt Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 34/ 73 2.2.Không gian tín hiệu (Tiếp) M tín hiệu là độc lập tuyến tính nếu không có tín hiệu nào biểu diễn được bằng tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu còn lại. Tín hiệu gọi là trực chuẩn nếu tích các cặp 2 tín hiệu bằng 0, chiều dài bằng 1 Bất đẳng thức tam giác ||x(t) + y(t)|| ≤ ||x(t)||+ ||y(t)|| Bất đẳng thức Cauchy∣∣∣∣∣∣ b∫ a x1(t)x ∗ 2(t)dt ∣∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∣∣ b∫ a |x1 (t)|2 dt ∣∣∣∣∣∣ 1/2 ∣∣∣∣∣∣ b∫ a |x2 (t)|2 dt ∣∣∣∣∣∣ 1/2 Chương 7: Lý thuyết tín hiệu 2. Không gian tín hiệu 35/ 73 2.3.Khai triển trực giao tín hiệu Xét s(t) là tín hiệu thực, có năng lượng hữu hạn Cs = +∞∫ −∞ [s(t)]2dt Xét tập hợp N hàm trực chuẩn fn(t),1 ≤ n ≤ N +∞∫ −∞ fn(t)fm(t)dt = { 0(m 6= n) 1(m = n) Chương 7: Lý thuyết t