Bài giảng Cơ sở tự động - Cơ sở toán học

Chương 2 CƠ SỞ TOÁN HỌC ThS. NGUYỄN XUÂN NGUYÊN Cơ sở toán họcChương 2 Đối tượng điều khiển rất đa dạng. Do đó cần có cơ sở toán học để phân tích, thiết kế các hệ điều khiển có bản chất vật lý khác nhau. I. Phương trình vi phân R Cv i(t) vo(t)i 9 Xét mạch RC như hình vẽ. 0viRv i +=Ta có: mà: dt dvCi o= nên: ioo vvdt dvRC =+ 9 Xét hệ vật - lò xo - đệm như hình vẽ. Theo định luật 2 Newton, ta có: amFh GG = mà: 2 2 dt xd dt dva == dt dxCKxFCvKxFFh −−=−−= nên: 2 2 dt xdm dt dxCKxF =−− ⇒ FKx dt dxC dt xdm =++2 2 I. Phương trình vi phân m F(t) o x Một cách tổng quát, quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính liên tục có thể được biểu diễn dạng phương trình vi phân: r(t) c(t) Hệ TTLT )t(rb dt )t(drb... dt )t(rdb dt )t(rdb )t(ca dt )t(dca... dt )t(cda dt )t(cda mmm m m m nnn n n n ++++ =++++ −− − −− − 11 1 10 11 1 10 I. Phương trình vi phân 9 Việc khảo sát hệ thống dựa vào phương trình vi phân bậc cao thường gặp nhiều khó khăn. 9 Phương pháp hàm truyền đạt mô tả hệ thống giúp cho việc khảo sát dễ dàng hơn bằng việc chuyển quan hệ phương trình vi phân thành quan hệ phân thức đại số nhờ phép biến đổi Laplace. I. Phương trình vi phân II. Biến đổi Laplace 1. Định nghĩa 9 Cho f(t) xác định với mọi t ≥ 0, biến đổi Laplace của f(t) được xác định: ∫+∞ −== 0 dte).t(f)s(F)}t(f{L st Trong đó s = σ+jω là biến Laplace L là toán tử Laplace II. Biến đổi Laplace 2. Tính chất 9 Tính tuyến tính )s(bF)s(aF)}t(bf)t(af{L 2121 +=+ 9 Định lý chậm trễ )s(Fe)}t(f{Le)}Tt(f{L TsTs −− ==− II. Biến đổi Laplace 9 Ảnh của đạo hàm )(f)s(sF dt )t(dfL +−=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ 0 9 Ảnh của tích phân 9 Định lý giá trị cuối s )s(Fdt)t(fL t = ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧∫ 0 0 lim ( ) lim ( ) t s f t sF s→+∞ →= II. Biến đổi Laplace 3. Biến đổi Laplace ngược 1{ ( )} ( )L F s f t− = Cho hàm số phức F(s), biến đổi Laplace ngược của hàm số F(s) được ký hiệu là: Thông thường để tìm biến đổi Laplace ngược, ta thực hiện biến đổi F(s) về dạng cơ bản, sau đo sử dụng bảng tra biến đổi Laplace. II. Biến đổi Laplace 4. Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản 9 Hàm nấc đơn vị u(t) t O 1 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ < ≥ = 00 01 tif, tif, )t(u s )}t(u{L 1=⇒ II. Biến đổi Laplace 9 Hàm xung đơn vị ∂(t) t O ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =∞ ≠ = 0 00 tif, tif, )t(δ Và thoả hệ thức: ∫+∞ ∞− = 1dt)t(δ 1=⇒ )}t({L δ II. Biến đổi Laplace 9 Hàm dốc đơn vị r(t) t O 1 1 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ < ≥ == 00 0 tif, tif,t )t(tu)t(r 2 1 s )}t(u.t{L =⇒ Dùng tính chất tích phân, chứng minh được: 1+= nn s !n)}t(u.t{L II. Biến đổi Laplace 9 Hàm số mũ u(t) t O 1 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ < ≥ == − − 00 0 tif, tif,e )t(ue)t(f at at as )}t(u.e{L at +=⇒ − 1 II. Biến đổi Laplace 9 Hàm số sin ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ < ≥ = 00 0 tif, tif,tsin )t(f ω 22 ω ωω +=⇒ s)}t(u.t{sinL u(t) t O 1 II. Biến đổi Laplace 9 Hàm số cosin ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ < ≥ = 00 0 tif, tif,tcos )t(f ω 22 ωω +=⇒ s s)}t(u.t{cosL u(t) t O 1