Bài giảng Đại số tuyến tính (Bản mới)

NhNh ắắcc ll ạạii TT OÁOÁ NN ĐĐạạii ss ốố tuytuy ếếnn tt íínhnh DàDà nn bb ààii
Khá i ni ệm ma tr ận, vector
Một s ố toá n t ử ◦ Cộng 2 ma tr ận ◦ Nhân 2 ma tr ận ◦ Căn b ậc 2 ◦ Nghị ch đảo ma tr ận ◦ Trace, định th ức
Ví dụ KháKhá ii nini ệệmm
ma tr ận n×m đượ c định ng hĩ a b ởi a11 ... a1m  A  M O M  = [aij ] =     an1 ... anm 
Một vector cột n -chi ều đượ c định ng hĩ a b ởi a1   M  a =   ≡ col (ai )   an 
Ở đây, khi n ói đế n vector l à vector c ột KháKhá ii nini ệệmm (tt)(tt)
Chuy ển v ị củ a m ột ma tr ận A n×m chi ều l à ma tr ận A’ m×n chi ều a11 ... an1  A  M O M  '= [a'ij ] = [a ji ] =     a1m ... anm 
Do đó, chuy ển v ị củ a m ột vector c ột a n- chi ều l à một vector d òng K a'= [a1 an ]≡ row (ai ) KháKhá ii nini ệệmm (tt)(tt)
ma tr ận đối x ứng l à ma tr ận có chuy ển v ị bằng ch ính n ó A = A'
A là ma tr ận vuông có aij = a ji ∀i, j DàDà nn bb ààii
Khá i ni ệm ma tr ận, vector
Một s ố toá n t ử ◦ Cộng 2 ma tr ận ◦ Nhân 2 ma tr ận ◦ Căn b ậc 2 ◦ Nghị ch đảo ma tr ận ◦ Trace, định th ức
Ví dụ CCộộngng mama trtr ậậnn vàvà NhânNhân vvớớii 11 ss ốố
Nhân với m ột s ố ka 11 ... ka 1m  A A  M O M  = [aij ], k = [ka ij ] =     ka n1 ... ka nm 
Cộng 2 ma tr ận cù ng k ích th ướ c n×m A B C A B = [aij ], = [bij ], = + = [aij + bij ] C A B
Do đó = α + β = [αaij + βbij ] NhânNhân 22 mama trtr ậậnn
Nhân ma tr ận A n×m với ma tr ận B m×p đượ c ma tr ận C n×p m C AB = = [cij ], cij = ∑ aik bkj i =1n .., j =1 ..p k=1
Tí ch ch ất C'= (AB )' = B'A' TraceTrace
Trace c ủa m ột ma tr ận vuông A n×n đượ c định ng hĩ a b ởi n A (tr ) = ∑ aii i=1
Tí nh ch ất (tr A) = (tr A )' (tr AB ) = (tr BA ) CCăănn bb ậậcc 22
Căn b ậc 2 củ a m ột ma tr ận vuông A là A1/2 đượ c định ng hĩ bởi A 2/1 A 2/1 = A
Về mặt t ổng qu át, c ăn b ậc 2 nà y không nh ất thi ết l à duy nh ất. NghịNghị chch đđảảoo
Nghị ch đảo c ủa m ột ma tr ận vuông A là A-1 đượ c cho b ởi A−1A = I 1 0 K 0   0 1 K 0 I =   M M O M   0 0 K 1
Khi n ào t hì một ma tr ận vu ông có nghị ch đảo? (b ài t ập) ĐĐịịnhnh thth ứứcc
Gọ i A ij là ma tr ận có đượ c khi b ỏ đi d òng i, c ột j c ủa ma tr ận A .
Định th ức c ủa ma tr ận vuông n×n A, k ý hi ệu l à |A| đượ c định ng hĩ a h ồi quy nh ư sau n 1+ j A = ∑(− )1 a1 j . A1 j j=1 [a] = k ĐĐịịnhnh thth ứứcc (tt)(tt)
Tí nh ch ất kA = k n A AB = A B A' = A DàDà nn bb ààii
Khá i ni ệm ma tr ận, vector
Một s ố toá n t ử ◦ Cộng 2 ma tr ận ◦ Nhân 2 ma tr ận ◦ Căn b ậc 2 ◦ Nghị ch đảo ma tr ận ◦ Trace, định th ức
Ví dụ