Bài giảng Đại số tuyến tính - Ma trận hệ phương trình tuyến tính

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH MA TRẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Định nghĩa ma trận æ ö ça11 a 12K a 1n ÷ • Một ma trận A cấp ç ÷ mxn là một bảng ça aL a ÷ ç 21 22 2n ÷ số hình chữ nhật A = ç ÷ ç MMOM ÷ gồm mxn phần tử, ç ÷ ça aL a ÷ gồm m hàng và n èç m1 m 2 m n ø÷ cột. éa aK a ù ê11 12 1n ú êa aL a ú ê21 22 2n ú hay A = ê ú êMMOM ú êa aL a ú ëêm1 m 2 m n ûú Định nghĩa ma trận • Ký hiệu ma trận: A= é a ù ëêij ûúm´ n • Ví dụ: æ ö ç1 2- 7 0 ÷ ç ÷ ç ÷ A =ç4 5 7 - 1÷ ç÷ èç0 2 8 9÷ ø Ma trận vuông • Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n. æa aK a ö ç 11 12 1n ÷ ç ÷ ça aL a ÷ A=ç 21 22 2n ÷ = é a ù ç ÷ êij ú ç MMOM ÷ ë ûn´ n ç ÷ ça aL a ÷ èç n1 n 2 nn ÷ ø • Đường chéo chính gồm các phần tử: a11, a 22 , ..., a nn Các dạng ma trận đặc biệt 1. Ma trận không: 2. Ma trận hàng 3. Ma trận cột 4. Ma trận tam giác trên 5. Ma trận tam giác dưới 6. Ma trận chéo 7. Ma trận đơn vị 8. Ma trận bậc thang Ma trận không • Tất cả các phần tử đều bằng 0. • Ký hiệu: 0 hay 0mxn æ0 0L 0 ö ç ÷ ç ÷ ç0 0L 0÷ 0=ç ÷ = 0 m´ n çM MO M ÷ ç ÷ ç ÷ èç0 0L 0 ø÷ Ma trận hàng, cột • Ma trận hàng: chỉ có một hàng • Ma trận cột: chỉ có một cột æ1 ö ç ÷ ç ÷ ç 2 ÷ AB=1 2 3 - 4 5 = ç ÷ ( ) ç- 4 ÷ ç ÷ ç ÷ èç 5÷ ø Ma trận tam giác trên æ1 2 3 4÷ ö æ1 2 3 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç0 0 2 1÷ AB=ç0 4 5 ÷ = ç ÷ ç ÷ ç0 0 8 9 ÷ ç ÷ ç ÷ èç0 0 6 ø÷ ç ÷ èç0 0 0 4 ÷ ø • Ma trận vuông • Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0 Ma trận tam giác dưới æ ö ç1 0 0 0÷ æ1 0 0 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç2 0 0 0÷ AB=ç3 4 0 ÷ = ç ÷ ç ÷ ç0 6 8 0 ÷ ç÷ ç ÷ èç5 0 6 ÷ ø ç ÷ èç9 3 1 4 ø÷ • Ma trận vuông • Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 Ma trận chéo æ1 0 0 0 ÷ ö æ1 0 0 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ æ ö ç ÷ ç0 0 0 0÷ ça 0÷ ABC=ç0 4 0 ÷ =ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç0 0 8 0 ÷ ç 0 b ÷ ç÷ ç ÷ èç ø èç0 0 6 ÷ ø ç ÷ èç0 0 0 4 ÷ ø • Ma trận vuông • Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0 • Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0 Ma trận đơn vị æ1 0 0 0÷ ö æ1 0 0 ö ç ÷ æ ö ç ÷ ç ÷ ç1 0÷ ç ÷ ç 0 1 0 0÷ III=ç ÷ =ç0 1 0÷ = ç ÷ 2ç0 1÷ 3ç ÷ 4 ç 0 0 1 0 ÷ èç ø ç÷ ç ÷ èç0 0 1 ÷ ø ç ÷ èç0 0 0 1÷ ø • Ma trận chéo • Các phần tử chéo đều bằng 1. • Ký hiệu: In là ma trận đơn vị cấp n Ma trận bậc thang • Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng kể tử bên trái gọi là phần tử cơ sở của hàng đó. • Ma trận bậc thang: – Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng. – Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải (không cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên. Ví dụ 1 æ2 1 0 0 ö ç ÷ ç ÷ ç0 0 7- 1 ÷ Không là bậc A = ç ÷ ç0 4 8 9 ÷ thang ç ÷ ç ÷ èç0 0 0 9÷ ø æ ö ç3 1 0 0 3÷ ç ÷ ç ÷ Không là bậc B = ç0 0 0 1 2÷ ç÷ thang èç0 0 0 9- 1 ÷ ø Ví dụ 2 æ2 1 0 0 ö ç ÷ ç ÷ bậc thang ç0 4 8 9÷ C = ç ÷ ç0 0 7- 1 ÷ ç ÷ ç ÷ èç0 0 0 0 ø÷ æ ö ç3 1 0 0 3÷ ç ÷ D = ç0 0 3 1 2÷ ç ÷ bậc thang ç÷ èç0 0 0 9- 1 ÷ ø Các dạng phép toán trên ma trận 1. Ma trận bằng nhau 2. Cộng hai ma trận cùng cấp 3. Nhân một số với ma trận 4. Nhân hai ma trận 5. Ma trận chuyển vị 6. Lũy thừa của một ma trận Hai ma trận bằng nhau • Nếu các phần tử tương ứng bằng nhau. æa1 ö÷ æ- 2 d ö÷ AB=ç÷ = ç ÷ ç÷ ç ÷ èçb c ø÷ èç 4 5 ø÷ ïì a = - 2 ï ï 1 = d AB= Û íï ï b = 4 ï ï c = 5 îï Cộng hai ma trận • Cộng các phần tử tương ứng với nhau æa1÷ ö æ- 2 d ÷ö AB=ç÷ = ç ÷ ç÷ ç ÷ èçb c ÷ ø çè4 5 ÷ø æa-2 1 + d ö÷ AB+ = ç ÷ ç ÷ èçb+4 c + 5 ø÷ • Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp Nhân một số với ma trận • Nhân số đó vào tất cả các phần tử æa1÷ ö æ- 2 d 6 ÷ö AB=ç÷ = ç ÷ ç÷ ç ÷ èçb c÷ ø èç 4 5 f ÷ø æ2a 2 ÷ ö 2A = ç ÷ ç ÷ èç2b 2 c÷ ø æ- 2k dk 6 k ö÷ kB = ç ÷ ç ÷ èç 4k 5 k fk ø÷ Ví dụ æ ö æ ö ç1 2 3 4÷ ç 0 2 10 4 ÷ ç÷ ç ÷ ç÷ ç ÷ AB=ç8 7 5 3÷ = ç - 1 7 6 0 ÷ ç ÷ ç ÷ èç2 3 0 1 ø÷ èç 2-- 3 2 4 ø÷ a) A+ B b) 2 A- 3 B 1 2 c) A+ B 3 7 Phép nhân hai ma trận • Cho 2 ma trận: ABm´ n; n ´ k • Khi này ma trận A nhân được với ma trận B ABCm´n . n ´ k= m ´ k • Điều kiện: số cột ma trận trước bằng số dòng ma trận sau. Qui tắc nhân • Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằng hàng i của ma trận đầu nhân với cột j của ma trận sau. cij = (hang i)( cot j ) CAB Ví dụ • Các ma trận nào nhân được với nhau? æ ö æ ö ç1 2 3 4÷ ç 0 2 10 4 ÷ ç÷ ç ÷ ç÷ ç ÷ AB=ç8 7 5 3÷ = ç - 1 7 6 0 ÷ ç÷ ç ÷ èç2 3 0 1÷ ø çè 2-- 3 2 4 ÷ø æ1- 2 ö ç ÷ ç ÷ æ ö ç2 4÷ ç 1 2 3÷ CD=ç ÷ = ç ÷ ç0-- 1 ÷ ç 2 4 1÷ ç ÷ èç ø ç ÷ èç3 7÷ ø Định thức • Cho ma trận A vuông, cấp n. • Định thức của ma trận A, ký hiệu: det (A) hay A • Đây là một số thực, được xác định như sau: A= a thìdet A = a ( 11)1´ 1 ( ) 11 æ ö ça11 a 12 ÷ A=ç ÷ thìdet( A) = a . a - a . a ça a ÷ 11 22 21 12 è21 22 ø2´ 2 Định thức cấp n≥3 • Dùng phần bù đại số æa a...... a ö ç 11 12 1n ÷ ç ÷ ça a...... a ÷ A = ç 21 22 2n ÷ ç............................. ÷ ç ÷ ç ÷ çan1 a n 2 ...... a nn ÷ è øn´ n • Ma trận phụ hợp của phần tử aij, ký hiệu Mij là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j. Ví dụ • Cho ma trận: æ3 21 0 9 ö ç ÷ ç ÷ ç1 7-- 1 2÷ A = ç ÷ ç2 14 0 6 ÷ M23=??? ç ÷ ç ÷ ç6 42- 1 13 ÷ è ø4´ 4 æ ö ç3 21 9÷ ç ÷ MM=boûhaøng 2 vaø coät 3 Þ = ç2 14 6÷ 23( ) 23 ç ÷ ç ÷ èç6 42 13 ø÷ Phần bù đại số • Phần bù đại số của phần tử aij ký hiệu và xác định như sau: i+ j AMij=( - 1) det ( ij ) i+ j AMij=( - 1) ij Khai triển định thức • Định thức của ma trận vuông cấp n: det(A)= a11 . A 11 + a 12 . A 12 + ... + a 1n A 1 n • Đây là khai triển theo dòng 1. • Ta có thể khai triển dòng bất kỳ. det(A)= ai1 . A i 1 + a i 2 . A i 2 + ... + a in A in Ví dụ • Tính định thức ma trận sau: æ1 2 3 4 ö÷ æ1 2 3 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 0 5 7 6÷ AB=ç 0 5 7 ÷ = ç ÷ ç ÷ ç- 1 2 8 5 ÷ ç ÷ ç ÷ èç- 1 2 8 ø÷ ç ÷ èç 0 0 0 2 ø÷ Định thức cấp 3 • Ta dùng qui tắc sau: det(A)=( a11 . a 22 . a 33 + a 12 . a 23 . a 31 + a 13 . a 21 . a 32 ) -(a31...... a 22 a 13 + a 32 a 23 a 11 + a 33 a 21 a 12 ) æa a a ö a a ç 11 12 13÷ 11 12 ç ÷ A= ç a a a÷ a a ç 21 22 23÷ 21 22 ça a a ÷ a a èç 31 32 33 ø÷ 31 32 Ví dụ • Tính lại định thức ma trận sau: æ ö æ ö ç 1 2 3÷ ç 1 2 1÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ AC=ç 0 5 7÷ = ç 0 1 0 ÷ ç÷ ç÷ èç- 1 2 8 ÷ ø èçm(2 m - 2) 2 ÷ ø æ ö æ ö ç5 7 6÷ ç 0(m + 1) 1 ÷ ç÷ ç ÷ ç÷ ç ÷ BD=ç -1 2 5÷ = ç - 1 2 2 ÷ ç÷ ç ÷ èç0 3 9÷ ø çè 3m 3 ÷ø Tính chất của định thức 1. Ta có thể khai triển theo dòng hay cột bất kỳ để tính định thức. 2. det(A)=det(AT) 3. det(AB)=det(A). det(B) 4. det(kA)=kndet(A) 5. Đổi chỗ hai dòng(cột) của định thức thì định thức đổi dấu. 6. Nhân một dòng, một cột với số k khác không thì định thức tăng lên k lần. Tính chất của định thức 7. Nếu thực hiện phép biến đổi sơ cấp thứ 3 thì định thức không thay đổi. 8. Nếu định thức có một dòng, một cột bằng 0 thì định thức bằng 0. 9. Nếu 2 dòng (cột) tỷ lệ thì định thức bằng 0. 10.Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. 11.Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì tách tổng 2 định thức Tính chất 11 Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì tách tổng 2 định thức 12+ 6 3 1 2 3 1 6 3 05+14 7 = 0 5 7 + 0 14 7 -12 +16 8 - 12 8 - 1 16 8 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2+ 3 4 + 6 5 + 7 =2 4 5 + 3 6 7 10 12 5 10 12 5 10 12 5 Ma trận nghịch đảo • Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho: ïì ABI. = ï n í ï BAI. = îï n • Khi này B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A. Ký hiệu: A-1 Tính chất i)A khaûnghòchÛ toàn taïi ma traän nghòch ñaûo A - 1 --1 1 ii) AAAAI..= = n iii) M a traän nghòch ñaûo cuûa ma traän A (neáu coù) thì duy nhaát, vaø: - 1 (A - 1 ) = A Tính chất iv) Cho A, B, C laø caùc ma traän khaû nghòch thì: - 1 (ABBA) = --1.; 1 - 1 (ABCCBA) = ---1 1 1 v) Neáu A khaû nghòch thì AT cuõng khaû nghòch: - 1 T (AAT ) = ( - 1 ) 1 vi) det (A - 1 )= det (A ) Điều kiện để ma trận khả nghịch • Cho ma trận A vuông cấp n. Ta có: i)AAI khaûnghòch Û : n ii)A khaûnghòch Û r( A) = n iii)AA khaûnghòch Ûdet( ) ¹ 0 iv)AA khoâng khaûnghòch Ûdet( ) = 0 Cách tìm ma trận nghịch đảo • Phương pháp Gauss – Jordan • Phương pháp Định thức Ma trận nghịch đảo_1 • Ta có: 1 AC- 1 = T det A • Với C là ma trận chứa các phần bù đại số của A. i+ j • Ma trận cC gọi= Alà ma =( -trận1) phụ det hợp M của ma trận A ijij ij Ví dụ 1 • Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu æ ö có ç- 3 4 6 ÷ ç ÷ ç ÷ A = ç 0 1 1 ÷ ç÷ èç 2-- 3 4÷ ø det(A )= ??? Ví dụ 1 • Tìm ma trận phụ hợp của A: 1 1 0 1 0 1 c= + = c = - = c = + = 11----3 4 12 2 4 13 2 3 4 6-- 3 6 3 4 c= - = c = + = c = - = 21----3 4 22 2 4 23 2 3 4 6-- 3 6 3 4 c= + = c = - = c = + = 311 1 32 0 1 33 0 1 Giải phương trình ma trận a) Xét phương trình: A.X=B Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B b) Xét phương trình: X.A=B Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=B.A-1 c) Xét phương trình: A.X.C=B Giả sử A, C khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B.C-1 Nhân tương ứng từng phía theo thứ tự của phương trình. Kiểm tra 30’ • 1) Thực hiện phép tính æ ö æ ö ç1 2 3 4÷ ç 0 2 10 4 ÷ ç÷ ç ÷ ç÷ ç ÷ AB=ç8 7 5 3÷ = ç - 1 7 6 0 ÷ ç ÷ ç ÷ èç2 3 0 1 ø÷ èç 2-- 3 2 4 ø÷ 1 2 a) A+ B b ) 2 A - 3 B c ) A + B 3 7 Kiểm tra 30’ • 2. Tính định thứcæ ö ç 0(m + 1) 1 ÷ ç ÷ ç ÷ D =ç - 1 2 2 ÷ ç ÷ èç 3m 3 ø÷ • 3. Tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có): æ ö ç- 3 4 6 ÷ ç ÷ ç ÷ A = ç 0 1 1 ÷ ç÷ èç 2-- 3 4÷ ø Ví dụ • Giải các phương trình sau: æ1 2÷ ö æ 3 5 ÷ö a).ç÷ X = ç ÷ ç÷ ç ÷ èç3 4÷ ø èç 5 9 ÷ø æ3- 10÷ ö æ 5 6 ÷ö æ 4 16 ÷ö b)..ç÷ X ç ÷= ç ÷ ç÷ ç ÷ ç ÷ èç5 2÷ ø èç 7 8 ÷ø èç 9 10 ÷ø Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 1. Đổi chỗ hai dòng với nhau di« d j 2. Thay một dòng bởi dòng đó nhân với một số khác 0 di® k. d i 3. Thay một dòng bởi dòng đó cộng với dòng khác nhân với một số. di® d i + l . d j 4. Tổng hợp: di® k.. d i + l d j Ví dụ • Thực hiện phép biến đổi ma trận: æ1 2 3 4 ö ç ÷ ç ÷ d« d d® d - 2 d A =ç8 7 5 3÷ ¾¾¾¾®2 3 ? ¾¾¾¾¾®2 2 1 ?? ç ÷ d3® d 3 - 8 d 1 ç÷ èç2 3 0 1 ÷ ø d® - d+ 9 d ??'¾ ¾3 ¾ ¾ 3 ¾ 2 ® A • Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương dòng với ma trận A. Ký hiệu: A’ ~ A Hạng của ma trận • Hạng của ma trận A là số dòng khác 0 của ma trận bậc thang của ma trận A. • Ký hiệu: r(A) hay rank(A) • Ma trận bậc thang của A: A→..bdsc theo dòng →A’ (có dạng bậc thang) Ví dụ • Tìm hạng của ma trận æ3 21 0 9 0 ö ç ÷ ç ÷ ç1 7--- 1 2 1÷ A = ç ÷ ç2 14 0 6 1 ÷ ç ÷ ç ÷ èç6 42- 1 13 0÷ ø Tính chất i) r( A)= r( A T ) ii) A: BthìrA( )= rB( ) iiiA)=é a ù thìrA( ) £ m in( mn , ) ëêij ûúm´ n Hệ phương trình tuyến tính • Dạng tổng quát ïì a x+ a x +... + a x = b ï 11 1 12 2 1n n 1 ï a x+ a x +... + a x = b íï 21 1 22 2 2n n 2 ï ............................................... ï ï a x+ a x +... + a x = b îï m1 1 m 2 2 m n n m Hệ phương trình tuyến tính • Dạng ma trận æa a... a ö æ x ö æ b ö ç11 12 1n ÷ ç 1 ÷ ç 1 ÷ ç÷ ç ÷ ç ÷ ça a... a÷ ç x ÷ ç b ÷ ç21 22 2n ÷´ ç 2 ÷ = ç 2 ÷ ç...................... ÷ ç ... ÷ ç ... ÷ ç÷ ç ÷ ç ÷ ça a... a÷ ç x ÷ ç b ÷ èçm1 m 2 m n ø÷ èç n ø÷ èç m ø÷ AXB´ = Hệ phương trình tuyến tính • Dạng ma trận AXB´ = • Ma trận A gọi là ma trận hệ số. • X: ma trận cột các ẩn số • B: ma trận cột các hệ số tự do • Nghiệm của phương trình là một bộ số: (x1, x 2 ,..., xn)= ( c 1 , c 2 ,..., c n ) Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình đều thỏa mãn. Định lý Cronecker – Capeli Cho phöông trình: AXB´ = Ñaët : AAB= ( ): ma traän boå sung cuûa ma traän A Tìm haïng cuûa ma traän AA; Định lý Cronecker – Capeli i) Heä pt coù nghieäm duy nhaát Ûr( A) = r( A) = n ii) Heä pt coù voâ soá nghieäm Ûr( A) = r( A) < n iii) Heä pt voâ nghieäm Ûr( A) ¹ r( A ) iv) Heä pt coù nghieäm Ûr( A) = r( A ) Ví dụ • Hệ phương trình sau có nghiệm hay vô nghiệm ïì x-2 x + x = 2 ï 1 2 3 ï 2x+ x - 4 x = - 1 íï 1 2 3 ï 3x- 4 x - x = 0 ï 1 2 3 ï x+2 x + 4 x = 1 îï 1 2 3 Cách giải hpt tuyến tính • Phương pháp Gauss – Jordan • Phương pháp Cramer • Phương pháp ma trận nghịch đảo Phương pháp Gauss – Jordan i) L aäp ma traän boå sung AAB= ( ) . ii) Ñöa ma traän boå sung veà daïng baäc thang baèng bieán ñoåi sô caáp treân doøng. bdsc dong ¢ AABAAB=( ) ¾ ¾ ¾ ¾®r = ( r ) iii) Nghieäm cuûa heä cuoái laø nghieäm cuûa heä ñaàu. iv) Giaûi nghieäm töø döôùi leân treân. Ví dụ • Giải hệ phương trình sau: ïìx-2 x + x = 2 ïì 3 x + 2 y - 4 z = 8 ï1 2 3 ï ï2x+ x - 4 x = - 1 ï 2 x + 4 y - 5 z = 11 a))íï1 2 3 b íï ï3x- 4 x - x = 0 ï 4 x - 3 y + 2 z = 1 ï1 2 3 ï ïx+2 x + 4 x = 1 ï 6 x + 7 y - z = 10 îï1 2 3 îï Đề thi mẫu • Câu 5. Cho hệ phương trình: ïì 2x+ 3 y + z = 0 ï íï 3x+ 2 y - z = 7 m Î R ï ( ) ï x- y + mz = m 3 îï • a) Giải hpt với m=1 • b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. Phương pháp Cramer • Điều kiện: số ẩn bằng số phương trình æa a... a ö æ x ö æ b ö ç11 12 1n ÷ ç 1 ÷ ç 1 ÷ ç÷ ç ÷ ç ÷ ça a... a÷ ç x ÷ ç b ÷ ç21 22 2n ÷´ ç 2 ÷ = ç 2 ÷ ç...................... ÷ ç ... ÷ ç ... ÷ ç÷ ç ÷ ç ÷ ça a... a÷ ç x ÷ ç b ÷ èçn1 n 2 nn ø÷ èç m ø÷ èç n ø÷ • Ma trận Ai là ma trận có được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ i bằng cột hệ số tự do. Phương pháp Cramer æ ö æ ö • Ví dụ: A1 ça11 a 12... a 1n ÷ ç b 1 ÷ ç÷ ç ÷ • Thay cột ça a... a÷ ç b ÷ ç21 22 2n ÷ ç 2 ÷ 1 bằng AB=ç÷ = ç ÷ ç......................÷ ç ... ÷ cột hệ số ç÷ ç ÷ ça a... a÷ ç b ÷ tự do èçn1 n 2 nn÷ ø èç n ÷ø æb a... a ö ç 1 12 1n ÷ ç ÷ çb a... a ÷ A = ç 2 22 2n ÷ 1 ç......................÷ ç ÷ çb a... a ÷ èç n n2 nn ø÷ Phương pháp Cramer Ñaët: D =det(AAA) ; D1 = det( 1 ) ;...; Dn = det ( n ) i)NeáuD ¹ 0 thì heä coù nghieäm duy nhaát: D x = i i D ii)Neáu D = 0 vaø toàn taïi Di ¹ 0 thì heä voâ nghieäm. ii)Neáu D = D1 = ... = Dn = 0 thìheä voâ nghieäm hoaëc voâ soá nghieäm. Ta giaûi tieáp baèng phöông phaùp Gauss. Ví dụ • Giải và biện luận hệ phương trình sau ïì ïì ï mx1+ x 2 + x 3 =1ï ax + y + z = 4 ï ï ax)í+ mx + x = m bxbyz ) íï + + = 8 ï1 2 3 ï ïx+ x + mx = m 2 ï x+2 by + z = 4 îï1 2 3 ïî Đề thi mẫu • Câu 5. Cho hệ phương trình: ïì 2x+ 3 y + z = 0 ï íï 3x+ 2 y - z = 7 m Î R ï ( ) ï x- y + mz = m 3 îï • a) Giải hpt với m=1 • b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. Phương pháp ma trận nghịch đảo • Ma trận A vuông hay số phương trình bằng số ẩn. AXB. = • Nếu ma trận A khả nghịch thì: AXBXAB..= Û = - 1 Ví dụ • Giải phương trình sau ïì x+2 x + 2 x = 1 ï 1 2 3 íï 2x+ 3 x + 6 x = 1 ï 1 2 3 ï x- x +7 x = m îï 1 2 3 Hệ pt tuyến tính thuần nhất • Dạng: ïì a x+ a x +... + a x = 0 ï 11 1 12 2 1n n ï a x+ a x +... + a x = 0 íï 21 1 22 2 2n n ï ............................................... ï ï a x+ a x +... + a x = 0 îï m1 1 m 2 2 m n n Hệ pt tuyến tính thuần nhất • Dạng: æa a... a ö æ x ö æ 0 ö ç11 12 1n ÷ ç 1 ÷ ç ÷ ç÷ ç ÷ ç ÷ ça a... a÷ ç x ÷ ç 0 ÷ ç21 22 2n ÷´ ç 2 ÷ = ç ÷ ç...................... ÷ ç ... ÷ ç ... ÷ ç÷ ç ÷ ç ÷ ça a... a÷ ç x ÷ ç 0 ÷ èçm1 m 2 m n ø÷ èç m ø÷ èç ø÷ AX´ = 0 Định lý • Hệ luôn có 1 nghiệm dạng: (x1, x 2 ,..., xn )= ( 0,0,...,0) • Đây gọi là nghiệm tầm thường của hệ. • Nếu r(A)=n thì hệ chỉ có nghiệm tầm thường. • Nếu r(A)<n thì hệ có vô số nghiệm. Định lý • Nếu m=n thì: • Nếu det(A)=0 thì hệ chỉ có nghiệm tầm thường. • Nếu det(A)≠0 thì hệ có vô số nghiệm. Ôn thi • Tìm ma trận X biết 2 2 0  1 2 5      1 1 5  X   0 7 6    1 2 3  2 1 3  Bài 1 • Cho hai ma trận: 1 2 3   1 2  1      AB3 2  4    3  1 0      2 1 0   2 1 1  • Tìm ma trận nghịch đảo của A. • Tìm X biết: X.A=3B Bài 2 • Giải hệ phương trình sau x1 x 2  x 3  x 4  0  3x1 x 2  x 3  2x 4  5  5x1 x 2  x 3  4  7x1 x 2  x 3  3x 4  10 Bài 2 • Giải hệ phương trình sau 2x y  3z  9  x  y  z  6   a) 3x 5y  z  4 b)  2x  3y  4z  21   4x 7y  z  5  7x  y  3z  6 2x1 2x 2  x 3  x 4  4  4x1 3x 2  x 3  2x 4  6 c) 8x1 5x 2  3x 3  4x 4  12  3x1 3x 2  11x 3  5x 4  6 Bài 3 • Tìm m để ma trận sau khả nghịch 1 1 m    A 1 m 1    1m 1 m  1  Bài 4 • Tìm m để hệ là hệ Crammer • Giải nghiệm của hệ mx y  z 1  x my  z 1  x y  mz 1 Bài 5 • Tìm điều kiện để các hệ sau có nghiệm không tầm thường. 2xyz0   ax3y2z02      a)xy2z0   b)axyz0       5xyaz0   8xy4z0    Bài 6 • Giải và biện luận theo m mx y  z  1  mx  y  z  m   a)x my  z  1 b)2x   (m1)y   (m1)z   m1    x y  mz  1  x  y  mz  1 Bài 7 • Tìm để hệ có nghiệm duy nhất x y  mz  1  x my  z  a  x (m  1)y  (m  1)z  b • Tìm a để hệ trên có nghiệm với mọi m Bài 2 • Giải và biện luận  x x  mx  m  1 2 3 mx12 x 2  2 m  2 x 3  4  2  x1 x 2 3 x 3   m  3 m  3