Bài giảng điện tử hồi qui thực nghiệm và phần mềm Rigmath

HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH KHÁI NIỆM VỀ PHÉP PHÂN TÍCH HỒI QUY Mô tả mối quan hệ của các yếu tố trong một quá trình kỹ thuật: Cân nhắc lựa chọn mô hình toán học thích hợp Quá trình tính toán – lượng thông tin dữ liệu thực nghiệm cần thiết Thực tế như đo đạc, quan sát và lấy mẫu, … diễn ra rất phức tạp & phụ thuộc vào nhiều yếu tố KHÁI NIỆM VỀ PHÉP PHÂN TÍCH HỒI QUY Khi xây dựng mô hình toán học: Mục tiêu nghiên cứu phải xác định rõ ràng Được lượng giá một cách định lượng qua các phép đo thực nghiệm bởi hàm mục tiêu Hàm mục tiêu – thông số tối ưu hóa– biến phụ thuộc được đo trong thực nghiệm: Dạng tổng quát: y = f (x1, x2, x3,…, xi) xi (i=1:k): các yếu tố độc lập – biến độc lập thay đổi trong thực nghiệm KHÁI NIỆM VỀ PHÉP PHÂN TÍCH HỒI QUY Thực tế, việc thiết lập cụ thể mối tương quan Không cần biết đầy đủ cơ chế của quá trình Phải xác định các hệ số tương ứng với các biến qua các dữ liệu thực nghiệm Phương trình hồi quy của thông số tối ưu hóa là giá trị ước lương /tính toán của mô hình nhận được trên cơ sở dữ liệu thực nghiệm Dạng tổng quát: ў = f (xk, a0, a1, a2 , …) a0, a1, a2 , …: các hệ số hồi quy tương ứng với các biến trong mô hình toán học Mặt đáp ứng của quá trình & Không gian các yếu tố Độ dư/ sai số của thực nghiệm KHÁI NIỆM VỀ PHÉP PHÂN TÍCH HỒI QUY Phép phân tích hồi quy: trên cơ sở một tập các dữ liệu thực nghiệm Tính toán các hệ số hồi quy Nghiên cứu mô hình toán học của quá trình kỹ thuật cũng như biểu diễn đường cong phù hợp nhất PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU Cơ sở: Tổng bình phương các sai số giữa giá trị thực nghiệm và giá trị tính toán của thông số tối ưu là min. Đường cong biểu diễn là phù hợp nhất với dữ liệu thực nghiệm mà không nhất thiết phải đi qua tất cả các giá trị thực nghiệm. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU Bài toán xác định hệ số hồi quy đối với một dạng phương trình hồi quy trên cơ sở một tập dữ liệu thực nghiệm cho trước: Bài toán cực tiểu: yj (j=1:N): giá trị thực nghiệm ўj = f(xi, a0, a1, a2,…)j: giá trị tính toán N: tổng số lần thực nghiệm xi (i=1:k): biến số độc lập trong thực nghiệm. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU (tt) Phương pháp giải: Điều kiện: ў = f(xi, a0, a1, a2,…) là hàm khả vi Điều kiện cần để hàm Φ cực tiểu: đạo hàm riêng phần của hàm Φ theo các hệ số hồi quy ai bằng 0 Sắp xếp và biến đổi ta được hệ phương trình chuẩn có số phương trình bằng số các hệ số hồi quy (a0, a1, a2,…) trong mô hình. Biểu diễn dưới dạng ma trận Giải hệ phương trình xác định hệ số hồi quy (a0, a1, a2,…) PHÂN TÍCH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI Dạng phương trình hồi quy tuyến tính bội ў = a0 + a1x1 + a2x2 + … + amxm Các bước tiến hành: Thiết lập hàm Φ Áp dụng phương pháp bình phương cực tiểu Thiết lập HPT đại số tuyến tính đối với (m+1) ẩn số a0, a1, a2, …, am Biểu diễn dưới dạng ma trận: AX = B Vector ần số X = [a0, a1, a2, …, am]T PHÂN TÍCH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI (tt) Suy ra: Vector vế phải; Ma trận A là ma trận vuông cấp (m+1) Giải theo các phương pháp (ma trận nghịch đảo, khử Gauss, …) tìm X Thay (a0, a1, a2, …, am) vào mô hình và biểu diễn đường cong hồi quy phù hợp nhất với một tập điểm thực nghiệm lấy mẫu {(yj,x1j,x2j,…,xmj), j=1:N} PHÂN TÍCH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI (tt) Trường hợp đặc biệt: ў = a0 + a1x Khi đó hàm tổng bình phương các sai số  đối với tập N điểm thực nghiệm lấy mẫu {yj,xj,j=1:N} cho trước sẽ là: Cực tiểu hóa các hàm  nói trên: PHÂN TÍCH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI (tt) Bài toán thực tế: Quan sát 2 đại lượng vật lý X và Y trong một thí nghiệm: PHÂN TÍCH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI (tt) PHÂN TÍCH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI (tt) Trong tính toán địa chất thủy văn người ta thường xác định bán kính ảnh hưởng R theo các công thức kinh nghiệm hoặc theo tài liệu hút nước thí nghiệm. Khi phân tích các công thức xác định lưu lượng của lỗ khoan chúng ta thấy rằng quan hệ giữa lưu lượng Q và mực nước hạ thấp S là quan hệ tuyến tính đối với lỗ khoan trong tầng chứa nước áp lực: Quan hệ đường thẳng: Q = qS Quan hệ logarit Q = a + blgS Ứng dụng định luật thấm Darcy trong môi trường đất đá, quan hệ giữa vận tốc thấm V và độ dốc thuỷ lực J là quan hệ tuyến tính giữa V và J Khi dòng thấm ở trạng thái chảy tầng: V = KJ Đối với tầng thấm nước yếu, quan hệ giữa V và J có dạng: V = K(J +a) PHÂN TÍCH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI (tt) Quan hệ ứng xử cơ học của dung dịch khoan giữa ứng suất trượt và tốc độ trượt theo các mô hình Bingham: Các thí dụ minh họa: Thí dụ 1: Theo 18 mẫu thử hình rãnh lấy ở cùng một vỉa trên các khu vực khác nhau, người ta ghi lại dung trọng của than đá và độ tro của chúng như sau: Biết rằng dung trọng và độ tro có quan hệ bậc nhất. Giải: Tiến hành các bước trên ta xây dựng được phương trình hồi qui thực nghiệm (Sinh viên tiến hành các bước tính toán như một bài tập) PHÂN TÍCH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI (tt) Qua số liệu ta thấy độ tro X tăng lên khi giá trị trọng lượng lượng riêng than đá tăng. Tuy nhiên mối liên hệ đó không phải lúc nào cũng được bảo toàn. Trong một trường hợp Y tăng nhưng X không đổi có trường hợp X tăng nhưng Y không đổi. Điều này được giải thích bởi trọng lượng riêng của than không những phụ thuộc vào độ tro, mà còn phụ thuộc vào độ ẩm cũng như phụ thuộc vào mức độ biến chất của nó. Đáp án Thí dụ 1 PHÂN TÍCH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI (tt) Thí dụ 1: Kết quả thí nghiệm về tính thấm của một loại đất dính, ta được quan hệ giữa độ dốc thủy lực J và vận tốc thấm V (cm/d) như sau: Biết V và J có quan hệ tuyến tính, xác định mối quan hệ này. Giải: Tiến hành các bước trên ta xây dựng được phương trình hồi qui thực nghiệm (Sinh viên tiến hành các bước tính toán như một bài tập) PHÂN TÍCH HỒI QUY ĐA THỨC Dạng phương trình hồi quy hàm đa thức bậc m ў = a0 + a1x + a2x2 + … + apxp Trong ñoù: ao, a1, a2, …, ap laø caùc heä soá hoài quy. Các bước tiến hành: Đặt x1 = x, x2 = x2, … , xp = xp Đưa về dạng phương trình hồi quy tuyến tính bội Các bước tiếp theo như mục trước… Biểu diễn phương trình hồi quy và đường hồi quy thực nghiệm Trường hợp đặc biệt: p =2 -> PTHQ parabol: ў = a0 + a1x + a2x2 PHÂN TÍCH HỒI QUY ĐA THỨC (tt) Bài toán thực tế: Thử nghiệm ứng suất kéo một hợp kim có được bảng dữ liệu sau: Biết rằng hai đại lượng Stress và Strain có quan hệ parabol. Tìm quan hệ này. Giải: Lập bảng tính toán chuyển về dạng hồi qui tuyến tính. PHÂN TÍCH HỒI QUY ĐA THỨC (tt) 1037 = 10a0 + 0.076a1 + 85810-6a2 7.786 = 0.076a0 + 85810-6a1 + 1166210-9a2 0.085454 = 85810-6a0 + 1166210-9a1 + 17357410-12a2  a0 = 89.6; a1 = 5378; b2 = -311829  = 89.6 + 5378X1 - 311829X2 = 89.6 + 5378X - 311829X PHÂN TÍCH HỒI QUY ĐA THỨC (tt) Ta có đường hồi quy thực nghiệm. PHÂN TÍCH HỒI QUY ĐA THỨC (tt) Trong tính toán địa chất thủy văn người ta thường xác định bán kính ảnh hưởng R theo các công thức kinh nghiệm hoặc theo tài liệu hút nước thí nghiệm. Khi phân tích các công thức xác định lưu lượng của lỗ khoan chúng ta thấy rằng quan hệ giữa lưu lượng Q và mực nước hạ thấp S là quan hệ bậc hai parabol đối với lỗ khoan trong tầng chứa nước không áp: S = aQ + bQ2 Ứng dụng định luật thấm Darcy trong môi trường đất đá, quan hệ giữa vận tốc thấm V và độ dốc thuỷ lực J đối với đất đá thấm nước mạnh: J = aV + bV2. PHÂN TÍCH HỒI QUY LŨY THỪA Dạng phương trình hồi quy hàm lũy thừa ў = a0x1a1 x2a2 … xmam Các bước tiến hành: Tuyến tính hóa: ln ў = ln a0 + a1(ln x1) + a2(ln x2) + … + am(ln xm) Đặt ž = ln ў, b0 = ln a0, t1 = ln x1, t2 = ln x2, … , tm = ln xm Đưa về dạng phương trình hồi quy tuyến tính bội ž = b0 + a1t1 + a2t2 + … + amtm Các bước tiếp theo như mục trước…->(b0, a1, a2,…, am) Tìm lại các hệ số hồi quy ban đầu: (b0, a1, a2,…, am) ->(a0, a1, a2,…, am) Biểu diễn phương trình hồi quy và đường hồi quy thực nghiệm Trường hợp đặc biệt: m =1 -> PTHQ lũy thừa một biến: ў = a0x1a1 PHÂN TÍCH HỒI QUY LŨY THỪA (tt) Bài toán thực tế: Quan hệ ứng xử cơ học của dung dịch khoan giữa ứng suất trượt và tốc độ trượt theo mô hình hàm lũy thừa có dạng: Để xác định mối quan hệ này, thực tế tiến hành đo ứng suất trượt trên nhớt kế Fann theo các tốc độ quay khác nhau (thông thường 3, 6, 100, 200, 300 và 600 vòng/phút). PHÂN TÍCH HỒI QUY LŨY THỪA (tt)) Giải: Lập bảng chuyển sang dạng hồi quy tuyến tính: PHÂN TÍCH HỒI QUY LŨY THỪA (tt)) PHÂN TÍCH HỒI QUY LŨY THỪA (tt)) Trong tính toán địa chất thủy văn người ta thường xác định bán kính ảnh hưởng R theo các công thức kinh nghiệm hoặc theo tài liệu hút nước thí nghiệm. Khi phân tích các công thức xác định lưu lượng của lỗ khoan chúng ta thấy rằng quan hệ giữa lưu lượng Q và mực nước hạ thấp S là quan hệ đường thẳng đối với lỗ khoan trong tầng chứa nước áp lực, còn đối với lỗ khoan trong tầng chứa nước không áp, quan hệ giữa Q và S là quan hệ bậc hai parabol. Thực tế hút nước thí nghiệm chứng minh rằng quan hệ giữa lưu lượng Q và mực nước hạ thấp S rất phức tạp. PHÂN TÍCH HỒI QUY MŨ Dạng phương trình hồi quy hàm mũ ў = a0a1x1 a2x2 … amxm Các bước tiến hành: Tuyến tính hóa: ln ў = ln a0 + (ln a1) x1 + (ln a2) x2 + … + (ln am) xm Đặt ž = ln ў, b0 = ln a0, b1 = ln a1, b2 = ln a2, … , bm = ln am Đưa về dạng phương trình hồi quy tuyến tính bội ž = b0 + b1x1 + b2x2 + … + bmxm Các bước tiếp theo như mục trước…->(b0, b1, b2,…, bm) Tìm lại các hệ số hồi quy ban đầu: (b0, b1, b2,…, bm)->(a0, a1, a2,…, am) Biểu diễn phương trình hồi quy và đường hồi quy thực nghiệm Trường hợp đặc biệt: m =1 -> PTHQ mũ một biến: ў = a0a1x1 PHÂN TÍCH HỒI QUY MŨ (tt) Bài toán ví dụ: Phân tích kết quả chơi cờ của máy tính PHÂN TÍCH HỒI QUY MŨ Đường cong hồi quy: CÁC ĐƯỜNG TIN CẬY – CONFIDENCE LINES Khái niệm: Các đường giới hạn cho phép đối với độ tin cậy của phép đo thông số tối ưu và một tập các dữ liệu thực nghiệm cho trước Đường trung bình & đường giới hạn max & min Đánh giá khoảng tin cậy & độ chính xác của phép ước lượng CÁC ĐƯỜNG TIN CẬY – CONFIDENCE LINES Các bước tiến hành tổng quát: Xác định các hệ số hồi quy (a0, a1, a2,…, am) theo PTHQ của mô hình toán học Biểu diễn đường thực nghiệm tối ưu hay đường trung bình ủa đại lượng đo cho bởi PTHQ: ymean = ў = f (xk, a0, a1, a2 , …) Xác định giá trị thống kê phân bố Student: hệ số Student Độ tin cậy δ – Độ không tin cậy Γ = 1 - δ Hệ số Student t = t (N, δ) hay t = t [(N-2),(1- Γ/2)] Thông thường δ = 95% -> Hệ số Student t theo bảng tra CÁC ĐƯỜNG TIN CẬY – CONFIDENCE LINES Biểu diễn hai đường tin cậy: ymax = ў + t S ymin = ў - t S Trong đó S được xác định từ các điểm dữ liệu thực nghiệm lấy mẫu và tổng số lần thực nghiệm theo Các công thức khá nhau tuỳ theo mô hình toán học Các đường tin cậy của hàm hồi quy tuyến tính đơn KHAI THÁCPHẦN MỀM RIGMATH Giới thiệu: Xây dựng từ EXCEL trong bộ phần mềm của Mitchel Engineering Thực hiện các phân tích hồi quy thực nghiệm & các đường cong tin cậy Phạm vi ứng dụng: các dạng PTHQ Y = a*X^b Y = a*(X^b)*(Z^c) Y = a + b*X + c*X^2 Y = a + b*X KHAI THÁC PHẦN MỀM RIGMATH Các vấn đề lưu ý về thiết kế và xây dựng phần mềm RIGMATH Vùng nhập liệu Vùng tính toán trung gian Vùng kết quả và đánh giá sai số Biểu diễn dạng số Biểu diễn dạng đồ họa Khai thác phần mềm Rigmath Trước hết, khởi động phần mềm bảng tính Excel. Sau đó nhập dữ liệu thu thập được như hình sau: Khai thác phần mềm Rigmath Nhập công thức như sau: C7=IF(MOD(COUNT($A11:$B24),2)=0,COUNT($A11:$B24)/2,">>") kết quả cho ra 14 D11=IF(ISNUMBER(B11),LN(B11),"") cho ra 1.791759 G11=IF(ISNUMBER(A11),LN(A11),"") cho ra 0.69315 E11=IF(ISNUMBER(G11),D11*G11,"") cho ra 1.24195 F11=IF(ISNUMBER(G11),G11*G11,"") cho ra 0.48048 G5 = C7*F25-G25*G25 G6 = (D25*F25-G25*E25)/G5 G7 = (C7*E25-D25*G25)/G5 G8 = EXP(G6) H11=IF(ISERR((B11-C11)*100/B11),"",(B11-C11)*100/B11) Khai thác phần mềm Rigmath Sau đó, copy từng công thức mỗi cột, tính tổng mỗi cột, ta có: Khai thác phần mềm Rigmath Sau đó vẽ đồ thị với hai cột dữ liệu là cột X và Y’. Ta có đồ thị sau: