Bài giảng Digital signal processinh - Chương 4: Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số - Đinh Đức Anh Vũ

chu kỳ N x(n+N) = x(n) ∀n • Chuỗi Fourier cho t/h RRTG có tối đa N thành phần tần số (do tầm tần số [0, 2π] hoặc [-π, π]) • Chuỗi Fourier rời rạc (DTFS) • Hệ số Fourier – Mô tả x(n) trong miền tần số (ck biểu diễn biên độ và pha của thành phần tần số sk(n) = ej2πkn/N) – ck+N = ck⇒ Phổ của t/h tuần hoàn x(n) với chu kỳ N là một chuỗi tuần hoàn cũng với chu kỳ N ∑ − = = 1 0 2)( N k nj k N k ecnx π ∑ − = −= 1 0 2)(1 N n nj k N k enx N c π Phương trình tổng hợp Phương trình phân tích T/h RRTG và tuần hoàn (1) 2011 dce 23DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Ví dụ: Xác định và vẽ phổ cho các t/h sau T/h RRTG và tuần hoàn (2) }1201{:1,:)(. )cos(3)(. )2cos(3)(. 3 ↑ = = kychuhoantuannxc nnxb nnxa π π 2/1,2 00 == ftucπω )2cos(3)(. nnxa π= f0 : không hữu tỉ → x(n) không tuần hoàn → Phổ gồm chỉ một tần số đơn: f0Phổ Tần số πω 20 = 3 2011 dce 24DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và tuần hoàn (3) )cos(3)(. 3 nnxb π= x(n) = 3cos(2πn/6) ⇒ f0 = 1/6 ⇒ N = 6 ⇒ x(n) tuần hoàn chu kỳ N=6 Tuy nhiên So trùng với phương trình tổng hợp Các hệ số đóng góp 5..0)(6 1 5 0 2 6 == ∑ = − kenxc n nj k kπ njnj ee nnx 6 1 6 1 22 2 3 2 3 ) 6 12cos(3)( ππ π −+= = 2 3 51 4320 0 == ==== cc cccc 2011 dce 25DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và tuần hoàn (4) Tín hiệu trong miền thời gian: (3 chu kỳ) Tín hiệu trong miền tần số )cos(3)(. 3 nnxb π= 2011 dce 26DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và tuần hoàn (5) )21( 4 1 3..0)( 4 1 2 3 4 3 0 2 kjkj n nj k ee kenxC k ππ π −− = − ++= == ∑ 4 5 4 3 4 2 4 1 4 1 3 2 1 4 1 2 4 2 4 1 4 1 1 4 1 0 )21( )121( )21( 1)121( π π jj jj ejC C ejC C ==−−= =−+= ==+−= =++= −− − }1201{:1,:)(. ↑ kychuhoantuannxc 2011 dce 27DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và tuần hoàn (6) • Công suất trung bình – Do đó – Chuỗi │ck│2: phổ mật độ công suất của t/h tuần hoàn • Năng lượng t/h trong một chu kỳ ∑ ∑∑ − = − − = − = = == 1 0 /2** 1 0 * 1 0 2 )( )()(1)(1 N k Nknj k N n N n x ecnx nxnx N nx N P π ∑∑ − = − = == 1 0 2 1 0 2)(1 N k k N n x cnxN P ∑ ∑ ∑ ∑ − = − = − − = − = −       =       = 1 0 1 0 2 * 1 0 1 0 2 * )(1 )(1 N k N n N knj k N n N k N knj kx enx N c ecnx N P π π Công thức quan hệ Parseval ∑∑ − = − = == 1 0 2 1 0 2)( N k k N n N cNnxE 2011 dce 28DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Nếu x(n) thực [x*(n) = x(n)], ⇒ ck* = c-k – Tức – Ngoài ra, từ cN+k = ck, ta cũng có – Đ/v t/h thực, phổ ck (k=0,1,,N/2 khi N chẵn hoặc k=0,1,,(N-1)/2 khi N lẻ) hoàn toàn có thể đặc tả cho t/h trong miền tần số – Khi đó, chuỗi Fourier có thể được rút gọn    ∠=∠− = − − lexungdoiphaPhocc chanxungdoidobienPhocc kk kk    −∠=∠ = − − kNk kNk cc cc ∑ ∑ = =       −+= ++= L k kk L k kk kn N bkn N aa kn N ccnx 1 0 1 0 2sin2cos )2cos(2)( ππ θπ             = = = = − leN chanN L cb ca ca N N kkk kkk : : sin2 cos2 2 1 2 00 θ θ Với T/h RRTG và tuần hoàn (7) 2011 dce 29DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và tuần hoàn (8) M iền thời gian M iền tần số                      ±±= = − − khack N k N kL e N A NNk N AL c N Lkjk π π π sin sin ,2,,0 )1(  ** *** * * * * * ** *** * * * * * ** *** * A x(n) n0 L N-N 2011 dce 30DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Chỉ xét t/h năng lượng x(n) • Biến đổi Fourier – X(ω): nội dung tần số của t/h – Khác biệt cơ bản giữa BĐ Fourier của t/h năng lượng RRTG và t/h năng lượng LTTG • Tầm tần số – T/h LTTG: -∞ → +∞ – T/h RRTG: 0 → 2π hoặc –π → π [X(ω) tuần hoàn chu kỳ 2π] • Cách tính: dùng tích phân thay vì dùng tổng • Hệ số Fourier T/h RRTG và không tuần hoàn (1) ∑ ∞ −∞= −= n njenxX ωω )()( ∫= π ω ωω π 2 )( 2 1)( deXnx nj Phương trình phân tích Phương trình tổng hợp 2011 dce 31DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Ví dụ: xác định nội dung tần số của tín hiệu sau x(n) = { 0 1 1 1^ 1 1 0 } T/h RRTG và không tuần hoàn (2) )2cos(2cos21)( 1)( 22 ωωω ω ωωωω ++= ++++= −− X eeeeX jjjj Chú ý: X(ω) tuần hoàn Chu kỳ: 2π 2011 dce 32DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và không tuần hoàn (3) F x(n) Tần số 2011 dce 33DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Ví dụ: cho X(ω), tìm t/h trong miền thời gian T/h RRTG và không tuần hoàn (4) ∫ ∫ − − = = c c de deXnx nj nj ω ω ω ω π π ω π ωω π 2 1 )( 2 1)( X(ω) ω -ωc ωc0 1       ≠ = = 0sin 0 )( n n n n nx c cc c ω ω π ω π ω 2011 dce 34DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Sự hội tụ của BĐ Fourier – Trong BĐ Fourier ngược (PT phân tích), chuỗi XN(ω) được giả thiết hội tụ về X(ω) khi N→∞ – Ý nghĩa: giá trị sai số X(ω) – XN(ω) sẽ bằng 0 khi N→∞ – XN(ω) hội tụ nếu x(n) khả tổng tuyệt đối • Đ/k đủ để tồn tại BĐ Fourier RRTG • Tương đương đ/k Dirichlet thứ 3 cho BĐ Fourier của t/h LTTG (đ/k 1 và 2 không có do bản chất của t/h RRTG) – Nếu x(n) khả tổng bình phương tuyệt đối (i.e. x(n) có năng lượng hữu hạn) • Đ/k hội tụ được giảm nhẹ • Năng lượng của sai số X(ω) – XN(ω) sẽ tiến về 0, nhưng không nhất thiết giá trị sai số tiến về 0 – T/h năng lượng có BĐ Fourier T/h RRTG và không tuần hoàn (5) ∑ −= −= N Nn nj N enxX ωω )()( 0)()(lim =− ∞→ ωω NN XX ∞<≤= ∑∑ ∞ −∞= ∞ −∞= − nn nj nxenxX )()()( ωω 0)()(lim 2 =−∫ − ∞→ π π ωωω dXX NN 2011 dce 35DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Năng lượng – Do đó – X(ω) là số phức • Phổ biên độ • Phổ pha • Phổ mật độ năng lượng T/h RRTG và không tuần hoàn (6) ∫ ∑∑ − − +∞ −∞= +∞ −∞= = == π π ω ωω π deXnx nxnxnxE nj nn x )( 2 1)( )()()( ** *2 ∫∑ − +∞ −∞= == π π ωω π dXnxE n x 22 )( 2 1)( )(|)(|)( ωωω Θ= jeXX )()()()( *2 ωωωω XXXSxx == )(ωX )(ωΘ ∫ ∑ ∑ ∫ − ∞ −∞= − ∞ −∞= − −       =       = π π ω π π ω ωω π ωω π denxX deXnxE n nj n nj x )()( 2 1 )( 2 1)( * * Công thức quan hệ Parseval 2011 dce 36DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và không tuần hoàn (7) • Ví dụ – Cho tín hiệu x(n) = anu(n), –1< a <1 – Yêu cầu: a) Lập công thức biểu diễn tín hiệu trong miền tần số ? b) Lập công thức biểu diễn phổ biên độ, pha và năng lượng? c) Vẽ 3 phổ nói trên, với a = 0.9, a = –0.9? d) Tần số (π/2) có mặt trong sự thành lập tín hiệu x(n) không? Nếu có thì đóng góp biên độ và pha là bao nhiêu? ω ωω ω ω j n nj n njn ae X aeeaX − ∞ = − ∞ = − − = == ∑∑ 1 1)( )()( 00 a) X(ω) = ? 2011 dce 37DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và không tuần hoàn (8) b) |X(ω)|, Θ(ω), Sxx(ω) = ? 2 2 2 cos21 sin)( cos21 )cos1()( cos21 )sin()cos1( )1)(1( )1( 1 1)( aa aX aa aX aa aja aeae ae ae X I R jj j j +− − = +− − = +− −− = −− − = − = −− ω ωω ω ωω ω ωωω ωω ω ω 2 * cos21 1 )1)(1( 1)()()( aaaeae XXS jjxx +− = −− == − ω ωωω ωω )(tan)( )()(|)(| )( )(1 22 ω ωω ωωω R I X X IR XXX −=Θ += 2011 dce 38DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và không tuần hoàn (9) )(tan)( 1 1|)(| 1 1 1 1)( 1 2 22 2 2 a a X jaae X j − − −=Θ + = + = − = π π π π d) ω=π/2 │X(π/2)│≠ 0 Tần số π/2 có mặt trong tín hiệu c) Vẽ phổ 2011 dce 39DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và không tuần hoàn (10) • Nếu x(n) thực – X*(ω) = X(–ω) – Sxx(–ω) = Sxx(ω) • Ví dụ L=5 A=1    −≤≤ = otherwise LnA nx ,0 10, )( )sin( )sin()( 2 2)1(2 ω ωω ω L LjAeX −−=    ∠=−∠ =− )()( )()( ωω ωω XX XX 2011 dce 43DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Phân loại t/h ở miền tần số T/h không tuần hoàn T/h tuần hoàn LTTG Time-limited: x(t)=0 với |t|>τ Bandlimited: X(F)=0 với |F| > B Time-limited: xp(t)=0 với τ<|t|<Tp/2 Bandlimited: ck=0 với |k|>M RRTG Time-limited: x(n)=0 với |n|>N Bandlimited: |X(ω)|=0 với ω0<|ω|<π Time-limited: x(n)=0 với n0<|n|<N Bandlimited: ck=0 với k0<|k|<N • Phân loại t/h dựa vào phổ mật độ công suất/năng lượng – T/h tần số cao: phổ tập trung ở tần số cao – T/h tần số thấp: phổ tập trung ở tần số 0 – T/h tần số trung bình (t/h bandpass): phổ tập trung trong dải tầm tần số • Băng thông – Tầm tần số mà phổ mật độ công suất (năng lượng) của t/h tập trung F1≤F≤F2 – Trong trường hợp t/h bandpass, nếu băng thông của t/h quá nhỏ (hệ số 10) so với tần số giữa (F1+F2)/2: băng thông hẹp. Ngược lại là băng thông rộng – T/h băng thông giới hạn là t/h có phổ bằng không bên ngoài tầm tần số 2011 dce 44DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • 2 tính chất đặc trưng cho t/h trong miền thời gian (mặt toán học và mặt vật lý) – Biến thời gian: liên tục hay rời rạc – Tính chu kỳ: tuần hoàn hay không tuần hoàn • Biến thời gian – T/h LTTG • Phổ không tuần hoàn, không phụ thuộc t/h miền thời gian tuần hoàn hay không (do hàm mũ ej2πFt liên tục theo thời gian, không tuần hoàn theo F) • Dải tầm tần số F: [0..∞] – T/h RRTG • Phổ tuần hoàn chu kỳ ω = 2π • Dải tầm tần số F: [- π.. π] • Tính chu kỳ – T/h tuần hoàn • Phổ rời rạc (phổ vạch) • Khoảng cách phổ : ΔF=1/Tp (t/h LTTG) hoặc Δf=1/N (t/h RRTG) – T/h năng lượng không tuần hoàn • Phổ liên tục (do hàm mũ ej2πFt hoặc ejωn liên tục, không tuần hoàn theo F hoặc ω) Đối ngẫu Tuần hoàn với chu kỳ α trong một miền thì sẽ rời rạc với khoảng cách 1/α trong miền khác, và ngược lại 2011 dce 45DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • T/h RRTG, không tuần hoàn và có năng lượng hữu hạn • Tương tự cho t/h LTTG, không tuần hoàn và có năng lượng hữu hạn • Qui ước – BĐ Fourier thuận – BĐ Fourier nghịch – Cặp BĐ Fourier • Chú ý: X(ω) tuần hoàn với chu kỳ 2π ∑ ∞ −∞= −=≡ n njenxnxFX ωω )()}({)( ∫=≡ − π ω ωω π ω 2 1 )( 2 1)}({)( deXXFnx nj )()( ωXnx F→← T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 46DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tính đối xứng – Nếu t/h có một số đặc tính đối xứng trong miền thời gian, việc xem xét các đ/k đối xứng trên BĐ Fourier của nó cho phép đơn giản hóa các phương trình BĐ Fourier thuận và nghịch – Giả sử • x(n) = xR(n) + jxI(n) • X(ω) = XR(ω) + jXI(ω) và e–jω = cosω – jsinω (ejω = cosω + jsinω), ta có [ ] [ ]       −−= += ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= n IRI n IRR nnxnnxX nnxnnxX ωωω ωωω cos)(sin)()( sin)(cos)()( [ ] [ ]        += −= ∫ ∫ π π ωωωωω π ωωωωω π 2 2 cos)(sin)( 2 1)( sin)(cos)( 2 1)( dnXnXnx dnXnXnx IRI IRR BĐ Fourier thuận BĐ Fourier nghịch T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 47DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tính đối xứng (tt) – T/h thực • xR(n) = x(n) và xI(n) = 0, do đó • Do • Do [ ] [ ] [ ] 2 1( ) ( ) co s ( )sin 2 ( )co s ( )sin R I R I x n X n X n d X n và X n là hàmchan π ω ω ω ω ω π ω ω ω ω  = −    ∫    −=− =− )()( )()( ωω ωω II RR XX XX )()(* ωω −= XX Đối xứng Hermitian      =∠ += − )( )(tan)( )()()( 1 22 ω ωω ωωω R I IR X XX XXX    −∠=−∠ =− )()( )()( ωω ωω XX XX       −= = ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= n I n R nnxX nnxX ωω ωω sin)()( cos)()( [ ]∫ −= π ωωωωω π 0 sin)(cos)(1)( dnXnXnx IR T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 48DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tính đối xứng (tt) – T/h thực và chẵn • xR(n) = x(n) và x(–n) = x(n), nên [x(n)cosωn] chẵn và [x(n)sinωn] lẻ • Do đó – T/h thực và lẻ • xR(n) = x(n) và x(–n) = –x(n), nên [x(n)cosωn] lẻ và [x(n)sinωn] chẵn • Do đó 1 0 ( ) (0) 2 ( )cos ( ) ( ) 0 1( ) ( ) cos R n I R X x x n n hàmchan X x n X nd π ω ω ω ω ω ω π ∞ =  = +   = = ∑ ∫ ∫ ∑ −=     −= = ∞ = π ωωω π ωω ω 0 1 sin)(1)( )(sin)(2)( 0)( ndXnx lehàmnnxX X I n I R T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 49DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tính đối xứng (tt) – T/h ảo • xR(n) = 0 và x(n) = jxI(n) và x(–n) = x(n), do đó [ ]∫ ∑ ∑ +=       = = ∞ −∞= ∞ −∞= π ωωωωω π ωω ωω 0 cos)(sin)(1)( )(cos)()( )(sin)()( dnXnXnx chanhàmnnxX lehàmnnxX IRI n II n IR ∫ ∑ =     = = ∞ = π ωωω π ω ωω 0 1 sin)(1)( 0)( )(sin)(2)( ndXnx X lehàmnnxX RI I n IR ∫ ∑ =     += = ∞ = π ωωω π ωω ω 0 1 cos)(1)( )(cos)(2)0()( 0)( ndXnx chanhàmnnxxX X II n III R xI(n) lẻ xI(n) chẵn T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 50DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tính đối xứng (tt) – T/h x(n) bất kỳ     −−=+= −+=+= += +++=+= )]()([)()()( )]()([)()()( )()( )]()([)()()()()( * 2 1 * 2 1 nxnxnjxnxnx nxnxnjxnxnx đótrong nxnx nxnxjnxnxnjxnxnx o I o Ro e I e Re oe o I e I o R e RIR [ ] [ ] [ ] [ ])()()()()( )()()()()( ωωωωω oI o R e I e R o I o R e I e R jXXjXXX njxnxnjxnxnx +++= +++= T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 51DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tuyến tính – Ví dụ: tìm BĐ Fourier của x(n) sau. Vẽ t/h và phổ của t/h. )()()()( )()( )()( 22112211 22 11 ωω ω ω XaXanxanxa Xnx Xnx F F F +→←+⇒     →← →← 11 00 0 )( 00 0 )( )()()( 2 1 21 <<−    ≥ < =    < ≥ = += − a n na nx n na nx nxnxnx n n ω ω ωω ω ω j j n nj n nj ae X aaeDo aeenxX − − ∞ = − ∞ −∞= − − =⇒ <= == ∑∑ 1 1)( 1 )()()( 1 0 11 ω ω ω ωωω ω ω j j j k kj n nj n nj ae aeX aaeDo aeaeenxX − =⇒ <= === ∑∑∑ ∞ = − −∞= − ∞ −∞= − 1 )( 1 )()()()( 2 1 1 22 T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 52DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2 2 21 cos21 1)( )()()( aa aX XXX +− − = += ω ω ωωω 2011 dce 53DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Dịch theo thời gian – Ví dụ: tìm BĐ Fourier của t/h • Đảo theo thời gian – Ví dụ )2()(3)( 321 −= − nunx n )()()()( ωω ω XeknxXnx kjFF −→←−⇒→← )()()()( ωω −→←−⇒→← XnxXnx FF 1 1 1 11 2 32 ( ) 3.2 . ( ) ( ) 3.( ) . ( ) ( ) 3.2 . ( 3) n n n x n u n x n u n x n u n − + − + − + = − = − = − + ω ω ω ω ω ω ωω ωω ω j j F n j j jF n j Fn e eXXnxnunx e eXeXnunxnx e Xnunx − −− − − − − − − ==→←=−     =⇒ − ==→←−     =−= − =→←= 2 1 2 22 2 2 1 2 1 2 2 2 12 2 112 1 1 1 6)(6)()(6)2( 2 16)( 1 )()()2( 2 1)2()( 1 1)()()()( T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 54DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tổng chập – Chú ý: Có thể dùng BĐ Fourier thuận và BĐ Fourier ngược để tính tích chặp • Tương quan • Định lý Wiener-Khintchine )()()()(*)()( )()( )()( 2121 22 11 ωωω ω ω XXXnxnxnx Xnx Xnx F F F =→←=⇒     →← →← )()()()( )()( )()( 21 22 11 2121 ωωω ω ω −=→←⇒     →← →← XXSmr Xnx Xnx xx F xxF F )()()()()( ωωω −=→←⇒ XXSlrthucnx xx F xx T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 55DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Dịch theo tần số • Định lý điều chế • Định lý Parseval [ ]10 0 02( ) ( ) ( ) co s ( ) ( )F Fx n X x n n X Xω ω ω ω ω ω←→ ⇒ ←→ + + − 0 0( ) ( ) ( ) ( ) j nF Fx n X e x n Xωω ω ω←→ ⇒ ←→ − ∫∑ − ∞ −∞= =⇒     →← →← π π ωωω πω ω dXXnxnx Xnx Xnx n F F )()( 2 1)()( )()( )()( * 21 * 21 22 11 T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 56DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Nhân 2 chuỗi (định lý cửa sổ) • Đạo hàm miền tần số • Liên hợp phức ω ωω d dXjnnxXnx FF )()()()( →←⇒→← )()()()( ** ωω −→←⇒→← XnxXnx FF ∫− −=→←=⇒     →← →← π π λλωλ π ω ω ω dXXXnxnxnx Xnx Xnx F F F )()( 2 1)()()()( )()( )()( 213213 22 11 T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 57DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • H/t nghỉ LTI • Hàm đáp ứng tần số: đáp ứng tần số của t/h mũ phức và t/h sin – Đáp ứng tần số của t/h mũ phức: cho x(n) = Aejωn -∞ < n < ∞ T/h mũ phức T/h sin Hệ LTI trong miền tần số h(n) h(n): hàm đáp ứng xung đơn vị H(ω): hàm đáp ứng tần số H(ω) F Miền thời gian Miền tần số x(n) x(n) y(n) y(n) nj k kjnj k knj k eAH ekhAeAekh knxkhnhnxny ω ωωω ω)( )()( )()()(*)()( )( = == −== ∑∑ ∑ ∞ −∞= − ∞ −∞= − ∞ −∞= x(n) = Aejωn là một eigenfunction của h/t H(ω) là eigenvalue tương ứng 2011 dce 58DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI trong miền tần số • Biểu diễn H(ω) ở dạng cực • Ta có Trong đó • Do đó, nếu biết │H(ω)│và Θ(ω) trong khoảng 0 ≤ ω ≤ π thì cũng xác định được trong khoảng –π ≤ ω ≤ 0 )()()( ωωω Θ= jeHH [ ])(/)(tan22 1)()( )()( sin)(cos)()()( ωω ω ωω ωω ωωω RI HHj IR IR kkk kj eHH jHH kkhjkkhekhH − += += −== ∑∑∑ ∞ −∞= ∞ −∞= ∞ −∞= − lehàmkkhH chanhàmkkhH k I k R ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= −= = ωω ωω sin)()( cos)()( lehàm chanhàmHHH R I H H IR )( )(1 22 tan)( )()()( ω ωω ωωω −=Θ += 2011 dce 59DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI trong miền tần số • Đáp ứng tần số của t/h sin njAenx ω=)(1 njAenx ω−=)(2 njj eeHAny ωωω )(1 )()( Θ= njj njj eeHA eeHAny ωω ωω ω ω −Θ− −−Θ = −= )( )( 2 )( )()( [ ])()(sin)( 2121 nxnxnAnx j −== ω [ ] [ ])(sin)( )()()( 2121 ωωω Θ+= −= nHA nynyny j [ ])()(cos)( 2121 nxnxnAnx +== ω [ ] [ ])(cos)( )()()( 2121 ωωω Θ+= += nHA nynyny 2011 dce 60DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI trong miền tần số • Ví dụ: cho hệ LTI nhân quả, điều kiện đầu bằng 0 T/h nhập x(n) = 3cos(πn/3). Tìm y(n) ωω je H −− = 2 11 3)( 6 3 32 1 3)( 2 13 π π π j j e e H − − = − = )cos(36)( 63 ππ −= nny Z-1 + 1/2 x(n) y(n)3 2011 dce 61DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Đáp ứng cho t/h tuần hoàn – Đáp ứng của t/h tuần hoàn cũng là t/h tuần hoàn chu kỳ N • Đáp ứng cho t/h không tuần hoàn Hệ LTI trong miền tần số ∑ − = = 1 0 2 2)()( N k nj N k k N k eHcny π πH(ω) h(n) H(ω) F x(n) X(ω) Y(ω) y(n) F F y(n) = x(n)*h(n) Y(ω) = X(ω)H(ω) Y(ω0) = X(ω0)H(ω0) = │H(ω0)│ejΘ(ω0)X(ω0)  Thành phần tần số (ω0) khi đi qua hệ thì: - Biên độ: co/giãn │H(ω0)│ - Pha: lệch pha Θ(ω0) ∑ − = = 1 0 2 )( N k nj k N k ecnx π 2011 dce 62DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI trong miền tần số • Quan hệ giữa hàm hệ thống và hàm đáp ứng tần số ∑ ∑ = − = − + = N k k k M k k k za zb zH 1 0 1 )( ∑ ∑ = − = − + = N k kj k M k kj k ea eb H 1 0 1 )( ω ω ω ∑ ∞ −∞= − = == n nj ez enhzHH j ωωω )()()( ∏ ∏ = =− − − = N k k M k k MN pz zz zbzH 1 1 0 )( )( )( ∏ ∏ = =− − − = N k k j M k k j MNj pe ze ebH 1 1)( 0 )( )( )( ω ω ωω Hệ ổn định )()/1( *** ωHzH = )()/1( 1** −= zHzH )()(* ωω −= HH )()()()()()()( 1*2 −=−== zHzHHHHHH ωωωωω 2011 dce 63DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI trong miền tần số • Tính hàm đáp ứng tần số H(ω) – Biểu diễn dưới dạng cực – Do đó, có thể tính được H(ω) nếu biết được zero và pole của hàm hệ thống – Ý nghĩa ?     =− =− Φ Θ )( )( )( )( ωω ωω ω ω k k j kk j j kk j eUpe eVze ∏ ∏ = =− − − = N k k j M k k j MNj pe ze ebH 1 1)( 0 )( )( )( ω ω ωω       Φ−Θ+−+∠=∠ = ∑∑ == N k k M k k N M MNbH UUU VVVbH 11 0 21 21 0 )()()()( )()...()( )()...()()( ωωωω ωωω ωωωω 2011 dce 64DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tính hàm đáp ứng tần số H(ω) – Cho zero zk và pole pk – Xác định H(ω) tại ω (điểm L) – Việc tính H(ω) tương đương việc tính H(z) tại điểm L trên vòng tròn đơn vị – Sự hiện diện của zero gần vòng tròn đơn vị khiến biên độ đáp ứng tần số tại những điểm trên vòng tròn gần điểm đó nhỏ – Ngược lại, sự hiện diện của pole gần vòng tròn đơn vị khiến biên độ đáp ứng tần số tại những điểm trên vòng tròn gần điểm đó lớn x pk C 0 A Bzk L ejω hoặc │z│= 1 Φk(ω) Θk(ω) Im(z) Re(z) Vk Uk Hệ LTI trong miền tần số CL = CA + AL AL = CL – CA CL = CB + BL BL = CL – CB pk = CA zk = CB ejω = CL )( )( )( )( ωω ωω ω ω k k j kk j j kk j eVzeBL eUpeAL Θ Φ =−= =−= 2011 dce 65DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI trong miền tần số • Ví dụ: xác định đáp ứng tần số của h/t được mô tả bằng hàm h/t – Zero tại z = 0 – Pole tại z = 0.8 8.08.01 1)( 1 − = − = − z z z zH 8.0 )( − = ω ω ω j j e eH ω ω ω ω cos6.164.1 1 8.0 )( − = − = j j e e H 8.0cos sintan)( 1 − −= − ω ωωωθ 2011 dce 66DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI trong miền tần số • Hàm tương quan vào-ra và phổ )(*)()( mrmrmr xxhhyy = )(*)()( mrmhmr xxyx = )()()()()()( 1 zSzHzHzSzSzS xxxxhhyy −== )()()( zSzHzS xxyx = )()()( 2 ωωω xxyy SHS = 2)()()()()( ωωωωω XHSHS xxyx == z=ejω Phổ mật độ năng lượng chéo Phổ mật độ năng lượng ∫∫ −− === π π π π ωωω π ωω π dSHdSrE xxyyyyy )()(2 1)( 2 1)0( 2Năng lượng tổng Nếu t/h nhập có phổ phẳng Sxx(ω) = Ex = const khi –π ≤ ω ≤ π xyx EHS )()( ωω = )( 1)( ωω yx x S E H = )(1)( mr E nh yx x =Dùng trong việc xác định h(n) của hệ lạ: tác động vào h/t t/h có phổ phẳng 2011 dce 67DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc Lowpass filter Highpass filter Bandpass filter Bandstop filter All-pass filter Filter • Bộ lọc – Thiết bị dùng để xử lý tùy theo đặc tính của t/h tác động vào h/t – Ví dụ: bộ lọc không khí, bộ lọc dầu, bộ lọc tia cực tím • Hệ LTI – Y(ω) = H(ω)X(ω) – Thay đổi phổ t/h nhập tùy theo đặc trưng của đáp ứng tần số H(ω) – Hệ LTI được xem là bộ lọc tần số: H(ω) đóng vai trò hàm tác động hoặc hàm chỉnh phổ – Có tác dụng • Loại bỏ nhiễu trên t/h • Tinh chỉnh hình dạng phổ của t/h • Phân tích phổ t/h • Phát hiện t/h trong Radar, Sonar, • Phân loại bộ lọc 2011 dce 68DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc ω |H(ω)| –π π–ωc ωc 1 Highpass ω |H(ω)| –π π–ωc ωc 1 Lowpass ω |H(ω)| –π π–ω0 ω0 1 Bandpass ω |H(ω)| –π π–ω0 ω0 1 Bandstop 2011 dce 69DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc • Bộ lọc lý tưởng – Đặc trưng của H(ω) lý tưởng • Biên độ = hằng số A, trong vùng tần số được qua = 0, trong vùng tần số không được qua • Pha tuyến tính ( = -aω, a: hằng số) – Minh họa • T/h x(n) với các thành phần t/s trong khoảng [ω1, ω2] • Hàm đáp ứng tần số • Phổ t/h tại ngõ xuất • T/h ngõ xuất y(n) = Cx(n-n0) • x(n) khi qua bộ lọc lý tưởng – bị delay: τg(ω) = -dΘ(ω)/dω = n0 (tất cả các thành phần t/s đều bị trễ như nhau) – bị co giãn biên độ – Trong thực tế không hiện thực được tình trạng lý tưởng, mà chỉ là xấp xỉ của nó    << = − otherwise Ce H nj 0 )( 21 0 ωωω ω ω )()()()()( 210 ωωωωωωω ω <<== − XCeXHY nj 2011 dce 70DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc • Thiết kế bộ lọc bằng sơ đồ zero-pole – Bộ lọc số đơn giản nhưng quan trọng – Nguyên lý: đặt các pole gần các điểm trên vòng tròn đơn vị tương ứng với các tần số cần nhấn mạnh (có góc pha bằng tần số được cho qua bộ lọc) và đặt các zero gần các điểm tương ứng với các tần số không muốn – Ràng buộc • Pole bên trong vòng tròn đơn vị (để hệ ổn định). Zero có thể nằm bất kỳ ở đâu trên mpz • Các zero/pole phức phải theo từng cặp liên hợp (để hệ số