Bài giảng Digital signal processinh - Chương 5: Biến đổi Fourier rời rạc - Đinh Đức Anh Vũ

BK TP.HCM 2011 dce Chương 5 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) ©2011, TS. Đinh Đức Anh Vũ 2011 dce 2DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Giới thiệu về DFT ∑ ∞ −∞= −= n njenxX ωω )()( • Biến đổi Fourier liên tục • Vấn đề: X(ω) liên tục theo tần số ω → không thích hợp cho việc tính toán trên máy tính x(n) x(n) = 0.8nu(n) Miền tần số Miền thời gian F 2011 dce 3DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Lấy mẫu miền tần số X(ω) N=10 N=10 Lấy mẫu )()( 2 kXkX Nπω =≡ 2011 dce 4DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Lấy mẫu miền tần số • T/h xp(n) – lặp chu kỳ của x(n) mỗi N mẫu – t/h tuần hoàn với chu kỳ cơ bản N 1,...,1,0)()()( /22 /2 −=== ∑ ∞ −∞= − = NkenxkXX n Nknj NNk ππ πω ω ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑∑ − = − − = − ∞ −∞= ∞ −∞= −+ = − − = − − = − − −= − =⇒       −= = ++++= 1 0 1 0 1 121 0 1 2 2 2 222 )()( )( )( )()()()( N n knj p N n knj l l NlN lNn knj N Nn knj N n knj Nn knj N N N NNN enxkX elNnx enx enxenxenxkX π π π πππ  ∑ ∞ −∞= −= l p lNnxnx )()(với Thay n bằng (n-lN) 1,...,1,0)(1 1,...,1,0)( 1 0 /2 1 0 /2 −== −== ∑ ∑ − = − − = Nkenx N c Nnecnx N n Nknj pk N k Nknj kp π π 2011 dce 5DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Lấy mẫu miền tần số • Có thể phục hồi t/h xp(n) từ các mẫu của phổ X(ω) 1,,1,0)(1)( 1,,1,0)(1 1 0 2 −== −== ∑ − = NnekX N nx NkkX N c N k knj p k N   π n x(n) 0 L n xp(n) 0 NL N>L n xp(n) 0 N N<L alias    −≤≤ = others Nnnx nx p 0 10)( )( Khi N≥L, x(n) có thể được khôi phục từ các mẫu phổ tần số tại ωk=2πk/N 2011 dce 6DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Lấy mẫu miền tần số • Có thể phục hồi X(ω) từ các mẫu X(k) với k = 0, 1,, N-1 – Giả sử N ≥ L → x(n) = xp(n) khi 0 ≤ n ≤ N-1 ∑ − = = 1 0 /2)(1)( N k NknjekX N nx π ∑ ∑ ∑ ∑∑ − = − = −− − = − − = ∞ −∞= −       =       == 1 0 1 0 )/2( 1 0 1 0 /2 1)( )(1)()( N k N n nNkj N n nj N k Nknj n nj e N kX eekX N enxX πω ωπωω 2/)1( 1 0 )2/sin( )2/sin( 1 111)( −− − −− = − = − − == ∑ Nj j NjN n nj e N N e e N e N P ω ω ω ω ω ω ω    −= = = 1,,2,10 01 )( 2 Nk k kP N  π LNkPkXX N k N ≥−=∑ − = 1 0 2 )()()( πωω 2011 dce 7DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Lấy mẫu miền tần số ∑ − = −= 1 0 2 )()( N n knj NenxkX π ∑ ∞ −∞= −= n njenxX ωω )()( x(n) có chiều dài L≤N B Đ F Lấy m ẫu ∑ − = = 1 0 2 )(1)( N k knj NekX N nx π ∑ − = −= 1 0 )()()( N k kPkXX ωωω ∑ − = −= 1 0 1)( N k nje N P ωω kNk πω 2= Phục hồi Phục hồi 2011 dce 8DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Lấy mẫu miền tần số • Ví dụ: x(n) = anu(n), 0<a<1 – Phổ t/h được lấy mẫu tại các tần số ωk = 2πk/N, k=0, 1, , N-1 ω ωω j n njn ae eaX − ∞ = − − ==∑ 1 1)( 0 NkjaeN kXkX /21 1)2()( π π −− == N n l lNn l p a aa lNnxnx − == −= ∑ ∑ −∞= − ∞ −∞= 1 )()( 0 a=0.8 2011 dce 9DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) • Chuỗi không tuần hoàn, năng lượng hữu hạn x(n) • Các mẫu tần số X(2πk/N), k = 0, 1,, N-1 không đặc trưng cho x(n) khi x(n) có chiều dài vô hạn • Nó đặc trưng cho chuỗi tuần hoàn, chu kỳ N xp(n) • xp(n) là lặp tuần hoàn của x(n) nếu x(n) có chiều dài hữu hạn L ≤ N • Do đó, các mẫu tần số X(2πk/N), k = 0, 1,, N-1 đặc trưng cho chuỗi chiều dài hữu hạn x(n); i.e. X(n) có thể được phục hồi từ các mẫu tần số {X(2πk/N)} • x(n) = xp(n) trên một chu kỳ N (được đệm vào N-L zero). Mặc dù L mẫu của X(ω) có thể tái tạo lại được X(ω), nhưng việc đệm vào N-L zero giúp việc tính toán DFT N điểm của X(ω) đồng nhất hơn 1,,1,0 )()( 1 0 2 −= =∑ − = − Nk enxkX N n knj N  π 1,,1,0 )(1)( 1 0 2 −= = ∑ − = Nn ekX N nx N k knj N  π DFT IDFT 2011 dce 10DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) • Ví dụ: xác định DFT N điểm của chuỗi x(n) có độ dài L hữu hạn (N≥L)    −≤≤ = others Ln nx 0 101 )( 2/)1( 1 0 )2/sin( )2/sin( 1 1 )()( −− − − − = − ∞ −∞= − = − − = == ∑∑ Lj j Lj L n nj n nj eL e e eenxX ω ω ω ωω ω ω ω 2011 dce 11DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) 2011 dce 12DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 1,,1,0 )()( 1 0 2 −= =∑ − = − Nk enxkX N n knj N  π 1,,1,0 )(1)( 1 0 2 −= = ∑ − = Nn ekX N nx N k knj N  π DFT – BĐ tuyến tính 1,,1,0 )()( 1 0 −= =∑ − = Nk WnxkX N n kn N  1,,1,0 )(1)( 1 0 −= = ∑ − = − Nn WkX N nx N n kn N  DFT IDFT Nghiệm thứ N của đơn vị2 /j NNW e π−= Tính DFT một điểm - Nhân phức: N - Cộng phức: N-1 Tính DFT N điểm - Nhân phức: N2 - Cộng phức: N(N-1) 2011 dce 13DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ DFT – BĐ tuyến tính • BĐ DFT N điểm             − =             − = )1( )1( )0( )1( )1( )0( NX X X X Nx x x x NN                  = −−−− − − )1)(1()1(21 )1(242 12 1 1 1 1111 NN N N N N N N NNN N NNN N WWW WWW WWW W      Ma trận BĐ tuyến tính NNN XWx 1−= NNNN XWx *1= NNN NNN NIWW WW = =− * *11 NNN xWX = WN là ma trận đường chéo Các mẫu miền thời gian Các mẫu miền tần số 2011 dce 14DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ DFT – BĐ tuyến tính • Ví dụ: xác định DFT 4 điểm của chuỗi x(n) = {0 1 2 3} • Ví dụ: tính DFT 4 điểm cho x(n) = {1 0 2 1} 2 Nk k N NW W + = −             −− −− −− =             − − − =               = jj jj WWW WWW WWW WWWW WWWW WWWW WWWW W 11 1111 11 1111 1 1 1 1111 1 4 2 4 1 4 2 4 2 4 2 4 1 4 2 4 1 4 9 4 6 4 3 4 0 4 6 4 4 4 2 4 0 4 3 4 2 4 1 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 4             −− − +− == j j xWX 22 2 22 6 444             = 3 2 1 0 4x        =−−=−−= =−+= =+−=+−= =++= ++== − −− = −∑ 4 3 4 3 2 3 4 2 2121)3( 2121)2( 2121)1( 4121)0( 21)()( 3 0 π π ππ π j j kjkj n knj ejjX X ejjX X eeenxkX             == − 4 3 4 3 2 2 2 4 444 π π j j e e xWX 2011 dce 15DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ DFT – Quan hệ với các phép BĐ khác • Với hệ số Fourier của chuỗi chu kỳ • Với BĐ Fourier của chuỗi không chu kỳ – DFT N điểm cho phổ vạch của chuỗi không chu kỳ x(n) nếu x(n) hữu hạn có độ dài L ≤ N 1,,1,0 )()( 1 0 2 −= =∑ − = − Nk enxkX N n knj N  π 1,,1,0 )(1)( 1 0 2 −= = ∑ − = Nn ekX N nx N n knj N  π 1,,1,0 )(1 1 0 2 −= = ∑ − = − Nk enx N c N n knj pk N  π ∞≤≤∞− =∑ − = n ecnx N k knj kp N 1 0 2 )( π Chuỗi xp(n) tuần hoàn chu kỳ N DFT N điểm của chuỗi x(n) DFT N điểm cho chính xác phổ vạch của chuỗi tuần hoàn chu kỳ N X(k) = Nck 2011 dce 16DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ DFT – Biểu diễn tín hiệu x(n) = {1 2 3 4} Dạng thẳng Dạng vòng x(n) x(0) x(1) x(2) x(3) DươngÂm n -2 -1 0 1 2 n=–1 n=1 Chiều dương Chiều âm n=0 0 1 2 3 n1 2 3 4 x(n) 2011 dce 17DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ ∑ ∞ −∞= −= n p lNnxnx )()(• Chuỗi tuần hoàn chu kỳ N, mở rộng từ x(n) • Chuỗi dịch xp(n) đi k mẫu • Chuỗi có chiều dài hữu hạn từ x’p(n) • Quan hệ giữa x(n) và x’(n): dịch vòng ∑ ∞ −∞= −−=−= l pp klNnxknxnx )()()( '     −≤≤ = otherwise Nnnx nx p 0 10)( )(' ' x’(n) = x(n-k, MOD N) ≡ x((n-k))N 0 1 2 3 4 1 2 3 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 4 1 2 3 -4 -3 -2 -1 4 1 2 3 81 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 4 1 2 3 -2 -1 0 4 1 2 3 90 1 2 3 4 1 2 3 x(n) x(3) x(0) x(1) x(2) 3 4 2 1 x’(n) x’(3) x’(0) x’(1) x’(2) 1 2 4 3 xp(n)x(n) xp(n-2) x’(n) DFT – Biểu diễn tín hiệu theo vòng 2011 dce 18DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ DFT – Tính đối xứng vòng • Phép dịch vòng của một chuỗi N điểm tương đương với phép dịch tuyến tính của chuỗi mở rộng tuần hoàn của nó • Chuỗi N điểm là chẵn theo vòng nếu nó đối xứng qua điểm 0 trên vòng tròn – i.e. x(N – n) = x(n), 0 ≤ n ≤ N – 1 • Chuỗi N điểm là lẻ theo vòng nếu nó phản đối xứng qua điểm 0 trên vòng tròn – i.e. x(N – n) = – x(n), 0 ≤ n ≤ N – 1 • Đảo theo thời gian của chuỗi N điểm: đảo các mẫu của chuỗi quanh điểm 0 trên vòng tròn – i.e. x((– n))N = x(N – n), 0 ≤ n ≤ N – 1 – Phép đảo được thực hiện bằng cách vẽ x(n) theo chiều kim đồng hồ 2011 dce 19DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ DFT – Tính đối xứng vòng • Giả sử x(n) và BĐ DFT X(k) là t/h phức – x(n) = xR(n) + jxI(n), 0≤n≤N–1 – X(k) = XR(k) + jXI(k), 0≤k≤N–1 • Nếu x(n) thực: X(N-k) = X*(k) = X(–k) và • Nếu x(n) thực và chẵn: x(n) = x(N–n) → XI(k) = 0 • Nếu x(n) thực và lẻ: x(n) = –x(N–n) → XR(k) = 0 • Nếu x(n) thuần ảo: x(n) = jxI(n) [ ] [ ]       −−= += ∑ ∑ − = − = 1 0 22 1 0 22 cos)(sin)()( sin)(cos)()( N n N kn IN kn RI N n N kn IN kn RR nxnxkX nxnxkX ππ ππ [ ] [ ]       += −= ∑ ∑ − = − = 1 0 22 1 0 22 cos)(sin)(1)( sin)(cos)(1)( N k N kn IN kn RI N k N kn IN kn RR kXkX N nx kXkX N nx ππ ππ )()()()( kXkNXkXkNX −∠=−∠=− ∑ − = = 1 0 2cos)()( N n N knnxkX π ∑ − = = 1 0 2cos)(1)( N k N knkX N nx π ∑ − = −= 1 0 2sin)()( N n N knnxjkX π ∑ − = = 1 0 2sin)(1)( N k N knkX N jnx π ∑∑ − = − = == 1 0 2 1 0 2 cos)()(sin)()( N n N kn II N n N kn IR nxkXnxkX ππ 2011 dce 20DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ DFT – Tính chất • Tuần hoàn • Tuyến tính • Tổng chập vòng    ∀+= ∀+= ⇒  →← kNkXkX nNnxnx kXnx NDFT )()( )()( )()( )()()()( )()( )()( 22112211 22 11 kXakXanxanxa kXnx kXnx N N N DFT DFT DFT + →←+⇒      →←  →← )()()()( )()( )()( 2121 22 11 kXkXnxnx kXnx kXnx N N N DFT DFT DFT  →←⊗⇒      →←  →← N Tổng chập vòng N điểmN 1,,1,0))(()()()( 1 0 2121 −=−=⊗ ∑ − = Nnknxkxnxnx N k N N 2011 dce 21DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ DFT – Tổng chập vòng ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ − = −− − = − = − = − = − − = − − = − = =             = = = = 1 0 )( 1 0 1 0 21 1 0 1 0 2 1 0 1 1 0 21 1 0 2 222 2 2 )()(1 )()(1 )()(1 )(1 )}({)( N k lnmkj N n N l N k kmj N l klj N n knj N k kmj N k kmj N NNN N N elxnx N eelxenx N ekXkX N ekX N kXIDFTmx π πππ π π    −=⇔=−− =⇒ =−⇒==⇒≠ ∈=−−= =     ≠ − − = = ∑ ∑ − = −− −− − = otherwise nmlpNlnmN a aeaa ZppNlnmkhia eañoùTrong a a a aN a N N k k NlnmjN lnmj N N k k N 0 ))(( 0111 ,:,1 1 1 1 1 1 0 )(2 )( 1 0 2 π π 1,,1,0))(()()( 1,,1,0))(()()( 1 0 21 1 0 21 −=−= −=−= ∑ ∑ − = − = Nnknxkxnx Nmnmxnxmx N k N N n N   )()()()( )()( )()( 21 22 11 kXkXkXmx kXnx kXnx N N N DFT DFT DFT = →←      →←  →← 2011 dce 22DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ DFT – Tổng chập vòng • Ví dụ: cho x1(n) ={1^ 2 3 4} và x2(n) ={1^ 0 2 1}. Tính x(n) = x1(n) x2(n) theo 2 cách – Dùng công thức định nghĩa – Dùng DFT và IDFT N Dùng định nghĩa x(1) = 13 x1(n)x2((1-n))4 0 2 3 8 x2((1-n))4 x2(1) = 0 x2(0) = 1 x2(3) = 1 x2(2) = 2 x2(n) x2(0) = 1 x2(1) = 0 x2(2) = 2 x2(3) = 1 x1(n) x1(0) = 1 x1(1) = 2 x1(2) = 3 x1(3) = 4 x(0) = 9 x1(n)x2((-n))4 1 2 6 0 x2((-n))4 x2(0) = 1 x2(3) = 1 x2(2) = 2 x2(1) = 0 x(3) = 9 x1(n)x2((3-n))4 1 4 0 4 x2((3-n))4 x2(3) = 1 x2(2) = 2 x2(1) = 0 x2(0) = 1 x(2) = 9 x1(n)x2((2-n))4 2 0 3 4 x2((2-n))4 x2(2) = 2 x2(1) = 0 x2(0) = 1 x2(3) = 1 1,,1,0))(()()( 1 0 21 −=−=∑ − = Nmnmxnxmx N n N  2011 dce 23DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ DFT – Tổng chập vòng        −−=−+−++= −=−+++−+= +−=+−+−+= =+++= = +++== −−−− = ∑ jjjX X jjjX X k eeeenxkX kjkjkjknj n 22)4()3()2(1)3( 2)4()3()2(1)2( 22)4()3()2(1)1( 104321)0( 3,2,1,0 4321)()( 1 1 1 1 3 0 11 2 3 24 2 πππ π Dùng DFT & IDFT        −−=−+−+= =−+= +−=+−+= =++= = ++== −−− = ∑ jjX X jjX X k eeenxkX kjkjknj n 1)()2(1)3( 2121)2( 1)()2(1)1( 4121)0( 3,2,1,0 21)()( 2 2 2 2 3 0 22 2 3 4 2 ππ π        = −= −=+−+−= = = = jX X jjjX X k kXkXkX 4)3( 4)2( 4)1)(22()1( 40)0( 3,2,1,0 )()()( 21 [ ]        = = = = = +−−= = ∑ = 9)3( 9)2( 13)1( 9)0( 3,2,1,0 44440 4 1 )( 4 1)( 2 3 2 4 2 3 0 x x x x n jeeje ekXnx njnjnj k knj ππ π π 2011 dce 24DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ DFT – Tính chất • Đảo vòng theo thời gian • Dịch vòng theo thời gian • Dịch vòng theo tần số • Liên hợp phức )())(()())(( )()( kNXkXnNxnx kXnx N DFT N DFT N N −=− →←−=−⇒  →← NkljDFT N DFT ekXlnx kXnx N N /2)())(( )()( π− →←−⇒  →← N DFTNnlj DFT lkXenx kXnx N N ))(()( )()( /2 − →←⇒  →← π      →←−=− −=− →← ⇒  →← )()())(( )())(()( )()( *** *** kXnNxNnx kNXkXnx kXnx N N N DFT N DFT DFT 2011 dce 25DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ DFT – Tính chất • Tương quan vòng • Nhân 2 chuỗi • Định lý Parseval )()()()( )()( )()( * ~~ kYkXkRlr kYny kXnx xy DFT xy DFT DFT N N N = →←⇒  →←  →← ∑ − = −= 1 0 * ~ ))(()()( N n Nxy lnynxlr )()()()( )()( )()( 21 1 21 22 11 kXkXnxnx kXnx kXnx N DFT DFT DFT N N N ⊗ →←⇒      →←  →← N ∑∑ − = − = =⇒  →←  →← 1 0 * 1 0 * )()()()( )()( )()( N k N n DFT DFT kYkXnynx kYny kXnx N N với 2011 dce 26DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ DFT – Lọc tuyến tính • Y(ω) = H(ω)X(ω) – Hàm liên tục theo tần số ω – Khó thực hiện trên các máy tính số → DFT: một cách tính hiệu qủa của tổng chập miền thời gian • Lọc tuyến tính – Tín hiệu ngắn h(n) x(n) y(n) x(n) chiều dài = L (n=0,1,,L-1) h(n) chiều dài = M (n=0,1,,M-1) ∑ − = −= 1 0 )()()( M k knxkhny y(n) chiều dài N = M+L-1 Số mẫu phổ (tần số) cần thiết để biểu diễn duy nhất chuỗi y(n) ≥ L+M-1 Y(k) = H(k)X(k), k=0,1,,N-1 H(k), X(k): DFT N điểm của h(n), x(n) (các số 0 được đệm vào để tăng kích thước chuỗi lên N) y(n) = IDFTN{Y(k)} • Tổng chập vòng N điểm của h(n) và x(n) tương đương với tổng chập tuyến tính của h(n) với x(n) • DFT có thể được dùng để lọc tuyến tính (bằng cách đệm thêm các số 0 vào chuỗi tương ứng) 2011 dce 27DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ DFT – Lọc tuyến tính • Tóm tắt • Ví dụ: tính đáp ứng y(n) dùng DFT và IDFT – h(n) = {1^, 0, 1, 2} và x(n) = {1^, 0, 1} Y(k) = X(k)H(k) x(n) DFTN X(k) h(n) DFTN H(k) x IDFTN y(n) )7,...,1,0( 1)()( 21)()( 2/ 7 0 8/2 4/32/ 7 0 8/2 =       +== ++== − = − −− = − ∑ ∑ k eenxkX eeenhkH kj n knj kjkj n knj ππ πππ              += = −= = += = −= = jX X jX X jX X jX X 1)7( 0)6( 1)5( 2)4( 1)3( 0)2( 1)1( 2)0(               ++−= −= −++= = −++= = +−−= = jH jH jH H jH jH jH H )21()21()7( 2)6( )12()21()5( 0)4( )21()21()3( 2)2( )21()21()1( 4)0( )7,...,1,0()()( 7 0 8/2 ==∑ = nekYny k knj π              +−= = −= = += = −= = )2(2)7( 0)6( )2(2)5( 0)4( )2(2)3( 0)2( )1(2)1( 8)0( jY Y jY Y jY Y jY Y 2011 dce 28DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ DFT – Lọc tuyến tính • Tín hiệu nhập dài: chia nhỏ x(n) thành từng block có độ dài cố định – Overlap-Save – Overlap-Add • Giả thiết – Bộ lọc có h(n): chiều dài M – T/h nhập x(n): được chia nhỏ thành từng block có chiều dài L >> M 2011 dce 29DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Lọc tuyến tính – Overlap-Save • DFTN và IDFTN với N = L+M–1 • Mỗi block dữ liệu được xử lý bao gồm (M – 1) điểm của block trước và L điểm mới của t/h nhập – M-1 điểm của block đầu tiên được set bằng 0 • Đáp ứng xung của bộ lọc được đệm thêm (L – 1) số 0 để tăng chiều dài lên N – DFT của N điểm của h(n) được tính một lần duy nhất Input M-1 Add M-1 zeros x1(n) x2(n) x3(n) Output LL L M-1 L M-1 L M-1 L M-1 L M-1 L M-1 LDiscard 2011 dce 30DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Lọc tuyến tính – Overlap-Add • Đệm thêm (M-1) số 0 vào mỗi block dữ liệu đầu vào Input M-1x1(n) x2(n) x3(n) Output L M-1L M-1L M-1L M-1L M-1L + + zeros Phương pháp hiệu quả hơn dùng để xác định bộ lọc tuyến tính được trình bày trong chương 6 2011 dce 31DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ DFT – Phân tích tần số    −≤≤ = otherwise Ln nw 0 101 )( • T/h ngắn – Tính DFT từ x(n) • T/h dài – Cửa sổ hoá Cửa sổ chữ nhật Cửa sổ Hanning    −≤≤− = − otherwise Lnn nw L 0 10)cos1( )( 1 2 2 1 π x(n): t/h cần phân tích Giới hạn chiều dài chuỗi một khoảng L mẫu ⇔ Nhân chuỗi với cửa sổ chiều dài L xw(n) = x(n)w(n) w(n): hàm cửa sổ Hàm cửa sổ có chiều dài L chỉ phân biệt được nếu các tần số cách nhau ít nhất một đoạn L πω 2=∆ 2011 dce 32DSP – Biến đổi DFT ©2011, Đinh Đức Anh Vũ DFT – Phân tích tần số • Ví dụ nnnx 21 coscos)( ωω += [ ])()()()()( 212121 ^ ωωωωωωωωω ++++−+−= WWWWX L=25 L=75 L=50 L=100 ω1 = 0.2π ω2 = 0.22π    −≤≤ = otherwise Ln nw 0 101 )( Rò rỉ công suất