Bài giảng Kỹ thuật điều khiển tự động

[(s ds d n q n i 1q 12q1q q − −++− −++−+=− − −− Kq-1 = Y(s)]}r)[(s ds d {lim q rs −→ Kq-2 = Y(s)]}r)[(s ds d 2 1 {lim q 2 2 rs −→ .... Kq-k = Y(s)]}r)[(s ds d k! 1 {lim q (k) (k) rs −→ Vậy: y(t) = ++++−+− − − − rt 1 rt 2 rt2q 1q rt1q q .eK 1! .t.eK ... 2)!(q .e.tK 1)!(q .e.tK C1. e tr1 + C2. e tr2 +... + Cn. e trn -Nghiệm phức liên hợp: Y(s) = n n 1 10 rs C ... rs C jbas C jb-as C B(s) A(s) −++−++−+−= Xác định các hằng số C, C0 tương ứng với các nghiệm phức liên hợp: C = ] )r)...(sr(2jb).(s A(s) [lim] )r)...(srjb).(sajb).(sa(s A(s) jb).a[(slim n1 jbas n1 jbas −−=−−+−−−−− +→+→ = jb).K(a 2jb 1 + K(a+jb) = jbas +→lim ))...(1( )(4 nrSrs s −− = [(s 2 -2as+a 2 +b 2 . sB sA / / )] jbaS += Co = jbas −→lim [(s-a+jb) ))....().().(( )( 1 nrsrsjbasjbas sA −−+−−− ] = jbas −→lim [ )).(.(2 )( 1 nrsrsa sA −−− ] = - a2 1 .K.(a-jb) K(a+jb) = jbas −→lim [ )).(( )( 1 nrsrs sA −− ] = - a2 1 .K.(a+jb) = [( 2 - 2as + a 2 +b 2 ) )( )( sB sA ] jbas −= Các trị số k(a+jb) và k(a-jb) là các số phức liên hợp Ta cần thể hiện các số này trên hình vẽ: K(a+jb) = [k(a+jb)]e αj K(a+jb) = [k(a+jb)]e αj [k(a+jb)] = [k(a-jb)] ( Độ dài của véc tơ ) ⇒ C và Co cũng là các số phức liên hợp . C = jb2 1 .[k(a+jb)].e αj− Co = -[k(a+jb)]e αj− Từ bảng laplace ta xác định hàm chuyển tiếp y )(t = c.e tjba ).( + +Co.e tjba ).( − +C1.e tr1 +.....+Cn.e rnt )(ty⇒ = jb2 1 [k(a+jb)].e tjba ).( + .e αj− + - jb2 1 [k(a-jb).e tjba ).( − .e αj− +... = jb2 1 [k(a+jb)].e ta. .e )( α+btj - e )( α+− btj = b 1 [k(a+jb)].e at . j ee btjbtj 2 )()( αα +−+ − = b 1 [k(a+jb)].e at .sin( )( bt+α +C1.e tr1 +...+Cn.e rnt Phương trình trên thể hiện hàm điều hoà sin tắt dần theo hàm mũ, xuất phát từnghiệm phức liên hợp Phần ảo b là tàn số dao động tắt dần . Thời gian của mỗi dao động là b π2 . Đường bao hình sin là b 1 [k(a+jb)].e at . Để hàm mũ giảm dần thì a O j t (1/b).[K(a+ jb)](1/b).[K(a+ jb)].e O j t at O at(1/b).[K(a+ jb)].e t j t O b j a>0a<0 a>0 a<0 a=0 phải là trị số âm . Trường hợp a = 0, ta sẽ có hàm sin có biên độ b 1 [k(a+jb)].e at không đổi. Hình 2.12 - Nếu các nghiệm nằm ở bên trái trục ảo ( a<0 ) thì dao động hình sin sex tắt dần, nếu a=0 thì dao động với biên độ không đổi, nghiệm nằm ở bên phẩi trục ảo(a>0) thì dao động sẽ tăng dần. Cách khác xác định đáp ứng thời gian: Đáp ứng thời gian có thể xác định bằng cách tìm các cực của G(s). X(s) vì Y(s) = G(s). X(s) và ước lượng tìm các hệ số của các phân thức của biểu thức Y(s) tại các cực đó. Các hệ số có thể xác định bằng đồ thị nhờ một ánh xạ cực – không của Y(s). ánh xạ này được dựng từ ánh xạ cực – không của G(s) và cộng thêm các cực- không của X(s). Các bước : G(s) = )p(s )z(s.b i n 1i i m 1i m +∏ +∏ = = Vì G(s) là một hàm phức nên có thể viết dưới dạng cực như sau: G(s) = jφ.eP(s) = P(s) φ∠ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= − )(Re )(Imtan 1 sG sGφ σ jω -zi s s+zi -pi s+pi σ -p1 (s) jω -z1 -p2 -p3 -z2 -z1 σ -z2 -p3 -p2 jω (s) -p1 a) b) c) Mỗi số phức s, zi, pi, ( s + zi) và ( s + pi) có thể diễn tả bằng một vectơ trong mặt phẳng S. Biểu diễn trên đồ thị: Hình 2.13 Trong hình a) có một cực –pi và một không – zi và một biến phức S. Vectơ tổng s + zi là vectơ bắt đầu từ không – zi và kết thúc tại s, vectơ s + pi bắt đầu từ cực – pi và kết thúc tại s. Độ lớn của C = bm. pi) s ( cña vecto lín é§ zi)(s cña vecto lín é§ + + = )p(s )z(s.b i n 1i i m 1i m +∏ +∏ = = Trường hợp b): 1C = )p).(sp(s z).(sz(s.b 21 21m ++ ++ ) Trường hợp c): 2C = )p).(sp(s z).(sz(s.b 21 21m ++ ++ ) Diễn tả theo dạng cực thì: Ci = iji eC φ. = iiC φ∠ Hoặc theo toạ độ vuông góc: Ci = iiii CjC φφ sin..cos. + iφ = Tổng các góc của các vectơ từ các không đến – pi trừ đi tổng các góc của các vectơ từ các cực tới –pi ( nếu bm > 0) iφ = Tổng các góc của các vectơ từ các không đến – pi trừ đi tổng các góc của các vectơ từ các cực tới –pi + 1800 ( nếu bm < 0) -Phương pháp đồ thị này không áp dụng cho trường hợp có các cực trùng nhau ( nghiệm lặp). G1 G2 G1xG2 R C R C * Hàm truyền đạt trong lĩnh vực tần số Việc phân tích hệ thống nằm trong hai lĩnh vực: Lĩnh vực thời gian và lĩnh vực tần số. -Trong lĩnh vực thời gian: nội dung chủ yếu là các đặc tính động lực của hệ thể hiện trạng thái quá độ (đáp ứng quá độ). Ta đã dùng phương trình vi phân và biến đổi Laplace để nghiên cứu các nghiệm của phương trình ( tức là các đáp ứng của hệ). Áp dụng biến đổi Laplace để giải các phương trình vi phân tuyến tính là phần quan trọng nhất trong nghiên cứu trạng thái quá độ của các hệ tuyến tính thuộc lĩnh vực thời gian. Tuy vậy giải phương trình vi phân để phân tích trạng thái động lực của hệ thống (tức là trong lĩnh vực thời gian) khá phức tạp đối với các hệ không đơn giản. Nhưng phương pháp phân tích đáp ứng tần số ( thuộc lĩnh vực tần số) có thể đánh giá được tính năng của hệ mà không cần giải phương trình vi phân. Phương pháp đáp ứng tần số phân tích các tính năng của hệ xem như một hàm của tần số của tín hiệu vào dạng sin mà không phải là khảo sát đáp ứng thời gian thực tế. Cũng có thể nói phương pháp đáp ứng tần số phân tích đáp ứng dạng sin ổn định của hàm truyền của hệ. Phương pháp này có nhiều ưu điểm: - Cho phép ta ước lượng được dãy tần số ảnh hưởng đến tính năng của hệ - Dễ chỉ cho ta biện pháp thay đổi hệ để đạt các tính năng yêu cầu trong việc thiết kế các hệ thống điều khiển. Bằng đồ thị có thể chỉ cho ta biện pháp phán đoán vấn đề bằng các phương trình vi phân. Nếu các phương trình đã được giải nhưng đáp ứng không đạt yêu cầu thì không dễ quyết định được biện pháp thay đổi hệ thống để đạt chất lượng mong muốn. Phương pháp tần số đã vượt qua được hạn chế đó. - Đáp ứng có thể xác định bằng thực nghiệm cũng tốt không thua kém tính toán giải tích. Ưu điểm này rất quan trọng khi mô tả các phần tử của hệ bằng các phương trình vi phân. 2.2. Đại số sơ đồ khối Sơ đồ khối là một trong các dạng mô hình toán của hệ thống điều khiển, trên sơ đồ thể hiện đại lượng vào – ra của hệ thống và các tính chất của hệ thống. Một số chuyển đổi cơ bản để rút gọn các sơ đồ khối phức tạp. 1. Tổ hợp các khối nối tiếp Hình 2.14 + + R G1 G2 C R C G1+G2 R + + C G A B + + C G G B A A B G 1/G + + B G C + A C G C B G C 1/G C B B B C G GG B C C C Chứng minh : C= R.G1.G2 = G1.G2.R 2. Tổ hợp các khối song song Hình 2.15 Tại điểm tụ C = R.G2 + R.G1 = ( G1+G2).R 3. Di chuyển điểm tụ về bên phải một khối : Hình 2.16 Tại điểm tụ R = A + B Nên C = G. ( A + B) Sơ đồ tương đương là: C = A. G + B. G = G. ( A + B) 4. Di chuyển điểm tụ về bên trái một khối Hình 2.17 5. Di chuyển điểm tán về bên phải một khối Hình 2.18 6. Di chuyển điểm tán về bên trái một khối Hình 2.19 7. Rút gọn hệ thống R G 1+GH C B C H G R + - E E - +R G1 H C B G2 + E+R G H C B +- Hình 2.20 Chứng minh: Sơ đồ ban đầu: G = E C ⇔ C = E. G ; E = R - B ; B = C. H ; E = R – C. H = R – E. GH E. ( 1 + GH ) = R E = G.H1 R + Hàm truyền của hệ thống là: R C = G.H1 R + . R G = GH1 G + Từ biểu thức ta thấy: Nếu gia lượng tuyến thuận G lớn thì tích GH ≥ 1, lúc này gia lượng mạch kín còn là R C = H 1 - Kết luận: Trạng thái của mạch kín phụ thuộc tính chất tuyến tính của phản hồi H và độc lập với tuyến thuận ( về tính chất ). Nếu tuyến thuận có một vài thay đổi do một vài lí do nào đó thì tuyến phản hồi sẽ trừ khử hiệu quả sự thay đổi của đầu ra. Vì thế không cần điều chỉnh hệ thống, nhưng phải điều chỉnh phần tử phản hồi H. - Nếu mạch kín bị cắt đứt như hình vẽ: Hình 2.21 Hàm truyền toàn mạch còn G1. G2. H được xem như hàm truyền của mạch hở. G1. G2. H = E .H.GE.G E C.H E B 21== * Sơ đồ khối dạng chính tắc: ư Hình 2.22 BE HG C Các đại lượng sau cần xác định rõ: G: Hàm truyền tuyến thuận H: Hàm truyền tuyến phản hồi GH: Hàm truyền mạch hở. Hình 2.23 R C : Hàm truyền mạch kín (tỷ số điều khiển) R E : Tỷ số tín hiệu tác động ( tỷ số sai lệch ) R B : Tỷ số phản hồi cơ bản Ta có liên hệ sau: R C = GH1 G ± * Hệ phản hồi đơn vị: Một hệ phản hồi đơn vị là một hệ trong đó tín hiệu phản hồi cơ bản B bằng đầu ra C. Đây là một trường hợp đặc biệt hay gặp trong thực tế và là sự so sánh trực tiếp giữa đầu ra và đầu vào chuẩn. Vì lúc này khối phản hồi có giá trị đơn vị là 1 nên hàm truyền mạch kín là: R C = G1 G + Trường hợp này xảy ra khi đầu ra mô phỏng lại đầu vào chuẩn. Bất kỳ hệ phản hồi nào nếu chỉ có các phần tử tuyến tính trong tuyến phản hồi đều có thể đặt dưới dạng một hệ phản hồi đơn vị bằng cách dùng chuyển đổi 4, ta được sơ đồ khối sau: E+R G H C B +- -+B C G.H R + E 1 H E = R ± B E = H R ± B B = C.h B = C Hình 2.24 ⇒ R C = GH G ±1 B C G2 + G1 R + - + H U C(R) G2G1 R + - H E = G C E= HG C . HG C . ⇒ = H R ± C C ( HG. 1 ± 1) = H R * Hệ có nhiều tín hiệu vào ra : Nhiều hệ có nhiễu U, hoặc có nhiều tín hiệu vào ( nhiều kích thích ) đồng thời với tín hiệu vào chuẩn R, chúng áp lên hệ tại các điểm khác nhau và mang lại cho hệ những tính năng khác nhau. Khi trong một hệ tuyến tính có mặt nhiều tín hiệu vào ta phải xử lí từng tín hiệu độc lập với nhau, sau đó dựa trên nguyên lí chồng chất cộng đại số các đáp ứng cá biệt của từng tín hiệu với nhau ta sẽ được tín hiệu ra tổng cộng của hệ khi mọi tín hiệu đồng thời tác động lên hệ. Có nghĩa là ta giả thiết từng tín hiệu vào tác dộng riêng biệt đến hệ ( các tín hiệu vào còn lại giả thiết bằng không ) lần lượt làm như vậy với từng tín hiệu vào, sau đó thực hiện một phép cộng đại số các đáp ứng nói trên, để tìm đáp ứng riêng của từng tín hiệu vào, đôi khi cần đến thủ thuật rút gọn sơ đồ khối về dạng chính tắc bằng cách dùng một trong bảy chuyển đổi trên. * MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1 : Xác định dầu ra C của hệ thống: Hình 2.25 Cho U = 0 hệ thống đơn giản hoà thành : Hình 2.26 Xác định đầu ra : C )(R = 2.11 2.1 GG GG + .R + Cho R = 0 , chỉ có đầu vào U ta có sơ đồ sau C(U) G2 U + - G1.H H + +U G2 C G1 - G2 - +R1 G1 C1 G3 G4 + - C2R2 Hình 2.27 Tại điểm tụ, trước khối G1 có dấu âm nên phản hồi là phản hồi âm (đổi dấu phản hồi ban đầu) ⇔ Hình 2.28 ⇒ C )(U = HGG G .2.11 2 + .U Vậy đầu ra tổng cộng khi cả 2 tín hiệu vào R, U tác động là: C = C )(U = C )(R = ( HGG GG ..1 21 2.1 + ).R + HGG G ..1 21 2 + .U * Nhận xét : Từ C )(U = HGG G ..1 21 2 + .U Nếu G 21.G .H ≥ 1 thì C )(U ≈ HG . 1 1 .U Tác dụng của nhiễu U vào hệ thống bị giảm đáng kể khi hàm truyền của mạch hở tăng . Vì thế với gia lượng G1 lớn có thể cho một đầu ra chính xác ( Đầu ra rất không nhạy cảm với nhiễu) . Ví dụ 2 : Hệ có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra Tmà C1 , C 2 = ? Hình 2.29 C1 G1 R1 + - G2G3.G4 - G2.G3.G4 + +R1 G1 C1 C1 G1 R1 + - G2G4G3 R2 + - C12 G2 R2 + - (-G1).G3.G4 G2 - +R2 G4 C12 G1G3 - + Trước hết bỏ qua C 2 , hệ thống chỉ còn một đầu ra C1 Đầu tiên bỏ qua R 2 = 0 : Hình 2.30 ⇒ C11 = 4321 1 .G.G.GG1 G − .R1 Bỏ qua R1 = 0, hệ thống còn R 2 và C12 . Hình 2.31 C12 = 2 4321 431 .R .G.G.GG1 .G.GG − − Vậy đầu ra C1 do R1 và R2 tác động là: C1 = C11 + C12 = 4321 1 .G.G.GG1 G − .R1 + -G1 G4 C2 G2 R1 + - G3 G1.G2 - +R1 G3 C21 + R2 - G4 Cho R2 = 0 C21 G3 R1 + - G1.G2.(-G4) G3 C22 G4 R2 + - G1.G2 - G1.G2.G3 + +R2 G4 C22 + 2 4321 431 .R .G.G.GG1 .G.GG − − = 4321 243111 .G.G.GG1 .R.G.GG.RG − − * Bỏ qua C1 để tìm C2 ta có: Hình 2.32 C21 = 1 4321 421 .R .G.G.GG1 .G.GG − − Cho R1 = 0: Hình 2.33 C22 = 4321 24 .G.G.GG1 .RG − Vậy đầu ra C2 do R1, R2 tác động là: C2 = C21 + C22 = 1 4321 421 .R .G.G.GG1 .G.GG − − + 4321 24 .G.G.GG1 .RG − = 4321 142124 .G.G.GG1 .R.G.GG.RG − − Ví dụ 3: Rút gọn sơ đồ khối về dạng chính tắc + H1 G3G4+G1 - +R H2 C- G2 G2 - C H2 G3 R + - G4+G1 G3 H1 + C G4+G1 - +R H2 G3 G2.G3 1 + G2.G3.H1 Hình 2.34 Hàm truyền của hệ thống: 2241132 3241 232413132132 1323241 .H).GG(G.H.GG1 .G).GG(G ].H.G).GG(G).G.H.GG).[(1.H.GG(1 ).H.GG.(1.G).GG(G R C G +++ += =++++ ++== * Nguyên tắc rút gọn sơ đồ khối phức tạp về dạng sơ đồ chính tắc - Tổ hợp các khối nối tiếp theo chuyển đổi 1 - Tổ hợp các khối song song theo chuyển đổi 2 - Triệt tiêu các mạch phản hồi phụ theo chuyển đổi 7 - Di chuyển điểm tụ sang trái và điểm tán sang phải của mạch chính theo các chuyển đổi 4 và 5. - Làm lại từ bước 1 đến 4 cho đến khi nhận được dạng chính tắc với 1 tín hiệu vào riêng biệt. - Làm lại từ bước 1 đến bước 5 đối với mỗi tín hiệu vào. 2.3. Graph tín hiệu và qui tắc Mason 2.3.1. Graph tín hiệu Các hệ thống điều khiển còn được mô tả bằng mô hình toán là Graph tín hiệu. Graph tín hiệu thể hiện bằng đồ thị sự truyền tín hiệu trong hệ thống, nhưng dễ dàng hơn các dạng mô hình toán khác. Xét phương trình đơn giản: Xi = Aij. Xj Các biến Xi, Xj : là hàm thời gian, hàm biến phức hoặc hằng số, hoặc là hằng số. NótNót Nh¸nh Xj XiAij Ain XiX2 X1 Xn Ai2 Ai1 Aij là một toán tử ánh xạ Xj vào trong Xi nên Aij gọi là hàm truyền ( hàm truyền đạt). Khi Xi, Xj các hàm của biến Laplace S ( biến phức). Mỗi biến số trong Graph được Mỗi biến số trong Graph được kí hiệu bằng một nút mỗi hàm chuyển được ký hiệu bằng một nhánh, các nhánh đều có hướng ký hiệu bằng mũi tên diễn tả dòng tín hiệu. Hình 2.35 * Quy tắc hội tụ ( cộng vào): Tổng các tín hiệu đi vào một nút bằng giá trị các nút đó. Tổng quát: Xi = ∑ = n 1j jij .XA Hình 2.36 *Quy tắc phân kỳ ( chuyển ra): Giá trị của một nút có thể chuyển ra từng nhánh rời khỏi nút đó. Nếu ta có: Xi = Aik ; i = 1,2,..., n. Thì Graph như hình vẽ: AjkXk X2 X1 Xn A2k A1k Xn Ank Hình 2.37 * Quy tắc nhân: Nhiều nhánh nối tiếp nhau có thể thay bằng một nhánh có hàm chuyển bằng tích các hàm chuyển của các nhánh đó. A21 Xn-1X2X1 Xn An(n-1) X1 Xn A21.A21...An(n-1) = A43 X4X1 X2 X3 A21 A33 A32 A23 A23 A32A21 X3X2X1 = X1 X2 X3 A21 A32 A23 1 X4 X3=X4 Xn = A21. A32. A43... An(n-1) .X1 Hình 2.38 * Các thành phần trong Graph tín hiệu: Cho một Graph tín hiệu như hình vẽ sau Hình 2.39 - Một tuyến: Là một trình tự nối tiếp, đơn hướng của các nhánh, trong đó không có nút nào bị xuyên qua quá một lần. X1 đến X2 đến X3 đến X4 X2 đến X3 và trở về X2 X1 đến X2 đến X4. - Nút vào: Là một nút chỉ có các nhánh đi khỏi nó ( X1). - Nút ra: là một nút chỉ có các nhánh đi tới nó ( X4) Có thể thêm một nút giả với hàm chuyển bằng 1 để thoả mãn định nghĩa này. Hình 2.40 - Tuyến thuận: là tuyến đi từ nút vào đến nút ra ( bằng bất cứ đường nào) X1 đến X2 đến X3 đến X4; X1 đến X2 đến X4 - Tuyến phản hồi: là tuyến xuất phát và kết thúc tại cùng một nút. X2 đến X3 đến X2 - Tuyến đơn: Là tuyến phản hồi chỉ có một nhánh. - Hai tuyến ( hoặc hai vòng kín) gọi là không chạm nhau nếu chúng không có nút chung. - Hàm truyền của tuyến hoặc của vòng kín bằng tích hàm truyền của các nhánh nằm trong tuyến hoặc vòng kín đó. Tuyến thuận X1 đến X2 đến X3 đến X4 có gia lượng A21. A32. A43 Tuyến phản hồi: X2 đến X3 đến X2 có gia lượng A32. A23 x2 x1 x3x3 dt 2 2 d -1 dt d 1 x1 A32 A23 A21 A31 A33 x4A43 A42 x1 x2 x3 x4 A21 A23 A31 A32 A42 A43 A33 x2 x3 G1 G2 G3 G4 G5 G7 G6 -H1 -H2 u y1 1 Các ví dụ: Ví dụ 1: Dựng Graph tín hiệu cho hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân sau: x3 = 112 2 2 x dt dx dt xd −+ Từ phương trình ta thấy có 3 biến số x1, x2, x3 nên cần có 3 nút ( không kể nút giả). Các toán tử trong phương trình là dt d và 2 2 dt d Viết lại phương trình trên: x3 = 12 2 x dt d dt d −+ )()( 12 xx Sơ đồ Graph tín hiệu: Hình 2.41 Ví dụ 2: Dựng Graph tín hiệu cho nhóm phương trình xét đồng thời sau: x2 = A21. x1 + A23. x3 x3 = A31. x1 + A32. x2 + A33.x3 x4 = A42. x2 + A43. x3 Nhận xét: Phương trình trên có 4 biến số x1, x2, x3, x4 ta có sơ đồ Graph tín hiệu sau Hình 2.42 2.3.2. Quy tắc Mason Từ sơ đồ Graph tín hiệu có thể rút gọn sơ đồ và tìm hàm truyền đạt của cả hệ thống. Để tìm hiểu về quy tắc Mason ta có ví dụ minh họa sau: Hình 2.43 Bước 1: Xác định tất cả những tuyến thẳng Pk có thể có của hệ thống. Đó là những đường nối liền nhau không chứa đường phản hồi đi từ điểm nút nguồn u(t) tới điểm nút đích y(t) và Pk có giá trị bằng tích các giá trị các đường nối có trong Pk. Hệ trên có 3 tuyến thẳng: P1 = G1. 1. G2. G7 P2 = G1. 1. G6. G4. G5 P3 = G1. G2. G3. G4. G5 Bước 2: Xác định tất cả những vòng lặp Lk có thể có của hệ thống. Đó là những đường nối liền nhau tạo thành một vòng kín. Hệ trên có 4 vòng lặp: L1 = -1. G4. H1 L2 = -1. G2. G3. G4. G5. H2 L3 = -1. G6. G4. G5. H2 L4 = - 1. G2. G7. H2 Bước 3: Tính ....L.LL.LLL1Δ nm,l, nml ji, ji k k +−+−= ∑∑∑ (2.3.2.1) Trong đó: Li, Lj là những cặp hai vòng lặp không trùng nhau ( không có chung một nhánh nào) Ll, Lm, Ln là bộ 3 vòng lặp không trùng nhau,... Hệ trên chỉ có 2 vòng lặp L1, L2 là không trùng nhau ( không có đoạn nào giống nhau). ....L.LL.LLL1 nm,l, nml ji, ji k k +−+−= ∑∑∑Δ = 1 – ( L1 + L2 + L3 + L4) + L1. L4 = = 1 + G4. H1 + G2. G3. G4. G5. H2 + G6. G4. G5. H2 + G2. G7. H2 Bước 4: Xác định Δ k từ Δ bằng cách trong công thức (2.3.2.1) ta bỏ đi tất cả những vòng lặp có đoạn nối chung với Pk . Tức là: Δ 1= 1 – L1 = 1 + G4. H1 ( tất cả các vòng lặp đều không có đoạn nối chung với P1) Δ 2 = 1 ( tất cả các vòng lặp đều có đoạn nối chung với P2 ( có G1) Δ 3 = 1 ( Vòng lặp có đoạn chung với P3 ) Bước 5: Xác định hàm truyền đạt G(s) theo công thức Mason: G(s) = ).Δ(P Δ 1 k kk∑ Vậy G(s) = Δ 1 . ( P1. Δ 1 + P2. Δ 2 + P3. Δ 3) = - u G2 y G3G1 - H2 H1 1u G3G2G1 -H2 H1 -1 y h1 h2 A1 A2q u(t) y(t) r1 r2 γ,p1 γ,p2 = H .G .G H .G .G .G H .G .G .G .G H .G 1 G .G .G .G .G G .G .G 1. .G)HG.(1G .G 1. .G 27225462543214 54321546114721 ++++ +++ Ví dụ 1: Cho hệ thống có sơ đồ khối như sau, sơ đồ Graph tín hiệu tương đương như hình vẽ Hình 2.44 Hệ chỉ có một tuyến thẳng đó là: P1 = G1. G2. G3 Hệ có 3 vòng lặp từng đôi một có đoạn nối chung: L1 = G1. G2. H1 L2 = -G2. G3. H2 L3 = -G1. G2. G3 Vậy, ....L.LL.LLL1 nm,l, nml ji, ji k k +−+−= ∑∑∑Δ = 1 – ( L1 + L2 + L3) = = 1 - G1. G2. H1 +G2. G3. H2 + G1. G2. G3 Do tất cả các vòng lặp cũng đều có tuyến thẳng P1 nên Δ 1= 1 Hàm truyền của hệ thống là: G(s) = ).(P1 k kk∑ ΔΔ = Δ1 . P1.Δ 1 = 321232121 321 G .G .G H .G .G H .G .G - 1 G .G .G ++ Ví dụ 2: Xét một hệ thống gồm 2 bình chứa chất lỏng như sau Hình 2.45 A1s 1 γ 1 r1 1 A2s γ r2 1u(t) y(t)h2 p2qp1h1 1 A1s γ γr11 1A2s r21 -1 -1 -1 u(t) y(t) Chất lỏng được bơm vào bình thứ nhất với lưu lượng u(t). Nếu chất lỏng trong bình thứ nhất có độ cao h1, áp suất p1, hệ số chuyển đổi áp suất, lưu lượng r1, hệ số áp suất, độ cao g. lưu lượng chảy sang bình thứ hai là q và h2, p2, r2 là độ cao, áp suất, hệ số chuyển đổi áp suất, lưu lượng của chất lỏng trong bình thứ 2. Theo các định luật vật lý, giữa những thông số kỹ thuật đó có quan hệ: A1. dt dh1 = u(t) – q q = . r 1 1 (p1 – p2) A2. dt dh2 = q – y(t) y(t) = . r 1 2 p2 ( áp suất tại đầu ra được xem như bằng 0) p1 = γ.h1 p2 = γ.h2 Trong đó y(t) là lưu lượng chất lỏng chảy ra khỏi bình thứ 2. Từ những hiểu biết lý thuyết ban đầu đó của hệ thống ta có sơ đồ khối và sơ đểu Graph mô tả tín hiệu mô tả hệ thống. Hình 2.46 Từ sơ đồ trên ta thấy hệ chỉ có một tuyến thẳng: P1 = 2 2121 2 .s.A.A.rr γ Hệ có 3 vòng lặp: L1 = - .s.Ar 11 γ L2 = - .s.Ar 21 γ L3 = - .s.Ar 22 γ Trong đó có 2 vòng lặp L1 và L2 không có nhánh nào chung. Nên HÖ thèng Ku(t) y(t)K ....L.LL.LLL1 nm,l, nml ji, ji k k +−+−= ∑∑∑Δ = 1 – ( L1 + L2 + L3) + L1.L3 = 1 + ( .s.Ar 11 γ + .s.Ar 21 γ + .s.Ar 22 γ ) + .s.Ar 11 γ . .s.Ar 22 γ = 2 2121 221211 2 2112 .s.A.A.rr .Ar.Ar.Ar.s.A.r.Ar 2)..( γγ ++++ s Vì cả 3 vòng lặp trên đều có nhánh nối chung với P1 nên 11 =Δ Vậy hàm truyền đạt: G(s) = Δ .ΔP 11 = 2 2121 2 .s.A.A.rr γ . 2)..( γγ ++++ s22121122112 2 2121 .Ar.Ar.Ar.s.A.r.Ar .s.A.A.rr = = 2)..( γγ γ ++++ s22121122112 2 .Ar.Ar.Ar.s.A.r.Ar 2.4. Các hệ thống lấy mẫu dữ liệu Như đã biết, hệ thống liên tục là hệ có các biến số vào và ra được truyền đi và biến đổi liên tục theo thời gian, có thể quan sát vào bất cứ thời điểm nào. Nhưng trong điều khiển còn có nhiều hệ thống mà các biến số chỉ được đưa vào và xử lý gián đoạn, nó cho đáp ứng tại các thời điểm gián đoạn đó là các hệ thống rời rạc mà các tín hiệu truyền đi không liên tục. Có các dạng hệ thống gián đoạn: - Các hệ thống lấy mẫu gián đoạn từ các hệ liên tục, biến đổi tín hiệu liên tục thành gián đoạn gọi là lượng tử hoá - Các hệ thống làm việc theo chu kỳ - Các hệ thống có cấu trúcc chu kỳ Hệ rời rạc, gián đoạn có những ưu điểm: - Làm việc ít tốn năng lượng, có tính kinh tế - Có thể điều khiển nhiều kênh đồng thời, chống nhiễu tốt - Truyền và giữ tin được lâu - Về lý thuyết không cần phép tính tích phân và vi phân nên đơn giản hơn - Có nhiều tính chất giống như hệ liên tục - Mô hình toán là các phương trình lặp ( phục hồi lại) * Mô hình toán của hệ thống rời rạc Xét hệ xung lấy mẫu gián đoạn: Hình 2.47 0 y(kT) t T 2T 3T 4T 5T 5T4T3T2TT 1 2 3 4 554321 k y(k) 0 f) Chuçi rêi r¹c 0 u(k) k u(1) u(2) u(3) u(4) u(5) y(1) y(2) y(3) y(4) y(5) e) Chuçi rêi r¹c t u(kT) 0 τ TÝn hiÖu vμo b) c) TÝn hiÖu ra τ Đóng và mở bộ ngắt K theo chu kỳ để mạch của nó không liên tục được nữa; ta sẽ được các xung gián đoạn liên tiếp nhau tạo thành một chuỗi tín hiệu xung. Mỗi xung kéo dài một thời gian t . Giả sử thao tác bộ ngắt K sao cho t càng nhỏ ( t → 0) với một chu kỳ lấy mẫu cố định T thì các xung càng thu hẹp lại và ta chọn tỷ lệ thời gian sao cho chu kỳ lấy mẫu T = 1, tức là u(kT) = u(k) y(kT) = y(k) k = 0, 1, 2, 3,... là các số nguyên Phương trình lặp đại số có dạng sau: any(k+n) + an-1y(k + n -1) +... + a1y(k + 1) + a0 y(k) = bm u( k+m) + bm-1u(k + m -1) + ... + b1 u(k + 1) + b0 u(k) Trong phương trình trên không có vi phân, cũng không có tích phân gọi là phương trình lặp lại để diễn tả hệ rời rạc ( lấy mẫu) tương đương với phương trình vi phân của hệ liên tục. k: là biến độc lập với các giá trị 0, 1, 2, 3,... u(k): là một chuỗi rời rạc mô tả tín hiệu vào y(k): là một chuỗi rời rạc khác mô tả tín hiệu ra. Hình 2.48 * Toán tử gián đoạn: Hệ thống gián đoạn cũng quy định một vài toán tử với hàm cần tìm. - Toán tử cộng thêm 1: E (k) = k + 1 f(k+1) f(k) k k+1 f(k) k f(k) 0 E[f(k)] = f( k+ 1) E f(k) f(k+1) E[f(k)] = f(k+1) k+mk E m n E k+m+n Tính chất của toán tử E: Tính lặp lại: En(k) = k + n Tính nghịch đảo: E-n(k) = k – n Tính gộp: Em. En = Em+n E[Cf(k)] = C.f(k+1) = C. E[f(k)] ; C là hằng số E[f1(k) + f2(k)] = f1( k+1) + f2(k + 1) = E[f1(k)] + E[f2(k)] E[C1.f1(k) + C2.f2(k) + ... + Cn. fn(k)] = ∑∑ == =+ n 1i ii n 1i ii (k)].E[fC1)(k.fC Hàm truyền đạt: Phương trình lặp: any(k+n) + an-1y(k + n -1) +... + a1y(k + 1) + a0 y(k) = = bm u( k+m) + bm-1u(k + m -1) + ... + b1 u(k + 1) + b0 u(k) ⇔ an.En[y(k)] + an-1.En-1[ y(k)] +... + a1. E[y(k)] + a0 y(k) = bm. Em[u(k)] + + bm-1. Em-1[u(k)] + ... + b1. E[u(k)] + b0. u(k) Ta có : D(E).y(k) = N(E) u(k) Trong đó: D(E) = an.En + an-1.En-1 +... + a1. E + a0 N(E) = bm. Em + bm-1. Em-1 + ... + b1. E + b0 Hàm truyền của hệ thống: H(E) = D(E) N(E) = 0 1n 1n n n 0 1m 1m m m a...EaEa b...Eb.Eb +++ +++ − − − − *Toán tử sai phân Δ [f(k)] = f(k+1) – f(k) Hình 2.49 Các tính chất: 1.Δ [Cf(k)] = Cf(k+1) – C f(k) = CΔ f(k) 2.Δ [f1(k) + f2(k)] = [ f1(k+1) + f2(k+1)] – [ f1(k) + f2(k)] = Δ f1(k) - Δ f2(k) 0 f(t) t T 2T 3T 4T 5T t y(kT) 0 f(T) f(2T) f(3T) f(5T) 0 y(kT) t 5T4T3T2TT f(0) f(kT)f(t) y(kT) 3.Δ[C1f1(k) + C2f2(k) + ... + Cnfn(k)] = ∑∑∑ === Δ=−+ n 1i ii n 1i ii n 1i ii (k)f.C (k).fC1)(k.fC 4.Δ[f(k)] = f(k+1) – f(k) = E f(k) – f(k) = ( E – 1)f(k) ; Δ = E – 1 5.Δ[f(k)] = f(k+1) – f(k) 6.Δ2[f(k)] = Δ[Δf(k)] = Δf(k+1) - Δf(k) 7.Δn[f(k)] = Δ[Δn-1f(k)] = Δn-1f(k+1) - Δn-1f(k) Δn[f(k)] = (E-1)n [f(k)] = [ En - ∑ = −−−− −+−=+−+−++−+−+=+−+ ++−=+−++−+ n 0r r n rr n rr n r 1nnrnr n r2n1n r)nf(kC1)(...r)nf(kC1)(....1)nnf(kn)f(k ...[f(k)]C1)( ...[f(k)]E 1! n [f(k)]E...].f(k)E.C1)