Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Hệ thống điều khiển phi tuyến

bậc 3) ( ) ( ))()()()(1)(11)( 3 21 3 2121 ttktttt δδτττψψττψττψ +   ++   −    +−= &&&&&&&& ψ(t) δ(t) Hướng chuyển động 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 15 Mô tả toán học hệ phi tuyến dùng phương trình trạng tháâ û ù ï ä á ø ï ùi ‘ Hệ phi tuyến liên tục có thể mô tả bằng phương trình trạng thái: trong đó: u(t) là tín hiệu vào, y(t) là tín hiệu ra, x(t) là vector trạng thái, x(t) = [x1(t), x2(t),…,xn(t)]T f(.), h(.) là các hàm phi tuyến   = = ))(),(()( ))(),(()( tuthty tutt x xfx& 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 16 Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái â û ä á ø ï ù – Thí dụ 1ï ‘ Đặt biến trạng thái: )()(1 tytx = ‘ PTTT:   = = ))(),(()( ))(),(()( tuthty tutt x xfx& )( )(2 ),( 1 tu A k A tgxaC u D +−=xf )())(),(( 1 txtuth =x trong đó: ‘ PTVP: y(t) u(t) qin qout ( ))(2)(1)( tgyaCtku A ty D−=& 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 17 Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái â û ä á ø ï ù – Thí dụ 2ï ‘ Đặt biến trạng thái:   = = )()( )()( 2 1 ttx ttx θ θ & ‘ PTTT:   = = ))(),(()( ))(),(()( tuthty tutt x xfx& ‘ PTVP: m u θ l )( )( 1cos )( )()( )( )( 222 tumlJ g mlJ Mlmlt mlJ Bt C +++ +−+−= θθθ &&&     +++−+ +−= )( )( 1)( )( )(cos )( )( )( ),( 22212 2 tu mlJ tx mlJ Btx mlJ gMlml tx u Cxf )())(),(( 1 txtuth =x trong đó: 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 18 ‘ Không có phương pháp nào có thể áp dụng hiệu quả cho mọi hệ phi tuyến. ‘ Môn học đề cập đến một số phương pháp thường dùng sau đây: Ž Phương pháp tuyến tính hóa Ž Phương pháp hàm mô tả Ž Phương pháp Lyapunov Các phương pháp khảo sát hệ phi tuyếnù ù û ù ä á 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 19 Phương pháp tuyến tính hóá á ù 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 20 Điểm dừng của hệ phi tuyếnå ø û ä á   = = ))(),(()( ))(),(()( tuthty tutt x xfx&‘ Xét hệ phi tuyến mô tả bởi PTTT phi tuyến: ‘ Nếu là điểm dừng của hệ phi tuyến thì:),( ux 0))(),(( , === uutut xxxf ‘ Điểm trạng thái được gọi là điểm dừng của hệ phi tuyến nếu như hệ đang ở trạng thái và với tác động điều khiển cố định, không đổi cho trước thì hệ sẽ nằm nguyên tại trạng thái đó. x x u ‘ Điểm dừng còn được gọi là điểm làm việc tĩnh của hệ phi tuyến 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 21 Điểm dừng của hệ phi tuyến å ø û ä á – Thí dụ    + +=   )(2)( )().( )( )( 21 21 2 1 txtx utxtx tx tx & &‘ Cho hệ phi tuyến mô tả bởi PTTT: Xác định điểm dừng của hệ thống khi 1)( == utu 0))(),(( , === uutut xxxf ‘ Giải: Điểm dừng là nghiệm của phương trình:   =+ =+ 02 01. 21 21 xx xx⇔    −= = 2 2 2 2 1 x x    += −= 2 2 2 2 1 x x ⇔ hoặc 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 22 Tuyến tính hóa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tĩnhá ù ä á å ø ä trong đó: ytyty ututu tt −= −= −= )()(~ )()(~ )()(~ xxx )),(( uhy x=   = = ))(),(()( ))(),(()( tuthty tutt x xfx& ‘ Xét hệ phi tuyến mô tả bởi PTTT phi tuyến: ‘ Khai triển Taylor f(x,u) và h(x,u) xung quanh điểm làm việc tĩnh ta có thể mô tả hệ thống bằng PTTT tuyến tính:   += += )(~)(~)(~ )(~)(~)(~ tutty tutt DxC BxAx& (*) ),( ux 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 23 Tuyến tính hóa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tĩnhá ù ä á å ø ä )(21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 un nnn n n x f x f x f x f x f x f x f x f x f ,x A             ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = K MOMM L L )( 2 1 u n u f u f u f ,x B             ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = M )(21 unx h x h x h ,x C    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= K )( uu h ,x D    ∂ ∂= ‘ Các ma trận trạng thái của hệ tuyến tính quanh điểm làm việc tĩnh được tính như sau: 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 24 Tuyến tính hóa hệ phi tuyến á ù ä á – Thí dụ 1ï ‘ PTTT:   = = ))(),(()( ))(),(()( tuthty tutt x xfx& )(9465.0)(3544.0)( )(2 ),( 1 1 tutxtu A k A tgxaC u D +−=+−=xf )())(),(( 1 txtuth =x trong đó: y(t) u(t) qin qout Thông số hệ bồn chứa : 2 3 22 sec/981 8.0 ,.sec/150 100 ,1 cmg CVcmk cmAcma D = == == 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 25 Tuyến tính hóa hệ phi tuyến á ù ä á – Thí dụ 1ï (tt) Tuyến tính hóa hệ bồn chứa quanh điểm y = 20cm: ‘ Xác định điểm làm việc tĩnh: 201 =x 05.13544.0),( 1 =+−= uxuxf 9465.0=u⇒ 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 26 Tuyến tính hóa hệ phi tuyến á ù ä á – Thí dụ 1ï (tt) )( )(2 ),( 1 tu A k A tgxaC u D +−=xf )())(),(( 1 txtuth =x 0396.0 2 2 )(1)(1 1 −=−=∂ ∂= u D u xA gaC x f ,x,x A 5.1 )()( 1 ==∂ ∂= uu A k u f ,x,x B ‘ Xác định các ma trận trạng thái tại điểm làm việc tĩnh: 1 )(1 =∂ ∂= ux h ,x C 0 )( =∂ ∂= uu h ,x D ‘ Vậy PTTT mô tả hệ bồn chứa quanh điểm làm việc y=20cm là:   = +−= )(~)(~ )(~5.1)(~0396.0)(~ tty tutt x xx& 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 27 Tuyến tính hóa hệ phi tuyến á ù ä á – Thí dụ 2ï ‘ PTTT:   = = ))(),(()( ))(),(()( tuthty tutt x xfx& Thông số cánh tay máy : 2 2 C sec/81.9 ,005.0 .02.0 ,5.0 1.0,2.0 ,5.0 mgB mkgJkgM kgmmlml == == === m u θ l     +++−+ +−= )( )( 1)( )( )(cos )( )( )( ),( 22212 2 tu mlJ tx mlJ Btx mlJ gMlml tx u Cxf )())(),(( 1 txtuth =x trong đó: 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 28 Tuyến tính hóa hệ phi tuyến á ù ä á – Thí dụ 2ï (tt) Tuyến tính hóa hệ tay máy quanh điểm làm việc y = π/6 (rad): ‘ Xác định điểm làm việc tĩnh: 6/1 π=x 0 )( 1 )( cos )( )(),( 22212 2 =    +++−+ +−= u mlJ x mlJ Bx mlJ gMlml x u Cxf ⇒   = = 2744.1 02 u x Do đó điểm làm việc tĩnh cần xác định là:   =  = 0 6/ 2 1 π x x x 2744.1=u 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 29 Tuyến tính hóa hệ phi tuyến á ù ä á – Thí dụ 2ï (tt) 0 )(1 1 11 =∂ ∂= ux fa ,x ‘ Xác định các ma trận trạng thái tại điểm làm việc tĩnh:     +++−+ +−= )( )( 1)( )( )(cos )( )( )( ),( 22212 2 tu mlJ tx mlJ Btx mlJ gMlml tx u Cxf )( 12 )(1 2 21 )(sin)( )( u C u tx mlJ Mlml x fa ,x,x + +=∂ ∂= 1 )(2 1 12 =∂ ∂= ux fa ,x )( 2 )(2 2 22 )( uu mlJ B x fa ,x,x + −=∂ ∂=   = 2221 1211 aa aa A 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 30 Tuyến tính hóa hệ phi tuyến á ù ä á – Thí dụ 2ï (tt) ‘ Xác định các ma trận trạng thái tại điểm làm việc tĩnh:     +++−+ +−= )( )( 1)( )( )(cos )( )( )( ),( 22212 2 tu mlJ tx mlJ Btx mlJ gMlml tx u Cxf 0 )( 1 1 =∂ ∂= uu fb ,x 2 )( 2 2 1 mlJu fb u + =∂ ∂= ,x   = 2 1 b b B 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 31 Tuyến tính hóa hệ phi tuyến á ù ä á – Thí dụ 2ï (tt) ‘ Xác định các ma trận trạng thái tại điểm làm việc tĩnh: )(),( 1 txuh =x 1 )(1 1 =∂ ∂= ux hc ,x [ ]21 cc=C 0 )(2 2 =∂ ∂= ux hc ,x 1d=D 0 )( 1 =∂ ∂= uu hd ,x ‘ Vậy phương trình trạng thái cần tìm là:   += += )(~)(~)(~ )(~)(~)(~ tutty tutt DxC BxAx&   = 2221 10 aa A   = 2 0 b B [ ]01=C 0=D 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 32 Điều khiển ổn định hóa hệ phi tuyến quanh điểm làm việcà å å ù ä á å ø ä tĩnh ‘ Đưa hệ phi tuyến về miền xung quanh điểm làm việc tĩnh (đơn giản nhất có thể dùng bộ điều khiển ON-OFF) ‘ Xung quanh điểm làm việc, dùng bộ điều khiển kinh điển thiết kế dựa vào mô hình tuyến tính (phổ biến nhất là bộ điều khiển PID). r(t) Đối tượng phi tuyến +− y(t) PID ON-OFF Chọn bộ ĐK u(t)e(t) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 33 Điều khiển ổn định hóa hệ phi tuyến quanh điểm làm việcà å å ù ä á å ø ä tĩnh   ≤≤ PID khiểnđiều bộchọn Nếu OFF-ON khiểnđiều bộchọn hoặc Nếu maxmin minmax )( )()( etee eteete ‘ Thuật toán chọn bộ điều khiển: r(t) Đối tượng phi tuyến +− y(t) PID ON-OFF Chọn bộ ĐK u(t)e(t) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 34 Điều khiển ổn định hóa hệ phi tuyến quanh điểm làm việcà å å ù ä á å ø ä tĩnh   =< => thì Nếu thìNếu minmin maxmax )()( )()( utuete utuete ‘ Thuật toán điều khiển ON-OFF: r(t) Đối tượng phi tuyến +− y(t) PID ON-OFF Chọn bộ ĐK u(t)e(t) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 35 Điều khiển ổn định hóa hệ phi tuyến quanh điểm làm việcà å å ù ä á å ø ä tĩnh dt tdeKdeKteKtu D t IP )()()()( 0 ++= ∫ ττ ‘ Thuật toán điều khiển PID: r(t) Đối tượng phi tuyến +− y(t) PID ON-OFF Chọn bộ ĐK u(t)e(t) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 36 Phương pháp hàm mô tảù ø â û (Phương pháp tuyến tính hóa điều hòa)ù á ù à ø 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 37 Phương pháp hàm mô tảù ø â û ‘ Phương pháp hàm mô tả mở rộng gần đúng hàm truyền đạt của hệ tuyến tính sang hệ phi tuyến. ‘ Phương pháp hàm mô tả là phương pháp khảo sát trong miền tần số có thể áp dụng cho các hệ phi tuyến bậc cao (n>2) do dễ thực hiện và tương đối giống tiêu chuẩn Nyquist. ‘ Chỉ áp dụng được để khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến gồm có khâu phi tuyến nối tiếp với khâu tuyến tính theo sơ đồ khối như sau: u(t)r(t)=0 +− y(t) G(s)e(t) N(M) u(t) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 38 Đáp ứng của hệ phi tuyến khi tín hiệu vào hình sinù ù û ä á ä ø )sin()( 11 ϕω +≈ tYty )sin()( tMte ω= ...)()()( 21 ++= tututu ‘ Tín hiệu ra khâu phi tuyến không phải là tín hiệu hình sin. Phân tích Fourier ta thấy u(t) chứa thành phần tần số cơ bản ω và các thành phần hài bậc cao 2ω, 3ω... ∑∞ = ++= 1 0 )]cos()sin([ 2 )( k kk tkBtkA Atu ωω )sin()( tMte ω= ‘ Để khảo khả năng tồn tại dao động tuần hoàn không tắt trong hệ, ở đầu vào khâu phi tuyến ta cho tác động sóng điều hòa: r(t)=0 +− G(s)N(M) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 39 Đáp ứng của hệ phi tuyến khi tín hiệu vào hình sinù ù û ä á ä ø ∫ − = π π ωπ )()( 1 0 tdtuA ∫ − = π π ωωπ )()sin()( 1 tdtktuAk ∫ − = π π ωωπ )()cos()( 1 tdtntuBk Các hệ số Fourier xác định theo các công thức sau: ‘ Giả thiết G(s) là bộ lọc thông thấp, các thành phần hài bậc cao ở ngõ ra của khâu tuyến tính không đáng kể so với thành phần tần số cơ bản, khi đó tín hiệu ra của khâu tuyến tính gần đúng bằng: )sin()( 11 ϕω +≈ tYty 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 40 Điều kiện có dao động ổn định trong hệ phi tuyếnà ä ù ä å ä á ‘ Điều kiện để trong hệ có dao động ổn định với tần số ω là: )sin()()()sin( 11 ϕωω +−≈−== tYtytetM ‘ Suy ra:   = = πϕ1 1 MY Phương trình cân bằng biên độ Phương trình cân bằng pha )sin()( 11 ϕω +≈ tYty )sin()( tMte ω= ...)()()( 21 ++= tututu r(t)=0 +− G(s)N(M) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 41 Khái niệm hàm mô tảù ä ø â û tín hiệu ra u(t) xấp xỉ thành phần tần số cơ bản (do ta bỏ qua các thành phần hài bậc cao) )cos()sin()()( 111 tBtAtutu ωω +=≈ ‘ Do khi tín hiệu vào của khâu phi tuyến là tín hiệu hình sin: )sin()( tMte ω= nên ta có thể coi khâu phi tuyến như là một khâu khuếch đại có hệ số khuếch đại là: M jBAMN 11)( += ‘ Tổng quát N(M) là một hàm phức nên ta gọi là hệ số khuếch đại phức của khâu phi tuyến. Vì quan hệ vào ra của khâu phi tuyến có thể mô tả gần đúng bằng hệ số khuếch đại phức N(M) nên N(M) còn được gọi là hàm mô tả của khâu phi tuyến. ‘ Xét khâu phi tuyến : )sin()( tMte ω= N(M) )(tu 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 42 Định nghĩa hàm mô tảø â û ‘ Hàm mô tả (hay còn gọi là hệ số khuếch đại phức) là tỉ số giữa thành phần sóng hài cơ bản của tín hiệu ra của khâu phi tuyến và tín hiệu vào hình sin. M jBAMN 11)( += ∫ − = π π ωωπ )()sin()( 1 1 tdttuA ∫ − = π π ωωπ )()cos()( 1 1 tdttuB ‘ Trong các công thức trên u(t) là tín hiệu ra của khâu phi tuyến khi tín hiệu vào là Msin(ωt). Nếu u(t) là hàm lẻ thì: ∫= π ωωπ 01 )()sin()(2 tdttuA 01 =B 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 43 Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bảnø â û û ù â á û Khâu relay 2 vị trâ í 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 44 Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bảnø â û û ù â á û Khâu relay 2 vị trâ í (tt) 01 =BDo u(t) là hàm lẻ nên: ∫= π ωωπ 01 )()sin()( 2 tdttuA Do đó hàm mô tả của khâu relay 2 vị trí là: M V M jBAMN mπ 4 )( 11 =+= )()sin(2 0 tdtVm ωωπ π ∫= π ω ωπ 0)cos( 2 = −= t m tV π mV4= 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 45 Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bảnø â û û ù â á û Khâu relay 3 vị trâ í 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 46 Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bảnø â û û ù â á û Khâu relay 3 vị trâ í 01 =BDo u(t) là hàm lẻ nên απωπωωπωωπ απ αω απ α π cos4)cos(2)()sin(2)()sin()(2 0 1 m t m m VtVtdtVtdttuA =−=== − = − ∫∫ Theo đồ thị ta có: 2 2 1cossinsin M D M DMD −=⇒=⇒= ααα 2 2 1 1 4 M DVA m −= π⇒ Do đó hàm mô tả của khâu relay 3 vị trí là: 2 2 11 14)( M D M V M jBAMN m −=+= π 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 47 Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bảnø â û û ù â á û Khâu khuê áách đạïi bão hõ øøa 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 48 Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bảnø â û û ù â á û Khâu khuê áách đạïi bão hõ øøa (tt) 01 =BDo u(t) là hàm lẻ nên ∫= π ωωπ 01 )()sin()( 2 tdttuA    += ∫∫ 2/ 0 2 )()sin()()(sin4 π α α ωωωωπ tdtVtdtD MV m m    −   −= == 2/ 0 )()cos( 2 )2sin( 2 4 π αω α ω ωωωωπ tmt m tdtVtt D MV    +   −= αααπ cos2 )2sin( 2 4 m m V D MV Do đó hàm mô tả của khâu khuếch đại bão hòa là: [ ])2sin(2)( 11 ααπ += += D V M jBAMN m    = M Dαsin ∫= 2/ 0 )()sin()(4 π ωωπ tdttu ( )   += )2sin(2 ααπ D VM m 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 49 Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bảnø â û û ù â á û Khâu khuê áách đạïi cóù vùøng chếát 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 50 Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bảnø â û û ù â á û Khâu khuê áách đạïi cóù vùøng chếát (tt) 01 =BDo u(t) là hàm lẻ nên )()sin()(2 0 1 tdttuA ωωπ π ∫=    +−= π αα )2sin(21KM Do đó hàm mô tả của khâu khuếch đại có vùng chết là:    +−=+= π αα 2sin21)( 11 K M jBAMN    = M Dαsin )()sin(])sin([4 2/ tdtDtMK ωωωπ π α ∫ −= 2/ )cos( 2 )2sin(4 π α ωωωπ    +   −= t M DttKM 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 51 Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bảnø â û û ù â á û Khâu relay 2 vị trâ í cóù trểå 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 52 Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bảnø â û û ù â á û Khâu relay 2 vị trâ í cóù trểå (tt) ∫ + = απ α ωωπ 2 1 )()sin()( 1 tdttuA ∫ + = απ α ωωπ 2 1 )()cos()( 1 tdttuB Do đó hàm mô tả của khâu relay 2 vị trí có trể là: )sin(cos4)( 11 ααπ jM V M jBAMN m −=+=    = M Dαsin ∫ + = απ α ωωπ )()sin( 2 tdtVm απ cos 4 mV= ∫ + = απ α ωωπ )()cos( 2 tdtVm απ sin 4 mV−= 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 53 Khảo sát chế độ dao động đều hòa trong hệ phi tuyếnû ù á ä ä à ø ä á ‘ Điều kiện để hệ thống có dao động là: 0)()(1 =+ ωjGMN )( 1)( MN jG −=ω⇔ (*) ‘ Phương trình trên được gọi là phương trình cân bằng điều hòa. Phương trình này sẽ được dùng để xác định biên độ và tần số của dao động điều hòa trong hệ phi tuyến. ‘ Nếu (M*, ω*) là nghiệm của phương trình (*) thì trong hệ phi tuyến có dao động với tần số ω* , biên độM*. ‘ Xét hệ phi tuyến có sơ đồ như sau: r(t)=0 +− G(s)N(M) e(t) u(t) y(t) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 54 Khảo sát chế độ dao động đều hòa trong hệ phi tuyến (ttû ù á ä ä à ø ä á ) ‘ Về mặt hình học, nghiệm (M*, ω*) là nghiệm của phương trình (*) chính là giao điểm của đường cong Nyquist G(jω) của khâu tuyến tính và đường đặc tính −1/N(M) của khâu phi tuyến. ‘ Dao động trong hệ phi tuyến là ổn định nếu đi theo chiều tăng của đặc tính − 1/N(M) của khâu phi tuyến, chuyển từ vùng không ổn định sang vùng ổn định của khâu tuyến tính G(jω) . 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 55 Trình tự khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyếnï û ù á ä ä ä á B1: Xác định hàm mô tả của khâu phi tuyến (nếu khâu phi tuyến không phải là các khâu cơ bản). B2: Điều kiện tồn tại dao động trong hệ: đường cong Nyquist G(jω) và đường đặc tính −1/N(M) phải cắt nhau. )( 1)( MN jG −=ω B3: Biên độ, tần số dao động (nếu có) là nghiệm của phương trình: (*) • Biên độ dao động là nghiệm của phương trình: )( )( 1 πω−= jGMN Nếu N(M) là hàm thực thì: • Tần số dao động chính là tần số cắt pha ω−π của khâu tuyến tính G(jω). πω π −=∠ − )( jG 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 56 Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến û ù á ä ä ä á - Thí dụ 1ï ‘ Xét hệ phi tuyến có sơ đồ như sau: Hàm truyền của khâu tuyến tính là )12)(12.0( 10)( ++= ssssG Khâu phi tuyến là khâu relay 2 vị trí có Vm=6. f(e) e Vm −Vm Hãy xác định biên độ và tần số dao động tự kích trong hệ (nếu có). 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 57 Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến û ù á ä ä ä á - Thí dụ 1ï Lời giảiø û ‘ Hàm mô tả của khâu relay 2 vị trí là: M VMN mπ 4)( = ‘ Do đường cong Nyquist G(jω) và đường đặc tính −1/N(M) luôn luôn cắt nhau (xem hình vẽ) nên trong hệ phi tuyến luôn luôn có dao động. 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 58 Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến û ù á ä ä ä á - Thí dụ 1ï ‘ Tần số dao động là tần số cắt pha của G(jω) : πωωωω ππππ −=   ++=∠ −−−− )12)(12.0( 10arg)( jjj jG πωωπ −=−−−⇔ )2arctan()2.0arctan( 2 2 )2arctan()2.0arctan( πωω =+⇔ ∞=− +⇔ −− −− )2).(2.0(1 )2()2.0( ππ ππ ωω ωω 0)2).(2.0(1 =−⇔ −− ππ ωω sec)/rad( 58.1=⇔ −πω ‘ Biên độ dao động là nghiệm của phương trình: 82.1 )58.12(1)58.12.0(158.1 10)( )( 1 22 = ×+×+ == −πωjGMN 82.1 4 =⇒ mV Mπ 90.13=⇒ M ‘ Kết luận: Trong hệ phi tuyến có dao động )58.1sin(90.13)( tty = 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 59 Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến û ù á ä ä ä á - Thí dụ 2ï ‘ Xét hệ phi tuyến có sơ đồ như sau: Hàm truyền của khâu tuyến tính là )12)(12.0( 10)( ++= ssssG Khâu phi tuyến là khâu relay 3 vị trí. 1. Hãy tìm điều kiện để trong hệ phi tuyến có dao động. 2. Hãy xác định biên độ và tần số dao động khi Vm=6, D=0.1. e Vm −Vm f(e) −D D 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 60 Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến û ù á ä ä ä á - Thí dụ 2ï Lời giảiø û 2 2 14)( M D M VMN m −= π‘ Hàm mô tả của khâu relay 3 vị trí là: ‘ Điều kiện để trong hệ thống có dao động là đường cong Nyquist G(jω) và đường đặc tính −1/N(M) phải cắt nhau. Điều này xảy ra khi: )( )( 1 πω−≤− jGMN 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 61 Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến û ù á ä ä ä á - Thí dụ 2ï ‘ Tần số cắt pha của G(jω) (xem cách tính ở thí dụ 1) sec)/rad( 58.1=−πω ‘ Để dao động xảy ra ta phải có điều kiện: 82.1 )58.12(1)58.12.0(158.1 10)( )( 1 22 =×+×+=≤− −πωjGMN 55.0)( ≥⇒ MN (*) ‘ Theo bất đẳng thức Cauchy D V M D M D D V M D M VMN mmm πππ 21214)( 2 2 22 2 2 =        −+  ≤−= 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 62 Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến û ù á ä ä ä á - Thí dụ 2ï ‘ Do đó điều kiện (*) được thỏa mãn khi: 55.02 ≥ D Vm π 864.0≥⇔ D Vm ‘ Vậy điều kiện để trong hệ có dao động tự kích là: 864.0≥ D Vm ‘ Biên độ dao động là nghiệm của phương trình: 82.1)( )( 1 ==− −πωjGMN 55.0)( =⇔ MN 55.01 4 2 2 =−⇔ M D M Vm π ‘ Khi Vm=6, D=0.1, giải phương trình trên ta được: 90.13=M ‘ Vậy dao động trong hệ là: )58.1sin(90.13)( tty = 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 63 Phương pháp Lyapunovù 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 64 Phương pháp Lyapunovù ‘ Phương pháp Lyapunov cung cấp điều kiện đủ để đánh giá tính ổn định của hệ phi tuyến. ‘ Có thể áp dụng cho hệ phi tuyến bậc cao bất kỳ. ‘ Có thể dùng phương pháp Lyapunov để thiết kế các bộ điều khiển phi tuyến. ‘ Hiện nay phương pháp Lyapunov là phương pháp được sử dụng rộng rãi nhất để phân tích và thiết kế hệ phi tuyến. Giới thiệú ä 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 65 Điểm cân bằng của hệ phi tuyếnå â è û ä á ‘ Một điểm trạng thái xe được gọi là điểm cân bằng nếu như hệ đang ở trạng thái xe và không có tác động nào từ bên ngoài thì hệ sẽ nằm nguyên tại đó. ‘ Dễ thấy điểm cân bằng phải là nghiệm của phương trình: 0== == 0,),( uu exxxfx& ‘ Hệ phi tuyến có thể có nhiều điểm cân bằng hoặc không có điểm cân bằng nào. Điều này hoàn toàn khác so với hệ tuyến tính , hệ tuyến tính luôn luôn có 1 điểm cân bằng là xe = 0. ),( uxfx =& ‘ Xét hệ phi tuyến mô tả bởi phương trình trạng thái sau: 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 66 Điểm cân bằng của hệ phi tuyến å â è û ä á – Thí dụ ‘ Thành lập PTTT. Đặt:   = = )()( )()( 2 1 ttx ttx θ θ & ‘ PTTT mô tả hệ con lắc là: ))(),(()( tutt xfx =&     +−−= )(1)()(sin )( ),( 2221 2 tu ml tx ml Btx l g tx uxftrong đó: ‘ Xét hệ con lắc mô tả bởi PTVP: m u lθ +− 0 )(sin)()(2 tumgltBtml =++ θθθ &&& ‘ Xác định các điểm cân bằng (nếu có) 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 67 Điểm cân bằng của hệ phi tuyến å â è û ä á – Thí dụ     +−−= )(1)()(sin )( ),( 2221 2 tu ml tx ml Btx l g tx uxf ‘ Điểm cân bằng phải là nghiệm của phương trình: 0== == 0,),( uu exxxfx&    =−− = 0sin 0 221 2 ee e x ml Bx l g x ⇒   = = πkx x e e 1 2 0⇒ ‘ Kết luận: Hệ con lắc có vô số điểm cân bằng:   = 0 πk ex    += 0 )12( πk ex   = 0 2 πk ex 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 68 Ổn định tại điểm cân bằngÅ ï å â è ‘ Định nghĩa: Một hệ thống được gọi là ổn định tại điểm cân bằng xe nếu như có một tác động tức thời đánh bật hệ ra khỏi xe và đưa đến điểm được x0 thuộc lân cận nào đó của xe thì sau đó hệ có khả năng tự quay được về điểm cân bằng xe ban đầu. Chú ý: tính ổn định của hệ phi tuyến chỉ có nghĩa khi đi cùng với điểm cân bằng. Có thể hệ ổn định tại điểm cân bằng này nhưng không ổn định tại điểm cân bằng khác. Điểm cân bằng ổn định Điểm cân bằng không ổn định ‘ Thí dụ: 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 69 ỔÅn định Lyapunov ‘ Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi PTTT: 0),( == uuxfx& Giả sử hệ thống có điểm cân bằng xe = 0. (1) ‘ Hệ thống được gọi là ổn định Lyapunov tại điểm cân bằng xe = 0 nếu với ε > 0 bất kỳ bao giờ cũng tồn tại δ phụ thuộc ε sao cho nghiệm x(t) của phương trình (1) với điều kiện đầu x(0) thỏa mãn: 0,)( )0( ≥∀<⇒< tt εδ xx 26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 70 ỔÅn định tiệäm cậän Lyapunov ‘ Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi PTTT: 0),( == uuxfx& Giả sử hệ thống có điểm cân bằng xe = 0. (1) ‘ Hệ thống được gọi là ổn định tiệm cận Lyapunov tại điểm ca